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FACULTAD DE ECONOMÍA UNAMFACULTAD DE ECONOMÍA UNAM

Maestría en EconomíaMaestría en Economía

Prof. Eduardo AlatorreProf. Eduardo Alatorre

LABORATORIO DE ECONOMETRÍA LABORATORIO DE ECONOMETRÍA 20062006

Pruebas de diagnostico en el modelo Pruebas de diagnostico en el modelo EconométricoEconométrico



NormalidadNormalidadNormalidadNormalidad

Taller de Econometría

Horacio Catalán Alosno

f

XyXyy nxy ´21

exp)2(

1)( 2/2

El modelo se distribuye como una función de densidad de probabilidad normal

El condicionamiento de la variable dependiente al conjunto de variables independientes se distribuye como una normas

Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso

EconometríaEconometría



Implicaciones:

Los estimadores se distribuyen como una función de distribución normal

12 XX ',Nˆ

Las siguientes pruebas de hipótesis son validas

t-Student´s

F-estadística

2 ji-cuadrada

Pruebas de pronóstico





Prueba de Normalidad

Se pude determinar por medio del tercer y cuarto momento central de la distribución

Primer momento. La media de la distribución E(x) =

Segundo momento. La varianza de la distribución Var(x) =





E(x)

Var(x)

Distribución normal

Tercer momento. Sesgo de la distribución

0333 /uE t Coeficiente de simetría





E(x)

E(x)

Sesgo a la derecha

Sesgo a la izquierda





E(x)

Var(x)

Simétrica





Cuarto momento. Curtosis

3443 /uE t

E(x)

Leptocúrtica





E(x)

Platicúrtica

E(x)

Var(x)Mesocúrtica





Prueba Jarque-Bera(1987). Utiliza un estadístico en prueba que involucra la curtosis y la asimetría.

Hipótesis nula H0: 3=0 y =0

Hipótesis alternativa H1: dif y dif 0





Combina las dos distancias:

0300 43 ˆˆ

21

1

2

1

44

433

3

1321

1/T

tt

T

t

iti u

Tˆ,,i,u

Tˆ

ˆˆ

ˆ,ˆˆ

ˆ



Combina las dos distancias:



El estadístico para la prueba se distribuye como una ji-cuadrada con 2 grados de libertad

24

23

2 3246

2 ˆT

ˆT

)(JB

A un nivel de significancia del 5% el estadístico JB tiene como valor crítico el 5.99





Consecuencias por la ausencia de normalidad en los errores

Las pruebas de hipótesis consideradas para realizar inferencia estadística no son adecuadas

Causas que generan el problema

Las series utilizadas en el modelo no se distribuyen como una normal

Presencia de valores extremos en la serie



AutocorrelaciónAutocorrelaciónAutocorrelaciónAutocorrelación

La autocorrelación se define como la existencia de correlación entre ut con sus valores pasados:

Las causas de la autocorrelación:

• La omisión de variables relevantes en la ecuación

estimada (Steward y Wallis, 1981)• Transformaciones en las ecuaciones o ajustes

estaciónales (Davinson, Hendry, Srba, Yeo, 1978)• La presencia de rezagos en el proceso de ajuste que no

fueron considerados en la ecuación inicial.

0 kttuu



1) Los MCO siguen dando estimadores insesgados y

consistentes cuando se utilizan variables exógenas en

la ecuación inicial

2) Los MCO proporcionan estimadores sesgados e

inconsistentes en el caso en que se utilizan variables

endógenas en la ecuación inicial:

Problemas de Autocorrelación



2.a) Los estimadores no tienen varianza mínima

2.b) Las estimaciones de los errores estándar tienden

por lo general a subestimar al valor real lo que se

traduce en la obtención de pruebas t que rechazan

excesivamente la hipótesis nula (Steward y Wallis,

1981, Maddala,1988)

2.c) Las predicciones muestran, por lo general,

valores más elevados que los normalmente

esperados (Steward y Wallis, 1981)



