extensor de brazo z

7/22/2019 Extensor de Brazo Z

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Universidad de los llanos. Duarte, Mosos. Diseo de un controlador para un extensor de brazo usando compensadores de adelanto atrasoen tiempo continuo y tiempo discreto

Unillanos 2012 Especializacin en instrumentacin y control industrial

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ResumenExoesqueleto mecnico o exoesqueleto robot

es un armazn metlico externo que ayuda a moverse a suportador y a realizar cierto tipo de actividades, como lo es el

cargar peso, por lo tanto los extensores se definen como untipo de robots manipuladores que aumentan la fuerza de unbrazo humano mientras mantienen el control humano de latarea, sin embargo es necesario mantener un control fino sobreel sistema para que los movimientos del actuador seandelicados sin disminuir su efectividad.

ndice de TrminosActuador, Compensador, Control,Sistema, LGR.

I. INTRODUCCIN

El control es un rea de la ingeniera que se centra en elcontrol de los sistemas dinmicos mediante el principio de larealimentacin, para conseguir que las salidas de los mismosse acerquen lo ms posible a un comportamiento predefinido,en la ingeniera de control moderna se usan circuitoselectrnicos que pueden ser modelados fcilmente ya que sucomportamiento puede ser descrito mediante ecuacionesmatemticas y en gran parte de los casos para ciertosintervalos de valores se pueden considerar sistemas lineales einvariantes en el tiempoLTI, si bien esto no es cierto del todo,manejar modelos LTI ayuda a simplificar los procesosmatemticos que describen el comportamiento real del sistemay es una muy buena aproximacin a la realidad, solo en casos

donde es necesario hacer procesos de control ms delicados ydetallados no es posible hacer este tipo de aproximaciones.

El control aplicado en la industria se conoce como control deprocesos. Se ocupa sobre todo del control de variables comotemperatura, presin, caudal, etc, en un proceso qumico deuna planta. La ingeniera de control es un rea muy amplia ycualquier ingeniera puede utilizar los mismos principios ytcnicas que esta utiliza, es una disciplina que se focaliza enmodelar matemticamente una gama diversa de sistemasdinmicos y el diseo de controladores que harn que estossistemas se comporten de la manera deseada.

El objetivo del control automtico es poder manejar con una oms entradas, una o ms salidas de una planta o sistema, parahacerlo, bsicamente existen dos posibilidades que son elcontrol en lazo abierto en donde el proceso es controlado de

una manera predeterminada y donde no se tiene conocimientode las seales de salida para hacer los ajustes necesarios dondesea requerido. Un ejemplo clsico de control en lazo abierto esuna lavadora de ropa ya que sta funciona durante un ciclopredeterminado sin hacer uso de sensores.

Otra forma de hacer control sobre un sistema y que de hechoes la ms ampliamente implementada, es el concepto defeedback o realimentacin, en que se usa la medicin de lasalida del sistema, como otra entrada del mismo, de tal formaque se puede disear un controlador que ajuste la actuacinpara variar la salida y llevarla al valor deseado, este tipo decontroles son ms eficientes, pero a su vez son tambin mas

costosos, ya que se debe incluir sensores y/o transductores quedeben proporcionar un valor de la salida en el dominio de laentrada de referencia, tambin su diseo es ms complejo,pero estas desventajas son ampliamente superadas por sueficiencia.

II. REDESDECONTROLADORESYELLUGARGEOMETRICODELARAICES

El objetivo principal es presentar los procedimientos para eldiseo y la compensacin de sistemas de control de unaentrada y una salida e invariantes con el tiempo.

La compensacin es la modificacin de la dinmica delsistema, realizada para satisfacer las especificacionesdeterminadas.

Los sistemas de control se disean para realizar tareasespecficas. Los requerimientos impuestos sobre el sistema decontrol se detallan como especificaciones de desempeo. Porlo general se refieren a la precisin, la estabilidad relativa y lavelocidad de respuesta. Para problemas de diseo rutinarios,las especificaciones de desempeo se proporcionan entrminos de valores numricos precisos.

