Problema 1

a) Obtener la solución numérica del ejercicio resuelto analíticamente que se indica:

Ejemplo 15.5 – 1 calentamiento de un líquido en un tanque agitado.

b) Hacer un análisis de exactitud y de convergencia de la solución numérica.

Desarrollo:

a)

Fig. 15.5-1. Calentamiento de un líquido en un tanque con nivel de líquido variable.

Balance de materia:

dmtot

dt=−Δw →

dmtot

dt= w1−w2

d ( ρV )dt

=w1 →∫0

V

dV =w1

ρ∫0

t

dt ⇒ V =w1 t

ρ

Balance de energía:

Como no se pueden establecer valores absolutos para , se elige la temperatura T1 como plano de referencia térmica. Según esto,

Reemplazando en la ecuación 15.5-1, resulta:

ddt

Etot=−Δ [(U+ρ V +12

⟨ v̄3 ⟩⟨ v̄ ⟩

+Φ)w ]+ Q − W

Etot=U tot + K tot + Φtot → ddt

U tot=w H1 + Q (15. 5−1)

U tot y H1

H1=0, ya que

Δ H1=C

pΔT → Δ H

1=C

p(T

1−T

1) → Δ H

1=0

dU tot=d ( ρV C pT )

∫ dU tot=ρV C p∫T1

T

dT → U tot =ρV Cp(T−T 1) con Cp =C v , quedaría

U tot= ρV C v (T−T1 )y Q=U 0 A (T s−T )

ρCp

ddt

V (T−T1)=U

0A(T

s−T ) (15.5−2 )

V ( t )=wtρ

A ( t )=wtρV 0

A0 (15 .5−3,4 )

sustituyendo en ec 15 .5−2 , se obtiene :

U0 A0wtρV 0

(T s−T )=w C p (T−T1 )+w C p t (d (T−T 1 )dt ) (15.5−5)

En la ecuación 15.5-5, es preferible utilizar variables reducidas:

Reemplazando y dejando en función de las variables reducidas, queda:

La ecuación diferencial es de primer orden, así que la solución es:

Finalmente en función de las variables originales el resultado es:

Calculo numérico:

Es fácil comprobar que para los datos del problema el grupo adimensional N = U0 A0/wCp tiene el valor de 2.57. Para este valor, la ecuación 15.5 – 14 conduce a:

T1 = 20º C

Ts = 105º C

Θ =T −T 1

T s−T 1

τ = tt0

= wtρV0

(15 .5−6,7 )

Nτ (1−Θ)=Θ+τdΘdτ

con N=U0 A0 /w Cp (15.5−9)

ecuación diferencial dΘdη

+ (1+1η )Θ=1 (15 .5−10)

condiciones iniciales Θ=0 a η=0

Θ=1−1η

+Cηexpη

con C=1 quedaría la solución final:

Θ=1−1−exp(−η )η

(15 . 5−13)

( T0−T

1

T s−T1)=1−

1−exp(−U0 A0 /w { Cp )U0 A0 /w { Cp

¿ (15 . 5−14 )¿

De donde T0 = 74.5º C

Conclusión:

Se logro de buena manera obtener lo pedido en el desarrollo tanto analítico como numérico (se llego a las mismas soluciones obtenidas en el libro). A partir de los diferentes balances macroscópicos aplicados se llega a la solución la cual tiene una ecuación diferencial de primer orden, la que es desarrollada mediante el manual de formulas matemáticas y tablas matemáticas. Mediante la exposición del problema, realizada por el grupo, se logro entender de mejor manera los fenómenos físicos que ocurrían en el tanque.

T0−T 1

T s−T1

=0.640

F

F0

F

En los siguientes ejercicios, resolver significa obtener la respuesta dinámica del proceso para perturbaciones salto, pulso y rampa.

Problema 2: Obtenga un simulador que resuelva el Example 2 – 9 (pag. 30). Example 4 – 2 (pag. 104)

El sistema del tanque esta descrito por la gravedad que fluye en la grieta. Esto proporciona el

ejemplo simple del uso de las ecuaciones de movimiento del sistema macroscópico.

Refiriéndose a la fig 1-1, deja la longitud de la línea de la salida que es L (ft) y su área

transversal Ap (ft2). El tanque cilíndrico vertical, tiene un área de sección transversal AT (ft2).

Parte de este proceso esta descrito por un equilibrio de fuerza donde el líquido que atraviesa el

tanque. Tendrá una masa igual al volumen de la cañería (ApL) por la densidad del líquido (ρ).

Esta masa del líquido es igual a la velocidad v (ft / seg) que es el flujo volumétrico dividido por

el área sección transversa del reactor. Recuerde que se asumió: el líquido es incompresible y por

lo tanto todo el líquido se está moviendo en la misma velocidad, más o menos como una barra

sólida. Si el flujo es turbulento, esto no es una mala suposición.

La cantidad de líquido en la cañería no cambia con el tiempo, pero si deseamos cambiar el índice de la salida, la velocidad del líquido debe ser cambiada. Y para cambiar la velocidad o el ímpetu del líquido debemos ejercer una fuerza en el líquido.

Desarrollo:

Fluido incompresible.

Subsistemas: 2 (contenido del tanque, contenido de la cañería)

Fases por cada subsistema: 1, liquida

Subsistema 1:

Balance macroscópico de masa

- No hay balance de cantidad de movimiento (mucho volumen que baja, poca velocidad).

- No hay balance de energía (es isotérmico).