La función de autocorrelación se define como:

Donde los intervalos de confianza están dados por:

212

/1

)4(

V )3( 2

nn

uuu

t

ktt



n representa el número de observaciones

Los valores fuera de estas bandas indican la presencia de autocorrelación

La estimación y detección apropiada de la autocorrelación requiere que la serie corresponda a un proceso estacionario



Caso simple (Maddala, 1988):

(5) et = et-1+ vt

Cuando es estacionario → la media y la covarianza

son constantes (Judge et al 1982, p.385):

(6) Et(etet-k) = Et(eses-k)

(7) Et(e2t) = Et(e2

t-k)



Combinando las ecuaciones (6) y (7) se obtiene:

)()(

)8(22

eEeEeeE

ktttt

kttt

En el caso de una serie estacionaria, la autocorrelación

se define como:

)/(2R )9( eee tkttk

Donde la función de autocorrelación aparece como:

2

t

kt-tk e

)ee( R (10)



Durbin Watson

La prueba Durbin Watson se define como la razón de

la suma del cuadrado de la primera diferencia de los

residuales con respecto a la suma del cuadrado de los

residuales (Greene, 1991 y Steward y Wallis, 1981):

La hipótesis nula (HO) es que no existe autocorrelación.

2

2

1d )11(t

tt

e

ee



Una aproximación, para grandes muestras, a esta

prueba puede obtenerse utilizando (Maddala, 1988):

(12) d = 2(1-)

Donde et =et-1+vt



La ecuación (12) indica que cuando d difiere

sustancialmente de dos entonces existe la posibilidad

de autocorrelación serial

La ecuación (12) indica que si la autocorrelación es

cero (=0) entonces d=2

Por el contrario si existe autocorrelación positiva

(0<<1) entonces 0<d<2 y si existe una

autocorrelación negativa (-1<<0) entonces 2<d<4



rechazar aceptar Ho rechazar

donde dl es el limite inferior y du es el límite superior.

El cuadro 1 puede interpretarse de la siguiente forma:

• d<dl implica que Ho se rechaza.

• d>du implica que Ho no se rechaza

• d<d<du la prueba no es concluyente

CUADRO 1

0 dl du 2 4-du 4-dl 4



La Durbin Watson es válida solo cuando las variables

incluidas en la ecuación son exógenas.

Durbin Watson pierde potencia cuando se incluyen

los valores rezagados de la variable dependiente en

la ecuación de regresión.

En este caso el valor del estadístico d esta sesgado

hacia 2 y puede por tanto indicar la independencia

serial cuando en realidad existe un problema de

autocorrelación.



La prueba H de Durbin sigue siendo válida cuando se incluyen valores rezagados de la variable dependiente:

)(1)14(

1

nVn

H

H-Durbin

ttkktkt uyyy 110t ...y )13(

La H de Durbin se define como:



donde

1y V representa la varianza estimada de 1

1-t2

1-tt

e

ee )15(



La prueba H de Durbin es equivalente a estimar la siguiente regresión:

Donde se analiza la significancia estadística de

El análisis de es similar a incluir a et-1 en esta

ecuación y analizar su significancia estadística1

tktkitttt uxxyye ...e )16( 3221111t

1



Asumiendo que los errores son autorregresivos de orden p entonces

La prueba del Multiplicador de Lagrange

titkktkto uxyy 111t ...y )17(

Se estima la siguiente regresión:

tptptt veee ...u )18( 22110t

0 : 210 po

El estadístico se distribuye como .)( 22 nRX



Opción alternativa:

El estadístico se distribuye como

De este modo, se rechaza la hipótesis nula de independencia

serial si nR2 es mayor que el valor seleccionado de X2().

titkptptt vxeee 122110t ...u )18(

0 : 210 po

.)( 22 nRX



Opciones:

1. Transformando a la ecuación inicial

2. Problema de especificación

Corrección de Autocorrelación



Considerando el caso de dos variables se tiene que:

Suponiendo un proceso autorregresivo de primer orden:

Transformación de la Ecuación Original

tt uy 10ty )19(

tt eu 1tu )20(



Se desprende que:

sin autocorrelación serial

tvxx 1tt101tt )1(yy )21(

1tt uuvt

tv



Cochrane Orcutt

La prueba de Cochrane Orcutt estima el modelo inicial dado por:

(22) yt = 0 + Σ 1xit + ut

Suponiendo un número de rezagos de la autocorrelación:

(23) et = Σ ixit + vt

De donde puede obtenerse :

(24) = Σ (etet-1) / Σ e2t-1)



El segundo paso es re-estimar por MCO la ecuación original modificada utilizando el valor obtenido de para transformar la ecuación:

Esta nueva ecuación se utiliza nuevamente para obtener estimaciones de :

Este procedimiento se realiza iterativamente hasta que las estimaciones de convergen.

ttttt exxBByy )()1()25( 1101

1

21)26(

t

tt

e

ee



El Método de Durbin Watson en dos etapas

Estimar por MCO la siguiente ecuación para obtener . (27)

Con esta estimación inicial de se transforma la ecuación original y se estima entonces la ecuación transformada: (28)

ttttt eyxxy 11110 )1(

ttttt vxxyy )()1( 1101



El Método de Difrenciación y de Ajuste Dinámico

Bajo el supuesto de que =1 entonces la ecuación (28) puede escribirse con las variables en primeras diferencias:

Corrige autocorrelación, pierde información

ttt vxy 1)29(



Autocorrelación y los problemas de especificación

Suponiendo que la autocorrelación es de orden uno:

Solución al problema de la autocorrelación:

Este modelo sin embargo es similar a estimar:

ttt uxy 10)30(

ttt vuu 1)31(

1111100 )()32( tttttt uuxxyy

ttttt vxxyy 132110)33( Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso


Con la restricción de que 1 2 = -3



HeteroscedasticidadHeteroscedasticidadHeteroscedasticidadHeteroscedasticidad


Supuesto: Varianza constante en el modelo

2/ xXYVar

La heteroscedasticidad se define como cambios de la varianza del término de error de la ecuación estimada




Problema de Heteroscedasticidad

)(/ xhVar xXY

La varianza no es constante y es una función de las variables explicativas del modelo



En términos más generales:

Donde no se tiene elementos idénticos en la diagonal

2)'( eeE


Implicaciones del supuesto

Los estimadores son eficientes, es decir presentan la menor varianza

/ˆˆ)ˆ( EVar

Desarrollando

112

11

XXXXXX

XXXUUXXX

´´´

´´´´E)ˆ(Var




112

XX1

XX1

XX1

´

n´

n´

nn)ˆ(Var

La matriz de varianzas y covarianzas puede ser expresada como

Se requiere que la varianza sea finita. Lo cual se cumple siempre y cuando los elementos de W sean finitos




n

n

x

x

x

´ 2

1

2

2

2

12 0

0

xxXX

Representación matricial




tttt uZXY 210

White: Términos no Cruzados



Esta prueba asume que la heteroscedasticdad es función de la variables independientes de la ecuación inicial


tttttt wZZXXY 243

2210

00,0,0,0:

0:

432101

432100

H

H



Esta prueba se distribuye como una Chi cuadrada con el número de grados de libertad dados por el número de variables incluidas en la regresión auxiliar sin incluir la constante


tttt uZXY 210

tttttttt wZZZXXXY 25443

2210

0,0,0,0,0,0:

0:

5432101

5432100

H

H

White: Términos Cruzados




ARCH (1):



Esta prueba se basa en la estimación de una regresión que incluye los valores rezagados al cuadrado de los residuales de la ecuación original. La hipótesis nula es que no existe heteroscedasticidad

