distribuciones de muestreo0

5/11/2018 Distribuciones de Muestreo0 - slidepdf.com

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Distribuciones de Muestreo

Johanna Amaya

Septiembre 26, 2011

Johanna Amaya () Distribuciones de Muestreo Septiembre 26, 2011 1 / 37

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Conceptos Básicos

Supongamos que estamos interesados en determinar el número promediode vehículos por hogar en la ciudad de Barranquilla.

Poblacion

Conjunto de personas u objetos de interés en una InvestigaciónEjemplo:

Muestra

Es una porción representativa de elementos de una población, elegidapara su examen o medición directa.

Generalmente es costoso el análisis de todos los datos, así que se hace

necesario realizar las mediciones de interés sólo en una porciónrepresentativa de la población e inferir de ella resultados quecorresponden a la población entera.

Ejemplo:

Johanna Amaya (UN-II) Distribuciones de Muestreo Septiembre 26, 2011 2 / 37

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Conceptos Básicos

ParámetroMedida usada para describir alguna característica de una población.

Ejemplos de estos son la media, varianza, proporción calculadosrespectivamente por:

=

N Xi=1

xi

N ; 2 =

N Xi=1

(xi )2

N ; p =

x

N

también se trabajarán diferencia de medias 1 2, cociente de varianzas21

22

; diferencia de proporciones p1 p2

Los parámetros no se conocen se estiman a partir de muestras.


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Conceptos Básicos

Estadísticos

Son medidas usada para describir alguna característica de una

muestra, representan una estimación de los parámetros. Ejemplos de estosson la media, varianza, proporción calculados respectivamente por:

x =

nXi=1

xi

n; s2 =

nXi=1

(xi x)2

n 1;

b p =

x

n

De igual forma existen estimaciones para la diferencia de medias x1 x2;cociente de varianzas

s21

s21

y diferencia de proporciones b p1 b p2


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Conceptos Básicos

Muestreo

Proceso de selección de muestras, se utiliza cuando no es posible contar omedir todos los elementos de la población objeto de estudio.

Muestra aleatoria

Una muestra es aleatoria cuando cada una de las posibles muestras detamaño n de la población tiene la misma probabilidad de serseleccionada.Una muestra aleatoria de tamaño n está conformada por un conjuntode variables aleatorias X 1; X 2;:::;X n donde X i representa el valor

obtenido en la i esima extracción, estas X i tienen la mismadistribución de probabilidad de la población y se cumple queE (X i) = ; V (X i) = 2 con y 2 media y varianza de lapoblación respectivamente.


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Conceptos Básicos

Tipos de Muestreo1 Muestreo no aleatorio o de juicio: Se emplea el conocimiento y la

opinión personal para identi…car aquellos elementos de la poblaciónque deben incluirse en la muestra.

2 Muestreo aleatorio o de probabilidad: En el cual todos loselementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos parala muestra.

a. Muestreo aleatorio simple: es un método de selección de muestras quepermite que cada muestra posible pueda ser elegida con la misma

probabilidad.b. Muestreo sistemático: los elementos que se muestrearán se seleccionan

de la población en un intervalo uniforme que se mide con respecto altiempo, al orden o al espacio.


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Conceptos Básicos

Tipos de MuestreoMuestreo aleatorio o de probabilidad:

1 c. Muestreo estrati…cado: la población se divide en grupos homogéneos, oestratos, y después se toma una muestra aleatoria simple de cada

estrato. Aquí la variabilidad dentro de cada grupo es pequeña y entrelos grupos es grande.d. Muestreo de racimo: la población se divide en grupos o racimos de

elementos, y luego se selecciona una muestra aleatoria de estosracimos. La variabilidad dentro de cada grupo es grande y entre losgrupos es pequeña; es como si cada racimo fuese un pequeñarepresentación de la población en si mima.

Ejemplo: Que tipo de muestreo usariamos en nuestro ejemplo?


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Conceptos Básicos

Muestra aleatoria

1 Cuando el muestreo es sin reemplazo cada una de lasN n

muestras

tiene una probabilidad de 1=N n de ser seleccionada, donde N y n

representan el número de elementos de la poblacion y de la muestrarespectivamente.

2 Cuando el muestreo es con reemplazo se cumple que las X ii = 1;:::;n son independientes y como tienen la misma distribución de

la población, se dice que las X i están idénticamente distribuidas (IID)


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Conceptos Básicos

Estimador y Estadística

Un estimador es una regla que establece cómo calcular una estimaciónbasada en las mediciones contenidas en una muestra.

