Tesina: para obtener el grado de maestro en ciencias matemticas

Pndulo Paramtrico de Foucault

Efran Ibarra Jimnez

11/29/09

1

ndice

1. Introduccin: 31.1. Objetivos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Sistemas de referencia inerciales y no-inerciales : 42.1. velocidad relativa y aceleracin relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Ecuacin del Pndulo de Foucault ( Coordenadas Cartesianas ) 73.1. Pequeas Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Periodo del Pndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Formulacin lagrangiana en un sistema de referencia: 134.1. Lagrangiana en Coordenadas Cartesianas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Lagrangiana en coordenadas cilndricas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.1. Lagrangiana para oscilaciones pequeas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.2. Lagrangiana para oscilaciones no pequeas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Resolucin a las ecuaciones de movimiento del Pndulo de Foucault mediante el mtodode escalas mltiples 20

6. Aplicacin del concepto de Resonancia Paramtrica a las ecuaciones de movimiento delPndulo de Foucault con un amortiguamiento lineal 23

7. Aplicacin del concepto de Resonancia Paramtrica a las ecuaciones de movimiento delPndulo de Foucault con un amortiguamiento no lineal. 27

8. Conclusiones 34

Apndice: 35

A. Ecuacin del Pndulo de Foucault (Coordenadas Esfricas) 35

37

2

Dedicatoria:

Esta tesina esta dedicada a todas aquellas personas que me han brindado su apoyo incondicional alo largo de todos mis estudios, principalmente a quienes me dieron la vida, mis papas, quienes sinimportar en que lugar me encuentre y las distancias que nos separen, siempre los llevo en mi mente, yen mi corazn.

Agradecimientos:

Agradezco el apoyo de mi familia quien han sido y seguir siendo un impulso importante en la formacinde mi educacin. Tambin quiero dar mi ms sincero agradecimiento a mi asesor de tesina al doctorArturo Olvera Chvez quien me ha ayudado en la elaboracin de mi trabajo de tesina, brindndomede su tiempo y dedicacin, as como de su conocimiento de la ciencia para la realizacin de la misma.

1. Introduccin:

El pndulo de Foucault llamado as por el fsico francs Len Foucault el cual se dice que el invento fueproducto de la casualidad. Cuando en 1848, Foucault trabajaba en su taller intentando acoplar unapesada barra metlica a un torno, mientras era sostenida mediante un cable de acero, Foucault observouna curiosa propiedad. El conjunto del cable ms la barra formaba un pndulo, que oscilaba en unplano vertical el cual permaneca invariable (aparentemente invariable en intervalos de tiempo de unosminutos). Foucault observ que este plano se mantena incluso rotando el sistema de sustentacin delcable, lo que marcaba una diferencia entre el sistema tierra y el sistema que giraba con el sistema desustentacin: para el primero se conservaba el plano de oscilacin del pndulo y para el segundo, no.En pocas palabras un pndulo de Foucault es la combinacin de oscilaciones de un pndulo cnico yla de un pndulo simple considerndolo respecto a un sistema de referencia no inercial (respecto ala tierra). Tal movimiento del Pndulo de Foucault se atribuye principalmente a una fuerza llamadafuerza de Coriolis causada por la rotacin de la tierra. En seguida se muestra en la siguiente figura unvistazo a las oscilaciones del pndulo de Foucault dibujadas en su proyeccin sobre el plano XY .

Figura 1.

1.1. Objetivos:

Sabiendo que el movimiento del Pndulo de Foucault es debido a la rotacin de la tierra, y queadems se considera que no existe algn tipo de perdida de energa, es decir el movimiento en consid-eracin es conservativo. Adems teniendo en cuenta que en el mundo fsico en donde vivimos existenmuchas fuerzas (Fuerzas de Friccin) que se oponen al movimiento de los cuerpos, por lo que alfinal terminan en disipar toda la energa del objeto llevndolo as al reposo , por lo que el Pndulode Foucault es algo as como un pndulo ideal que nunca se detendr debido a que no existe fuerzaque se oponga a su movimiento; pero como hemos mencionado anteriormente, en nuestro mundo fsicoexiste la friccin, sobre todo un tipo de friccin natural la resistencia del aire que seria la causante

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de oponerse al movimiento del Pndulo de Foucault y tambin de llevar al reposo dicho pndulo. Detal manera que se han ideado formas de mantener un Pndulo de Foucault en movimiento. Por lo queen el siguiente trabajo de tesina, como una bsqueda de mantener el pndulo en constante movimientosupondremos un amortiguamiento lineal y no lineal que puede suponerse como la resistencia del aire yuna excitacin en el parmetro de la longitud del pndulo dada por l = l0 + sin ( t) en donde lacombinacin de estos dos efectos propiciara una competencia entre el amortiguamiento y la excitacinperidica en el parmetro de la longitud, por lo que para nuestros fines desearamos que la energadisipada del Pndulo de Foucault por el amortiguamiento al pasar el tiempo sea igual a la energaganada por la excitacin paramtica, quedndonos as con una ganancia de energa neta igual a cero,y de esta manera poder estabilizar el movimiento del Pndulo de Foucault en movimiento constante.Posteriormente poder encontrar una amplitud que dependa de la constante de amortiguamiento y delparmetro de excitacin . Adems para encontrar las ecuaciones de movimiento tanto para longitudconstante como longitud variable con l = l0 + sin ( t), se har uso de formulacin lagrangiana parasistemas de referencia no inerciales, despus se usara el mtodo asinttico de escalas mltiples para asencontrar su solucin, ya que las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales no lineales.

2. Sistemas de referencia inerciales y no-inerciales :

En mecnica, un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia en el que las leyes delmovimiento cumplen la conservacin del momento lineal. El trmino aparece principalmente en mecni-ca newtoniana donde los sistemas inerciales son precisamente aquellos en los que se cumplen las leyesde Newton.

Y por contraposicin a la definicin de sistema inercial, se tiene que un sistema es no inercial cuandolas leyes de newton no se cumplen.

Dado un sistema de referencia inercial, un segundo sistema de referencia ser no inercial cuando describaun movimiento acelerado respecto al primero.

La aceleracin del sistema no inercial puede deberse a:

Un cambio en el mdulo de su velocidad de traslacin (aceleracin lineal).

Un cambio en la direccin de su velocidad de traslacin (por ejemplo en un movimiento de giroalrededor de un sistema de referencia inercial).

Un movimiento de rotacin sobre s mismo (vase figura 2).

Una combinacin de algunos de los anteriores.

ss

Figura 2. Sistema de referencia en rotacin (S) con respecto a otro sistema (S).

Un ejemplo de sistema no inercial podra ser el correspondiente a un sistema de coordenadas "fijo enla Tierra", en el cual los movimientos de los cuerpos seran medidos respecto a puntos de la Tierra queestaran girando.

Un observador situado en un sistema de referencia no inercial, debe de recurrir a fuerzas llamadasficticias (tales como la fuerza de Coriolis o la fuerza centrfuga) para poder explicar los movimientoscon respecto a dicho sistema de referencia. Estas fuerzas no existen realmente, en el sentido de que noson causadas directamente por la interaccin con otro objeto, pero debern introducirse si se quiereexplicar el fenmeno segn las leyes de Newton.

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Por tanto, puede detectarse que un sistema de referencia dado es no inercial por sus violaciones de lasLeyes de Newton. Por ejemplo, la rotacin de la Tierra se manifiesta por la rotacin del vector de lagravedad que acta sobre un Pndulo de Foucault, que hace que el plano de oscilacin del pndulovare respecto a su entorno.

Siendo precisos se podra argumentar que los sistemas de referencia inerciales no existen, o al menosno en nuestro entorno, pues la Tierra gira sobre s misma y tambin alrededor del Sol, y ste a suvez lo hace respecto al centro de la Va Lctea. Sin embargo, con objeto de simplificar los problemas,normalmente se considerarn como inerciales sistemas que en realidad no lo son, siempre que el errorque se cometa sea aceptable. As, para muchos problemas resulta conveniente considerar la superficiede la Tierra como un sistema de referencia inercial.

2.1. velocidad relativa y aceleracin relativa

A continuacin para dos sistemas de referencia se deducirn las ecuaciones de velocidad relativa y deaceleracin relativa para diferentes sistemas de referencia:

En la figura 3 se muestran dos sistemas de referencia en la que dos observadores O y O poseen supropio sistema de referencia fijo, el observador O que tiene su sistema de referencia XY Z, observa queel sistema X Y Z fijo aO esta rotando con una velocidad angular

. Para O la situacin es justamente

inversa; O observa que el sistema XY Z gira con una velocidad . adems por simplicidad se hasupuesto que los dos sistemas tienen el origen en comn.

o

o

Z

Y

Y

X

Z

X

p

r = r

z

x

y

z

Xx

Figura 3. Sistemas de referencia en movimiento relativo de rotacin uniforme.