Está hipótesis se rechaza si los coeficientes de la ecuación son estadísticamente significativos. La prueba se distribuye como una Chi con ρ grados de libertad


tttt uZXY 210

ttt euu 2

1102 ˆˆ

0:

0:

11

10

H

H



Consecuencias:

1. Los MCO siguen siendo insesgados y consistentes pero son ineficientes. Esto es la varianza ya no es mínima pero el uso de los MCO sigue siendo válido al menos en muestras grandes no obstante que no representa un uso eficiente de la información

2. Los estimadores de la varianza son sesgados

3. Como consecuencia de que las estimaciones de la varianza ya no son mínimas entonces las pruebas de la significancia basadas en los t disminuyen su poder



Causas:

1. Problemas de especificación

2. Variación en los coeficientes estimados

3. Problemas de agrupación de los datos



Soluciones para la Heteroscedasticidad

1. Especificación dinámica

2. Utilizarse estimaciones por mínimos cuadrados generalizados en donde se conoce o especifica a priori la forma de la heteroscedasticidad



3. Reespecificar la ecuación original

Cambio Estructural Cambio Estructural o Estabilidad o Estabilidad en los Parámetrosen los Parámetros

Cambio Estructural Cambio Estructural o Estabilidad o Estabilidad en los Parámetrosen los Parámetros

ttt uXY Modelo general



Una de las hipótesis estructurales del modelo es la constancia de los parámetros del modelo de regresión, es decir la existencia de una estructura única, valida para todo el periodo de observación y que se mantenga para el horizonte de predicción

El no cumplimiento del supuesto de estabilidad de los coeficientes, implica consecuencias serias, en primer lugar la estimación de los coeficientes produce resultados incorrectos, y en segundo lugar, porque las proyecciones resultan erróneas.

Supuesto: Parámetros invariantes en el tiempo

ttt uXY Modelo general

El valor de los estimadores no cambia en el tiempo

Cambio Estructural.- Es un cambio en el valor de los parámetros



ttXxXY /E

1) La media condicional del modelo cambia en el tiempo.

Los resultados que se obtienen no son confiables. El modelo no aproxima adecuadamente la evolución de la serie

2) El modelo no es adecuado para realizar pronóstico



1) Problemas de especificación en el modelo. Es necesario incorporar más información.

Causas que generan el problema:

2) La variable dependiente presenta cambio estructural. Debido a choque externos ó medidas de política que han afectado su evolución



ttt uXY



Para probar la existencia o no de estabilidad se han

desarrollado diferentes pruebas entre las cuales

están las conocidas como CUSUM, CUSUMSQ y

CHOW.

Chow de Cambio Estructural



La prueba clásica para un cambio estructural es atribuida a Chow (1960). Su famoso procedimiento divide la muestra en dos subperíodos, estima los parámetros para cada subperíodo y luego prueba la igualdad entre los dos conjuntos de parámetros utilizando un estadístico F clásico

ttt uXY

Consideramos que la muestra de t = 1,..., T

Se elige una fecha de cambio estructural t = n

Esa fecha divide en dos ala muestra T = T1 + T2



Supóngase el siguiente modelo :

La segunda estimación comprende a partir de la fecha de cambio

H0:

H1: distinto a



Se realizandos estimaciones

2222

1111

uXY

uXY

TTT

TTT

ˆ

ˆ

RSST.- suma de errores al cuadrado de toda la muestra

RSST1.- suma de errores al cuadrado de la muestra T1

RSST2.- suma de errores al cuadrado de la muestra T2

kT/RSSRSS

k/RSSRSSRSSF

TT

TTT

221

21

k.- No. de parámetros en la ecuación

T.- total de datos



Estimación por mínimos cuadrados recursivos

Es una serie de estimaciones por MCO. Donde la muestra para cada estimación se incrementa sucesivamente.

iiiiˆ uXY i =1, ..., T



Prueba de Residuales Recursivos



La posible inestabilidad de las funciones podría verificarse examinando el comportamiento de los residuos que generan las estimaciones recursivas de esos ajustes