X =1

n

n

Xi=1X i

Una estadística es cualquier función de las variables aleatorias que seobservan en una muestra.

Z =X

p n

Los términos estadística y estimador son utilizados indistintamente, esmás común referirse a un estimador cuando se emplea una estadística paraestimar un parámetro desconocido.En ambos casos n representa el tamaño de la muestra.


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Conceptos Básicos

Error Muestral

Es la diferencia entre el parámetro de la población y el estadístico de lamuestra utilizado para estimar el parámetro. Es la desviación estándar deun estimador.

Distribución muestral

Es una lista de todos los valores posibles de un estadístico y laprobabilidad asociada a cada valor. Esto es, es la distribución de

probabilidad de un estadístico.Se considerarán la distribución muestral de medias y la de proporciones.


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Distribución muestral de medias


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Es la distribución de probabilidad de todas las medias posibles de muestrasde un tamaño dado, n, de una población.

Casos

Caso I:Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de unapoblación normal de media y varianza 2 conocida , la variable

aleatoria X (media muestral) tiene una distribución normal de mediaX = y varianza 2

X = 2

n; de aquí que la variable aleatoria:

Z =X

p n

tiene una distribución normal estándar.Caso II: Lo anterior también es posible asegurarlo cuando lapoblación no es normal pero n 30 en virtud del Teorema del

límite central.


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Casos Continuación

Caso III: Si s2

representa la varianza de una muestra aleatoria de tamañon tomada de una población normal de media y

varianza 2 desconocida , la variable aleatoria:

T =

X sp n

tiene una distribución t con n 1 grados de libertad.Caso IV: Si la población no es normal pero n 30 , se puede

considerar que s2

representa una buena estimación para 2

y se tiene quela variable aleatoria:

Z =X

sp n

tiene una distribución normal estándar.


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Usos de la distribución

1 Calcular probabilidades asociadas a X:2 Realizar inferencias con respecto a la media poblacional .


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Ejercicio

Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen unaduración que se distribuye normalmente con media de 800h y desviaciónestándar de 40 h : Encuentre la probabilidad que una muestra aleatoria de16 bombillas tenga una vida promedio mayor de 775h :

Ejercicio

Un ingeniero químico a…rma que el rendimiento promedio de ciertoproceso en lotes es 500g = mm de materia prima. Para veri…car dichaa…rmación muestrea 25 lotes cada mes. Si el valor t calculado cae entre

t0;05 y t0;05 queda satisfecho con su a…rmación ¿Qué conclusión deberíaobtener de una muestra que tiene una media de 518g = mm y unadesviación estándar de 40 g = mm? Suponga que la distribución delrendimiento es aproximadamente normal.


D b l d d

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Ejercicio

El precio medio de ventas de una casa nueva en una ciudad es de $115;000con una desviación estandar de $25;000. Se toma una muestra aleatoria de

100 casas nuevas de esta ciudad:¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de ventasea menor de $110;000?¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre a menos de$500 de la media poblacional?


Di ib i d d l i

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Distribución de muestreo de la varianza

Varianza muestralSi s2 representa la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomadade una población normal de varianza 2; la variable aleatoria:

2 =(n 1)S 2

2

tiene una distribución chi cuadrado con n 1 grados de libertad.


1 Calcular probabilidades asociadas a S 2 o S:2 Realizar inferencias con respecto a la varianza o desviación estándar

poblacionales 2 y respectivamente.


Di ib ió d d l i

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Distribución de muestreo de la varianza

Ejercicio

Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen unaduración que se distribuye normalmente con una desviación estándar de40 h : Encuentre la probabilidad que en una muestra aleatoria de tamaño16 la desviación estándar sea superior a 42 h

Ejercicio

Un distribuidor de pinturas desea determinar si la máquina de llenado delas latas de pintura compradas a un fabricante en renombre en todo el paísestá trabajando satisfactoriamente. Se llenan 50 latas cuyo contenido debe

ser 1gal. Para ese tamaño de latas las especi…caciones establecen que ladesviación estándar es de 0;02 gal : Si en la muestra se encontró que ladesviación estándar fue de 0;025 gal. ¿Piensa que el dueño de la tiendatiene derecho a quejarse con el fabricante?¿ Porqué?.


