8/16/2019 Fase_2_Grupo_15

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CONTROL DIGITAL

FASE DOS

PARTE TEORICA

GRUPO: 299006_15

PRESENTADO POR

CAROLINA RAMIREZ

CODIGO: 22523527

WILLIAM PULIDO

CODIGO: 2231241

TUTOR:

INGENIERO FREDDY VALDERRAMA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

INGENNIERIA ELECTRONICA

Abril de 2016

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INTRODUCCION

El presente trabajo hace parte de la fase dos del curso de control digital, la cual corresponde

a la actividad dos teórica, donde desarrollan tres ejercicios sobre los sistemas de control

digital en espacios de estado de manera analítica y matemática, sin uso de software, por lo

que para su desarrollo fue necesario contar con fundamentos sobre la unidad dos, la cual se

refiere a temáticas como la solución de ecuaciones de espacios de estado, matriz de transición

de estados y métodos basado en la transformada Z.

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DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

ANEXO 2

1. Determine la forma canónica controlable en variables de estado para el siguiente

sistema G(z):

( ) =  (  + 0.9048)

(  − 0.9048)(  − 0.8187) =  + 0.9048− 1.7235 + 0.7407

Debemos llevar la función a la forma:

(   + 1) =   ( ) +   ( )

( ) = ( ) + ( )

Dividimos toda la función en

( ) =+ 0.9048

− 1.7235 + 0.7407  =  + 0.9048

1 − 1.7235 + 0.7407

Aplicamos   ( )( ) ∗  ( )

( )

( )( ) ∗

  ( )( ) =

  + 0.90481 − 1.7235 + 0.7407

Para   ( ):

( )( ) = + 0.9048 →

( ) = ( ) + 0.9048 ( )

Para   ( ):

( )( ) =

  11 − 1.7235 + 0.7407   →

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( ) =   ( ) − 1.7235   ( ) + 0.7407   ( )

Definimos las variables de estado:

(   + 1) = ( )

(   + 1) =   ( )

( ) =   ( ) + 1.7235   ( ) − 0.7407   ( )   →

(   + 1) =   ( ) + 1.7235   ( ) − 0.7407   ( )

(   + 1) =   0 1−0.7407 1.7235

( ) +   01

  ( )

Para   ( ) tenemos:

( ) = ( ) + 0.9048 ( )

( ) =   ( )

( ) =   ( )

( ) = [0.9048 1] ( ) + 0

Forma canónica controlable en variables de estado:

(   + 1) =

(   + 1)

(   + 1)

0 1

−0.7407   1.7235 ( ) +

  0

1   ( )

( ) = [0.9048 1] ( ) + 0

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2. Mediante el uso de la matriz de transición de estado obtenga la respuesta al escalón y[n]

del sistema digital descrito por las siguientes matrices de estado y condición inicial:

=   0 1

−0.7 −0.8  , =   0

1  , = [

1 0],   (0) =   1

−1

= {(   −   )   }

(   −   ) =   00   −  0 1−0.7 −0.8   =

  −10.7   (  + 0.8)

(   −   )   =  1+ 0.8 + 0.7

  ( + 0.8) 1−0.7

(   −   )   =

+ 0.8+ 0.8 + 0.7

1+ 0.8 + 0.7

−  0.7+ 0.8 + 0.7 + 0.8 + 0.7

Resolviendo la matriz de transición de estados para una señal de entrada

( ) = 1, ≥ 0   (0) =   1−1

( ) = (   −   ) [ (0) +   ( )]

[ (0) +   ( )] = −   +  − 1

− 1=

⎣

− 1− + 2

− 1   ⎦

( ) =

+ 0.8+ 0.8 + 0.7

1+ 0.8 + 0.7

−0.7+ 0.8 + 0.7 + 0.8 + 0.7

∗   − 1− + 2− 1

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( ) =

⎣

−10 + 2 − 20− 10 + 2 + + 7

10 − 13− 10 + 2 + + 7⎦

( )=

−10 + 2 − 20− 10 + 2 + + 7

10 − 13− 10 + 2 + + 7

Fracciones parciales para cada término:

−10 + 2 − 20− 10 + 2 + + 7 =

 1.12− 1 +

 −0.0600 + 0.7947+ 0.4000 − 0.7348  +

 −0.0600 − 0.7947+ 0.4000 + 0.7348

10 − 13− 10 + 2 + + 7 =

 0.12− 1 +

 −0.5600 + 0.3620+ 0.4000 + 0.7348  +

 −0.5600 − 0.3620+ 0.4000 − 0.7348

( ) =⎣

1.12− 1 +

 −0.0600 + 0.7947+ 0.4000 − 0.7348   +

 −0.0600 − 0.7947+ 0.4000 + 0.7348

0.12− 1 +

 −0.5600 + 0.3620+ 0.4000 + 0.7348   +

 −0.5600 − 0.3620+ 0.4000 − 0.7348 ⎦

Transformada inversa Z:

( ) =

  ( + )

−   +

  ( − )

−   →   ( ) =   [ ( ) −   ( )]Primer término:

1.12− 1 +

 −0.0600 + 0.7947+ 0.4000 − 0.7348 +

 −0.0600 − 0.7947+ 0.4000 + 0.7348   →

 1.12− 1 +

 (−0.0600 + 0.7947 )− 0.836   .   +

 (−0.0600 − 0.7947 )− 0.836   .