Al desarrollar un sistema de control, sabemos que lamodificacin adecuada de la dinmica de la planta puede ser

Diseo de un controlador para un extensor de brazo

usando compensadores de adelanto atraso entiempo continuo y tiempo discretoIng. Duarte Brito, Ivn. Lic. Mosos Ramos, Edwin

Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera - Universidad de los LlanosVillavicencio - Colombia

[email protected], [email protected]


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una forma sencilla de cumplir las especificaciones dedesempeo. Sin embargo, tal vez esto no sea posible enmuchas situaciones prcticas, debido a que la planta est fija yno pueda modificarse. En este caso, deben ajustarse

parmetros diferentes a los que tiene la planta fija. Se suponeque la planta est definida y es inalterable.

El enfoque del lugar geomtrico de las races es muy poderosoen el diseo cuando se incorporan las especificaciones entrminos de las cantidades en el dominio del tiempo, talescomo el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencianatural no amortiguada de los polos dominantes en lazocerrado, el sobrepaso mximo, el tiempo de levantamiento y eltiempo de asentamiento, si se requiere de un ajuste diferente alde la ganancia, debemos modificar los lugares geomtricos delas races originales insertando un compensador conveniente.Una vez comprendidos los efectos de la adicin de los polos

y/o ceros sobre el lugar geomtrico de las races, podemosdeterminar con facilidad las ubicaciones de los polos y losceros del compensador que volvern a dar una formaconveniente al lugar geomtrico de las races.

Efectos de la adicin de polos. La adicin de un polo a lafuncin de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalarel lugar geomtrico de las races a la derecha, lo cual tiende adisminuir la estabilidad relativa del sistema y alentar elasentamiento de la respuesta.

Efectos de la adicin de ceros. La adicin de un cero a lafuncin de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalarel lugar geomtrico de las races hacia la izquierda, con lo cualel sistema tiende a ser ms estable, y se acelera elasentamiento de la respuesta.

En el diseo de compensadores se busca que el sistemacontrolado tenga un comportamiento estable para un granrango de ganancia, haciendo que sea menos susceptible a loscambios de los factores propios de la planta o del sistema decompensacin, que por efectos de deterioro durante el tiempode operacin puedan repercutir en la estabilidad del sistemacontrolado.

Redes De Compensacin

Se trata del diseo de un controlador que combine las ventajasde adicionar ceros y polos a la planta para ajustar sufuncionamiento a unas especificaciones de diseo dadas, de talmanera que satisfaga la siguiente funcin de transferencia.

Donde

Kces la ganancia de compensacin.zes el cero de compensacin.p es el polo de compensacin.

El comportamiento del compensador para las distintasfrecuencias que afectan el sistema se puede determinarmediante los valores dezypde la siguiente manera.

Para bajas frecuencias cuando 0 el comportamiento delcompensador est determinado por:lim lim

Entonces el comportamiento del compensador depende suspolos y ceros.

Para altas frecuencias cuando el comportamiento delcompensador est determinado por:

lim lim

Entonces su comportamiento solo depende de su ganancia.

Ahora si observamos el comportamiento del compensadorpara cundo , tendremos que el compensador puedeagregar un desfase a la seal, que puede ser en adelanto o enatraso dependiendo dezyp.

tan

! tan

Siz< p, entonces se tiene una red de adelanto de fase, ya queel ngulo resultante es (+) positivo.

Siz>p, entonces tenemos una red de atraso de fase, ya que elngulo resultante es (-) negativo.

En un compensador de adelanto de fase se logra mejorar larespuesta transitoria del sistema adaptando el lugar geomtricode las races del sistema original, el cero del compensadormodifica elLGRhacindolo ms estable mientras que el polose ubica lejos a la izquierda del cero para que no influya de

manera significativa en la modificacin delLGRhecho por elcero.

En cambio un compensador de atraso de fase se implementacuando se desea lograr una respuesta en estado estable sinmodificar elLGR y generalmente se ubican sus polos y ceroscercanos entre si y en la vecindad del origen.