Di t ib ió d t d l ió

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Distribución de muestreo de la proporción

Proporción muestral

Si p representa la proporción de éxito de una población binomial, entonces bP (proporción muestral) tiene una distribución normal de media bP = p

y varianza 2 bP = pqn

siempre que np 5 y nq 5 de aquí que lavariable aleatoria:

Z = bP pq pqn


Usos de la distribución1 Calcular probabilidades asociadas a bP

2 Realizar inferencias con respecto a p.


Di t ib ió d t d l ió

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Ejercicio

El jefe de control de calidad de una planta de producción de tornillosconsidera que el 4 % de la producción diaria se encuentra defectuosa. Se

seleccionó al azar 100 tornillos de la producción de un día.1 Determine la probabilidad que la proporción de tornillos defectuosos

en la muestra sea superior al 5 %

2 Si desea que la probabilidad pedida en la parte a sea de 0;1 ¿Qué

tamaño de muestra necesita?


Distrib ción de m estreo de la proporción

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Ejercicio1 Se toma una muestra de 250 casas de una población de edi…cios

antiguos para estimar la proporción de casas de este tipo.Supongamos que el 30 % de todos los edi…cios son antiguos. Hallar laprobabilidad de que la proporción de edi…cios antiguos esté entre 0;25

y 0;35.

2 Se ha estimado que el 43 % de los licenciados en economía consideranque es muy importante que se imparta un curso de ética en economía.De una población de 800 estudiantes se tomó una muestra de 80 y se

realizo un estudio para determinar si se aprobara el curso. Si paraaprobar la peticion de los licenciados se requiere que por lo menos el50 % este de acuerdo, considera usted que se aprobará?


Distribución de muestreo para la diferencia de medias

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CasosCaso I: Se toman muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y

n2 de dos poblaciones normales de medias 1 y 2 y varianzas 2

1y 2

2

conocidas la variable aleatoria X 1 X 2 (diferencia de medias

muestrales) se distribuye de forma normal con media X 1X 2 = 1 2

y varianza 2

X 1X 2=

21

n1+

22

n2de aquí que la variable aleatoria:

Z = X 1 X 2

(1 2)

q 21n1 + 2

2

n2




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Casos

Caso II: Se toman muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y

n2 de dos poblaciones no normales de medias 1 y 2 y varianzas 2

1y

2

2conocidas la variable aleatoria X 1 X 2 (diferencia de medias

muestrales) se distribuye de forma normal siempre que

n1 30 y n2 30 , su media y varianza están dadas respectivamente por

X 1X 2 = 12 y 2

X 1X 2=

21

n1+

22

n2, de aquí que la variable aleatoria:

Z = X 1 X 2 (1 2)q 21

n1+

22

n2

tiene una distribución normal estándar .



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Casos

Caso III: Si s21

y s22

representan las varianzas de muestras aleatorias

independientes de tamaños n1 y n2 de dos poblaciones normales de

medias 1 y 2 y varianzas 2

1y 2

2desconocidas pero iguales la

variable aleatoria:

T = X 1 X 2 (1 2)r s2 p

1

n1+ 1

n2

tiene una distribución t con n1 + n2 2 grados de libertad.

s2

p representa una varianza común, dada por la expresión:

s2 p =(n1 1)s2

1+ (n2 1)s2

2

n1 + n2 2



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Casos

Caso IV: Si s2

1 y s2

2 representan las varianzas de muestras aleatoriasindependientes de tamaños n1 y n2 de dos poblaciones normales de

medias 1 y 2 y varianzas 2

1y 2

2desconocidas y diferentes la

variable aleatoria:

T = X 1 X 2 (1 2)q s21

n1+

s22

n2

Tiene una distribución t con v grados de libertad, v se calcula mediante laexpresión:

v =

s21

n1+

s22

n2

2s21

n1

2

n11+

s22

n2

2

n21



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Casos

Caso V: Se toman muestras aleatorias dependientes de tamaños n dedos poblaciones de medias 1 y 2 la variable aleatoria:

T =

X 1 X 2

(1 2)sdp n

Tiene una distribución t con n 1 grados de libertad siempre que lasdiferencias D entre valores correspondientes estén normalmente

distribuidas, sd representa la desviación estándar de las diferencias entrevalores correspondientes. Se acostumbra expresar:

T =D d

sdp n

Con D = X 1 X 2 y d = 1 2



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1 Calcular probabilidades asociadas a X 1 X 2:2 Realizar inferencias con respecto a 1 2.



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Ejercicio

Dos aleaciones A y B se utilizan en la fabricación de cierto producto deacero. Se necesita diseñar un experimento para comparar las dos aleacionesen términos de la capacidad de la carga máxima en toneladas, es decir, elmáximo que pueden soportar sin romperse. Se sabe que las desviacionesestándar de la capacidad de carga de las dos aleaciones son iguales a 5toneladas. Se realiza un experimento en el que se prueban 30 especímenesde cada aleación y los resultados son: xA = 49;5; xB = 45;5Los fabricantes de la aleación A están convencidos de que esta evidenciademuestra de forma concluyente que A > B y que apoya sólidamente su

aleación. Los fabricantes de la aleación B a…rman que el experimentofácilmente podría haber dado xB xA = 4 incluso si las dos mediaspoblacionales fueran iguales. En otras palabras ¡Los resultados no sonconcluyentes!



