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UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

PROGRAMACION LINEAL Dra. Margoth Bonilla 1

FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA

CARRERA:

CONTABILIDAD Y AUDITORIA MODALIDAD:

SEMIPRESENCIAL SEMESTE:

CUARTO MODULO: APLICACIÓN DE PROGRAMACION LINEAL

TUTOR:

Dra. MARGOTH BONILLA

AMBATO ECUADOR



PRESENTACIÒN

Este módulo va dirigido a todos los estudiantes, dada la gran importancia que tiene la

matemática y sus ramificaciones, es por eso que el análisis numérico ha generado

nuevas áreas de investigación matemática teniendo como antecedente el estudio de los

algoritmos y la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido

resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a

mediados del siglo XIX.

Es por eso que se ha convertido en una gran herramienta en campos tan diversos como

la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. En el mundo

moderno está avanzando más rápido que nunca, dando como resultado que teorías que

eran completamente distintas se han reunido para dar como resultado teorías más

completas y abstractas. A pesar de que la mayor cantidad de problemas importantes

han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo

tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso la

matemática más abstracta esta encontrando aplicación.

Un ejemplo muy reconocido es Newton quien obtuvo en el campo de la matemática sus

mayores logros. Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas

tangentes a curvas y para calcular el área bajo una curva, y descubrió que los dos

procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de

las fluxiones.

Dentro del campo tan amplio de la matemática su estudio de las relaciones entre

cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para

deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas, la utilización de símbolos

para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones,

axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y

teoremas más complejos, esto deja un campo abierto a saber que todo su ámbito de

aplicación se encuentra dentro de todas las carreras o especialidades es por eso que el

énfasis propuesto en su estudio es muy diverso y de una u otra manera siempre se aplica

aunque para comprar un pan.



OBJETIVO GENERAL General

Conocer e integrar las herramientas que permitan maximizar y minimizar una

función de costo, utilidad, etc.

Lograr una capacidad de inducción, reflexión y deducción de los temas tratados.

CONTENIDO PROGRAMÁTICO

UNIDAD I. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS

VARIABLES

1.1. Métodos de resolución 5

1.2. Guía de estudio 9

UNIDAD II. DESIGUALDADES LINEALES:

2.1.Reglas 11

2.2.Ejercicios Resueltos 12

2.3.Guía de estudio 14

2.4.Inecuaciones de segundo grado 16

2.5.Guía de trabajo 20

UNIDAD III. ALGEBRA DE MATRICES:

3.1. La Matriz.- definición 21

3.2. Orden de una matriz 23

3.3. Notación Abreviada de una Matriz 23

3.4. Relación de identidad entre matrices 26

3.5. Clases de Matrices 26

3.6. Transpuesta de una matriz 31

3.7. Algebra de matrices 35

3.8. Menores y cofactores de una matriz 50

3.9. Matriz adjunta. 54

3.10. Matriz inversa 56

3.11. Propiedad fundamental de la matriz inversa. 59

3.12. Rango de una matriz. 64

3.13. Transformación elementales 66

3.15. Matrices equivalentes. 69

3.16. Matriz escalonada 70

3.17. Guía de trabajo. 71

UNIDAD IV. PROGRAMACIÓN LINEAL:

4.1. Programación lineal: El método grafico 72

4.2. Teorema del punto de esquina 75

4.3. Resolución grafica 76

4.4. Ejercicios propuestos 78

4.5. Método simplex 82

4.6. Forma estándar de maximización 82

4.7. Selección de Pivote 85



4.8. Aplicaciones de la maximización 91

4.9. El método simplex: dualidad y minimización 92

4.10. Guía de trabajo 93

4.11. Índice. 94



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los temores inhiben nuestras potencialidades y de esta manera podemos generar

una imagen negativa impidiéndonos avanzar hacia nuestro objetivo, por lo tanto;

deseche esas actitudes.

Si el estudiante no comprende, deberá realizar lecturas reflexivas y pausadas o

conversar con su profesor tutor para determinar el alcance y utilidad de los

diversos temas que presenten dificultad.

Las actividades de Aprendizaje se realizaran en forma individual o grupal y

deberán ser entregadas en la presencial descrita al final de cada unidad teniendo

un puntaje total de seis puntos.

El examen final se realizara en forma individual, este consistirá en un ejercicio

práctico de programación lineal aplicado a la vida cotidiana. El puntaje

designado por este trabajo es de cuatro puntos y deberá ser receptado en el

último encuentro.

BIBLIOGRAFIA

Los libros escogidos para esta asignatura, como fuente bibliográfica, contienen las

definiciones, características, elementos, clasificaciones, ejercicios, alcance e

importancia de las unidades didácticas desarrolladas, utilizando el lenguaje sencillo para

su mejor comprensión.

Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004 Microsoft

Corporation. Reservados todos los derechos.

ESPINOZA, Ramos Eduardo, Matemática Básica. Lima-Perú. 2002

HUNGERFORD-DIAL. Matemática para Administración y Economía. México. 2000.

HAEUSSLER, Paúl. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y

de la Vida. Octava Edición. s/a.



PRIMERA UNIDAD

Cuando una situación debe describirse matemáticamente, no es raro que surja un

conjunto de ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica

establece un plan de producción para dos modelos de un producto nuevo. El modelo A

requiere de 4 piezas del tipo I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5 piezas

del tipo I y 14 piezas del tipo II. De sus proveedores, la fábrica obtiene 335 piezas del

tipo I y 850 piezas del tipo II cada día. ¿Cuántos productos de cada modelo debe

producir cada día, de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean

utilizadas?

Es buena idea construir una tabla que resuma la información importante, la

siguiente tabla muestra el número de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para

cada modelo, así como el total disponible.

Modelo Modelo total

A B disponible

Piezas tipo I 4 5 335

Piezas tipo II 9 14 850

Suponga que hacemos x igual al número de artículos del modelo A fabricados

cada día, y y igual al número de artículos del modelo B. Entonces éstos requieren de

4x + 5y piezas del tipo I y 9x + 14y piezas del tipo II. Como están disponibles 335 y

850 del tipo I y II, respectivamente, se tiene:

850149

33554

yx

yx

A este conjunto de ecuaciones le llamamos sistema de dos ecuaciones lineales

con dos variables. El problema es encontrar valores de x y y para los cuales ambas

ecuaciones sean verdaderas de manera simultanea. Estos valores se llaman soluciones

del sistema.

A continuación recordaremos los diferentes métodos para resolver este tipo de sistemas

OBJETIVO:

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables aplicando

diferentes métodos de resolución.

DESARROLLO DEL CONTENIDO.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Muchas aplicaciones de la matemática requieren encontrar la solución de un

sistema de ecuaciones lineales ( o de primer grado). Esta unidad presenta métodos para

resolver tales sistemas, incluyendo los métodos matriciales.



ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Dos o más ecuaciones con dos o más variables (incógnitas) son simultáneas

cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Ej. x + y = 5

x – y = 1

Son simultaneas porque x = 3, y = 2, satisfacen ambas ecuaciones.

ECUACIONES EQUIVALENTES

Son las que se obtienen a partir de una ecuación dada, multiplicando o

dividiendo.

Ej. x + y = 4

2x + 2y = 8

8x + 8y = 32. Son equivalentes porque dividiendo la tercera para 8 y la segunda

para 2, se obtiene la primera.

Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones.

ECUACIONES INDEPENDIENTES

Son las que no se obtienen una de la otra. Cuando, estas ecuaciones tienen un

solo par de valores como solución se llaman también simultaneas. Ej. x + y = 5 y

x – y = 1, son independientes porque no se obtienen una de la otra y simultaneas, porque

el único par de valores que satisfacen a ambas ecuaciones es x = 3 , y = 2

SISTEMA DE ECUACIONES

Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más variables.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES

Como se dijo anteriormente, para resolver estos sistemas, tenemos varios

métodos, entre ellos: El de reducción (eliminación), sustitución, igualación, grafico, por

determinantes, escalonado (Gauss – Jordan) y el de la matriz inversa (Sarrus).

METODO DE REDUCCIÓN

1. Se igualan los coeficientes con signos opuestos de la variable que se desea

eliminar. Para hacer más sencilla esta operación, es conveniente encontrar el mcm de

los números que se desea eliminar.

2. Se realizan operaciones con las dos ecuaciones.

3. Se despeja la variable sobrante.

4. El valor de la incógnita encontrado, se remplaza en cualquiera de las

ecuaciones dadas, se realizan operaciones y se despeja el valor de la otra (segunda)

variable.

Ej.

Resolver el sistema:

850149

33554

yx

yx

Vamos a eliminar x



1. Igualamos los coeficientes de x, con signos opuestos, para lo cual, el mcm de

4 y 9, es 36, entonces, para obtener 36x en la primera ecuación nos hace falta

multiplicar por 9 y a la segunda por 4. Para que sean opuestos, a cualquiera de estos

factores, le añadimos el signo negativo.

Multiplicando a la primera por (-9):

-36x - 45y = -3015

36 x + 56y = 3400

2. Realizando operaciones, se tiene:

11y = 385

3. Despejando y

y = 35

4. Remplazando este valor en la ecuación 1, tenemos:

4x + 5(35) = 335

4x + 175 = 335

Realizando todas las operaciones posibles, se obtiene que x = 40

Cada día el administrador debe planear la fabricación de 40 productos del modelo

A y 35 del modelo B.

METODO DE SUSTITUCIÓN

1. Se despeja una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas.

2. Este valor se sustituye en la otra ecuación.

3. Se realizan todas las operaciones posibles hasta encontrar el valor de la variable

no despejada.

4. Este valor encontrado se remplaza en cualquiera de las ecuaciones dadas hasta

encontrar el valor de la otra variable.

Aplicar el procedimiento descrito para resolver el siguiente sistema:

850149

33554

yx

yx

METODO DE IGUALACIÓN

1. Despejamos una misma variable de las dos ecuaciones dadas.

2. Igualamos los valores encontrados.

3. Realizamos todas las operaciones posibles hasta encontrar el valor de la

variable sobrante.

4. Para encontrar el valor de la segunda variable aplicamos el procedimiento

anterior.


850149

33554

yx

yx



METODO GRAFICO

1. Despejamos la variable y de las dos ecuaciones dadas

2. Construimos una tabla de valores para cada valor de y.

3. Graficamos los pares obtenidos en el plano cartesiano.

4. El punto formado por la intersección de las dos rectas es la solución del sistema.

NOTA: Si las dos graficas se sobreponen, se dice que son equivalentes, y si no

existe intersección, se dice que son incompatibles o que no hay solución.


850149

33554

yx

yx

RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES

1. Se escribe una fracción, en la cual; tanto en el numerador como en el

denominador consten los coeficientes de las variables.

2. Si se desea encontrar el valor de x, se remplaza las constantes por los

coeficientes de x.

3. Si se desea encontrar el valor de y, se remplaza las constantes por los

coeficientes de y.

4. Estos reemplazos, se realizan solo en el numerador, por lo tanto los coeficientes

del denominador se mantienen.

5. Se multiplican los coeficientes en forma diagonal, teniendo presente que la

secundaria es negativa, se reduce y se simplifica si es posible.


850149

33554

yx

yx

METODO ESCALONADO (Gauss – Jordan)

1. Escribimos los coeficientes de las variables, a continuación, se anotan las

constantes separadas entre si por una línea vertical.

2. Se dejan los coeficientes en forma escalonada, para lo cual, se van eliminando

los coeficientes sobrantes.

3. Para eliminar los mencionados coeficientes, se trabaja entre filas, ya sea

multiplicando o dividiendo por cualquier cantidad que ayude a eliminar los

mismos.

4. Se despejan las variables de las ecuaciones obtenidas.

Ej.

Aplicando el método escalonado, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:



850149

33554

yx

yx

GUIA DE ESTUDIO

El trabajo propuesto, será presentado en hojas a cuadros y las representaciones gráficas

en hojas de papal milimetrado, en la próxima presencial.

Investigue de ser necesario y resuelva aplicando los seis métodos conocidos y en

forma secuencial cada uno de los siguientes sistemas:

523

34

yx

yx

72

12

yx

yx

935

72

yx

yx

362

6124

qp

qp

0224

13

1

zyx

zyx

zyx

3

12

zy

yx

02

0242

02

zyx

zyx

zyx

545

924

xy

yx

5438

3624

wx

wv

795

753

yx

yx

4610

235

yx

yx

432

3223

2475

zyx

zyx

zyx

9x + 4,1y = 7 x = 2y + 4 x + 2y + z = 4

2,6x – 3y =18 2(2y + 4) – 3y + 2z = -2 2x + 4y + 2z = 8

4(2y + 4) – 7y + 2z = 6

6274

2232

42

zyx

zyx

yx

432

432

zyx

zyx

4x – 3y – 2 = 3x – 7y 2x + 2y – z = 3 x + y + z = - 1

x + 5y – 2 = y + 4 4x + 4y – 2z = 6 3x + y + z = 1

4x – 2y + 2z = 0

x – 2y – z = 0

2x – 4y – 2z = 0

-x + 2y + z = 0

TIEMPO APROXIMADO DE ELABORACIÓN

OCHO HORAS

SEGUNDA UNIDAD

Suponga que un consumidor recibe un ingreso fijo de $ 60 semanales que utiliza

en la compra de los productos A y B. Si x Kilogramos de A cuestan $ 2 por Kilogramo

y Kilogramos de B cuestan $ 3 por Kilogramo, entonces 2x + 3y = 60, donde x, y ≥0

Las soluciones de esta ecuación llamada ecuación de presupuesto, dan las posibles

combinaciones de A y B que pueden comprarse con $ 60.

Por otro lado, supongamos que el consumidor no necesariamente desea gastar

todos los $ 60. En este caso tenemos la siguiente desigualdad.

0,,6032 ydondexyx

Una desigualdad con dos variables, por lo general esta representada por una

región en el plano cartesiano.

OBJETIVO:

Representar en forma geométrica la solución de una desigualdad lineal con

dos variables y ampliar esta representación a un sistema de desigualdades

lineales.

DESARROLLO DEL CONTENIDO.

DESIGUALDADES LINEALES

Suponga que a y b son dos puntos sobre la recta de los números reales. Entonces,

a y b coinciden, a se encuentra a la izquierda de b, o a se encuentra a la derecha de b.

B ba

a

a < b; a es menor que b

a b b > a ; b es mayor que a

a > b; a es mayor que b

b a b < a; b es menor que a

Si a y b coinciden entonces a = b. Si a se encuentra a la izquierda de b, decimos

que a es menor que b y escribimos a < b, en donde el símbolo de desigualdad “<” se lee

“es menor que”. Por otra parte, si a se encuentra a la derecha de b, decimos que a es

mayor que b y escribimos a > b. Los enunciados a > b y b < a son equivalentes.

Otro símbolo de desigualdad “ ”, se lee “es menor o igual a” y se define como:

a b si y solo si a b o a = b. En este caso decimos que a es mayor o igual a b.

Usaremos las palabras números reales y puntos de manera indistinta, ya que

existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos que están

sobre una recta, Así, podemos hablar de los puntos -5,-2.0.7 y 9 escribir 7 < 9, -2 > -5,

7 ≤ 7 y 7 ≥ 0

-5 -2 0 7 9

Puntos en la recta numérica

Supongamos que a < b, y x esta entre a y b. Entonces no sólo a < x, sino

también x < b. Indicamos esto escribiendo a < x < b, que puede considerarse como una

desigualdad doble. Por ejemplo 0 < 7 < 9.

Acabamos de definir una desigualdad usando la relación menor (<), pero las

otras: (>, ≤, ≥) también podrían haber sido utilizadas.

Reglas para las desigualdades

1) Si un mismo numero se o resta en ambos lados de una desigualdad, la

desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. Simbólicamente:

a < b, entonces a + c < b + c y a – c < b – c

Por ejemplo: 8 < 10, 8 + 3 < 10 + 3; 11 < 13

2) Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo numero

positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.

Simbólicamente.

a 0, ac < bc y c

b

c

a < 0

Ejemplo: 3 < 7 y 2 > 0, de modo que 3(2) < 7(2) y 2

7

2

3

3) Si ambos miembros de una desigualdad se le MULTIPLICA o DIVIDE por un

mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.

a 0, a(-c) > b(-c) y c

b

c

a > 0

Ejemplo: 3 < 7 y 2 > 0, pero 3(-2) > 7(-2) y 2

7

2

3

4) Cualquier lado de una desigualdad puede reemplazarse por una expresión

equivalente a ella. En forma simbólica,

Si a < b y a = c, entonces c < b.

Por ejemplo, si x < 2 y x = y + 4, entonces y + 4 < 2

5) Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus

recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con

sentido contrario a la desigualdad original. Por ejemplo, 2 < 4, pero 4

1

2

1

6) Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevamos cada lado a la

misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo

sentido que la original. Por tanto, si 0 < a 0, entonces:

nnnn bayba ............

en donde suponemos que n es un número entero positivo en la ultima

desigualdad. Por ejemplo, 4 9 de modo que 4² < 9² y 94

El resultado de aplicar las reglas 1 a 4 a una desigualdad se conoce como desigualdad

equivalente. Esta es una desigualdad cuya solución es exactamente la misma que la

original. Aplicaremos estas reglas a una desigualdad lineal.

Definición

Una desigualdad lineal en la variable x es aquella que puede escribirse en la

forma ax + b < 0 ; donde a y b son constantes y a 0.

EJEMPLO 1. Resolver la siguiente desigualdad lineal.