1.12 + {1.672 [−0.06cos(2.067   ) − 0.7947 sin(2.067   )]}

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Hallamos la matriz de controlabilidad:

∗ =   0 1−0.7 −1  ∗  01   =

  1−1

=   0 11 −1   → = 2

La ecuación característica de lazo cerrado deseada es:

|   − +   | = (   − 0.5 − 0.75 )(   − 0.5 + 0.75 )

|   − +   | = − 0.5 + 0.75 − 0.5 − 0.75 + 0.8125

|   − +   | = − + 0.8125 = 0

Por lo tanto los coeficientes son   = −1 y   = 0.8125 para el lazo cerrado.

La ecuación característica de lazo abierto del sistema es:

|   −   | =   00   −  0 1−0.7 −1   =

  −10.7 + 1

|   −   | = + + + ⋯ + + = 0

Los se calculan de la siguiente manera:

= −   ( )

= − 12   ( )

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= − 13   ( )

= − 1

( )

Las matrices se calculan así:

= +

= +

= + = 0

Para la ecuación en lazo abierto |   −   | =   −10.7 + 1 calculamos los coeficientes:

=   0 1−0.7 −1

= −   ( ) = 1

= − 12   (   +   )   = −

 12

  0 1−0.7 −1   ∗

  0 1−0.7 −1  + 1

 1 00 1

= −12   (

  0 1−0.7 −1  ∗

  1 1−0.7 0

= − 12  −0.7 0

0 −0.7

= − 12   (−1.4) = 0.7

Método 1 para calcular K:

= [   − ⋮ −   ]

= [(0.8125 − 0.7) ⋮ (−1 − 1)]

= [0.1125 ⋮ −2]

Método 2 para calcular K:

= [0 1][   ⋮   ] ( )

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Donde   ( ) = − + 0.8125

( ) =   0 1−0.7 −1   −  0 1−0.7 −1  + 0.8125

 1 00 1

( ) =  −0.7 −1

0.7 0.3   −  0 1−0.7 −1   +

  0.8125 00 0.8125

( ) =   0.1125 −21.4 2.1125

= [0 1]  0 11 −1  0.1125 −2

1.4 2.1125

= [0 1]  1 11 0  0.1125 −2

1.4 2.1125

=   0 10 0   1.5125 0.11250.1125 −2

=   0.1125 −20 0

Método 3:

Se toma   = [ ] y se formula la ecuación característica de lazo cerrado en función de K

|   − +   | =   00   −  0 1−0.7 −1   +

  01  [ ]

|   − +   | =   −10.7 + 1

  +  0 0

|   − +   | =  −1

0.7 + + 1 +

|   − +   | = + + + 0.7 +

|   − +   | = +   (1 +   ) + 0.7 + = 0

La comparamos con la ecuación característica e identificamos los coeficientes:

|   − +   | = − + 0.8125 = +   (1 +   ) +0.7+

1 + = −1

= −2

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0.7 + = 0.8125

= 0.1125

= [ ] = [0.1125 − 2]

CONCLUSION

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El desarrollo de este trabajo nos permitió conocer la metodología para conocer los espacios

de estado y sus respectivos métodos de encontrarlos. La dinámica de un sistema se puededescribir en función del valor del vector de estado y de la señal de entrada.

Nos permitió conocer la estrategia de control para encontrar la ubicación de los polosmediante realimentación del vector de estados, conociendo la condición necesaria para

lograrlo.

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BIBLIOGRAFIA

Rodríguez D, Alamo T, (2007), Espacio de estados. España, Escuela superior deIngenieros Industriales de Sevilla. http://www.control-

class.com/Tema_6/Slides/Tema_6_Diseno_Controladores.pdf 

Rodríguez D, Bordons C, (2007), Apuntes de ingeniería de control. Págs. (1-24) España,Escuela Técnica Superior de Ingeniería.http://www.esi2.us.es/~danirr/apuntesIC4.pdf .

UNER, (2007), Espacio de estados. Argentina, Universidad Nacional de Entre Rios,Facultad de Ingeniería.http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Teori

as/CAyA/2015/teora%204%20y%205_2015_espacio%20de%20estados.pdf 

UNER, (2007), Método del espacio de estado. Argentina, Universidad Nacional de EntreRios, Facultad de Ingeniería.http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Anexos/anexo_ve.pdf