uammatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modeli… · ud h q h , d5 ¾ ¿ ÀsÁ...

28

Upload: others

Post on 05-Oct-2020

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

����������� � ���������������������� �������� ������ �"!#� ��$�%� ���&���'� ����������(���)���� � ���*�"�������+!#��� ����� ��,-������!���������&�.� � ����/$.������ �0��12��������� ��&��$����������������&!3�����4�� ���&��&1�� �.1����� 5768%��9'%��:���.�<; =?> @*=�;#A�=BDCDEF> @*=?>G��H���.��� �����%�!.�I�J%��#�?K?���&1����&1��.� ����$.�L�����������M����42�N� �PO��������Q9'%��N���#���I�.�������#!��&���4R�S ���� ��������&1���������������'� ��� ������H���'� ��12�����T%�����I�R!VUD��%������������ ��� ����)'W���� ��� �� XY�.�I����� ����&���'� �Z�R���� ������G1%��'���7���[)'�� ���3�.��� %���*�\�����]��%���� � ���������������4����� ��I�.����[�����')���� $.��������D5_^`�����%�� �71��� �7� %�������'���I�&12���a��.������� ����4R�S �H� �I����.�GXY�.�������G��b� �$����c���d�����G� ��,��.�����&��I�'�����G��bUD��%� ����G!:�.�F�S � �N���,�������� � ���c�I%������H� %[�&���H��� ��HXY%�b$�������� ��������D5�ef�.�G����� �]������D�� ����4I����d� ���F�S �]��.K`%�/���]�.��)'�����9'%��J���hg�i"jlk�m2no?pdqQrsp�t novuxw?ylp3z j tN{|p�t k�m}~��#UD�.%�� ��������s�Z���T1%�4����������V�������������T�&��� �R��V%��������������� � �� %!�����������s1�� ��&�I�8��� ����������� �� � �������� ������������9'%��~��W!J�����.�H���&���86�����.���� ���68� �L��.��������6���������� ��|���UD��%�������I5f�c�.�H�<���a�W�S ��%����<��������D�'UD��%� ��I�\�/���'��%1���-������� � %������\���-� � �.��� �H�� W����:�������������� 5�68%��9'%��]�&�����������[)W�.� ����~)������I�~���[$������3�.1��������4�������.�3��]�/%7� ���.�F�S �D�����d�I���� ���[���~9'%��1�a������ ������&���P���J���������%�!.�J���$c�%������ ���'%������ ����V���'12������&���'� ������������%����\���&�W���$���������.������������%�����������-�H�������������1����I���� W�����1"�I9'%�PO���.��)+��� ���������������-���:�����H12������� %� ����![���R$�� %��� �J��� %]� � ��4�FK?�b�/�G���������~�b� ��� ����)��������D1� ��4�����&�~�H�.� ���L��.� ����~���D9'%�G�������%���G�/%]�H�'������D5R�T� � �~!.����8%��[$�� ���[�W)+�������������'�W�S �����12��� 9'%���&��� ����%�������&������ �� � ���L��.� �����1��� ������� ��� �&�'���������H����D����� � �����'� ��������<������'�� � ���'���Z5��T��� %��-1��.����4������ ���`�����<�'%�I)+���-� �����W�S ���-���P1����������.�<�����'%���� ��� ���4� ����� �a��.��%��������1��� ��� ����H1� �������������������������H�.� ���L������������!V� ��12��� �����R���.�H����������� �R� ��4� �XY%������&���'� ���R��')+��� ���4�����+�.������ ��� )+���a����-���P����f���.�f�������&���P�����f9'%�\��W!b1"��� �����<!N���9'%��� ��a����-������� ��'%���H���'���H������N���������������D5-� ��.�b�.���������'���[�l��������^�¡¢��£.� �¤����� ��4�����#��&���P��%�� ���� �&�D�¤��� ��� �4���a��D��`�T�R�.��������� ����H�.� ���L��.� ������ ������Z�"1�%��� �2� ��������������������I��� ������.��������������XY��������H�������X �S � �������� ����� ��4����� �W� %~��4MK`��� �G��G���c�/���G��� ������G12���s���G��'� �����$���������G�'%�H����D�+���s%��b�������H���'� �G1� �����'�� �����'� �T�������� ����:%��).�I��� ���2!]��-����I�������������������'����$����'� ���2XY����� %����D�'��� �a�����&1�� ��� �-�������-���.� %� ������,����D5

6��'���I�8����).�I�8������1� ��4�����&�����H�.� ���L������������9'%��~����1� ���'��%1���4������UD�.%�� �����!J12���89P%c���������������%��&��������%�������1R�S � %���J9'%�<��� �����:������� ���J��<�.������ �a���42���H����1������'�����������f� ������������:�&�'�������9'%����I�.���%����N�&���&����%�����W����#�����¤���������I5¦¥��$�%��� ���&���c���¤1��N��N���H����� ������§&¨"�Q¡¢©D5«ªD5

�������������#����I�J�L����#9'%�V%����XY�.� �H������������� $2�S ���812���J��� �¬���­���¬���FK?����V����� ���������#�������I� �+!'%���3��1��� �����[���G�����'� �������3������ $0���������7� ���'���3����®P����FK?%��������°¯N±²�]�����&�3���_®'����'���������W�S �����¯N���.���I�2�����³�%��H���'� �-�������&�����.�����������F�S ��� �212������� � ��� �2����´�����D���� ����D5��s��� ���&12��� ����%����:��4� ����%���������H$�� �.���.��¯N����)'����I�Z9'%�c��I�������� ���H�.��1"����µT�Z���T���b������ $a�S �b�H�����D�����c�H�'��b9'%�c���D���.���.�T� ����������#%���H12�.� ��W��.�d�a��������H����H��$0��I�����¶·��N������ ���H� %� � �������D�M���

¸­¹»º ¼ µ������� º ���0%����������� �����'� �|12��� �� �)+�N9'%�Q���12������Q����� �12����Q� %�/���������������� ����� ����D5��Q%��.����

½ �

Page 2: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

UD��� �������H�Q����H�,��D5 ¾�¿�ÀsÁ�ÂZÃvÄ�ÅaÆaÃMÇ¿�È�É�É%�<��%�����12����������I�'���\�/�\12�.���\���<�����'������� �����.�<����� ��XY�W�S ������������ $a�S �&�����P��������� �RÊ�%!��\�����P1�����&��� ������ ��$�%����D5Ref�����?K?���&1����D�Z����%���~���&����� W������ D� ����I�&���Ë%��1%��'����Ì��~� ���&12��� ����%�����µT��̤��!<����� ��`���f��������D��Ì�Í�Î~ÌT�Ï�J�����H12��� �.� %� �Hµ���Ì:Í�Îb̤� �Ï1��� �����<�F��.$�����Ð���������%� �J1������J¥���H1����������Ñ[Ò.�1�5��.Ó��8� %�1"�������89'%��~�������������8Ê�%��a���������1� ��H��� �����s�/��$.%����������%�����H��$.���� %��1� ��12�.� ��������.���µT��̤�¦Ô3µT��Ì�Í�ÎbÌ��8Õ Ô�ÎbÌ�Ö'µ�×�Ö²ÌT5��s�:����!d���-���XY� ����&����'���:���-Ø���ÙQ� �.����:�����.� � ���I�.� �:9'%����� � �[� %12��� ���W����3������)W�.���[�[��� ���~����H���� �������� 5��Q����I����� ���&���P���]�������H�[9'%�����T)������ �.�~Ê�%FK?�d�����������$a�S �N�I�01� ��12�.� ����.���.����ÔNÚ�µ7��� ����%c���� ��I� �Q9'%��Q���N���� ������W����H�.1�%��� � �N���$�� �.������'� �Q���T� ����H1� ����~��G�L��.�'��&�~������ ������&��I�'�����T!<12���T� ���'���~���DÊ%FK?�b�����D���������T�~��� �W)Ë�������G���~Xv� ���'���I���~���¶]�Z9'%����I����&����� ���&����Ö2¶��M��� �M1��� �H������ ���H������ � ���'��� º:Û¤Ü £D�M�$�%��.�¤�H���H��'� ��$������¤���N� %12��� �����

Ý ¹ Ô º Û Þ ¼ Ú�µ�ß

¥�s�������������8� ����� ����1�����~���.��1%��'����������������'� ���8�������8XY�W�S �.�+�D����� ���H1"��� ����%�� ��������4�������������� ����&12�D�������&�b����0������%���� ��� �b��%����9'%�����0� �.,I�N��c����XW��Z�����$��.�H���sµ ¹ µ���ÌRà?áaà�â�à�ã/�I5Ref�.� �����c��4')'��9'%��-������1c���� ����������<�������������-���:12�.� ��W��������-�/%� � �.������d¶ä9'%��-�����H�.��� ������������������D�a�/�-���.���I���� ���W)\�������������Xv� ���'����� �D�"�����������I�29'%�-����)+��� �����W���������R�������������жå12����%����������-������H12��� �������������&�I�.�d���¤Ê%.K`�H�&� � �+)\����c���N���HXv� ���'���I���D5f��� ��� �� �&�����dX����� ��%���.�

ºçææ ã

¼ µ�Ô º Û Þ ¼ Ú�µ ¹ £'ß

Ø7��.� ��� �&9'%��<���è�%������#9'%�&��� � ���&���N�����������J���N9P%�&1��� �J� �������N�.��$.�7�°�I�V�'%��� � � �J����� �#��������������%����%���� 1"����+!#9'%���������� ��������� �+)\����8���~� %�XY�����'� ��� ��5Qe¦�.� ��9'%��~����X����� ��%����9'%�����~42�������D�� ����H1�����12�'�����&�����H�����~���Ë��� 1�������������� ����&12�����3%��3� ��/�����H�[����%�����������������H������������Q��������HUf�����W����#�H���N�'%�I� ��� �H��H��$.�������W��������N�H������ �H9'%�b���¤������4���H��N�I� �������H1� �+)��'9'%��N����$�%��������� º × º Û ¹ ��5

¼ Ö²µÖ²ã Ô Þ ¼ Ú�µ ¹ £'ß

ef���Q�I�¤������� ���H�&���N���H��)���� $��������

¼ Ö²µÖ²ã Ô�Î~µ ¹ £ ����� Îbµ ¹ ���)a�éÚ�µ�� ¹ Öaê?µ

Ö²Ì ê Í Öaê?µÖ²á ê Í Öaê?µ

Ö2â ê ß

¥"�I� �����$�%�������.��� �8��%�H1���81���������%��.��9'%����Ë12������F��.�#¶»��8����� %�� ������I��~������$����D�²���9'%�����~�L����� ���H�����&9'%������Ï��'����$�� �����&� �N�.�'%����H�����&Xv%����F��.�#�'%���<�I�Q�����%������&9'%�N��'���I$.� ����&���#��%����9'%�����1��� � �����H����� �.� 5f�s����$����&���c���'� ��������c��������H���'� �N�&���d=�ë�E.ì�ë�@MíC�î7A=?ï�ë?ì.ï�C.>

Ö²µÖ²ã ¹ Î~µ

½ �

Page 3: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

´������������� �� �ð �T�¤���������cÊ%�!.�N��������H�����c� �� ����Q�L����cXv�F�S ����Ô�ñ Ê�%FK?� ¹ Ô������ Þ ¼ Ú�µRß

ð �T�¤���������c� �N��� ����1��&12���Q���&XY� �.�'� ��� �åÔ¤ñ ææ ã

¼ µ ¹ ��� �Ëò+Ê�%FK?�'ßð �T� � ���c1� ��1�����������c� �N��%��&1������d���#������H���'� �.� ���óÔ�ñ Ö²µ

ֲ㠹 Î~µ�ß6ä12��� ���~��]9'%��]���[1�����1���[� �� %����W����7X/�S � ����[!��'%���/��� ���~� �.,I�.�����&����P�����~� ���3���71�� �����1��

� ������H���� ��.��������� �Q12�'�����&���:� ��12������ �����:��������H���� ��������:%����!ô����:������ ������ ������)+��� ������.�:�� %�1"��� ��������¦� ���������H���'� �|�.�� ��������¦�����M�H�������I�'����� ����¦!~���H1�����.��������������� ���H�����|�������)�����$����������������J���H���� F��.����������%����Ð�°��������H���� W�����%���:�������f������� ���H�:XY%������&���P�����R�����f�R�������%���:![������&����� W����������%����)W������.�'� �������Ë������� ���H�����õN� �������I5dö0���������Ë���.�/��%������H����� ���������/��)�����Ð��H12�.� � �������Ð���#���Ð����12�����.$a�S �Ð���#���Ð)+��� ������V9P%�#������/����� ���H���H!�� ��� )'��a��Ð1��.� �Ð���%�� � �����H�����H12�.� � �.�P���N9'%��N� �N��%���/��� �H�.�������,����c����k rszZpI÷ 5

¥�P���I����H�.�¦%����)W���������������������&��%����� ����� ���I�FX/�S � ��I�.�H���'� �\1��.� �����|������� ��9P%�\�����I).����%���W����<��� %b� ���H1"��� ��� %� �c����12������0�Ï��.���c��T���c� ���&12��� ����%����G����������"��ã ¹ £������b�������c1�%�'� ��µT��Ì�ࢣ�� ¹»ø ��̤� 5¥����d)W����������[���7��%$��.�~���]� ���~������� �[��� �2��[��%���)W����[Xv��� �H�.����[%�3�.� �D�s���$��.�H���~��]���.��$.���%��%���D�'1"�P����H�.�|������'���������¦Ì������:���-�����$��� %�:������� ���-!H���F�S µT��Ì�à?ãl�Ë! ø ��̤�\��I4"���:� �I�\Xv%������������12��� W��������������8ÌH���012������'��c%���D5������ �������� ������&���P���0���b��� � �0����� �c��������XY� ���'�����H��������1� ��4���I�&���N�����������Q%���H� ����%�IW����#�����²ß���� Ö²µ

ֲ㠹 Ö ê µÖ²Ì ê à ã Ü £'à ����� µ���Ì�ࢣ�� ¹»ø ��̤�¢à ������� ø ��̤� ¹»ø ��ÌHÍù���¢ß

UD��%� ����G� �N����H��%����'���]��b9'%�b���4R�S �]������� ���c� ����%����������G� ��������������G��b1"�I����'��H%���H����Ì7��b�������%��.��F��.�d����¤�I�.���.� �M���.�����c1"���

úFûMü�ý²þ`ÿ²þ�� � �I���������Ï̤�là úFûMü�ý²þ ÿ'þ�� ����� �������Ï̤� � ¹ £'àF� à¢�²à�ª²à�ß�ßIß�T�8ã ¹ £c�����N��%�$.�����c� �����.�s!������ ����������0XY�����I%��������������'� ��� �.�+5�¥�� %)'I���� �.�H�������c� %���� ���0���09'%� øXY%��� �b%���b���.�-4�������W����H���������s���������%� ���`��������������0���c� �������T!-����� �����.����G��� ���G���12�b���4��W�S �.�H���� ��� %�I�����H���D5����¦� ��&������09'%�Q��'� ���'��%����¦���Xv����� �.� ú ûü�ýZþ`ÿ²þ�� ����� � ��� 12��������'���Q1��� �cã Ü £�5��s��$�� ���� ��� 1� ��� �����G9'%��b���]���.���~XY�.�����]� ����I�G� %������ �Z��� ����&1�� �b12�'��I�&���8���'1� ��� ���8��%����9'%����GXY%����W���� ø��I�����'����!�12��� W��������[���3������ �&������~���� ������~!��I�.�/������~�����H�[�.�P����� 5:UG�S � ������H���'����� �]� �����������H12�.� � �.�P�W�S � ��&�H�����$���D�

CaA.ìHC.îsAFì�f=?>�@íC�A.@*ë?ìH; =N= ���>I=�; ìdë�C��HC[EFîìH; E�R=?>�2C�; @*ë?@MíC�î3A=���C.î�C.;�sEF> C�;ef��� �Q� ��&1������I�.��������� �������H����'� �Q�H�������L���������c� ����%� � ��H���¤�c%�N��� ��������c������I�����c������ ��/�����'� �

����9'%��-���4����:�����.��� ������������������ ���Tã ¹ �ê�� � ú � � Ô ú û � � �I�2�����²ã ¹ �ê � ú � � Ô ú û � � �I�24��.�/���:���'1� ��� ���� �'��HXv%����W����#�I�#������ �H����.�c���N�����cXv%������������c�����&1����?K`���

ú ���Ï̤� ¹ ú ê ý � ÿ�� ¹ ����� �°�����aãl�¤Í��� �I���������aãl� ��� ß½ ª

Page 4: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

Ø������42���&���.� ����0�&���������.�0�b�%��&��� ���0�����&1����?K`��� �.�/�.�&�a������N1��� ����� ��� �4��¦����0Xv%������������¦���&%���D5���Ï� ����� ���&�HXY%������&���P�����¤���c���¤9'%��N��� � �.4��������N���¤�����.� �H�������H�.���#A�=?; ì�> > C.ï�ï�CdA�=|BDCDEF> @*=?>+5��� � � ��! Ò�" #%$&#('�=?ì ø ��)~ê�E.îì�*`E.î�ë?@MíC�î7A�=+f=?>�@�CaAFC[EFî�C-,¤=�î.�°C�î�ë�=�;