En la figura 3 se observa un vector de posicin de la partcula P respecto al sistema XY Z el cual estarepresentado por :

r = xex + yey + zez (2.1.1)

Y por tanto se tiene que la velocidad de la partcula p medida por O con respecto a su sistema dereferencia XY Z es:

V =

drdt

=dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez (2.1.2)

Similarmente, el vector posicin de P referente al sistema X Y Z es:

r = xex + yey + zez (2.1.3)

Pero como se ha supuesto que ambos sistemas tienen el origen en comn esta es la razn por la que seescribi r en vez de r . Entonces la velocidad de P medida por O con respecto a su propio sistemade referencia X Y Z es:

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V =

dr dt

=dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez (2.1.4)

Al derivar la ecuacin (2.1.1) y (2.1.3) con respecto al tiempo ambos observadores O y O han supuestoque su propio sistema de referencia no est rotando, y por tanto se ha considerado que sus vectoresunitarios no estn cambiando en direccin con respecto al tiempo.

Sin embargo el observador O puede decir que, para l, el sistemaX Y Z esta rotando con una velocidadangular por lo que los vectores unitarios ex , ey y ez no tienen direccin constante de tal modo queal calcular la derivada de (2.1.3) con respecto al tiempo se tiene:

drdt

=dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez +

(xdex

dt+ y

dey

dt+ z

dez

dt

)(2.1.5)

Perodex

dt,dey

dtydez

dtde acuerdo a [4] son equivalentes a:

dex

dt= ex

dey

dt= ey

dez

dt= ez

De la ecuacin (2.1.5)se tiene que la expresin que esta en el parntesis se puede escribir como:

xdex

dt+ y

dey

dt+ z

dez

dt= exx + eyy + ezz = (exx + eyy + ezz)

= r (2.1.6)

Y de acuerdo a la ecuacin (2.1.5) y usando (2.1.4) y (2.1.2), se obtiene que:

V =

V +

r (2.1.7)

La expresin anterior da la relacin entre las velocidadesV y

V de P , medidas por los observadores

O y O en movimiento relativo de rotacin uniforme.

Para obtener una relacin entre las aceleraciones de los dos sistemas de referencia: se procede de manerasimilar. la aceleracin de P medida por O con respecto a XY Z es:

a = dV

dt=dVxdt

ex +dVydt

ey +dVzdt

ez. (2.1.8)

La aceleracin de P , medida por Orespecto a su sistema de referencia X Y Z ,cuando l ignora larotacin es:

a = dVx

dtex +

dV ydt

ey +dV zdt

ez (2.1.9)

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Ahora al derivar la ecuacin (2.1.7) respecto al tiempo y teniendo en cuenta que es constante,

entonces se tiene que:

a = dV

dt=dV

dt+ d

rdt

(2.1.10)

Pero teniendo en cuenta que

V =

dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez = V

xex + V

yey + V

zez (2.1.11)

Y derivando (2.1.11) con respecto al tiempo se tiene :

dV

dt=

(dV xdt

ex +dV ydt

ey +dV zdt

ez

)+ V x

dex

dt+ V y

dey

dt+ V z

dez

dt(2.1.12)

Por lo que los primeros tres trminos en (2.1.12) corresponden a a , dados en la ecuacin (2.1.9), ylos tres ltimos trminos se pueden ver de la siguiente manera:

V xdex

dt+ V y

dey

dt+ V z

dez

dt= V xex +

V yey +

V zez

= (V xex + V yey + V zez) = V

Por tanto la ecuacin (2.1.12) se escribe como:dV

dt= a + V , y recordando que d

rdt

=V =

V +

r y sustituyendo las ecuaciones anteriores en (2.1.10) se tiene que:

a = a + V + (V +

r

)Y finalmente obtenemos:

a = a +2V + (

r)

(2.1.13)

La ecuacin anterior representa las aceleraciones a y a de la partcula P , respecto a cada observadorO y O en un movimiento de rotacin uniforme. en (2.1.13) el segundo termino 2

V representa la

denominada aceleracin de Coriolis y el tercer termino

( r

)corresponde a la llamada

aceleracin centrpeta. Ambas aceleraciones son el resultado del movimiento rotacional relativoentre dos observadores.

3. Ecuacin del Pndulo de Foucault ( Coordenadas Cartesianas )

Ahora me interesa conocer las ecuaciones de movimiento del Pndulo. En el sistema XY Z para unobservador que rota junto con la tierra todo esto para coordenadas cartesianas. En la figura 4. Laintencin es representar un sistema XY Z anclado a la tierra, la cual le genera un movimiento derotacin a dicho sistema, en la que si imaginamos a un observador que sostiene alguna cuerda que asu vez tiene atada en su extremo alguna masa que sostiene en su otra mano, y posteriormente la dejaoscilar al soltarla, entonces al querer deducir el movimiento producido por dicho pndulo, es necesariohacer uso de calculo vectorial para as entonces, comenzar a deducir las ecuaciones de movimiento.

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R

ex

ez

ey

Figura 4.

Se tiene que en la figura 4, el vector representa la velocidad angular para lugares de la tierra con

latitud , tal vector esta expresado como :

= [ cos(), 0 , sin()] (3.1)

Donde la cantidad es la velocidad angular de la tierra que equivale a 7, 292 105rad s1, tambintenemos que la posicin de la masita para un observador que se encuentra anclado en el sistema XY Zesta dada por el vector:

r = [l sin () , 0 , 2 l sin2 (/2)] (3.2)Observamos que este vector solo esta en el plano XZ debido a que no se ha considerado la rotacinde la tierra por consiguiente es necesario tomar en cuenta la velocidad angular terrestre para obteneruna posicin mas acertada de la masa en el plano XY Z al considerar la rotacin.

Antes de encontrar tal vector denotemos a las componentes de la velocidad angular como:

x = cos() (3.3a)

y = 0 (3.3b)

z = sin() (3.3c)

Ya una vez hecho esto, fijmonos que la velocidad que afecta al movimiento del pndulo a moverse enel plano XY es z y como la velocidad angular es constante entonces su desplazamiento angular debeestar dado por zt , por lo que al vector r le podemos aplicar una matriz de giro sobre el plano XY .entonces denotemos a B como matriz de giro, por tanto:

B =

cos (zt) sin (zt) 0 sin (zt) cos (zt) 00 0 1

(3.4) xyz

= cos (zt) sin (zt) 0 sin (zt) cos (zt) 0

0 0 1

l sin ()02 l sin2 (/2)

(3.5)

= x = l sin () cos (zt)y = l sin () sin (zt)

z = 2 l sin2 (/2)

(3.6)

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3.1. Pequeas Oscilaciones

Para obtener las componentes x e y correspondientes a la proyeccin sobre el plano XY en pequeasoscilaciones, es suficiente hacer que sea muy pequeo, lo suficiente como para decir que la ecuacin(3.6) se transforma en :

x = l cos (zt)y = l sin (zt)z = l 2/2

(3.1.1)Entonces de (3.1.1) obtengamos x e y en donde z no nos interesa tanto ya que para oscilaciones losuficientemente pequeas podemos considerar z 0.Entonces de (3.1.1) se puede obtener x ,x ; y y

x = l cos (z t) z l sin (z t) (3.1.2)

x = l cos (z t) 2 z l sin (z t) 2z l cos (z t) (3.1.3)

y = l sin (z t) z l cos (z t) (3.1.4)

y = l cos (z t) 2 z l cos (zt) + 2zl sin (zt) (3.1.5)

Ahora si de la ecuacin (17) correspondientes a la ecuacin de pequeas oscilaciones en coordenadasesfricas (ver apndice seccin A) despejamos a y la sustituimos en (3.1.3) tenemos que:

x = l(2z 2

) cos (z t) 2 z l sin (z t) 2z l cos (z t)

Simplificando mas :

x = 2 l cos (z t) 2 z l sin (z t)

= x = 2 x 2 z l sin (z t) (3.1.6)

Y si escribimos a x como:

x = 2 x+(2 z l sin (z t) 2 2z l cos (z t)

)+ 2 2z l cos (z t) (3.1.7)

Y adems si observamos bien que:

2 z y = 2 z l sin (z t) 2 2z l cos (z t) (3.1.8)

por lo que sustituyendo (3.1.8) que es equivalente a lo que esta en parntesis de (3.1.7) ,x queda como:

x = 2 x+ 2 z y + 2 2z l cos (z t)

= x = 2 x+ 2 z y + 2 2z x (3.1.9)

Ahora para y sustituyendole la cual se despeja de (17) y simplificando:

9

y = 2 l sin (z t) 2 z l cos (z t)

= y = 2 y 2 z l cos (z t) (3.1.10)escribimos a y como:

y = 2 y +(2 z l cos (z t) + 2 2z l sin (z t)

) 2 2z l sin (z t) (3.1.11)

Observando bien que:

2 z x = 2 z l cos (z t) + 2 2z l sin (z t) (3.1.12)

Sustituyendo (3.1.12) en (3.1.11) y queda como:

y = 2 y 2 z x 2 2z l sin (z t)

