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Actividad 4Tcnicas de Conteo

Cundo en un experimento se nos presentan pocos resultados, es muy fcil contar y enumerar losresultados obtenidos. Por ejemplo, podemos citar el caso cuando se lanza un dado, sabemos que

hay 6 posibles resultados que se pueden obtener, tales como {1,2,3,4,5,6}; o en el lanzamientode una moneda, sabemos que podemos obtener 2 resultados distintos los cuales son {guila,sol}.

Mas sin embargo, hay situaciones en las que resulta tedioso enlistar todos los posibles resultadosque se pueden obtener en un experimento o una situacin dada, como por ejemplo, el nmerode hombres y mujeres en una clase de 30 alumnos, sera muy pesado listar y contar todas lasposibilidades.

Las posibilidades seran:Posibilidad 1 Que el grupo lo formaran 30 hombres y 0 mujeres.Posibilidad 2 Que el grupo lo formaran 29 hombres y 1 mujer.Posibilidad 3 Que el grupo lo formaran 28 hombres y 2 mujeres.

Posibilidad 4 Que el grupo lo formaran 27 hombres y 3 mujeres.Posibilidad 5 Que el grupo lo formaran 26 hombres y 4 mujeres.Posibilidad 6 Que el grupo lo formaran 25 hombres y 5 mujeres.Posibilidad 7 Que el grupo lo formaran 24 hombres y 6 mujeres.Posibilidad 8 Que el grupo lo formaran 23 hombres y 7 mujeres.Etc.

Para facilitar el conteo estudiaremos tres tcnicas sofisticadas de conteo:a. La tcnica de la multiplicacin.b. La tcnica de la permutacinc. La tcnica de la combinacin.

La Tcnica de la Multiplicacin

Empezaremos a explicar esta tcnica de una forma muy sencilla. Si hay mformas de hacer una cosa y hay nformas de hacer otra cosa, entonces podemos

decir que hay mx nformas de hacer ambas cosas. Si hay mformas de hacer una cosa, si hay nformas de hacer una segunda cosa y si hayp

formas de hacer una tercer cosa, entonces podemos decir que hay mx nxpformas dehacer las tres cosas.

Principio fundamental de conteo:Establece que el total de posibles resultados en una situacin dada se pueden encontrarmultiplicando el nmero de formas en la que puede suceder cada evento. Es decir, si se tienen k

eventos y el primer evento se puede realizar de n1formas diferentes, el segundo evento sepuede realizar de n2formas diferentes , el tercer evento se puede realizar de n3formasdiferentes,...., y el k-simo evento se puede realizar de nkformas diferentes, entonces los keventos pueden realizarse juntos en

n1x n2 x n3x n4x ....x nkformas.

El principio bsico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posiblesresultados cuando hay dos o ms caractersticas que pueden variar.

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Ejemplo 1.Un helado puede servirse en vaso o en cono, los hay de sabor fresa, chocolate o vainilla, concubierta de chocolate, caramelo, mermelada o sin cubierta. De cuantas maneras se puedepresentar el helado?

Solucin:Empecemos por definir los eventos

Evento 1 {Vaso, Cono}Evento 2 {Sabor Fresa, Vainilla, Chocolate}Evento 3 {Cubierta de Chocolate, Mermelada, Caramelo, Sin Cubierta}

Cuantifiquemos los elementos en cada Evento:N(E1) = 2 , significa que en el evento 1 slo hay 2 formasN(E2) = 3 , significa que en el evento 2 slo hay 3 formasN(E3) = 4 , significa que en el evento 3 slo hay 4 formas

Por tanto el helado puede presentarse de 2 x 3 x 4 = 24 formas diferentes

Ejemplo 2.Un turista desea visitar 4 Estados de Mxico, desea visitar en primer lugar El estado de NuevoLen, posteriormente visitar El estado de Quertaro, el tercer estado a visitar ser Hidalgo y elltimo estado ser Guanajuato; Si existen 7 rutas diferentes de Nuevo Len a Quertaro, 6 rutasdiferentes de Quertaro a Hidalgo y 8 rutas de Hidalgo a Guanajuato. Cuntas alternativas oposibles rutas se le presentan al Turista para realizar su viaje?

Solucin:Empecemos por definir los eventosEvento 1 Rutas entre Nuevo Len y QuertaroEvento 2 Rutas entre Quertaro e HidalgoEvento 3 Rutas entre Hidalgo y Guanajuato

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Cuantifiquemos los elementos en cada Evento:N(E1) = 7 formas diferentes de llegar de Nuevo Len a QuertaroN(E2) = 6 formas diferentes de llegar de Quertaro a HidalgoN(E3) = 8 formas diferentes de llegar de Hidalgo a Guanajuato

Por tanto el nmero total de alternativas o rutas para visitar los 4 estados es 7 x 6 x 8 = 336

formas o rutas diferentes.

Ejemplo 3.Un cdigo de identificacin de un producto se forma con 4 dgitos (del 0 al 9). Cuntos cdigosdiferentes se pueden formar considerando que si se pueden repetir los dgitos?

Solucin:Evento 1 1 dgitoEvento 2 2 dgitoEvento 3 3 dgitoEvento 4 4 dgito

Cuantifiquemos los elementos en cada Evento:N(E1) = 10, ya que hay 10 dgitos posibles a colocarN(E2) = 10, ya que hay 10 dgitos posibles a colocarN(E3) = 10, ya que hay 10 dgitos posibles a colocar

N(E4) = 10, ya que hay 10 dgitos posibles a colocar

Por tanto el nmero total de cdigos a generar es 10 x 10 x 10 x 10 = 10 4= 10,000.

