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Expresiones Algebraicas y Teoría de Exponentes

EXPRESION ALGEBRAICA (E.A.)

Es una expresión matemática en la cual para la variable o variables sólo se definen las operaciones aritméticas (Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Radicación y Potenciación), en forma FINITA y sin variables como exponentes.

CONSTANTE : Son aquellas expresiones que

tienen un valor fijo. Generalmente se utilizan las primeras letras del abecedario para representarlas.

VARIABLE : Es un valor arbitrario o

desconocido, representa a una cantidad en forma general. Frecuentemente para representarlas, se utilizan Las últimas letras del abecedario.

Ejemplos: ����� 6�� 5 ; ���, ��� 29�� � � ��� ; � ��, ��� ����

��������� ���

RECUERDA: Si una expresión no cumple con una de éstas condiciones anteriores, es una expresión no algebraica o Trascendente. Ejemplos de expresiones NO algebraicas:

1) 3x - log x2 2) 1 + x - x2 + x3 - x4 + ... 3) 2x + sen2x – arctanx + 1

4)

=

aynx

4324

3412

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es una expresión algebraica previamente reducida donde no se define las operaciones de adición ni sustracción entre las variables. PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO:

1. Coeficiente (incluyendo al signo) 2. Parte literal o Parte variable. 3. Exponentes de las variables.

39 x−

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos términos que tienen la misma

parte literal, afectados de iguales exponentes.

Dos términos se pueden sumar o restar si son semejantes, para lo cual se suma o se restan los coeficientes y se escribe, la misma parte literal.

Ejemplos: yxyxyx 74;7;77 π− CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se clasifican tomando en cuenta los exponentes de las variables (clasificación por su naturaleza). Así: EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (EAR) Son expresiones en las cuales sus variables están

afectadas por exponentes enteros o también porque el subradical no tiene letras, pudiendo contener a su vez términos independientes.

Ejemplos: ü ���, ��� 2�� � 3��� ��� ü ����� 5�� � 35���� � 42�

Término independiente(puesto que �es la variable)

a) Expresión Algebraica Racional Entera

(EARE) Cuando los exponentes de sus variables son enteros positivos incluyendo el cero.

Ejemplos:

yxxyx −+ 32;6

4;34

b) Expresiones Algebraicas Racional Fraccionaria (EARF).- Cuando los

Exponente

Variable Coeficiente

160

exponentes de sus variables son enteros negativos.

Ejemplo:

34;37 −xyz

x

23

39

6 382xz

yzy

x+

+−

EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL (EAI) Son expresiones en las cuales las variables están afectadas por lo menos un exponente fraccionario (ℚ), es decir donde se define por lo menos una radicación que involucre a las variables.

Ejemplos:

3572

4;42;3 56 yzyxxyzx +

TEORÍA DE EXPONENTES

Potenciación: Es la operación que consiste en multiplicar un número, llamado base, tantas veces como otro número llamado exponente. Representación: Sea:

bbbbbbbppbn .................=⇒= “n” factores donde: b : base, b ∈ � � �0� n : Exponente (n ∈ �)

nb : n-ésima potencia de b.

Ejemplo: 2433.3.3.3.335 ==

Propiedades: 1. nmnm aa.a +=

2. nmn

ma

aa −= , a ≠ 0

3. ( ) nnn baab =

4. n

nn

ba

ba

=

; b ≠ 0

5. mnnmnm )a(a)a( ==

6. nn

a1a =− ; a ≠ 0

7. nn

ab

ba

=

−

; a ≠ 0 , b ≠ 0

8. n1

n aa =

9. nnn b.aba =

10. n

nn

ba

ba

= , b ≠ 0

11. mnnm

n m )a(aa ==

12. n pnmn pm a .aa .a =

13. pnmm n p aa =

CASOS PARTICULARES

1.- z.y.xp

c.y.xn

b.xm

ax y z pcnbma =

Ejemplo:

300)2)(3)(5(60

5.)3)(2(6

3.24

22 3 5 6056342 ==

2.- z.y.x pz)ny.m(a

x y z panama ++=

Ejemplo:

4312 4832.3.2 122)63.4(33 1236343 ==++=

5 factores 3

161

ECUACIONES EXPONENCIALES

Son igualdades donde la incógnita aparece en el exponente, y en otros como base y exponente. Diferentes formas de ecuaciones: 1.- Ley de bases iguales:

1a0a;yxyaxa ≠∧>∀=⇒= Ejemplo:

2/3x2x323x339x27 =∴=⇒=⇒= 2.- Ley de Exponentes iguales:

0x;baxbxa ≠∀=⇒= Ejemplo: 12x8)4x(383)4x(5123)4x( =∴=−⇒=−⇒=− 3.- Ley de simetría:

0ababaa b ≠∀=⇒= Ejemplo:

7x43x44)3x()3x(256)3x()3x( =∴=−⇒=−−⇒=−− 4.- { }0Rb,a0yxbxa y −∈∀==⇒= 5.- Formas Indeterminadas:

5.1) 1n........)1n(n)1n(n)1n(n +=∞++++++

5.2) n........)1n(n)1n(n)1n(n =∞−+−+−+

5.3) n

n nn nn n =

∞N

5.4) n nxn

nxxx =⇒=N

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Determinar los posibles valores de “a” para que

la expresión: 3z2ay

53

az2

6xz3 6yax8)z,y,x(E −+−= ; sea

racional entera.

a) { }6,4,2 b){ }5,3,1 c) { }6,3 d) { }3,2,1 e) { }6,4,2

Solución: La expresión es racional entera, si se cumple

que: 02a0a60

3a

≥−∧≥−∧≥

de donde:

2a;6a;3a ≥≤= Luego, se obtiene que : { }6,3a =

Rpta. Alternativa “c” 2. Simplificar:

3316333 3

33 4 273

4 33E

−−−

=

a) 1 b) 3 c) 9 d) 1/3 e) 3 3 Solución: Usando las propiedades de la teoría de exponentes

33).1633.(

3

4 3

41

27.3

3 3

3 3E

−−−

=

−

−−

−

=43

3.61

33

23

3.61

33.43

3

3E

13E −= = 1/3 Rpta. Alternativa “d”

162

3. Sea la expresión algebraica racional entera

7az5y

2a 3)2a(y.3ax)z,y,x(E

−−

+ −+=

Calcular uno de los valores de E(-2, -2, -2)

a) 152 b) 132 c) 212 d) 182 e) 202 Solución: La expresión es racional entera, si se cumple que:

0a702a03a ≥−∧≥−∧≥+ de donde:

7a;2a ≤≥

Esto es { }7,6,5,4,3,2a ∈

Al simplificar la expresión

a7z.3ay.3ax)z,y,x(E −++=

Luego:

a7)2.(3a)2.(3a)2()2,2,2(E −−+−+−=−−− ; “a” es impar, si a = 5,

Entonces: 18222.82.82)2,2,2(E ==−−−

Rpta. Alternativa “d”

4. Si los términos 3by12ax3)ba(2a)y,x(1E +−

++=

[ ] 1b4y)1a(2x4)ba(a)y,x(2E 2 −−−−= son semejantes, hallar la suma de sus coeficientes a) 0 b) 2 c) 5 d) 6 e) 7 Solución:

Por definición de términos semejantes:

)1a(212a −=− y 1b43b −=+

de donde: a = 1 y b = 4

Luego la suma de sus coeficientes es:

7184)2ba(a3)ba(2aS =−=

−−+

++=

Rpta. Alternativa “d”

5. Si : 1nn3n )x4()x2(x −+ == , calcular el valor de: n + x a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

Solución:

Si n3n )x2(x =+ , entonces 3n

2x =

Asimismo, si 1n3n )x4(x −+ = entonces 21n

2x−

=

Luego : 21n

3n

22−

= Usando la propiedad: yxaa yx =⇒= , de

ecuaciones exponenciales se tiene: 2

1n3n −

=

De donde: n = 3 y x = 2

Por tanto: n + x = 5

Rpta. Alternativa “b”