= y = 2 y 2 z x+ 2 2z y (3.1.13)

Juntando (3.1.9) y (3.1.13) tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

[x = 2 x+ 2 z y + 2 2z xy = 2 y 2 z x+ 2 2z y

](3.1.14)

Entonces en la ecuacin (3.1.14) se tienen los trminos 2 2z x y 2 2z que corresponden a los trminoscentrfugos. Y 2 z y, 2 z x debidos a la aceleracin de Coriolis.Y observando que (3.1.14) se puede expresar como:

[x = (2 + 2 2z)x+ 2 z yy = (2 + 2 2z) y 2 z x

](3.1.15)

En donde el termino 2z se puede despreciar ya que son demasiado pequeos y obtenemos:

x = 2 x+ 2 z yy = 2 y 2 z x (3.1.16)

Ahora si hacemos w = x+ iy , entonces w = x+ iy y w = x+ iy entonces el sistema anterior se reducea una sola ecuacin diferencial compleja:

w + 2izw a2w = 0 (3.1.17)

donde a2 = 22z 2 y si obtenemos los vectores del siguiente sistema que se obtiene de proponerw = v y v = 2izv a2 entonces lo anterior se puede representar como:[

wv

]=

[0 1a2 2iz

] [wv

]

y si encontramos sus valores propios se tiene que:

= iz a2 2z

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= = iz

2z 2 (3.1.18)

pero como 2z 2se tiene que :

2z 2es complejo adems si desaparecemos 2z siendo muyprximo a cero entonces:

iz i (3.1.19)

Por tanto la solucin de w esta dada por:

w = eizt(c1e

it + c2eit) (3.1.20)

tambin sabemos que (3.1.20) se puede escribir como:

w = eizt(

c21 + c22

)cos(t+ )

Y sea A =c21 + c

22 .

= w = Aeizt cos(t+ ) (3.1.21)

Recordando que w = x + iy y sabiendo que eizt = cos (zt) i sin (zt) y sustituyendo esto en(3.1.21) tenemos:

x+ iy = A (cos (zt) i sin (zt)) cos(t+ ) (3.1.22)

Simplificando (3.1.22) se tiene:

x = A cos (zt) cos (t+ )y = A sin (zt) cos (t+ ) (3.1.23)

En donde tenemos que x e y son la parte real y compleja respectivamente de (3.1.22). Por tanto de laecuacin (3.3c) z = sin() por lo que si hacemos el caso particular en el que nos encontramos enel ecuador se tendr = 0

x = A cos (t+ )y = 0

Y en este caso particular el Pndulo de Foucault es equivalente al pndulo plano que oscila con unafrecuencia de , y si nos encontramos en el polo norte z = por lo que (3.1.23) quedara dada por:

x = A cos (t) cos (t+ )y = A sin (t) cos (t+ )

y el pndulo girara junto con la tierra lo cual para un observador que esta en el polo norte le parecerque el pndulo oscila como un pndulo simple ya que el tambin esta girando junto con la tierra .

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3.2. Periodo del Pndulo de Foucault

Ahora con todo lo anterior se sabe que el pndulo esta girando y a su vez esta oscilando lo que causadesplazamientos sobre su proyeccin como los mostrados en la figura 1. Pero no sabemos cuanto tiempotranscurre para volver a su punto de partida despus de haber dado una revolucin completa.

Entonces para encontrar el periodo para el Pndulo de Foucault se har uso del sistema x, y de(3.1.23). y escribindola de nuevo:

x = A cos (zt) cos (t+ )y = A sin (zt) cos (t+ )

adems supongamos que x = r cos () , e y = r sin () , donde es el desplazamiento angular cuandoel pndulo va rotando, y r la variacin del radio sobre su proyeccin, entonces hagamos x e y lo cualtenemos que:

x = A cos(zt) sin(t+ )Az sin(zt) cos(t+ )y = A sin(zt) sin(t+ )Az cos(t) cos(t+ ). (3.2.1)

Tambin haciendo: x2 + y2 y x2 + y2

x2 + y2 = r2 = A2 cos2 (t+ ) (3.2.2)

= r = A cos (t+ ) (3.2.3)Y

x2 + y2 = A2 2 sin2 (t+ ) +A2 2z cos2 (t+ ) (3.2.4)

Por otra parte : x2 + y2 = r2 + r22

lo que nos conduce a que:

r2 + r22 = A2 2 sin2 (t+ ) +A2 2z cos2 (t+ ) (3.2.5)

Ya casi por terminar, nos falta encontrar r2

r2 = A2 2 sin2 (t+ ) (3.2.6)

Y sustituyendo (3.2.6) y (3.2.2) en el lado izquierdo de (3.2.5) se tiene que:

A2 cos2 (t+ ) 2 +A22 sin2 (t+ ) = A

22 sin2 (t+ ) +A2 2z cos

2 (t+ )

Por la ecuacin anterior eliminando trminos semejantes y simplificando llegamos a:

2 = 2z (3.2.7)

= z (3.2.8)

Por lo que el periodo T estar dado por:

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T =

2pi0

d

z

Por tanto el periodo es:

T =2pi

z(3.2.9)

Antes de empezar con la siguiente seccin cabe mencionar que el articulo de Alexander Khein yD.F Nelson [5] en el que estudian el Pndulo de Foucault con variables de ngulo y accinmediante formulacin lagrangiana y haciendo uso de oscilaciones pequeas resuelven la ecuacin demovimiento, y llegan a dar una representacin de la amplitud para oscilaciones pequeas, en dondeel sistema de ecuaciones diferenciales obtenido de las ecuaciones de euler lagrange es conservativo,en nuestro caso se usara formulacin lagrangiana, pero al momento de introducir una perturbacinal Pndulo de Foucault mediante un amortiguamiento lineal este dejara de ser conservativo, por loque recurriremos a la solucin de las ecuaciones diferenciales no lineales mediante el anlisis asintticousando escalas mltiples. De esta manera encontraremos una representacin de la amplitud queresuelva el problema y que no proviene de algn sistema conservativo.

4. Formulacin lagrangiana en un sistema de referencia:

Antes de empezar con la presente seccin cabe mencionar que el articulo de Alexander Khein yD.F Nelson [5] en el que estudian el Pndulo de Foucault con variables de ngulo y accinmediante formulacin lagrangiana y haciendo uso de oscilaciones pequeas resuelven la ecuacin demovimiento, y llegan a dar una representacin de la amplitud para oscilaciones pequeas, en dondeel sistema de ecuaciones diferenciales obtenido de las ecuaciones de euler lagrange es conservativo,en nuestro caso se usara formulacin lagrangiana, pero al momento de introducir una perturbacinal Pndulo de Foucault mediante un amortiguamiento lineal este dejara de ser conservativo, por loque recurriremos a la solucin de las ecuaciones diferenciales no lineales mediante el anlisis asintticousando escalas mltiples. De esta manera encontraremos una representacin de la amplitud queresuelva el problema y que no proviene de algn sistema conservativo.

Recordando que la relacin entre las velocidades relativas para dos sistemas de referencia esta dadapor la frmula

V =

V +

r . Y teniendo en cuenta que la Lagrangiana se compone de la energa

cintica y de la energa potencial entonces la lagrangiana esta dada por:

L = T U (4.1)

Donde T es la cintica y U la potencial y entonces (4.1) es igual a:

L =m2

2 U (r) . (4.2)

Si representamos a

2 =V 2

Entonces:

V 2 = (V + r ) (V + r )

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V 2 = V 2 + 2V r + r 2 (4.3)Entonces :

L =m

2

V 2 +mV r + m2

r 2 U (r) (4.4)Y (4.4) corresponde a la Lagrangiana en un sistema de referencia XY Z.

4.1. Lagrangiana en Coordenadas Cartesianas:

Para esto hagamos :

r = (x, y, z) , V = (x,y,z)

Y

r =

i j kx 0 zx y z

= (yz, xz zx, yx)

y de acuerdo a la ecuacin (2.1.7) referente a la velocidad relativa entre dos sistemas O y O tenemosque

V =

(x yz, y+xz zx, z + yx

)(4.1.1)

Entonces usando (4.1.1) para hacerV 2y posteriormente sustituir en (4.2) se tiene que la lagrangiana

esta dada por:

L =m

2

(x2 + y2 + z2

)+m (x yz + y xz y zx + z yx)

+m

2

(x2 2z + y

2 2x + z2 2x + y

2 2z 2 x z x z) U (r) . (4.1.2)

Donde U = mgz

4.2. Lagrangiana en coordenadas cilndricas:

De acuerdo a la ecuacin (4.1.2) se cambiara la lagrangiana de cartesianas a coordenadas cilndricaspor lo que solo es necesario hacer las sustituciones correspondientes a cada variable, por lo que deacuerdo a la siguiente figura se tiene que :

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XZ

Y

m

p x

yz

l

l

Figura 5.

x = cos () , x = cos () sin ()y = sin () , y = sin () + cos ()

z = l l2 2, z =

l2 2(4.2.1)

Donde l es la longitud del pndulo y [0, l] .Antes de proceder a tales sustituciones, por simplicidad veremos primero lo que sucede en el caso depequeas oscilaciones .

