TRABAJO FASE 1

PARTE TEORICA

PRESENTADO POR

WILLIAM JESUS PULIDO CARO

CODIGO: 2.231.241

GRUPO:

299006_15

PRESENTADO A:

FREDDY VALDERRAMA

UNOVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

INGENIERIA ELECTRONICA

Marzo, 2016

INTRODUCCION

El presente documento corresponde al primer trabajo colaborativo, parte teórica delcurso de control digital donde se plasma los conocimientos de la primera unidadconocida como conceptos básicos y diseño de controladores digitales por medio demétodos convencionales. Donde se recordó los conocimientos y fundamentos de latransformada z y su inversa z^-1, logrando encontrar los funciones X(n), medianteel uso de métodos como fracciones parciales y división directa.

Además tiene un análisis sobre as gráficas y ecuaciones de la generación de lasecuencia c(kT), luego de aplicar señales como impulso unitario, rampa unitaria yescalón unitario, permitiendo ver sus diferencias.

Finalmente, muestra el diseño de un controlador PID para una planta dada,mediante el uso de métodos convencionales como: el método de Ziegler Nichols yel método del lugar de las raíces.

OBJETIVOS

Reconocer los conceptos fundamentales para el control digital, relacionados con latransformada y su inversa, así como las funciones de transferencias.

Diseñar un controlador digital mediante métodos convencionales

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

1. Teniendo en cuenta el video transformada z de control digital(https://www.youtube.com/watch?v=IK5GYVCYA8k) y los demás materialesrelacionados en el entorno de conocimiento y relacionados con latransformada Z resuelva los siguientes ejercicios:

a. Usando el método de fracciones parciales obtenga x[n] a partir de( ) = ( )( )( ) = ( + 2)( − 1)( ) = ( + 2)( − 1)

Usamos fracciones parciales:( ) = ( + 2)( − 1) = − 1 + ( − 1)( + 2) = ( − 1) +Resolvemos para encontrar el valor de A( + 2) = − += 1Reemplazamos− + = 2= 3 = 1

Retomamos la función original:( ) = − 1 + ( − 1)

( ) = 1− 1 + 3( − 1)( ) = − 1 + 3( − 1)( ) = +

b. Usando el método de división directa obtenga x[n] a partir de ( ) =( )( )Expresado en polinomios: ( ) = ( + 2)( − 1)( ) = + 2− 2 − 1Polinomio en función de ( ) = 1 + 21 − 2 −Método de la división:

1 + 2−1 + 2 −0 + 4 −−4 + 8 − 40 + 7 − 4−7 + 14 − 70 + 10 − 7−10 + 20 − 100 + 13 − 10

1 − 2 +1 + 4 + 7 + 10 + 13 +⋯

−13 + 26 − 130 + 16 − 13Ecuación:

[ ] = ( )[ ] = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +⋯

c. Compare los resultados obtenidos en a y b.

En el punto a, la ecuación es:( ) = +En el punto b, la ecuación es:[ ] = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +⋯Para comparar los resultados es necesario dar valores a la n

Para n=0 ( ) = +( ) = + ( )( ) =Se observa que cuando el valor de n es cero, el valor de x es 1, lo que se

comprueba en la segunda ecuación:[ ] = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +⋯ Para n=1 ( ) = +( ) = + ( )

( ) = + =Se observa que cuando el valor de n es uno, el valor de x es 4, lo que se

comprueba en la segunda ecuación:[ ] = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +⋯ Para n=2 ( ) = +( ) = + ( )( ) = + =

Se observa que cuando el valor de n es dos, el valor de x es 7, lo que se

comprueba en la segunda ecuación:[ ] = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +⋯ Para n=3 ( ) = +( ) = + ( )( ) = + =

Se observa que cuando el valor de n es tres, el valor de x es 10, lo que se

comprueba en la segunda ecuación:[ ] = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +⋯ Para n=4 ( ) = +( ) = + ( )( ) = + =

Se observa que cuando el valor de n es cuatro, el valor de x es 13, lo que se

comprueba en la segunda ecuación:

[ ] = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +⋯2. Considere el sistema de control de la figura 1 para la planta (1/s). Determine lasecuencia c(kT) resultante de aplicar las siguientes señales en R(s):