Se genera una serie de estimadores. Su representación gráfica permite observar como el estimador cambia en el tiempo



Por estimaciones recursivas se entienden aquellas en que la ecuación se estima repetidamente, con la utilización siempre del mayor subconjunto de los datos muestrales

Si hay k coeficientes por estimar en el vector b, entonces las primeras k observaciones se utilizan para calcular la primera estimación del vector. La siguiente observación se incorpora al conjunto de datos y todas las (k + 1) se utilizan para obtener la segunda estimación del vector



Ese proceso continua hasta que se hayan empleado los n puntos muestrales, es que se produce (n-k) estimaciones del vector b. En cada paso la última estimación del vector se puede usar para predecir el próximo valor de la variable dependiente.

El error de pronóstico a un paso se conoce como "residuos recursivos"

Prueba

1XY ttttˆv

t/

ttt xx)v(Var 11t2 XX1

Medida estandarizada

)v(Var

vv~

t

t Para t= k+1, ..., T



Se construye la suma acumulada CUSUM

T

kj

jt

ˆ

v~WCUSUM

12 )kT/(RSSˆ T 2



Se espera que E(Wt)=0 pero si los parámetros no son constantes diverge del cero

kTa,T

kTa,k

3

Límites de no rechazo

=0.05 a= 0.948



El gráfico de esos residuos -o la suma acumulada de estos- denominada CUSUM- en el tiempo permite verificar desviaciones sistemáticas de éstos desde su línea de cero que es el valor esperado

kTa 3

kTa

kTa 3

kTa

k T





Cusum cuadrado (CUSUMSQ). Una medida alternativa, aunque no equivalente a utilizar CUSUM, consiste en emplear los cuadrados de los residuos recursivos. De nuevo, la suma acumulada en el tiempo de estos residuos al cuadrado, conocida como CUSUM al cuadrado, permite comprobar desviaciones no aleatorias desde su línea de valor medio La serie de CUSUM al cuadrado (CUSUMSQ), debidamente estandarizada, tiene un valor esperado que va de cero en t=1 hasta uno al final de la muestra, t=T

CUSUM SQR

T,...,ktw

w

W~ T

kjj

t

kjj

t 1

1

2

1

2

kTkt

W~E t





“La interpretación de los resultados de los tests CUSUM y CUSUMSQ, requiere, no sólo del dominio de la técnica de cálculo, sino también de una documentación pormenorizada acerca de las políticas y acontecimientos económicos del período en estudio, ello para el análisis de los puntos que se salen de las bandas.”

LinealidadLinealidadLinealidadLinealidad


Modelo general

XxXY /Et

Supuesto de Linealidad

El modelo es lineal respecto a X

uXY

)(g/E XxXY

Donde g(X) es una función lineal que depende del conjunto de variables




Implicaciones del supuesto:

Permite garantizar el uso adecuado del método de estimación de mínimos cuadrados

RSS = U‘U = (Y - Xb)'(Y - Xb)

= (Y – g(X))'(Y – g(X))

Si g(x) es lineal se puede aplicar un método de optimización lineal a fin obtener un valor de los estimadores XYXX 1 'ˆ




Los estimadores son insesgados

XUXXXXXXX

UXXXX

YXXX

11

1

1

''''ˆ

''ˆ

''ˆ

Aplicando valor esperado

I

XXXX

UXXXXXXXX1

11

Ê

''EÊ

E''''EÊ




Si no se cumple el supuesto:

La función g(X) no es lineal el método de estimación no es adecuado

Los estimadores son sesgados

Si la función g(X) no es lineal puede ser aproximada por una finción polinómica



kg(X)....g(X)g(X)xY/XE 2


Especificación de la prueba

Las pruebas utilizadas para comprobar linealidad en el modelo. Se basan en rechazar que el modelo se pruede aproximar como una función polinómica