4.2.1. Lagrangiana para oscilaciones pequeas

Para el caso en el que tenemos oscilaciones pequeas, se puede proponer que la elevacin z esprxima a cero y por tanto se puede tambin proponer z 0, adems teniendo en cuenta que lostrminos 2x y 2z junto con x z son casi nulos por lo que son trminos que podemos despreciar, porlo que la ecuacin (4.1.2) se puede representar como:

L =m

2

(x2 + y2

)+mz (x y x y)mg z (4.2.1.1)

Y si expresamos a z en serie de taylor:

z =2

2 l+

4

8 l3+ . .+ (4.2.1.2)

Posteriormente en (4.2.1.2) corto la serie hasta orden dos debido a que se esta considerando oscilacionespequeas:

z 2

2 l(4.2.1.3)

Ahora sustituyendo (4.2.1.3) en (4.2.1.1) y teniendo en cuenta que 2 = x2 + y2, entonces L paraoscilaciones pequeas es:

L =m

2

(x2 + y2

)+mz (x y x y)

m2

2

(x2 + y2

)(4.2.1.4)

Donde:

2 =g

l

15

Y por consiguiente si sustituimos x, y, x, y en (4.2.1.4) tomadas de (4.2.1) y simplificando encontramosque L en cilndricas es:

L =m

2

(2 + 2 2

)+mz

2 m2

22 (4.2.1.5)

Por lo anterior encontremos las ecuaciones de movimiento haciendo uso de (4.2.1.5):

usando la ecuacin de Euler Lagrange se tiene que :

d

dt

(L

) L

= 0 (4.2.1.6a)

d

dt

(L

) L

= 0 (4.2.1.6b)

Donde cada una nos dar la ecuacin de movimiento tanto como para como para , entonces de(4.2.1.6a) y (4.2.1.6b) obtenemos:

2 2 z + 2 = 0 (4.2.1.7a)d

dt

(m2

(+ Z

))= P = 0, = P = cte. (4.2.1.7b)

Por lo que en (4.2.1.7b) el momento angular P se conserva y usando este hecho entonces (4.2.1.7a) se

puede expresar como +(2 + 2z

) p

2

m23. Por tal motivo tenemos que las ecuaciones de Lagrange

para y son:

+(2 + 2z

) P

2

m23= 0,

P = m2(+ z

)= cte.

(4.2.1.8)

Podemos realizar un diagrama fase para la situacin de pequeas oscilaciones, donde el sistema anteriorpuede ser escrito:

= v

v = (2 + 2z) + P 2m23 (4.2.1.9)Tal diagrama fase esta representado en la siguiente figura.

16

Figura 6.

En donde se muestra que el diagrama fase del sistema (4.2.1.9) posee dos puntos de equilibrio, tales

puntos de equilibrio son estables , y estn dados por =

(P 2

m2 (2 + 2z)

)14

, se puede decir que la

aparicin de tales puntos de equilibrio diferentes al origen se debe a la rotacin de la tierra ya quela aceleracin centrpeta no apunta en la direccin de la gravedad, es decir no apunta en la direccinradial.

4.2.2. Lagrangiana para oscilaciones no pequeas

Ahora para encontrar la ecuaciones de movimiento tanto para como para sin hacer uso de oscila-ciones pequeas basta hacer uso de (4.2.1) y sustituir en (4.1.2) y as obtener la lagrangiana:

L =m22

2 ( l2 2) +m2

2+m sin() x

(l2 2) + mx sin()

2 (l2 2)

+m cos() x z

(l2 p2) +mx cos()

(l2 2) +mg

(l2 2) (4.2.2.1)

+m2z

2

2+mz

2+m2x

2 sin2 ()

2 m

2x

2

2+m22

2+ml22x

2

Y haciendo:

d

dt

(L

) L

= 0

Se ha encontrado con ayuda de Mxima que la ecuacin de movimiento para es:

2

l2 2 + + 2

l2 2 +32

(l2 2)2 x z cos ()

(l2 2) + x z cos () 2

(l2 2)+

2x cos () 2

l2 2 +gl2 2

2z 2 z 2x sin2 () + 2x

2= 0.

(4.2.2.2)

Y si quito de (4.2.2.2) todos aquellos trminos que tienen como coeficientes, trminos despreciables,tales como x z, 2x, 2z. Entonces

2

l2 2 + + 2

l2 2 +32

(l2 2)2 +2x cos ()

2(l2 2) +

g(l2 2) 2 z

2 = 0. (4.2.2.3)

Ahora haciendo:

d

dt

(L

) L

= 0

Se encuentra que la ecuacin de movimiento de es:

17

2 2 cos () x2

l2 p2 + 2 z+ 2 + xz sin ()

(l2 p2) +2x 2 cos () sin () = 0.(4.2.2.4)

Y quitando los trminos despreciables se obtiene:

2 2 cos () x2

l2 p2 + 2 z+ 2 = 0. (4.2.2.5)

Por tanto las ecuaciones de movimiento son:

2

l2 2 + + 2

l2 2 +32

(l2 2)2 +2x cos ()

2(l2 2) +

g(l2 2) 2 z

2 = 0 (4.2.2.6)

2 2 cos () x2

l2 p2 + 2 z+ 2 = 0. (4.2.2.7)

Ahora en las ecuaciones anteriores de movimiento, realizamos expansin de taylor hasta orden tres en

las expresiones1

l2 2,1

(l2 2)2,1

(l2 2). y luego las sustituimos en (4.2.2.6) y en (4.2.2.7), yobtenemos

4

l4+2

l2+ +

2 5 2

l6+

2 32

l4+2

l2+

x cos () 4

l3+g3

2 l3+

2x cos () 2

l2 z+

g

l 2 = 0(4.2.2.8)

x cos()4

l 2 lx cos()2+ 2z+ 2+ 2 = 0 (4.2.2.9)

Si en las ecuaciones de movimiento hacemos = e r en donde e 1. Entonces

e5rr

l4+e3r2r

l2+er+

2 e7r5 r2

l6+

2 e5r3r2

l4+e3rr2

l2+

x cos () e4r4

l3+ge3r3

2 l3+

2x cos () e2r2

l2 ze r+

ge r

l2e r = 0,

xcos()e5r4r

l 2 lx cos()e3r2r + 2ze2rr + 2e2rr + e2r2 = 0.

Y posteriormente obteniendo las ecuaciones de menor orden de psilon, correspondientes a cadaecuacin de movimiento , obtenemos

O (e) : r 2 z r +g r

l 2 r = 0, (4.2.2.10a)

O(e2)

: 2z r r + 2r r + r2 = 0. (4.2.2.10b)

Por lo que (4.2.2.10a) se puede trabajar como:

18

r +(2 2 z 2

)r = 0

= r +(2 + 2z 2z 2 z 2

)r = 0

= r + (2 + 2z) r (2z + 2 z+ 2) r = 0= r + (2 + 2z) r (z + )2 r = 0 (4.2.2.11)

adems se puede expresar a (4.2.2.10b) como :

2z r r + 2r r + r2 =

d

dt

[r2(+ z

)]= 0

Entonces se tiene que:

r2(+ z

)= C = cte (4.2.2.12)

Y por consiguiente:

r(+ z

)2=C2

r3(4.2.2.13)

Sustituyendo (4.2.2.13) en (4.2.2.11) se tiene que:

= r + (2 + 2z) r C2r3 = 0 (4.2.2.14)Entonces juntando (4.2.2.12) y (4.2.2.14) se tiene:

r +(2 + 2z

)r C

2

r3= 0

r2(+ z

)= C

(4.2.2.15)

Por lo que (4.2.2.15) es equivalente a las ecuaciones de pequeas oscilaciones del sistema (4.2.1.8).

Y los puntos de equilibrio estarn determinados cuando r = 0 y r = 0. Por lo que se tiene que lospuntos de equilibrio re obtenidos de (4.2.2.15) son

re =

(C2

2 + 2z

)14. (4.2.2.16)

19

5. Resolucin a las ecuaciones de movimiento del Pndulo deFoucault mediante el mtodo de escalas mltiples

En esta seccin se utilizara el mtodo de escalas mltiples para la resolucin a las ecuaciones demovimiento del Pndulo de Foucault. tal mtodo es explicado en el Apndice en la seccin C. Portanto en esta seccin solo nos ocuparemos en aplicar tal mtodo

Recordando que las ecuaciones de movimiento tanto de como de son respectivamente

2

l2 2 + + 2

l2 2 +32

(l2 2)2 +2x cos ()

2(l2 2) +

g(l2 2) 2 z

2 = 0, (5.1a)

2 2 cos () x2

l2 p2 + 2 z+ 2 = 0. (5.1b)

En la ecuacin (5.1a) y (5.1b) para poder aplicar escalas mltiples es necesario primero expandir en serie

de taylor1

l2 2 ,1

(l2 2)2 ,1

l2 2 y luego simplificar cada ecuacin de tal manera, que al hacerestas expansiones no nos quedemos con trminos que contengan a en el denominador. Y ya una vezhecho esto se sustituir = r en donde r = rre con re de equilibrio, entonces = rre = recon = r0 + 2 r1 + 3 r2 + + .Ya una vez hecho esto con ayuda del programa Mxima podemos aplicar este mtodo asinttico.