2(x – 3) < 4.

Estrategia: remplazaremos la desigualdad dada por desigualdades equivalentes

hasta que la solución sea evidente.

2(x – 3) < 4.

2x - 6 < 4 (Regla 4)

2x – 6 + 6 < 4 + 6 (Regla 1)

2x < 10 (Regla 4)

2

10

2

2

x (Regla 2)

x < 5

Todas las desigualdades son equivalentes. Por tanto, la desigualdad original es

cierta para todos los números reales x tales que x < 5. Por ejemplo, la desigualdad es

cierta para x= -10,-0.1, 0, 2

1 y 4.9. Podemos escribir nuestra solución simplemente

como x < 5 y representarla de manera geométrica por medio de una semirrecta

gruesa. El paréntesis indica que el 5 o esta incluido en la solución.

x < 5

)

En el ejemplo 1, la solución consistía en un conjunto de números, es decir, todos

los menores que 5. En general, es común utilizar el término intervalo para referirse a

tales conjuntos. En el mencionado ejemplo, el conjunto de todas las x tales que x < 5

puede denotarse por la notación de intervalo (-∞ , 5). El símbolo -∞ no es un numero,

sino solo una convención para indicar que el intervalo se extiende de manera indefinida

hacia la izquierda.

Existen otros tipos de intervalos: Por ejemplo, el conjunto de todos los números

x para los cuales a ≤ x ≤ b se conoce como un intervalo cerrado, que incluye a los

números a y b, los cuales se llaman extremos del intervalo. Este intervalo se denota

mediante [a , b]. Los corchetes indican que a y b están incluidos en el intervalo. Por otra

parte, el conjunto de todas las x para las que a < x < b se llama intervalo abierto y se

denota mediante (a , b). los extremos no son parte de este conjunto. Para ampliar estos

conceptos, tenemos los siguientes intervalos.

(a , b] ( ] a < x ≤ b

[a , b) [ ) a ≤ x a

(-∞ , a] ] x ≤ a

(-∞ , a) ) x < a

(-∞ , ∞) -∞ < x < ∞

EJEMPLO 2.

Resolver 3 – 2x ≤ 6

- 2x ≤ 3 (Regla 1),

x ≥ - 2

3 (Regla 3).

La solución es x ≥ - 2

3, o, utilizando intervalo tenemos, [-

2

3 , ∞). Geométricamente,

x ≥ - 2

3

[

EJEMPLO 3.

Resolver 42122

3ss

Aplicando las reglas anteriores, se tiene:

422122

32 ss (Regla 2)

3 (s – 2) + 2 > -4 (s – 4)

3s – 4 > -4s + 16

7s > 20 (Regla 1)

s > 7

20 (Regla 2)

La solución es ,7

20

s > 7

20

7

20

EJEMPLO 4

a. Resolver: 2(x – 4) – 3 > 2x – 1

2x – 8 – 3 > 2x – 1

-11 > -1. Como no es verdadero que -11 > -1, en tal virtud, no

existe solución o el conjunto solución es (conjunto vacío)

b. Resolver: 2(x – 4) – 3 < 2x – 1

Aplicando las reglas conocidas, tenemos que: -11 < -1. Esto es verdadero, en

consecuencia, el conjunto solución es: ,

,

GUÌA DE TRABAJO

RESUELVA LAS DESIGUALDADES PROPUESTAS. DE SU RESPUESTA EN

NOTACIÓN DE INTERVALO Y REPRESENTELA EN FORMA

GEOMETRICA SOBRE LA RECTA DE LOS NUMEROS REALES.

1. 3x > 12.

2. 4x < -2.

3. 4x – 13 ≤ 7.

4. 3x ≥ 0.

5. -4x ≥ 2.

6. 2y + 1 > 0.

7. 5 – 7s > 3.

8. 4s – 1 < -5.

9. 3 < 2y + 3.

10. 6 ≤ 5 – 3y.

11. 2x – 3 ≤ 4 + 7x.

12. 3(2 – 3x) > 4(1 – 4x).

13. -3 ≥ 8(2 – x)

14. 8(x + 1) + 1 < 3(2x) + 1.

15. 2(3x – 2) > 3(2x – 1)

16. 3- 2(x – 1) ≤ 2(4 + x).

17. x + 2 < 3 - x

18. xx 3822 .



19. .406

5x

20. 63

2x

21. 124

19y

y

22. 3

1

2

34y.

23. 4x – 1 ≥ 4(x - 2) + 7.

24. 0x ≤ 0

25. 3

73

2

1 tt .

26. Utilidades Cada mes del año pasado una compañía tuvo utilidades mayores que

$ 37,000 pero menores que $ 53,000. Si S representa los ingresos totales del año,

describa S utilizando desigualdades.

27. Utilizando desigualdades, simbolice el enunciado siguiente. El número de horas

de trabajo x para fabricar un producto no es menor que 2½ ni mayor que 4.

28. Geometría. En un triangulo rectángulo, uno de los ángulos agudos x es menor

que 3 veces el otro ángulo agudo mas 10 grados. Resuelva para x.

29. Gasto. Una estudiante tiene $ 360 para gastar en un sistema estereofónico y

algunos discos compactos. Si ella compra un estereofónico que cuesta $ 219 y el

costo de los discos es de $ 18.95 cada uno, determine el mayor número de discos

que ella puede comprar.

30. 2

17

3

15 yy

EJERCICIOS DE ANALISIS:

APLICACIONES:

UTILIDAD

Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de

mano de obra y material es de $ 21 por calentador. Los costos fijos (costos en que

incurre en un periodo dado, sin importar la producción) son $ 70,000. Si el precio

de venta de un calentador es $ 35, ¿Cuántos debe vender para que la compañía

genere utilidades?

Solución:

Recuerde que

Utilidad = ingreso total – costo total.

Debemos encontrar el ingreso total y después determinar cuando su diferencia es

positiva.

Sea q el número de calentadores que deben venderse. Entonces su costo es 21q. Por

tanto, el costo total para la compañía es 21q + 70,000. El ingreso total de la venta de

q calentadores será 35q. Entonces

Utilidad = ingreso total – costo total, queremos que la utilidad > 0. Se

tiene: ingreso total – costo total > 0.

35q – (21q + 70,000) > 0.

14q > 70,000.

q > 5000.

Por tanto, deben venderse al menos 5001 calentadores para que la compañía genere

utilidades.

RENTA VERSUS COMPRA

Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una maquina excavadora. Si

fuese a rentar la maquina, el costo de la renta seria de $ 3000 mensuales (sobre la

base de un año) y el costo diario (gas, aceite y operador) seria de $ 180 por cada

día que la maquina se utilice. Si él fuese a comprarla, sus costos fijos anuales

serian de $ 20,000 y los costos diarios de operación y mantenimiento serian de $

230 por cada día que la maquina se utilizara. ¿Cuántos días al año por lo menos

tendría que utilizar el constructor la maquina para justificar la renta en lugar de la

compra?

Estrategia: vamos a determinar expresiones para el costo anual de la renta y el costo

anual de la compra, así encontraremos cuando el costo de la renta es menor que el

de la compra.

Sea d el número de días de cada año que la maquina será utilizada. Si la maquina se

renta, el costo total anual consiste en los gastos de la renta, que son (12)(3000) y los

costos diarios de 180d. Si la maquina se compra, el costo por año es 20000 + 230d.

y como se quiere que:

torentacos < tocompracos ,

12(3000) + 180d < 20,000 + 230d

36,000 + 180d < 20,000 + 230d,

16,000 < 50d

320 < d.

Por tanto, el constructor debe utilizar la maquina al menos 321 días para justificar

rentarla

NOTA: De la bibliografía recomendada, resuelva 5 ejemplos de aplicaciones

propuestos

TIEMPO APROXIMADO DE ELABORACIÓN OCHO HORAS

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

Son de la forma:

ax2 + bx + c > 0 a 0

ax2 + bx + c < 0 a 0

METODOS DE SOLUCION

FACTORIZACION

METODO DE COMPLETAR CUADRADOS

METODOS DE LOS PUNTOS CRITICOS O VARIACIÓN DE SIGNOS.

METODO DE FACTORIZACION (ASPA SIMPLE)

a. b > 0 => a > 0 b > 0

(1)

a < 0 b < 0

Se aplican las

Siguientes propiedades a. b > 0 => a > 0 b > 0

(2)

a > 0 b > 0

Ejemplos:

1. Resolver la inecuación: x2

– 7 x + 12 > 0

Solución: x2

– 7 x + 12 > 0: Factorizando

( x – a ) ( x – 3 ) > 0

a b

=> (x – 4) > 0 (x – 3) > 0: (x

– 4) < 0 (x – 3) < 0

x > 4 x > 3 x < 4 x < 3

graficando graficando:

(4; + 00)

(- 00,

3)

Rpta: c.s = ( - 00; 3

) ( 4 ; + 00)

Nota: c.s = Conjunto solución

2. Resolver la inecuación: x2 – 10x + 21 < 0

Solución: Factorizando el polinomio:

x2 – 10x + 21 < 0 ( x – 3 ) ( x – 7 ) < 0

a b

3 4 3 4

x - 3

x - 7

aplicando la propiedad ( 2 ): (x – 3 ) < 0 (x – 7 ) > 0: (x

– 3 ) > 0 (x – 7 ) < 0

x < 3 x > 7 x > 3 x < 7

(- 00; 3

) (7, + 00)

= 0 (3; 7)

Rpta: c.s = (3; 7)

METODO DE COMPLETAR CUADRADOS

(Cuando no se puede factorizar el polinomio)

Se aplican las siguientes propiedades:

1. a2 > b. b > 0 a > b a > - b

2. a2 < b. b> 0 - b < a b. b < 0 => c.s = R ( )

a2 < b. b < 0 => c.s = Ợ ( )

¿ Como aplicar el método de completar cuadrados? Por ejemplo:

1. Resolver: 2 x2 - 3x + 2 < 0

Solución:

1°. El coeficiente de x2 debe ser 1: ( entonces se divide todo entre 2 )

x2 -

2

3x + 1 < 0

2°.El término independiente se pasa al segundo miembro:

x2 -

2

3x < -1

3°. A ambos miembros de la desigualdad se les suma el cuadrado de la mitad del

coeficiente del segundo término.

x2 -

2

3 x + (

-

4

3)2

< -1 + (

4

3)2

Trinomio cuadrado

perfecto

( x -

2

3)2

< - 16

7 ( ver nota, parte ( ):

c.s = Ợ Rpta:

2. Resolver: 2x2 +3x + 5<0

Solución:

Aplicando el método de completar cuadrados:

x2 -

2

3 x < -

2

5 => x

2 +

2

3x

+(

4

3)2

< - 2

5 + (

4

3)2

=> ( x +

4

3 )

2 < -

16

31

Una expresión al cuadrado no puede ser menos que un valor negativo, por

consiguiente:

Según: ( ):

NOTA: Si la inecuación propuesta, hubiera sido de la forma: 2x² + 3 x + 5 > 0 se

hubiera obtenido según ( ):

( x -

4

3 )

2 >

16

31 c.s = R

3. Resolver: 3x2 – 2 x – 2 < 0

Solución:

Aplicando el método de completar cuadrados

x2 -

3

2 x <

3

2

x2 -

3

2 x < +(

6

2)

2

3

2 + (

6

2)

2

(x2-

-

3

1)2 <

9

7) aplicando la propiedad a

2 < b, b > 0 , b < a -

9

7< x-

3

1 <

3

7=>

3

71 < x <

3

71

Rpta: c.s = ( ,3

71

3

71 )

4. Resolver: x2 + x – 4 > 0

Solución:

Completando cuadrados: x2 + x +

4

1 > 4 +

4

1 => x

2 + x +

4

1 >

4

17

(x + 2

1)2 >

4

17 aplico propiedad a

2 > b, b > 0 a > b v a < - b :

x + 2

1 >

4

17 v x =

2

1 < -

4

17

x > 4

71 x <

4

171

REPASO:

los signos que se utilizan en una desigualdad son: < y >.

Si a los dos miembros de una desigualdad, se suma, resta, multiplica o

divide una misma cantidad positiva, la desigualdad se mantiene.

Inecuación de primer grado es cuando el mayor exponente de la variable es

la unidad (1).

Inecuación de segundo grado es cuando el mayor exponente de la variable

es dos (2).

Para resolver una inecuación de segundo grado se puede aplicar

factorizaciòn, completaciòn o puntos críticos.

El conjunto solución de una inecuación de segundo grado es la intersección

de cada inecuación de primer grado obtenida.

GLOSARIO

- Inecuación.- Es una desigualdad.

- Desigualdad.- Es una relación de orden.

- Variable.- Término desconocido.

- Puntos críticos.- Valor o valores de las variables

GUÌA DE TRABAJO

Esta guía es un trabajo que debe ser realizado máximo por cuatro personas. Lo

importante no es que repita o copie información, sino que cree sus propias

producciones tomando como base los conocimientos previos.

1. Explique la diferencia entre ecuación e inecuación.

2. Escriba 5 inecuaciones de primer grado y cinco de segundo grado.

3. Resuelva y escriba el conjunto solución de las siguientes inecuaciones

propuestas:

a) 19

74

3

7

3

4 x

x

xx b) 530

5

1 xx

c)

3

1

13

1

x

x

x d) 0

5

1

3

4

3

191

3

20xx

x

e) 4

11

44

9

3

22

4

3

11

62

22 xxxx

x f) 3

41

xx



g) 1221 mxxmxm h) 02032 24 xx

i) xxxxx 22 2

2

2

2 j) xx 1352

4. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN: Describa el método de los puntos

críticos, mediante 5 ejemplos y preséntelos en la próxima presencial

TIEMPO APOXIMADO DE ELABORACIÓN

BIBLIOGRAFIA

ING. GOÑI Juan, BASE MATEMÀTICA, Págs. 234 – 256

HAEUSSLER Ernest, MATEMATICAS PARA ADM., ECON., CCSS Y DE

LA VIDA, Octava edición, Págs.57 – 74.

LONDOÑO Nelson, MATEMÀTICA PROGRESIVA 8, Págs. 205-224.

ARDURA M, ALGEBRA, PAGS 91-92



TERCERA UNIDAD

OBJETIVO

Introducir el concepto de matriz y considerar tipos especiales de matrices.

ALGEBRA DE MATRICES

Las matrices, tema de esta unidad, son arreglos de números. Las matrices y su

algebra respectiva tienen una aplicación potencial siempre que una información

numérica se pueda acomodar de manera significativa en bloques rectangulares.

Un área de aplicación del algebra matricial son las graficas en el plano

cartesiano, del cual, los puntos de cada vértice o esquina se pueden representar mediante

matrices.

La búsqueda de formas para describir situaciones en matemática y economía,

condujo al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el

sistema de ecuaciones lineales:

3x + 4y + 3z = 0

2x + y - z = 0

9x – 6y + 2z = 0

Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las

ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema puede

describirse por el arreglo rectangular:

3 4 3

2 1 -1

9 –6 2

Que es llamado matriz (plural: matrices). Consideraremos a tales arreglos rectangulares

como objetos por si mismos; se acostumbra encerrarlos entre corchetes y también es

común que se utilicen paréntesis.

Definición.- Se denomina Matriz a todo aquel arreglo rectangular de elementos de un

conjunto de números reales, vectoriales, tensores, números complejos, etc., colocados

en filas y columnas perfectamente definidas.

Ejemplo: Son matrices:

a c

M=

b d

b2 + b

2 a

3 + b

3 a

3 – b

3 (a + b)

2

B= a + b a2 + b

2 a

2 - b

2 (a – b) ; donde a, b, c, B

1 a + b 1 (a2 – b

2)

14 -8 2 2 21/5

A= 17 -5 7 3 3 1/7

20 -2 5 6 5 1/10



i j k

C= 12 -9 8 ; donde: i, j, k, vectores unitarios

5 6 10

(2, 3, 5) (-2, -3, -5) (4, 6, 6) (1, 0, 4)

D= (3, 6, 9) ( 7, 11, 9 ) ( 8, 2, 1) ( 2, 3, 21)

(7, 4, 8) ( 8, 15, 23 ) ( 9, 13,15) ( 4, 7, 13)

NOTACIÓN MATRICIAL

1. A las matrices se les designa mediante símbolos o letras mayúsculas: A, B, C, D,

E,......, X, Y, Z,.......

Ejemplo:

12 1

A= 5 6

0 7

9 29

2. A los elementos de la matriz se les simboliza por “ají”.

Donde:

a es el elemento matricial

i es i – esima a la que pertenece

j es la columna j- esima a la que pertenece

Así:

211 512

-621 122 filas (i)

columnas (j)

3. A los elementos de la matriz se les aisla mediante el uso de paréntesis o

corchetes.

Ejemplo:

4 13 18

3 9 17 3 7 9

Sea: A= 5 16 12 Filas o B= 2 5 6

7 12 12 1 3 3

11 15 29 0 1 7

a 3 5 r

Z= b 2 4 s

c 1 3 t

La posición o ubicación de un elemento

cualquiera se indica así: "aij". Por ejemplo:

512’ quiere decir que el elemento 5 pertenece

a la fila 1 y a la columna 2.

Filas



Columnas columnas

A y B , representan, una matriz. Se lee: "La matriz A", " La matriz B "

4. Una matriz no tiene valor numérico, ni está asociada con algún valor real;

excepto el determinante de una matriz.

