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Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
1/32Problemas tema 2: Ondas
Problemas de Ondas
Boletín 2 – Tema 2
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2007/08
Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
2/32Problemas tema 2: Ondas
Sea una onda transversal que viaja a través de una cuerda y cuya ecuación es
, donde x e y están expresados en centímetros y t
en segundos. Determine a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia,
d) la velocidad, e) el sentido de propagación de la onda, f) la máxima velocidad
transversal de una partícula en la cuerda, g) el desplazamiento transversal en
x=35cm cuando t=0.26s.
y(x, t) = 6.0 sen(0.20πx + 40πt)
b)
a) A = 6 cm
y(x, t) = 6.0 sen(0.20πx+ 40πt)
Porque ‘y’ se
mide en cms
Sabemos:
K =2π
λ=“frecuencia espacial”
ω =2π
T=“frecuencia temporal”
periodo espacial
periodo temporal
λ =2π
K=
2π rad
0.20π rad/cm= 10 cm
Problema 1
K ω
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3/32Problemas tema 2: Ondas
c) Frecuencia
ω = 40π = 2πf
Hz
lineal
d) Velocidad (de fase): Velocidad de los puntos que tienen la misma fase (es la
velocidad a la que viaja la onda en el espacio).
Lugar geométrico de los puntos con la misma fase: Kx − ωt = cte
Derivando: K dx − ω dt = 0 K dx = ω dt
v =dx
dt=
ω
K=2πf
2π/λ= fλ λ = vT
Problema 1
f =40π
2π
rad/s
rad= 20
ciclos
s= 20Hercios
f = 1/T
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4/32Problemas tema 2: Ondas
e)
T =2π
ω=
2π rad
40π rad/s=1
20s = 0.05 s
v =λ
T=10 cm
0.05 s= 2m/s
ω = 40π
Sentido de la propagación
Genéricamente:
En nuestro caso,
tenemos:
cos(Kx− ωt)
cos(Kx+ ωt)
Dirección de propagación x +
Así que, la dirección de
propagación es x —
Problema 1
Velocidad de fase o
también, ‘velocidad de
la onda’, (constante)
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5/32Problemas tema 2: Ondas
f) Velocidad transversal máxima
Velocidad ‘transversal’:velocidad de un punto
concreto, en su oscilación.
Como cada punto oscila con
un M.A.S., esta veloc. es
una función del tiempo
(igual que en un MAS).
vy(t) =dy
dt= Aω cos(Kx− ωt)
vy(t)|max = Aω = 6 cm40πrad
s== 240π
cm
s
vy max. para cos = 1
vy(t)
vy(t0)
(variable con t)
velocidad
de fase
(constante)
Problema 1
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6/32Problemas tema 2: Ondas
g) Desplazamiento transversal en x=3.5cm, t=0.26s
Sólo hay que sustituir:
y = −1.9 cm
cm
cmrad/cm rad/s s
Problema 1
= 6 sen(0.20π 3.5 + 40π 0.26)
y = 6 sen(0.20π x+ 40π t) =
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7/32Problemas tema 2: Ondas
Una cuerda de masa 0.2kg y 4 metros de longitud se conecta a un diapasón que
oscila con una frecuencia de 20Hz. La amplitud de las oscilaciones es de 1cm. La
onda transversal excitada en la cuerda resulta tener una longitud de onda de
10cm. Determine la velocidad de la onda y la tensión aplicada a la cuerda. ¿Por
qué factor es preciso multiplicar la tensión aplicada para que la longitud de onda
se duplique?
a) Velocidad de la onda Datos:
m = 0.2 kg
l = 4m
f = 20Hz
A = 1cm
λ = 10 cm
v =λ
T= λf = 10 cm 20
ciclos
s
v = 200cm
s
Problema 2
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8/32Problemas tema 2: Ondas
b) Tensión aplicada a la cuerda
Sabemos:
v =
sFT
μ
Tensión aplicada
Densidad de masa lineal
Velocidad
μ =m
l=0.2 kg
4m= 0.05
kg
m
v = 200 cm/s
Despejamos FT :
FT = μv2 = 22m2
s20.05
kg
m= 0.2
kg
s2m = 0.2N
Problema 2
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9/32Problemas tema 2: Ondas
c)
λ
T=
sFT
μ
2λ
T=
sF 0Tμ
F 0T = 4FT
Es necesario un factor
multiplicativo de 4
Es necesario un factor
multiplicativo de 4
Para que λ se duplique sin modificarla frecuencia de la onda ni la cuerda
Problema 2
Factor multiplicativo de FT para que λ se duplique
Y buscamos F’T
tal que:
Tenemos:
2
sFT
μ=
sF 0Tμ
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10/32Problemas tema 2: Ondas
Un espeleólogo de masa 70kg se encuentra suspendido de una cuerda de densidad
lineal 0.9kg/m. El espeleólogo decide enviar una señal a su compañero, que se
encuentra 30m más arriba, para que suelte más cuerda. Para ello tira de la cuerda
horizontalmente para enviar un pulso transversal a través de ella. La velocidad de
la onda dependerá de la tensión a que la cuerda está sometida, sin embargo, dado
que las cuerdas empleadas en espeleología tienen una alta densidad lineal, cabe
preguntarse si es adecuado despreciar el propio peso de la cuerda a la hora de
calcular la tensión. Para comprobarlo, calcule el tiempo que tarda la señal en llegar
al compañero: a) despreciando el peso de la cuerda y b) sin despreciarlo.
