Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

Ejemplos

12.

)

2)

2)

2

32

2

xxyx

c

xyxb

xyxa

Tipos de Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas

Racionales Irracionales

Enteras Fraccionarias

Expresión Algebraica Racional

Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación

Ejemplo

312

.2

22

y

yxx

Expresión Algebraica Irracional

Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación

Ejemplo

yxx 2

Expr. Algebraica Racional Entera

Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.

Ejemplo

542 3 yyxx

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.

Ejemplo

31 2 yxx

Polinomios

Son las expresiones algebraicas más usadas.

Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:

a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn

Ejemplos de polinomios

A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre

paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

3

2

32

3)

31

)

xxb

xa

3

3

532)

21)

xxd

xc

Términos

Monomio : polinomio con un solo término. Binomio : polinomio con dos términos. Trinomio : polinomio con tres términos.

Cada monomio aixi se llama término.

El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an0.

A a0 se lo llama término independiente.

A an se lo llama término principal.

Ejemplos

El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).

No se le asigna grado.

Ejercicio

Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

2

13)

)3)(2()

1231

)

4

3

xc

xxb

xxa

132

)

312

)

52)

2

2

xxx

f

xxxe

xd

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son.

Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

2

2

33

)2()1()(

25)12(5)()

)()(;52)()

xbcxbaxQ

xxxPb

xbaaxQxxPa

Suma de Polinomios

Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.

Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

Propiedades de la Suma

Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento opuesto

Resta de Polinomios

Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).

P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]

Ejemplo: Restar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.

Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2

P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

Propiedades del Producto

AsociativaConmutativaExistencia de elemento neutro.

Algunos productos importantes

(x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2

(x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2

(x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

(x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3

(x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2

División de polinomios

Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.

Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

División entre números enteros

En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que

D = d . C + r 0 ≤ r < |d|

Si r=0 se dice que D es divisible por d.

División entre números enteros

Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:

29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues

29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6

29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues

29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|

¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

División de polinomios

Dados los polinomios

D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8

d(x) = 3x – 4

determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que

D(x) = d(x). C(x) + r(x)

de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)

-6x3 + 8x2

Ejemplo

6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4

2x2

0x3 - 9x2+ 15x

- 3x

9x2- 12x

0x2+ 3x - 8

+ 1

-3x + 4

0x - 4

6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

División de Polinomios

Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que

D(x) = d(x) . c(x)

Regla de Ruffini

3 -2 -5 -92

-3

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)

3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3

4x2 – 5x - 4x2 + 8x

3x – 9 -3x + 6

-3 3

6

4

8

3

6

3x3x33 – 2x – 2x22 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x – 5x – 9 = ( x – 2)(3x22 + 4x + 3) + (-3) + 4x + 3) + (-3)

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)

División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9 2 6 8 6 3 4 3 -3

1º operación : 3.2 -2 = 4

2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3

3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3

Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3

Raíces de un polinomio

Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0

Ejercicio:

Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5

Raíces de un Polinomio

Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.

Ejercicio: Calcular las raíces de

P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24

Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24

Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24.

Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)

2x2x33 – 2x – 2x22 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x – 16x + 24 = ( x – 2)(2x22 + 2x -12) + 2x -12)

Ver x=2 también es raíz de

2x2 + 2x -12

2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)