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factorial! Revista de Matemáticas

C A R M A / C a s a O l í m p i c a

O l i m p i a d a P o t o s i n a d e M a t e m á t i c a s

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Nuestra revista está disponible de manera íntegra y gratuita en

editorialdinosaurio.blogspot.com

Si quisieras hacer un donativo a la causa, ponte en contacto con nosotros.

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factorial! Presentación

Este número de la revista está dedicado a la II Olimpiada de Otoño, concurso que se organiza en

San Luis Potosí con varias finalidades:

mantener vivo el interés por la Olimpiada durante el receso de invierno,

presentar en sociedad a la delegación que nos representará en el concurso nacional de la

Olimpiada Mexicana de Matemáticas,

invitar más jóvenes talentosos a unirse a las preselecciones ONMAPS,

recaudar fondos para las actividades olímpicas.

Esta segunda edición se llevó a cabo con éxito aunque con menos participación que el año pasado.

Participaron 400 alumnos de todo el estado en nuestras sedes de Cedral, San Luis, Rioverde,

Ciudad Valles, Tancanhuitz, Matlapa y Tamazunchale.

Los campeones estatales por categoría fueron:

Ulises Félix Rendón (SNL / Canguro)

Diana Espinosa Ruiz (SNL / Walabi)

Eduardo Jaziel Juárez Martínez (MTH / Koala)

En este número aparecen los enunciados de los problemas del examen de la II Olimpiada de Otoño

con sus soluciones y algunos articulitos bonitos.

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factorial! En este número

II Olimpiada de Otoño 2012

o Enunciados de los Problemas

o Soluciones

Escriben

o ¿Hasta cuál te sabes?. Luis Islas

o Sophie-Germain. Demian Espinosa y Siddharta Morales

o ¿Quién lava los platos? Eugenio Flores

Problemas Propuestos

o Solución a los problemas propuestos anteriores

Comité Editorial

José Ramón Guardiola Espinosa

Manuel Jiménez Benítez

José Ángel Sosa Salinas

Demian Espinosa Ruiz

Siddharta Morales Guzmán

Luis Islas Cruz

José Luis Carballo Lucero

José Trinidad Barajas

Francisco Javier Zubieta Rico

Eugenio Daniel Flores Alatorre

Contacto

CARMA / Casa Olímpica / Editorial Dinosaurio

Juan de O’Donojú 425: (444) 811 8922

San Luis Potosí, SLP

casa.olimpica@hotmail.com

Casa Olímpica en Facebook

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Enunciados de los problemas

K1. Chuy está leyendo un libro de 92 páginas. Cada día se propone leer 5 páginas pero tiene que

leer las 2 últimas del día anterior para recordar en qué iba. ¿En cuánto tiempo terminará?

K2. El “Totem Stadium”, casa de Los Totoros, tiene capacidad para 20 mil personas. Justo después

de la II Olimpiada de Otoño tendrá lugar el súper clásico contra Las tortugas púrpuras de

Xochilmotipingo. Se espera que se vendan todas las plazas debido a la gran rivalidad de los

equipos. Para estimar las ganancias el administrador del estadio nos dijo que ¾ de las entradas

cuesta $2 cada una. Del resto de las entradas el 75% cuesta 5 pesos. De los lugares que aún sobran

3/5 pagan $7 y el resto $9. ¿Cuánto se espera juntar de la venta de boletos?

K3. Saraí quiere cortar una tabla en 7 pedazos iguales. ¿Cuántas veces debe cortar la tabla?

K4. El papá de Julia tiene 5 hijas. Las 4 más chicas se llaman Baba, Cece, Didi y Fufu. ¿Cómo se

llama la otra?

K5. Severino compra cajas de semillas para alimentar a sus pajaritos. En cinco días se comen 3

cajas entre todos. Debido a que es buen cliente, el dueño de la tienda le regala 1 caja cada que

Severino le compra 10. ¿Cuánto fue el gasto anual de la alimentación de los pajaritos si cada caja

cuesta 3.8 pesos?

K6. ¿Cuál es el menor número de colores que se necesitan para pintar las caras de un cubo de

manera que no haya dos caras juntas que tengan el mismo color?

K7. En un salón hay 2012 niños formados. La maestra Jazmín le da un chocolate al primero, un

dulce al segundo, una manzana al tercero, un aguacate al cuarto, una croqueta al quinto, un

chocolate al sexto, un dulce al séptimo y así sigue, siempre con el mismo orden. ¿Qué le tocó al

niño 2012?

K8. Melitón colecciona estampillas postales de diferentes países. Si sólo una de las siguientes

oraciones es verdad,

-Melitón tiene al menos 55 estampillas

-Melitón tiene al menos 66 estampillas

-Melitón tiene al menos 77 estampillas

¿Cuál es el número mayor de estampillas que Melitón puede tener?

K9. Un tráiler tiene 18 ruedas de 1 metro de diámetro. Cada una deja una línea de color distinto

en la carretera. ¿Cuánto miden todas las líneas de colores juntas si el tráiler recorrió 100km?

7

K10. Si tienes una cuadrícula de 2012 renglones y 2012 columnas y se colorea cada cuadro de

de colores rojo, verde, azul y morado de manera como se muestra en la figura. ¿De qué

color es el cuadrito de de la esquina inferior derecha de la cuadrícula (el último)?

K11. En el dibujo están marcadas dos rutas para correr en un parque. La pista de afuera es un

rectángulo y todos los lados de la pista de adentro son parelelos a los lados de la pista de afuera.

Carmen corre todos los días siguiendo la pista de afuera y Edith corre todos los días siguiendo la

pista de adentro. Si hoy corrieron dos vueltas cada una, ¿quién corrió más?

K12. Mi papá me regaló $750 pesos. Como no tenía en que gastármelos fui al banco a cambiarlos

por dólares, luego a una casa de cambio a cambiar los dólares por euros y finalmente cambié mis

euros por reales al señor de la tienda de la esquina. Cuando mi papá se dio cuenta de lo que hice

me regañó y me hizo volver a hacer todas las operaciones pero en orden inverso. El banco vende

los dólares a $14.5 y los compra a $13.8, la casa de cambio vende los euros a 1.5 dólares y los

compra a 1.3 dólares, y finalmente el señor de la tiende vende a 2.5 reales cada euro y los compra

a 2 reales. ¿Cuántas veces puedo cambiar mis pesos a reales y volver a convertirlos en pesos antes

de quedarme con menos de $10 pesos?

K13. Un camión sale de Tangamandapio hacia Angangeo cada 15 minutos y un camión sale de

Angangeo a Tangamandapio cada 10 minutos. El viaje de una ciudad a otra dura 2.5 horas. Si tú

vas arriba del camión que va de Tangamandapio hacia Angangeo, ¿cuántos camiones que van de

Angangeo hacia Tangamandapio ves pasar en el camino si a la hora que tú saliste de

Tangamandapio también salió un camión desde Angangeo?

K14. Mi abuela tiene 7 hijos y el mayor de sus hijos tiene 7 hijos, el segundo tiene 6, el tercero 5,

y así sucesivamente hasta que el más pequeño tiene 1 hijo. Si yo soy el mediano de mis hermanos

y en total tengo 23 primos. ¿Cuántos nietos menores que yo hay?

8

K15. La suma de tres números naturales consecutivos es 15 más que el mayor de estos. ¿Cuáles

son estos números?

W1. La primera edición del TICP (Torneo Internacional de Canicas Panchillo) fue todo un éxito el

año pasado. Para elegir al ganador se enfrentan dos concursantes por eliminatoria. Cada

eliminatoria consiste en tres partidas, quien gane dos o más partidas (no hay empates y siempre

se tienen que jugar 3 por eliminatoria) avanza a la siguiente etapa y el otro es eliminado. Si en

total se inscribieron 15789 participantes. ¿Cuántas partidas hubo antes de saber el ganador del

certamen?

W2. Hay 2012 cuadritos de . ¿Cuánto mide el cuadrado más grande que puedes hacer con

estos cuadritos?

W3. Un tráiler tiene 18 ruedas de 1 metro de diámetro. Cada una deja una línea de color distinto

en la carretera. ¿Cuánto miden todas las líneas de colores juntas si las ruedas del tráiler dieron mil

vueltas?