Subsistema 2

dmtot

dt=−Δw →

dmtot

dt= w1−w2

d ( ρV )dt

=ρF 0−ρF ⇒ V=AT h

AT dh¿dt ¿¿

=F0−F ¿dhdt

=F0

AT

−A p v

AT

¿¿

dmtot

dt=−Δw →

dmtot

dt= w2−w3

d ( ρV p )dt

=ρF2−ρF3

F2=F3=F

Balance de cantidad de movimiento:

Perturbación salto:

Solución: Tanque flujo gravedad

Señal de entrada perturbación pulso:

Q( t ) t

200 0

200 5

210 5,00001

210 10

200 10,00001

d Ptot

dt=ρ2 v2

2S 2 −ρ3 v32S3+ {P2S2−P3S3 }− {F }+{mtot }

Ptot=A p∗L∗ρ∗v

P2=Patm+PcolumnaH 2 O

P3 =Palignl¿atm ¿¿

¿v2 =v3 ¿ A p Lρdvdt

=ρv2 Ap−ρv3 A p+P2 S2−P3 S3−F+mtot g ¿ Ap Lρdvdt

=A p(Patm+ρ gh−Patm )−F ¿ F=2π RL (1/2) ρv2 f ¿ K f =2πR(1 /2 )ρf =πRρf ¿ Ap Lρdvdt

=A p( ρ gh )−Lv2 K f gc

¿Ap Lρ

gc

dvdt

=Ap ρ gh

gc

−Lv2 K f (gc

A p , L , ρ) ¿ dvdt

=ghL

−v2 K f gc

A p ρ¿ ¿¿

Perturbacion pulso

198

200

202

204

206

208

210

212

0 2 4 6 8 10 12

t (seg)

Q (

ft3/

seg

)

Señal de salida perturbación pulso:

Perturbación  

Perturbación Salto(1)/Tabla(2):  

Q(t) = 200 (ft3/seg)

Condiciones Iniciales

Tiempo 0

X28,3

3

Parámetros

Delta 0,001

Cte.tpo. τp = 1

Tiempo final

  600 (seg)

Salto(1)/Tabla(2):

Q(t) =

200 (f

t3/seg)

Valor de X v/s Tiempo

28,33

28,33

28,34

28,34

28,35

28,35

28,36

28,36

28,37

28,37

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00TIEMPO

VA

LO

R D

E X

Señal de entrada perturbación salto:

Q( t ) t

40 0

40 5

40 5,0001

40 10

40 10,0001

Perturbacion salto

05

1015202530354045

0 2 4 6 8 10 12

t (seg)

Q (

ft3/

seg

)

Señal de salida perturbación salto:

Condiciones iniciales  

Tiempo 0 (seg)

X 4,97 (ft/seg)

Parametros

DELTA 0,001

Cte.tpo. τp = 1

Perturbación Salto(1)/Tabla(2):   1

Q(t) = 40 ft3/seg

Tiempo final

600 (seg)

Valor de X v/s Tiempo

4,905,005,105,205,305,405,505,605,705,805,90

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00TIEMPO

VA

LO

R D

E X

Señal de entrada perturbación rampa:

Señal de salida perturbación rampa:

Condiciones iniciales

Tiempo 0 7 (seg)

X 28,33 (ft/seg)

Q t

0 0

200 1

400 2

1000 5

2000 10

Perturbación Salto(1)/Tabla(2):   2

Q(t) = 200 ft3/seg

Parametros

DELTA 0,001

Cte.tpo. τp = 1

Tiempo final

25000 (seg)

Valor de X v/s Tiempo

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

0,00 2000,00 4000,00 6000,00 8000,00 10000,00 12000,00TIEMPO

VA

LO

R D

E X

UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL NORTE

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS GEOLÓGICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL QUÍMICA

TALLER Nº 3

“Fenómenos de Transporte II”

(IQ-813)

Asignatura: Fenómenos de Transporte II

Profesor: Abel Reinoso Ferrera.

Alumnos: Marcela Morata.

Manuel Villar Sarria.

Grupo 2

RESUMEN.

El siguiente informe, contiene la resolución de 3 ejercicios los cuales emplean la teoría de los balances macroscópicos para sistemas isotérmicos, no isotérmicos y en sistemas de varios componentes (capítulo 7, 15 y 22 respectivamente del texto fenómenos de transporte, Bird).

El primer ejercicio muestra la solución numérica del ejemplo 15.5 - 1, del texto guía Bird (fenómenos de transporte), del cual se tiene la solución analítica. En los siguientes ejercicios, se muestran las respuestas dinámicas del proceso para: perturbaciones salto, pulso y rampa. Se muestran gráficos, que reflejan las respuestas dinámicas obtenidas mediante el simulador realizado por el grupo. Estos gráficos validan los resultados obtenidos.

INTRODUCCION

En el siguiente informe se abarcan ejercicios aplicados a los contendidos de los capítulos 7, 15 y 22 del texto guía Bird, en los cuales se presenta la teoría para diferentes balances macroscópicos ya sea para sistemas isotérmicos, no isotérmicos y para sistemas de varios componentes.

Se realiza una resolución numérica del ejercicio 15.5 – 1, calentamiento de un líquido en un tanque agitado, que se encuentra en el del texto guía, el cual nos entrega una respuesta desarrollada de forma analítica. Este ejercicio es parte de la teoría de los balances macroscópicos en sistemas no isotérmicos.

Finalmente, aplicando la teoría mencionada anteriormente, se desarrollan ejercicios mediante un simulador el cual nos entrega una respuesta dinámica del proceso para perturbaciones salto, pulso y rampa.