La compensacin de atraso-adelanto combina las ventajas delas compensaciones de atraso y de adelanto. Dado que elcompensador de atraso-adelanto posee dos polos y dos ceros,tal compensacin aumenta en dos el orden del sistema, amenos que ocurra una cancelacin de polos y ceros en elsistema compensado.


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III. DISEODEUNCONTROLADORENTIEMPOCONTINODEADELANTO

ATRASOUSANDOELENFOQUEDELLGR

Los actuadores mecnicos, en particular los extensores debrazos son dispositivos que buscan dotar de mayorescapacidades al ser humano, bien sea por mejorar su fuerza opara poder manipular objetos en lugares donde las condicionesambientales son nocivas para la salud.

Aqu entonces, se pretende hacer el diseo de un controladorpara este tipo de dispositivos teniendo como partida la funcinde transferencia en lazo abierto del sistema mostrado en lafigura 1a y representado por el diagrama de bloques de lafigura 1b.

Figura 1

Sea entonces G(s)la funcin de transferencia de la planta enlazo abierto.

"# $0%0& $Podemos ver que el sistema en si tiene 3 races en elsemiplano izquierdo ubicadas en.

S1,2,3=0,-0.5,-20

Por lo que podramos deducir que el sistema es estable, sinembargo al realizar la simulacin del sistema en lazo abierto auna entrada escaln vemos que su respuesta tiende a crecer demanera indefinida, por lo que el sistema como tal es inestablecomo se puede apreciar en la figura 2.

Figura 2: Respuesta en lazo abierto del sistema.Una vez identificado la inestabilidad del sistema en lazoabierto se procede a verificar su funcionamiento en lazocerrado con realimentacin unitaria, donde podemos observarde manera grafica como el sistema se vuelve estable pero conun tiempo de asentamiento bastante grande y unasoscilaciones que no son deseadas en este tipo de actuadoresmecnicos como se puede apreciar en la figura 3.

Figura 3: Respuesta en lazo cerrado del sistema.

En este punto es necesario definir algunos criterios para a finde comenzar con el diseo del compensador que modificar larespuesta del sistema para que acte de la manera deseada.

Dentro de las consideraciones de diseo podemos establecerciertos parmetros de comportamiento del sistema en eldominio de la frecuencia asumiendo valores en el dominio deltiempo, es por eso que para este sistema se desea que susobrepaso mximo sea del 16%, un amortiguamiento de 0.5, eltiempo de asentamiento con un criterio del 2% sea de 1.6s y suconstante de velocidad sea de 80 s-1.

= 0.5 ts = 1.6 s

Mp= 16% Kv= 80 s-1

La primera aproximacin al diseo de un compensador esasumir que con variar la ganancia del sistema ser suficiente,por lo que se debera agregar un compensador de la manera:


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4

Aunque este tipo de compensadores son poco usados ya que

tienen efectos sobre el error de estado estable, en algunoscasos con solo hacer una variacin de la ganancia podrasatisfacer los criterios de diseo, por lo tanto veremos cmo esel comportamiento del sistema con este tipo de compensador.

Figura 4: Variacin del factor de ganancia en el compensadorNegro con Kc =1; Azul con Kc = 2 ; Verde con Kc = 3

En la figura 4 podemos observar que con solo ajustar laganancia en el compensador proporcional no podemossatisfacer las consideraciones de diseo que se establecieron

originalmente, por lo que aqu debemos usar otros enfoquesque nos permitan tener en cuenta estas consideraciones.

Para esto usamos el LGR del sistema con el propsito deobservar el comportamiento de las races y poder definir elmtodo de compensacin necesario.

Figura 5: LGR del sistema en lazo cerrado sin compensador

Como podemos observar en la grafica los polos del sistema enlazo cerrado estn cerca del origen y las curvas que puedenseguir estos polos al aumentar la ganancia del sistema tiendenhacia el semiplano derecho del LGR es necesario agregarpolos y ceros al sistema de tal manera que podamos tener un

sistema compensado con unos polos dominantes en elsemiplano izquierdo.