W4. Cuando Abel hace una fiesta el día de su cumpleaños en su casa siempre tiene problemas

porque rompen los vasos de vidrio. Por lo anterior puso la siguiente regla: Cada vez que alguien

rompa un vaso tendrá que darle 6 vasos nuevos. Antes de la fiesta había 73 vasos y al finalizar

tenía 338. ¿Cuántos vasos de los que ya tenía conservó?

W5. Totoro se pone 4 calcetines para salir a la calle. En el cajón de calcetines, hay dos pares de

calcetines de 17 colores distintos. Si Totoro saca los calcetines en la oscuridad sin ver el color,

¿cuál es la mínima cantidad de calcetines que tiene que sacar para asegurar que ya tiene 4 del

mismo color?

W6. En el inicio de los tiempos había un Tiranosaurio y un Estegosaurio; el Tiranosaurio iba a un

lago a tomar agua cada 11 días y el Estegosaurio iba cada 8 días. La primera vez que se

encontraron, el Estegosaurio mojó al Tiranosaurio y el Tiranosaurio le dijo: “Si te veo aquí dos

veces más, te voy a comer”. La primera vez que el Tiranosaurio fue al lago fue el día 3 del universo

y la primera vez que el Estegosaurio fue al lago fue el día 7. El Estegosaurio es muy necio y no dejó

de ir al lago hasta que el Tiranosaurio se lo comió, ¿en qué día pasó eso?

W7. Tenemos una operación ♥ y sabemos que

3♥2=10 2♥8=80 2♥3=15 7♥1=8 12♥3=45

¿cuánto vale 4♥5?

W8. El minutero de un extraño reloj avanza un minuto cada que el segundero lo alcanza. Si el

minutero y segundero comienzan apuntando a las 12 en el reloj ¿cuánto tiempo estará retrasado

el reloj cuando el minutero llegue al 3 del reloj?

9

W9. En la figura, es un cuadrado de lado 1.

. Además, es paralela a

que pasa por y es un rectángulo. ¿Cuál es el área del rectángulo ?

W10. Se pone en una fila los números 12345678910111213…201020112012 que son los números

del 1 al 2012 sin espacios entre ellos. ¿Qué dígito ocupa el lugar 2012 de la fila?

W11. En el siguiente dibujo los lados del triángulo rectángulo son los diámetros de cada uno de

los círculos. ¿Cuál área es más grande, la negra o la gris?

W12. En una urna hay 2012 pelotas verdes y 2013 pelotas rojas. Se sacan de dos en dos y cada vez

que se saca un par: si son pelotas del mismo color se introduce una pelota verde a la urna y si son

de distinto color se introduce una pelota roja (las dos que se sacaron ya no se vuelven a meter). Si

se hace este proceso consecutivamente ¿de qué color será la última pelota que quede en la urna?

W13. En un pizarrón están escritos los números del 1 al 1000. José los divide entre 3 a todos y

borra los que no quedan enteros. Con los que quedan hace lo mismo. Ahora los divide entre 5 y

borra los que no quedan enteros. Por último, divide a todos entre 7 y borra los que no quedan

enteros. ¿Cuántos números quedan escritos en el pizarrón?

W14. La siguiente figura muestra un rectángulo de y dos semicircunferencias de radio 1 que

se unen en el centro del rectángulo. ¿Cuánto mide el área sombreada?

10

W15. Encuentra todos los números tales que 13 es el segundo divisor más grande.

C1. ¿Cuánto vale la suma ?

C2. Rapunzel cortaba la mitad de su cabello todas las mañanas pero en las noches le crecía la

mitad de lo que le medía al acostarse. Si el 1 de enero, antes de cortar su cabello, éste medía 64

metros, ¿cuánto midió el 5 de enero antes de acostarse?

C3. Encuentra todas las parejas de números que cumplen .

C4. ¿Cuántos 0’s hay al final del número ?

C5. ¿Qué término sigue en la sucesión?

C6. Considera un triángulo isósceles donde el lado desigual mide 6 unidades y su respectiva altura

mide 3. Hay un solo cuadrado que puede tener uno de sus lados sobre el lado de medida 6 del

triángulo y todos sus vértices sobre los lados del triángulo. ¿Cuál es el área de dicho cuadrado?

C7. ¿Cuál es el menor entero positivo por el que debes multiplicar 20122102 para obtener un

cuadrado perfecto?

C8. En una fiesta los niños se formaron por su rebanada de pastel. El señor le dio una rebanada al

primer niño. Notó que le iban a faltar así que el resto de las rebanadas las partió a la mitad y le dio

a dos niños más. Luego vuelve a partir las rebanadas que le quedaban por la mitad y les dio a 4

niños. Nuevamente parte las rebanadas sobrantes y les da a 8 niños; y así consecutivamente. Si al

principio tenía 8 rebanadas, ¿a cuántos niños les podría dar rebanada?

C9. En los vértices de un triángulo equilátero azul de lado 2 se trazan círculos de radio 1 y se

pintan de negro. ¿Qué área queda pintada de azul?

C10. En una canasta muy grande hay 350 canastas más pequeñas numeradas del 1 al 350, vacías.

Chuy pone una pelota en las que tienen número par; luego Chema pone una pelota en las canastas

múltiplo de 3; luego Mane pone una pelota en las múltiplo de 5 y finalmente Luis pone una en las

múltiplo de 11. Encuentra dos canastas consecutivas que tengan 4 pelotas entre las dos y que

ninguna esté vacía.

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C11. ¿Cuántas parejas de enteros no negativos cumplen que y que

?

C12. Se considera un triángulo equilátero y sobre una de sus alturas se traza un nuevo triángulo

equilátero. A continuación se hace lo mismo con el nuevo triángulo y así consecutivamente hasta

tener 6 triángulos. Si el primer triángulo tiene área 1024, ¿cuál es el área del sexto triángulo?

C13. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

C14. Al Jacsán se le ha pedido elegir algunos números del 1 al 200 de tal manera que la suma de

cualesquiera dos de ellos sea divisible entre 12. ¿Cuál es la mayor cantidad de números que Jacsán

puede elegir?

C15. Enlista todos los divisores primos de .

C16. ¿De cuántas maneras se pueden poner ocho torres en un tablero de ajedrez sin que una

pueda atacar a otra? (Un tablero de ajedrez es de 8x8 y una torre puede atacar a otra si están en la

misma columna o en la misma fila.)

C17. Encuentra todos los números de cinco dígitos tales que

C18. Encuentra un número tal que la suma de sus divisores sea igual a 2044.

C19. Si la suma de 20 números no necesariamente distintos es 462, ¿cuál es el mayor valor posible

de su máximo común divisor?

C20. Carmen tiene 7 admiradores que la invitan a cenar todos los días de la semana. Tienen una

regla: van siempre en el mismo orden y pueden repetir pero sólo si son días consecutivos –no a

todos les toca invitarla a cenar cada semana. ¿De cuántas maneras pueden organizar una semana

de cenas?

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Soluciones

K1. El primer día, Chuy leyó 5 páginas, es decir, le faltan 87 páginas. A partir del segundo día,

aunque sigue leyendo 5 páginas, como vuelve a leer las últimas 2 del día anterior, en realidad sólo

avanza 3 páginas cada día. Entonces, en un día lee 3 páginas, en 10 días lee 30 páginas; en 20 días

lee 60 páginas; en 25 días lee 75 páginas; en 27 días lee 81 páginas; en 28 días lee 84 páginas y en

29 días lee 87 páginas en total. Es decir,

El primer día lee 5 páginas y los siguientes 29 días lee las restantes 87. En total, le toma 30 días.

K2. Vamos a calcular por valor de boletos y luego sumamos el total. Tres cuartos de los boletos

cuestan 2 pesos; tres cuartos de 20mil son 15mil. Entonces, de estos boletos ganaron 30mil.

Todavía faltan 5mil boletos. De ellos, el 75% cuestan 5 pesos. El 75% es lo mismo que tres cuartos

y tres cuartos de 5mil son 3,750. De estos boletos ganaron 18,750.