ORDEN DE UNA MATRIZ

,

Definición.- " El orden de una matriz se establece mediante la expresión m x n en

la cual "m" y " n " son elementos de M, donde:

m : es el número de filas de la matriz

n: es el número de columnas de la matriz.

Ejemplo: Sea la matríz:

4 6 7 8 4

17 10 21 29 33 4 filas

M= 21 13 23 32 21

5 19 71 35 25

5 columnas

M tiene 4 filas y 5 columnas: m = 4 ; n = 5 entonces M es una matriz de orden 4 x 5

NOTACION ABREVIADA DE UNA MATRIZ

Sea la matriz" A "donde: A = [ a i j ] m x n ; m, n ε N

Es una matriz de orden m x n, tal que sus elementos pertenecen a los siguientes

intervalos:

J ε = [ 1, m ] ó 1 ≤ i ≤ m ; j ε [ 1, n ] ó 1 ≤ j ≤ n ; m, n ε N

Ejemplo 1: Sea la matriz A, tal que:

A = [a i ] 3 x 2

Es una matriz de orden 3 x 2, esto es que:

i ε 1, 3 ó 1 ≤ i ≤ 3 ; j ε 1, 2 ó 1 ≤ j ≤ 2

cuya forma desarrollada es la siguiente:

a11 a12

A= a21 a22

a31 a32 3 x 2

La matriz tiene i = 3 filas y j = 2 columnas



Ejemplo 2 : Sea la matriz:

M = [ b i j ] 3 x 5 la cual en su forma desarrollada es :

b11 b12 b13 b14 b15

M= b21 b22 b23 b24 b25

b31 b32 b33 b34 b 35 3 x 5

M = [ b i j ] 3 x 5 Es una matriz de 3 filas y 5 columnas

Ejemplo 3. Sea la matriz N=[c ij] l x 6

Su desarrollo es: N = [ c 11 c 12 c 13 c 14 c 15 c 16]

N = [ c ij ]1 x 6 Es una matriz de 1 fila y 6 columnas, se llama también “matriz

fila”

Ejemplo 4 : Sea la matriz:

P =[ c ij ] 5 x 1 ; cuyo desarrollo es :

, Cll

C21

P= C31 P= I c ij I 5X1

C41

C5 5 x 1

Ejemplo 5: Sea la matriz:

Q = [ q ij ] m x n

Cuyo desarrollo es :

ql1 ql2 ql3 ............ q1n

q21 q22 q23 ............ q1n

Q= .................................................

..................................................

qm1 qm2 qm3 ............... qmn m x n

Ejemplo 6: Si en la matriz:

5

d 5 + a

d + 6 a

d + 2

Se verifica que : a 11 = 5 y a 12 = 14

Es una matriz de 5 filas y una sola

columna, se llama también " matriz

columna ",



Calcular: d - a y a 22

Solución: De la matriz y de los datos dados:

a11 =

5

d ; es decir 5 =

5

d d = 25

a12 = 5 + a ; es decir 14 = 5 + a a = 9

Por consiguiente ; d - a = 16 y a22 = 31 Rpta.

Ejemplo 7: Si en la matriz siguiente:

3

a -5 3-d 11 + a 5

d - 13

M= a - b 9 - b 13 + c a + d

b - c 15 - c 15 - b 10

c- 2 3 x 4

Se verifica: al1 = a22 - .5 = al4 - 9 = a34 - 13 = 5

Calcular: a31 + al3 + a23

Solución: (1) De acuerdo al enunciado y de los datos:

al1 = 5 ; a22 - 5 = 5; al4 - 9 = 5 ; a34-3 = 5; . entonces:

(2) De la matriz: Marcamos los elementos que se quieren calcular:

3

a -5 3 - d 11- a 3

a -13

M= a - b 9.- b 13 - c a - d

b - c 15 - c 15 - b 10

c - 2 3 x 4

(3) De los datos consignados; calculamos los valores de: a, b, c, d.

al1 = 3

a -5 => 5 = 3

a -5 => a =30

a22 = 9 - b => 10 = 9 - b => b = -1

a14 = 5

d -13 => 14 = 5

d - 13 => d = 135

a34 = 10

c -2 => 18 = 10

C - 2 => c = 200

(4) Con los resultados obtenidos en (3) se tendrá:

a31 = b - c = - 201

a13 = 11 - a = 11 - 30 = -19

a23 = 13 – c = -187

:. Rpta : a31 + a13 + a23 = -201 - 19 -187 = - 407



RELACION DE IDENTIDAD ENTRE LAS MATRICES

Definición .- Dos matrices M y N son iguales o idénticas, cuando verifican de modo

Simultáneo las siguientes condiciones:

(1) Igualdad de Orden

(2) Elementos correspondientes entre sí iguales. Es decir para todo ( i, j) m x n: M (i, j)=

N (i , j)

Ejemplo 1 : Las matrices:

5 35 .60 5 35 60

M= 2 25 1 N = 2 25 1

19 45 19 3 x 3 19 45 19 3 x 3

Son iguales o idénticas, pues verifican las condiciones de la definición:

Ejemplo 2 : La igualdad de matrices

a d 8 9

b e = 17 10

c f 31 33

Se verifica sólo si además de tener igual orden, como que la tienen 3 x 2, se debe

cumplir simultáneamente que:

a = 8, b = 17, c = 31 d = 9, e = 10, f = 33

Como se ve, además, el orden son iguales 3 x 2.

NOTA: Cuando se indica el orden, el primer factor indica el número de filas y el

segundo factor el número de columnas.

CLASES DE MATRICES

Para un estudio ordenado y deductivo se tendrá en cuenta las siguientes clases de

matrices, en orden frecuente.

I.- Matriz cuadrada.

II.- Matriz nula.

III.- Matriz diagonal

IV.- Matriz escalar.

V.- Matriz identidad.

VI.- Matriz fila o vector fila

VII.- Matriz columna o vector columna.

VIII.- Matriz triangular superior



IX.- Matriz triangular inferior

Las cuales pasamos a detallar:

I- LA MATRIZ CUADRADA:

Definición.- Es toda aquella matríz en la cual se verifica que el número de filas es igual

que el número de columnas.

Ejemplo 1: La matríz ' A " es cuadrada:

12 41

A =

23 96 2x2

Pues el número de filas es (2) igual que el número de columnas (2)

Ejemplo 2:

a d g

A= b e h

c f I 3x3

Número de filas = número de columnas.

NOTA: El orden de una matriz cuadrada está dada por el # de filas o el # de columnas.

El orden de las matrices de los 2 ejemplos anteriores es de 2° orden y 3° orden

respectivamente.

DIAGONALES

En toda matriz cuadrada, y exclusivamente en ellas, se disponen de diagonales, las

cuales se llaman principal y secundaria.

Ejemplo: En la siguiente matríz cuadrada

2 4 2 0 DIAGONAL SECUNDARIA

3 11 6 8

M= 7 21 5 9

10 3 1 7

DIAGONAL PRINCIPAL

II.- LA MATRIZ NULA:

Definición.- Es toda-aquella matriz cuyos elementos son neutros aditivos (ceros).

Ejemplo: Son matrices nulas:

O

M = I O I ; N= O P = I O O O I



O

O O O O O O O

Q= ; S= O O O O O

O O O O O O O

III.- LA MATRIZ DIAGONAL

Definición.- Es toda Matríz Cuadrada en la cual los elementos son neutros aditivos o

ceros, con excepción de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo: Son matrices diagonales:

2 O O 18 O O O

P = O 13 O Q = O 4 O O

O O 21 O O 9 O

O O O 25

En ambos, los elementos son nulos, con excepción de los contenidos en la diagonal

principal.

IV. LA MATRIZ ESCALAR:

Definición.- Se denomina de éste modo a toda Matriz Diagonal en la cual todos los de

su diagonal principal son iguales.

Ejemplo 1 : La siguiente es Matrices Escalares :

19 0 0 0

0 19 0 0

E = 0 0 19 0

0 0 0 19

Es importante destacar que la definición de Matriz Escalar exige que ésta sea

previamente una matriz diagonal.

Ejemplo 2: Los siguientes no son Matrices escalares a pesar de tener los elementos de

su diagonal principal iguales.

7 3 5 0 -19 35 4

P= 1 7 2 1 Q= 2 -19 8

4 8 7 9 3 5 -19

2 1 -3 7



V.- LA MATRIZ IDENTIDAD:

Definición.- Es toda matriz escalar en la cual los elementos de la diagonal principal son

neutros multiplicativos o unos.

Ejemplo: Los siguientes son matríces identidad:

1 O O O

M= O 1 O O ; N = 1 0

O O 1 O 0 1

O O O 1

Es necesario destacar que la definición de Matriz Identidad exige que la misma sea

previamente una matriz escalar,

VI.- LA MATRIZ FILA O VECTOR FILA

Definición.- Es toda aquella matriz que posee una sola fila, siendo el orden, en

consecuencia,

igual a " 1 x m " !

Ejemplo : Las siguientes son matrices fila:

A = 2 7 3 1 x 3

B = –8 4 10 15 21 35 1 x 6

Observar que:

A posee una sola fila y 3 columnas. ; B posee una sola fila y 6 columnas.

VII. - LA MATRIZ COLUMNA O VECTOR COLUMNA:

Definición .- Es toda aquella matriz que posee" m "filas y una sola columna, siendo por

lo tanto el orden igual a " m x 1”.

Ejemplo: Las siguientes son matrices columnas:

13

7 10

A= 91 B= 1

4 5

11 7

52 6x1 9 5X1

Observar que:

A posee 6 filas y una sola columna

B posee 5 filas y una sola columna.



VIII.- LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Definición." Son todas aquellas matrices cuadradas en las cuales, los elementos por

debajo de la diagonal principal son iguales a cero (neutros aditivos).

ó a i j = 0 , i > j

Ejemplo: Los siguientes son matrices triangulares superiores:

5 16 27 14 9 15 48 12

0 32 48 0 36 21 22 37

0 0 25 3x3 B= 0 0 23 33 25

0 0 0 11 51

0 0 0 0 65

Observar que las matrices A y B cumplen exactamente con la definición

correspondiente.

IX.- LA MATRIZ TRIANGULAR 1NFERIOR

Definición.- Son todas aquellas matrices cuadradas en las cuales los elementos por

encima de la diagonal principal son iguales a cero.

ó . aij = O , V i > j

Ejemplo: Los siguientes son Matrices Triangulares Inferiores.

6 0 0 2 0 0 0 0

M= 2 3 0 5 3 0 0 0

18 7 13 N= 0 4 6 2 0

3 9 3 8 0

4 9 5 4 5

Ejemplo 2 : Determinar: a + b + c + d + e

Sabiendo que M es una Matriz Triangular Superior.

a a + 1 a+b b+c

5

2a- 16 b b+2 c+d

M= 7

3b-15

3

e+ 7 c c+3

4

3c 12 - c

5

d-4 d



Solución : (1) Por definición de una matriz triangular superior.

. . . .

5

2a- 16 . . .

M= 7

3b-15

3

e+ 7 . .

4

3c 12 - c

5

d-4 .

Los elementos por debajo de la diagonal principal deberán ser nulos.

(2) Por consiguiente: de los elementos por debajo de la diagonal principal:

5

2a -16 = 0 => a = 40

7

3b -15 = 0 => b = 35

4

c - 3 = 0 => a = 12

3

e + 7 = 0 => a = -21

5

d - 4 = 0 => a = 20

(3) Finalmente:

a + b + c + d + e = 86

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Definición.- Es toda aquella matriz denotada por" At ", la cual se obtiene al,

transformar las filas en columnas de una matriz" A " original.

Si A mxn es una matriz, At nxm es la matriz transpuesta.

Ejemplo: Sea la matriz:

1 15

M= 5 12 1 5 7 9

7 10 Mt = 15 12 10 13 2 x 4

9 13 4x2

Para lograr la matriz transpuesta se procedió estrictamente como lo establece la

definición.

1

La 1 ra Fila: 1 15 Forma la 1 ra, columna: 15



La 2da, Fila: 5 12 Forma la 2da. columna: 5

12

La 3ra. Fila: 7 10 Forma la 3ra. columna: 7

10

La 4ta. Fila: 9 13 Forma la 4ta. columna: 9

13

Observar que la matriz transpuesta tiene el orden permutado.

Otro ejemplo:

a 5 2 a b c d

A= b 3 2 At = 5 3 1 O

c 1 2 2 2 2 2 3 x 4

d O 2 4x3

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

Sean A, B, matrices, tales que At y B

t son las Transpuestas; se verifican las siguientes

equivalencias:

1.- (A + B)t = A

t + B

t ; " La Transpuesta de una suma de matrices, equivale a la suma

de las matrices transpuestas ",

2.- ( A - B) t = A

t + B

t ; " La Transpuesta de la diferencia de dos matrices, equivale a la

diferencia de las matrices transpuestas”.

3.-( AB ) t = A

t . B

t “La Transpuesta de un producto de matrices es equivalente al

producto de las matrices transpuestas ",

4.- ( KA) t = KA

t, K ε R; " La Transpuesta de una escalar ( # real) es el mismo escalar',

5.- ( A t )

t = A ; " La Transpuesta de la transpuesta es igual a la matriz original"

6.- Si A es una matriz cuadrada:

( A + A t )

t = A

t + A

CONSECUENCIAS DE LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Son los referidos a la matriz simétrica y.antisimétrica.

1. LA MATRIZ SIMÉTRICA:

Definición.- Es toda aquella matriz cuadrada en la cual se verificó! la condición:

Si : A = A t (A matriz cuadrada)

Entonces A es una matriz simétrica



Ejemplo: Sea:

15 23 37 15 23 37

23 17 82 ; A = A t

= 23 17 82

37 82 95 37 82 95

A Es Una matriz simétrica

PROPIEDADES EN UNA MATRIZ SIMETRICA

1°. Toda matriz simétrica es cuadrada.

2°.- Los elementos simétricos, relativos a la diagonal principal de una matriz simétrica,

son iguales:

Ejemplo: Elementos simétricos

15 23 59 15 23 59 iguales.

A = 23 17 82 ; A= 23 17 82

59 82 95 59 82 95 Diagonal principal

A, es una matriz simétrica,

En el ejemplo: 23= 23 ; 59 = 59 ; 82 = 82 , son simétricos.

3°.- La Transpuesta de una matriz simétrica es la misma matriz,

4°.- Los elementos de una matriz simétrica “aij” . verifican la condición siguiente;

. aij = aji

II. LA MATRIZ ANTISIMETRICA

Definición .- Es toda aquella matriz cuadrada en la cual se verifican la condición

siguiente: Si: A = -A t => A, es una matríz antisimétrica,

PROPIEDADES DE UNA MATRIZ ANTISIMETRICA

1°. La matriz antisimétrica es siempre una matriz cuadrada.

2° Los elementos de la diagonal principal son todos ceros.

3° Los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son opuestos;

analíticamente los elementos" aij , de una matriz antisimétrica verifican:

aij = - aji

4° Para obtener la transpuesta de una matriz antisimétrica será suficiente obtener el

opuesto aditivo de la matriz.

Ejemplo 1 : La matríz B es antisimétrica :



0 -7 -25

B= 7 0 -83

25 83 0

Elementos simétricos opuestos o aditivos.

0 -7 -25

B = 7 0 -83

25 83 0

Diagonal principal de elementos nulos.

0 -7 -25 0 7 25

B t = 7 0 -83 B

t = 7 0 83

25 83 0 25 -83 0

Ejemplo 2: Las matrices P Y Q son antisimétricas

0 -6 -9 -3 -2 0 8 -2 3 -5 -10

6 0 -5 -7 -3 -8 0 7 -2 9 2

P= 9 5 0 -1 -15 ; Q= 2 -7 0 6 -3 -8

3 7 1 0 -12 -3 2 -6 0 13 31

2 3 15 12 0 5 -9 3 -13 0 -4

10 -2 8 -31 4 0

0 -6 -9 -3 -2 0 8 -2 3 -5 -10

6 0 -5 -7 -3 -8 0 7 -2 9 2

P t = 9 5 0 -1 -15 ; Q

t = 2 -7 0 6 -3 -8

3 7 1 0 -12 -3 2 -6 0 13 31

2 3 15 12 0 5 -9 3 -13 0 -4

10 -2 8 -31 4 0

0 6 9 3 2 0 -8 2 -3 5 10

-6 0 5 7 3 8 0 -7 2 -9 -2

P t = -9 -5 0 1 15 ; Q

t = -2 7 0 -6 -3 8

-3 -7 -1 0 12 3 -2 6 0 -13 31

-2 -3 -15 12 0 -5 9 -3 13 0 4

-10 2 -8 31 4 0



En cada caso se utiliza el criterio del Algebra.,de matríces referido al opuesto de una

Matriz: Es decir: Sea M una matriz tal que:

a11 a12 a13 a14

M= a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

El opuesto de M será:

a11 a12 a13 a14 -a11 -a12 -a13 -a14

-M= - a21 a22 a23 a24 = -a21 -a22 -a23 -a24

a31 a32 a33 a34 -a31 -a32 -a33 -a34

ALGEBRA DE MATRICES:

Es el conjunto de operaciones que se pueden realizar con las matrices.

I. ADICION DE MATRICES

Definición: Sean las Matrices P, Y Q de orden m x n :

P = I aij I mxn y Q = I bij I mxn

Se llama suma de matrices a una tercera matriz de orden mxn, tal que:

P + Q = aij + bij mxn

En relación a la definición de matrices podemos deducir lo siguiente:

1.- La suma de matrices se realiza entre aquellas que poseen el mismo orden.