Considerando el efecto que tiene un cero de atraer el LGRdel

sistema hacia la izquierda hacindolo ms estable que en lagrafica de la figura 5 podemos ver que la interseccin de lasasntotas de los polos tienden a cruzar el eje real en un valorde s = -6, por lo que podramos hacer una primeraaproximacin al compensador agregando un cero en estepunto.Entonces la FTdel compensador quedaria

'

Figura 6: LGR compensado con cero en s = 6

Figura 7: Respuesta al escaln unitario del sistema

compensado con un cero en s = -6

En la figura 6 podemos observar que al agregarle un cero alsistema mediante el compensador, hemos logrado dos efectossobre la planta, considerando la respuesta del sistema en lazocerrado sin compensador como se muestra en la figura 3 alagregar el compensador con un cero en s = -6 se logro reducirel sobre impulso de un 80% a tan solo 45% y se redujo eltiempo de establecimiento con el criterio del 2% de 25s a tansolo 2s como se observa en la figura 7 y que el LGR delsistema compensado mostrado en la figura 6 se observan unascurvas asintticas para los polos que no cortan el ejeimaginario dando como resultado un margen de ganancia

elevada.


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5

Aun cuando esta accin de agregar un cero en s = -6 al sistemanos da unas mejoras considerables en el funcionamiento delsistema, todava no se logra satisfacer las consideraciones dediseo establecidas inicialmente, pero si es un buen punto de

partida para hallar el compensador de adelanto atrasorequerido de la forma

() *+, -. -./1+*+, -. 12+ 3435Compensador de Adelanto.6 7 8 93:93Compensador de atraso.

() 7 8 ; $8; $

Abordar el diseo de controladores no tiene un algoritmodefinido o establecido como absoluto, pero si es convenientesaber el efecto que tiene el agregar un compensador deadelanto, atraso o adelanto-atraso sobre el sistema.Anteriormente habamos comentado el efecto de cada uno deestos compensadores sobre el sistema y adems de esohicimos una primera aproximacin podramos ver como es elcomportamiento de la respuesta cuando acercamos el cero alorigen.

Figura 8: Comportamiento de la respuesta al escaln unitariovariando el cero del compensador hacia el origen, Negro con

z = 6, Azul con z = 5; Verde con z = 4, Rojo con z = 2,Magenta con z = 1, Amarillo con z = 0

De la grafica de la figura 8 podemos observar que a medidaque acercamos el cero al origen la respuesta del sistema esms parecida a un sistema donde el factor de amortiguamientocrece, teniendo en cuenta las consideraciones de diseoestablecidas vemos que la respuesta que ms se acerca a ladeseada en el valor del sobre impulso mximo es cuando elvalor del cero esta en s = -2.

Figura 9: Comportamiento del LGR a medida que el cero seacerca al origen.

De la figura 9 podemos ver que a medida que el cero se acercaal origen el LGRtiende a estar ms en el semiplano izquierdoy que variar este cero no afecta el margen de ganancia delsistema compensado por lo que estas dos graficas podemosestablecer el cero del compensador de adelanto en s = -2quedando de la siguiente manera.

# A partir de este punto empezamos con el diseo delcompensador de adelanto teniendo en cuenta que el sistema harespondido de manera satisfactoria a un cero en s = -2.

Teniendo en cuenta que el sistema compensado deberesponder con unas caractersticas que se definieron en unprincipio, es necesario tenerlas en consideracin en esta partedel problema, para satisfacer que el diseo del compensadorcumpla con las consideraciones de =0.5; ts=1.6 s; Mp=16%;Kv= 80 s

-1.

Entonces vamos a considerar que el sistema debe respondercomo un sistema de segundo orden definido por la siguienteecuacin.

zp y Kd>1, generalmente para el diseo delcompensador en adelanto de fase, el cero zo delcompensador se ubica cerca de la ubicacin de uno de

los polos de la planta para la cancelacin polo-cero yel polo zpdel compensador se ubicar a la izquierdadel cero de modo que el lugar de races se mueva a laizquierda.