Hipótesis nula H0: Lineal

Hipótesis alternativa H1: No lineal



)(/ XxXY gE

kgggE )(....)()(/ 2 XXXxXY


Prueba RESET

modelo

estimación

Aproximación a la función polinómica

Ramsey (1969), “Test for specification in classical linear least squared regression analysis “, Journal of the royal statistical society B, vol. 31 pp. 350-371



uXY

ˆ XY

k

kggg

YYYY

XXX

ˆ...ˆˆˆ

)(....)()(32

2


Sea el modelo

Se planeta la regresión auxiliar

Se obtiene la estimación

Se obtiene



ttt uXY 10

tt XY 10ˆˆˆ

tttt wYXY 2210

ˆ

2210

ˆˆˆˆˆttt YXY


Sustituyendo la estimación de Y^ al cuadrado

Reordenando

Que es equivalente a:



tttt XXXY 2210

20210

ˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ

2222021

2020

ˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆttt XXY

tttt XXY 2210

ˆˆˆˆ

2210

ˆˆˆˆˆttt YXY


Se plantea la siguiente prueba de hipótesis

Hipótesis nula el modelo es lineal

Hipótesis alternativa el modelo NO ES LINEAL

RESET (1)



2210

ˆˆˆˆˆttt YXY

0: 20 H

0: 21 H


Prueba F

Modelo sin restricción

Modelo con restricción

Se definen

URSS.- suma de errores al cuadrado de la regresión sin restricción

RRSS.- suma de errores al cuadrado de la regresión CON restricción



tttt wYXY 2210

ˆ

ttt uXY 10


m es el número de restricciones

k los grados de libertad sobre la regresión de la hipótesis alternativa

RRSS 0.133339URSS 0.133312T-k 85



)/(

/

kTURSS

mURSSRRSSF


Se plantea la siguiente prueba de hipótesis

Hipótesis nula el modelo es lineal

Hipótesis alternativa el modelo NO ES LINEAL

RESET(2)



33

2210

ˆˆˆˆˆˆˆtttt YYXY

0: 320 H

0,0: 321 H

Referencias

Bera a. y C. Jarque(1980). “Efficient Test for Normality, Hetroscedasticity and Serial Independence of Regression Residuals. Economic Letters, 6, pp. 255-259.

Brown, R., J. Durbin y J. Evans (1975), “Techniques for testing the Constancy of Regression Relationships Over Time”. Journal of the Royal Statistical Society, 37, pp.149-192.

Doornick, J. A. Y D. F. Hendry (1992), PC GIVE: An interactive Econometric Modelling System, versión 7. University of Oxford, agosto, pp. 262.

Engle, R.F. (1983), “Wald, Likelihood ratio and Lagrange Multiplier tests in Econometrics”, en Handboo k in Econometrics, K. Arrow y M. Intrilligator (eds), vol. II, North Holland, pp. 776-826.

Greene, W. H. (1991), Econometric Analysis. Maxwell MacMillan International, pp.783.

Hendry, D.H. y G Mizon (1978), “Serial Correlation as a Convenient Simplification, not a nuisance: a Comment on a Study of the Demand for Money by the Bank of England”.Economic Journal, 88, septiembre, pp. 549-563.

Johnston, J. (1984), Econometric Methods. McGraw Hill.

Judge, G., R. Hill, W. Griffiths, T. Lee y H Lutkepol (1982), An Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley.

Maddala, G.S. (1988), Introduction to Econometrics. Maxwell MacMIllan International Editions, pp. 472

Spanos, A. (1986), Statistical Foundations of Econometric Modelling. Cambridge University Press, pp. 695.

Steward M. B. y K. F. Wallis (1981), Introductory Econometrics. Basil Blackwell LTD, pp. 337.

White, H. (1980), “ A Heteroscedasticity-Consistent Covariance matrix Estimator and a Direct Test for Heteroscedasticity”. Econometrica. Núm. 48, pp. 817-838.

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