Figura 1. Esquema de control

Para empezar es necesario realizar cálculos previos. Supongamos que el sistema poseeun controlador digital de tipo integral, por lo que fu función de transferencia es:( ) = 1 −Es necesario obtener la transformada z, para lo que se tiene:( ) ( ) = 1 − 1+ 1( ) ( ) = (1 − ) 1( + 1)( ) ( ) = (1 − ) 1 − 1( + 1)( ) ( ) = − 1 − 1 − −( ) ( ) = 1 −−Por lo tanto la función de transferencia de pulso es:( ) = ( ) ( ) = − 1 1 −−Lo que indica que la ecuación característica es:1 + ( ) = 0

1 + (1 − )( − 1)( − )Así es como la función de transferencia pulso en lazo cerrado para el sistema de lafigura1, es: ( )( ) = ( )1 + ( )( )( ) = (1 − )( − 1)( − ) + (1 − )

a.

R(z) de Impulso unitario

El impulso unitario está representado por la sumatoria infinita:

∗( ) = ( ) ( − )Por lo que un tren de impulsos unitarios como:

( ) = ( − )La secuencia c(kt) en función de kt es:

b.

R(z) de Escalón unitario

( ) = 11 −La secuencia c(kt) en función de kt es:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0,5 1 1,5 2 2,5

IMPULSO UNITARIO

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15 T16 T17

ESCALON UNITARIO

c.

R(z) de Rampa Unitaria.

( ) = [ ] = ( ) = =( ) = [ ] = ( + 2 + 3 +⋯ )

( ) = (1 − )( ) = ( − 1)

La secuencia c(kt) en función de kt es:

3. Teniendo en cuenta el mismo esquema de esquema de control de la Figura1. Diseñe los controladores de acuerdo a las instrucciones y requerimientos:

a. Diseñe un controlador PID digital (T=0.1s) usando el método de ZieglerNichols, tal que el tiempo de establecimiento sea menor a 2 segundos y elsobreimpulso sea menor al 20%, para la siguiente planta:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RAMPA UNTARIA

Sugerencia: Obtenga el controlador analógico y luego realice ladiscretización del mismo mediante alguno de los métodos explicados en(http://www.control-class.com/Tema_6/Slides/Tema_6_Diseno_Controladores.pdf)

Cálculos de la función de transferencia para colocarla en Matlab

10+ 2 + 12 + 110+ 52 + 1Función resultante. 10+ 2.5 + 1

Grafica matlab con los puntos 0 a L, 0 a T y T marcados.

Código de matlab para obtener la gráfica.

close allclear allclc

num=[10]den=[1 2,5 1]FT=tf(num,denfigure (1)step(FT)

Se Remplazan los valores reales del sistema.

0 a L = 0.519 0 a T = 5.27 T = 4.754

Tipo de controlador Kp Ti Td

P4.7540.519 ∞ 0

PI 0.9 4.7540.519 0.5190.3 0

PID 1.2 4.7540.519 2*0.519 0.5*0.519Resultados de la solución de las operaciones anteriores.

Tipo de controlador Kp Ti Td

P 9.15 ∞ 0

PI 8.24 1.73 0

PID 10.99 1.038 0.259

Tabla 2 - Parámetros de arranque para los controladores

Parámetro Controlador P Controlador PI Controlador PID

Kp 9.15 8.24 10.99

Ki NA 1.73 1.038

Kd NA NA 0.259

Los Valores obtenidos del PID se dan después de hacer varios cambios en los mismos hastaobtener los más adecuados con el fin de que cumpliesen con los requerimientos delejercicio.P = 0,56I = 0,24D= 0,13

Grafica Sin PID en sistema Analógico.

Grafica con PID en sistema Analógico

Controlador Análogo a Digital

Para eso es necesario aplicar la fórmula para el controlador PID discreto equivalente:

( ) = ( − )( − )( − 1)( ) = + +( − 1)

Y para el cálculo de constantes:

= − − 32= + +

== 2 + +

= 2 − 2 −

=Valores del PID.P = 0,56I = 0,24D= 0,13

De acuerdo al controlador PID discreto Equivalente se debe hallar a, b y c.

Constate a:

= + +Se Remplazan los valores de Kp-Ki y Kd.

= 0,24 ∗ 0,12 + 0,130,1 + 0,56= 0,0242 + 0,130,1 + 0,56

= 0,0242 + 0,130,1 + 0,56= 0,0024 + 0,260,2 + 0,56

= 0,26240,2 + 0,56= 0,2624 + 0,1120,2 = 0,37440,2 = 1,872

= ,Constante b:

= − −Se Remplazan los valores de Kp-Ki y Kd.