ø ��Ì�� ¹ /ÿ10�û /

2 ÿ ú �3�aÌ�� ë?C�î 2 ÿ ¹ �4 ø ��áD� ú �*Ô+�ÏáD� æ á2à

AFC�îsA=sï�ì�; E5�Hì�; =Ë=?î��°@*=?îsA=\ë?C��HC�ï�í6 �&@7� =ËA�= 8 ÿ 8:9 ;=<Nï�ì<ë?C�î.>�=?>�?D=?î�ë?@�ì<=?;RìA@F;/C.ïéEB��ìC<]EFî�@�*vC�>��[=ED(���H������ ����%�����I��H���H�����.� �&9P%�N� �N� �$�%��N� ��H1�����H���'� �N� %� � �� %!�������&���+�§&� �W� F°Ò-�HG°�I" #%" #(Jsì&;/@�?DEF@*=?î.� =+*`E.î�ë?@íC.î3=?;c; C�ï*Eë?@íC.î3A=b����5�����K

µT��Ì�à?ã/� ¹ /ÿ10sû /

2 ÿ úFûü¢ý²þ`ÿ²þ�� ú �3�Ï̤� ë�C.î 2 ÿ ¹ �4 ø ��áD� ú �éÔ+�aáD� æ áaß

L&Á-MON��°������P������ ���&��� Qc¥���������î�íEë?ï*=?C�A�=�R�@�> @*ëTS�ï*=E�+U ; ��̤� ¹ 8 ÿ 8:9 ; ú �3�Ï̤�I5|(��[�R������I%���1� %���4�H9'%�

8 ÿ 8V9A;2 ÿ ú �3�aÌ�� ¹

�4 U ; ��Ì�Ô�áD� ø ��áD� æ á ¹ ��W ê

û �TW êU ; ��ã/� ø ��Ì�ÔVã/� æ ã�à

�������#��� �%��� ��H�Ð�$�%��������ô� �#�/�$�%�#�����Q������4���Ð���#)+��� ���4���]ã ¹ ÌVÔôá���!�������������Ð9'%�d�����'� ��� )+�����Ð���d��'����$�� ����W����ù�°��9'%R�S ������$.���Ð�I�.�H�=X Ô<� ×W�'àF� ×+�ZY��H�I�H��� 4�� � �.� ��7�����ô�����c��d9'%�d� ����'� �������H�&� �'��H%�d1"��� ��'���D5fef���c�.� � �&1��.� � �Z�M���#�������&12��� ��'��� U ; ¹ ��!�1"���c�����'� �

ø ��̤��Ô 8 ÿ 8V9A;2 ÿ ú �3�aÌ�� ¹

��W êû �TW ê

U ; ��ã/� � ø ��Ì��sÔ ø ��Ì�Ô�ãl��� æ ã�ß(�������,�����������:X����� ��%���:1��� �:� %�H����%��:1�����$�� ��� W�����$.�I�.������ ��������a��I� 1%c�������<� ��H1������������������%��.���.�H���'� �Z�s� ���.4��������[U ; ��ãl� ¹ � ����� �°��\äÍ·���T�Ïã/�¢×��/�����3�Ïã/� 5����[XY%��IW����^]`_"��ã/� ¹ � ø ��Ì��TÔø ��Ì�Ô�ãl���¢×�� �I�����¤ã/�Q�I�C)a�����]ãW�M�.�F�S 9'%�N��'� ��$�� �.����H12�.�c1��� � ���

ø ��̤��Ô 8 ÿ 8V9 ;2 ÿ ú �3�Ï̤� ¹ Ô �

�°��\·Í³���T���W êû �TW ê

] Û _ ��ãl������ � �°��\èÍù���7�¤ã/� æ ã�ß�s�<9'%���1���%���4�&���<�����')���� $��������<%���XY�.� �H���<���<XY%����W���� ø 5f�s�<�����')���� $��������&��4� ����%����&� ��� �$.%��� ��H1�����&���P���N��'� ��$�� �.����H����c)��������c12���Q1������ ���c���#���&XZ������-%���H�� 2 ÿ !.�H9'%� � û êcbed­5

�s��� ��$.%������ �������� ø � ��1�%������� ��4�.K`����� ���12��� ������������.�')���� $�����I���%���Xv��� �H�d�gfih�j�kmlI��5n|%������1��� ���|��\���.�¦��� XY%��� ,����f�I�-6���������� ��f6�� ������������� �|����<�����������������'� ��������f���<��Xv��� ���'� ���

½�½

Page 5: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

�����'���I�'���������]9'%G��G� ���'� ���~� �G1�%�������]� ��1� ��� ���'� ����Xv%�����������Ë���.� u k r k ÷po q m�k ÷ 4��FK?�b��������������������N���S ���H�&� ��$�%���.� �������� r � ��5f�T�#$������� ���¤���&� ��$�%���.� ������#� ��� ��Ê��?K`�H���#���&� ��1�����,������I�.�')���� �$���������5¦�Q%������&���&XY%��IW����#���C) / �M���&��1� �W�'��H�.��F��.�d���c����� �P�S 4������H���'���N4�%������5¦ef�.�c�?K?���&1����D������&� �$�%�����'���I�&$.�a�����I�.�&�-%��� � � �.� ø ��̤� ¹ útsTuwvyx ê ý _Zz �°���¬�`�S ���������� �����'� ��'%���<��1����W�'��H����V1"���8 ÿ 8:9 ; 2 ÿ ú �3�Ï̤�Q1��.� �{\ ¹ ���M�H!�ªD5

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(���d)���,H9'%��H� ��42���H�.�~���'1� ��� ���b�����~Xv%���������I�b12��� W����������~��H12��� ��'���d%��d�H������.�P���H�/%��I� �.� � �������<���UD�.%�� ���� �'12�'��I�&���|��������\���-1� ��1��<�����:%��<Xv%����W����:����12��� ��'����|�� ��H1�����H���'� ������:%�:���.�-4��-����)+��� ���4���|Ì~}ñ ÌR×�|c5R6��F�S � ��� ������9'%� ø ���\�/%12��� 1"��� ���W���������������.�|����a���1"�� ���s�°�����ÏÌ�×Z|¦�Q!������ �������aÌR×Z|f�I��&�����#���&���.� ����W����#���H1���������&���'� ��� ������H���'� �Z�

���²ß �.� ø ��Ì�� ¹ /ÿ10�û /

2 ÿ ú �3�aÌR×�|¦� ����� 2 ÿ ¹ �|

�4 ø ��á�� ú �*Ô+�Ïáa×Z|f� æ á2ß

�Q���#�������H1"�'�����H�.�c������� ��� %���Q���&� ����%���W����#���N���H����%����W����#1������H%�d�.� �H��N��%�����9'%����Q���.��$����%���5Ø7�������� �Ð9'%��V1������ô%����� �¬���Ð�����$��� %��|ä����4"���H���d�.�������,����#�I���������d��ÐXY���I��%����������

�³�%��� �1���.�c���P����� ���c��]� ×Z|Q5¦¥¤12���� ���H���c9'%�N%�d�.� �H��N���.��$.���%���|7ñ d � �N�.1�� �+�'��H�H�&%���)+��� �����������������ô�°!3�����������$��.�H���'� �J9'%�J%����XY%����W�������V12��� W��������V���&����`1"�I����'��V������� ���.� �1��� ���.�������,����G���.�8� ���H1"�I����� %� ���8���[����������I����� �� �.�F�S ���H���8���'�����G���.�8XY� ����%���������� 5\ef��� ��� ���G�L����1� ������ ��� �¤�°�D5«���Q�/�N1%�I��N��� ��� �4���c�����&�

ø ��Ì�� ¹ ]�w�+�

��� ÿ � ú ��� ÿ Ì�� ��������ã/� ¹ � W ê

û � W êø ��áD� ú �éÔ|á'ã/� æ á

��������� ÿ ¹ ��]:!�] ¹ � ×Z|Q5f�T� � �<���Q���.�H�<%���<� %��&�&����G����&�����:����%���<��P����$�� �.�é�P!]��%��.����|Lñ dL�Ï4��FK`�#���.�������������N�.������%��.���.�N��&� ��$�%����� �����V� �&���42�&�������������J�����.�H����[*"íC�>y�JEFï�ì7A=@�î.>�=?> ; @MíC�î

ø ��̤� ¹ /û /

ø ���'� ú �3�F̤� æ � ����� ø �3�'� ¹ /û /

ø ��áD� ú �éÔ|á��'� æ áaß½ ©

Page 6: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

6����NXY%��IW���� ø � �Q���c�������H���°> ì�î;�*YC�>y�HìDAFì]A�=fBDCDEF> @*=?>T��� ø 5R���NXZ������-%���N���Q��')���� � W����H���'1������/� ø�����H�3%���3�/%12��� 1"��� ���W����_�����'����'%�L�°��'� ��$�� �.������������¬�`���������1�%� ��� � ú �3�WÌ�� ¹ ���.�+�°�����F̤�\Í�� ���s�°�����WÌ��I5 �T� � �.�VX����� ��%���.�V)'%����).�I� �L� �I���I���� ������1������LXY%�����������V��'� ��$.� ��4����������� ������I���)+������c��'� ��$�� �.4������~�����#� �����������d��%�¢���&�H������c� ��$�%����� ����.�d���c� %��������'� �:�gfih�j�kmlI� �I5

ef���b�����'� �D�����Ð���T����� �d��H%���d)W�.� ������d������� �d12�'����H���b1��� ����N�I�.�H�d���'�����~��H���.�~� ����%�������������`��4')'���� � ú ûMü�ý²þ � þ�� � �����������F̤�s! ú ûü¢ý²þ � þ�� ����� �°�����WÌ��I�+� ��'� ��� �,�������s��� ú ûMü�ý²þ � þ�� ú �3�F̤� � 1��.� �1� ��4����9'%�����[� ����%���W����3���]���[���I%����W����3���������������~1��.� ��%���[)W������������������ �[�I�.������������������µT��Ì�ࢣ�� ¹»ø ��̤�c���c1��� �bã Ü £

µT��Ì�à?ã/� ¹ /û /

úFûü�ýZþ � þ�� ø ���'� ú �3�WÌ�� æ �ß

¥0� �&� %�� ���� %!��&���#����������W����V��� ø !��/�&���&1������ ú ûü�ý²þ � þ�� ú �3���'� æ � ¹ ú ûA�¢þ W x ü�� z ×Z� ½ �Ïã���)Ë������ ���Ñ��tj���hÏ�����D5«��ªD5���ª.� �M� �N������$.�H�H%���&� ��1����I� ���'������W����d������c� ������������

µT��Ì�à?ã/� ¹ �� ½ �¤ã /

û /úFû x _ û � z þ W x ü�� z ø ��áD� æ á 1������ ã Ü £'ß

Ø������+!Ð����$c�%��1� ��4�����&���������'� �����������������-���H����� �������-�����-���� ��� � ���������-!V� � �.��� XY�.� ��H�.�����|���UD��%� ����|%�� ������<%��<XY%����W���� ú �éò��|12�.�|�������<)+��� ���4���Z5fef���|�?K?���H1���D�P��� �G� ����������

ø �3� � à � ê à � � � ¹ /û /

/û /

/û /

ø ��á � à?á ê à?á � � ú �*Ô|á � � � � ú �*Ô|á ê � ê � ú �*Ô|á � � � � æ á � æ á ê æ á � ß

ö � �N��������N%���&XZ������-%���H�����H�&���H��� 1��� �&���&� ����%���W����#���N���&���I%����W����#�����¤���������Q��� � 5��1R�S ����$�� �~�Q%��.����[� ����� � %���.�3����� ���~1�� �.4������H�.���[���[�H�� �H�[����%��.��F��.�3�����T���������~���3����

�H������¦�L����¦�����&1�����������.� �.���.��� � ����%����������0�����%�� �.����� �H�°��4� ���������¦12���f�/��1��� �.��F��.�&��Q)+��� ���4����� �1%�����������8� ����� �����.�R!������ �����.�R� ����GXY%�����������R�L��.�R�����&1����?K`���|�°XY%�����������R���n|��� � �I�*�+��� �L��.����������� XW���� ������ �s��� �Z5«� 5�¥��3����4��.� $��[)'%����)��]�[�'��%� � ��~���T�H�����$����D�s���]�'%��)��[���'���d�/�]���� ��� � �.�����[�����������H����.�-������������ 5#�T� � �[� ������]9P%��)����~���?K`�����.�H���'� �������3����������'������� ��� %����������� �6���$���4� ��s��������9'%��c�.��� �&�b9'%�c� �'��b�&��� ���,c� ��ô������ ����b����$���������,��b���H%���b4��� �c��� �������� �&���*�Z���N�I%����� �1%�����8� ��Xv��� ��%������������������~9'%��G�����Ë�.%����W)���������� ���Ë��8%����������&��� �� �H�~��%� ���.�.K`%��'��������%����� �1�������)������ ������.����Q����H���� W����H������N1� �'��%�����H%���N4��� �Q��� ����$��.�����*5����+!{� =?C�>I= �Hì�;G=?;�f=�ëE��> ì.ïé=?;����X`5�� §&��jE��G��G^�^ ^�¡¢©���9'%�-���P��������������� � �:�:���H����/W���������������D5�6��F�S 1"�����?K?���&1����:� ���s�°�����ÏÌ��!������ �°�����aÌ���� �.�Ð�.%����W).�I������� ���]�°��%� ��Xv%���������I� ������¦��12���������.�N����������f����� �)+�����J� ��$�%����#���V������ 1��.�I��&)������ ��� ����¤��N�����cXY%��I�������c��N12��� ��'���H%��D5

½Z�

Page 7: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

$ �|¥��-�&������R����� ���.�F�S �D���.�R´�����%��������8���I%����W����������'��������� 5s4�R�T�'1���������R9'%c��Ë���f���'��I� �.� � ���������NUD��%�������

" �H¥�����%����)W������������������ ���°����� �������:���I�.������������9'%����������I�&12��� ����%����:��������������12��� �� �)+�����%������'� �.� ������I�"��� �$�����!H�'%�����XY%��� �-�������*5f´����H�.�/��� ���Ë9'%��8�I����%����9'%�����\��� � ���'����12��� ����� �������¤����������*����H� ���&12��� ����%����H�I�c12�.�/����)W�H���d���'���H1%�P���D5p�Wef�.�c9P%c��N� �b���I�N9'%�b���H)������'��������#��������������c���c������� �Z 

¡ �|�T�'1���������R12���R9'%c��\�.�P��� � %���.�R���������H12������� %� �����-%�-�a�����������%�!���Xv� ���'����� �����/�2�����������H�������H���'���N���� ���.���&�/�N��&12����N�I�#��������Ú�µ�ò�¢� ¹ £��M�����£¢�����H���� �H�.�é5

¤ �-eT� ��4���c9'%�b� ��$c�%�d�����&�'�������H���N��� � �H� ������F��.�s����¤1������H�����H��b���H�����H12��� �.� %� �H���N%����� �&12��� �&���������N������ � ���'���N�H���H����� $.�H��I�¤������H12�D5¥�H¦N%c��N�'��%� � �N���#���&1��a��.��� ����Z 

§ �|ef��� � ø ��\1"��� ��'����%���D�W���.�����.�f� %��H���H���'�������Ë��� ����-���.� �F��� � ����� �4©¨ ø ¨ êF�W�I���D���� �&�������-���������'�I�������'� �������UD��%������� 5G(�������,�������� � �������¢���1��.� ��1�����4��.��9'%�������%������ �����R�&���H���'�����N��� ����d����c��N���&� ���H1"��� ��� %� �&�/����&1�� �N������ �����Z5c�°¥�%1�����$��.�/�N���&�I�.�')���� $��������.� 5

ª �[eT� ��4���-9'%��« ø à�¬ ¹ �4 ø

����������%��1� �'�%���� �����/���.���.�-��������Xv%������������-�����'����P%���

�����������I���������&1����?K?��� �~����12��� ��'����%��D5deT� ��4����9'%� ú �3�Ï̤��� ���3��� �������.� �H�.������!Ð�����%�����9'%��2 ÿ ú �3�aÌ�� ¹ ­ ÿ ú �3�aÌ��~�����3�����')���� $���������%���XY�����H����%���[XY%����W����3�����'� ��'%�©® 2 ÿ ¹¯­ ÿ1��� �H���'���a��� 5Q��(8�����������#����¤����� ��� ���������&���NUD��%� ���� �I5° �J(��7�H�'������[1�����%� �4����V�gfOh�j�kml���1������[���[�����H12��� �.� %� �[���7���T��'� ��� ����b���]���±Pc���� � �d�

1� ��XY%��������VÌ ��12��9'%�MO���������<9'%�&µT��Ì�à?ã/�-� ����12��� W����������I��ã&���12��� ��'����%�����°%���aO����-1"�����XY����������~�����G��� � ����������� ��!J� �~������$.�-µT��ÌRà?ã/� ¹ ² ÿ ��̤� ú �3�aã/�G����� ² ÿ ��Ì��c������� �.���]1��� ��Ì Ü £D5´�����%���� ² ÿ ��̤� ¹ 2 ÿ ú û