2.- Los elementos de la matriz suma, resultan de sumar los" elementos

correspondientes" de las matrices sumandos.

Ejemplo 1:

2 1 19 39

Si: E = 7 5 y F = 31 55

3 9 3 x 2 47 71 3 x 2

2 1 19 39 2+19 1+39

E + F = 7 5 + 31 55 = 7+31 5+55

3 9 47 71 3+47 9+71



21 40

E + F = 38 60

50 80 Rpta:

Ejemplo 2 :

Si: A= a 3 B= 2 c

b -1 y 4 d

Entonces: A + B = a 3 + 2 c

b -1 4 d

a + 2 3 + c

A + B = b + 4 -1 + d Rpta.

AXIOMAS DE LA ADICION DE MATRICES

Si M, N y P son matrices, K es un número real o escalar ; entonces :

1°.- M + N = N + M ; Axioma de conmutatividad

2°.- ( M + N ) + P = M + ( N + P); Axioma de asociación

3°.- K ( M + N ) = KM + KN; Axioma de distribución de la multiplicación de un escalar

por una suma de matrices.

4°.- (K1 + K2) M= K1M + K2 M; Distribución de multiplicación de una matriz por una

suma de escalares.

5°.- 1 x M = M ; Existencia del elemento neutro de la multiplicación.

6°.- M = (-1) M ; Existencia del opuesto de una matriz.

7°.- M - N = M + ( -N) ; Definición de la sustracción de matrices.

Ejemplo 1 : Sean las matrices calcular la diferencia E - F :

12 4 8 1

E = 15 3 y F= 21 29

19 7 30 15

Solución:



12 4 8 1 12 4 -8 -1

E-F = 15 3 - 21 29 = 15 3 + -21 -29

19 7 30 15 19 7 -30 -15

Aplicando la suma de matrices :

12 - 8 4 - 1 4 3

E - F = 15 - 21 3 – 29 = E – F = -6 -26

19 -30 7 – 15 -11 -8

Ejemplo 2 : Sean las matrices:

4 π -1 2 -2 -a

M= 5 -2 3 y B= -2 π 5

Calcular la diferencia: M-N

Solución:

4 π -1 2 -2 -a 4 π -1 - 2 2 a

M-N= 5 -2 3 _ -2 π 5 = 5 -2 3 + 2 -π -5

4- 2 π+2 a- 1 4- 2 2+ π a-1

M -N= 5+2 -(π+2) 3 -5 = 7 -(2 + π) -2

Ejemplo 3 : Verificar la igualdad:

11x 3 1 10 9 3 1 10 9

2 5 + 11 8 = 11 2 5 + 11 11 8

4 2 7 6 4 2 7 6

Solución (1°) Ejecutando la suma de matrices del paréntesis en el primer miembro y

realizando las multiplicaciones indicadas en el segundo miembro de la igualdad:

13 + 10 1+9 3 x 11 1 x 11 10 x 11 9 x 11

11x 2 + 11 5+8 = 2 x 11 5 x 11 + 11 x 11 8 x 11

4 + 7 2+6 4 x 11 2 x 11 7 x 11 6 x 11

(2°) Continuemos ejecutando las operaciones indicadas en ambos miembros de la igual-

dad:

13 10 33 11 110 99

11x 13 13 = 22 55 + 121 88

11 8 44 22 77 66



=

(3°) Realizando la multiplicación del escalar 11 por la matríz en el 1er. miembro y

sumando las matrices en el segundo miembro,

13 x 11 10 x 11 33 + 110. 11 + 99

13 x 11 13 x 11 = 22 + 121 55 + 88

11 x 11 8 x 11 44 + 77 22 + 66

(4°) Finalmente se logra la igualdad:

143 110 143 110 143 143 = 143 143

121 88 121 88

Esta última igualdad verifica el axioma del producto dé un escalar por una suma de

matrices en relación a la distributividad del escalar por cada matriz:

K (M1+ M2) = K M1,+ K M2

Ejemplo 4 : Verificar la igualdad siguiente:

2 11 2 11 2 11

(5+9) x 5 9 = 5 x 5 9 + 9 x 5 9

7 8 7 8 7 8

3 1 3 1 3 1

Solución : (1°) Ejecutando la suma del escalar en el 1er miembro y el producto del

escalar por la matriz en el 2° miembro:

2 11 2 x 5 11 x 5 2 x 9 11 x 9

14 5 9 = 5 x 5 9 x 5 + 5 x 9 9 x 9

7 8 7 x 5 8 x 5 7 x 9 8 x 9

3 1 3 x 5 1 x 5 3 x 9 1 x 9

(2°) Continuemos con las operaciones indicadas:

2 x 14 11 x 14 10 55 18 99

5 x 14 9 x 14 = 25 45 + 45 81 ............ (I)

7 x 14 8 x 14 35 40 63 72

3 x 14 1 x 14 15 5 27 9

(3°) En esta etapa, se efectúan las multiplicaciones en el 1er miembro y se suman las

matrices en el 2° miembro:

28 154 10 + 18 55 + 99

70 126 25 + 45 45 + 81 ................... (II)

98 112 35 + 63 40 + 72

42 14 15 + 27 5 + 9



(4°) Finalmente obtenemos;

28 154 28 154

70 126 = 70 126

98 112 98 112

42 14 42 14

Lo que verifica el axioma de la distribución de la multiplicación de una matriz por una

suma de escalares

( K1, + K2 )M = K1 M + K2 M

II.- MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Para un estudio ordenado tendremos la secuencia siguiente:

A.- La multiplicación de una escalar por una matriz.

B.- La multiplicación de un vector fila por una matriz columna

C.- La multiplicación de dos matrices.

A) LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Definición .- Sea la matriz: M.[ aij ] mxn y

K un escalar (ε R) KM = [ K aij ] mxn.y i, j

Al multiplicar una matriz por un escalar K, este se distribuye sobre cada elemento de

matríz.

Ejemplo 1 : Sea:

M= 10 4 7

3 9 3

8 11 Ejecutando la multiplicación según la definición

correspondiente.

M= 40 70

90 30

80 110 ; Observar que el escalar 10 se distribuyó sobre cada

elemento de la matriz.

Ejemplo 2 : Sea K= π y la matriz M :

-2 2

M = 2 -4 Hallar KM

Solución

KM = π M = π -2 2 => π M = -2 π π 2

2 -4 π 2 -4 π Rpta.



Ejemplos 3 : Sea:

4 11

M = -9 3 8 ;

7 2

5 15

-36 -99

=>M= -27 -72

-63 -18

-45 -135

B) MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ

COLUMNA.

Definición: Sean las matrices fila " A " y columna" B " :

b11

b21

b31

A[ a11 a12 a13 ...... an] y B = .

.

.

bn1

=> A x B = [ a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + ...... + a1n bn1 ]

n n

=> A x B = ia1 bi1 = aibi i

i=1 i=1

Observaciones:

1.- El producto de una matriz fila por una matriz columna resulta ser un escalar o

número real.

2.- El producto de un vector fila por un vector columna es una suma de productos

binarios de los elementos de ambos vectores y tienen la forma" ai bi "o bien: El primero

de la fila por el primero de la columna, más el producto del 2do. de la fila por el 2°. de

la columna.... el iésimo de la fila por el iésimo de la columna.

n

3.- A la expresión aibi se le denomina también producto escalar.

i=1

El escalar -9 se distribuye sobre los elementos de la

matriz.



Ejemplo: Si : 5

M = [4 6 10 ] y N= 7

13

Obtener el producto de matríces.

Solución: (1) De acuerdo a la definición del producto de una vector fila por un la

columna:

5 b1

M x N = [ 4 6 10 ] x 7 b2

13 b3

a1 a2 a3

(2) Realizando el producto de los elementos de la fila por los de la columna.

M x N = [a1, b1, + a2 b2 + a3 b3 ]

(3) Reemplazando los productos numéricos correspondientes:

M x N = [ 4 x 5 + 6 x 7 + 10 x 13 ] = [ 20 + 42 + 130 ] = [ 192 ]

(4) Finalmente :

El producto de un vector fila por un vector columna es un escalar.

M x N = 192

C) MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES:

Definición .- El producto de una matriz A = [ aij ]mxn por otra matriz B = [ bjk]nxp es

igual a otra matriz C = [ Cik ]m x p , donde Cik es el producto escalar de la iésima fila de

A por la k - ésima columna de B.

Esquema: Sea: [ aij ]m x n [ bjk ]n x p = [ Cik ]m x p

- La multiplicación entre matrices será definido sólo entre aquellos pares cuyo

multiplicando es de orden "m x n " y el multiplicador de orden" n x p "en caso contrario

la definición no es viable.

[ aij ] m x n [ bjk]n x p = [ Cik ]m x p

Equivalentemente : El producto de dos matrices ( A x B ) sólo es posible cuando el

1° de la fila

por el 1° de

la columna

1° de la fila

por el 1° de

la columna

1° de la fila

por el 1° de

la columna



número de columnas del multiplicando (A) es igual que el número de filas del

multiplicador ( B),

Los elementos de C, Cik se obtienen mediante la regla siguiente:

Cik = ( Fila i de A ) x Análogamente:

Cik= [ a1 a2 a3 ...... an] x = ai.bj

Ejemplo 1 : Ejecutar la multiplicación de matrices A x B

Siendo:

A= 7

3

8

4

13

11

2 x 3 y B=

12

6

2

14

9

5

3 x 2

Solución :

(1) Mediante la definición de multiplicación de matrices: A x B = C

A x B = 7

3

8

4

13

11

2 x 3

12

6

2

14

9

5

=

21

11

c

c

22

12

c

c

3 x 2

2x2

(2) Se obtienen los elementos Cij

C11 : = 7

3

8

4

13

11

x

12

6

2

14

9

5

=

III

c 16211

IV

II

C11 = 3 x 2 + 4 x 6 + 11 x 12 = 162

C12 : = 7

3

8

4

13

11

x

12

6

2

14

9

5

=

III

I

C12 = 3 x 5 + 4 x 9 + 11 x 14 = 205

COMPLETAR

c

o

l

u

m

n

a

j

de B

b1

b2

b3

.

.

.

bn



C21 : = 7

3

8

4

13

11

x

12

6

2

14

9

5

=

21821C

I

IV

II

C21=7xi+8x6 + 13x12=218

C21 : = 7

3

8

4

13

11

x

12

6

2

14

9

5

=

III

I

28922C

II

C22 = [ 7 x 5 + 8 x 9 + 13 x 14 ] = 289

(3) Concluyendo, la matriz producto será:

162 205

A x B =

246 289

Ejemplo 2 : Ejecutar la multiplicación de las matrices:

1 2 9 10 3

3 4 11 12 2

5 6 13 14 x 5

7 8 15 16 1

Solución: (1) De acuerdo a la definición dada:

A 4x4 X B 4x 1 = C 4x 1

1 2 9 10 3 C11

3 4 11 12 2 C 21

5 6 13 14 x 5 = C 31

7 8 15 16 4x4 1 4x1 C 41 4x1

(2) Obtenemos los elementos C11, C21, C31 y C41

C11 = [ 1 2 9 10 ].

III

IV

3

2

5

1

=1 x 3 + 2 x 2 + 9 x 5 + 10 x 1= 62



C11 = 62

C21 = [ 3 4 11 12 ].

C21 = 84

C31 = [ 5 6 13 14 ].

C31 = 106

C41 = [ 7 8 15 16 ].

C41 = 128

(3) Concluyendo:

1 2 9 10 3 62

3 4 11 12 x 2 = 84

5 6 13 14 5 106

7 8 15 16 4x4 1 4x1 128 4x1

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

1.- Si A y B son matrices: A x B B x A

2,- Si A y B son matrices: A x B = B x A A = B ó A x B = B x A =1

3.- Si A, B y C son matrices: (A + B ) x C = A x C + B x C

Cx (A + B) = C x A +C x B

4.- Si A, B y C son matrices: A x B x C = A x ( B x C) = (A x B) x C

5,- Si A es una matriz: 0 x A = 0 ; 0 es un escalar

6.- Si A y B son matrices: Si A x B = 0 ≠> A = 0 ó B = 0

7,- Si A, B y C son matrices: AB = AC ≠> B = C

Ejemplo 1 : Sean:

2 3 4 6 4 6 2 3

E= x y F= x

5 7 10 9 10 9 5 7

Ejecutar las multiplicaciones según la definición:

2 3 4 6 8+30 12+27 38 39

E= x = =

5 7 10 9 20+70 30+63 90 93

= 3 x 3 + 4 x 2 + 11 x 5 + 12 x 1 = 84

3

2

5

1

= 5 x 3 + 6 x 2 + 13 x 5 + 14 x 1 = 106

3

2

5

1

= 7 x 3 + 8 x 2 + 15 x 5 + 16 x 1 = 128

3

2

5

1



18 39

E= ................(I)

90 93

4 6 2 3 8+30 12+ 42 38 54

F = x = =

10 9 5 7 20+70 30+63 90 93

38 54

F = ................(II)

65 93

De ( I ) y ( II ) verificamos que el ser E ≠ F

2 3 4 6 4 6 2 3

x ≠ x

5 7 10 9 10 9 5 7

La multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir que el orden de los factores

matrices si altera el producto.

Ejemplo 2 : Calcular:

1 3 2 3 5

4

x

2 7 2 11

Solución: (1) Calculando cada potenciación:

1 3 2 1 3 1 3

= x

2 7 2 7 2 7

1x1+3 x2 1x3+3x7 1+6 3+21

= =

2 x1+7 x2 2x3+7x7 2+14 6+49

1 3 2 7 24

x

2 7 16 55 ............... (I)

(2°) En relación al segundo sumando:



3 5 4 3 5

2 3 5

2

= x

2 11 2 11 2 11

( 3°) Calculando el cuadrado se logra:

3 5 2 3 5 3 5

3x3+5x2 3x5+5x11 9+10 15+55

= x = =

2 11 2 11 2 11 2x3+11x2 2x5+11x11 6+22 10+121

3 5 4 19 70

=

2 11 28 131

(4°) Entonces.:

3 5 4 19 70 19 70

= x

2 11 28 131 28 131

(5°).- Ejecutando la multiplicación de matrices:

19x19+70x28 19x70+70x131 361+1960 1330+9170

= =

28x19+131+28 28x70+131x131 532+3668 1960+1716

(5°) Luego la cuarta potencia será:

3 5 4 2321 10500

= ............ (II)

2 11 4200 19121

(7°) Ejecutando la multiplicación de matrices en el segundo miembro:

I

7 x 2321 + 24 x 4200 7 x 10500 + 24 x 19121

=

16 x 2321 + 55 x 4200 16x 10500+55x 19121

16247 + 100800 73500 + 458904

=

37136 + 231000 168000 + 1051655

Finalmente:



1 3 2 3 5

4 117047 532404

x =

2 7 2 11 2681136 1219655

III. POTENCIACION DE MATRICES

Definición: Si " A " es una matriz cuadrada

A0 = 1 ; A

2 = A x A A

3=A x A x A; ...; A

n = A x A x A...A

N factores

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION :

1°) Si M es una matriz cuadrada:

M x Mn = M

1+n ; n N

2°) Si M es una matriz cuadrada:

Mm

x Mn = M

n x M

m ; m, n N

Ejemplo 1 : Calcular:

3 5 4 2

M = 7 2 3

10 1 5

Solución: ( 1°) Mediante la definición de potenciación :

3 5 4 2 3 5 4 3 5 4

M = 7 2 3 = 7 2 3 = 7 2 3

10 1 5 10 1 5 10 1 5

(2°) Ejecutando la multiplicación: .

1

3x3+5x7+4x10 3x5+5x2+4x1 3x4+5x3+4x5

M= 7x3+2x7+3x10 7x5+2x2+3x1 7X4+2x3-3x5

10x3+1x7+5x10 10x5+1x2+5x1 10x4+1x3+5x5

. (3°)Finalmente:

3 5 4 2 34 29 47

M = 7 2 3 = 65 42 49

10 1 5 87 57 68



Ejemplo 2: Calcular:

-7 11 2 2 2 2

2

+

-3 10 3 3 7 3

Solución: (1°) Ejecute las potenciaciones de cada sumando:

-7 11 2 -7 11 -7 11

= x

-3 10 -3 10 -3 10

= (-7) (-7) + (11) (-3) (-7)(11)+(11) (10) = 49 -33 -77-110

(-3) (-7) + (10) (-3) (-3) (11)+(10) (10) 21 – 30 -33 +100

-7 11 2 16 33

+ ......................( I )

-3 10 -9 67

En el segundo sumando:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

= x

3 3 7 3 3 3 7 3 3 3 7 3

(2 2 ) (2 2 )+( 2 )(3 3 ) (2 2 )( 2 )+( 2 )(7 3 )

= (3 3 )(2 2 )+(7 3 )(3 3 ) (3 3 )( 2 )+(7 3 )(7 3 )

2 2 2 2 8+3 6 4+7 6

= ...................... (II)

3 3 7 3 6 6 +63 3 6 +147

(2°) Realizando la suma de matrices ( I ) y ( II )

16 33 8+3 6 4+7 6

=

-9 67 63+6 6 + 147+3 6

16+8+3 6 33+ 4+7 6

-9+63+6 6 + 67+147+3 6



=

(3°) Finalmente:

-7 11 2 2 2 2

2 24+3 6 37+7 6

+

-3 10 3 3 7 3 54+6 6 214+3 6

Ejemplo 3: Calcular:

-3 1 5

A=

5 7

Solución: (1°) Podemos plantear el cálculo de la potencia del modo siguiente:

M5= M

2 x M

3...................................... (I)

(2°) Luego obtenemos M2 :

-3 1 2

-3 1 -3 1 9+7 -3+7

M2= = x =

5 7 5 7 5 7 -15+49 5+49

16 4

M2= …………………………….( II )

34 54

(3°) Obtenemos M3 con; M

3= M

2 x M

16 4 -3 1 -48+20 16+28

M3= x =

34 54 5 7 -102+270 34+378

M2 M

-28 44

M3= .................................................... (III)

168 312

(4°) Sustituyendo ( II ) y ( III ) en ( I ) :

16 4 -28 44

M3= 34 54 x 168 312



M2 M

3

16x(-28)+4x168 16x44+4x 312 -448+672 704+1248

M3= =

34(-28)+54x168 34x44+54x312 -952+9072 1496+16848

TALLER:Hallar

M

M = ¿ ?