Aplicando el mtodo de escalas mltiples a las ecuaciones de movimiento de y respectivamente,en el que se consideraran dos tiempos de escalamiento ,m donde = t y m = 2t . Por lo que (t, ,m, ) = (t, ,m, ) re = r0 (t, ,m) + 2 r1 (t, ,m) + 3 r2 (t, ,m) re+ + . Entoncestenemos que el mtodo nos arroja las siguientes ecuaciones de orden .

Ecuaciones de orden para

O () : r(t,t)0 +

(2 2z 2

)(r0 re) = 0

O () : (t,t)0 +

(2 2z 2

)0 = 0

(5.2a)

O(2)

: r(t,t)1 +

(2 2z 2

)r1 = 2r(t,)0

2x cos ()(r20 + r

2e

)l

+4x cos () r0re

l

(5.2b)

O(3)

: r(t,t)2 +

(2 2z 2

)r2 = 2r(t,)1 2r(t,m)0 r(,)0

r(t,t)0

(r20 + r

2e

)l2

(r

(t)0

)2(r0 re)l

4x cos () r1 (r0 re)l

(5.2c)

+2r0r

(t,t)0 rel2

2(r30 r3e

)2l2

+32rer

20

2l2 3

2r2e r02l2

Ecuacin de orden para

O(2)

: 2z (r0 re) r t0 + 2 (r0 re) r t0 + (r0 re)2 =d

dt

[(r0 re)2

(+ z

)]= 0 (5.3)

20

la ecuacin (5.3) implica que (r0 re)2(+ z

)= C = cte y por consiguiente obtenemos

=C

(r0 re)2 z

y que por simplicidad suponemos que

= z (5.4)

y sustituyendo (5.4) en las ecuaciones de orden de . Obtenemos

O () : r(t,t)0 +

(2 + 2z

)(r0 re) = 0

O () : (t,t)0 +

(2 + 2z

)0 = 0

(5.5a)

O(2)

: r(t,t)1 +

(2 + 2z

)r1 = 2r(t,)0 +

2xz cos(

zt) (r20 + r

2e

)l

4xz cos (zt) r0rel

(5.5b)

O(3)

: r(t,t)2 +

(2 + 2z

)r2 = 2r(t,)1 2r(t,m)0 r(,)0

r(t,t)0

(r20 + r

2e

)l2

(r

(t)0

)2(r0 re)l

+4xz cos

(zt)r1 (r0 re)

l

(5.5c)

+2r0r

(t,t)0 rel2

2(r30 r3e

)2l2

+32rer

20

2l2 3

2r2e r02l2

.

Por lo que empezaremos a resolver (5.5a), entonces

0 = a0 (,m) sin(

2 + 2z t)

+ b0 (,m) sin(

2 + 2z t).

Y debido a que 0 = r0 re, tenemos que

r0 = a0 (,m) cos(

2 + 2z t)

+ b0 (,m) sin(

2 + 2z t)

+ re (5.6)

Y utilizando (5.6) para sustituir en la ecuacin de orden (5.5b), desarrollando y simplificando tenemosque

r(t,t)1 +

(2 + 2z

)r1 =

2a0b0xz cos(

zt)

sin(

22 + 2z t

)l

+xzl

(a20 b20

)cos(

zt)

cos(

22 + 2z t

)+2

da0d

2 + 2z sin

(2 + 2z t

)2 db0

d

2 + 2z cos

(2 + 2z t

)+

xzl

(a20 + b

20

)cos(

zt).

Y eliminando de la ecuacin diferencial de r1 todos aquellos trminos seculares tenemos que

r(t,t)1 +

(2 + 2z

)r1 =

2a0b0xz cos(

zt)

sin(

22 + 2z t

)l

+xzl

(a20 b20

)cos(

zt)

cos(

22 + 2z t

)

21

+xzl

(a20 + b

20

)cos(

zt).

y adems encontramos queda0d

= 0 ydb0d

= 0 por lo que a0 y b0 solo dependen de m, y entonces la

ecuacin (5.6) se convierte en

r0 = a0 (m) cos(

2 + 2z t)

+ b0 (m) sin(

2 + 2z t)

+ re (5.7)

y al resolver la ecuacin diferencial de r1 con la ayuda de Mxima y luego sustituir la solucin en (5.5c)tenemos

r(t,t)2 +

(2 + 2z

)r2 =

[2da0dm

2 + 2z + b

30

(32

8l2+

32z4l2(2 + 2z

)4l

)+ a20b0

(32

8 l2+

32z4 l2(2 + 2z

)4 l

)]sin(

2 + 2z t)

+[(b0C2 + a

20b0C3

)cos(

2zt) C4

(a0b

20 + a

30

)sin(

2zt)]

sin(

2 + 2z t)

+

[2db0

dm

2 + 2z + a

30

(32

8 l2+

32z4 l2(2 + 2z

)4 l

)+ a0b

20

(32

8 l2+

32z4 l2(2 + 2z

)4 l

)]cos(

2 + 2z t)

+[(a30C2 + a0b

20C3)

cos(

2zt)

+ C4(a20b0 + b

30

)sin(

2zt)]

cos(

2 + 2z t)

+ terminos no resonantes

Por lo que eliminando trminos seculares llegamos a las siguientes ecuaciones diferenciales

da0dm

= C1(b30 + a

20b0) (C2b30 + C3a20b0) cos(2zt)+ C4 (a0b20 + a30) sin(2zt) (5.8a)

db0dm

= C1(a30 + a0b

20

) (C2a30 + C3a0b20) cos(2zt) C4 (a20b0 + b30) sin(2zt) (5.8b)

De las ecuaciones (5.8a) y (5.8b) como z es pequeo y adems C2, C3, y C4 son constantes pequeaspodemos suponer todos aquellos trminos que van acompaados de cos

(2zt

)y sin

(2zt

)como

constantes muy pequeas por lo que el sistema anterior de ecuaciones diferenciales lo podemos escribircomo

a0 = C1(b30 + a

20b0)

+ k1

b0 = C1(a30 + a0b

20

)+ k2

(5.9a)

Ahora representando (5.9a) en un diagrama fase, el cual esta mostrado en la figura 8.

22

Figura 7.

En la figura 7 se muestra que el punto de equilibrio es diferente al origen como se esperaba, ya que larotacin de la tierra es la causa de que el punto de equilibrio no sea el origen, como se haba mencionadoen 4.2.1.

6. Aplicacin del concepto de Resonancia Paramtrica a lasecuaciones de movimiento del Pndulo de Foucault con unamortiguamiento lineal

En esta seccin se vera como afecta a la solucin de las ecuaciones de movimiento, al aplicarle elconcepto de (resonancia paramtrica [2]) con un amortiguamiento lineal, por lo que veremos cuales la amplitud de oscilacin al combinar estos dos efectos.

Lo que se pretende es dar una excitacin a la cuerda que sostiene la masa de dicho pndulo, es decir serealizara un cambio en la longitud de la cuerda mediante una variacin peridica. Tal variacin de lacuerda estar dada por l = l0 + sin (t) donde l0 es la longitud inicial de la cuerda, por lo que ahorase obtendr una lagrangiana en la que se ha considerado a l como variable, y por consiguiente unaecuacin de movimiento de y de con longitud variable y posteriormente sumar un amortiguamientolineal de c a la ecuacin de movimiento de

Entonces se tiene que la nueva ecuacin de movimiento de con longitud l variable y con un amor-tiguamiento lineal c esta dada por:

2

l2 2 + + 2

l2 2 +32

(l2 2)2 +2x cos ()

2l2 2 +

gl2 2 2 z

2

+l2 l2

(l2 2)2 ll

l2 p2 l2

l2 2 +2llsin () x

l2 2 2ll2

(l2 2)2 + c = 0.(6.1)

Y la ecuacin de movimiento de con longitud variable esta dada por

2 2 cos () x2

l2 p2 + 2 z+ 2 +2 llx cos()

l2 2 = 0. (6.2)

Para poder aplicar el mtodo de escalas mltiples a las ecuaciones (7.1) y (6.2) primero es necesario

expresar de otra manera a1

l2 2 ,1

(l2 2)2 ,1

l2 2 ya que si se expanden en taylor en funcin

23

de y alrededor de cero, entonces l aparecer en el denominador de dicha expansin, y esto no esconveniente ya que l ya no es constante como en el la seccin (5).