a) Despreciando el peso de la cuerda
Sabemos:
v =
sFT
μ=
r70 · 9.80.9
= 27.6m
s
t =l
v=
30m
27.6m/s= 1.086 s
μ = 0.9kg
m
P = mg
m = 70 kg
l=30m
Problema 3
FT = mg = 70 kg 9.8m/s2
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11/32Problemas tema 2: Ondas
b) Sin despreciar el peso de la cuerda
z
z
u = m + μz
ZFT (z) =mg +
Z z
0
μg dz = mg + μgz
v =dz
dt=
rmg + μgz
μ
√μdz√
mg + μgz= dt
rμ
g
Z l
0
dz√m+ μz
=
Z t
0
dt t =
rμ
g
Z ul
u0
1
μ
du√u
Problema 3
FT (z)
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12/32Problemas tema 2: Ondas
Cambio:
u = m + μz
du = μdz
Límites:
u0 = mul = m + μl
t =
rμ
g
Z ul
u0
1
μ
du√u
t =1√μg
∙2√u
¸ulu0
= 0.997 s
Problema 3
z=0
z=l
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13/32Problemas tema 2: Ondas
Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El barco se
encuentra en reposo en una zona en la que la profundida del lecho marino es de
50m. El sistema emite un haz de ondas de sonido cuya frecuencia f=262Hz que
forma un ángulo de 30o con la superficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda,
que se refleja en un pecio, en regresar al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo
es 0.135s y que la densidad del agua es 1.00x103kg/m3, calcúlese a) la velocidad del
sonido en el agua, b) el módulo de compresibilidad del agua, c) la longitud de onda
de la señal emitida.
a) Velocidad del sonido en el agua
Por trigonometría simple:
ida y vuelta
v =s
t=2 · 100m0.135 s/2
= 1480m/s
sen 30o =prof .
ss =
prof.
sen 30o= 100m
f = 262Hztiempo de retardo = 0.135 sρagua = 1× 103 kg/m3
prof = 50m
s
Problema 4
Odyssey
30º
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14/32Problemas tema 2: Ondas
Sabemos:
b) Módulo de compresibilidad del aguaSabemos:
v =
sB
ρ
B = v2ρ =³1480
m
s
´2103
kg
m3= 2.9× 109 Pa
c) Longitud de onda de la señal
v =λ
T= λf
λ =v
f=1480m/s
262Hz= 5.65m
Problema 4
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15/32Problemas tema 2: Ondas
Una onda sinusoidal viaja por un hilo de longitud 8.00m y masa 6.00g con una
velocidad de 30.0m/s. La longitud de onda es 0.200m, a) determinar la amplitud
de la onda si su potencia media transmitida es 50.0W, b) si la amplitud y la
longitud de onda son las del apartado a), ¿cuál será la nueva potencia media
transmitida por la onda si la tensión se modifica de forma que la velocidad de la
onda sea el doble?
μ =6g
8m= 0.75
g
m
ω =2π
T= 2π
v
λ
a) Amplitud de la onda
Sabemos:
Pm =1
2μvω2A2
A = 7.07 cm
Problema 5
Datos
l = 8mm = 6gv = 30m/sλ = 0.2mPm = 50W
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16/32Problemas tema 2: Ondas
b)
P 0m =1
2μ 2v ω02A P 0m =
1
2μ 2v (2ω)2A = 8Pm = 400W
v =λ
T2v =
λ
T 0T 0 =
λ
2v=1
2T
Problema 5
Si A y λ son iguales que en a), calcular nueva Pm para 2v
ω0 =2π
T 0=2π
T/2= 2ω
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17/32Problemas tema 2: Ondas
Un submarino francés y otro británico se desplazan el uno hacia el otro durante
unas maniobras militares. El submarino francés navega a 50km/h y el británico a
70km/h. El submarino francés emite una señal de sonar a 1000Hz. Las ondas de
sonar viajan a 5470km/h. a) ¿Cuál es la frecuencia detectada por el submarino
británico?, b) La señal emitida por el submarino francés se refleja en el británico
y es detectada por el primero. ¿Cuál es la frecuencia detectada por el submarino
francés?