_ x �t³ � z � ý 8 ÿ 8 ������<����%����W����:�����a���������I�P������� 2 ÿ � ���:�����|���'���������'�����|���UD��%� ����c�������&� ���H1"��� ��� %� �&�I�#���H� %12��� ����� ø ��ã/� ¹ µT��£²à?ãl�Q!����¤� �$.���µ´ ���c������¶�|5

· �¸�8�������.�����'1��`�S ��������&�I�'����µ���ÌRà?ã/����%������_�I�»����1�� �.4������H���.�'� ��� ������ ��� �.�H� ø ��ã/� ¹� ���s�°���Ïãl��ÍN��� �¬����V��� � �V�&�'����1������¬��')'���� ����!_1��������)���� ���������� � ��� 12�����I�­�Ðã ¹ � × ½ !ã ¹ ª'× ½ ��� ��� 12�������)+���&���P����� 5�´�����%����G9'%�b���.�8��� ��������������G���H�������%���[���.�[���]�H�� �H�]��'� ���� ���������.�¤�H�� �H�H������H12�&���d���H� %12��� �����N9'%�N���d���¤��'� ������.� 5

¹ �b�c�.�H1� ��4���|9'%��Qµ���Ì�à?ãl� ¹ �º ü�ý�� /4 ú û x _ û » z þ W x ü�� z Ô ú û x _�¼ » z þ W x ü�� z ø �3½�� æ ½��'�I�.� ø � %���I����'���I�&���'� ��� ��$�%����� �P� ��� %�����)������<�I��%����W����J�����Ï���������|1������bÌ~�^X £²à¢Í¾d��|4��FK?�<�����Q������������������µT��£'à?ã/� ¹ £H!<µT��ÌRࢣ�� ¹ ø ��Ì��I��Ì Ü £D5

$ ¿ �L�Q���&1�����4��.��9'%��VµT��Ì�à?ã/� ¹ /ÿ`0 � 2 ÿ ú ûDý²þ`ÿ²þ�� � �����3���Ï̤��� ������/Xv������Xv��� �H�.���&���'� ���������%��.��F��.�3�������������.��1��� �[���L�`)W�.� ������.�:ÌÀ�ÁX«£'àF��YT�����3���'� � ���&���V� XY�W�S ��� ��µ��°£'à?ã/� ¹ µT� �Ià?ãl� ¹ £D5�Q������%��������� �4 µ���ÌRà?ã/�� �I���3���Ï̤� æ ÌT������������ 2 ÿ �I�ÐXv%����W����Ð���&���#� ���&12��� ����%����d���������� ø ��̤� ¹µT��Ì�ࢣ�� 5-¥0���N12��� �4����Z�¤�����Ð���#�+!'%���#���&%�Ð���������������N� � �.,I�.�N$��a���������b��bµô1��� �#��Xv��� ���'� ���� ����&12���c��%��.���� ø ��̤� ¹ � ×+��Ô ¨ Ì�Ô­� ×W� ¨ 5$ $ �J¥ 2 ÿ ! ­ ÿ � ���7�����~���'����������'� ���~��]UD�.%�� ����b��� ø !

��°���]1"��� ��P��d%�����I�s���.�����.�~�����

���'����������'� ���c��NUD��%�������c��¾]���Ì�� ¹ �4 ø ��Ì�Ô�ã/����ã/� æ ãW5

½ �

Page 8: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

 Á�ÆaÆ2ÃMÇ¿�ÈÄÃÅN%Æ

�����"1� ����������8��� � �~XY�����'����1���.�

´��N���&� �I����W���� �Ç P���� �&�P������.�H����D5Ç �T��%������.�����c��N���&������4�%� � W�����5

õb����I��������� �Ç 68����.���� ��cUD%������.���.��!µPR�����W�S �H��N´���/��� �4�%�������I�c���#�����R��������H�Q%�����'������D5Ç �G������c����%� ���������� 5

È É0� � � F ! G%Ê ! ��ÉË� � l�G°� ÌÍF�Ò-Ê�É�Ò-F°Ò-Î��WÒ-Ê�Ï � F�ÊIÒ-ÎËG°� ÐÑ�Ò�ÓÕÔ ÖÕ×:ÔaØ�ÔaÙ5Ú�ÛwÖÕ×:Ô ÖÜÔ ÓOÛtÝOÞ`ÖßÔ ày×:Ú�ÓÕÚ�×:ÝHÓÕáÕÖwÛwâ+Ô Ý�áßÚ�ØHÔyãËàEÛtÒ�ã¥Ô ãËÒ�Ý�äÒ�ãV×:ÓÕ×:ÓÜå�Ò�àyÔµÛwÝ�ÛwÓÕÚà Ú�ÝEáÕ×:Ý�ÛwÚ�æ�Þ-Ú�ÖAÔ ÓÕÔ�â+Ô ØH×VÚ¥Ô ÓAàçäÚ�â+ÚpåHÒ.Þ-Ú�ØH×VØHÚpÖßÔ%Þ1ÖÕÔ ÓÕÔ Ý�áßÒ�ÖAèßÛwÝ�à ×:Ú�ÝHÔ ÓAØ�×:ÓÕà Ú�Ý�áß×VÝ�ÛtÒ�Ówé�êH×�Ù�Ú�ÛtÖß×VÔ Öã:Ú�åHÒ�×:Ý�ë�Ô ÝEáÕÒ�ØHÚ�èßÛwÔ�Þ`Ò�ÖßÒ�ÖÕÔ ÓÕÚ�ã:ë�Ô Ö�ÛtÝ�Þ`ÖßÚ�ìtã:Ô â+ÒíØ�Ôçè�äî ÓÕ×Và Ò�ï�ÖÕÔ ã:Ò�áÕ×:ë�Ú�ÒíãVÒ-Þ`ÖßÚ�Þ`ÒTð�Ò�à ×EäÚ�Ý�ØHÔ ãEàyÒ�ãVÚ�Ö�éêH× Ô ÓÕáÕÔ¥Þ1ÖÕÚ�ìwãVÔ â�Ò&ÝHÚ&ÓÕÔcå�ÛHìt×:Ô ÖÕÒ�Þ1ã:Ò�Ý�áßÔ Ò�Ø�Ú�Ý�Ò�á�ÛtÖßÒ�ã:â+Ô Ý�áßÔ ï.Ý�ÛwÝ�à Ò&ÓÕÔcåHÒ�ìwÖEäî Ò&Ú�ÓÕÒ�ØHÚ&ÖßÔyÓÕ×:ÓÕáß×VÖÒ�ã�à Ú�Ý�áß×VÝ�ÛtÚaÓwÛwÓ�ØHÔyÖßÔ à�åHÚ�ÓÕæËØ1ÛtÖßÒ�Ý�áßÔÜâCÛwà�åHÚaáÕ×:Ô âËÞ-Ú�ïÅáÕÚEØ�ÒwëBäî Ò�ïÅÓÕÔ¶å�Ò�ìwÖ�äî Òaà Ú�Ý�ÓÕ×:ØHÔyÖßÒ�ØHÚ�Òaã:Ò�ÓèßÛwÝHày×:Ú�ÝHÔ ÓÅà Ú�Ý�áß×VÝ�ÛtÒ�Ó�àyÚ�â+Ú+ã:Ò�ÓñäÛwÝ�×:à Ò�ÓÅë�Ô ÖÕØHÒ�ØHÔ ÖÕÒ�Ówé-òôó�õ�ö`÷`ø ù�ú�ù�ø

½ �

Page 9: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

Ø��#���N��������� ��� ��#�����&1�� �.� � �H%�Ð��� �R��������N�0%��#�f��.�H��� �#��$��� �.�é�¤4��� ���#�������/�&%�Ð$�����42���12�������J� ���V1��.� �#����1��� � �&�������H���'� �.���������&Xv�������N��%!��J�I�'������� W����V���Iû%ü�ý�þ�9'%��<����� � ��� 12�.���������¦Xv��� �&��� �J±Ze��Tõ �°� ��$G�%��V1��� �����Z�Ï� �I�W�S �J�L��.�N1�����1���J��������N±ZUf^ Uf� 5a���#����,R����V���<�/%V��� �� �����'� �1� ��� �I�����<���\9'%���12��� �&����������� ��� )+���|%��-�I�.�������:Xv��� �.$��a�������-4���� �����'� ��������1� ��4���������:��¢���� �����Q� ���&�aO��N� ���������)+���&�I�'���Q12��9'%��PO��N!�1"���0�����'� ��� %�� ����1����4������0��Q�/���¦� � �.��� �H��������0�����&� �.1������,Z5�s�[9'%�����+!V���3�I� ��������¢��I����������%���[)���� � W����3����� �������[!V�����&1�� ��&����������������'���������'���������UD��%� ����0���� ��� �������0���|���XY��� ���'�����0� � �'���� �.�0���Q����XY������$�� �.X/�S �D5�6��W�S 9'%�Q1�%�����Q9'%�Q�����0����� ���L��.� ��������&� �� )+���J1��� �<�����D�P12��� �<12�'����H���|� �����4���|12����j�ÿ�� p�wYt %���<Xv��� �<�����:42��� �<�����'%���� � ���&1��� �?K`���%� ���P���Z�Ï�����H����������N���V�'%��� � � �J���� ���J��%� �J%���J��&��$����V����¦�'%���)��J� ��4� �������#� ����I����V� �.�H����������%���8�R����&��� �8��$.������*�W�8� �����'���������8������������P%��� � � �81� ��Xv��� �����/�����Xv����� ����� �I��%���������.�+�+$�� ���������&9'%�������$�%����#���'� �����W��&�����Q������������.�c��� � %����.�����Q���#���&��� �$����� %� �&�T��%��.�I�������c´��XY��� �������������c!6���������� ��cUD%�����������¤�H�����0�.� ���4������G�����*5

����1� ��H���Ë��%$����Ë�������� ���H���Ë9'%c��8���\%���XY�.� ��$�����X �S �D�²�~1��.� ��� ���Ë�L��.�\�&�'����� ���� �²%���~XY�������$.��������,�������5|(8� %������&���P���~���8%�����I���2����$�%����]XY�����H�����12�.� o"w�� j t ÷ ����%���������������� � ���������]%�������������.�c������������c��N%��#��������� 5f���������L�����������H���'� �N� �N1%�����N������ ����� ���c���.�H�H%�#XY%����W����

�è���­Ô¤ñ ) ����� � ¹ �yX 2 à ­ Y^X ² à æ Y���� ê à��� �$������������ o"w�� j t �3�là� Z������Ë� �����2����$�%������ä���������������&���là� Z�I5d�������I�.���.� ���-� ����� 12������������1"���� ��������� u j ÷ �°���-�����'� �����:�������.K`�D�P).��� ����!]�.,�%��a9'%�������'� ��������� �'����H�'���-9'%�����+!]���sò����sò���� ¹� � ���Z�0�D� � ��������� ���|��Xv��� ���'� ��� 5f�T�:���ÏXv��� �&��� �-±²eT��õ ���+!]%��:��� ��� �.�H����'� �<1� ��)'��<����Ï���.���.�N��� ��������%��:������4��<������'��� ��I�������|�-���.�|�����.�H������|���'��� ���������.�|������%�H����������-!]��� ���H���������.�12����9'%���������/�������$2�S �������'%���/��� ���FK?�����.%�� ��9'%���/���.�H��������1�������:������� � ��$�%����H�?K?�.��%�������������� ���c9'%�N�.� � �.�+5fef�����H���4������ ����c��N��� � ����������������������������&��$.���H���Q9'%����'%���� � ���HXv��� �.$�� ��X �S �H�������4����������!#��I$.� �D5c´������'���������.���I�.���.� �������'� ��� ������I���a���������© � ������� ��� 12������������������.������$����� 5Ø�%�H���a��.����������0�����"Ô<���.�]�����$�� ���¦�������Z�H��4���.�������¦� �Q� ������Ü) ¹�� Ô<���.�'à�Ô<���Z�²àIß�ß�ß�ࢣ'à�ß�ß�ßIàF���Z���M5

�Q���H��1�%�����~���.42����1��� ���������~����Xv��� ���L��.����X �S ��������������������,�����9'%������� ��� �D� ��� %�42��)'������Q� �����2�����$.%������ ���¬��%����� �.���� �.� ¸ � ��#���� o"w�� j t�÷ 5��s�V� ��� � � �����W����¬���� �V������V%���Ð���������.�G���c%��� ÷tq �! �k uxwvu kF� ø]¹ � "$#/�9'%�N���d����K`��� $��H� �N�������H� z²p�u p¾qMr�wvu !���9'%R�S ������.�H����.� ���H���� ��H1�����&���P����@Fï�C%'E=I5pP��'���.�G���������c� �N��� ��� �.�d��N���H�&�� �&�HXY�.� �H�D�M�.�F�S 9'%�N� �N1�%�����N� %12������ø � ¸ Ô¤ñ ) ����� ¸­¹�� £²à.�Ià¢�'à�ß�ß�ßIà����& � £'àF� à¢�'à�ß�ß�ß�à��'� ! ) ¹�� Ô<�����²àIß�ß�ß�àF���Z�'��ß

��)'�����'� �b� �'����8��� � �.�81"��� �4�����8Xv%������.����� ø 9'%��b��������� �H�����[%�[4����'9'%�~1%�������[������'� �������� � �N�I�.�d%��#� %�42���.�.K`%��'���]�������� 1������]).�I������� �����¶ ¹(��ø � ¸ Ô¤ñ �M50���H9P%�N)W���&���G�H�����������T����������0%���N4��� �*)V���¶�!-���I1� ��� ���'� ��� ø 12���0� %��0���'��� ������.�����0���H���l���N4��� �Z5R68� �$.���.� ���H����&�������&�������H���'� �&��N���&4���� ��%��#�b�%��&��� �&9P%�N�����9'%�N���&���� � ��$�%��4���N9'%�N���c�&� ��&1�����)'�� ���D�M!������&����������H�������������'��� ������.���.�R1"��9'%��PO��������T���.���������&���P������12�'���G)P�� �4������ �+�8�������.���&���������.� ���H��������#�H������c1�� ������ W����s5f�c�.�d��� ���b���� � �.���&���N�����c���'��� �����������c12��� ���� ���H�.�G��XY�.� �H����W����#������� ���

½ Ó

Page 10: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

�� ø �Ï12��� �J��12������N�������� ���H�.�N���.�N������4�����N�J� ��H1���<)'�� ���D5��T�N����I�� �Ï���4����I�&���N������ ��$�%����%���H�����H1� ��� W����d� �.,I�.����4���b�������� 1��.�I��H���d�H���&��� ��H9'%��N�'�I%1�]������H4����'9'%�b!Z�12�.�G�����'� ��������H��$.���d����� �.���&5

´������������� �� �ð UD�����H���#4���������H!����$�� �åÔ¤ñ �è���­Ô¤ñ ) ¹�� Ô<�����²à�ßIß�ß�àF���Z�'�ð n\���'9'%�N���N�+�� o"w�� j t ÷ Ô¤ñ ø � ¸­¹�� £'àF� à¢�²àIß�ß�ß�à���� ê Ô¤ñ )ð 68��������� ��c�����¤4����'9'%� ø Ô¤ñ ���'1� ��� F��.�d�� ø ���d������ ���H4��.� �+)�����¶ ¹(�.ø � ¸ Ô¤ñ �ð �Q���&1�� ��� W���� Ô¤ñ ������H������W����#�H�H�'����������W����#���N�.��$.%�����c���'��� ������.����� 5

�s��1�� ��$.%��'���:���� %� ���R�����R��.�H�:��� ����$.�I��%���:4��� �,)���H¶]5��T)P�����'� ���H���'���-���+!d�����������12��� �4������������ �P12��� �<4%�� �����&���Q%���<9'%���� ���<������I%����D5f�s�<������<1��.� � ������Ï����������� ��|����UD�.%�� ���� �9'%��#���.�]�����#9P%��� ��%�����9'%������7Xv%����F��.�ù��� �PO���.���H12��� W���������Ð���#12��� ��'��� |è� �d1%�I��d���'1� ��� ��������H�H%���H� %��&�]9'%�,f��H���������H���b� ���������$-FÌ�×Z|¦�c!������ �����$-FÌR×�|¦�c�����d������ �����G���'����������'� ��� 5T´���H�'��<9P%��1��� �<%���<XY%��IW����:����������&����X«£'àE|¥YÏ���&� ��� �������UD�.%�� ����|���Q� %J���'� ����/W����J1"��� W��.������D5¥f�/�.��� ��������&������� � �è�%��� ��H�:1�����1������������+![)W�.� �������� �����������1��� �J%� �����a������:�/��������:�I�.�/���������H��[��b��%���P�����G� ������ÌHÍI�T×W�.� ¹ �����²Ì¤� ����]��%����1�%����b� �I�7�%� ��������H1%� �������������H���'� �Z�!:�����%��12�'�����������$�������� ��1�%����:����������� ���-�������.�P).��� $�����I���������� ��� 12��������������� ��� ��:��:UD�.%�� ����%�/%���*5bef�.���?K?���H1���D�a%���JXv%����F��.�V����������:�I�ÄX«£'àE|¥Y¦� �<���'1� ��� �J�����H�J%��J� %��&�J��<�I�.� �I������N���&XY�.� �H�&����� �3�$-a��Ì<ͳ�I×W���¢×�|¦�I�M�����J�I���� �����Q�I�'���������'����� 5¦ef�����&�I�'����������Q�I�Ï� ��� %����������&�&�������&����� �������c4���� ���H������ ����� ���Q1�� �'�%��������c���N���.�/������c��N���/���HXv��� �&�D�M%���H12�.�c������H)+��� ���4���²5