Entonces se tendr que

1

l2 2 =1

l20 (1 + x), (6.3a)

1

(l2 2)2 =1

l40 (1 + x)2 , (6.3b)

1l2 2 =

1

l0

(1 + x). (6.3c)

En donde x =2

l0sin (t) +

22

l20sin2 (t)

2

l20. Y de esta manera ya no se tendr el problema de

tener a l en el denominador en cada una de las expansiones, pero ahora se desarrollara en funcin de xy alrededor de cero, posteriormente se sustituir el valor de x en las expansiones (6.3a), (6.3b) y (6.3c).

Tambin se tiene que l = cos (t) y l = 2 sin (t). Por lo que si desarrollamos talesexpansiones y hacemos las sustituciones correspondientes en (7.1) y (6.2) se podr entonces aplicar elmtodo de Escalas Mltiples.

Adems de todo lo anterior para aplicar el mtodo de Escalas Mltiples se utilizara solo un tiempolento , con = r, y recordando que en la seccin 5 se propuso que r = rre en donde re es punto deequilibrio. entonces tendremos que (t, , ) = (t, , ) re = r0 (t, ) + 2 r1 (t, ) + 3 r2 (t, ) re + + .por lo que habr que sustituir = re y luego con ayuda del programa Mxima, aplicar tal mtodoa las ecuaciones de movimiento. Por lo que tal mtodo nos arroja las siguientes ecuaciones de orden

Ecuaciones de orden para

O () : r(t,t)0 +

(2 2z 2

)(r0 re) = 2 sin () x cos (z t)

O () : (t,t)0 +

(2 2z 2

)0 = 2 sin () x cos ( t)

(6.4)

O(2)

: r(t,t)1 +

(2 2z 2

)r1 = 2r(t,)0

2x cos ()(r20 + r

2e

)l0

c r(t)0(6.5)

+4x cos () r0re

l0+ (r0 re)

(2 2) sin ( t)l0

Ecuacin de orden de

O(2)

: 2z (r0 re) r t0 + 2 (r0 re) r t0 + (r0 re)2 + 2 cos () x cos (t) (r0 re) = 0(6.6)

O(2)

:d

dt

[(r0 re)2

(+ z

)]+ 2 cos () x cos (t) (r0 re) = 0

En donde el termino 2 cos () x cos (t) (r0 re) se puede considerar que cambia muy lenta-mente, de tal manera que ocasiona una aceleracin y desaceleracin peridica de , que en prome-dio la variacin de la velocidad es demasiado pequea, de tal manera que se puede considerar a

24

2 cos () x cos (t) (r0 re) 0. Por tanto nos podemos quedar con ddt

[(r0 re)2

(+ z

)]= 0,

lo que implica que (r0 re)2(+ z

)= C = cte. Por consiguiente

=C

(r0 re)2 z = z

= = zTomemos la suposicin de resonancia paramtrica con una frecuencia de = 2

2 + 2z y luego

sustituimos y en (6.4) y (6.5) obtenemos

O () : r(t,t)0 +

(2 + 2z

)(r0 re) = 4 sin

(zt)

2 + zx cos(

22 + 2z t

)O () :

(t,t)0 +

(2 + 2z

)0 = 4 sin

(zt)

2 + zx cos(

22 + 2z t

)(6.7a)

O(2)

: r(t,t)1 +

(2 + 2z

)r1 = 2r(t,)0 +

2xz cos(

zt) (r20 + r

2e

)l0

c r(t)0

4xz cos

(zt)r0re

l0 (r0 re)

(32 + 42z

)sin(

22 + 2z t

)l0

(6.7b)

Ahora resolviendo (6.7b)

0 =16zx

(2 + 2z

)cos(

zt)

sin(

22 + 2z t

)(94 + 82z

2)+a0 () cos

(2 + 2z t

)+b0 () sin

(2 + 2z t

)

122x sin

(zt)

2 + 2z t+ 162zx

(2 + 2z

)sin(

zt)

2 + 2z

(94 + 82z2)

cos(22 + 2z t)

y como 0 = r0 re entonces

r0 =16zx

(2 + 2z

)cos(

zt)

sin(

22 + 2z

)(94 + 82z

2)+a0 () cos

(2 + 2z t

)+b0 () sin

(2 + 2z t

)+re

122x sin

(zt)

2 + 2z + 162zx

(2 + 2z

)sin(

zt)

2 + 2z

(94 + 82z2)

cos(22 + 2z t)

En seguida sustituimos r0 en (6.7b) y despus desarrollando y simplificando tenemos que

r(t,t)1 +

(2 + 2z

)r1 =(

2 a02 + 2z + a0c

2 + 2z a0

[q s (1 + 2z)]+ 22 + 2zb0 [k1 (1 + 2z)+ k2]) sin(2 + 2z t)

(

2b02 + 2z + b0c

2 + 2z + b0

[q s (1 + 2z)]+ 22 + 2za0 [k1 (1 + 2z)+ k2]) cos(2 + 2z t)

25

+ terminos no seculares

y de la ecuacin anterior igualando a cero todos aquellos trminos seculares se obtienen las siguientesecuaciones diferenciales

da0d

= a0c2

+a0

[q s (1 + 2z)]

22 + 2z

b0[k1(1 + 2z

)+ k2

](6.8)

db0d

= b0c2 b0

[q s (1 + 2z)]22 + 2z

a0[k1(1 + 2z

)+ k2

].

En donde tenemos que :

q =

(32

2l0+

22zl0

), s =

32 2x2z cos

2(

zt)

l0 (92 + 82z), k1 =

8 2x3z sin

(2zt

)l0 (92 + 82z)

, k2 =6 2xz sin

(2zt

)l0 (92 + 82z)

Se tiene que s, k1, k2 pueden ser considerados constantes muy pequeas ya que al pasar el tiempovaran muy lentamente y adems son peridicas, por lo que al pasar el tiempo no se disparan paraconvertirse en valores grandes

Adems podemos simplificar aun mas (6.8) diciendo que:

Q1 = q s(1 + 2z

)Q2 = k1

(1 + 2z

)+ k2

Por lo que (6.8 ) se expresa como:

a0 = a0c2

+ a0

22 + 2z

Q1 Q2 b0

b0 = b0c2 b0

22 + 2z

Q1 Q2 a0(6.9)

Realizando al sistema anterior un cambio a coordenadas polares , diciendo que :

a0 = R cos () a0 = R cos ()R sin ()b0 = R sin () b0 = R sin () +R cos () .

Se llega a que el sistema (6.9) puede ser expresado en trminos de R y como

R = R

[ c

2+

cos (2)

22 + 2z

Q1 sin (2)Q2]

= Q1 sin (2)22 + 2z

Q2 cos (2)(6.10)

Los puntos fijos de (6.10) sonQ1 sin (2)

22 + 2z

+ Q2 cos (2) y R = 0 es decir el origen . La estabilidad

del origen (R = 0) depender del signo de la expresin c2

+

[cos (2)

22 + 2z

Q1 sin (2) Q2]. Si tal

26

expresin resulta ser negativa implicara que el origen es un atractor, y si es positiva tenemos que esun repulsor .Esto es consistente con la formulacin de la ecuacin de Mathieu con amortiguamiento,donde las soluciones se amortiguan a cero por debajo de las lenguas de Arnold [3], o bien crecenexponencialmente por encima de dichas lenguas.

7. Aplicacin del concepto de Resonancia Paramtrica a lasecuaciones de movimiento del Pndulo de Foucault con unamortiguamiento no lineal.

Ahora de la misma manera como procedimos en el caso del amortiguamiento lineal, procederemosahora a encontrar la amplitud R pero haciendo uso del amortiguamiento no lineal c 3 . Sin embargocabe hacer mencin que el termino de disipacin debe estar dado por c || , pero este termino nopuede ser trabajado bajo mtodos perturbativos ( tales como escalas mltiples ). Y como estamostrabajando un termino de disipacin no lineal de la forma c 3 entonces al finalizar el mtodo de escalasmltiples, y con el fin de hacer una aproximacin al amortiguamiento de c ||, propondremos quec =

c

Adonde A es la amplitud de oscilacin de la velocidad el cual esta dado por A = R

2 + 2z

Entonces se tiene que la nueva ecuacin de movimiento de con longitud l variable y con un amor-tiguamiento no lineal c 3 esta dada por:

2

l2 2 + + 2

l2 2 +32

(l2 2)2 +2 x cos ()

2(l2 2) +

g(l2 2) 2 z

2

(7.1)

+l2 l2

(l2 2)2 ll

l2 p2 l2

l2 2 +2llsin () x

l2 2 2ll2

(l2 2)2 + c 3 = 0.