MENORES Y COFACTORES DE UNA MATRIZ

Definición '.- En una matriz cuadrada, de orden ' n ' ; se denomina menor ' Mij , o

determinante, a la matriz cuadrada de orden" n - 1 " la cual se obtiene

eliminando los elementos de la Fila i y de la Columna j, por consiguiente:

a) El determinante: det ( Mij ) se denomina Menor Complementario aij de la matriz

M

b) Se define" cofactor del elemento aij " al producto que se representa por Aij, siendo

"

Aij =(-1)1+1 . det (Mij) o A = ( -1 )

1+ 1 . ( Mij )

Donde:

Aij : es el cofactor

det ( Mij ,) : es el menor, o menor complementario.

Ejemplo 1 : Sea la matriz A tal que:

al1 al2 al3

a21 a22 a23

A= a31 a32 a33

. El menor del elemento a" resulta de suprimir la 1 ra. fila y 1 ra. columna; dicho

designado por M l1 será:

al1 al2 al3

M l1 = a21 a22 a23 = a22 a23

a31 a32 a33 a32 a33

* Cofactor del elemento a l1 es A l1 ; mediante la definición:

a22 a23 a22 a23

A l1=(-1) 1 + 1

a32 a33 = a32 a33

5



* Cofactor del elemento a12 es A12 mediante la definición:

a21 a23 a21 a23

A l2 = (-1) 1 + 2

a31 a33 = - a31 a33

Ejemplo 2 : Hallar el menor del elemento al1 y a21 de la matriz cuadrada siguiente:

13 17

M= 21 19

Solución (1°) Según la definición de menor de al1 resulta de eliminar la fila 1 y la

columna

1, es decir:

13 17 = 19 M11 = 19

Menor de a11 = 21 19

(2°) El menor de a21 resulta de eliminar los elementos de la fila 2 y la columna 1.

13 17 = 17 M21 = 17

Menor de a21 = 21 19

Ejemplo 3: Hallar el menor de los elementos a34 ,a14 y a33 de la matriz cuadrada

siguiente:

5 11 8 10

3 13 -4 21

7 17 6 40

6 21 -9 49

Solución :( 1°) De acuerdo a la definición; eliminemos la 3ra. fila y 4ta. columna.

5 11 8 10

3 13 -4 21 5 11 8

Menor de a34 = = 3 13 -4

7 17 6 40 6 21 -9

6 21 -9 49

(2°) En relación al menor de a14' eliminemos la 1ra. fila y 4ta. columna.

5 11 8 10

Menor de a14 = 3 13 -4 21 3 13 -4

= 7 17 6

7 17 6 40 6 21 -9



6 21 -9 49

(3°) Para obtener el menor e a33 eliminemos la 3ra. fila y 4ta. columna:

5 11 8 10

Menor de a33 = 3 13 -4 21 5 11 10

= 3 13 21

7 17 6 40 6 21 49

6 21 -9 49

MATRIZ DE LOS COFACTORES

.Definición: Sea" M " una matriz cuadrada, de orden" n " , tal que Aij es el cofactor

elemento aij ; denominaremos Matriz de los cofactores a la siguiente:

A11 A12 ----------------------A1n

A21 A22 ----------------------A2n

A31 A32 ----------------------A3N

Cofact ( M ) = . .

. .

. .

An1 An2 -----------------------Ann

Ejemplo 1 : Sea la matriz

13 7 M = 11 10

Para obtener la matriz de los cofactores de M aplicamos la definición:

A11 A12 ---------(1)

Cofact ( M ) = A21 A22

. .

Donde los cofactores : A11 , A21 , A12 Y A22 se obtienen a su vez de eliminar las filas y

columnas correspondientes; así:

TALLER: Verifique si los cofactores de la siguiente matriz.

13 11

A11 = Son:

7 10

10 -7

Cofact ( M ) = -11 13



NOTA: En toda matriz cuadrada: el producto de los elementos de la diagonal principal

es “ + “ y el producto de los elementos de la diagonal secundaria es *-*

Ejemplo 2 : Hallar el cofactor de los elementos a11 ; a32 de la matriz:

1 15 23 31

3 13 21 29

5 11 19 27

7 9 17 25

Solucion .(1° )De acuerdo a la definición debemos de establecer que:

Cofactor de a11 = A11 = ( -1 )1+1

M11

( 2°) Luego:

1 15 23 31

A11 = ( -1 )1+1

3 13 21 29 ( Eliminando la fila 1 y columna 1 )

5 11 19 27

7 9 17 25

13 21 29

A11 = 11 19 27

9 17 25

( 3° ) Además: Cofactor de a32 = A32 ( -1 ) 3+2

M32 ( Eliminando fila 3 y columna 2 )

Luego:

1 15 23 31 1 23 31

A32 = ( -1 )3+2

3 13 21 29 =(-1)5 3 21 29

5 11 19 27 7 17 25

7 9 17 25

Luego de eliminar la 3ra

fila y 2da columna.

1 23 31

A32 = -

3 21 29

7 17 25



LA MATRIZ ADJUNTA

Definición: La Matriz Adjunta de “M” es la matriz transpuesta de la matriz de los

cofactores de M.

Si M es una matriz cuadrada Adjunta ( M ) = Cofact ( M )]t

Ejemplo: Obtener la matriz adjunta de:

13 11

M = 7 10

Solucion: (1) Utilizando el resultado del ejemplo anterior

10 -7

Cofact M = -11 13

(2) Utilizando la definición de la matriz adjunta

10 -7 t

Adjunta ( M ) = Cofact ( M )]t -11 13

(3) Finalmente efectuando la transpuesta

10 11

Adj (M) = -7 13

Ejemplo 2 : Hallar la matriz adjunta de :

2 1 10

M = 3 4 11

7 1 13

Solución (1°) De acuerdo a la definición de matriz adjunta: Si M es una matriz

cuadrada:

Adjunta ( M ) = Cofact ( M )]t

(2°) Obtenemos la matriz de cofactores de M

Ml1 Ml2 Ml3

Cof (M) = M21 M22 M23

M31 M32 M33



( 3°) Luego:

4 11 3 11 3 4

(-1)1+1

(-1)1+2

(-1)1+3

1 13 7 13 7 1

1 10 2 10 2 1

(-1)2+1

(-1)2+2

(-1)1+3

1 13 7 13 7 1

1 10 2 10 2 1

(-1)3+1

(-1)3+2

(-1)1+3

4 11 3 11 3 4

(4°) Desarrollando lo indicado en cada elemento de la matriz de cofactores:

1 [52-11] (-1) [52-11] 1 [3-28]

M l1 = (-1) [13-10] 1 [26-70] (-1)[2-7]

1 [11-40] (-1) [22-30] 1 [8-3]

41 38 -25

Cof (M) = -3 -44 5

-29 8 5

(5°) Obtenemos la transpuesta de la matriz de cofactores, es decir transformando las

filas en

columnas luego:

41 38 -25 41 -3 -29

(Cof M)t -3 -44 5 (Cof M)

t 38 -44 8

-29 8 5 -25 5 5

Es decir la 1ra. fila en 1ra. columna; la 2a. fila en 2a. columna y la 3ra. fila en 3ra.

columna.

(6°) Finalmente luego de considerar nuevamente Adjunta (M) = [ Cof (M) ] t

41 -3 -29

Adjunta de M = 38 -44 8

-25 5 5

TALLER. Ejemplo 3: Hallar la matriz adjunta de :

3 2 4

A = 7 5 5

6 8 9



LA MATRIZ INVERSA

Definición :Sea" M" matriz cuadrada, tal que det (M) o, la matriz inversa de M es

M1, la cual se establece mediante la siguiente regla:

M-1

= 1 x=[Adj (M)] y def (M) 0

det(M)

Ejemplo 1 : Calcular la matriz inversa de la siguiente:

M=

Solución: (1) Aprovechando el resultado del ejemplo 1

10 -11

Adj (M) = -7 13

(2) Obtenemos el determinante de la matriz M

13 11

det (M) = def = 13 x 10 –7 x 11

7 10

det (M) = 53

(3) Finalmente se tendrá; de acuerdo a la definición de matriz inversa:

M-1

= 1 x [Adj (M)]

det(M)

Reemplazando valores

10 -11

M-1

=53

1x M

-1=

-7 13

Ejemplo 2 : Hallar la matriz inversa de :

-2 -13

(B) = 5 -17

Solución: (12) Mediante la definición de matriz inversa recordemos que ésta es:

B-1

= 1 x [Adj (B) , (B) 0 ( 1 )

13 11

7 10

10 -11

53 53

10 -11

53 53



[B]

(2°) Obtengamos [ B ] o determinante de B, luego :

-2 -13

B= 34 – ( -65) = 34 +65 = 99

5 -17

[B] = 99............................(ll)

( 3° ) Obtengamos Adj (B) que es la matriz transpuesta de los cofactores de B, es decir:

Adj B = [Cofact (B)]t

-2 -13 t -17 (-5)

t -17 (-5)

t

Adj B Cofact = =

5 -17 -(-13) -2 13 -2

-17 13

Adj B= ----------------------------------------------(lll)

-5 -2

(4°) Finalmente de ( II ) Y ( III ) sustituidos en ( I )

-17 13

B -1

=99

1 x -5 -2 B

-1=

Ejemplo 3 : Hallar la matriz inversa de :

3 4 -6

M = -5 2 -3

-1 -1 10

Solución ( 1°) Para obtener la matriz inversa utilizamos la siguiente regla establecida:

Si A es una matriz cuadrada, la matriz inversa A -1 es igual a:

A-1

= 1 Adj (A ;(A) 0

[A]

(2°) Obtengamos [A] o determinante de A I

-17 13

99 99

-5 -2

99 99



3 4 -6

-5 2 -3 = (3) (2) (10) + 4 (-3) (-1) + (5) (-1) (-6) –1 (-1) (2)(6)- (-1)

-1 -1 10 (-3) (2) - (-5) (4) (10)

= 60 + 12 – 30 – 12 – 9 + 200

Luego: [A] = 221

(3°) Obtengamos la matriz adjunta de A: Adj (A) para ello recordaremos que: Adj (A) =

( Cof A)’ o

transpuesta de los cofactores; el mismo que se logra mediante las supresiones

necesarias.

2 -3 -5 -3 -5 2

-

-1 10 -1 10 -1 -1

4 -6 3 -6 3 4

- -

-1 10 -1 10 -1 -1

4 -6 3 -6 3 4

-

2 -3 -5 -3 -5 2

(4°) Desarrollando los determinantes de 2 x 2 en la matriz de cofactores:

(2)(10) - (-1)(-3) -(-5) (10) – (-(-1 (-3)) (-5)(-1) – (-1)(2)

-(4)(10) - ((6) (-1)) (3) (10) - (-1) (-6) -(3)(-1) – (-(-1)(4))

Cof A (4)(-3) - (2)(-6) - (3)(-3) - (-(-5)(-6)) (3)(2) – (-5)(4)

10 -3 50 + 3 5 + 2 7 53 7

Cof A -40 + 6 30 - 6 3 - 4 Cof A= -34 24 -1

-12 + 12 9 + 30 6 + 20 0 39 26

(5°) Obtengamos la matriz transpuesta de Cof A

7 53 7 t

( Cof ) (A)t = -34 24 -1 = Adj A

-24 39 26



Para ello transformaremos las filas en columnas:

7 -34 -24

( Adj ) A) = 53 24 39

7 -1 26

(6°) Finalmente la matriz inversa de A será:

7 -34 -24

A= A

1 Adj A =

221

1x 53 24 39

7 -1 26

221

7

221

53

221

7

221

1

221

24

13

2

17

2

17

3

221

24

TALLER: ESCRIBA UNA MATRIZ DE ORDEN 3X3 Y HALLE SU INVERSA.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA MATRIZ INVERSA

Sea “M” una matriz y M-1

la matriz inversa correspondiente. La propiedad fundamental

es que:

M x M-1

=1 ó M-1

x M =1

Donde: 1 es la matriz Identidad.

Ejemplo: Demostrar que las matrices A y B son inversas la una de la otra, siendo:

53

7

53

10

53

13

53

11

Solución: (1) Deberá cumplir la propiedad fundamental: A x B = 1

53

7

53

10

53

13

53

11

Ejecutando la multiplicación:

A-1 =

13 11

A= y B =

7 10

13 11

x

7 10 = l : veamos



53

70

53

130 -

53

70

53

7

53

77

53

143 +

53

130

53

143

0

53

53

53

53

0

Entonces, finalmente:

53

7

53

10

53

13

53

11

Por lo tanto A y B son inversas, l.q.q.d.

TEOREMA ( Relativo a la equivalencia de un sistema de ecuaciones lineales y una

ecuación matricial ).

Sea el sistema de ' m ' ecuaciones lineales con' n incógnitas lineales:

all xl + al2 X2 + ------- aln xn = bl

a2l xl + a22 X2 + ------- a2n xn = b2 a3l xl + a32 X2 + ------- a3n xn = b3

. . . . .

. . . . .

. . . . . am1 xl + am2 X2 + -------amn xn = bm

Dicho sistema es equivalente a la ecuación matricial

all al2 aln X1 bl

a2l a22 a2n X2 b2 a3l a32 a3n X3 b3

aml am2 amn Xn bm mx1

. . . .

Matriz de los coeficientes Matriz de las Matriz de los

Incógnitas términos

Independientes

Ejemplo: Sea el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ( m = n )

- +

= l

1 0

=

0 1

13 11

x

7 10

1 0

=

0 1



13x l + 5x2 = 23--------------(l) 17xl + 21x2 = 59--------------(ll)

Es equivalente a la ecuación matricial

13 5 x1 23

=

17 21 x2 59

Corolario:

Sea el sistema de m ecuaciones lineales con" n " incógnitas:

all xl al2 x2 ------------- + aln x2= bl

a2l x1 a22 x2 ------------ + a2nxl2= b2 a3l x1 a32 x2 ------------ + a3nxl2= b3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

aml x1 + am2 x2 + am3x3 +…………..= amn xn = bn

La matriz de las incógnitas es equivalente a :

x1 all al2 al3----------- a1n bl

x2 a2l a22 a23----------- a2n b2 x3 a3l a32 a33 -----------a3n x b3

. = . . .

. . . .

xn nx1 aml am2 amn-------------amn mxn b n mx1

Matriz de las Matriz inversa de los Coeficientes Matriz de los términos

Incógnitas independientes.

Ejemplo 1 : Sea el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas ( m = n )

2x l + 9x2 + x3 = 21--------------(l) 5xl + 4x2 + x3 = 19--------------(ll)

7x l + 11x2 +6x3 = 24--------------(lll)

Se verifica que:

-1

x1 2 9 1 21

x2 = 5 4 1 x 19

x3 7 11 6 24

Matriz de las Matriz inversa de los Matriz de los términos

Incógnitas Coeficientes independientes.

Ejemplo 2 : Resolver el siguiente sistema por el método de la equivalencia matricial

establecida en el corolario:



13x + 11y = 37--------------(l) 7x + 10y = 24--------------(ll)

Solución: (1) Según el corolario:

[Matriz de las Incógnitas] =[ Matriz inversa de ] [Matriz de los términos]

los Coeficientes independientes.

(2) Según los datos:

x 13 11 -1

37

x ------------(l)

y 17 10 24

(3) Aprovechando que la matriz inversa de la matriz:

13 11

17 10

fue calculando en el ejemplo de matriz inversa

53

7

53

10

53

13

53

11

(4) Sustituyendo (ll) en (l)

53

7

53

10

53

13

53

11

(5) Ejecutando la multiplicación de matrices:

53

259

53

370 -

53

312

53

264 =

53

53

53

106

(6) Finalmente igualando, o, identificando:

x = 2 , y = 1

DETERMINANTES ( Ligera Idea)

13 11 -1

=

7 10

(ll)

x

=

y 2x2

37

x

24 2x1

x

=

y

2x1

2

=

1



Definición .- El determinante viene a ser una función que aplicada a una matriz

cuadrada origina un único valor real o complejo.

También se define un determinante como el desarrollo de una matriz cuadrada.