Figura 22: Respuesta del sistema en lazo cerrado sincompensador en tiempo discreto Ts=0.01s

Step Response

Time (seconds)

Am

plitude

0 5 10 15 20 25 30 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


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13

Figura 28: LGR con Compensador Gcd=(z -1)

Figura 29: Respuesta del sistema con CompensadorGcd=(z -1)

Las graficas de la 24 a la 30 muestran elcomportamiento del sistema cuando se agrega uncompensador Gcd=(z z0)buscando la cancelacin dealguno de los polos de la planta, tambin de esasgraficas podemos observar que el sistema respondemejor cuando el cero se ubica en Gcd=(z -0.995).

Sabiendo que el agregar un polo al sistema lo hace

menos estable es prudente escoger uncomportamiento conservador en el cero de tal maneraque la trayectoria de los polos en lazo cerrado delsistema este ms al interior del crculo unitario paraas poder garantizar un margen de ganancia alto alagregarle el polo al compensador.

R R !0%SS& ! 5

Tambin es importante ver que el tiempo de

establecimiento es bastante largo, pero esto se debercorregir al agregar el polo y determinar la ganancia

del compensador de tal manera que cumpla con losrequerimientos de diseo establecidos.

Una vez determinado el cero de la funcin esnecesario escoger el polo dentro del circulo unitarioteniendo en cuenta que para que sea un compensadorde atraso z0 debe ser mayor que zp, aqu esconveniente usar una herramienta que nos permita verel comportamiento del LGR, la respuesta enfrecuencia y la respuesta temporal del sistema, por loque haremos uso del toolbox de control de Matlab

Usando la herramienta sisotool podemos hacer losajustes necesarios en la posicin del polo delcompensador de tal manera que podamos lograr unarespuesta satisfactoria, hay que aclarar que debemos

ubicar el polo de manera manual hasta lograr larespuesta deseada.

Figura 30: LGR del sistema con patrn de ubicacinde polos segn condiciones de diseo = 0%&y Ts=

1.6s

De la grafica de la figura 30 podemos observar quelas curvas que describen los polos del sistema nointersectan el cruce de las curvas para = 0%& yTs = 1.6s por lo que no es posible satisfacer estoscriterios de diseo de manera exacta, pero podemosbuscar una respuesta que sea satisfactoria para el

sistema teniendo como limites superiores lascondiciones de diseo establecidas originalmente, detal manera que.

R R ! 0%SS& ! 0%KK Y

R $ !0%KK$!0%SS& @' Por lo que nuestro compensador quedara de lamanera.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

.8

.6

.4

.2

0

.2

.4

.6

.8

1

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

l i

Time (seconds)

Amplitude

0 2 4 6 8 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0

0.5

1

RealAxis

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

i


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14

R @' !0%SS&!0%KK

Figura 31: Respuesta al escaln unitario del sistemacompensado de manera digital.

De la grafica de la figura 31 se obtienen los siguientesvalores.

C $&%&B

1 0%KK

Figura 32: LGR del sistema Compensado con

R @' !0%SS&!0%KK

Figura 33: Respuesta en frecuencia del Sistemacompensado

De la figura 33 podemos ver que el margen de

ganancia del sistema compensado es de 13.5dB y elmargen de fase es de 52.5 Grados, de aqu en adelantepodemos hacer ajustes en la ubicacin de los polos yceros del compensador con la herramienta sisotool detal manera que logremos mejorar el margen deganancia sin desmejorar la respuesta en el dominiodel tiempo obtenida.

R S$ !0%SS#!0%J Con este nuevo compensador se obtienen los

siguientes datos.

C @%#B1 $%&S

Lo que todava cumple con los requerimientos dediseo originales.

