fase 3 ecuaciones diferenciales

8/9/2019 FASE 3 Ecuaciones Diferenciales

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ECUACIONES DIFERENCIALES

GRUPO 100412 - 6

TRABAJO FASE 1

UNIDAD 1

POR

PRESENTADO A

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Escuel !e C"e#c" B$s"c% Tec#&l&'( e I#'e#"e)(

INGENIERIA DE TELECO*UNICACIONES

CEAD JOSE ACEVEDO Y GO*E+

BOGOTA *AR+O 201,

Te$."c/ ecuc"&#es !"e)e#c"les s&luc"# 3&) se)"es !e 3&.e#c"s



2. Revisar la convergencia de las siguientes series

Teorema a tener en cuenta.

Si existe una N tal que para n ≥ N , an ≠0 y limn → ∞

|

an+1

an

|= L

Si L<1,entonces∑ an es convergente

Si L>1,entonces∑ an esdivergente

Si L=1, entonces el criterio es poco concluyente

∑n=1

∞1

n !

limn →∞ (|

1

(n+1 )!1

n !|)

limn →∞

( 1n+1 )=0

Si L<1,entonces∑n=1

∞1

n !esconvergente

∑n=1

∞1

2n+1

limn →∞ (|

1

2(n+1 )+11

2n+1

|)



limn →∞ ( 1+2

n

1+2n+1 )=1

2

Si L<1, entonces∑n=1

∞1

2n+1

esconvergente

∑n=1

∞n

(n+1)(n+2)(n+3)

Nos basamos en el siguiente criterio:

Si existe una N ≥ k tal que para

n ≥N , f (n )=anes positiva , continua ycon decremento.

Entonce∑n=k

∞

an y∫k

∞

f ( x ) dx puedenser convergenteso divergentes

∫1

∞ x

( x+1)( x+2)( x+3) dx

ln (8√ 2

9 )

∑n=1

∞n

(n+1)(n+2)(n+3)es positiva ,continua y con decremento desde n=1

Es convergente

∑n=1

∞e

nn !

nn

4. Resolver por series la ecuación diferencial



y − ( x+1 ) y + x2

y= xon y (0 )=1, y (0 )=1

Obtenemos los coeficientes de los valores de la expresión, derivando x0=0 " estos

salen de las condiciones iniciales.

y (0 )=1 " y (0 )=1" y

= (0 )+ (0+1 ) y (0 )−02

y (0 )=1

erivamos nuevamente

y ( x )= y

( x )+ ( x+1 ) y ( x)−2 xy ( x )− x2 y

( x )+1

y (0 )= y

(0 )+(0+1 ) y (0 )−2(0) y ( x )−02

y (0)+1

y (0 )=1+1+1=3

Tenemos como solución

y# ( x )=1+ x+

x2

2 +

x3

3 +

x4

4$

!sta solución contiene las dos soluciones "la #omog$nea % la particular de lain#omog$nea& sumadas

ado 'x' ( ) % la ecuación diferencial

y +

x

1− x2

y −

x

1− x y=e

2 x

, on y (0 )=1, y (0 )=1

Tenemos solución general

y ( x )= y (0 ){1+ x2

2 + x

4

24+ x

6

80+$}+ y (0)

x+{ x2

2 + x

3

3 + x

4

8 +$}

*l rempla+ar los valores iniciales tenemos:



y ( x )=1+ x+ x2+

x3

3 +

x4

6 +

x5

30+

x6

680−

4 x7

315− 79 x

8

10080+$

. Solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario

( x2+1 ) y + x y − y=0

-onclusiones

espu$s de #aber explorado, estudiado % anali+ado los captulos de la unidad tresdelmodulo del curso de !cuaciones iferenciales, donde se conoció la estructuratem/tica,conceptos, e0ercicios % dem/s aspectos que lo conforman, se puede concluirque:

1sta nueva forma de aprendi+a0e virtual, abre un sinfn de oportunidades,permitiendo nosolo interactuar con personas de diferentes regiones,profesiones % perfiles, sino queense2a % motiva al *uto aprendi+a0e.

!l 3rupo colaborativo, m/s que un grupo de traba0o, se puede ver como una#erramientade aprendi+a0e, que permite fortalecer todos esos conceptosfundamentales mediante las

actividades % los foros, para el desarrollogeneral del curso.



ediante el desarrollo de las diferentes ecuaciones diferenciales5 se pudoexplorar,visuali+ar % aplicar los conceptos del estudio de series % funcionesespeciales, como las

t$cnicas para resolver !cuaciones iferenciales a trav$sde series matem/ticas, laaplicación de los conceptos de punto ordinario %punto singular regular en una

!.

, el estudio de series de potencias,funciones analticas, as como tambi$n el uso de seriesde Ta%lor %ac6aurn5 fomentando la lectura, la reflexión % el an/lisis.

Se logró tener una idea clara de la estructura general de curso, as comotambi$n de laforma en que se llevaron a cabo las actividades % lineamientosa seguir para lareali+ación de las unidades did/cticas, la manera en que seevaluaron las actividades %dem/s aspectos que conformaron la materia.

*l asimilar e identificar las tem/ticas principales % contenidos del curso de!cuacionesiferenciales, se comprendió la importancia de $sta para laformación como futuros

profesionales e 7ngenieros de Sistemas.

7ntroducción

Teniendo como referencia que las

Ecuc"&#es D"e)e#c"les

constitu%en uno de los m/s poderosos instrumentos teóricos para la interpretación %

modelación de fenómenos cientficos % t$cnicos de la ma%or variedad, a saber, aquellosque contienen din/micas, que expresan evolución, transformación o cambio en t$rminosde alg8n con0unto de par/metros 5ue son, por eso, de especial importancia pr/ctica% teórica para losingenieros de cualquier rama.!l presente traba0o se reali+a con el fin deconocer los conceptos % temas fundamentales de los captulos de la unidad tres "

!studio de Series % 9unciones!speciales

& del curso, aplicando las bases asimiladas en la solución de e0erciciosrelacionados condic#as tem/ticas, mediante la descripción por pasos de lo reali+ado,con la finalidad de

profundi+ar en los temas estudiados % as evidenciar la ense2an+aque nos de0a el

módulo.*dem/s del aprendi+a0e, al desarrollar los e0ercicios propuestos, tambi$n nos dalaoportunidad de compartir conocimientos con cada uno de nuestros compa2eros,al



reali+ar aportes individuales, que nos permite medir nuestra capacidad de desarrollo,loque #ace enriquecer nuestros conocimientos % me0orar la destre+a de aprender atraba0aren grupo.or todo lo anterior, % teniendo m/s claro el panorama de la plataforma % elmodulodel curso, as como el #aber revisado los aspectos generales de la estructura delamateria % el contenido del mismo5 se da la posibilidad de presentar en este

documento,el resultado del tercer traba0o colaborativo, mediante la reali+ación dee0ercicios para#allar el radio de convergencia de algunas series % resolver ecuacióndiferencialmediante series de potencias5 aspectos que refle0an la claridad sobre lastem/ticas,todo con el fin de aplicar los conceptos asimilados durante la unidad tres.

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