= 0,24 ∗ 0,12 − 2 ∗ 0,130,1 − 0,56= 0,0242 − 0,260,1 − 0,56

= 0,0242 − 0,260,1 − 0,56= 0,024 − 0,520,2 − 0,56

= −0,4960,2 − 0,56= −0,496 − 0,1120,2 = −0,6080,2 = −3.04

= − .Constante c:

=Se Remplaza

== 0,130,1 = 1,3

= ,Grafica Controlador PID Discreto Equivalente.

Se observa que en la gráfica no se muestra el resultado más óptimo incluyendo el PID.

Digitalizo todo el sistema con el zoh.

d. Diseñe un controlador digital (T=0.1s) en adelanto, tal que el tiempo deestablecimiento sea menor a 1.5 segundos y el sobreimpulso sea menor al20%, para la siguiente planta:( ) = 1( + 1)( + 2)Sugerencia: Digitalice la planta y luego realice use el método explicado en(http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Control_Automatico/Presentaciones/11_ControlRlocus_Adelanto_Discreto_v12s01.pdf)

Controlador digital métodos del lugar de las raíces:

Para empezar suponemos que el factor de amortiguamiento relativo es:Ϛ = 0,5Para el sistema de segundo orden estándar con un par de polos dominantesen lazo cerrado, el tiempo de asentamiento de 1,5 seg, es decir:1,5 = 40,5

Se despeja la frecuencia natural no amortiguada:1,5 ∗ = 40,51,5 ∗ = 8= 81,5= 5,33Teniendo el valor de la frecuencia amortiguada de los polos dominantes enlazo cerrado, se determina la frecuencia natural amortiguada:= 1 − ϚSe reemplaza los valores: = 5,33 1 − (0,5)= 5,33 1 − 0,25= 5,33 0,75= 5,33 ∗ (0,866)= 4,61Ahora: = 2Recordemos que el tiempo es: 0,1 = 20,1= 20

= 62,83Muestras aproximadas por cada ciclo de oscilación amortiguada:= 62,834,61= 13,62Para empezar es necesario localizar los polos dominantes en lazo cerrado deseados en elplano z. así es que para un lugar geométrico de los factores de amortiguamiento relativocontante tenemos: [ ] = Ϛ

[ ] = ϚϚReemplazamos los valores:

[ ] = ( , )( , ) , ,[ ] = , , , ,[ ] = , , ,[ ] = ,[ ] = 0,766

Ahora: ∠ =∠ = 2Reemplazamos los valores: ∠ = 2 4,6162,83∠ = 2 ∗ (0,0733)∠ = 0,461∠ = 26,35°

Podemos ahora localizar el polo dominante en el lazo cerrado deseado en la parte superiordel plano z: = 0,766 ∗ ∠26,35°= 0,4158 + 0,2381Con el periodo de muestreo de 0,1 segundos, la función de transferencia pulso de la plantaprecedida por el retenedor, o reten, de orden cero es:( ) = 1 − , 1( + 1)( + 2)( ) = (1 − ) 1( + 1)( + 2)Reemplazando valores:

( ) = 0,0951( + 0,9048)( − 1)( − 0,766)La función de transferencia para el controlador se supone como:( ) = ++Así es como se conoce que: ( ) = − 0,766− 0,1843La función de trasferencia pulso en lazo abierto queda:( ) ( ) = − 0,766− 0,1843 0,0951( + 0,9048)( − 1)( − 0,6703)Se cancela los términos: ( ) ( ) = 0,0951( + 0,9048)( − 1)( − 0,1843)La constante de ganancia k, se determina asi:( ) ( ) , , = 1

Se reemplaza: 0,0951( + 0,9048)( − 1)( − 0,1843) , , = 1= 11,67

El controlador digital diseñado es: ( ) = − 0,766− 0,1843( ) = 11,67 − 0,766− 0,1843

CONCLUSIONES

Aunque se pueden usar varios métodos para conseguir la x(n), a partir de la funciónde transferencia mediante el uso de la transformada, los resultados deben seriguales.

Igualmente, aunque existen varios métodos convencionales no computacionales,para obtener el diseño de controladores, ellos deben siempre apuntar a lo mismo.

BIBLIOGRAFIA

Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. Segunda edición.Pretence Hall Hispanoamericana, S.A. Nueva York.