Y recordando que en promedio =C

(r0 re)2z por simplicidad podemos hacer = z . Adems

tenemos que la frecuencia debida a la resonancia esta dada por = 22 + 2z. Entonces al aplicar

el mtodo de escalas mltiples a (7.1) llegamos a que las ecuaciones de orden para estn dadas por

O () : r(t,t)0 +

(2 + 2z

)(r0 re) = 4 sin

(zt)

2 + zx cos(

22 + 2z t

)O () :

(t,t)0 +

(2 + 2z

)0 = 4 sin

(zt)

2 + zx cos(

22 + 2z t

)(7.2a)

O(2)

: r(t,t)1 +

(2 + 2z

)r1 = 2r(t,)0 +

2xz cos(

zt) (r20 + r

2e

)l0

c(r

(t)0

)3

4 (r0 re)(2 + 2z

)sin(

22 + 2z t

)l0

+2 sin

(22 + 2z

)lo

+4xz cos

(zt)r0re

l0.

(7.2b)

Entonces resolviendo (7.2a) llegamos a que :

r0 =16zx

(2 + 2z

)cos(

zt)

sin(

22 + 2z

)(94 + 82z

2)+a0 () cos

(2 + 2z t

)+b0 () sin

(2 + 2z t

)+re

27

122x sin

(zt)

2 + 2z + 162zx

(2 + 2z

)sin(

zt)

2 + 2z

(94 + 82z2)

cos(22 + 2z t)

Notemos que los trminos de frecuencia doble son pequeos porque estn multiplicados por zx Ysustituyendo r0 en (7.2b) desarrollando y simplificando tenemos que

r(t,t)1 +

(2 + 2z

)r1 =

+

2db0d

2 + 2z b0

(322l0

+2 2zl0

)

32 2x 2z cos

2(

2 zt)

l0 k1c

cos(2 + 2zt)

+

22 + 2z a08 2x 3z sin

(2zt

)l0 (92 + 82z)

+6 2x z sin

(2 zt

)l0 (92 + 82z)

cos(2 + 2zt)

+

(22 + 2z

[3 c b30

8

(2 + 2z

)+

3 c a20 b08

(2 + 2z

)])cos(

2 + 2zt)

+

2da0d

2 + 2z a0

(322l0

+2 2zl0

)

32 2x 2z cos

2(

2 zt)

l0+ kc

sin(2 + 2zt)

+

22 + 2z b08 2x 3z sin

(2zt

)l0 (92 + 82z)

+6 2x z sin

(2 zt

)l0 (92 + 82z)

sin(2 + 2zt)

+

(22 + 2z

[3 c a30

8

(2 + 2z

)+

3 c a0b20

8

(2 + 2z

)])sin(

2 + 2zt)

+ terminos no seculares

Y despus de igualar las ecuaciones seculares a cero y despejando a0 y b0 obtenemos

da0d

=a0

22 + 2z

(q + c k1 ) S b0 c(a30 + a0b

20

)db0d

= b0 22 + 2z

(q c k1 ) S a0 c(b30 + a

20b0) (7.3)

Donde

28

c = constante de amortiguamiento. q =

322l0

+22zl0

322x2z cos

2(

2zt)

l0 (92 + 82z)

= termino parametrico S =

8 2x 3z sin(

2zt)

l0 (92 + 82z)+

62xz sin(

2zt)

l0 (92 + 82z)

k1 = valor pequeno =

3

8

(2 + 2z

)

29

Obteniendo un diagrama fase para el sistema (7.3) tenemos que

Figura 8.

Diagrama fase.

Por lo que observamos que el diagrama fase posee dos puntos de equilibrio atractores y diferentes alorigen. Por tanto el campo vectorial (a0, b0) se va aproximando cada vez mas a alguno de estos puntosy por tal razn a0 y b0 tienen un limite diferente a cero, y por consiguiente la amplitud R que estadada por R =

a20 + b

20 ser distinta de cero.

A continuacin haremos un cambio a coordenadas polares para poder representar R y .

R = cR3 + R22 + 2z

[q cos (2) + c k1 S sin (2)]

= S cos (2) q sin (2)22 + 2z

(7.4)

Y adems acordndose que hemos supuesto que c =c

A, donde A = R

2 + 2z . entonces el sistema

(7.4) se convierte en

R = cR2

2 + 2z+

R

22 + 2z

[q cos (2) +

c k1R2 + 2z

S sin (2)]

= S cos (2) q sin (2)22 + 2z

(7.5)

En el sistema (6.4) si hacemos = 0, = = 0 = const. entonces tendremos que

(S cos (2 0) q sin (2 0)

22 + 2z

)= 0 (7.6)

una posibilidad de que sea cero es que sea cero. Entonces tendremos que

30

R = cR2

2 + 2z

Por lo que el nico punto de equilibrio estara dado por (0, 0) lo cual nos dice que la nica amplitudlimite a alcanzar seria cero. Esto es porque se ha eliminado la excitacin del pndulo.

Regresando a (7.6) tenemos que otra manera de que sea cero. es que

S cos (2 0) q sin (2 0)22 + 2z

= 0 (7.7)

y usando la identidad trigonomtrica cos (2 0) =

1 sin2 (2 0) y simplificando (7.7) llegamos a que:

sin (2 0) = 2S4S2 + q2

Y ahora usando la identidad sin (2 0) =

1 cos2 (2 0) tendremos que

cos (2 0) = q4S2 + q2

.

Y sustituyendo sin (2 0) y cos (2 0) en (7.5) y con R = 0 tenemos que

R =

4 +

[k1

2 + 2z+

2

8 (c)2

]12

(7.8)

Donde por simplificacin se ha supuesto que = q2 2S24S2 + q2

. Adems de (7.8) tenemos que el punto

de equilibrio esta determinado por

0, 4

+

[k1

2 + 2z+

2

8 (c)2

]12

lo cual nos dice que lasoscilaciones del pndulo paramtrico, con amortiguamiento no lineal, alcanzan un punto de oscilacinestacionaria. y tambin se observa que en el caso de que el parmetro de excitacin sea cero lasoscilaciones del pndulo paramtrico se amortiguaran hasta llegar al reposo.

Ya una vez hecho esto pasaremos a representar el diagrama fase del sistema (7.4) pero primeramentepara valores de > c.

31

Figura 9.Diagrama fase

en el diagrama fase de la figura 9, tenemos que para valores de > c la amplitud R llega a tomarun valor limite diferente de cero , y esto sucede cuando tiene como limite un valor constante altranscurrir del tiempo. Y vemos que para ciertas condiciones iniciales el campo vectorial (,R) tienecomo punto de equilibrio a (e, Re) = (0.30735, 5.7098) el cual es el limite de y R respectivamente.para dar una mejor interpretacin a lo que esto significa a continuacin mostramos la grfica de R y . Y posteriormente pasaremos a su interpretacin fsica.

Figura 10.

Grfica de R y con respecto al tiempo.

En la grfica de R y tenemos que la amplitud R por un tiempo corto empieza a decaer pero despusse recupera empezando a crecer y a estabilizarse hasta llegar a una amplitud limite, todo esto ocurreen cuanto empieza a cambiar muy lentamente, que llega a convertirse en constante. la interpretacines que aunque el parmetro resonante es mayor que el amortiguamiento c, la energa ganada porla resonancia en principio es menor que la energa perdida por el amortiguamiento pero de algunamanera la energa debida a la resonancia empieza a crecer y a competir con la energa disipada porel amortiguamiento no lineal, de tal manera que el cambio neto de la energa se va aproximando cada

vez mas a cero, es decirdE

dt 0, esto es conforme el tiempo va en aumento, y de esta manera tenemos

que el Pndulo no se ir al reposo al suponer que > c, es mas tendr una amplitud diferente a cero.

En seguida procederemos al anlisis del caso < c. Por lo que obteniendo el siguiente diagrama fasetenemos.

32

Figura 11.

Diagrama fase

En el diagrama fase anterior hemos supuesto que = 0.12 y c = 0.75, pero en particular tenemos quecuando < c la amplitud se vuelve cada vez mas pequea y su comportamiento es el mismo al casocuando > c. Pero con la diferencia de que el tiempo en que la amplitud alcanza a estabilizarse esmucho mayor que cuando > c esto lo podemos ver en la siguiente grfica de R.

Figura 12.

Por lo que se puede concluir es que ya sea que > c < c tenemos que la amplitud nunca escero. el nico caso en el que el pndulo llegara al reposo es cuando sea cero. ya que solo existira elamortiguamiento no lineal que se encargara de disipar toda la energa.

El caso cuando es cero esta representado en la siguiente grfica que representa el decrecimiento dela amplitud R al paso del tiempo .

Figura 13.

33

8. Conclusiones

1. En este trabajo de tesina se ha examinado el movimiento dinmico del Pndulode Foucault para el caso conservativo, adems se ha mostrado la dinmica de susoscilaciones para tiempos largos, en donde se encontr que posee dos puntos deequilibrio estables y diferentes al origen, esto debido al efecto de rotacin terrestresobre dicho pndulo.