Todavía faltan 1,250 boletos. De ellos,

pagan 7. Un quinto de 1,250 son 250, así que tres quintos

son 750. Por estos boletos se recaudan 5,250.

Ya sólo faltan 500 boletos y cada uno de ellos cuesta 9, así que de todos se recaudaron 4,500.

Entonces, en total se juntó

K3. Después del primer corte, Saraí tiene 2 pedazos. Después del segundo corte, Saraí tiene 3

pedazos. Después del tercero, tiene 4. Después del cuarto, tiene 5. Después del quinto, tiene 6 y,

finalmente, después del sexto corte, Saraí tiene 7 pedazos.

K4. Las cuatro hermanas de Julia son Baba, Cece, Didi y Fufu. La otra hija del papá de Julia es,

precisamente, Julia.

K5. Como en 5 días se comen 3 cajas, en 10 días se comen 6 cajas, en 50 días se comen 30 cajas,

en 100 días se comen 60 cajas y en 200 días se comen 120 cajas. Así pues, en

días, se comen cajas.

Ahora, cuando compra 10 cajas, le dan 11; cuando compra 100 cajas le dan 110; cuando compra

200 le dan 220, que es una más de las que necesita. Si sólo compra 199, entonces le dan 218, que

es una menos de las que necesita. Entonces compró 200 cajas, aunque le haya sobrado una.

Si una caja cuesta 3.8 pesos, 100 cajas cuestan 380 pesos, 200 cajas cuestan 760 pesos.

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K6. Pensemos en una esquina del cubo: en esa esquina se juntan 3 caras así que necesitamos 3

colores distintos; es decir, no se puede hacer con menos de 3 colores. Es fácil ver que se puede

con exactamente 3, pintando las caras opuestas del mismo color.

K7. Observemos que los regalos se repiten cada 5 niños; además, si avanzamos un poco en la lista,

podemos ver que a todos los niños cuyo número termina en 1 o 6 le toca un chocolate; a los que

terminan en 2 o 7 les toca un dulce; a los que terminan en 3 u 8 les toca una manzana; a los que

terminan en 4 o 9 les toca un aguacate; y a los que terminan en 5 o 0 les toca una croqueta. Como

2012 termina en 2, le toca un dulce.

K8. Si tiene al menos 55 estampillas, entonces es falso que tenga al menos 66 o al menos 77,

porque podría tener exactamente 55. Si tiene al menos 66, entonces también es verdad que tiene

al menos 55. Por último, si tiene al menos 77, es verdad que tiene al menos 55 y es verdad que

tiene al menos 66 –pues tiene más. Así, la única que es verdad es la primera: Melitón tiene al

menos 55 estampillas.

Entonces, si tiene al menos 55 estampillas pero no tiene al menos 66, entonces la mayor cantidad

de estampillas que puede tener es 65.

K9. Cada llanta deja una marca de 100km y son 18 llantas; entonces, todas las líneas juntas miden

1800km.

K10. Los colores de la diagonal son sólo ROJO o MORADO. Además, los impares son ROJO y los

pares son MORADO. Como 2012 es par, la esquina que buscamos es MORADO.

K11. Corren lo mismo. Como todas las líneas verticales son paralelas entre sí y todas las

horizontales son paralelas entre sí, se forman paralelogramos –en este caso, rectángulos- que

tienen la propiedad de que sus lados paralelos son iguales.

K12. Si tenemos pesos, vamos a tener

dólares, luego

euros y finalmente

reales. Luego, con esos reales compro

euros, luego

dólares y finalmente

pesos. Es decir, al final de cada operación, tenemos más o menos

de lo que teníamos originalmente.

Entonces, si al principio tenemos 750 pesos, después de la primera ronda nos quedan

pesos. Segunda ronda nos quedan pesos; tercera ronda nos

quedan pesos; cuarta ronda 142.3 pesos; quinta ronda 93.9 pesos; sexta

ronda 61.99 pesos; séptima ronda 40.9 pesos; octava ronda 27 pesos; novena ronda 17.8 pesos;

décima ronda 11.76 pesos; onceava ronda 7.76 pesos.

Entonces, podemos hacer esto 10 veces antes de quedarnos con menos de 10 pesos.

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K13. Al momento de salir de Tangamandapio, hay 14 camiones que salieron de Angangeo y no

han llegado a la central (hay uno que llegó al momento exacto en que saliste). Calculamos esto

simplemente multiplicando 2.5 que es el tiempo de recorrido por 6 que es el número de camiones

que salen por hora, y restándole 1 –el que llegó al momento exacto en que saliste. Aquí estamos

contando al camión que sale al mismo tiempo que el tuyo.

Luego, en lo que tú llegas a la central, salen otros 15 camiones, contando el que salió al mismo

tiempo que el tuyo y uno que sale exactamente cuando llegas a la central. Es decir, alcanzas a ver

otros 13 camiones en la carretera.

En total, ves 27 camiones en sentido contrario.

K14. Mi abuela tiene nietos. Como yo sólo tengo 23 primos,

quiere decir que tengo 4 hermanos pues . Luego, mi papá es el 3er hijo de mi

abuela –el primero tuvo 7 hijos, el segundo tuvo 6, el tercero tuvo 5.

Luego, después de mí nacieron 2 hermanos más y primos, en total 12.

Hay 12 nietos menores que yo.

K15. Como la suma de los tres números es igual al mayor de ellos más 15, entonces la suma de los

primeros dos es 15. Los dos números consecutivos que suman 15 son 7 y 8. Entonces, los números

son 7, 8 y 9.

W1. En cada eliminatoria se elimina a un concursante. Como queremos que haya un único

campeón y hay 15,789 participantes, debe haber 15,788 eliminatorias.

Como en cada eliminatoria hubo 3 partidas, en total hubo partidas.

W2. Estamos buscando la parte entera de la raíz cuadrada de 2012, es decir, el mayor entero

menor que la raíz cuadrada de 2012 que es 44.

W3. Por cada vuelta, la llanta deja una marca de metros. Como dio mil vueltas, cada llanta deja

una marca de metros. Como hay 18 llantas, todas las marcas suman metros.

W4. Por cada vaso que le rompen, le dan 6 nuevos; pero como le rompieron 1, nada más tiene 5

vasos más de los que ya tenía. Entonces, si le rompen 10, le dan 50 vasos nuevos; si le rompen 12,

le dan 60 vasos nuevos; si le rompen 20, le dan 100 vasos nuevos; si le rompen 40, le dan 200

vasos nuevos. Como ahora tiene 338 y antes tenía 73, quiere decir que le dieron 265 vasos nuevos.

Eso quiere decir que le rompieron vasos. O sea que sólo le quedaron 20 de sus

vasos originales.

W5. Es posible que los primeros 4 calcetines que saque Totoro sean todos del mismo color, pero

es poco probable y no puede asegurar que son todos del mismo color porque podrían ser todos de

colores distintos. En el peor de los casos, si Totoro tiene muchísima mala suerte, tendría que sacar

15

3 calcetines de cada color antes de sacar 4 del mismo color. Es decir, después de sacar

calcetines, es posible que todavía no tenga 4 del mismo color. Pero, siendo ese el peor de los

casos, sacando un calcetín más completaría los 4 que quiere.

Necesita sacar 52 calcetines.

W6. Como uno va cada 8 días y el otro cada 11, después de la primera vez que se encuentren, se

encuentran cada 88 días, que es el mínimo común múltiplo de 8 y 11. Lo único que falta es

averiguar cuándo se encuentran por vez primera:

R 3 14 25 36 47

E 7 15 23 31 39 47

es decir, se encuentran por primera vez en el día 47. Como se encuentran cada 88 días, su

siguiente encuentro es el día y su último y mortal encuentro es el día

.

W7. Veamos que para todos los casos, . Entonces, .

W8. No es necesario ver qué pasa en los minutos anteriores. Cuando el minutero va en el 3 el

segundero lo hizo avanzar 14 segundos después de pasar por el 12, luego el reloj va 14 segundos

atrasado.

W9. Vamos a calcular el área del triángulo . Como sabemos que mide 1 y mide

,

entonces

. De manera análoga, como sabemos que y

, entonces

.

