explicación de distribuciones

Universidad Tecnológica de TorreónOrganismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila

Estadística

Distribución de Bernoulli Distribución de Binomial Distribución de Poisson Distribución de Gamma Distribución de Normal

Distribución de T de Student

Procesos IndustrialesÁrea Manufactura

Alumno

Angel Alberto García Guerrero2° ``A´´

Matrícula: 1110289

Profesor

Lic. G. Edgar Mata Ortiz

A lunes 19 de marzo de 2012


ÍndiceDISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI.........................................................................1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL...................................................................................2

DISTRIBUCIÓN DE POISSON..............................................................................3

DISTRIBUCIÓN GAMMA.......................................................................................4

DISTRIBUCIÓN NORMAL......................................................................................6

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT.........................................................................9


Distribución de Bernoulli

Ésta distribución se caracteriza por tener solamente dos resultados, los cuales son:

Éxito: “p” Fracaso: “q = 1-p”

p (1 )=P (X=1 )=pp (0 )=P (X=0 )=1−p

Para todo ensayo de Bernoulli se define la variable X = 1 si el experimento es éxito, de lo contrario, X=0 que representa el fracaso.Solo hay dos resultados en una distribución de Bernoulli, éxito y fracaso.Todo lo anterior representa un “Ensayo de Bernoulli” y la serie de esos experimentos son denominados ensayos repetidos.

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Distribución Binomial

En una distribución binomial se extraen dos o más ensayos de Bernoulli, de ahí su nombre distribución “binomial”.La distribución binomial es una suma de n variables de Bernoulli, es decir, es una suma de dos o más ensayos de Bernoulli.

Para que sea una distribución binomial con n ensayos de Bernoulli entonces:

Los ensayos deben ser independientes (el resultado de un ensayo no influye en los resultados de los demás).

Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito. X es el número de éxitos en los n ensayos.

p ( x )=P (X=x )= n !x ! (n−x ) !

px (1−p)n−x

x=0,1 ,…,n

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Distribución de Poisson

Las probabilidades de la distribución binomial y de la distribución Poisson son casi iguales entre sí.Ésta distribución es una aproximación de la distribución binomial, porque cuando n es grande (el total o la masa o el todo) y p es pequeña (la probabilidad de una fracción o una parte de ese total, o esa masa o de ese todo) la función de esa masa depende por completo de la media np.

Esto conduce a la definición de la función de masa de probabilidad de Poisson.

p ( x )=P (X=x )=e−λ λx

x !

La fórmula anterior se aplica si x es un entero no negativo. De otro modo el resultado siempre sería 0.

La distribución Poisson es muy usada en los trabajos científicos.Es importante para ésta solución de probabilidades que la cantidad extraída de la suspensión no sea una fracción demasiado grande del total.

En dado caso se llegase a extraer toda la cantidad (toda la masa o todo el total) se tendría la certeza de que se retiraron todas las partículas, en lugar de las que se desea saber la probabilidad de extraer solo unas cuantas, por lo que la probabilidad de esas cuantas sería de cero.Si por ejemplo, de un líquido de 10 ml, por cada 1 ml hay 3 partículas, si se llegase a extraer esos 10 ml y se deseara saber cuál es la probabilidad de obtener 25 partículas en esos 10 ml, la probabilidad sería igual a cero, puesto que sabemos que por cada ml hay 3 partículas, en 10 ml habrán 30 partículas.

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Distribución Gamma

Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ (α), responsable de la convergencia de la distribución.

Para α>0, la función gamma se define como:

1. Para α>1: Γ (α)=(α−1)Γ (α−1) (Integración por partes)

2. Para cualquier entero positivo n: Γ (n)=(n−1 )!

3. Γ ( 12 )=√π

Decimos que una variable aleatoria x, sigue una distribución gamma si su “PDF” es:

Donde tanto β como α son positivos: (β ,α)>0

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Cuando β=1 a esta distribución le llamamos “Gamma Estándar”:

Valor Esperado:E ( x )=μ=αβ

Varianza: V ( x )=σ2=α β2

CASO ESPECIAL: Cuando α=1 la distribución gamma es una exponencial con

β=1λ

Si usamos la gamma estandarizada su función acumulativa “CDF” es:

Se usan tablas, conlleva una integración muy compleja.

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Distribución Normal

La distribución normal es la distribución más utilizada en la estadística. La media de una variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor positivo.La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con media µ y varianza σ2 está dada por:

f ( x )= 1

σ √2πe−¿¿

Se comprueba el hecho de que µ y σ2 son la media y la varianza, respectivamente. Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es normal con media µ y varianza σ2 , se expresa como:

X N (μ ,σ2)μx=μ

σ x2=σ 2

La figura presenta una gráfica de la función de densidad de probabilidad normal con media µ y desviación estándar σ. Algunas veces la función de densidad de probabilidad normal se le llama curva normal. Podemos observar que esta es simétrica alrededor de µ de tal forma que µ representa la mediana, así como la media.

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Cuando se trabaja con poblaciones normales, se convierte las unidades en las cuales se midió originalmente las unidades de la población a unidades estándar.

Se convierte a unidades estándar al restar la media y dividir entre la desviación estándar. Si x es una unidad seleccionada de una población normal con media µ y varianza σ2 , la unidad estándar equivalente a x es el número z, donde:

z= x−μσ

A continuación se presentan varias tablas que nos muestran la conversión a unidades estándar cuando calculamos el valor de z.

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Distribución T de student

Ésta distribución se construye como la relación entre dos variables, una de ellas la que está en el numerador y la otra que está en el denominador ambas son independientes entre si.

De éste modo al cociente se llama una distribución t de student con n grados de libertad.

Tiene una media que es igual a 0 y su varianza se obtiene mediante ésta relación cuando los grados de libertad son mayores a dos.

En el caso de la siguiente distribución tiende a una normal con media cero y desviación típica de uno en el caso que aumenta los grados de libertad para n > 30 ya se obtiene una buena aproximación.

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Aquí vemos dos funciones de densidad para dos t de student diferentes, una con 5 grados y otra con 50 grados de libertad, ambas tienen la media en cero.

La distribución t de student tiene una media de cero, es simétrica respecto a la media y se extiende de -∞ a +∞ y la varianza de t para valores de n mayores a 2.

Cuando los grados de libertad son suficientemente grandes la varianza de la distribución t de student tiende a 1.Tiene forma acampanada y simétrica.

No hay una distribución t, sino una familia de distribuciones t, todas con la misma media en cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n. Existe una distribución t para una muestra de 20, otra para una muestra de 22, y así sucesivamente.

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Al igual que la distribución Normal, en la distribución t de student también se utiliza una tabla.

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Grados de libertad

Probabilidad que dejan los grados de libertad


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