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Ejercicio

1 Calcule P (X A X B > 4) considerando que A = B:

2 Determine si los fabricantes de la aleación B están equivocados.

3 ¿Considera que estos datos apoyan fuertemente la aleación A?



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EjercicioEl gerente de una re…nería piensa modi…car el proceso para producirgasolina a través de petróleo crudo. El gerente hará la modi…cación sólo sila gasolina promedio que se obtiene por este nuevo proceso (Expresadacomo un porcentaje del crudo ) aumenta su valor con respecto al proceso

en uso. Con base en un experimento de laboratorio y mediante el empleode dos muestras de tamaño 12 para el proceso en uso y una 13 para elproceso nuevo, la cantidad de gasolina promedio del proceso en uso fue de24;6 con una desviación estándar de 2;3 y para el proceso propuesto fue de

28;2 con una desviación estándar de 2;7. ¿Debe adoptarse el nuevoproceso?. Suponga que las poblaciones se distribuyen normalmente convarianzas son iguales.



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p

Ejercicio

Se a…rma que una nueva dieta reducirá el peso de una persona en un lapsode 2 semanas. Los pesos de 7 mujeres que siguieron esta dieta seregistraron antes y despues de un período de 2 semanas. Determine si ladieta es efectiva. Suponga que las diferencias de los pesos se distribuyende forma aproximadamente normal.

Mujer Peso antes Peso después

1 58;5 60;2

2 60;3 58;5

3 61;7 60;5

4 69;0 70;25 64;0 62;6

6 62;6 59;9

7 56;7 57;3


Distribución de muestreo para el cociente entre varianzas

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p

Cociente entre varianzas

Si s2

1 y s2

2 representan las varianzas de muestras aleatoriasindependientes de tamaños n1 y n2 de dos poblaciones normales de

varianzas 2

1y 2

2respectivamente, entonces la variable aleatoria:

F =

2

2S 21

2

1S 22

tiene una distribución F con v1 = n1 1 grados de libertad en elnumerador y v2 = n2 1 grados de libertad en el denominador.


1 Calcular probabilidades asociadas a S 21

y S 22

o S 1 y S 2:

2 Realizar inferencias con respecto a 2

1=2

2:


Distribución de muestreo para el cociente entre varianzas

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p

Ejercicio

Si S 21

y S 22

representan las varianzas de muestras aleatoriasindependientes de tamaños n1 = 25 y n2 = 31 tomadas de poblacionesnormales de varianzas 2

1= 10 y 2

2= 15; respectivamente, encuentre:

P

S 21=S 22 > 1;26

Ejercicio

Para el ejercicio de la re…neria, determine si la suposición de varianzasiguales fue válida.


Distribución de muestreo para la diferencia de proporciones

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p p p

Diferencia de proporciones

Se toman muestras aleatorias de tamaños n1 y n2 de poblacionesbinomiales con proporción de éxitos p1 y p2 la variable aleatoria bP 1 bP 2

(diferencia de proporciones muestrales) tiene una distribución normal

siempre que n1p1 5; n1q1 5; n2p2 5; n2q2 5 , su media yvarianza son respectivamente:

bP 1 bP 2 = p1 p2; 2 bP 1 bP 2 =p1q 1n1

+p2q 2n2

de aquí que la variable aleatoria:

Z = bP 1 bP 2 ( p1 p2)q

p1q1n1

+ p2q2n2




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1 Calcular probabilidades asociadas a bP 1 bP 2:2 Establecer inferencias con repecto a p1 p2:



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Ejercicio

Se desea determinar cuál de dos medicamentos A y B es más e…cazrespecto a su efecto calmante en pacientes postoperatorios. Se haencontrado que el 90 % de las personas que utilizan el medicamento A

asegura más de 8 horas de alivio mientras que para B es el 92 %. Se tienenregistros del número de horas de alivio para 130 pacientes tratados con elmedicamento A y 150 pacientes tratados con el medicamento B. Hallar laprobabilidad que el porcentaje de personas en los registros que tienen másde 8 horas de alivio con el medicamento A sea mayor que el porcentaje de

personas que tienen más de 8 horas de alivio con el medicamento B:


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