���¬�'%���� � ���Ð�I�.� �^| ¹ �Ð!��a������Ð9'%�I�����H���H�����.���,����HXv%������.�����H���� ��� ��� �.�+�T�I�H�������� ���������Ì�à?áD� ¹ ���0à�.��Í� ê 5f¥�¤���'���HXv%����������� �N�$.%��.��9'%�N���#�I�¤����� �&�����'� ��'%����M���.�cXY%�����������

/1032 ���0à�.�� ¹ ����� �4-� � �����:ͳ��� ò+�I�.� �45

� � �°�6.åÍù�����I4"���F�S �d����N��%�$��.�b�#%���#4��.� �²5<�Q���� � ���&���'� �H���¦��� $�%�H���'���d���'����� ����N�I�N�a������d%�Ð����)��H����������[%���[�+!'%���[�[�'%���/��� �[��'� %���F��.�s5�Ø8�I����� �� �.�H���~%���[1� %�I4�[� �$�%� ��� �D5�7a�+� É0� Ê�Gßl�G'8�:9 " # ¡ #) ¹;� /1032 ��<0�= 2 0 4 =?;HEFî�ì©@.ì�; =<A=b¶ ¹>��ø � ¸ Ô¤ñ �1DaR&=CSs=�ëTSCÐ=?;HEFî�ì�@Fì�; =�C�>���CZ?�C.î�ì.ïcë?C�î> =?;�f=�ëE��C&ì�ï��>�CaA�EëE��C[=?; ë?ì�ï�ì�>@?`E.; EFì�ïBA

« ø à�¬ ¹ <

ÿ = C 0 4ø �3�¦à�.��

��3�¦à�.��lß

L&Á-MON QT�Q�����bXY%���F��.� ø �жù9'%�����b��������� �H�������b12���T� %])W�.���.�����]����� �.½ �������H���'� �.����� ¸ �12���T� �.�'� �b�����¶ ¹ ��½ �Z!<���.�H�D)�E�¶ù����� ¨ ) ¨ ¹ ��½ ��)7����%���b4��� �G� D!<�a������~� D� %���������&���P�����

©�£

Page 11: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

� ����������������H���'����������12���������'� ��� 5cef��� ��)���� ����4��� ���������&1�� �.4����89'%��~�/�.����� � �.$����������� �"!���9'%�����#�I� �N����� �

<0�= 2 0 4

F 032 / 032 ¹ £ ® <0�= 2 0 4

F 0G2 « / 032 à / 0IHJ2KH ¬ ¹ £ ® F 0IHL2KH ¹ £'ß

Ø7��.� ��� �N9'%��N1��� � 2 � �M£¾b ¨ 2 ¨ bè� � �<

ÿ10 4����� � 2� � �°����Íù��� ¹ �G� <

ÿ`0 4ú � ýNM x ê ÿ ¼ � z W��PO ¹ �G� ú � ýNM W���O <

ÿ10 4ú � ýNM�ÿ W3� ¹ £'ß

�������%��� ��H�N�$�%�������.�H� �c� �$�%��Q���Q���bX����� ��%����N1��� �N� %��&���T%��b1� ��$.� ��� F��.�H$������ô������ ����b�N%�� �.���������c1� ��1����������G��N�����c� �2�S �����c��N���&%������.���I5¦ef����� �������H��N���HXZ��.� ��%����H�������H���'�����

�0����� �$- �� � �����¦Í:��� ò������ �$- ê� � �°���0Í:��� ¹ ����� �Q�B- � ÍQ- ê �� � �°���0Í:��� Í������ �Q�B- � ÔR- ê �� � �°���0Í:��� à� ��$c�%�����G���'���I����.�����Z�/%�H�.�����C�J�I�.�~£�ST- � à3- ê S¸�G���²� ��� %����������G�����'%���G���'����1����8� U- � Ô+- ê ¹ £D5�Q����4���������- � �V- ê !��71"���W5 � �V5 ê !X.��²� �������%����������������� �)W��9'%��ñ« /10IYL2KY à /10 þ 2 þ ¬ ¹ £-���'����1����� �- � ÔZ- ê ¹ 5 � ÔR5 ê ¹ £�5

Ø7�������� ��9'%�£« / 4w4 à / 4�4 ¬ ¹ � ê ¹ ��½ !ô��I���R�������%����������������H��� � ������W����L� �������%�����9'%���������Ë� ��� � ����:�����-����� ����« /1032 à /[0G2 ¬ ��� ½ ò'��� ½ ò ½ ��I1"�������I��������� W-Ð�\5|� ��������� ������D5(���H������/����%��������H����&����������H���G���0A�=?; ì�> >�C�ï�ï�C[A=|BDCDE.>�@é=?>~=?îd; =?> @*=NA.@�; ë?> =E��ì[A=Në?C�; =?î�C�;&�gk Ò.���§&� �W�AF�ÒB��G°�I" # ¤ # '@ ø �ж =?î.��C�î�ë�=?;

ø]¹ <0]= 2 0 4

FU032B/1032 ë?C.î FV032 ¹�^ 0 ^ 2 « ø à /1032 ¬ ë?C�î ^ ÿ ¹ � ×+�h; @ � ¹ £� × ½ ; @ �`_¹ £

���Ð)���,H��H$�%��.� ���.�b�����b)W�����.� ���~��H�����b��������� ���b��������.�����b12�.� ø ���Ð����� ��½ �������H���'� �.�b���¸ �D12�'��I�&���������H�.���I����8���.�����'�I�������P����� FV032 �"12��� ���������I���������'���+)��S ���������H����$.�����.����������D�� �$�%������ ������� ��½ �b�%�H��� �.�+�2���I��%� �:����12�����I�a1"��� 9'%�<���.� FV032 ��:� �������'� ������������$������� ���*�2!d���$�%��� ���� �����c���#���H�H���&��� ��H��� ��� �����H��N%���H�����&1�%� �.�������H12��� ����H���c�������&������� 5

���"���.� ������� ������'����� ����Ë12�����H�� �8���'1� ���/�.�Ë%���4���P9'%� ø � ¸ Ô¤ñ )³���.�H��%���~� %�12��� 1"��� ��IW������� %�H���]��[������Xv��� �.��4����� ����.������� � ��� 12��������'�������7������ � �.���³�%�����1���������[������Xv%���������I�]���a)c5�Q���H�J���'����������� /[0G2 �Ï���'���I1��� / 4�4 �Ï���������V1� ���H�����J�I�����D�Ï� �'��������/������XY��������4����� ������ �Ï�&�I�������d1� ��H��� �D�¤� �H)����a����Ð�����H�#%��Ð��%����������d�����0���������N����� � ��� 12�.�����I�'���H�d����� �7��%�7$.� ��b�H������.���%��.��������/�����H���-� %��������'�����H���'� �����?K`���<��� \���������H�.�<%����)'�� � ��12�'������$�%����5�ef��� �������-�L����

©D�

Page 12: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

��� �������� ������.���B-�!R58�H�+!���� ��� �]��?K?�.����[��� � ���$.%��� � �d���'�����+5��Q���ô%��ô�?K?���&1����79'%�I����a��Ð�L����������� �D5f�Q����� ����� ���H���c�����c��%�����������.�

�s�.�<� � ���<1� ��H��� ���<� ��1� ��� ���'� �����³�%��� �1���.�<���:�����<Xv%������.�����<4��� � / 4 ü � / ü ü ! / <P< 5V�&��I�'��� ���9'%��N���]�%��� ��H�H���c%��d��%���� ����H���N���������c����� �D50¥��&�� �.�H���c����� ��b���?K?�.���°9'%��,R��H�H%�����G�&��� � �.�/����R� ��� ����� �:!d���R��%��.� � ��1������I�����a��.���$�%�������+�Q%���:�&�����l���:$.� �� 5�´���� ��-�-%�¢��:�L��������?K?�.��1�%�����9'%��N������$.%����H�.�G�H)����G���¤�/��$.%�����H�$�%���*�!:��%������H��12������G12�'����&���G���/�����$�%��c���.�G��%��.��� �.����� �� �'����8���.��1��� ������� ����� ��H������ ��� 5Q�T��������������$�����I�8����XY�.� �H�.� ��±²eT�Tõå�I� ��������%���� �������� %�����I�� ���N�H������ ���N!�1"���N� �.�P���#���¦��XY����� �#���N�L����N����%� ����7��������L����N��9'%R�S ��� �2��#���H12��4� ��������#1"���N���12�'���H���.�������#���N��H1� ��� W����#!�12��� 9'%�N� �I$.%������H���'� �N���¤1��12���¤��H��� �a��&4������9'%���������I5

�s�J���������%� W����V���N9'%�&���V$.�I���� ���f���J1��� �J������J$�� �+)��<�/f�����H�������H����%��V����� ����12��9'%��PO����� F <P< !���9'%� / <P< ����� ����� �����$�%������H��� �����-�������XY%����W������'%����5f�T�2��� � �.�\9'%�����.�\12�'����H���12��� �&�����c��� F ü ü ���c�H������ �M!���� F 4 ü �H������c���'���+)��S �D5¦�����c�l��������c����¤±²eT�Tõ � �����M�����&�H����������������a���� ������H��bak wvrDu�c4d k u k�e m p o:dZw?ygf4��o j m ux÷ih m�k q�o �I��%����0���'12��� � �.�09P%�b�ß�+�+!P%������.�012���04%�I�����`)'���I�'����� �Z W���������&�����������������%�����.�������.����� � ��� �������'� ���������L����'��H�.������������:���'���������'���<���H�.����� �:9'%�<�:� ��H1���-)'�� � �:��:�/�-���.� �-%���$�� �����I�.�-4��:�������:�I�.����������<���:��H�.$����s5��c���&����ô�I�c��%����7��d���7���Xv��� ������ ����7!���������aO����]� �'��7���42�d� ������]%��ô�����4�� �d�.�H1%������ �D�����/������b�%��H������������������� ����� ��� ��� �G������'�����������&��ë?Ca=�jsë?@*=?î.� =?;�A=Gë�E.ì�î.�°@Kk�ìDë?@íC.î��Z!<���~����4���bXY�.� �H����~1"����������.�c�&ìA��> @KkHA=Në�EFì�î.��@Kk�ìDë?@MíC�îs5¦¥%#����������F��.�#���c���J1�� �����1��&��� 4���� ������&1"�I���&�I�������Q� �������H�������.�

l ¹ú 4w4 ú 4 � ß�ß�ß ú 4 <ú � 4 ú �w� ß�ß�ß ú � <555 555 5 5 5 555ú < 4 ú �w� ß�ß�ß ú <�<

¹

� � ��� ��£ � � � ½ ½ £ ©D� � ���� ��� � ½ ��Ó � � ©�� � £ ©�©� ½ ��ª � � � ½ ½ £ ©Z� � Ó © �� ½ ��� ��� �.Ó ©�� �Z� ��£ � ���� ��� ªZ� © � � � ��£�Ó ��£�ª �Z�� ½ ª�© ©�© �.½ ��� ��£ ½ ����ª Ó��½ Ó ��½ ��� ��� ��£�ª ���D� ����£ ��£D���� Ó�� Ó�© Ó.� �.��� ��£�£ ��£�ª Ó�Ó

ß

�s�H9'%��N� �������H���'���b� �b�����H�.�I������°��b�H�.����� �H�����H1� ��H�����c���d%��d��¢��I���¸ûßü�ý�þJ���H� ���d����� FU032� ����:���:1��.� � �-���'� ��� �:�� FU032 × ú 032 9'%��-�'��%�1�:�-%![1"�'���J�&���H��� ��D�2![9'%�<1��� �:������XY���I��%��������������� �.�H��-à350$����������� ������I��<$�� �.�������12��� �4��������.���������<� �����I�����J12��� 9'%�<����� ú 032 � �����I����� �<����� �$�� �.������ 5s��)'�����'� ���H���'����%��~��¢���� �89'%��� �������-%�¢���������� ���s�I�s�/%� ����1����4�������� ���������&1�� ��H�����������XY��� ���'���I�-����$���� ����H���-9'%�������� �:��� ��%�����2�������9'%R�S �¦�.%��9'%����/�.��%����1��.� � ��XY%������&���P�������I������P���������ËXv��� �H�.� �D5d�c%�����������-�����I$.����� ���W)\����-�������� ����%�����¢��I���Áûßü�ý�þ¤�R��I� 1%c����-����I� �����&1�����&�� ���D���'%���/��� �]�.� �����������G��� �����]���b���I���.��� � ��%���G����� FV0G2 ��1� �+�P��&�����.�H���'� �b�H1������ ����������~1������ �������'����� ������ FU032 × ú 032 5:¥��H1���I�&���'� �]�-%��� �1������������[12�.� ú 032 � �������&��� �]%��3��� �����

©��

Page 13: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

�L��.�P��&�H�� ú 032 �/��$c�%��#���¤�/�$�%����'� �N� ������������H� ��� %��������D�m ��! Ò=" # § #�'s=?ì ú � ¼ < F � Dñ'@ F ¹ ú lH� F × ú �E,�A.C�î�A=+l ¹ lH��Ì��H=?;~ï�ì±*?EFîsë?@MíC�î

ì�>�� =�=�î.��=?> ìA,¤=?î.��C�î�ë�=?;G£�S F Ô F b ú DL&Á-MON Q�´��)'��������� F ���P��� � ú � ����4� �������%�����'������P�������P����� ��n<!#%��� ��� ����£oS¸�[b ú ���

XY�.� �H�&9'%�� F ¹ n ú Í��a5fef���c�����'��� ú lH� F × ú � ¹ ú n ¹ F Ô©�25Uf��������&�I�'���Q������ ���������.�0��1� �+�'��&�N������N4���'9'%��Q��Q���N��&��$����&12��� FV032B/1032 ���&��� � � �.����

���L1���'��������������$�����%!ô1��������I����������Xv���������$���������,I�.������� �$�����.�é5 ���T� � �����'1������.��F��.�L���:%��12�'�������/9'%���L���������D5è�T�L� �����������L���.�J��¢��������� ûßü�ý�þ������'����I����L� �.�-4I����L%�������.42������� ����������Xv��� �&����W����J12�.�Q�?K`���H1���<�.�I�����I�<������<�&��� ���,������%���'� �,�����W�����5f6�����L����|���J���<1��a��.��� ����<���J������'����������W����d� �N���&1������H���HXv%����W����Ð=�î.��=?> C�� íì�;~ë�=?> ë?ì�î�CH���d).�I,N��N���H1��� ���N���'� ��� ��� räÒ.� � 5

���R1� �'�����/�:���� ��� �� �:1��� �:���:��� ������W�������<%����¢��I���eûßü�ý�þ��:1��� ��������-%���:XY�.� ��$.� ��X �S �:� �1%�������I�'����������\�����H��%���������� ����-���XY� ����%����������\������&����������I�.� a� ����H1� �������\�H�+!������I� 5 ���� �������%��7�/���%��.�IW����ô9'%��d� �[����1��� �d��������� ���]�����'� ���'����� �def���]�-%!�4������9'%�[9'%��� ���&����$.� ��4���%��� ������D�D����812�'�����&�����.��)'�����8���~�����8XY� ����%����������8�H�+!���� ���89'%��~��£0£�£.£qp�âH12����9P%�~9'%��,R�����'%���� ��� ��12��� � �����-$�%� � �����212��� ��� %�1"��� �����'%�I� ��� �����)����R��-�.%�����F��.����� ����%��� � �.�/�.������� � �2�:1"�����%��¢�������������.��9'%��89'%��������H���Ë����Ë��%����12���`�S �I%�����������Ë��������� ��� ���9'%��81� �W!.����� ���H���Ë�����Ë%���� �����)'�������� ���\12����9P%�����.�|��� 12����� �.���������|��-)W�����-���������\� %:���'�� � ��������J�°�-���-� ���\9'%��������� ���&�I�'�����H���� %#��'������� ����.�d!�� �N1"����$.���#�H��� ������ � 5

�0�����&���<����IXv����� ����I�������� �������:Xv� ����%����������<� ��4� ��%������&��$�����9'%�:������'���I�&���<4����s5

���:���<1� ��H��� �<��H��$.���J� �����.�J������&�������<���'�����|����� FV032 �I�'����1� � F 4w4 �°���/���<���|�����H�<������$���ú 032 ¹ ��© � ! ú 4w4 ¹ ��� 5¬�T�ô���7� ��$�%����Ð�/�#�������%!����ô� ����4I���� F 4 � � F � 4 � F ��� ! F 4 ê �������ô�����%��.�Ë��������������.���&�?K?������� ����� �4�����&�I�'���Z5[�c�.�H1��� ���������� � ���-������$�����I�-1"�'�����H�.�-��1� ������.�-���

©�ª

Page 14: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

� ���$�%����� ��������J����Xv%����W�����4��� � / 4�4 XY� ���'���J�.�|� ��� �������:����� /1032 5Ð68�|� ��� / 4w4 ������ � �.�P���Z�¦�I����d1�����&��� �d��H��$.���7������d4����'9'%�]����I��H���T���������b��H� %71� ���&�I���d!����T� ��� %��������d���b�I%4�� ���d��`��%���� ����� �����D5b��������� � �.� /[0G2 � ���V�.�/������������ ��������<1� ���&������J����� �J![� �� )�����1������J� ��1� ���/���'�����������)W������.����.������9'%������.����%�$.����������������� �.������� 5G�������~K?��� $����.�R%� �D�"���R���'���������'���-�� / 4�4 � �-����������H�H´��b�!��.�����I� ���H6Q�~5M�T� � ���c6Q�³!�´����/�$.��������.�d���H�H�� �H�&9'%��N���d����r w e dRs k t u p e'j\�&�I������Q�.����&�I�'�������� ���Q����'%���� ��� ���Q��� 12��� �� �)��.�Q�����I�����a������I�.� �M1%�I� ���&9'%��� ���J�����|�/�$.���.�Q��� qQt u j m r{¥q m¢m�j rDu !�t w m�j y u�{Ëq m¢m�j r�u �°�I)'�����'� ���H���'���²�M������� ����P���N����� ��� ��H!����.� � ����'� �N�����'� ��'%��� 5

�������#� �$�%����P���&��&��$����V� �&������ ������ �.�V� �'����N����� FV032 �����V£�Su-à35 b ½ 5~6ó12��� ������&� ����%��������H���'���#���V��%��.� � �V1������ �#��#�����H���'�I�������'� ��� �����Ð���.�������¬���H4���� �����'� �#�.�I��1� �.4����Z5�ef�'�����H�.�#12�.� ����������J������ � �.�#��XY���������#������������12���J�?K?���&1�����9'%�������� /1032 �����v-�12��9'%�MO����1� ���/����� �.�­1"�P���.�#)+��� ������������J�������,��.�P���������J!_1"���J�����'� �����1"�I���H�� ���L���� � ��$�%��:���������������J���L�I� ��������I����W�����5 �Q���H�_� �3)��3���ù��� �%���� ��&�_��H��$������N���'%��������_���'���.������� FV0G2 ���'����1����_������9'%��� �������w- ¹ £����/�#����$�� �Ð12���������H1����I���� W����ô���ô�����H�`�S ������]���� �,����'���������]Xv� ���'� �#�7���Ð)���� ����I�.���I� 5

´��]�P%��)��d���+!�9'%��]���������~���7��%����'���[9'%��H���d�����������7���]��&1�� ��� W����_��!�%�7���$.�I���[������� ����1� ��)'���1��� ��12�'�����-�&����1%����������.�<��¢���� ��� �-1"�I�°K?%������������������� � ���&������������������������������������L���$.�������c� �.�¤�I�.�H�H�.1��������I���#��9'%R�S 5

© ½

Page 15: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

$ �-¥��d�H�� �.�c���H�������W�S �D�¦���Q^`��������c1"���c9'%c��N!����d9'%c��N� ���'� ����H�����cXv� ����%�����I��.�G$�� �.������G� �� %��������-����� 1� ������.�f���-���MXv��� �&��� ��±²eT�Tõ�5+4�f�T�'1���������R1�������9'%c��\� �� ).�\�����H�.� � �,\��\��%����'���,�����F��.�s5

" �¾�����������Q���.� FV032 ��N%���&XY�����H9'%�N������� ���H��N%��#� �����H1%��'���D5¡ �{�G��12��� ��N���¦1�����4������H�J���'� ��� ����N1��� �J%���#� ����� �#���� �,����'�����*�¤� ��H1�������������#���¦�L��.�'��&�

����� FV032 5¤ �d´����H�.�/��� ���~9'%������'������������)+������� ����������.��XY%����������� /[0G2 �3�¦à�.���� ��1�%����I�3��������%���.���

1��� � ��0���Q����� �3�0×M� � �0��XY������%��.����b�a������N� %��&���T� ��� � �.�T!-��%������1����I�.����.����� 5\��(���NXY��� �&�b���.�H1%��������������.���H���'� �·�%� ��|���#�.� $�����,����H�����&��12��� �.����.�����H��Ð��%$����&�V���V������'�����VUfU¥Pyx p�÷lu xRk q m w j mi�m p�r�÷ �k�mz�ç��Ñ � ����� � Ò.� �I5

§ �\eT� �.4�����9'%��� ²���.�R4���'9'%������ %)'���� ���* {| o"w�� j t ÷ ���~��%�$.���������c�D�+���'� �.������� /1032 �3�¦à�.�� ¹����� � ý 0ê�} �����#Í»�����fò.����� � ý 2êJ} ���6.äÍ �����8������-�à35�� � £'àF� à�ß�ß�ßIà� �Ô³�6�P�"� ���F�S ��%����4��� ������� ��$.�����.�R��¶]5p�8��������� ^ ÿ 5ª �7¥�%12�.���������3%���4����'9'%��[���[ª~¬ª o"w�� j t ÷ ����� ø �3�0à�.�� ¹ Ô<������� Í�0à�. � � £'àF�6�V!ø �3�0à�.�� ¹ £:� �� ¹ ���D. ¹ �D�a��������%���.������� FV0G2 ����������4���� �������R1� ��4���I�&�:�.�P����� ���� 5C�8���������� �.�-4I����V���.�N)W�.����� ���N�� ø 9'%��<� �&� ��������/��� %��W�S ���V�/f���J�H�.� � �,&��&��%���'� �,�����W����V��%�)'���� � ú ��} ¹��£D���fÍI�¤Í� Z� �Z�là� O� � £'àF� à¢����!�� �N�I%���'���,��.� �H� ����������������&���¤���'� ��� �&�L����c����� ������D5

° �GeT� �.4����¦9'%� ) ¹��G� 032 �]<0�= 2 0 4 ����� � 032 ���0à�.�� ¹ ú ����-5�GÍ~5�.��¢×W���f���0%����4��� �Q��8¶ ¹���ø �¸ Ô¤ñ �M�Ï![9'%�<�I������� ��$.�����.�¦���.�V���f1�� �'�%������J��� ���������{« ø à

�¬ ¹ ø ���0à�.��

����0à�.�� 5a�8���������

����XZ������-%����1����������.� FU032 !d��� ����������-��������'� � �.���.��$.%����)����'� �FK?��!#����$c�%��������+)��������'���-� �)�� �� �����H1����,��H12�.� )c5· �¾�����������Q%���HX����� ��%����H1��� � <ÿ = C 0 4 � ø ���0à�.�� �¢ê����#����I���H����.�c���N����� FV0G2 5¹ ��e�� �.4�����9'%�� ��� 032 ��O0]= 2 0 � �I�.� � 032 ���0à�.�� ¹ � ��� ý 0 ÿ< ò+� �I� ý 2�C< �I��%����4��� �8��� ����$�������

��I�¤� %42��� 1��.����&����¶·XY�.� �H�.���H1"���c�����cXv%������������c9'%�N� �N���'%������#���#���¤42��� ��N��� ¸ 5$ ¿ ���c�����0�%���I� �T���G� ��� ������UD�.%�� ����Ë����'��� �'��%������G���b���G� ������W����~�.�P����� ���� �����T���GXY%����W����b1������ �

XY����������.���.� ��D5R�c���&1�����4��.�Ë9'%��8����� �I����8��������')���� $��8��4� ����%������H���'����!&9'%������£�![�c��"� �9'%���� ������')���� $.�d���Q)W�������H��d���ÐXY%����W����ô�����&������Ð���c�`�S �H�� �#���#�����]� %�H���H1��.� ����.���I�H����� ¨ � ¨ S \7�\ ñ d­5|���T� � �-1�� %��4��-���.�|��XY����� ���|���$������)����|$�����4�������|9'%������������J�����|��� �I�.�'� ��'%�������I�|� ��4� ����3� ��� �����[UD��%� ���� �\!¬����Ê��?K?�7���.��������������I���������8Xv��� �&��� �3±ZeT��õ �.�8���XY�����P����� � �[�342�.� �������4� %1������ � 5

$ $ �¬´����� ø � X«£'àE|pY�Ô¤ñ � �V��������Ð� %����'������� W�����1��� øI� ��X Ô�|TàE|pY�Ô¤ñ �����&�ø6� ��Ì�� ¹ ø � ¨ Ì ¨ � 5&´��.����d12���N�/%1%���� � �.�~4%�I����b1� ��1����������~��H�����')���� $��������d���H���d� ��� ��H���UD��%� �������� ø6� ���ÄX Ô�|TàE|pY*�a�����&��� � � �.��9'%� ø ��Ì�� ¹ ² ÿ ����� � ý.ÿ� Ì���1��� �HÌ^� X«£'àE|¥Y*5b�Q�������%���9'%��Z�04�.K`�V4%�������&���������������I�&��J�����')���� $��������D�01������ ø �cX Ô-� ×W�'àE|�Ô·�I×W�ZY8Ô¤ñ � �J����I��ø ��̤� ¹ æ ÿ �I�.� ýFÿê � �°� ÌHÍù��� 5

©�©

Page 16: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

 Á�ÆaÆ2ÃMÇ¿�ÈÄÃÅNgÃ

�����"1� ����������8��� � �~XY�����'����1���.�

´��N���&� �I����W���� �Ç �Q���&1����I� W����#XY������� ���¤��N��L���$�������c!������ ���c�ô������'�����c��N�����&1�� ��� W�����5Ç P�� �.� ���&����'���H!������������/��c��N� �MO��������� 5Ç �T�¤1� ������1���H��N�������� �����%��4�� �Z5

õb����I��������� �Ç eT� �.�/1"�I�����������c$������W���$������� 5Ç �T� � ����� ��$�����c���#�����c��1%���� �����c9'%�������`�S � � ������ 5

È É0� � � F ! G%Ê ! ��ÉË� � l�G°� ÌÍF�Ò-Ê�É�Ò-F°Ò-Î��WÒ-Ê�Ï � F�ÊIÒ-ÎËG°� Ð�ËÔ áÕÖ1äÒ�ÓcØ�Ô�ã:ÒOÓÕÔ Öß×VÔ�ØHÔ�Ù5Ú�ÛwÖÕ×:Ô ÖÕïËÚ�áßÖÕÒ�ÓcÓÕÔ ÖÕ×:Ô ÓcÒ�Ý�äÒ�ã:Ú�ð�Ò�ÓcåHÒ�ÝµÔ Ý�áÕÖßÒ�ØHÚOÔ ÝµãVÚ�ÓcØHÚ�â+×:ÝH×:Ú�ÓØHÔ ã.Ò�Ý�äÒ�ã:×VÓÕ×:Ó��[ãVÚ�å�Ò�Ý�åHÔ à�åHÚcÞ-Ú�Ö�ã:Òaâ+×:ÓÕâ+Ò+Þ�ÛwÔ ÖÕáßÒ�æ�åHÒ�Ý ÓÕ×VØHÚa×:â+ÒTð�×VÝHÒ�ØHÒ�ÓÍÔ Ý ë�×:ÓÕáÕÒ�Ø�Ô¶ÓwÛwÓÒTÞ`ã:×:à Ò�ày×:Ú�ÝHÔ Ówé-òôóËõ5öB÷1ø ù�ú�ù�ø

© �

Page 17: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

(���<������.�|����� ��%�4� ��H����'� �.�|�I����'�W�S ������|9'%�������:���Ê%����<�L��.�Q��a���� ����I�.�H���'� �����:�'%���� ��� �)'����]��������������]���G�I����~�����G������.�8��������� � �.�H��$��c���� ������ 5����� �a���������.�H���'� �b����¢��]��I� ��%4�����&��I�'������d������)c��d�d����42�±�<5������ ��,]���7%�71� ��H����).�[����4"��� ������� ��d���_���.���D��!�� %7��1���������F��.�71��2������ ����d�������� ������������%������������������XY%�-��4� �:����$�� �����H�������:��-õ�5"���.� ������*�2�:����4�������:���'� ���<������� �$��������^J�­!����<5Zef��������X/�S ������&���'� �8��� �������4�F�S �~�/���~12��� �4����8� ������"�&�'�������~� �R���� ����~��'� � �'�%�������1"���±"5 �b5������'ÙË�������������Z��ªD5��T�N� %bXv���H��� �Q� � �.� ����<�gkQ�¤�2����� ��� �42�0�&��'%������ ���H���'� �0���'12������&���'� ����!� ��� %��������������'����� ���� ��� �+!���I� 1%c����s����1��� �������.��12���s�������ô��I���'���.����I�Z�����1�����'� �T����.����%�����¦�I������� ������%���������.��1�� ��&�I������1�� %��4����������� ���.� ���H�����¥� ��®�������� �2��������gkQ�¤� �I�"���.��� � �.��� XY�.� �H���I�������XY�.�H��� ���b=�ë�EFìDë?@�C�îs=?;~A=���ìZ��Ë=?ï�ïé5

�Q���H� ���� ���:������-���Ë��%�$��.�-������I%�����1��� ����� � %���.�-����������� �'���������H����D�f����-����H�� �������H�����%������I� ��� �12��W������ �.�H��� �����������H1����� �����~����� ���%��.��F��.��X �S � ������°)\������ �d��� � jIm � jI�RÒ.�|1��.� ��1������XY%����,���� �I5»�����:�����&12���:���I������ � �����!ô�H��$.�c����������� �������������� ��� 12����� �)+���H���'�����H�����.�'� ������XY%�����.�����c)������ �.� ������I� ¢lè! ¢��5¦���H1�����1���H����!���b�Q��%������4d���#�I�¤����� �H��� �2���� ����H!Z�M���d��%����9'%���������� �D�����P1"��� ��H���'� ���T��%�!-1� ������/�.�+����%���� � �����]9'%�G����Ê%.K`�b�����������H1"�b���I�������� ����~�N� � �+)\�������c%���� %�1"��� ������H����� � ����d9'%�H���#���������� � �#����� $����b���b�'%���D5 ���� ���d���b���#ï*= <�A=,�QìDEF; ;W5&�T�Ð�D���� �&������H�.� ���L��.� ������ �M���d�.%�� ��������H��N����� $.������²ß ª.� � ¢l_ò ¢æ�� ¹ £ 1��� � � � %12��� ��I��N����� � �.���'ß�T�/���-���|����$��-���F�S �����&�<�������|9'%��� a��<��+!]XY%���'� ���|������.�H12�-���I�������� ����<��'� ��������� �'���<9'%�����'��� ���� � 12���c%�#���.���&�/�.����12���c�.� � �D5

�s��� ��������W����&���'� � �Q���M�I�.�H12�����I��I����� ����N!~�I�M�H��$.�G���� ��������0���+!��R�S �N4����&�I�.���'�������12�.�0�&�I�����I�¦1��������1���#���&���#�������&�D5<6��¦1���� ���N%�Ð��L����Ð1"���N%���#���/1�� �#�������%�I����� ��|­��1��� �����&%�������� ������'���\�I�������� �������������I%���������1"���f�������D�F!b��%���'� ���L����f���1����� ��1���� ���&���f���P�������-����%���'� �.�¦��������H������81"����$.���H���G���[���]�/%12��� ����� � 9'%�~����H����]���]��� 1����D���H�+!����G���8���]XY%��� ,��]����������� ���&��� � �,����%�I���D5

N

S

�T�/�����������12���� ���J9'%������)+��� �����W����L������Ê%.K`����������.�H12���H��$��c���� ��������J1� ��1"��� ��������.����������� ��%�������W����#�����¤�����&12�H���I������ ������H1"���c���H��� 1�� �D5f���#%���HX����� ��%�����

ææ ã

� ¢��ò ¢æ'� ¹»º �¢l�ò æ ¢5°ß

�Q%����������PÊ�%FK?����%��&���'� �D�F�������� ��%������F��.�<���I������ � �����)+�����-�/���'����������$������)��D�F���W�S 9'%� º b�£D�F!b� �©Z�

Page 18: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

����J������$�����<�����|%�����������|���J���a¥��� � ���&�<^`�'����� �������.���.�Ï���Xv��� �&�<9P%� º ¹ Ô<��5R���:�����������)+�D�� �N� �����N���<ï*=y<�A�=|BDì�>�ìDA.ìH<����<=?î>�<Ï�

���²ß ½ � ææ ã

� ¢��ò ¢æ'� ¹ Ô �¢l_ò æ ¢5 1��� � � �/%12��� �����N�I�.�dXv� ���'����� �{|Tß

�s���TXY��������H����������I������ � �������!-�H��$��c���� ������T�/�.�]���������� ���~�&�'���b� ������� � ������ �Z!-���D�$�%���D9'%�G�������!<��c�Q��%�������4H�I�.���%����c���°�D5«ª�� �����b����!<��c6��&1����� ���x����1��������<���[FgjI��G��R�D��� �$.%��������b�b�����'ÙË�����*�������� �H�����12�.���.�0�H�.$��c���������.�/�H�°����� �Q� ��4"�Q� ���'�� � �������Ñ[�Z��1�5���©Z�D�.�������%�����&������ï*= <:A=��|ìDE.; ;ì�> ì[=?ïTë?ìZ� 2C��&ìZ?�î~í=E��@*ë?C"�

���²ß ©.� � ¢��ò ¢æ'� ¹ £ 1��� � � � %12��� �����b����� �������²ß

ef���&�������V��V���H���'��� �aO��V9'%��J� �J��%��&1����V���|�����������$��V��Ð���D5 ½ �&��%��9'%�J�����/�J1%���������.K`%�� ������ ��-%���a���������H���'�������.�\%���������� �'�����&���������-9'%������¤Ô<�8���42��� �����H1���.,���� � ��12���\����� �-���.��� � �.�'� ��L��.�QXv���D�P9'%����� ���<)���,����Q12�.� ����)W�<!]������������ ���&���Q���.� ² ê 5f�T�/����������.���.$��<��H�°�D5 ½ �\�/���������H�-ï*= <A=��C���� =?> =�����ì����Ë=?ï�ï��H9'%�,R��H�L����c1� ��1����H���'����ïé= <�A=���ì���Ë=�ï�ïé�

���²ß � � ææ ã

� ¢l_ò ¢æ'� ¹�² ê �¢��ò æ ¢5 1��� � � � %12��� �����N���.�dXv� ���'� �����{|Tß

´��������� ��� %12�����9'%�����<���+!]����� $��.�b�°����� � ����'� ��� �|�.� � �+)���� ������ � 5f�T�J�������������:���/���<����%��.��F��.�������X/�S ����²���T�����H1� ��4���s���'12��� ��H���'� �.���&���'� ��1"���s���²�W�S 1��I�.�H���'� �T12��9'%��PO�R�S �/��&�8)+�������s��� � ¢�]ò æ ¢5 5���.�'ÙË�I���M�����I$Ë�������������������/����� ����������M����� �����<9'%��|���4R�S ���I�.� $����¦���4����I�¦!~1� ��4�������9'%�|� ���� ���%��&1������� �-���D5 � ��������%���������� � �.�'� �8��� 12���P�S �����D�²����������$�������� �.�"���~�/�8���.��� ��� )+���F�S �d���[FgjI��G����¤��� � jm � jI��Ò.��5�68�I��%�����H���'� �b� �b�������'���b9'%� ² ê ¹ � Û Ó��Z� ½ ò��£1�POW�����]��� � ��&����F��.�[��b�����'ÙË������XY%�b����$��12�����]�gkw�Ï��5C¦N%�,R���12�����������������W��.�s�"�:���'��� �W!.������:� %����a�S ,-��%�������������2��%��¢������/��12��� ���������a������N9'%��N��H���c%���H���.��� � �.�'� �N�����#XY���D5

´������������� �� �ð �Q���H1"���c���I�������� ����H!��H��$.�c���������åÔ¤ñ UD%������������c)���������� �������� ¢lè! ¢� 9'%�N� ��� �� XY�.�����3�°�D5«ª�� �

�°XY%��� �H��N�����c����� $��.� � ���D5 ½ �I�¤���D5«©��Q!��°�D5 � � 5�0���&���G�H1�����4��.�G9'%�b����I��� ������.�H���'� � ¢lè! ¢� � ���d������� ����d�I�¤�/���'�����H���N9'%��b������H%���

���� %��|�����H1"�������'�����Q)���� ������.�J���<����%����F��.�J������������ 5f�Q���J��� � �����J��� ��� �4������H��� �P���Ï�$.%����a9'%����,��&�����'ÙË�����*����.�G����%�����������G�.�'� ��� ���� ���c���#%���HXv��� �&�H�L����c� ��'�����������D5

©��

Page 19: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

7a�W�AÉT�AÊ�G%l�G'8�:9±" # ª #Í's=?ì�î ¢l ¹ ¢lH��Ì�à?áaà�âZà?ã/�c< ¢� ¹ ¢�]��Ì�à?áaà�âZà?ãl��*`E.î�ë?@�C�îs=?; >�=�ëE��C�> @�ì.ïé=?;�>I= ?DEN�ï�ì�> =?; ¢l~à ¢�m� � >�=?> @Kj�ë�ì.îsAFC�� �ADK¡G¢�,i� �AD¤£]¢�,¥�!�ADK¦G¢µ<§�!�ADK¨�¢�Dª©�î.�°C�î�ë�=�;~��ìZ�[@F@²í=?î_; ìA�°@�;�*YìDë�=?î_ï�ì�;=�ë�E.ì�ë?@�C.îs=?;~A�=���ìZ��Ë=?ï�ïT=�î *vC�>��HìdA.@�*`=�>I=?îsë?@�ì�ï

���²ß �.� ���) ¢l ¹ £'à ���) ¢� ¹ £'à Ö ¢�ֲ㠹 Ô�� �.� ¢l~à Ö ¢l

ֲ㠹m² ê � ��� ¢�-ß

�<A= �èíì�;[ë?ìDA.ì�EFî�ì�A=&; EF;�ë?CZ��"C�î�=�î.��=?;�>�=?> @Kj�ë?ì�îôï�ì_=�ë�EFìDë?@MíC�îùA=&C�î�A.ì.;JÖaê?µ�×�Ö²ã�ê ¹ ² ê¢Î~µAFC�îsA=QÎ =?;~=?ï¤CZR=?> ìDAFC�>cï�ìZï�ì�ë?@�ì.î�C�ÖÏê�×�Ö²ÌRêRÍ_Öaê�×�Ö²áÏê�Í_ÖÏê�×�Ö2â²ê�D

L&Á-MON Q\681������������H���¤������� ���H�&���N���H��)���� $��������&�[�°�D5«ª��Q!����D5«©��Q� �N� �����

« ��) ¢l æ �¦��� ¹ £ ! « ��) ¢� æ �0�.� ¹ £

�������¬�h���<����� ��$�W������a�����������������������1"��� � 5��Q���H� � ���<����4��� ����� ����/�������%��������) ¢l ¹ £!���) ¢� ¹ £�5

^ �'� � �'�%������������������� �)+������4�.K`�����P� �$�������'� ��$������P���J�°�D5 ½ �R!]���D5 � �I�F!N��1������.��������'� �������I�&���N¥�����®����

� Ö ¢�Ö²ã ò ¢æ�� ¹ Ô ������� ¢l�ò ¢æ'� ! � Ö ¢l

Ö²ã ò ¢æ'� ¹m² ê ��� ��� ¢�Lò ¢æ�� ß

6��D1��.� ����� �'��~�~%��]�H����-4� �D�Z� �8��������G9'%��G�����ËÊ%FK?�������Ö ¢�-×.Ö²ãÍ�� ��� ¢lù!<����Ö ¢l~×�Ö²ã"Ô ² ê � ��� ¢�� ���#�'%������c�&� � �+)\����c���N��%����9'%�����c� %12��� ��I��Z�M12���Q���H9'%��N�.�-4"���c�����H1"���c����42���#� ���c�'%���.�+5

6��'���I�c��N� ��$�%��Q�H�������.�������I�&���c���H� ��������W�������²ß �.� Î ¢�ôÔ¬ÚJ�°���) ¢��� ¹ Ô�� ���� ��� ¢��������d���c����1�����������7�.�I�¤�%��Ð� ��4� � ¢� ���'�������������7�Ð���'��� ���������D5¬e�����4��� ���7� �#� ����%���d�Ð%���R�������%����H���������� ��5

6������� �)W�.��������� ��� 12�����������ã�������%��� ��������%����W��������:�°�D5ô���8!#� %� � �� %!����������������� ����� �D�"� �� �$�%�����²ß Ó.� Öaê ¢l

Ö²ã ê ¹ Ô ² ê � ��������� ¢l�ß�T�H1�����.������°�D5«���0!-��) ¢l ¹ £b� �Q������$��N����&������������H���'� �Q�b���N���I%����W����H��c������.�+5�´��c���b�&��/�&�XY�.� �H�D�.������� �)W�.�0�����&� ��� 12����� �����TãT����� ��� ����� �N����%����W����&���b�°�D5ô���¦!�� %�� �����%���¦���N��%��.� � ����� �Q������$���[�°�D5«Ó��Q����� ¢� ���#��%$����Q��� ¢lH�M!�12�.�c�����'� � ¢� �����-4I����d� �.� �� XY�����N���H����%����W����d��N������� 5

���·������ª¬���.����V��� �P�S �¬����4"���#)'�� ���¬�'%�����¬%���¬�����¬����������� ���&��$��c��I������D�812��� �¬���.�'ÙË�I��������FK?����%��a��[9'%��� �]����$��aO����4���31"��� 9'%�����[��%�,]��� �[%���[������[��������� � �.�H��$.�G���� ����D5�¥�%3���.�.K`��� %� �

©�Ó

Page 20: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

)����R�S �H�+)+���������&1"���Q���¤����¢���&���9'%������&)������P������� ² ������.�c� ����%�I��.�����Q�������&�I��%����W����#��N�.��������� �V1�����I�����V� ��$c�%�¬� %�&�R�������%������d�°�J��c����'����I��� ��$G�%��������&�.�I��%�����I� �<�V����)������'����������J������%�,Z5�Q���­���¬�&��9'%����� ����H�������L���������¬�������%��.�������#12�.� �4���V��I�%����J1�����1���������� ���1� ������#�����&����V���Xv� ������W����¬�V1��� ����&���J�����&���I%�����������H��J�����'ÙË�����-��§&�Z��53ef���&����� �V������D�T��%������©�8�I��� ,��I� ��%4���F��]�����81� ��H��� �.�8������.�8�������I��� ���&��$��c���� ������8��')'�� �4�����+���������R��]1��.� � �b���b�/%�8��� Xv%���� ,����G������H1� �.4����Q���.�c1�� �.1�������.�����c9'%�N�I�.�H1��� �W�S �.�d�����#���H��%,²�M���#��� 12��������¤���&� ��Ê�I�'W�����5

ef��� �����'1�������������9'%c���� ���'�����������:� �.��%�����������������������%�����W����_�������������� �����.������:��)������'�������� ² �Z�FKM����&�����.�����]��������� �b���c%���b���H����� W����H�I� 1��������*�Z���]����9'%��c���b����%�����W����H�/�c� ���%����� Öaê`µ

Ö²ã ê ¹�² ê Öaê?µÖ²Ì ê ߥ%d� ����%��F��.�d$.�I���� ���¤���µ ¹ µ � Í7µ ê ����� µ � ¹»ø ��Ì�Ô ² ã/�là µ ê ¹

���ÌHÍ ² ãl�

������� ø !�� ���dXv%���������I�C)~ê���� 4�� � ������.� 5TØÐ���� ��� �N9'%��b���H$��a��.�����H���Gµ � 1��� �~ã ¹ £]���.��������

������������� ø ��1��� �Jã ¹ ���/�:��� ��� ������ ² %���������<��������I�����¢������1��.� �#ã ¹ ��� �:� ����� ���.����� ²%����������� �M��� �Z5¦�s�H�H�� �H�H�'��%� � �N�I�.��µ ê � ����)��H9'%��N������ �H���H$��a��.�����H)'��.K`�H�H���H�,I9'%���� ���H�����)������'�������� ² 5��T�R����� �:� � ����H����� �������R$������� ���R�I��$.�I�.������ ������.�H���'� �-�L��.�������&1����?K`�3��§H�����T��� � jm � jI��Ò.�Ë¡¢��£��Ë12��� �-��%��.�������� �)+���H���'����� ��H������ �R%�ô� 1�%���/�.�-9'%���1��.� �-12���\������ � �-1%�P���-����� ��-�I������I$.���8���.� � �]1�%�'� �]�/���%�������]���� � �.������ æ %������I�&12� æ × ² 5|ef���G�?K?���H1���D�D����� ����%��F��.��$������� �����%��.����~µT�H¢Ì�ࢣ�� ¹ £H)'�����N���.���H1"���<�gfOh�j�kml��

µT�H¢Ì�à?ãl� ¹ ã û � ø �H¢ÌHÍ ² ã�¢½�� æ�� �E¢½D�

�������&���J��'� ��$�� �.�¦� �&���'� �������&�J���J���/Xv��� �J%�������w­�¢½�­ ¹ ��5~ef����� ø ��%!���������I�'��� ����#���V������ �$������M���¤����42�&���GãG� ��$�%������c��4� ��� )W�.� ���H���c%���&������&�I� XW���� ����H���®­B¢Ì�­ ¹�² ã+5

6��2�$�%���a9'%�����:���2����� �-�������-����%��.��F��.�:��I�2���������I�'���.�|���� ��� � �.�������\���UD�.%�� ����\!H� %��\$������� ������,�������������¦�/�|�-%��� � � �.�&�����H��%�&���� � ��%��&�I�'����XY%������H���'�����1��� �������� � %�������Q�����0� ����%������������N���&����%�����W����#������������c9'%�N�/�.� �� XY�������#������ � ���c���.�����I�������c���N�����'����� ��H��� 12����������.����� 5

��1R�S ����$�� �#6 1�� �����1����]��I�c� �$����\�*� ���4R�S �7��)'�������I��.�����R���� ������]!����'12��� ��&�I�'���������]9'%��� %�$.���F�S ����9'%��J�����<����%������������&���:�����'ÙË�����|��� ���������� � �.�&������%��.��9'%��I�<� ��/�����H�������� ������N�°1��.� ���4� ��� )W�.�������I������� ��12�.�/����������)������'��������������� � ���'����� �"!����� ����Xv%�������4��� ��1��� ��������� ������W���������� P������W�S ��������� �G���������)'�����ù��7��Z�-¡z��^�^ ^�5�¥������'� � �.�<�������� ��������� �¦� %1�����$���� ��9'%��:4%�/���.�H���������4�����8��������������8���'� � �~��XY��� ���'� ���8� �� � ���H���8��~� ��XY��� ��������9'%��~���?K`�����FK?�.�����s��1"�I�������.�8����� � ��� �12��������'���b�H���H����%��.��F��.�d���N������.�+� ¹m² êlÎ ÔôÖaê�×�Ö²ã�êF����'������I���c� �b������$��H������XY����� �4�����H���'� ��H9'%�N���³�%������H12�.� �4��������#� ���#���.�c� � �.��� XY�.� �H�����������c���N����� ���'� ,Z5

7a�W�AÉT�AÊ�G%l�G'8�:9�" # ° # J�ì�;NìZï�@éë?ì�ë�@�C�î�=?;Nï�@�î�=?ì�ï*=?;N@�î.>�=?>���@7@Fï*=?;*¯ � ü Ô�ñ ü %'E= >�=?> @Kjsë?ì�î��µ Ç ¯�� ¹ � µ¤� Ç ¯^ì�> ì��°CaA.ì�µ ¹ µ���Ì�à�á2àIâ�à?ãl����)~ê�,'ë?C.@�î�ë?@*A�=?î]ë?C�îNï�ì.;|%'E�=0A=�°?ì�îN@�î.>lì.> @�ì�î.� =� £

Page 21: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

ï�ì�*YC.>��Hì&ë�EFìDAF>¦íìA�°@éë?ì ¸ ��Ì�à?áaà�âZà?ã/� ¹ Ì ê Í-á ê ÍJâ ê Ô ² ê ã ê ,Fï�ï�ì��HìDAFì�;¦� ������� Xv��� �H�.����.�����f���\�s�.� ���'� ,��$.������� �.���,������� ��D

Ø������ ��±N� ��I�'��������&�������%�������&�I�'���N�����Q��K`���c��� 1��.����.����� �M�����Q� � �.��� XY�.� �H�.�I�������c��N�s�.� ���'� ,$������� �����,������.�J� �����I�%�I������������� ���� XY�.� �H����W���������s��� ���'��,�12���:�.�'� ������H�.� ���9'%�����1��� ��������3�����~���4�� �.�����UG�S � ����¬���[F j���G��b¡ � 5 � 5:¥�$�%��������[�[�����®��+ÙQ� ®P8��9'%�]����4R�S �[� ���[1� ��Xv���/�.�����T��� � ����� �M�I� �����c� � ���� XY�.� �H�����������G� �N1�%�������d���'����������c�I�.�H�H�����c�H�+)P��&����'�����G�W�S $.������c��� ü���� �.�������%������� � �������­�`� ���������°���[�I��12�.� ����)W���~9'%��)'����������������[����� �W)Ë�����������[XY��� �&���%��.���a��.� ����:��-����1�� �.12��� ���F��.�_��Ñ�F���5��T� � ����'����� 1������ ����W�����$������ô���� � ��������-1��� ����W����������.���&���'� ���b�%� ��"������� � ����s�²12�����-������Ë� �������8� ���&��� � �a����������� ��� ���1�������������$��.�\�����'����������Ë����$.� �W)'�� �.��F��.�s5

L&Á-MON Q\ef�����~µÐ� %��������'�����H���'� �N� ��$.%������ �M12�.�c���HX����� ��%����H��N��')���� � W����

µT��¯�¢Ì�� ¹ µT� ¢�'� ú �*Ô�¯�¢Ì�ò ¢�²� æ � � æ � ê æ � � æ � ü �I�.� ¢Ì ¹ ��Ì�à?áaà�âZà?ã/�¢ß