DETERMINANTE DE 2 x 2 :

Definición .- Es aquel determinante de la forma:

El valor de una matriz cuadrada se obtiene, así:

. Ejemplo: 13 20

= 13 x 12-20 x 7 = 156 - 140

7 12

= 16

DETERMINANTES DE 3 x 3

Definición: Es aquel determinante de la forma:

all al2 al3

a2l a22 a23 a3l a32 a33

Para hallar su valor se aplica la , Regla de Sarrus ", y se obtiene el siguiente resultado.

all al2 al3

a2l a22 a23 all a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31-a13 a22 a31 -

a3l a32 a33 -all a23 a32- al2 a21 a33

Ejemplo: Calcular el valor del determinante siguiente:

10 6 3

5 12 7

4 8 11

El valor se calcula del modo siguiente:

Solución ( 1°) De acuerdo a la definición

10 6 3

5 12 7 = 10 x 12 x 11 + 6 x 7 x 4 + 5 x 8 x 3 – 4 x 12 x 3 – 8 x 7 x 6 x 11

4 8 11

( 2°) Ejecutando en el 2° miembro:

all al2

a21 a22

all al2 -

a21 a22

+

= all x a22 – a21 x al2

= 1320 + 168 + 120 – 144 – 560 - 330

= 1608 – 746 = 862

10 6 3

5 12 7 = 862

4 8 11

NOTA: Para mayor información sobre determinantes, consulte el capitulo

correspondiente del libro ALGEBRA de la “COLECCIÓN GONI”

RANGO DE UNA MATRIZ

Definición: Sea una matriz de orden m < n ; el rango de A es el orden de la Sub-Matriz

cuadrada mas grande contenido en A, cuyo determinante es no nulo y

representado por:

rango (A) = r (A)

SUB-MATRICES CUADRADAS:

Definición: Sea A una matriz de orden m x n; se denominan Sub- Matrices cuadradas

de Orden k * k a todas aquellas matrices cuadradas que están contenidas en A.

Consecuencias:

(i) Para obtener el rango de A, es suficiente que entre los elementos del

conjunto de submatrices cuadradas de mayor orden se encuentre uno que

tenga determinante distinto de cero.

En caso contrario se prosigue con las sub-matrices cuadradas de orden

inferior.

(ii) A partir de la definición de rango de una matriz A de orden m x n, r (A) se

verifica que: r (A) m i n {m, n}

Ejemplo 1: Hallar las sub-matrices cuadradas de:

5 9

M = 1 4

7 8

Solución:

(1°) De acuerdo a la definición de sub-matriz, obtengamos todas aquellas matrices

cuadradas

de orden 2 x 2, luego:

5 9 5 9 1 4

1 4 , 7 8 y 7 8

( 2°) También son sub-matrices de M, aquellas matrices cuadradas de orden 1 x 1

[5] [9]

[1] [4]

[7] [8]



Ejemplo 2: Hallar las sub-matrices cuadradas de la matriz:

1 9 2

3 11 4

A =

5 13 8

7 15 10 4 X 3

Solución:( 1°) Las sub-matrices cuadradas contenidas en A serán las de orden 3 x 3:

1 9 2 1 9 2 1 9 2 3 11 4

3 11 4 ; 3 11 4 ; 5 13 8 ; 5 13 8

5 13 8 7 15 10 7 15 10 7 15 10

(2°) Las sub_matrices de orden 2 x 2:

1 9 1 2 1 9 1 2

3 11 3 4 5 13 5 8

1 9 1 2 3 11 3 4

7 15 7 10 5 13 5 8

3 11 3 4 5 13 5 8

7 15 7 10 7 15 7 10

9 2 9 2 9 2 11 4

11 4 13 8 15 10 13 8

13 8 11 4

15 10 15 10

(3°) Las sub-matrices de orden 1 x 1: [1] [9] [2]

[3] [11] [4]

[5] [13] [8]

[7] [15] [10]

Ejemplo 3: Hallar el rango de la matriz:

2 4

A = 5 6

8 7 3 x 2

Solución: (1°) De acuerdo a la definición:

Obtengamos las sub-matrices mayores, y el valor de los determinantes de mayor orden

son de ( 2 x 2 ):

2 -11 = 2 x 6 – (11 ) (-5 )= 12 + 55 = 67 0



-5 6

2 11 = (2) ( 7) – (8 ) (11 )= 14 - 88 = -74 0

8 7

5 6 = (-5) ( 7) – (6 ) (8 )= -35 - 48 = -83 0

8 7

(2°) De acuerdo a la definición, basta que una de las matrices sea distinto de cero para

determinar el rango de la matriz.

(3|°) Finalmente

:. r (A) = 2 (Debido a que las sub-matrices cuadradas son de orden 2 x 2 )

Ejemplo 4 : Hallar el rango de la matriz:

10 1 2

3 2 6

2 3 7

4 5 11 4 x 3

Complete la solución: ( 1 °) Mediante la definición de rango, bastará ubicar una sub-

matriz de orden

3 x 3 de modo que el determinante sea o; el cual de inmediato permitirá aplicar la

definición:

(2°) Ejecutando la anterior, conforme a una sub-matriz cualquiera de orden 3 x 3.

10 1 2

3 2 6

2 3 7 3 x 3

(3°) Calcule el determinante

= 10x2x7 + 3x3x2 + 1x6x2 – 2x2x2 – 3x6x10 – 3x1x7

= 1 40 + 18 + 12 -8 - 180 – 21

= -39 0

(4°) La sub-matriz de 3 x 3 seleccionada es 0 , el orden sería :. r ( A ) = 3 .

Ejemplo 5 : Determinar el rango de la matriz:

12 16 8

-2 -2 0



7 8 2

Solución: (1|) Obtengamos las sub-matrices de orden 3 x 3 y calculemos el valor

determinante respectivo:

12 16 8

1 -2 –6 = 12(-2)(0) + 16(-6)(-2) + 1(-2)(8) -(-2)(-2)(8) - 1(2)(-6)(12) -

-2 -2 0

-(1) (16) (0) = 192 = 0

(2|°) Por ser esta sub-matriz con determinante cero; conformemos los otros y el valor

de cada determinante, hasta lograr una que sea distinto de cero.

12 16 8 12 16 8 1 -2 6

1 -2 6 2 -2 0 -2 -2 0

7 8 2 = - 48 7 8 2 7 8 2

Ejemplo 2 :

Hallar el rango' de la matríz

3 1 2

10 2 2

2 7 0

5 4 1 4 x 3

Solución: (1°) Como A es de orden 4.x 3 por definición se tendrá:

r ( A ) min { 4, 3} ó r (A) 3

Es decir el orden deberá resultar 3 ó menor a éste.

(2°) Formamos una sub-matriz de orden 3 x 3 : S1

3 1 2

S1 = 10 2 2

2 7 0 3 x 3

( 3° ) Calculamos el determinante de S1

S1 = 3(2) (0) + 10 (7) (2) + 1 (2) (2) -2(2) (2) - 7 (2) (3) - 10 (1) (0)

S1 = 0 + 140 + 4 - 8 - 42 - 0

S1= 94 0

( 4° ) Elegimos el orden 3 de la matriz cuadrada cuyo determinante es diferente de cero.

:. r ( A ) = 3

Ejemplo 3 : TALLER: Halle el rango de la siguiente matriz

5 6 0

0 192 16 -144 0

A = 10 12 0

Comentarios:

(1°) Las matrices nulas tienen rango cero:

Ejemplo: Sea:

0 0 0

A = 0 0 0

0 0 0 3x3

Las sub-matrices de orden 2 x 2 son nulas; las sub-matrices de orden 1 x 1, también son

nulas.

r ( A ) = 0

( 2°) Las matrices no nulas tienen rango mayor que cero

Si [aijl m x n es no nula 0 < r (A) min {m,n}

Si [aijl m x n es no nula 0 < r (A) n

Ejmplo 1 : Sea:

2 7 6 4 3

A = 3 5 2 8 11 0 < r (A) min {3,5}

5 2 1 2 7 3x5

Ejemplo 2: sea:

A = 13 7 1 3

11 9 0 7

15 6 2 2

12 2 3 9 4x4

TRANSFORMACION ELEMENTALES

Definición: Se denomina de este modo a toda operación elemental que se realiza entre

las filas o columnas de una matriz A.

Las siguientes Son transformaciones elementales

(1°) Al intercambio o permuta de 2 filas o 2 columnas

SIMBOLOGIA: La fila i permutada con la fila j : fi x fj .

La columna i permutada con la columna j: Ci x Cj

Ejemplo: Sea la matriz A

5 11 21 4 = 1

A = 4 13 28 17 = 2

0 < r (A 0) {4}



3 17 32 21

C2 C4

4 13 28 17

5 11 21 4

3 17 32 21

C2 C4

La permuta C2 x C4 será 5 4 21 11

4 17 28 13

3 21 32 17

C2 C4

( 2° ) Multiplicación de una fila o columna por un escalar K no nula,

SIMBOLOGIA: La fila i por el escalar K: K i la columna j por el escalar K : KCJ

Ejemplo: Sea la matriz

2 3 11 2 3 11 2 3 165

7 4 9 = 9 2 63 36 81 : 15 C3 7 4 135

5 1 13 5 1 13 5 1 195

( 3° ) A una fila o columna se le suma el múltiplo de otra fila o columna:

SIMBOLOGIA : La fila i incrementada en K veces la fila j : fi + k f i

La, columna i incrementada en K veces la columná j : Ci + K Cj

MATRICES EQUIVALENTES

Definición: Una matriz [ aij ] m x n es equivalente [ bij ] m x n si una de ella se deduce

de la otra como consecuencia de transformaciones elementales de línea. .

NOTACION: Si A y B son equivalentes A ~ B

Ejemplo: Sea la matriz A y B, verificar que estos son equivalentes:

2 15 0 87

A = 7 9 y B= 1 -36

Solución: ( 12) Ejecutando en A transformaciones elementales sucesivas

2 15 0 87

f2-3f1 f1-2f2

1 -36 1 -36

Se verifica que;

A ~ B

Debido a que la matriz B se obtuvo de la matriz A.



MATRIZ ESCALONADA

Definición: Una matriz [ aij ] m x n es escalonada si posee las condiciones siguientes:

a) Las primeras" k" filas son no nulas y las restantes ( m - k ) filas son nulas.

b) El primer elemento no nulo de cada una de las primeras" k " filas es la unidad.

e) En cada una de las" k "filas, el número de ceros anteriores a la unidad crece de fila a

fila.

Ejemplo 1:

0 1 7 9 Es escalonada pues cumple con la definición;

0 0 1 4 en efecto:

0 0 0 1

0 1 . 7 9 k = 3, 3 filas primeras no nulas

0 0 1 4 m - k = 0, filas nulas.

0 0 0 1

Además el primer elemento no nulo de cada fila es la unidad.

En cada fila el número de ceros inicia de uno y crece en cada fila,

Se dice que una fila o columna es nula si y sólo si todos sus elementos son

nulos,

Se dice que una fila o columna es no nula si por lo menos uno de sus elementos

es distinto de cero.

Ejemplo 2: La matriz es escalonada pues cumple con la definición.

1. 19 14 17 k = 3 son no nulas

0 1 13 19

M= 0 0 0 1

0 0 0 0 m - k = 5 - 3 = 2 son nulas

0 0 0 0 5x4

Propiedades: Cualquier matriz de orden M x N se puede transformar a una matriz

escalonada.

REPASO:

A las matrices se designan con letras mayúsculas.

A los elementos de una matriz se simbolizan por “aij”.

El orden de una matriz depende del número de filas y columnas que tenga.

Las matrices son de las siguientes clases: Cuadrada, nula, diagonal, escalar,

identidad, fila o vector fila, columna o vector columna, triangular superior

y triangular inferior.

La matriz transpuesta de una matriz dada se obtiene transformando las

filas en columnas .

Matriz adjunta es la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores.

Dos matrices son equivalentes si tienen el mismo rango.

GLOSARIO



- Matriz.- Es un arreglo rectangular de elementos de conjunto de números

reales.

- Matriz cuadrada.- Es aquella que tiene igual número de filas y columnas.

- Algebra de matrices.- Operaciones que se pueden realizar con los elementos

de las matrices.

- Determinante.- Desarrollo de una matriz cuadrada.

GUÌA DE TRABAJO # 2

NOTA: EN VISTA QUE LA UNIDAD ABARCA VARIOS SUBTEMAS, SE

ENVIARA EJERCICIOS PROPUESTOS QUE CONLLEVEN AL TRABAJO

PRESENCIAL EQUIVALENTE A 8 HORAS QUE CORRESPONDE A CADA

SEMANA, DE LA SIGUIENTE BIBLIOGRAFIA.

BIBLIOGRAFIA

ING. GOÑI Juan, BASE MATEMÀTICA, Págs. 256 – 304.


LA VIDA, Octava edición, Págs.220 – 291.

LIAL Margaret, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y

ECONOMIA, Séptima edición, Págs. 287 – 307.



CUARTA UNIDAD

OBJETIVO:

Representar geométricamente la solución de una desigualdad lineal con dos

variables y extender esto a un sistema de desigualdades lineales.

PROGRAMACIÓN LINEAL: EL MÉTODO GRÁFICO

Muchos problemas de negocios, ciencias y economía implican encontrar el valor óptimo

de una función (por ejemplo, el valor máximo de la función de ganancia o el valor

mínimo de la función de costo) sujeta a varias restricciones (como costos de

transporte, leyes de protección del medio ambiente, disponibilidad de pide interés, etc.)

La programación lineal trata situaciones donde la función por optimizar, llamada la

función objetivo, es lineal y las restricciones están dadas por desigualdades lineales.

Los problemas de programación lineal que contienen variables pueden resolverse con el

método gráfico, que se explica en el ejemplo 1.

EJEMPLO 1 Encuentre en seguida los valores máximo y mínimo de la función

objetivo z = 2x + 5y, sujeta a las siguientes restricciones.

3x + 2y 6

- 2x + 4y 8

x+y l

x O, y O

Primero trace la gráfica de la región factible del sistema de desigualdades (figura 11).

Los puntos en esta región o sobre sus fronteras son los únicos, que satisfacen todas las

restricciones. Sin embargo, cada uno de esos puntos puede producir un valor diferente

de la función objetivo. Por ejemplo, los puntos (0.5, l) y (1,’0) en la región factible

conduce a los valores.

z = 2(.5) + 5(1) = 6 y z = 2(1) + 5(0) = 2.

Tenemos que encontrar los puntos que producen los valores máximo y mínimo de z.



FIGURA 11

Para encontrar el valor máximo, considere varios valores posibles de z. Por ejemplo,

cuando z = 0, entonces la función objetivo es 0 = 2x + 5y, cuya gráfica es una línea

recta. De la misma manera, cuando z es 5, 10 y 15, la función objetivo es,

respectivamente,

5 = 2x + 5y, 10 = 2x + 5y, 15 = 2x + 5y.

La gráfica de esas cuatros rectas, está trazada en la figura 1.2 (todas las rectas son

paralelas porque tienen la misma pendiente). La figura muestra que z no puede tomar el

valor 15 porque la gráfica para z = 15 cae enteramente fuera de la región factible. El

valor máximo posible de z se obtendrá de una recta paralela a las otras y entre las rectas

que representan la función objetivo cuando z = 10 y z = 15. El valor de z será tan grande

como sea posible y todas las restricciones se cumplirán si esta recta toca justamente la

región factible. Esto ocurre en el punto A.

Figura 1.2

El punto A es la intersección de las gráficas de 3x + 2y = 6 y -2x + 4y = 8. Sus

coordenadas pueden encontrarse algebraicamente o gráficamente (usando una

calculadora graficadora).



Figura 1.3

[1] Suponga que la función

objetivo en el ejemplo 1 se cambia

a z = 5x + 2y.

(a) Dibuje las gráficas de la

función objetivo cuando z = O,

z = 5 Y z = 10 sobre la región de

soluciones factibles dada en la

figura 11.

(b) De la gráfica, decida qué

valores de x y y maximizarán la

función objetivo.

Método algebraico

Resolviendo el sistema

3x + 2y = 6

-2x + 4y = 8,

Se obtiene x = 1/2 y y = 9/4. Por tanto, A tiene coordenadas (1/2, 9/4) = (0.5, 2.25).

Método gráfico

Resuelva las dos ecuaciones para y,

y = -1.5x + 3

y = .5x + 2

Trace la gráfica de ambas ecuaciones sobre la misma pantalla y use el 1oca1izador de

intersecciones para encontrar que las coordenadas del punto den sección A son (.5, 2.25).

Respuestas: (a) y

x

z=O z=5 z=lO

(b) (2, O)

El valor de z en el punto A es

z = 2x + 5y = 2(.5) + 5(2.25) = 12.25.

El valor máximo posible de z es entonces 12.25. De la misma manera, el valor mínimo de

z ocurre en el punto B, que tiene coordenadas (1, 0). El valor mínimo de z es 2(1) + 5(0) =

2. [1]



Los puntos como el A y el B en el ejemplo 1 se llaman puntos de esquina, Un punto de

esquina es un punto en la región factible

En que las rectas límite o de frontera de dos restricciones se intersecan. La región factible en

la figura 11 es acotada porque la región está encerrada por líneas de frontera por todos

lados. Los problemas de programación lineal con regiones acotadas siempre tienen solución.

Sin embargo, si el ejemplo 1 no incluyese la restricción 3x + 2y 6, la región factible sería

no acotada, y no habría manera de maximizar el valor de la función objetivo.