Luego, podemos calcular el área del triángulo como

Luego, como el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo , multiplicamos

ese número por 2

W10. Vamos contando por grupos: los números del 1 al 9 son en total 9 y tienen un solo dígito;

llevamos 9. Luego, del 10 al 99 son 90 números y tiene cada uno dos dígitos; son 180 y llevamos

189. Los números del 100 al 199 son 100 y cada uno tiene tres dígitos; son 300 y llevamos 489.

Cada nueva centena que agarremos avanzamos 100 números y agregamos 300 dígitos. Así, hasta

el 299 llevamos 789; hasta el 399 llevamos 1089; hasta el 499 llevamos 1389; hasta el 599

llevamos 1689; hasta el 699 llevamos 1989 y a partir de aquí nos vamos número por número.

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Cada nuevo número que agarremos agrega 3 dígitos: hasta el 700 llevamos 1992; hasta el 701

llevamos 1995; hasta el 702 llevamos 1998; hasta el 703 llevamos 2001; hasta el 704 llevamos

2004; hasta el 705 llevamos 2007; hasta el 706 llevamos 2010.

Lo último lo hacemos dígito por dígito: con el primer 7 de 707 llevamos 2011 y sólo falta el 0 de

707 para llegar a 2012. El dígito en la posición 2012 es un 0.

W11. El área de un círculo se calcula como donde es el radio del círculo. Luego, como es un

triángulo rectángulo, nombramos los lados donde es la hipotenusa y el cateto menor

y el mayor, respectivamente. Entonces, el área de cada círculo es

y, por el teorema de Pitágoras, sabemos que

de donde

Luego, por el teorema de los tapetes, el área en que se traslapan los círculos adentro de o la

que queda fuera del círculo es la misma que el área del círculo que no tocan.

Viendo el dibujo, está claro que el área gris y el área negra son precisamente esas áreas. Por lo

tanto, son iguales.

W12. Veamos que los dos casos que pueden suceder son: i) salen dos verdes o dos rojas, en cuyo

caso se introduce una verde y por tanto el número de rojas en la urna no disminuyo o disminuyo

en dos; ii) sale una verde y una roja, entonces se introduce una roja por lo que el número de rojas

en la urna no disminuye. Así, el número de rojas en la urna sólo puede disminuir de dos en dos;

empezando con 2013 es imposible llegar a 0 y ese es el color que debe quedar.

W13. Notemos que los números que quedan después de cada borrada son precisamente los

múltiplos del número entre el que se dividió. Además, que si primero quedaron los múltiplos de 3

y, de ellos, los que eran de nuevo múltiplos de 3 y, de ellos, los que eran múltiplos de 5 y, de ellos,

los que además son múltiplos de 7, entonces estamos buscando los múltiplos de

.

Del 1 al 100 hay sólo tres múltiplos de 315: 315, 630 y 945.

W14. Podemos trazar una paralela a los lados cortos que pase por el centro del rectángulo y por

el punto en que se intersectan ambas semicircunferencias. Entonces el área que queda se puede

dividir en el área de un rectángulo de , el área de una semicircunferencia de radio 1 y la

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mitad del área que resulta de restarle a un rectángulo de el área de una semicircunferencia

de radio 1. Es decir,

W15. Como el segundo divisor más grande es 13, entonces el número es donde es el

segundo divisor más pequeño, después de 1. Luego, como es el segundo más pequeño, es un

primo. Así, todos los números que cumplen esto son 26, 39, 65, 91, 143 y 169.

C1. En lugar de hacer toda la operación, la podemos hacer por parejas. Como los signos se

alternan y los enteros son todos consecutivos, la diferencia de uno y el anterior es siempre 1.

Podemos hacer

parejas de estas, y cada una vale 1 así que la suma total vale 1006.

C2. Hagamos la medida de su cabello día a día:

1ro de enero: en la mañana medía 64, se lo cortó y medía 32; en la noche le crece hasta

48. 2do de enero: en la mañana medía 48, se lo cortó y medía 24; en la noche le crece

hasta 36. 3ro de enero: en la mañana medía 36, se lo cortó y medía 18; en la noche le

crece hasta 27. 4 de enero: en la mañana medía 27, se lo cortó y medía 13.5; en la noche

le crece hasta 20.25. 5 de enero: en la mañana medía 20.25, se lo cortó y medía 10.125 y

eso midió hasta antes de irse a acostar.

C3. Queremos resolver

Como , y son de la misma paridad, la única posibilidad es

que es un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Sumando ambas ecuaciones, tenemos que

es la única solución.

C4. Para que al final de un número haya un 10, el número debe ser divisible entre 10 o, lo que es

lo mismo, entre 2 y entre 5. Como este número tiene muchos más factores 2 que factores 5, basta

con contar los factores 5 que claramente son 2015. Por lo tanto, el número termina en 2015 ceros.

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C5. Se trata de la sucesión de los cubos de los naturales, pero escritos en orden inverso. Así, el

siguiente término debe ser 612.

NOTA: este problema apareció con error en el examen.

C6. Digamos que el lado del cuadrado mide . Luego, vamos a expresar el área del triángulo, que

sabemos que es

como la suma del área del cuadrado y de los triángulos que se forman.

Arriba del cuadrado, hay un triángulo cuya base mide y su altura mide . Luego, su área es

A cada lado del cuadrado hay dos triángulos iguales. La base de cada uno de estos triángulos mide

y su altura mide . Luego, el área de cada uno es

pero, como son dos, el área de ambos es simplemente

.

Luego, el área de todo el triángulo es

Luego, el área del cuadrado es

C7. Debemos encontrar la factorización en primos de 20122102. Dividiendo, encontramos que

Entonces, el menor entero por el que debemos multiplicar 20122102 para obtener un cuadrado

perfecto es

C8. Vamos rebanada por rebanada: al principio tenía 8 rebanadas y le dio una al primero; ya

atendió 1 niño y le quedan 7 rebanadas. Las partió a la mitad y ahora tiene 14 rebanadas y les dio

a dos niños más; ya atendió 3 niños y le quedan 12 rebanadas. Las partió a la mitad y ahora tiene

24 rebanadas y les dio a cuatro niños más; ya atendió 7 niños y le quedan 20 rebanadas. Las partió

a la mitad y ahora tiene 40 rebanadas y les dio a 8 niños más; ya atendió 15 niños y le quedan 32

rebanadas. Las partió a la mitad y ahora tiene 64 rebanadas y les dio a 16 niños más; ya atendió a

19

31 niños y le quedan 48 rebanadas. Las partió a la mitad y ahora tiene 96 rebanadas y les dio a 32

niños; ya atendió 63 niños y le quedan 64 rebanadas. Las partió a la mitad y ahora tiene 128

rebanadas y les dio a 64 niños; ya atendió a 127 niños y le quedan 64 rebanadas. Las parte a la

mitad y ahora tiene 128 rebanadas y les dio a 128 niños; ya atendió a 255 niños y se le acabaron

las rebanadas.

Lo que está haciendo en el proceso es siempre restar 1 y partir entre 2:

y en cada paso, lo que tenemos es:

y detenemos el proceso cuando esa resta sea igual a 0. Entonces, lo que buscamos es que

Entonces, le dimos a

niños.

C9. Los ángulos de un triángulo equilátero miden 60°, por lo que los tres pedazos de círculo juntos

son sextos pues

. Entonces, su área es la de medio círculo.

Ahora, el área del triángulo equilátero es , calculando la altura con el Teorema de Pitágoras (es

la solución para ). Luego, el área del medio círculo es

.

Entonces, el área que queda es

C10. Para que dos cajas funcionen, tienen que cumplir que sean consecutivas y que el producto de

sus números sea divisible entre .

Por ejemplo: 55 y 54.

C11. Vamos a sumar 6 de cada lado de la ecuación para poder factorizar:

20

Luego, los divisores de 2018 mayores que 2 son sólo 1009, 2 pues 1009 es primo.

Entonces tenemos

así que es la única.

C12. Si el lado de un triángulo equilátero mide , entonces, usando el Teorema de Pitágoras, su

altura mide

Luego, como los triángulos son semejantes –son todos equiláteros- la razón entre sus áreas es el

cuadrado de la razón entre sus alturas. Es decir, para encontrar el área del segundo triángulo, hay

que multiplicar el área del primer triángulo por

Luego, sabiendo el área del segundo, podemos

conocer el área del tercero multiplicando por

y así sucesivamente.