Figura 34 : Respuesta a la entrada escaln del

sistema compensado con R S$ 4%zz74%q

Step Response

Time (seconds)

Amplitude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: Closed Loop r to y

I/O: r to y

Peak amplitude: 1.16

Overshoot (%): 15.5

At time (seconds): 0.37


I/O: r to y

Settling time (seconds): 0.769

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

.8

.6

.4

.2

0

.2

.4

.6

.8

1

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

i

100

101

102

103

104

0

5

0

5

0

5

0

P.M.: 52.5 deg

Freq: 7.23rad/s

0

0

0

0

0

0

0

0

0

G.M.: 13.4dB

Freq: 20.5rad/s

Stable loop

i

Step Response

Time (seconds)

Amplitude

0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I


Overshoot (%): 4.18



I/O: r to y

Settling time (seconds): 1.59


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15

Figura 35: LGR del sistema compensado

Figura 36: Respuesta en frecuencia del sistemacompensado

Una vez finalizado el diseo del compensador ydespus de hacerle los ajustes necesarios para mejorarel margen de fase y el margen de ganancia obtenemoslos siguientes resultados.

Margen de fase 68.6 Grados en comparacin con 52.5Grados inicialmente y margen de ganancia 23.4dB encomparacin con 13.5dB inciales, al hacer este ajustese sacrifico el tiempo de respuesta por una mayorestabilidad del sistema sin sobrepasar los lmitesimpuestos en los criterios de diseo.

El procedimiento para calcular el compensador de

atraso es similar al de adelanto teniendo en cuentaquezo


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16

polos y ceros del compensador en las cercanas de susubicaciones originales, para finalmente obtener elcompensador deseado y que estara determinado porla siguiente funcin de transferencia.

R{ #00 !0%S" ! 0%J ! 0%K& ! 0%'$

Figura 39: Respuesta del sistema al escaln unitariocon el compensador de adelanto-atraso

Figura 40: LGR de sistema Compensado con

controlador de Adelanto-atraso

Figura 41: Respuesta en frecuencia del sistemacompensado

En la figura 39 podemos observar que el Mp=16.1%y el ts=1.2s lo que satisface los criterios de diseoestablecidos originalmente en lo que respecta al sobre

impulso mximo y el tiempo de establecimiento al2%, ahora se debe verificar el valor del factor deamortiguamiento relativo que lo podemos obtener dela definicin del mximo impulso de la siguientemanera.

C . b

QbI 0%$'$ Entonces

= 0%@SK'@Y un ltimo anlisis en las graficas 40 y 41 nospermite observar que el margen de fase y de gananciadel sistema con el compensador de adelanto-atraso esgrande lo que nos garantiza una estabilidad delsistema compensado en un amplio espectro deganancia esttica.

Mf =58.3

Mg= 22dB

Entonces observamos que el agregar el compensadorde atraso no afecta considerablemente la respuesta delsistema pero nos garantiza una reduccin en el error

de estado estacionario.

Finalmente el diagrama de bloques del sistemacompensado quedara de la siguiente manera.

Figura 42: Diagrama de Bloques del sistema entiempo discreto

Dnde.

#00 !0%S" ! 0%J !0%K& !0%'$Y

5 $ k $0 p $%#'"7 @%"#$ $%$@@

q ! #%"$@ 7 #%'#" !0%"$@' Una vez finalizado el diseo del compensador deadelanto-atraso es bueno hacer una comparacin conla respuesta deseada del sistema segn los criterios dediseo que se establecieron en un principio, para esto

es bueno recordar que el sistema compensado debe

Amplitude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


I/O: r to y


Overshoot (%): 16.1



I/O: r to y

Settling time (sec onds): 1.23

-1 -0.8 -0.6 - 0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Root Locus Editor for OpenLoop 1(OL1)

RealAxis

Im

ag

Axis

10-2

10-1

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

P.M.:58.3 deg

Freq: 7.2 rad/s

Phase(deg)

-60

-40

-20

0

20

40

60

0

G.M.: 21.8 dB

Freq: 45.6 rad/s

Stable loop

Magnitude(dB)


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17

responder como un sistema de segundo orden comolo indica la siguiente ecuacin.

#&7 & #&

Al hacer el proceso de discretizacin con el mtododel retenedor de orden cero el sistema queda de lasiguiente manera.