2. Tambin se estudio el efecto resultante de excitar paramtricamente al pndulo poruna variacin peridica de su longitud, que a su vez fue puesto en competencia conamortiguamientos disipativos de energa del tipo lineal y no lineal. Encontrando quepara el caso del pndulo paramtrico con amortiguamiento lineal se obtuvo un com-portamiento similar al de la ecuacin de Mathieu con disipacin lineal. En este casose obtuvo que las lenguas de Arnold se despegan del eje vertical. Por lo que las solu-ciones que estn por debajo de tales lenguas se amortiguan exponencialmente hastaalcanzar el reposo y las soluciones que estn por encima de las lenguas crecen expo-nencialmente. Mostrando asi que tales soluciones son inestables. Y para el caso delpndulo con excitacin paramtrica y con un amortiguamiento no lineal de la forma || , se tiene que la amplitud de oscilacin alcanza un estado estacionario , es deciralcanza una amplitud limite, por lo que tenemos que sus soluciones son asinttica-mente estables, adems se encontr que la amplitud es directamente proporcional asu parmetro de excitacin e inversamente proporcional a su amortiguamiento.

3. El pndulo paramtrico con amortiguamiento no lineal, nos arroja un resultadoimportante y de inters cientfico, el cual es el de poder disear un pndulo conla caracterstica que aunque se tenga la resistencia del aire, podamos mantener elmovimiento dinmico de dicho pndulo al introducir una variacin peridica en lalongitud de dicho pndulo. Tal diseo es novedoso, ya que como sabemos a difer-encia de mantener un Pndulo de Foucault en oscilacin constante al ponerlo sobreuna bobina, cuyo nico propsito es el de restaurar la energa perdida debida a lafriccin del aire mediante la repulsin de cargas. Este pndulo solo es mantenido enmovimiento debido al efecto de resonancia.

34

Apndice:

A. Ecuacin del Pndulo de Foucault (Coordenadas Esfricas)

A continuacin se har uso de la formula de la velocidadV =

V +

r , la cual nos relaciona

las velocidades relativas entre dos sistemas de referencia O y O. Tal propsito de usar esta formulaes el de encontrar la ecuacin de movimiento del Pndulo de Foucault en coordenadas esfricas,esto se debe a que podemos encontrar ecuaciones de movimiento haciendo uso de la lagrangiana en laque su obtencin es basada en la geometra del problema a tratar, ya que con solo conocer la posiciny velocidad de alguna partcula, es posible su obtencin. En donde la lagrangiana se compone de la

energa cintica y energa potencial, es decir L = T U = 12mV 2U (r ) = cineticapotencial

.

Fijandonos en la figura 14.

X

Z

Y

X

Z

pi/2-

Z

X

m

l

Figura 14.

tenemos que la posicin r de la masa del pndulo con respecto al sistema XY Z el cual esta ancladoen la tierra es

r = [l sin () , 0, l l cos ()] = [l sin () , 0 , 2 l sin2 (/2)] . (1)Ahora para encontrar la posicin r de la masita en el sistema X Y Z es necesario aplicar una matrizde giro al vector r sobre el eje Y con un giro de pi

2 donde es la latitud de la tierra, esto es

equivalente a realizar un cambio de base del sistema XY Z al sistema X Y Z .

r =

cos(pi

2 )

0 sin(pi

2

)0 1 0

sin(pi

2 )

0 cos(pi

2

) l sin ()0

2 l sin2 (/2)

=

sin () 0 cos ()0 1 0 cos () 0 sin ()

l sin ()02 l sin2 (/2)

y entonces

r = [l sin () sin () + 2 l cos () sin2 (/2) , 0 , l cos () sin () + 2 l sin () sin2 (/2)] (2)35

Ahora si se quiere encontrarV es suficiente hacer

V =

dr dt

, entonces

V = l [sin (+ ) , 0 , cos (+ )] (3)

Tambin se tiene que el vector velocidad angular para un sitio en la tierra con latitud esta dado por

= [ cos(), 0 , sin()] . (4)

Por tanto

r =

i j k cos() 0 sin()l sin () 0 l l cos ()

= [0, l cos () + l cos () cos () l sin () sin () , 0] (5)

y simplificando (5) obtenemos que

r = [0, l cos () + l cos (+ ) , 0] . (6)

Por consiguiente ya una vez que se ha encontradoV y

r y como tenemos que V = V + r ,

entoncesV es

V =

[l sin (+ ) , l cos (+ ) l cos () , l cos (+ )

](7)

y por tanto

V 2 = l2 2 + [l cos (+ ) l cos ()]2 (8)En donde la energa cintica T es:

T =1

2mV 2 (9)

T =1

2m{l2 2 + [l cos (+ ) l cos ()]2

}(10)

y la energa potencial U es:

U = mg [l l cos ()] . (11)

Por lo tanto el lagrangiano esta dado por

L =1

2m{l2 2 + [l cos (+ ) l cos ()]2

}mg [l l cos ()] . (12)

Entonces la ecuacin de movimiento estar dada por la ecuacin de Euler Lagrange

d

dt

(L

) L

= 0. (13)

36

y al realizar tales sustituciones en (13) y simplificando llegamos a que la ecuacin de movimiento es

+ 2 sin () + 2 cos (+ ) sin (+ ) 2 cos () sin (+ ) = 0 . (14)

Y de acuerdo a la ecuacin anterior la podemos tambin escribir como

+ 2 sin () +2

2[sin (2) cos (2) + cos (2) sin (2)]

(15)

2 cos () [sin () cos () + cos () sin ()] = 0

Pequeas Oscilaciones

ahora para encontrar la ecuacin de movimiento en Pequeas Oscilaciones, de (15) hagamos a muypequeo, lo suficiente para poder decir que sin () , cos (2) 1 y sin (2) 2. y por tanto laecuacin (15) con pequeo es

+ 2 +1

22 [sin (2) + (2) cos (2)] 2 cos () [sin () + cos ()] = 0. (16)

Y simplificando (16 ) llegamos a

+ 2 2 sin2 () = + [2 2 sin2 ()] y definiendo a 2 sin2 () como 2z, tenemos que la ecuacin de movimiento en Pequeas Oscilacionesesta dada por

+(2 2z

) = 0 (17)

37

ndice alfabticoaceleracin centrpeta, 17aceleracin centrpeta , 7aceleracin de Coriolis, 10aceleracin de Coriolis, 7aceleracin relativa, 5amortiguamiento lineal, 13, 23amortiguamiento no lineal, 32, 33amplitud, 4, 13, 32, 33

coordenadas cartesianas, 7coordenadas cilndricas, 14coordenadas esfricas, 9, 35coordenadas polares, 30

diagrama fase, 16, 22, 30, 32, 33

energa cintica, 13energa potencial, 13escalas mltiples, 20

formulacin lagrangiana, 4, 13fuerza de Coriolis, 3

latitud, 8

Pndulo de Foucault, 35, 13pequeas oscilaciones, 9, 15, 16, 19Periodo del Pndulo de Foucault, 12periodo T, 12perturbacin, 13puntos de equilibrio, 17, 19

sistema inercial, 4sistema no inercial, 4sistemas de referencia, 6sistemas inerciales, 4

trminos despreciables, 17trminos seculares, 21, 22

velocidad angular terrestre, 8velocidad relativa, 5, 14

38

Referencias

[1] D.W. Jordan and P. Smith. 1999. Nonlinear ordinary differential equations: An introduction todynamical systems Third Edition, Oxford.

[2] Landau y Lifshitz. 1994. Fisica Terica Volumen I Segunda edicin , Revert.

[3] V.I. Arnold. 1989. Mathematical Methods of Classical Mechanics Second Edition, Springer- Verlag

[4] Marcelo Alonso y Edward J. Finn. 1976. Fsica Volumen I: Mecnica Edicin revisada y aumentada,Fondo educativo interamericano, S. A.

[5] Alexander khein and D.F. Nelson Department of Physics worcester Polytechnic Institute, Worcester,Massachusetts 01609.

[6] Ferdinad Verhulst. Methods and Applications of Singular Perturbations: Boundary Layers and Mul-tiple Timescale Dynamics, Springer

39

1 Introduccin:1.1 Objetivos:

2 Sistemas de referencia inerciales y no-inerciales :2.1 velocidad relativa y aceleracin relativaequationsubsection

3 Ecuacin del Pndulo de Foucault ( Coordenadas Cartesianas )3.1 Pequeas Oscilaciones3.2 Periodo del Pndulo de Foucault

4 Formulacin lagrangiana en un sistema de referencia:equationsection4.1 Lagrangiana en Coordenadas Cartesianas:4.2 Lagrangiana en coordenadas cilndricas:equationsubsection4.2.1 Lagrangiana para oscilaciones pequeas4.2.2 Lagrangiana para oscilaciones no pequeas

5 Resolucin a las ecuaciones de movimiento del Pndulo de Foucault mediante el mtodo de escalas mltiples6 Aplicacin del concepto de Resonancia Paramtrica a las ecuaciones de movimiento del Pndulo de Foucault con un amortiguamiento lineal7 Aplicacin del concepto de Resonancia Paramtrica a las ecuaciones de movimiento del Pndulo de Foucault con un amortiguamiento no lineal.8 Conclusiones Apndice:A. Ecuacin del Pndulo de Foucault (Coordenadas Esfricas)