Entonces, para conocer el área del sexto triángulo, habríamos multiplicado el área del primero por

en total cinco veces. Es decir

C13. Si sumamos las tres ecuaciones y factorizamos de todas, obtenemos

de donde podemos saber que

Suponiendo que la suma es positiva, entonces

21

que satisface las condiciones. Análogamente, tenemos que

también es solución.

Es de esperarse que tenga dos soluciones porque, aunque se trata de un sistema de tres

ecuaciones y tres incógnitas, cada ecuación es de grado 2.

C14. Como 12 divide a la suma de cualesquiera dos,

Entonces, sólo es posible que agarre o bien los múltiplos pares de 6 o los múltiplos impares de 6.

Del 1 al 200 hay un total de

múltiplos de 6; de los cuales

son múltiplos de

12 –es decir, múltiplos pares de 6- por lo que hay 17 múltiplos impares de 6.

La mayor cantidad de números que puede agarrar es 17.

C15. Usando varias veces la factorización de diferencia de cuadrados, obtenemos

que son todos primos.

C16. Como sólo puede haber una torre en cada columna y en cada renglón, basta con ver cuántas

parejas del tipo donde es la columna y es el renglón, cada uno tiene los números del 1 al

8 sólo una vez. Entonces, si escribimos en orden las ’s, la pregunta se vuelve de cuántas maneras

podemos reordenar los números del 1 al 8 que, sabemos, se puede hacer de maneras.

C17. Veamos que 21000 cumple pues

por lo que también cumplen los números 20100, 20010, 20001, 12000, 10200, 10020 y 10002.

Para ver que son los únicos basta ver que , que sale de ver el caso en

que todos son 9, de donde .

C18. Veamos que . Además, la fórmula para la suma de divisores es

22

donde los son los primos a sus respectivas potencias. Podemos encontrar rápidamente

números que cumplan lo que buscamos:

Entonces, el número cumple lo que queremos.

C19. Buscamos el máximo común divisor de un conjunto de números que sumados dan 462.

Entonces, ese máximo común divisor también divide a 462 y podemos factorizar la suma como

donde es el máximo común divisor. Veamos que . Entonces las opciones

son y la suma debe ser el recíproco. Como

la suma de veinte enteros positivos es a lo menos 20, el máximo común divisor es a lo más 22. Es

fácil construir el caso para el que 22 cumple

es decir, todos los números son 22 excepto uno que es 44.

C20. Podemos resolver el problema usando separadores: repartimos los 7 días de la semana

usando 6 separadores: lo que quede antes del primer separador es del primer pretendiente, antes

del segundo es del segundo y así sucesivamente hasta antes del sexto es del sexto y después del

séptimo es del séptimo. Así respetamos las reglas pues si algún pretendiente la invita más de un

día, son días consecutivos.

Queremos escoger 6 cosas –el lugar de los separadores- de un conjunto de 13 cosas –el código

formado por los siete días y los seis separadores. Esto se puede hacer de

Es decir, si cada semana hicieran un reparto distinto, tendrían que pasar 33 años antes de que se

repitiera un orden.

23

¿Hasta cuál te sabes?

Luis Islas Cruz

Hace tiempo fui a casa de unos tíos y me contaron que mi primo, su hijo, de 4 años de edad que ya

está yendo al jardín de niños, está aprendiendo a contar pero aún no se sabe los números. -¿Cómo

es eso?-, pregunté, -¿aprende a contar pero no se sabe los números?-. Su mamá tomó papel y

lápiz y llamó a mi primo, una vez con nosotros, mi tía le dijo mientras escribía el número uno: -Éste

es el uno- y siguió escribiendo números: -Éste es el dos, éste el tres…-y antes de que pudiera

seguir, mi pequeño primo la detuvo y dijo elevando la voz: -No, no mamá, ayer ya te expliqué-. Y

se fue, regresó con las manos llenas de manzanas, unas tres o cuatro, y colocando una de ellas en

las manos de su mamá dijo: -Éste es el uno-, tomó una segunda manzana y se la dio a su mamá

diciendo: -éste es el dos-. Continuó hasta agotar las manzanas y contando correctamente. Te

pregunto lo mismo que me pregunté en ese momento: ¿Mi primo sabe contar?

Desde muy pequeños aprendemos a contar, ni siquiera se nos enseña; iniciamos comparando

cantidades aunque no sea precisa nuestra comparación, si vemos que alguien recibe dos dulces y

nosotros uno sabemos que hemos recibido menos. Si lo anterior sucede, una vez la pregunta que

surge es: ¿Sabemos contar?

La palabra clave en el caso anterior es “comparar”, y es que contar es precisamente eso,

comparar. Pongamos un ejemplo. Cuando hacemos un conteo lento, de uno por uno de estrellas

en el cielo, las nombramos mientras vamos señalando a cada estrella: “una, dos, tres,…” a una le

asigné el número 1, a otra el 2, a la siguiente el 3 y así sucesivamente, es decir, estamos

comparando a las estrellas con otras cosas que ya conocemos: ¡Los números! De modo que si

vemos seis estrellas habremos contado hasta el bien conocido 6.

Aún cuando esto parece muy simple porque podríamos decir que sí sabemos contar, es

interesante esta idea pues nos hace darnos cuenta que los números son sólo símbolos que usamos

para realizar esta comparación de cosas a una cantidad y es de hecho la manera en la que

comenzamos a contar.

Supongamos que nunca aprendimos a contar y que un día decidimos comer hot dogs. Vamos a la

tienda, compramos pan para hot dogs, compramos un paquete estándar de salchichas y el resto

de los ingredientes que deseamos. Cuando vamos a preparar los hot dogs invitamos a un par de

amigos y, aún sin saber contar, nos damos cuenta de que la cantidad de salchichas y la de panes

parece adecuada para satisfacernos así que decidimos preparar todos los panes y todas las

24

salchichas pero ¡sorpresa! no hay igual número de panes que de salchichas. Si no sabemos contar,

¿cómo nos dimos cuenta?

Armar un hot dog consiste en poner una salchicha y un pan juntos, es decir, hacemos lo mismo

que comentábamos entre los números y las estrellas que vemos en el cielo pero esta vez la

asignación o comparación es entre los panes y las salchichas, vamos haciendo hot dogs de uno en

uno pero cuando llegamos al 7°, ya no hay salchichas pues el paquete estándar que habíamos

comprado sólo trae seis, mientras que los empaques de pan traen siempre ocho.

Así que además de decir la cantidad de cosas que hay, podemos pensar que contar es ver las cosas

que queremos “conocer” y compararlas con agún otro conjunto de cosas que sí conocemos, sólo

que resulta que un conjunto muy útil es aquel que el humano ha usado durante tanto tiempo: los

números.

Ahora que tenemos claro que contar no sólo es dar un resultado, sino que incuye ese proceso de

comparación, vamos a ver algunos trucos para hacerlo de manera más fácil.

Imagínate que un millonarioquiere repartir parte de su fortuna a varias personas; quiere entregar

un millón de dólares dándole a cada persona que pueda y que le alcance 5 dólares. Si nos

formamos para que nos den algo de dinero tal vez tengamos que esperar mucho pues le alcanza a

repartir a ¡20,000 personas! ¿Cómo lo supe? Si apenas supiéramos contar tendríamos que ver

cuántos montones de 5 dólares podemos hacer si tuviéramos un millón por repartir, pero sabemos

que eso es precisamente lo que hacemos al dividir, así que sólo necesitamos resolver la operación

por eso es que 20,000 personas recibirían el dinero.

Con los conocimientos que tenemos, el problema anterior resultó demasiado fácil, eso es porque

tenemos una estrategia para contar cosas de ese estilo, no importa que sean cantidades enormes,

la misma estrategia servirá siempre que tenga sentido (no podríamos, por ejemplo, entregar 7

dólares a cada persona sin que nos sobre, o no podríamos dar dinero en montones de cien si sólo

contamos con cincuenta dólares). Eso es lo que pasa cuando queremos contar, ideamos un

manera en que se nos facilitará el trabajo o se nos hará más rápido; si hay un grupo de unas

cincuenta personas y queremos contarlas, lo hacemos, a veces de dos en dos o de tres en tres, eso

también es una estrategia de conteo.