�T�/�����4�������X¯�¢Ì�ò ¢� ¹ ¢Ì�òM�K¯ � ¢�'�Q!���1���������� � �N������$��H�

��µ Ç ¯��I�H¢Ì¤� ¹ ½ � ê µT� ¢�'�³²&� ¢�'� ú �éÔ�¯�¢Ì�ò ¢�²� æ � � æ � ê æ � � æ � ü��������²<� ¢�²� ¹ ��¯ � ¢�'� � Ud��¯ � ¢�'�8!�U �����H����� �,����.$������������� æ �w� ¹ æ ê/ê ¹ æ �w� ¹ ² ê � æ ü/ü ¹ Ô<��56��M�I�.�H1��� ���¦�����d� µ��I��¯�¢Ì��¦� �|� ������|9P%�Q���42�Q��%�H1������/�´²&� ¢�'� ¹ ¢� � U ¢�a5�´��Q��9'%R�S ¯aUX¯ � ¹ U����9P%�)W�.�����'�����H���'� �J�K¯ û �¢� � ² ê U û �L¯ û � ¹ ² ê U û �F5��Q���&� ² ê U û �N�������:�&����� �,-��� ¸ �"�/��� �$.%��9'%�� ¸ ��¯ û �-¢Ì�� ¹ ¸ �H¢Ì¤�I�M�H������4������� ¢ÌÐ12���|¯�¢ÌT� ¸ �H¢Ì�� ¹ ¸ ��¯�¢Ì¤� 5

� �

Page 22: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

� �

Page 23: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

$ �]¥����H�� �.�����:� ���.�F�S �D�c�������'1����I�.��12����9'%c��-���) ¢l ¹ £:��������:9'%�-���fÊ%FK?�:���I������ � ����:����'%�����5¦4�c´����%�����c���H����%����W�����Ö ¢��×�ֲ㠹 Ô�� �.� ¢lè�&1������ ��c��N� %d� �$�����������H���'12��� ��&�I�'�����*5

" �J�T�7����������� �'���������H����d�/�H� %������]��� ��� �4��� ¢� ¹ � �.� ¢µ ! ¢l ¹ ÔNÚ / Ô­Ö ¢µ ×�Ö²ã~�������� / !¢µ � ���dXY%�����.�����G9'%��b).�I��������� ² ê2��) ¢µ Í�Ö / ×�ֲ㠹 £H�������&������G12������������������ �I�.�����G!:12��������������)������ �.� ����*�.� ��� 12����� �)+���H���'� �Z5�eT� ��4��� �.%� ������������¦����%��.�I�������0��|�����'ÙË�����*�.9'%�� ¢� ¹ ¢£��������¢� ���G%�#�����H1"�H)������ �.� ����¤��� ü ���������H12��� ¢� ¹ � ² û � / à ¢µ �Q! ¹�² ê Î»Ô¬Ö ê ×�Ö²ã ê 5

¡ �Q¥���� / �©) ê4 !~¢�[%�<)����������f%���� ��� ��D5s�Q���H1� ��4���f9'%��¦µ���¢Ì�à?ãl� ¹ / � ² ãZÔI¢��ò�¢Ì��R���¦� ����%�IW������N���&����%�����W����#������������ 5¥PR� �.� ���Q���N���'1��������Q12���c9'%c��N� �N������N9'%�7��I� ���H���c%����k rszZp¶o"t°pIrsp 5

¤ �-¥�%12���$����&���G9'%��+l � ¹ £]!:9'%�+l � !¬l ê ���H����12��������d���b���])+��� ���4���-â5�´����H��� � �����9'%����/¤���#����$c�%�d��� � ���'����� � !�� ê �/�N�.�'%��������M���P����������G� �N�.�P%�����#1��.� �H���P��H������H12��5

§ ��¥��� µ ¼�! µ û �����<�.12��� ������ ��� µ ³ ¹ Öa×.Ö²ã+´ ² Ö2×�Ö²ÌT5��Q���&1�� �.4����-9'%�����������%��.��F��.���-������.��� �-1%�������I� ��� �4��������&� µ û µ ¼aµ ¹ £D58�T�/��� �4�������&µT��ÌRà?ã/� ¹ ½s��Ì�Í ² ã�à?ÌJÔ ² ã/�������½s� 2 à ­ � ¹ µ M ¼[¶ê à MFû ¶êJ· �²�����H�.�/��� ���Ë9P%��� %:� �.��%��W����:$.������� ���2���¦µT��Ì�à?ã/� ¹»ø ��Ì-Ô ² ã/��Í

���ÌbÍ ² ã/� 5

ª ���T� 1� ��� �I����������%�������/��� �4�%��W���� ���.�P����'%���������.� $���� �b����1�� ��&��� ������%�����W���� �����.�'ÙË�I���Ï���42���H�'��������� � ���<��) ¢l ¹�¸ û �4º¹ ������� ¸ 4 ���Q%���<������ � ���'����! ¹ ���Q���<��I�� ������:�������� $.���°�I�.� $��]12���G%�������[��~)�����%�H���� 5\eT� ��4���G9'%��~���[��� �~����� � � ¢l_ò ¢æ'� ¹(¸ û �4 ¸ ������� ¸���c���H����� $.�H� �.� ���¤�������� � ����H12���Q���H� %�1"��� ������N����� � ���� � 5° �8�c�.��� ��c������I� �c���b����%����W����H���c�������T%�������&�I�� ������.���I�H£�S�Ì�Sè�|4��FK?�N���.�T������������.�������������'����� ��-µT��£'à?ã/� ¹ µ���� à?ã/� ¹ £�1��.� ��� �'��-ã¶� 5|eT� ��4���89'%�����Ðj r j mLesno?p �4 �éÖ²µ�×�Ö²ã/��ê æ Ì]Ͳ ê �4 �*Ö²µR×.Ö'̤� ê æ Ì����R������ � ���'���Z5íPR� �.� ������Ë$������� �����,I�.�R��� � �������¢��8���'����� �8� � ����H����� �������a�°1��.� ��������&�����')'��I��N� ������� ����c���&�����'� �����#���Nõb���I���� 5

· �H¥����» %��$.�� �����ô����$�%����¼������ ����������8����%��������������?K?��� 5GeT� ��4����9'%��� ¢ló)�������������:1� ��H��� �:����%��.��F��.����<�����'ÙË�����f���'������I���&» ¢l Ç » û �N� ����4I��������:���.���²5�P�� �.� ������-���'1������������¤� �$.�����������&X/�S � ��I��5

¹ ���s�#� ������� Xv��� �&����F��.�Ð��H����� ���'� ,&�������%�#�����&�7��Ì�à?ãl��} ñ ½T��ÌdÔ ½²ã/�¢à�½T��ã�ÔI½'Ì�× ² êl� �����½ ¹ �TÔ ½ ê × ² ê 5��Q���H1� ��4���¦9'%�Q��?K?������XY��� �&����%�����2���� ����cÌRêPÔ ² ê?ã�ê���')W�.� ����'� �|!~����H��� � ����������I�������H���'���H9'%�H� ¦%���#XY%����W����Ð� ������ XY�����&���d����%����W����Ð��H�������b%�����H����/�������*�¤���0��� ���� �XY�.� �H���Q�����c)W�.� ���4������c��N�I� ���HXv��� �H�&���H� �$�%��N��%�H1����������5

$ ¿ �<�T�P1��������812�.�89'%c��~���]� ��������F��.�¿¾¾ � « ¹ æ �0�.� ¹ Ô � ¹ ¢½<ò ¢æ'� � �~�������'���~�����[���s���.�-4� ����� ����!���N���.��� ��� )+����W����#������<�I�.� $����&������� ¹ ���Q���&������ ������J����������$��D�p¢½d���Q���&)������'�������J��������c����� $.���c���d������H1%�P���D�M!��ù�I�c%��H� ��$�W����#�a���������&��� 4���� ������&�I�.�dXv� ���'����� � � 5

$ $ ��´����H��� ��� ���c9'%�NÎ ¢� ¹ Ú:����) ¢����Ô�� ���� ��� ¢�&5

� ª

Page 24: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

UD��� �������H�Q����H�,��D5 ¾�¿�ÀsÁ�ÂZÃvÄ�ÅaÆaÃMÇ¿�È�É�É Á�ÆaÆ2ÃMÇ¿�ÈÄÃÅN�À

�����"1� ����������8��� � �~XY�����'����1���.�

´��N���&� �I����W���� �Ç ´��XY��������F��.�s5Ç �Q���&���'� ��� ��N1��� �N�N1���� �N�����Xv���H�.�/�N�.� �W�S ��%���N��c�T���� ������&���[��Ó�£.©b� ��4� �Q���N� �����.� �)'������

��� 12��������*5Ç �s�N����%����W����&���Q´��� ���b�°�Ï��.������������ �?K?��4���Q� �/�Q����������&������'�I��&����'�����01�����)'��.�0���QU8�S � ������ 5Ç �Q�� ��%������c�������I���a���������� 5

õb����I��������� �Ç 681���������������I�c��N����P������F�S �H��Nõb� %12��� 5Ç �T��%������.�����c4����� ����.�c���N���HUG�S � ����H�Q%�����'����I��5

È É0� � � F ! G%Ê ! ��ÉË� � l�G°� ÌÍF�Ò-Ê�É�Ò-F°Ò-Î��WÒ-Ê�Ï � F�ÊIÒ-ÎËG°� ÐÁ ÛwÒ�Ý�ØHÚ�Â�Ò�ÃIÄçÔ ãVã�å�ÛHì�Ú+à Ú�â+Ô ÝÆÅ Ò�ØHÚ+ÓwÛwÓíáßÖÕÒ�ìwÒ³ÇßÚ�ÓÕï�ã:Ò�ÓÅãVÔ���Ô ÓÅØHÔ�ã:Ò+Ô ã:Ô àyáßÖÕÚEØ�×:Ý�äÒ�â+×:à Ò+Ò�ØÉÈâ�×:áÕ×:Ø�Ò�Ó¥åHÒ�ÓÕáßÒÜÔ Ý�áÕÚ�Ý�à Ô Ó¥Ø�Ò5ìtÒ�ÝaàEÛtÔ Ý�áßÒÜØHÔ�áßÚ�ØHÚ�Ó¥ã:Ú�Ó¥å�Ô àTå�Ú�Ó¥àyÚ�Ý�Ú�à ×:ØHÚ�ÓwéËÊ�ÚÜåHÒ�ì�äî ÒÜÝH×:Ýtð-ÛwÝHÒÔ�à ÞAÔ Öß×VÔ ÝHà ×VÒ�Ý�ÛwÔyëwÒgÌ�ÛwÔpå�ÛHìt×:Ô ÖÕÒ+ë�ÔyÝH×:Ø�Ú�Ò+×:Ý�ëwÒ�ã:×:Ø�Ò�Ößã:Ò�ÓwéÍBÔ ÖÕÚcÔ�Ã�Ò�â�×VÝ�äÒ�ÝHØ�Ú�ã:Ò�ÓíÓÕÔ ðcäÛwÝ�ÛtÝ äÒ�Ýwð-ÛwãVÚcÝ�ÛtÔ ë�Ú�ï�Â�Ò�Ã3Ä.Ô ã:ã1ÖßÔyà Ú�ÝHÚ�à ×�äÚ�Ì�ÛwÔ ã:Ò�Ó�Ô àEÛwÒ�ày×:Ú�ÝHÔ ÓÓÕÔ¥ë�ÛtÔ ã:ë�Ô ÝCâ�äÒ�Ó�ÓÕ×:â äÔ áÕÖß×Và Ò�Ó�àEÛwÒ�ÝHØ�Ú�ÓÕÔ¥ã:Ô Ó�Ò�ð�ÖÕÔ ð�Ò�ÛtÝÜá�äÔ Ößâ+×:Ý�Ú�éUÍBÚ�Ö�Ú�áÕÖßÒ�Þ1Ò�ÖÕáßÔyï�Ô ÓÕáÕÔ¥áZäÔ ÖÕâ+×:ÝHÚÔ ÖßÒ+ØHÔyâ�Ò�ÓÕ×:Ò�Ø�Ú�ÞAÔ�Ì�ÛtÔ�ÎÝHÚËÞ`Ò�ÖÕÒ+×:Ý�áßÖÕÚEØ`Ûwà ×VÖ�Ô è Ôyà áßÚ�ÓÅÒ�Þ1ÖÕÔ à ×:Ò�ìtã:Ô ÓÅà Ú�ÝCãVÚ�ÓÅâ äÔ áÕÚEØ�Ú�Ó�Ò�Ý�áß× ð-ÛwÚ�ÓwéêHÔÅÓÕÒ�ì�Ô�Ì�ÛtÔÅã:Ú�Ó à Ú�Ý�à ×:â+×:Ô Ý�áßÚ�ÓÏ�÷ÉÐPÑ Ò�ÐPÑ�ØHÔ�Â�Ò�Ã3Ä.Ô ã:ã�å�Ò�Ý+Ô Ó ÞAÔ ÖßÒ�Ø�Ú�ë�Ôy×:ÝEáÕÔÅÒÓÎÝHÚ�ÓËÛtÝHÒ�à Ú�ÝÆÈÔ ÖÕâ�Ò�à ×EäÚ�Ý�Ô�ÃyÞ-Ô ÖÕ×:â+Ô ÝEáÕÒ�ã é�ê�×�Þ1ÖÕÔ è Ô ÖEäî ÓÕïÆÂ�Ò�Ã3Ä.Ô ã:ãHåHÒçÞ1ÖÕÔ à ÔyØH×:Ø�ÚËÔyÝÍë�Ô ×VÝEáÕÔ�ÒÓÎÝHÚ�Ó-Ò¥ã:Ò¥Ô�ÃyÞ-Ô ÖÕ×:Ô Ý�à ×:Ò�éÕ Á äÚ�â�Ú+ÓÕÔpå�Ò�Ú�ìtáßÔ Ý�×:Ø�Ú�Ô ÓÕáÕÔpáßÖÕ× ÛtÝHè ÚNÖÍBÚ�Ö!Ì�ÛwÔgÂ�Ò�ÃIÄçÔ ãVãBÔyÓÕáßÒ�ìwÒ�Þ1ÖÕÚ�èßÛwÝ�ØHÒ�â+Ô ÝEáÕÔ�×:âËÞ1ÖÕÔ ð�ÝHÒ�ØHÚCØHÔ ã-ÓÕÔ Ý�áß×Vâ�×VÔ ÝEáÕÚÜØ�ÔÍãVÒÜÓÕ×:â+Ô áÕÖ�äî Òâ�Ò�áÕÔ â�äÒ�áÕ×:à Ò�é ÕP× Ò�ìwÖEäî Ò¶Ó7×:ØHÚÜã:ÚÜâ�×VÓÕâ�ÚÜÓÕ×BÚ�áßÖÕÚ�ÓËÝ�Ú¶å�ÛHìt×:Ô ÖÕÒ�Ýa×:Ý�ë�Ô ÓÕáß× ð�Ò�Ø�Ú¶Ò�Ý�áßÔ Ó¥Ô ÓÕÒÜÓÕ×:â+Ô áÕÖ�äî ÒÞ-Ú�Ö�ÓwÛíÞ1ÖÕÚTÞ`×:Ò�ì�Ô ã:ãVÔ�Å ÒNÖ�ò óËõ�ö`÷`ø�Ø�Ù�ø

��½

Page 25: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

L�ÇÁ1Ú�Å�M8ÁVŤÂ'Û�Ü�ȤŬÁVÝßÞÁ1àÏÃvÁ�ȤÆaÃvÅ4á�À<ÇÁ1Ú�Å�M8Á�Þ.Åâà�ãaÃvÆ2Ã�ÞFÅßà Æ

k ÒNä � ��G°Ò-F%Ð�0(���H��%�����H9'%�N�/�N1%�����H��������c$��� �.�c�a���1����d��12�.�c�?K?���&1����H��N%��<K`%�$�%��� ���I5�0�Q��� ��%�������&4���������D5�0(��#� �.� %���.�����Q��� ��%����D5�0(���H����'� ��� ��H�&1�������

�Q���H���,���� ���H���Q������� ������<%��J�P�S � ��%����&����I�.� � %������&4��������&9'%���12�'����H�.�Q12��$����Q�<�.K`%�� �������������%���� ������:���:� %������9'%��-$��� ��5�¥�<���� � ��� ������-�.��$c�%����?K?�-9'%��-� ��4� ��� ����$��:� �-1%�����-���.���:�������� ��%������~XY�.� �H�b���$��������H���'� �G�R��.��������°�I�.�H�b%��]$������ �~�¢�����.� 5R´��)'���� ���H�.���I�D�'�S � ��%���~���]�I���� ����b�%��H�����b1����T��c�/��������� ���T�$.%��������T!<��������������� ���H���T%���b��G������b��������.�]���D����� %�������.�8�������&�b%���� ����4�����������I506 ��H� ���c9P%�N���H� %�����H� �b1%�����H���.���I�c$.������c� �������H���'���b��%�!��a���1����H��H�����')'��������������c%��#�b�%��&��� �H��N� �I������� ���c���Xv��� ����c�&��£H�&ª�£'å5

æ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!ææ!æ!æ!æ!æ

ç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!çç!ç!ç!ç!ç

è!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!èè!è!è!è!è

é!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!éé!é!é!é

ê!ê!ê!ê!êê!ê!ê!ê!êê!ê!ê!ê!êê!ê!ê!ê!êë!ë!ë!ë!ëë!ë!ë!ë!ëë!ë!ë!ë!ëë!ë!ë!ë!ë

ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ì!ìí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!íí!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í!í

î!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!îî!î!î!î

ï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ïï!ï!ï!ï

ð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ðð!ð!ð!ð

ñ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ññ!ñ!ñ!ñ

ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!ò!òó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!óó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó!ó