Es posible extraer algunas conclusiones generales del método de solución del ejemplo 1. La

figura.13 muestra varias regiones factibles y las rectas que resultan de varios valores de z ( la

figura 13 muestra la situación en que las rectas están en orden de izquierda a derecha cuando

z crece). En el inciso (a) de la figura, la función objetivo toma su valor mínimo en el punto

de esquina Q y su valor máximo en P. El mínimo está de nuevo en Q en el inciso (b), pero el

máximo ocurre en P1 o P2, o en cualquier punto sobre el segmento de recta que los conecte.

Finalmente, en el inciso (c), el valor mínimo ocurre en Q, pero la función objetivo no tiene

valor máximo porque la región factible no está acotada.

FIGURA 13

El análisis precedente sugiere que el teorema del punto de esquina es correcto.

TEOREMA DEL PUNTO DE ESQUINA

Si la región factible está acotada, entonces la función objetivo tiene un valor máximo y un

valor mínimo y cada uno ocurre en uno o más puntos de esquina.

Si la región factible no está acotada, la función objetivo puede no tener un máximo o un

mínimo. Pero si un valor máximo o un valor mínimo existe, ocurrirá en uno o más puntos

de esquina.



Este teorema simplifica el trabajo de encontrar un valor óptimo: Primero, trace la

gráfica de la región factible y encuentre todos los puntos de esquina. Luego pruebe

cada punto en la función objetivo. Finalmente, identifique el punto de esquina que

produce la solución óptima.

Con el teorema, el problema en el ejemplo 1 podría

haberse resuelto identificando los cinco puntos de

esquina de la figura1.1: (0, 1), (0, 2), (0.5, 2.25), (2, 0)

y (1, 0). Luego, al sustituir cada uno de esos puntos en

la función objetivo z = 2x + 5y se identificarían los

puntos de esquina que producen los valores máximo y

mínimo de z.

Punto de esquina Valor de z = 2x + 5y

(0,1) 2(0) + 5(1) = 5

(0,2) 2(0) + 5(2) = 10

(.5, 2.25) 2(.5) + 5(2.25) = 12.25

(máximo)

(2, 0) 2(2) + 5(0) = 4

(1, 0) 2(1) + 5(0) = 2 (máximo)

De esos resultados, el punto de esquina (0.5, 2.25) da

el valor máximo de 12.25 y el punto de esquina (1, O)

da el valor mínimo de 2. Ésos son los mismos valores

que se encontraron antes. {2}

lineal por medio del método gráfico.

RESOLUCION GRÁFICA DE UN PROBLEMA DE' PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Escriba la función objetivo y todas las restricciones necesarias

2. Haga la gráfica de Ja región factible.

3. Determine las coordenadas de cada uno de los puntos de esquina.

4. Encuentre el valor de la función objetivo en cada punto de esquina

5. Si la región factible es acotada, la solución es dada por el punto esquina que produce el valor óptimo de la función

objetivo.

6. Si la región factible es una región no acotada en el primer cuadrante y ambos coeficientes de la función objetivo son

positivos, * entonces el valor mínimo de la función objetivo ocurre en un punto de esquina y no se tiene un valor

máximo.

1.

2. a) identifique los

puntos de esquina en la

gráfica.

b). Qué puntos de esquina

minimizarían z= 2x + 3y?

Respuestas:

(a) (0,4), (1,1), (4,0)

(b) (1,1,)

A continuación se da un resumen de los pasos necesarios para resolver un problema de

programación lineal por medio del método gráfico.



EJEMPLO 2

Dibuje la región factible para el siguiente conjunto de

restricciones:

3y - 2x 0

Y + 8x 52

y-2x: 52

x 3.

Luego encuentre los valores máximo y mínimo de la función

objetivo z = 5x + 2y

[3] Use la región de

soluciones factibles en el

dibujo para encontrar lo

siguiente.

a) Los valores de xy y que

maximizan z= 2x-y

b) El valor máximo de z= 2x-y

c) Los valores de xy y que

minimizan z= 4x+3y.

d) El valor mínimo de z= 4x+3y

Respuestas:

a). (5,2) b). 8

c) ( 1,1) d) 7

La gráfica en la figura l.4(a) muestra que la región factible está

acotada. Los puntos de esquina se encuentran al resolver sistemas

de dos ecuaciones en forma algebraica con los métodos del capítulo

anterior gráficamente con el localizador de intersecciones en una

calculadora graficadora. La figura.4(b) muestra las gráficas de

calculadora de las primeras tres desigualdades. Con el método

gráfico, los puntos de esquina sobre la recta x = 3 se encuentran por

observación.

FIGURA 1.4



Use los puntos de esquina de la gráfica para encontrar los valores máximo y mínimo de

la función objetivo.

Punto de esquina Valor de z = 5x + 2y

(3,2) 5(3) + 2(2) = 19 (máximo)

(6,4) 5(6) + 2(4) = 38

(5, 12) 5(5) + 2(12) = 49 (máximo)

(3,8) 5(3) + 2(8) = 31

El valor mínimo de z = 5x + 2y es 19 en el punto de esquina (3, 2), El valor es 49 en (5, 12). .

[3]

EJEMPLO 3 Resuelva el siguiente problema de programación lineal, Minimice z = x + 2y

sujeta a: x + y 10

3x + 2y 6

x 0, y 0.

La región factible se muestra en la figura, los puntos de esquina son (0, 3), (0, 10), (10, 0) Y

(2, 0). Estos puntos de esquina dan los siguientes valores de z.

Punto de esquina Valor de z = x + 2y

(0,3) 0 + 2(3) = 6

(0,10) 0 + 2(10) = 20

(10, O) 10 + 2(0) = 10

(2, O) 2 + 2(0) = 2 (mínimo)

El valor mínimo de z es 2; éste se presenta en (2, O). . m



EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Administración. Una compañía está considerando dos

planes seguros con los tipos de cobertura y costos que se

muestran en la siguiente tabla.

Póliza A Póliza B

Incendio y robo. $10,000 $15,000

Responsabilidad civil $180,000 $120,000

Costo $50 $40

Por ejemplo, esto significa que cuesta $50 una unidad del plan, que consiste en un

seguro por $10,000 por fuego y robo y por $180,000 por responsabilidad civil.)

La compañía quiere adquirir por lo menos un seguro de $300,000 por robo e

incendio, y uno de por lo menos, $3.000,000 por responsabilidad civil con esos

planes. : ¿Cuántas unidades debe la compañía comprar de cada plan para minimizar

los costos de la compra? ¿Cuál es El costo mínimo?

(a) Suponga que el costo del plan o póliza A se reduce a $25 ¿Cuántas unidades

deben ahora comprarse de cada plan para minimizar los gastos de la compra?

¿Cuál es el costo mínimo?

2. Administración Hotnews Magazine publica una edición estadounidense y una

canadiense cada semana. Se tienen 30,000 subscriptores en Estados Unidos y 20.000 en

Canadá. Otras copias se venden en los quioscos de periódicos. Los costos de correo y

envío promedian $80 por mil copias en Estados Unidos y $60 por mil copias en Canadá.

Las en cuestas muestran que pueden venderse no más de 120,000 copias de cada

edición (incluidas las subscripciones) y que el número de copias de edición canadiense

no debe exceder de dos veces el número de copias de la edición estadounidense. El

editor puede gastar cuando más $8400 al mes en correo y embarque. Si la ganancia es

de $200 por cada mil copias en la edición estadounidense y de $150 por cada mil copias

en la edición canadiense, ¿cuántas copias de cada versión deben imprimirse para

obtener una ganancia máxima. ¿Cuál es esa ganancia?

3. Administración El proceso de manufactura requiere que las refinerías fabriquen por

lo menos 2 galones de gasolina por cada galón de aceite. Para satisfacer la demanda de

invierno aceite, por lo menos 3 millones de galones al día deben producirse. La



demanda de gasolina no es de más de 6.4 millones de galones por día. Toma 0.25 horas

enviar cada millón de galones de gasolina y 1 hora enviar cada millón de galones de

aceite desde la refinería. No hay más de 4.65 horas disponibles para los envíos. Si la

refinería vende la gasolina $1.25 por galón y el aceite a $1 por galón, ¿Cuanto de cada

artículo debe producirse para maximizar el ingreso? Encuentre el ingreso máximo.

4 Ciencias Naturales Marina Mateos tiene una deficiencia alimenticia y se le aconseja

tomar por lo menos 2400 mg de 100 mg de hierro, 2100 mg de vitamina B-1 y 1500 mg

de vitamina B-2. Una píldora Maxivite contiene 40 mg de hierro, 10 mg de B-l y 5 mg

de B-2, y cuesta 6 . Una píldora Healthovite proporciona 10 mg de hierro, 15 mg de

B-l y 15 mg de B-2, y cuesta 8 . ¿Qué combinación de píldoras Maxivite y

Healthovite satisfará el requerimiento a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo?

5. Administración Un taller mecánico fabrica dos tipos de tornillos. Los tornillos

requieren tiempo en tres grupos de máquinas, pero el tiempo requerido en cada grupo

difiere, como se muestra en la siguiente tabla.

GRUPO DE MÁQUINAS

I II III

Tipo 1 .1 min. . 1 min. .1 min.

TORNILLOS

Tipo 2 .1 min. .4 min. .02 min.

Los programas de producción se elaboran diariamente. En un día hay 240, 720 y 160

minutos disponibles, respectivamente, en esas máquinas. El tornillo tipo 1 se vende a 10

y el tipo 2 a 12 . ¿Cuántos de cada tipo de tornillo deben fabricarse por día para

maximizar los ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo?

6. Administración La compañía Miers produce pequeños motores para varios

fabricantes. La compañía recibe pedidos de su motor Topflight de dos plantas

ensambladoras. La planta 1 necesita por lo menos 50 motores y la planta II necesita por

lo menos 27 motores. La compañía puede enviar cuando más 85 motores a esas dos

plantas ensambladoras. Cuesta $20 por motor el envío a la planta 1 y $35 por motor el

envío a la planta II. La planta 1 da a Miers $15 de descuento en sus productos por cada



motor que compra, mientras que la planta II da descuentos similares de $10. Miers

estima que necesita por lo menos $1110 en descuentos para cubrir los productos que

planea comprar a las dos plantas. ¿Cuántos motores deben enviarse a cada planta para

minimizar los costos de envío? ¿Cuál es el costo mínimo?

7. Administración Un país pequeño puede cultivar sólo dos cosechas para exportación,

café y cacao. El país tiene 500,000 hectáreas de tierra disponibles para las cosechas.

Contratos a largo plazo requieren que por lo menos 100,000 hectáreas se dediquen a

café y por lo menos 200,000 a cacao. El cacao debe procesarse localmente y los cuellos

de botella de la producción limitan el cacao a 270,000 hectáreas. El café requiere dos

trabajadores por hectárea y el cacao requiere cinco.

Están disponibles hasta 1, 750,000 trabajadores para trabajar en esas cosechas. El café

produce una ganancia de $220 por hectárea y el cacao una ganancia de $310 por

hectárea. ¿Cuántas hectáreas debe dedicar el país a cada cultivo para maximizar las

ganancias? Encuentre la ganancia máxima.

8. Administración Se dispone de 60 libras de chocolate y de 100 libras de mentas para

hacer cajas de 5 libras de dulce. Una caja regular tiene 4 libras de chocolates y 1 libra de

mentas y se vende en $10. Una caja de lujo tiene 2 libras de chocolates y 3 libras de

mentas y se vende a $16. ¿Cuántas cajas de cada tipo deben hacerse para maximizar el

ingreso?

9. Administración Un fabricante de tarjetas de felicitación tiene 370 cajas de una

tarjeta particular en el almacén I y 290 cajas de la misma tarjeta en el almacén II. Una

tienda de tarjetas en San José ordena 350 cajas de la tarjeta y otra tienda en Memphis

ordena 300 cajas. Los costos de envío por caja a esas tiendas desde los dos almacenes se

muestran en la siguiente tabla.

DESTINO

San José Memphis

I $.25 $.22

ALMACÉN II $.23 $.21

¿Cuántas cajas deben enviarse a cada ciudad desde cada almacén para minimizar los

costos de envío? ¿Cuál es el costo mínimo? (Sugerencia: use x, 350 - x, y y 300 - y

como las variables.)



10. Administración El administrador de un fondo de pensiones decide invertir cuando

más $40 millones en bonos federales que pagan 8% de interés anual y en fondos

mutualistas que pagan 12% de interés anual. Planea invertir por lo menos $20 millones

en bonos y por lo menos $15 millones en fondos mutualistas. Los bonos tienen un cargo

inicial de $300 por millón de dólares, mientras que el cargo de los fondos mutualistas es

de $100 por millón. El administrador de los fondos no debe gastar más de $8400 en

cargos. ¿Cuánto debe invertir en cada tipo de documento para maximizar el interés

anual? ¿Cuál es el interés anual máximo?

EL MÉTODO SIMPLEX: MAXIMIZACIÓN

Para los problemas de programación lineal con más de dos variables o con dos variables

y muchas restricciones, el método gráfico suele ser muy ineficiente, por lo que se usa el

método simplex. En 1947, George B. Danzig desarrolló el método simplex, que se

presenta aquí, para la Fuerza Aérea de Estados Unidos. Este método se utilizó con éxito

durante el puente aéreo de Berlín en 1948-49 para maximizar la cantidad de carga

entregada bajo restricciones muy severas y hoy en día se utiliza ampliamente en

diversos ramos industriales.

Como el método simplex se usa para problemas con muchas variables, no suele

ser conveniente usar letras como x, y, z o w como nombres de las variables. Más bien,

se usan los símbolos x1, x2, x3, etc. En el método simplex, todas las restricciones deben

expresarse en la forma lineal.

a1x1 + a2x2 + a3x3 +... b,

donde x1, x2, x3,. . . son las variables, a1, a2, a3,.. . son los coeficientes y b es una

constante.

Veremos primero el método simplex para problemas de programación lineal en

forma estándar de maximización.

FORMA ESTÁNDAR DE MAXIMIZACION

Un problema de programación lineal está en forma estándar de maximización si

1.la función objetivo debe ser maximizada;

2. todas las variables son no negativas (xi 0, i = 1,2,3,...);

3. todas las restricciones contienen ;

4. las constantes á la derecha en las restricciones son. todas no negativas (b 0).



Los problemas que no cumplen todas esas condiciones se considerarán en las secciones

anteriores. La "mecánica" del método simplex se muestra en los ejemplos 1-5. Aunque

los procedimientos a seguir se aclararán, así como el hecho de que conducen a una

solución óptima, las razones por las que se usan esos procedimientos tal vez no sean

inmediatamente evidentes. Los ejemplos posteriores darán esas razones y explicarán la

conexión entre el método simplex y el método gráfico tratado.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA El primer paso es convertir cada restricción,

dada por una desigualdad lineal, en una ecuación lineal. Esto se hace agregando una

variable no negativa, llamada variable de holgura, a cada restricción. Por ejemplo.

convierta la desigualdad xl + x2 10 en una ecuación, sumándole una variable de

holgura x3 para obtener.

xl + x2 x3=10, donde x3 0.

La desigualdad xl + x2 10 dice que la suma xl + x2 es menor que o tal vez igual a10.

La variable x3 "absorbe cualquier holgura" y representa la cantidad por la que xl + x2

deja de ser igual a 10. Por ejemplo, si xl + x2 es igual a 8, entonces) x3 es 2.

Si xl + x2 = 10, el valor de x3 es 0.

P R E CA U C I Ó N Una variable de holgura diferente debe usarse para cada

restricción.

EJEMPLO 1 Replantee el siguiente problema de programación lineal introduciendo

variables de holgura.

Maximice z = 2.x1 + 3x2 + x3

sujeta a: xl + x2 + 4x3 100

xl + 2.x2 + x3 150

3xI + 2.x2 + x3 320

con xl 0, x2 0, x3 0.

1 Reescriba el siguiente conjunto de restricciones como ecuaciones añadiendo variables

de holgura no negativas.

xl + x2 + x3 12

2x1 + 4x2 15

x2 + 3x3 10

Respuesta:

xl + x2 + x3 + x4 = 12

2x1 + 4x2 + x5 = 15



x2 + 3x3 + x6 = 10

Reescriba las tres restricciones como ecuaciones mediante la introducción de variables

no negativas de holgura x4 , x5 y x6, una para cada restricción. El problema puede

replantearse entonces como I

Maximice z = 2.x1 + 3x2 + x3

sujeta a: xl + x2 + 4x3 + x4 = 100

xl + 2.x2 + x3 + x5 = 150

3x1 + 2.x2 + x3 + x6 = 320

con xl 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0. 1

Agregar variables de holgura a las restricciones convierte a un problema de

programación lineal en un sistema de ecuaciones lineales. Esas ecuaciones deben tener

todas las variables a la izquierda del signo de igual y todas las constantes a la derecha.

Todas las ecuaciones del ejemplo 1 satisfacen esta condición excepto la función

objetivo, z = 2.x1 + 3x2 + x3, que puede escribirse con todas las variables a la izquierda

como.

-2 x1 - 3x2 - x3 + z = 0.

Ahora, las ecuaciones del ejemplo 1 (con las restricciones enumeradas primero) pueden

escribirse como la siguiente matriz aumentada.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

1 1 4 1 0 0 0 100

1 2 1 0 1 0 0 150

3 2 1 0 0 1 0 320

-2 -3 -1 0 0 0 1 0

Indicadores

2 Establezca la tabla inicial del simplex para el siguiente problema de.programación

lineal:

Maximice z = 2x1 + 3x2

sujeta a :x1 + 2x2 85

2x1 + x2 92

x1 + 4x2 104

con x1 0, x2 0



Respuesta:

x1 x2 x3 x4 x5 z

1 2 1 0 0 0 85

2 1 0 1 0 0 92

1 4 0 0 1 0 104

-2 -3 0 0 0 1 0

Indicadores

Esta matriz es la tabla inicial del simplex. Excepto por los últimos elementos, el 1 y el

0 en el extremo derecho, los números en el último renglón de una tabla simplex se

llaman indicadores.