La siguiente es un manera muy especial de contar y se ve con un ejemplo muy concreto.

Imagínate que se lleva a cabo un torneo de tenis individual, en el cual, en cada juego el que pierde

ya no vuelve a jugar, ¿cuántos partidos deben jugarse para obtener al campeón (que sólo quede

un jugador), si hay:

16 jugadores?

25

Si alguna vez has participado o visto o conocido torneos de este estilo que eliminan a alguien

en cada juego, sabrás que es útil generar parejas, todas las que puedas y para la siguiente

ronda de juegos lo vuelves a hacer con los que ya han pasado la primer etapa. En este caso, se

hace una ronda de ocho juegos y quedan ocho eliminados, con lo que los otros ocho continúan

en el torneo, ésos juegan la segunda ronda: cuatro contra cuatro, lo que elimina otros cuatro,

con los cuatro que quedan se juean dos partidos en la tercera ronda y por último, en la cuarta

se juega un solo partido que determinará al ganador del torneo. Entonces fueron

juegos.

32 jugadores?

Intenta descubrir éste tú.

21 jugadores?

Si lograste el anterior tal vez es una buena pista para el caso en que hay una cantidad de

competidores algo “rara” como ésta, 21. El problema aquí es que ni siquiera sabemos cómo

podríamos organizar los partidos, pero verás que no es tan difícil; pensemos de modo distinto

al de los ejemplos anteriores, pensemos que ya hemos obtenido un campeón, entonces

tuvimos que haber eliminado jugadores y como es necesario un partido para

eliminar a un jugador, son necesarios 20 juegos para eliminar 20 jugadores, ¡ya lo tenemos! Se

necesitan 20 juegos para obtener un campeón.

Como vimos en el ejemplo, ocupamos una estrategia distinta para resolverlo con 21 jugadores,

pero además podemos ver que el rgumento utilizado sirve también para las dos preguntas

anteriores y además es mucho más simple.

Ahora veamos un par de maneras de contar que conocemos en la primaria y que sirven en

situaciones algo comunes.

Carlos es un amigo y le decimos “afortunado” aunque sea un poco largo, le decimos así porque

tiene todas las consolas de videojuegos que han salido al mercado. El otro día quería rentar un

juego. En el local donde se rentan los juegos tienen 55 títulos de Wii, 70 de Xbox y 63 de Play

Station, y me quedé pensando ¿cuántas opciones tenía Carlos en total? La verdad no me tardé

mucho en ver que tenía opciones entre las cuales elegir.

Este simple cálculo es una herramienta algo avanzada de conteo pues nos cuesta darnos cuenta de

varias cosas:

La primera, no queremos más que rentar un juego, no necesitamos uno de cada consola o

dos, nada de eso, sólo buscamos un videojuego.

Y la segunda, así como cuando contamos de dos en dos o de tres en tres, en esta ocasión

tenemos números precisos para no tener que ir de uno en uno lo cual nos llevaría mucho

tiempo, en este caso “contamos de 55 en 70 en 63” por eso es la suma de estas

cantidades.

26

Esta herramienta recibe el nombre de regla de la suma.

De modo similar tenemos algo que podemos usar para aquelals veces en que nos interesa realizar

más de una cosa a la vez y no cosas que deben darse por separado como hicimos con la renta de

los videojuegos.

Volvamos a nuestros hot dogs, ahora nos meteremos con su preparación.

Debemos elegir entreusar pan integral y pan blanco.

Debemos escoger entre salchicha de pavo, salchicha de pierna o salchicha de soya.

Hay que decidir si poner mayonesa regular o mayonesa light.

Hay queelegir entre mostaza dulce o picante.

Teniendo esas opciones donde forzosamente hay que elegir una y sólo una de cada punto, ¿de

cuántas maneras podemos preparar nuestro hot dog?

Veamos que por cada opción de pan podemos poner cualquiera de las tres salchichas, comoson

dos posibilidades de pan multiplicamos , el número d eopciones de pan por el número

de opciones de salchicha. Éstas son las maneras en que podemos preparar la base de nuestro hot

dog, y en cada una de estas seis preparaiones tenemos la opción de poner mayonesa normal o de

la light, entonces las maneras que ya teníamos contadas las multiplicamos por 2 (las opciones de

mayonesa): . 12 son las posibles preparaciones deun hot dog sin mostaza y como en

cada una de éstas puedo poner dos tipos de mostaza, volvemos a multiplicar, esta vez por 2,

entonces hay maneras de preparar nuestros hot dogs.

Lo que realmente hicimos fue multiplicar las maneras que teníamos de elegir el pan por las

maneras que teníamos de salchicha por las que teníamos de mayonesa por los posibles tipos de

mostaza que podíamos escoger:

A loque acabamos de realizar se le llama regla de la multiplicación.

Pensando en los juegos de video, si queremos uno de cada consola (Wii, Xbox y Play Station), sólo

multiplicamos las opciones que tenemos de un juego de Wii (55), por las posibilidades de un juego

de Xbox (70), por la cantidad de títulos para Play Station (63). Entonces, tenemos

opciones para llevarnos tres títulos a casa.

El trico para contar, es hacerlo sabiamente. Piensa en tu meta, elige tu estrategia y ¡cuenta lo que

quieras!

Luis tiene dos dientes postizos

y ama la libertad

27

Sophie-Germain

o cómo aprendí a dejar de preocuparme y amar la

factorización

Demian Espinosa y Siddharta Morales

Dedicado a las mujeres que les gustan las matemáticas

Erase una vez una niña que nació en París 1 de abril de 1776, desde pequeña le atraían los

números, específicamente ella empezó a estudiar matemáticas a los 13 años. En su época esto

estaba prohibido para las mujeres, así que se tenía que vestir de hombre para entrar a las

bibliotecas o lugares donde se impartía la materia o conseguía manuscritos a escondidas y los

estudiaba por su cuenta. Tiempo después decidió entrar a la escuela politécnica de Paris –claro,

vestida de hombre- donde algunos maestros empezaron a sospechar de su identidad dado que

ella usaba el nombre falso “Sr. Leblanc” de un antiguo estudiante de la facultad, pero al ver su

interés y brillantez ellos la protegieron.

Empezó a cartearse con el matemático alemán Carl Gauss, firmando como Sr. Leblanc para ocultar

su identidad; ellos comentaban y discutían diversos temas sobre la teoría de números pues a

Germain le había parecido muy interesante el libro de Gauss Disquisitiones Aritmeticae. Era la

época de Napoleón Bonaparte y estaba a punto de invadir Prusia; Germain era muy amiga del

general Pernety y le comenta su temor de que el gran científico Gauss sea asesinado, entonces

Pernety lo busca y lo pone bajo protección diciéndole a Gauss que era gracias a su protectora, lo

que confundió a Gauss acerca del sexo de Germain. Después Germain tras una carta a Gauss le

confirma su verdadera identidad a lo que éste responde:

“Pero cómo describirte mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Sr.

Leblanc se metamorfosea en este personaje ilustre que me ofrece un ejemplo tan brillante

de lo que sería difícil de creer. La afinidad por las ciencias abstractas en general y sobre

todo por los misterios de los números es demasiado rara: lo que no me asombra ya que los

encantos de esta ciencia sublime sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de

profundizar en ella. Pero cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y

prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para

familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los

obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona

debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior. De verdad

que nada podría probarme de forma tan meridiana y tan poco equívoca que los atractivos

de esta ciencia que ha enriquecido mi vida con tantas alegrías no son quimeras que las

predilección con la que tú has hecho honor a ella”.

Germain hizo grandes contribuciones a la ciencia en el campo de la teoría de números y la

acústica, y es la iniciadora de la teoría de la elasticidad. Es recordada por dos buenas

28

contribuciones: la primera es un caso particular del último teorema de Fermat, para número

primo distinto de , entonces no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación

= . Su segunda contribución memorable es algebraica y es la que estudiaremos en este artículo

con un enfoque a la resolución de problemas de olimpiada; su teorema dice que:

La cual es conocida como la identidad de Sophie-Germain.