Sabemos:
freceptor = ffocovsonido ± vreceptorvsonido ∓ vfoco
Submarino
francés
(foco)
Submarino
inglés
(receptor)
vfrances = 50 km/ h vingles = 70 km/ h
f = 1000Hz
v = 5470 km/h
Problema 6
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18/32Problemas tema 2: Ondas
a) Frecuencia detectada por el submarino británico
Aplicación directa de la fórmula:
receptor emisor
se aproximan
Problema 6
= 1000Hz5470 + 70
5470− 50km/h
km/h= 1022Hz
fingles = ffrancesvsonido + vinglesvsonido − vfrances =
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19/32Problemas tema 2: Ondas
b) Frecuencia detectada por el submarino francés, después de que se
refleje en el inglés
• La velocidad vsonido es la misma.
• El emisor es el inglés.
• El receptor es el francés.
• La frecuencia con que emite el
emisor (inglés) es la frecuencia
calculada en el apartado anterior.
Submarino
francés
(receptor)
vfrances = 50 km/ h vingles = 70 km/ h
v = 5470 km/hSubmarino
inglés
(foco)f = 1022Hz
Problema 6
1022 Hz5470 km/h 50 km/h
70 km/h
ffrances = finglesvsonido + vfrancesvsonido − vingles = 1045Hz
emisorreceptor
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20/32Problemas tema 2: Ondas
El pasajero de un tren (A) que viaja a una velocidad de 20 m/s, ve desde su
ventana a un peatón (B) que, detenido en un paso a nivel, espera el paso del tren.
Antes de llegar a la altura del peatón, el silbato del tren emite un sonido de
frecuencia 500 Hz. Sabiendo que la velocidad del sonido es 343m/s, a) determinar
la frecuencia del sonido que oyen A y B suponiendo que el aire está en calma, b)
determinar de nuevo la frecuencia del sonido que oyen A y B suponiendo que hay
viento con una velocidad de 5m/s en la misma dirección y con el mismo sentido
que la velocidad del tren. c) Sabiendo que 20000 Hz es la frecuencia más alta que
puede detectar el oído humano ¿es factible el hecho de que una velocidad excesiva
del tren hiciera inaudible el silbato de advertencia al peatón?
Problema 7:
Sabemos:
freceptor = ffocovsonido ± vreceptor
vsonido ∓ vfocoA B
v = 343m/s
f = 500Hz
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21/32Problemas tema 2: Ondas
a) Frecuencias que oyen A y B
No hay movimiento relativo entre A y el tren.
No hay efecto Doppler.
fA ≡ ftren = 500Hz
Problema 7
500 Hz 343 m/s 20 m/s
0
fB = ftrenvsonido ± vB
vsonido − vtren = 531Hz
Acumulación de frentes de
onda delante del emisor, que
acorta la longitud de onda
emitida
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22/32Problemas tema 2: Ondas
b) Frecuencia que oyen A y B con viento
El movimiento relativo de A y de B no cambia.
Sólo cambia la velocidad efectiva del sonido.
vefectiva sonido = vsonido ± vviento
Misma razón que en el apartado anterior.
fA ≡ ftren = 500Hz
A B
v = 343m/s
viento= +5m/s
Problema 7
500Hz343 + 5
343 + 5− 20m/s
m/sfB = ftren
vefec.sonido ± vB
vefec.sonido ∓ vtren = = 530.5Hz
.efec sonidov
En este caso, la onda se aproxima a B
arrastrada por el viento, o sea, a mayor
velocidad efectiva, (elegimos el signo +).
Elegiríamos el signo menos si el viento soplara
en contra.
0
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23/32Problemas tema 2: Ondas
c) Velocidad del tren para que B no escuche el silbato
Para la frecuencia máxima audible=20000Hz, la velocidad del tren
sería:
fB = 20000Hz = ftrenvsonido
vsonido − vtrenPara esa velocidad, 334.4
m/s, la frecuencia del tren se
hace inaudible, pero es
demasiado grande para que
un tren pueda alcanzarla.
¿Podrían darse frecuencias
inaudibles (superiores a
20000 Hz) para velocidades
de tren más bajas?