�s�39'%��[)W�.�H�����3� ��1�� �'�%�������������8Xv������.�H�����39'%�������'� ����)���������� �[)������_���3� ������)'��/W���������������Z�c������ ��/�����'� ������9'%������.�:��� 1��.�:����%����������R���1������ ���������:� �.1�����%42���:���%���I�'�l���1��� �������3��� � ���~1"���~%��7��� � �.�P���]��������������.���[$��� �.�~�I�7� ���P������[�����'��� ��� ���5:ef��� �[�������[���.� ���H�����H1%���� ������� ���'� �����12��� �� �)���������� %����������������<�a���1�����12��� �4����:!7%� ����,���� ���H�.�&1��� ��)����<���XY��������&�I���������%,-�.� � ������.�R�����%��.��9'%������F��.�H1��� ������ô��I� ����I��������4"����4�������.����������������� ���������������� �&�������G!J���.� � ����'� ��� � 5��Q��� �� �'��]����� ����H1"�])���� ���H�.�8���]��%�����]���b���������G%��Xv��� �&�Z��12��� �H�I������� � ���&���H���'� �������-� ����� �����I�-�+)W���,����a��.�������'�����H���'���:�������Ë� ���'� �������:$.�� �����.�/����������������� � �%������ �����'� ��!d���.�-4���������� �I�'������D5G¥�����:��%������$��� ���-%!#����1� ��/��).�I�����H�����I����XY�������:���������%���&).��,²5fef�.�Q� ¤��&Xv%���� �<!��&��%� ���� �&���ÏXY������.�H����D�M���I� %��� �&9'%������� ��1��� �����������H1����� ���&���'� ��������%��&�����c���&� %�����H�����#���H��%,N���N���H����'� ��� ��H�&���¤%�� �.�c��%�,N���� %� ���*5

���'1����I�.��F��.� ���s������� ������'���8�I���������� �������8%�� �~�����ô����/����������\%����������� ��'%�� �.�����"9'%��8��� ������©�£�)��������Ë12���Ë� ��$�%����:��Xv� ����%���������©�£|p�âF� 5R�T�\�������I�'���")��������.K`��9'%��� �����8���8�'%���� ��� ���Ë�����¢�'%XY���

åDô{õVöG÷Pø�ù�õ6ú�û!ü³ý�þ]ÿ��� Ò�� � ü � Ð���Ï ý�� Ï � ÏJÐ þPü� Ñ�ÉÏ���Ñ ��Ñ �UÑ �UÏ � �� �� ý ��� þ Ò�Ð � ý Ï ü �ÆÏßÐ ü � ��Ï�� ü ��� Ï�� � Ò��$ÐPÏ���Ñ Ò ý��� � <]· C � � ��Ñ ÿÏ�� � þ Ð!Ò�� � ü �ÉÏË÷ ��� ü ���ÉÏ � Ï � � ý Ï�� ��� Ò�Ð�Ï þ Ñ �ÉÏ�ø� ©

Page 26: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

)'��������������I���H����.����12����%��������%��.��F��.�������Ë���12�V¶���ã/� ¹ ¶ 4 �/����� ��£�£��Ïãl�I5d�s��9'%�����1� �W).���¢���.������H��1��� �������H�������I��� �'����ô���� � ������H��#���/���Ð������� W����¬��� ��������'���#9'%��#)+���W�S �Ð���'� ����ÔN¶ 4 !¬¶ 4 ������¯ ¹ � ×+©�£ ¹ £ Û £��~� ��$�%������Ë���Ë����9'%�8� �8�����.�H�{��=?î�; @MíC�î�=�j�ë�ìNk]�g���D��¡ � 5���£D�Z9'%��8)'������8������1"������~���.� �H�~������������H�����,������~���]�I�.���~12������'��D�Z���/���~��� �M¶ ê�� ¹ ¯ û � !4 ¨ ¶]��ã/� ¨ ê æ ã+5R¥%�/���� %!�������D�¶ �� ¹ ¶ 4 ×Z� �D5 �T�L������������� ����������L����ô����/������ô¶ �� ¹ ���.£Ë¶]�c����H�'���9'%�������)��������.K`������'%���� ��� ���c����¢�'%�Xv���c�����I�.��,��H1������c���¶ 4 ¹ ����£�� � ¹ ªD��� Û �s¶]5

���-�����¦��'���I��)W�����.�¦��|����XY�.� �H�&�éÔ�¯�×+�2ÍO��¯�×W�²à�¯�×+�2ÍO��¯�×W���f� �\��%��&1�����a�� ¨ ¶���ã/� ¨ b�¶ �� �.�����������%��������42����4�����������'%���� ��� ���W����H1��� ������%���4� ���a���12�'���D�"�H����'� ������9'%�������� ��� � ��������� ����H1"�� �8��%��&1����8�������� �$.%���������������'� � �.� ��D5R���Ë������� �²������ ¯�×W��� ��$�%������Ë���4�a������4����%���XY�.� �����`��%,I�&!������ �H����`��� ��%� �������D5f���c�����&�H�������������c!���1��$����Q���&��%�,N�����#12��� ��'��X¯�×W�D5

Vef

osc. luz osc. osc.luz luz osc. luz osc.

ef−V

¥��H�� �.�H���0�N%�H1%��'���N�.K`�N��c���N� %����D�������0� ���I����� ���04�����������0!���� ��%�� �.�T� �Q� %���������a����H�����%��12��� ��'��-1"��9'%��PO��D5Ref���Ë�?K?���H1���D�²� 2��W!d��©�� ����� �������\��� ��%� ���Ë!H����� %���������� �I��Ë)'%������ �.�\1"���� ��$�%����-���212��� ��'��������¯ Û2¹ �I×WÓ�£D5R¥�U¯ Û2¹ ¯�×W�-���'������������K`%�� �����H���'� �8������%,���� � ���2��-��������������� ����H1����~���[������� � ���'���~���[9'%�~%�[�&�� �&�����12�]���b� ����� �����°4����������%d��� ��%�� �.�G��� �a��]���[���s1%��'����FK?����D�M�����d���H��%���¤����c1������I�����a��&9P%�N�����c� �I������� ���c� �N1��������s5f���#������� � ���'���N���'� ��� ����Q���&� %������4��#%�Ð1"�'�I�#������N�a���1����#!�12���N�����'� � ¯ Û0¹ ¯�×W�NÔ ¸ 5-6��F�S 1�%��� �¤� � �.�b�����´¯�×W�#� ��$�%������N9'%��� ������� ��%� � ���:���� ����9'%������-��%�,�� ������������������� � �-9'%���/��)'%����).���-������I���I�I�'�����H�-�����\� ���I����� ������ ��������[%��[1"�'�I�]�L��.�8�a���1������D�����8���4�a��]������]� ����H12�]�]��8%�[12�'���]�L����G���?K`���8��~���]�/�$�%����'� �12��� ���W����Ð!�1��� �������a��d9'%�H� �H����� 1����,����Ð���7� ���'�����d1"��� �� �)��D5&�T�0��XY�������d�����'��� ��� ��d� �H1� �'�%������%��.����H12�.�c����%� �H�������&������������� ����W���� ¯ Û2¹ ¯�×W�QÍ ¸ 5

T’=T/2

T’ 2T’ 3T’

TT’=T/2 3T/2

T’ 2T’T’>T/2

T’<T/2

�Q���H�[���[����P����� ��[XY%���������[�����31����.�:�°�I�.� � ����'� �]�����'� ��'%��� �s� %3��%�,Z�s�����$�%���T9'%��]���[������ ���*�M���&1����I� ���'���H��� ������.����.�����c!����'%���&���¤��XY����� �&����� ��� �� ��5

�Z�

Page 27: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

L�ÇÁ1Ú�Å�M8ÁVŤÂ'Û�Ü�ȤŬÁVÝßÞÁ1àÏÃvÁ�ȤÆaÃvÅ4á�À<ÇÁ1Ú�Å�M8Á�Þ.Åâà�ãaÃvÆ2Ã�ÞFÅßà^Ã

k ÒNä � ��G°Ò-F%Ð�0(��#��L��.�d��N����).�I���D5�0(��#��4MK`��� �&XY��� � �.�H��$��c���� ����H1"�I� ����D5�0(���H��%��� ��H� ��� ��/�����'� �Z5�0(��#����� ����*5

�Q����$�%����&���G������4MK?�����]1"���/�.���H���b���H��%���� ��]� ��� �� � ���'� �N1������]XY�.� �H�.�G%�[1c������%����5T6c�����H��������������d���b���)���� �]�����d���s������������!:12��$�%c����H��� ���]������4MK`��� �]1"�I� ����]�.�/��$�%�a��.��������.�8��b9'%��b�����%�d����)��N����2����#�/�N���� 12��$��D�M!����¤1c������%����&9P%�����&��� ������.����H���$����F�S � ��H���H���'���6å

6����� �D�¦1��� ������������J����1"��� ��IW�������J��9'%����4� ���!7�������I�\��L��.��12��$.�������¦���+!79'%��:� ������%�¬1"�'���V��J1������������D�0!3��������&����|����� ����|��H12��� ����1� �4�����&�I�'���J� ����� �.����V��J� ��$�%��&�����&����� ��')'�� �4�����Q��� ����������������c����¤1c�����%����D5f´���� 1%c����Q����%�����c��%���'�����c��'� ���'����� �M���¤1c������%����&� �N���4�a��1%���� � �&���d�&�W)'��H����'� ��5

θ θ

¥s� ��$�%��&���8������������]9'%��b���s��� � �� ���&����P���]����������� ��I���������&1��aO��~�.�s�H�+)'��H����'� �]������1c������%���12�'�� ���H���:���.��� ��$�%���%�������&1����� %�����L�����:�.�/����������������J�.�/�.�-4� ��� ��5 ¥��4������ �'������I�������������I%���'� ��9'%�:���\1� ������1�������4R�S ���H���<�����&1�����4��.����9'%�:���|���������.12�����.�&�����R�S ��XY%�I��,���1��.� ��H�'���������Q���&12��� ���W����d��N��9'%����4������5

���'1����I�.��F��.� �8^`$.%������.����#���JXv%���� ,��J�J���J�����&12������'� �&�����$�����������f�����¦1"���/���Ï�����H�J���N4����������'�����D�+� ��� �$�%�����8����%����F��.�~9P%��� �$.�����²1c������%���8� ��H1����5#" Û Û ¹

�� �I�$"P�+��������5P�������G������$.���%��

!����Ë�����.�I������� ����W�������8���~$�� �+)��������5fef�.� �ô��.��$�%�����Ë�����%�!&$.� �������� �²� ���$"NÕ%"�!&��������%��.��F��.�

� �~���I�%�I�b��" Û Û ¹�"P5Ë¥s���s�&�W)'��H����'� �]1��� ���~����s1%��'������b�L����'��H�]�������$�����W������D���]� ����%�IW����

��N�I� ���H����%����F��.�d���c��N���HXY�.� �H�D�"P��ã/� ¹�µ ����� �'& 4 ã/� �����(& 4 ¹

�×]5°ß

å ô�õ{ö3÷�ø�ù�õ�) �Ë÷ � � ÿ� ü � � ü�* Ò+� � þ�ÿÏ � Ñ � Ò � ÏJÐ-,NÏ��ÆÒ � Ò��,Ï � , ü �ÆÏ ý � Ò ý Ï ý ø+. ü ÷ � ý Ò � ÐPÏ/� � O10 � 032 ø+41ÏJÐ�Ï� � * Ñ � Ñ þ ÏJÐ$� ÿÏ ý|þ Ò5��Ï�� ÿ6 Ï � Ï�7 ü � Ð�83Ï�� � � Ñ9� ÿÏ��;: � ҥР��� ü<* Ð ÿ6=� Ò��C÷UÏ�÷ � � ø?> �@� ý�þ ÏA�gÏ�� � Ð�Ï � � ÷ ÿ� ��� ü� Ò Ï�÷ � �ÆÏ ý|ý �� � ý �'Ñ Ï * ÏB� � ýPü ÷NÒ ý Ñ � Ñ ÿÒ��*Ñ�ÆÑ � Ñ Ï � Ï�� þ � ý � �C� ü � ý � ý Ò � þ Ï ý �C� � Ñ� ÿÏ��Hø� �

Page 28: UAMmatematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/modelI… · UD H Q H , D5 ¾ ¿ ÀsÁ ÂZÃvÄ ÅaÆaÃMÇ ¿ È É É % < % 12 I' \ / \12 . \ < ' .< XY W S $a & P RÊ

ef��� �#� ���N� ���.���� � �.� �¤�I�¦�H�+)'��H����'� �#��&%��V1c������%���#� ����&1�� �&� �&���H����� �$�%�#12���N���¦� ��,����&��I�'�����I�Ë�.����²�R! ���� � �Z�f����'� � ������������ � ����1� �W�'��H�.��F��.�s�f)'�������������1"���-%���³�%������1����12��9'%�MO����������)������'�������¬���[FgjI�cG��8¡��D5���£����H�+!����G)������'�������©® �&�W!.���8� ��� ��/������������I5|ef���8� ���'���D�D%���&�'�������4��� � ���'���N��1� �W�'��H�.���&�����¤�H�+)'��H����'� �H����¤1c������%���H� ��d�'%��� � � �&������W����d���'����� ���&���+�

" Û Û Í � 5 "Ëͬ� ^ " Û ¹ £ 1��� �H������ ��� ^�Ü £'ß

�T�¤������.���.$��H��N���H� ����%���W����#���'����� ��.� �M���c�����.� �D�M1��� � ^ bD& 4 �

"P��ã/� ¹(µ úFûFEy� ����� ã & ê4 Ô ^ ê ß�T�\�������� �'���2�H�+)'��H����'� �-� ���.�H��� ���$�%�D�'�����&�-��� �-������ 12��� ���I5f6�����L����\����XY� ����%��������-��-)+���F�S ������#���¤� ����H12�d�¢��Ñ[Ò.�Ë1�5?��£D���I5

�s�G� ���%��.��F��.������ ��� �� �G�I�~�'%��� � � �G���'12��� ��H���'� �G����� � ��� 12�.������8�.1����������%��8Xv%���� ,��G�F�S ���� ���������V���01c������%����D�Ï���&Xv� ����%��������G&»�-%!�1��2����'��&�#�G& 4 5-�T� � �JXY%��� ,��#���/�����a��#����1�� ��� ���'� �.���#1"���%�d�'%��)��H������ �H���H��b���&XY�����H� ¸ ����� �'&¦ã/�Q����� ¸ 1"��9'%��PO��D5p�8�W!�9'%�N� ��� ����)���� �M12���Q� ���'���

" Û Û Í � 5 "ËÍô� ^ " Û ¹�¸ ����� �'&¦ã/�lß

(���H� ����%��F��.�d1��� ����I%�����c��N��� � �&�I��%����W����#���*�7����� �'&fãsÍIH 4 �Q�����#%�+H 4 �.������%�����&!

� ¹ ¸�J& ê4 ÔK& ê � ê Í ½ ^ ê & ê ß

������'� �����c9'%��N���&�/�.��%��W����#$�������� �.�����c��N���HXY�.� �H�

"P��ã/� ¹(µ úFûFEy� ����� ã & ê4 Ô ^ ê Íw¼ ÍQ�7����� �'&fãsÍIH 4 �lß�Q��� µ ! ¼L����12���������������:�����-������������.�����-�������.����� 5�¥��$c�%����� ��,��������Ë� ����H1"�D�f���\1� ��H�����������H����8�/�Ë����a��8����� 1������I���4���Z�F!N� L&ôÕM& 4 ���'������ �&����� ��� �����'� �Ë��������a������&1����� %��� Õ ¸ ×M�°� ^ &Ë� 5¥T���0� �.,I�.�H����'� �d����0���� �H���~1"�'���d� �$.��������� �)��D�¤�I�0� ��� %��� ����d� ���a��d��%�¢���#�H�+!����b9'%� ¸ 5H´����I�l���a� ñ d � ^ ñ £D5Jef�.�������'� �[�����312��9'%��PO�����Xv%���� ,���� ���[���[����� $��[� ��1�%�������3��4� ������$�� �.������&���&1����� %��I�<� |� �:�I�&1�����������XY� ����%�I�������I�.� � ����� ��5 ���� � �:���&���\XY���&��� ��XY��������H����V�����V> =?; C�îì�îsë?@�ì"5�6�9'%R�S ����H�����&���H�I���'��� ����Ð���ô%�ô�?K?���&1����Ð�H���R��������D��12��� �Ð��+!�����%������������� ��H������ ���c9'%��N� ��$.%������#���.�c���� ��%�� ���c��������� �2��.��������c4����� ����.�&�g�N�D��5¦´��N���/���HXv��� �H������&� ��� �����.���������¦���M1� ���I�1���1"���f�I�P��%����P�����¦� ������1� �����I�f���\� ������!b� ������)P�� W����<1%�������7�`����,�������� ��������� �)W�.�H���'� ����<XY���I��%��������<����� ���I� 12�.�������P�����<%���<� �����<���H�� F��.�s5fö¦�<���.�Q�'��%1������I�&���|���.�/�.� � �.�Q������.�-4�����a���1����.�H���'� �N��N��������¤1������H)����c!��2�S �c� �'����c���¤������&12�D5

� �