Primero veremos de donde obtenemos esta factorización: primero veamos que como

y , entonces podemos factorizar la resta

como una diferencia de cuadrados para obtener la identidad querida.

Veamos algunos problemas resueltos para entender cómo usar la factorización.

Ejemplo 1. Demuestra que es primo con

Solución: Primero veamos que si entonces que si es primo

Ahora si n es par es par y como no puede ser igual a 2, entonces no es primo. Ahora

supongamos que es impar mayor que 1. Por lo cual con . Entonces

y

que factorizando como la identidad de Sophie-Germain es

)(

Claramente el lado izquierdo y derecho son mayores a 1 con por lo que el número

es compuesto y por lo tanto no es primo.

Ejemplo 2. Demuestra que para todo se tiene que el número no es primo.

Solución: Tenemos que

factorizando de acuerdo a la identidad de Sophie-Germain

y como claramente

ambos factores son mayores que 1 con entonces no es primo.

Ejemplo 3. Calcule:

Solución:

29

Pero podemos ver que entonces todas las fracciones

se nos cancelas una con del signo menos con la del signo más del siguiente k de esta forma solo

“sobrevive” la primera y la ultima fracción quedando como resultado

A este tipo de sumas se les conoce comúnmente como sumas telescópicas, donde cada termino se

elimina con el siguiente quedando solo el primero y el último.

Dejamos unos ejercicios para practicar la factorización de Sophie-Germain.

Ejercicio 1. Demuestra que no es primo. (Sugerencia: Factoriza de acuerdo a la

identidad de Sophie-Germain)

Ejercicio 2. Demuestra que para todo se tiene que el número puede ser

escrito como el producto de 4 enteros positivos distintos y mayores que 1.

(Sugerencia: Factoriza de acuerdo a la identidad de Sophie-Germain, y estos vuélvelos a factorizar

pero de otra manera. Para darte cuenta de posibles factores de esos, intenta factorizar el número

original de otras maneras para buscar más factores y así intentar dividir a los factores que te

dieron. Luego una vez que lo logres expresar como producto de 4 números, solo falta demostrar

que todos son distintos y mayores que 1.)

Ejercicio 3. Calcule:

(Sugerencia: Factoriza el denominador de la fracción con la identidad de Sophie-Germain. Luego

separa la fracción como una resta de 2 fracciones las cuales tienen como denominadores los 2

factores que separaste y busca los numeradores que le corresponderían. Observa que a la fracción

que se está restando si la evalúas en el siguiente término es la misma que el término de la fracción

que era positiva. Forma la suma telescópica y concluye con los 2 términos que no se eliminan.)

Ejercicio 4. Calcule:

30

(Sugerencia: Analiza cada paréntesis por separado y Factoriza de acuerdo a la identidad de Sophie-

Germain. Luego compara los factores que sacaste en el numerador con los que sacaste en el

denominador y busca como cancelarlos, como si fuera en una suma telescópica pero con

producto.)

Ejercicio 5. Determine todas las parejas de con tales que es un número a la

cuarta potencia y es primo.

(Sugerencia: Primero demuestre que y tienen que ser primos relativos y por ende uno es 4veces

un número a la cuarta potencia y el otro es un número a la cuarta potencia. Luego con esto en

con lo nuevo que saco de y factorize de acuerdo a la identidad de Sophie-Germain y

busque una desigualdad que le sirva usando el hecho que uno de los 2 factores que saco es 1 ya

que formaban un primo.)

Demian y Siddharta son todos unos conquistadores.

conocen muy bien la coreografía de Party Rock Anthem y Gangnam Style.

31

¿Quién lava los platos? Eugenio Flores

Notas de Teoría de Juegos con Dr. Francisco Sánchez CIMAT

En mi casa siempre es un problema lavar los platos. Vivimos cinco personas y en cada comida

ensuciamos muchísimos platos, vasos, cubiertos, sartenes. Además, como no es nuestra actividad

favorita, normalmente se acumulan los del desayuno y la cena. Es decir, lavamos platos porque ya

no hay más platos limpios en la casa.

Tenemos muchos métodos para decidir quien lava. El normal es el asco: al que le dé más asco ver

platos sucios es el que los lava.

Otro método es el orden: como somos cinco, cada uno le toca un día. Esto a veces no es

exactamente justo, porque hay un día en que casi nadie come en casa y hay otro día en que

tenemos visitas. Para resolver eso se puede agregar una chispa de azar: cada día se rifa entre los

que no han lavado esa semana. Dice el Guasón en el Caballero de la Noche que el azar es justo.

Una vez lo jugamos a una quiniela de moscas1. Sin embargo, nuestro método favorito es jugar una

partida de Cara de Chango2 y el perdedor tiene que lavar los platos.

Dividir las cosas no es algo sencillo, ni las tareas en este caso, ni los bienes en un divorcio o en una

herencia. Precisamente una herencia llevó al Dr. Francisco Sánchez a buscar una fórmula para

dividir una herencia de la manera más justa posible: él quería el revólver de su padre y le tocó un

juego de té de porcelana medio feo, y a la hermana que quería el juego de té, le tocó el revólver.

Es decir, ninguno de los dos quedó contento con la parte de la herencia que recibió. Esto se

1 Hay muchas moscas en la casa. Pusimos un tira pegajosa en la sala y un día decidimos que eran demasiadas. Cada uno dijo cuántas moscas creía que había ahí pegadas y el que estuviera más lejos de la cantidad real lavaría los platos. Yo gané con ciento veinte; Chema perdió con ochenta. Había doscientas diecinueve. 2 Reglas de Cara de Chango:

Cara de Chango es un juego de cartas, se necesitan una o dos barajas inglesas dependiendo del número de jugadores. El principio es sencillo: cada jugador, en su turno, debe poner una carta mayor o igual a la que esta hasta arriba de la pila; si no puede, se come las cartas de la pila. El 2 es comodín –además del comodín-, el 10 ‘quema’ todas las cartas en la pila y el A es la carta más alta.

Al principio se reparten tres cargas ciegas, tres cartas abiertas y tres cartas en mano a cada jugador. Siempre debes tener tres cartas en mano –si te quedan menos, come. Puedes tirar más de una carta si son del mismo número; si se junta póker o más hasta arriba de la pila, las cartas se queman. El jugador que queme las cartas o haga que el siguiente se coma la pila, vuelve a tirar.

Cuando se acaban las cartas en mano y ya no se puede comer más, se juega con las cartas abiertas –ya no se puede tirar más de una. Cuando se acaben las cartas abiertas, tocan con las cartas ciegas. El primero en quedarse sin cartas gana y se juega hasta que haya un perdedor.

32

resolvió fácil, porque su hermana vive en Alemania y ni de broma quería que le mandaran una

pistola hasta allá, así que le mandaron el juego de té y todos felices.

Metiéndonos a la teoría de juegos, podemos plantear una herencia como un juego de la siguiente

manera: tenemos un conjunto de bienes que forman la herencia y un conjunto de

herederos . A cada heredero le pedimos que le dé un valor a cada bien de la herencia

–para fines de justicia, se hace de manera simultánea y en sobre cerrado, y para fines de facilidad

matemática, suponemos que todos los valores son estrictamente positivos.

Con cada valor, podemos hacer una matriz

donde la entrada es el valor que el

heredero le da al bien . Cada heredero puede proponer su escala de valor: en el ejemplo

anterior, Francisco podría darle un valor de mil al revólver y de diez al juego de té para significar

que de verdad quiere el revólver y de verdad no quiere el juego de té. Es decir, no es que los

objetos tengan ya un valor dado –no es difícil repartir terrenos o dineros si a todos les toca igual-

sino que es el valor que cada uno le da.

Esta tercia nos da un problema y para la solución vamos a definir otros elementos:

definimos una pseudopartición de , que es el conjunto de bienes que le toca a

cada heredero –indicados con el índice del bien. Una partición de un conjunto es un conjunto de

subconjuntos de , tal que ningún es vacío, la intersección de cualesquier dos

subconjuntos es vacía , y la unión de los elementos de todos los subconjuntos nos da

el conjunto original . A la nuestra le llamamos pseudopartición porque es posible que

un heredero reciba ningún bien.