Para esa velocidad, 334.4
m/s, la frecuencia del tren se
hace inaudible, pero es
demasiado grande para que
un tren pueda alcanzarla.
¿Podrían darse frecuencias
inaudibles (superiores a
20000 Hz) para velocidades
de tren más bajas?
Problema 7
vtren = vsonido
∙1− ftren
fB
¸= 334.4m/s
= 343m/s
∙1− 500
20000
Hz
Hz
¸próxima
diapositiva
a la que
correspondería
una velocidad
de tren:
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24/32Problemas tema 2: Ondas
Problema 7
Veamos cómo varía la función vtren frente a la frecuencia que
recibe el observador B, fB
vtren
fB20000 Hz
Audible
Inaudible334.4
2
0
tren sonido tren
B B
d f
d f f= >
v vLa pendiente:
es positiva, la función vtren es
creciente con fB, lo que
significa que para velocidades
del tren mayores que 334.4
m/s, la frecuencia observada
estará por encima del límite
audible, (y para velocidades
menores, por debajo). Esa
velocidad, por tanto, marca la
separación entre lo audible y
lo inaudible.
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25/32Problemas tema 2: Ondas
5000
Fv
Fv t
Fv = 1.22
Problema 8
vtα
a)
π/2-α
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26/32Problemas tema 2: Ondas
a)
Problema 8
Dos formas alternativas de calcular este tiempo:
cos5000
vtα =
O bien
A partir de la distancia recorrida
por la onda de sonido
(distancia vt, en naranja)
A partir de la distancia recorrida
por la onda de choque
(distancia vF t, en marrón)
5000
F
tgv t
α =
veloc. del sonido
veloc. del avión
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27/32Problemas tema 2: Ondas
×1.22
5000 m
Fv =
ʹvtαα
Problema 8
b)5000
cosʹvt
α = t’
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28/32Problemas tema 2: Ondas
Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia viajan por una cuerda
tensa en direcciones opuestas. a) Calcular y dibujar la forma de la onda
resultante. b) Demostrar que la potencia promedio transmitida por esta onda es
nula.
Problema 9
a) Forma de onda resultante
y1 = A sen(Kx− ωt) y2 = A sen(Kx+ ωt)
Resultante: y1 + y2 = A£sen(Kx− ωt) + sen(Kx+ ωt)
¤
A A
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29/32Problemas tema 2: Ondas
y = 2A sen(Kx) cos(ωt)
Onda estacionaria: Cada partıcula vibra conun M.A.S. de frecuencia ω, con una amplitudque depende de su posicion.
y1 + y2 = A£sen(Kx− ωt) + sen(Kx+ ωt)
¤
Problema 9
+sen(Kx) cos(ωt) + cos(Kx) sen(ωt)¤= A
£sen(Kx) cos(ωt)− cos(Kx) sen(ωt)+
Por trigonometría simple:
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30/32Problemas tema 2: Ondas
b) Potencia promedio transmitida por la onda
Una forma de hacerlo: Calculamos la potencia instantánea e
integramos en un periodo.
Sabemos:
P = −FT ∂y∂t
∂y
∂x=
= −FT£2Aω sen(Kx)
¡− sen(ωt)¢¤£2AK cos(Kx) cos(ωt)¤ == FT (2A)
2ωK£sen(Kx) cos(Kx)
¤£sen(ωt) cos(ωt)
¤=
= FTA2Kω sen(2Kx) sen(2ωt) = P (t)
=1
2sen(2ωt)=
1
2sen(2Kx)
Potencia instantáneaPotencia instantánea
Problema 9
Derivamos y = y1 + y2 respecto de t y de x
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31/32Problemas tema 2: Ondas
La potencia
promedio es el
promedio temporal
de la P instantánea:
Pm =1
T
Z T
0
P (t) dt =
=FTA
2Kω sen(2Kx)
T
∙−cos(2ωt)
2ω
¸T0
= 0
=1
T
Z T
0
FTA2Kω sen(2Kx) sen(2ωt) dt =
Cte.
Problema 9
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32/32Problemas tema 2: Ondas
Otra forma de hacerlo: Sumando las potencias promedio que
transporta cada onda.
Sabemos: Pm =1
2μvω2A2
y1 x+
y2 x−
P+m =1
2μvω2A2
P−m =1
2μvω2A2
P total
m = P+m − P−m = 0
Problema 9
La onda 1 transporta esa potencia
en la dirección x+
La onda 2 transporta esa misma
potencia en la dirección x_
La onda total (superposición de las dos),
transporta una potencia neta nula
Exactamente la misma potenciaporque tenemos la misma ω y A(y μ y v, porque es la mismacuerda)