Esta tabla simplex representa un sistema de 4 ecuaciones lineales con 7 variables.

Como hay más variables que ecuaciones, el sistema es dependiente y tiene un número

infinito de soluciones. Nuestra meta es encontrar una solución en la que todas las

variables sean no negativas y z sea tan grande como sea posible. Esto se hará mediante

operaciones sobre renglones para reemplazar el sistema dado por otro equivalente,

donde ciertas variables se eliminan de algunas de las ecuaciones. El proceso se repite

hasta que la solución óptima pueda leerse en la matriz, como se explica a continuación.

SELECCIÓN DEL PIVOTE Recuerde cómo las operaciones sobre renglones se usan

para eliminar las variables en el método de Gauss-Jordan. Una entrada particular

diferente de cero en la matriz se escoge y se cambia a 1; luego todas las demás entradas

en esa columna se cambian a ceros. Un proceso similar se usa en el método simplex. La

entrada o elemento escogido se llama el pivote. El procedimiento para. seleccionar el

pivote apropiado en el método simplex se explica en el siguiente ejemplo. La razón por

la que este procedimiento se usa se verá en el ejemplo posterior.

SUGERENCIA TECNOLÓGICA Una calculadora graficadora proporciona un método

eficiente para efectuar las operaciones sobre renglones en el análisis que sigue; anote

entonces la tabla simplex inicial del ejemplo 1 en su calculadora y lleve a cabo sobre

ella las diversas operaciones conforme lea los siguientes ejemplos. Debido a su tamaño

esta tabla simplex no cabrá en la pantalla de calculadora. Entonces verá algo como la

figura 8.20(a), que muestra sólo la mitad izquierda de la tabla. Use las teclas de flecha

izquierda y derecha para barrer toda la matriz y obtener su otra mitad, como en la figura



8.20 (b). Advierta que la calculadora no pone una línea vertical antes de la última

columna, como la hacemos al trabajar a mano.

EJEMPLO 2 Determine el pivote en la tabla simplex para el problema en el

ejemplo 1.

Vea los indicadores (el último renglón de la tabla) y escoja el más negativo.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

1 1 4 1 0 0 0 100

1 2 1 0 1 0 0 150

3 2 1 0 0 1 0 320

-2 -3 -1 0 0 0 1 0

Indicador más negativo

El indicador más negativo identifica la variable que va a ser eliminada de todas excepto

de una de las ecuaciones (renglones), en este caso x2' La columna que contiene el

indicador más negativo se llama la columna pivote. Ahora, para cada elemento positivo

en la columna pivote, divida el número en la columna derecha mas alejada del mismo

renglón entre el número positivo correspondiente en la columna pivote

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z Cocientes

1 1 4 1 0 0 0 100 100/1 = 100

1 2 1 0 1 0 0 150 150/2 = 75 El menor

3 2 1 0 0 1 0 320 320/2=160

-2 -3 -1 0 0 0 1

Indicadores

El renglón con el cociente más pequeño (en este caso, el segundo renglón) se llama el

renglón pivote. El elemento en el renglón pivote y columna pivote es el pivote

Columna

pivote

Pivote

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

1 1 4 1 0 0 0 100

Renglón pivote 1 2 1 0 1 0 0 150

3 2 1 0 0 1 0 320

-2 -3 -1 0 0 0 1 0



Indicadores

3 Encuentre el pivote para la siguiente tabla.

x1 x2 x3 x4 x5 z

0 1 1 0 0 0 50

-2 3 0 1 0 0 78

2 4 0 0 1 0 65

-5 -3 0 0 0 1 0

Respuesta:

2 (en la primera columna)

PRECAUCION:

En algunas tablas simplex, la columna pivote puede contener ceros o elementos

negativos. Sólo los elementos positivos en la columna pivote deben usarse para formar

los cocientes y determinar el renglón pivote. Si no hay elementos positivos en la

columna pivote (de modo que no puede escogerse un renglón pivote), entonces no

existe una solución que maximice. 3

PIVOTEO Una vez seleccionado el pivote, se usan operaciones sobre renglones para

reemplazar la tabla simplex inicial por otra tabla simplex donde la variable de la

columna pivote se elimina de todas excepto de una de las ecuaciones. Como esta nueva

tabla se obtiene por operaciones sobre renglones, representa un sistema equivalente de

ecuaciones (es decir, un sistema con las mismas soluciones que el sistema original).

Este proceso, que se llama pivoteo, se explica en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 3 Use el pivote indicado 2, para efectuar el pivoteo sobre la tabla simplex

del ejemplo

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

1 1 4 1 0 0 0 100

2

1 1

2

1 0

2

1 0 0 75

2

1 R2 3 2 1 0 0 1 0 320



-2 -3 -1 0 0 0 1

Ahora use operaciones sobre renglones para hacer el elemento en el renglón uno,

columna dos igual a 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

2

1 0

2

7 1 -

2

1 0 0 25

2

1 1

2

1 0

2

1 0 0 75

3 2 1 0 0 1 0 320

-2 -3 -1 0 0 0 1 0

Cambie el 2 en el renglón tres, columna dos a 0 por medio de un

proceso similar.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

2

1 0

2

7 1 -

2

1 0 0 25

2

1 1

2

1 0

2

1 0 0 75

2 0 0 0 -1 1 0 170

-2 -3 -1 0 0 0 1 0

4 Para la tabla simplex abajo

(a) encuentre el pivote

(b) Efectué el pivoteo y escriba la nueva tabla.

x1 x2 x3 x4 x5 z

1 2 6 1 0 0 16

1 3 0 0 1 0 25

-1 -4 -3 0 0 1 0

Respuestas:

(a)

(b)

x1 x2 x3 x4 x5 z

2

1 1 3

2

1 0 0 8

-2

1 0 -9

2

3 1 0 1

1 0 9 2 0 1 32

- R2 + R1

- 2R2 + R3



Finalmente, sume 3 veces el renglón dos al último renglón para cambiar el indicador –3

a 0.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

2

1 0

2

7 1 -

2

1 0 0 25

2

1 1

2

1 0

2

1 0 0 75

2 0 0 0 -1 1 0 170

-2

1 0

2

1 0

2

3 0 1 225

Indicadores

El pivoteo está ahora completo porque la variable x2 de la columna pivote se ha

eliminado de todas las ecuaciones excepto de la representada por el renglón pivote. La

tabla simplex inicial se ha reemplazado por una nueva tabla simplex, que representa un

sistema equivalente de ecuaciones. .

PRECAUCIÓN Durante el pivoteo, no intercambie renglones de la matriz. Haga el

elemento pivote igual a 1 multiplicando el renglón pivote por una constante apropiada,

como en el ejemplo 3.

Cuando por lo menos uno de los indicadores en el último renglón de una tabla simplex

es negativo (como es el caso con la tabla obtenida en el ejemplo 3), el método simplex

requiere que se seleccione un nuevo pivote y que el pivoteo se efectúe de nuevo. Este

procedimiento se repite hasta que se obtiene una tabla simplex sin indicadores negativos

en el último renglón o se alcanza una tabla en la que ningún renglón pivote puede

escogerse.

EJEMPLO 4 En la tabla simplex obtenida en el ejemplo 3, seleccione un nuevo pivote

y efectúe el pivoteo. Localice primero la columna pivote encontrando el indicador más

negativo el último renglón. Luego localice el renglón pivote calculando los cocientes

necesarios y encontrando el más pequeño, como se muestra en el siguiente grafico.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

2

1 0

2

7 1 -

2

1 0 0 25

3R2 + R4

Cocientes

2/1

25

= 50 El menor

2/1

75

= 150

17/02 = 85

Renglón pivote



2

1 1

2

1 0

2

1 0 0 75

2 0 0 0 -1 1 0 170

-2

1 0

2

1 0

2

3 0 1 225

Columna pivote

El pivote es entonces el número 1/2 en el renglón uno. Comience el pivoteo

multiplicando cada elemento en el renglón uno por 2. Continúe luego como se indica

abajo para obtener la siguiente tabla simplex.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

1 0 7 2 -1 0 0 50

0 1 -3 -1 1 0 0 50

0 0 -14 -4 1 1 0 70

0 0 4 1 1 0 1 250

Como no hay indicadores negativos en el último renglón, no es necesario ningún

pivoteo adicional y llamaremos a ésta la tabla simplex final.

LECTURA DE LA SOLUCIÓN El siguiente ejemplo muestra cómo leer una solución

óptima del problema de programación lineal original en la tabla simplex final.

EJ EM PLO 5 Resuelva el problema de programación lineal presentado en el ejemplo l

Vea la tabla simplex final para este problema, que se obtuvo en el ejemplo 4.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 z

1 0 7 2 -1 0 0 50

0 1 -3 -1 1 0 0 50

0 0 -14 -4 1 1 0 70

0 0 4 1 1 0 1 250

El último renglón de esta matriz representa la ecuación.

4x3 + x 4 + x 5 + z = 250, o equivalentemente, z = 250 – 4x3 - x4 – x5

Si x3, x4 Y x5 son todas 0, entonces el valor de z es 250. Si cualquiera de x3, x4 o x5 es

positiva, entonces z tendrá un valor menor que 250 (¿por qué?). En consecuencia, como

queremos una solución para este sistema en el que todas las variables sean no negativas

y z sea tan grande como sea posible, debemos tener.

x3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.

Cuando estos valores se sustituyen en la primera ecuación (representada por el primer

renglón de la tabla simplex final), el resultado es

2R1

- 2

1

R1 + R2

-2R1 + R3

2

1

R1 + R4



xl + 7 . 0 + 2. 0 - 1. 0 = 50, es decir, x1 = 50

De la misma manera, sustituyendo 0 en x1, x2 y x3 en las últimas tres ecuaciones

representadas por la tabla simplex final, se ve que

x2 = 50, x6 = 70, z = 250.

Por lo tanto, el valor máximo de z = 2x1 + 3x2 + x3 ocurre cuando

x1 = 50, x2 = 50, x3 = 0

En cuyo caso z = 2 (50) + 3 (50) + 0 = 250. Los valores de las variables de holgura no

son importantes al establecer la solución del problema original.

APLICACIONES DE LA MAXIMIZACIÒN

Se consideran las aplicaciones de la programación lineal que se valen del método

simples. Sin embargo, se hará un ligero cambio en la notación.

Probablemente habrá notado que la columna que representa z en una tabla simples

nunca cambia durante el pivoteo. Además, el valor de z en la solución factible básica

asociada con la tabla es el número en la esquina inferior derecha. En consecuencia, la

columna z es innecesaria y se omitirá desde ahora en todas las tablas simples.

Ejemplo. Un agricultor tiene 100 acres de tierra disponibles que quiere sembrar con

papas, maíz y col. Le cuesta $ 400 producir un acre de papas, $ 160 producir un acre de

maíz y $ 280 producir un acre de col. Dispone de un máximo de $ 20,000. Gana $ 120

por acre de papas, $ 40 por acre de maíz y $ por acre de col. ¿Cuantos acres de cada

cultivo debe plantar para maximizar su ganancia?

Comenzando detallando la información, tenemos:

Cosecha Número de

Acres

Costo por

Acre

Ganancia

por acre

Papas X1 $ 400 $ 120

Maíz X2 160 40

Col X3 280 60

Máximo

Disponible 100 $ 20,000

Si el número de acres asignado a cada uno de los tres cultivos se representa por x1, x2 y

x3, respectivamente, entonces las restricciones pueden expresarse como:

X1 + x2 + x3 ≤ 100 Número de acres

400x1 + 160x2 + 280x3 ≤ 20,000 Costos de producción



Formando ecuaciones, utilizando variables de holgura y resolviendo el sistema

aplicando se tiene que; la solución máxima es: x1 = 50, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 50,

x5 = 0, z = 6000

Por lo tanto, el agricultor tendrá una ganancia máxima de $ 6000 si siembra 50 acres de

papa y nada de papas ni col, entonces, 50 acres se dejan sin sembrar (representado por

x4, que es la variable de holgura para las papas). El agricultor gasta sus $ 20,000 en la

forma más eficaz y no tiene más dinero para sembrar los 50 acres. Si tuviese más

dinero, sembraría más cosechas.

EJERCICIO PROPUESTO:

Un criador de gatos tiene las siguientes de alimento para gatos: 90 unidades de atún, 80

unidades de hígado y 50 unidades de pollo. Para criar un gato siamés se requiere: 2

unidades de atún, 1 de hígado y 1 de pollo por día, mientras que para un gato persa se

requiere 1, 2 y 1 unidades, respectivamente, por día. Si un gato siamés se vende en $ 12

y un gato persa se vende en $ 10, ¿cuántos de cada uno deben criarse para obtener un

ingreso total máximo? ¿Cuánto es el ingreso total máximo?

EL METODO SIMPLEX: DUALIDAD Y MINIMIZACIÒN

Aquí, se trata problemas de programación lineal que satisfagan las siguientes

condiciones:

1. La función objetivo debe ser minimizada

2. Todos los coeficientes de la función objetivo son no negativos.

3. Todas las restricciones implican ≥.

4. Todas las variables son no negativas.

El método de resolver problemas de minimización presentado aquí se basa en una

interesante conexión entre problemas de maximización y minimización; cualquier

solución de un problema de maximización produce la solución de un problema asociado

de minimización o viceversa. Cada uno de los problemas asociados se llama el dual del

otro. Así entonces, los duales nos permiten resolver problemas minimización como el

ejemplo anterior descrito por el método simplex que se presentó anteriormente.

Al tratar problemas de minimización, usamos variables diferentes, el procedimiento

para su resolución es idéntico a la maximización.

REPASO:



Puntos de esquina es el punto de corte entre líneas de frontera y las líneas

límite.

La maximización o minimización mediante el método simplex consiste en

encontrar el valor máximo o mínimo utilizando variables de holgura.

Para maximizar, debe existir en las restricciones el símbolo ≤.

Para minimizar, debe existir en las restricciones el símbolo ≥.

Variables de holgura, son aquellas que son diferentes a las variables que se

encuentran en las restricciones.

Para maximizar una función objetivo, se introduce variables de holgura

para cada restricción.

Selección del pivote es el valor más negativo que exista en la función

objetivo.

GLOSARIO

- Región factible.- es el espacio comprendido entre las líneas de frontera.

- Maximizar.- es encontrar el valor máximo.

- Minimizar.- es encontrar el valor mínimo.

- Variable.- Es un símbolo que puede tomar diferentes valores.

- Pivote.- Es el eje de una matriz.

- Dualidad.- Es la asociación entre problemas de maximización y

minimización.

GUÌA DE TRABAJO # 3

Esta guía es un trabajo que debe ser realizado máximo por cuatro personas. Lo

importante no es que repita o copie información, sino que cree sus propias

producciones tomando como base sus conocimientos previos.

1. Realizar 5 ejercicios de maximización utilizando el método grafico,

2. Realizar 5 ejercicios de maximización utilizando el método simplex.

3. Realizar 5 ejercicios obre dualidad.

NOTA: LOS EJERCICIOS PROPUESTOS SERAN ENTREGADOS EN LA

PRIMERA PRESENCIAL CORRESPONDIENTE A LA UNIDAD.

TIEMPO APROXIMADO PARA LA REALIZACIÓN Y SU CUMPLIMIENTO DE

LA GUÍA DE TRABAJO, OCHO HORAS

RECOMENDACIÒN.- La guía será entregada en la OCTAVA semana presencial, al

mismo tiempo se receptara la prueba final, la misma que representara el 40 % para la

aprobación del presente modulo.

BIBLIOGRAFIA


LA VIDA, Octava edición, Págs.333 - 372

LIAL Margaret, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y

ECONOMIA, Séptima edición, Págs. 300 - 353



GRACIAS, POR CUMPLIR LO SOLICITADO PARA LA

APROBACIÓN DEL PRESENTE MÓDULO.

SIGA ADELANTE

INDICE

A

Algebra de matrices 35

Aplicaciones de la maximización 91

C

Clases de Matrices 26

E

Ejercicios resueltos (inecuaciones) 13

El método simplex: dualidad y minimización 92

F

Forma estándar de maximización 82

I

Inecuaciones de primer grado 12

Inecuaciones de segundo grado 16

Índice 94

L

La Matriz 21

M

Matriz adjunta. 54

Matrices equivalentes. 69

Matriz escalonada 70

Matriz inversa 56

Menores y cofactores de una matriz 50

Método simplex 82

N

Notación Abreviada de una Matriz 23

O

Orden de una matriz 23

P

Problemas propuestos (programación lineal) 76

Programación lineal: El método grafico 72



Propiedad fundamental de la matriz inversa. 59

R

Rango de una matriz. 64

Reglas (inecuaciones) 11

Relación de identidad entre matrices 26

Resolución grafica (programación lineal) 76

S

Selección de Pivote 85

Sistema de ecuaciones lineales con dos variables 5

T

Taller (matrices). 59

Teorema del punto de esquina 75

Transpuesta de una matriz 31

Transformación elementales 68

facultad de contabilidad y auditoria · pdf fileprogramacion lineal ... a pesar de que la...

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