Con eso, decimos que un vector es factible si podemos hacer una pseudopartición

de tal que

es decir, si la entrada que corresponde al -ésimo heredero es igual a la suma de los valores que él

le dio a los objetos que recibe de la herencia.

Entonces, las soluciones que buscamos son parejas de vectores donde es factible y

es un vector de compensaciones económicas tal que .

Ahora, aunque puede haber muchas soluciones que cumplan estas dos cosas, nosotros no

quisiéramos cualquier solución. Por eso, pedimos que satisfaga dos axiomas:

Axioma 1 (Óptima de Pareto): Decimos que una solución es óptima de Pareto si y sólo si no

existe otra solución tal que

33

es decir, ningún heredero es perjudicado y hay al menos un jugador que es beneficiado.

Definimos un nuevo vector tal que

es decir, la entrada -ésima es el valor que le dio el heredero a toda la herencia.

Axioma 2 (Iguales porcentajes): Decimos que una solución es de iguales porcentajes si y

sólo si

es decir, si cada uno de los herederos percibe que percibe lo mismo; si todos reciben lo mismo

proporcionalmente al valor que le dieron a la herencia.

Con estos dos axiomas, podemos construir una solución muy interesante y es la que encontró

Francisco para resolver el problema:

Teorema 1. Para todo problema existe una única solución óptima de Pareto y

que satisface iguales porcentajes. Además, esta solución es la que proviene de los mejores

postores y

Hay que tomar en cuenta que tanto son vectores, pero la fórmula se cumple también

entrada por entrada.

No nos vamos a detener en las demostraciones de este teorema –ni del siguiente- porque nuestro

interés está en decidir quién lava los platos que llevan una semana en el fregadero. El artículo

completo apareció publicado en el Journal of Mathematical Economics.

Teorema 2. La solución construida en el teorema anterior también cumple las siguientes

propiedades:

a)

b)

c)

d) es homogénea grado uno

e) continua en

f)

Comentadas en mis términos, las propiedades quieren decir:

34

a) Cada heredero recibe más de un -ésimo de la herencia, según el valor que cree que tiene

la herencia.

b) Si aumentamos los bienes, ningún heredero pierde.

c) Si aumentamos los herederos, ningún heredero gana.

d) Podemos convertir las valoraciones de pesos a euros a dólares a cacahuates y la solución

es la misma.

e) Un cambio pequeño en los valores da un cambio pequeño en la solución.

f) La solución jode menos al más jodido.

Es decir, la solución se comporta como queremos que se comporte y cumple muchas propiedades

muy bonitas. En matemáticas, es deseable que las soluciones se comporten como nos conviene

que se comporten.

Podemos hacerle algunas modificaciones a la fórmula: si no todos los herederos tuvieran el

mismo derecho a la herencia –el hijo ilegítimo, la amante, la suegra- entonces se construye un

axioma modificado de iguales porcentajes con un vector de porcentajes

que cumple que

y esa solución es

que es muy útil ya que en algunas culturas está bien visto que el que paga menos renta haga más

cosas en la casa –cof cof.

Además, si aparecieran nuevos bienes después de la repartición, lo más sencillo sería repartir el

nuevo bien como si fuera la herencia completa. En general, y para evitar eso, puede resultar mejor

repartir cada bien como si fuera una herencia completa y así aseguramos que cumpla el axioma de

iguales porcentajes.

Esto deja todo muy bien, aunque tiene algunas debilidades: uno debe estar dispuesto a pagar lo

que cree que vale la herencia; además, tu porcentaje está en función de lo que crees que vale la

herencia, y no de su valor real. Es decir, es posible que a los parientes pobres les vaya peor pues

pueden ofrecer menos que los parientes ricos, y una manera de buscar hacerse de los bienes es

darle un valor muy alto.

Ahora sí, a nuestro caso concreto. Como somos cinco y la casa hace mucho que no limpiamos la

casa, vamos a poner más de una tarea: lavar los platos, hacer el baño, barrer, trapear y recoger la

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caca de Totoro –nuestro perro. Nosotros somos Manuel, Jacsán, Chema, Chus y yo, Uge. Pero para

celebrar el día de Heine-Borel3, vinieron a comer también Carmen, Saraí, María, Luis, Christian,

Josué y Trino, así que había muchísimos platos y, como somos malos anfitriones, no nos molesta

ponerles a hacer tareas de la casa. Para evitar lo complicado de la notación matricial, podemos

dejar todo bien explícito siempre. En realidad no es complicada, es complicada para mí.

Hay que hacer un cambio importante, ahora los valores son todos negativos, porque no estamos

repartiendo bienes sino males. Podemos verlo como el dinero que estoy dispuesto a pagar para

que alguien haga la tarea, que es siempre negativo para el bolsillo de la gente. Y todos tienen que

ser valores negativos, es decir, no se vale que alguien dé un valor que se lea como lo que estoy

dispuesto a que me paguen para hacer la tarea, ni que alguien escriba cero, que se lee como me

da igual. Si les da igual, pues que lo hagan.

Así, el mejor postor es el que esté dispuesto a pagar menos para que alguien haga la tarea, pues es

al que menos le molesta hacer esa tarea en específico. Si alguien no quiere hacer nada, entonces

va a tener que ofrecer mucho dinero para compensar.

Platos Baño Barrer Trapear Caca

Carmen -10 -30 -35 -35 -10 0 -120

Saraí -2 -50 -3 -5 -100 -2 -160

María -50 -70 -40 -30 -20 0 -210

Christian -50 -50 -10 -10 -60 0 -180

Josué -20 -60 -10 -15 -40 0 -145

Trino -20 -40 -5 -10 -50 0 -125

Luis -20 -40 -5 -7 -20 0 -92

Mane -20 -1 -1 -20 -1 -2 -43

Jacsán -5 -5 -5 -5 -5 -5 -25

Chema -200 -345 -2 -25 -8 0 -580

Chus -20 -30 -30 -5 -70 0 -155

Uge -35 -10 -10 -30 -1 -1 -86

La fórmula que construyó Francisco es muy fácil de usar y se aplica de manera bastante directa.

Para encontrar los vectores basta con encontrar los mejores postores –nos vamos en cada

columna y escogemos el valor más grande que, en este caso, será el más chico en valor absoluto- y

darles a ellos las tareas. Lo demás es sólo una suma en los renglones.

Con esas sumas, podemos calcular qué porcentaje les va a tocar:

3 El día de Heine-Borel se reparten abrazos y se juegan cartas. Se come arroz con atún, elotitos, frijoles con chistorra y corazones de chayote; no se acaba hasta que se coronan el rey y la reina cara de chango. Tradicionalmente se celebra el 6 de septiembre.

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que es considerablemente menor que , que es lo que le correspondería hacer a cada uno.

Además, como Chema es un pepón y ofreció mucho dinero, ese porcentaje será significativo sobre

todo para él y Jacsán, que parece que no le molesta mucho hacer las cosas aunque nunca las haga,

hará poco y pagará poco.

Para calcular cuánto debe poner de dinero cada uno –ya sea que dé o que reciba para compensar

que alguien hace las cosas por él o que él mismo las hace- se pueden calcular individualmente con

la fórmula: para cada uno será el porcentaje por el valor que le dio a las tareas –su entrada en el

vector - menos lo que recibió –su entrada en el vector .

Entonces tenemos el vector de pagos:

Hay que tomar en cuenta que la suma de estos valores debería sumar y no lo hace por

cuestiones de redondeo y acarreo de errores.

Es decir, los que tienen un valor negativo tienen que pagar y los que tienen un valor positivo

reciben dinero. Cada uno tiene que pagar una miseria y ninguno de los que hace tareas recibirá

mucho menos de lo que cree que cuesta hacer las tareas. Todo mundo sale feliz haciendo mínimo

esfuerzo.

Estamos considerando que a todos les toca hacer lo mismo. En algunas culturas, se piensa que el

que hace de comer ya no le toca lavar, pero eso no siempre pasa –cof cof.

a Eugenio no le gusta lavar los platos

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