0%00$##| 0%00$#07 ! $%S@S 0%S&$#

Figura 42: Respuesta al escaln del sistema deseadocon compensador

Figura 43: LGR del sistema deseado concompensador

Figura 44: Respuesta en frecuencia del sistemadeseado con compensador

Haciendo una comparacin final entre la respuestadeseada y la respuesta obtenida, podemos observarque la respuesta del sistema no es exactamente ladeseada, sin embargo los resultado obtenidos con elcompensador diseado son satisfactorios como sepuede observar en la siguiente tabla.

Criterio Deseado Diseado

Mp % 16% 16.1%ts(2%) 1.6s 1.2s

Mf 32 58.3Mg 21.5dB 22dB

} 0.5 0.49764Tabla 2: Cuadro comparativo de los valores

deseados y los valores obtenidos con el compensadordiseado.

V. CONCLUSIONES

Si bien no hay un mtodo definido para el diseo decontroladores s podemos establecer una secuencialgica que podra ser til para resolver problemas de

ingeniera, en el caso particular la manera de abordareste problema parti de la conjetura de poder lograruna estabilidad del sistema variando la gananciaesttica de la planta, en algunos casos esto es posiblesiempre y cuando se cumplan unas condiciones demargen de ganancia, en nuestro caso esto no fueposible, por eso fue necesario graficar el LGR paradeterminar la estabilidad del sistema.

Agregar ceros al sistema atrae el LGR al semiplanoizquierdo hacindolo ms estable, por lo que esrecomendable hacer este tipo de ajustescompensndolos mediante redes de adelanto, unaforma de escoger el cero del compensador deadelanto es ver cmo se comporta al ubicarlo en la

Time (seconds)

0 0.5 1 1.5 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

.8

.6

.4

.2

.2

.4

.6

.8

1

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

i

1-1

10

11

12

13

7

35

-90

-45

0

P.M.:32.1deg

Freq:9.73rad/s

-

-60

-40

-20

0

20

G.M.:21.5dB

Freq:31.9rad/s

Stableloop


18/18



18

interseccin de las asntotas con el eje real y acercarlode manera gradual al origen hasta tener una respuestacercana a la deseada del sistema.

Una vez obtenido el cero, se proceder a calcular elpolo del compensador que deber estar losuficientemente alejado del los polos de la plantapara que no sea considerado como un polo dominantey su efecto no sea significativo sobre el sistema.

Es necesario hacer ajustes de los valores z, p y Kcluego de calculados con ayuda de un software quenos permita ver el comportamiento del sistema a estavariaciones.

Un compensador de adelanto ser en gran parte de loscasos un buen sistema de control para una planta si se

desea obtener estabilidad y tiempos de respuestabastante cortos, si por otro lado necesita agregar unpoco mas de rigurosidad y hacer que el error delsistema cumpla con unas especificacionesparticulares, debera entonces agregar uncompensador de atraso de fase en serie con la planta.

Realizar controladores en tiempo discreto no difieremucho de las tcnicas usadas en tiempo continuo, esposible hacer analogas y se deben tener en cuenta elefecto que tiene agregar polos y ceros al sistema.

Hacer el proceso de discretizacin con un retenedorde orden cero agrega un polo al sistema en el bordedel circulo unitario, esto se debe al integrador que seagrega en serie con la planta por lo que es buenobuscar un cero en el compensador en las cercanas deuno de los polos de la planta buscando la cancelacincero-polo para lograr una estabilidad del sistema.

Agregar un cero en el controlador discreto tiene lapropiedad de arrastrar el LGR al interior del circulounitario, al igual que en tiempo continuo arrastraba elLGRal semiplano izquierdo haciendo el sistema msestable y reduciendo las oscilaciones y el tiempo deestablecimiento.

Conociendo el efecto que tiene el agregar polos yceros al sistema, es posible mediante el uso deherramientas sofisticadas para el diseo decontroladores ubicar los polos y ceros de formamanual y hacer variacin de la ubicacin de losmismos hasta lograr los valores deseados quegaranticen la estabilidad de la planta y losrequerimientos de diseo del controlador.

REFERENCIAS[1] Chi-Tsong Chen , Anolog and digital Control

systems desing, Saunders college publishing[2] Chi-Tsong Chen, Signals and Systems: A Fresh

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extensor de brazo z

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