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Ejemplo 4.Si en el ejemplo del cdigo de identificacin no es posible repetir los dgitos Cuntos cdigosdiferentes se pueden formar?

Solucin:Los eventos siguen siendo los mismos, la nica variante es que ya no se pueden

repetir los dgitos, es decir, el cdigo 1223 no va a ser considerado vlido, ya que el 2 se estutilizando 2 veces y la condicin del problema es que no se repitan caracteresCuantifiquemos los elementos en cada Evento:N(E1) = 10, ya que hay 10 dgitos posibles a colocarN(E2) = 9, ya que slo quedan 9 dgitos posibles a colocar, pues el usado en la posicin 1 delcarcter ya no se debe de considerar como disponibleN(E3) = 8, ya que slo quedan 8 dgitos posibles a colocar, pues los usados en la posicin 1 y 2del carcter ya no se debe de considerar como disponiblesN(E4) = 7, ya que slo quedan 7 dgitos posibles a colocar, pues los usados en la posicin 1,2 y 3del carcter ya no se deben de considerar como disponibles

Por tanto el nmero total de cdigos a generar es 10 x 9 x 8 x 7 = 5,040.

Ejemplo 5.Si Diana tiene 5 faldas, 3 sacos, 4 blusas y 2 pares de zapatos De cuntas maneras puede vestirasumiendo que todas las combinaciones son agradables?

Solucin:Los eventos seran:Evento 1 Faldas

Evento 2 SacosEvento 3 BlusasEvento 4 Zapatos

Cuantifiquemos los elementos en cada Evento:N(E1) = 5, pues tiene 5 faldasN(E2) = 3, pues tiene 3 sacos

N(E3) = 4, pues tiene 4 blusasN(E4) = 2, pues tiene 2 pares de zapatos.

Por tanto el nmero total atuendos o trajes que puede formar es 5 x 3 x 4 x 2 = 120.

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La Tcnica de la Permutacin

ConceptoPermutacin.Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno delos elementos que constituyen dicho arreglo (El orden si importa).Sea nel total de Elementos u objetos disponibles. Permutacin, es el nmero de formas en losque pueden acomodarse esos nelementos u objetos en trminos de orden.

Como vimos anteriormente la tcnica de la multiplicacin es aplicada para encontrar el nmeroposible de arreglos o formas para dos o ms grupos. La tcnica de la permutacin es aplicadapara encontrar el nmero posible de arreglos o formas distintas, donde hay slo un grupo deobjetos. Para dejar mas claro el concepto analizaremos el siguiente problema.

ProblemaTres componentes electrnicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - sern ensamblados enuna tablilla de una televisin. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. Decuntas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?

Solucin:Vamos a representar los nombres de los componentes electrnicos de la siguiente manera:Transistor TCapacitor CDiodo D

Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las

siguientes:Posibilidad 1 T D CPosibilidad 2 D C TPosibilidad 3 C T DPosibilidad 4 T C DPosibilidad 5 C D TPosibilidad 6 D T C

Por tanto existen 6 formas diferentes de ir ensamblando estos componentes electrnicos en unatablilla de un televisor, es decir, el espacio muestral sera el siguiente:

S = {TDC, DCT, CTD, TCD, CDT, DTC }

El nmero de permutaciones que pueden formarse con nobjetos diferentes es

Donde:n! = n * (n 1) *(n 2) *.....*(2)*(1)

Utilizando esta frmula para solucionar el problema anterior, entonces, el total de permutacionesseran 3!, ya que son 3 piezas que se desean ensamblar, que da como resultado 6.

Para poder utilizar esta frmula hay que considerar estas 3 condiciones:

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Sentran todos los elementos. Ya que el cdigo a formar es de 5 caracteres y slo haydisponibles 5 caracteresSimporta el orden. Ya que el cdigo 36T7U es diferente a 63T7U.Nose repiten los elementos. El problema nos pide que no repitamos caracteres en el cdigo.

Por tanto, debemos calcular el nmero de permutaciones, para poder determinar el nmero de

cdigos diferentes a obtener utilizando estos 5 caracteres.n= 5

Ejemplo 3Cuntas palabras diferentes se pueden formar con la palabra TRAVIESO?, y Cuntas palabrasdiferentes se pueden formar que empiecen con Ry terminen en O? Considerando que cada unade las letras se puede utilizar una sola vez y que cada una de las nuevas palabras que se formensea vlida.

Solucin:Parte 1.

Cuntas palabras diferentes se pueden formar con la palabra TRAVIESO?Veamos si se cumplen las 3 consideraciones.Sentran todos los elementos. Ya que las nuevas palabras van a ser tambin de 8 caracteres.Simporta el orden. Ya que la palabra TRAVISEO es diferente a TREVIASO.Nose repiten los elementos. El problema nos pide que no repitamos caracteres en la nuevapalabra.

Por tanto, como si se cumplen las 3 consideraciones, debemos calcular el nmero depermutaciones utilizando la frmula P = n!.Donden= 8, ya que son 8 caracteres.

Parte 2Cuntas palabras diferentes se pueden formar que empiecen con Ry terminen en O?

Por tanto hay que calcular las permutaciones que se obtienen con n= 6, ya que son loscaracteres disponibles.

Permutaciones con r elementos (r < n)

ConceptoSea rel nmero de elementos extrados de un grupo de nelementos u objetos disponibles. Sedice entonces, que una Permutacin es el nmero de formas en los que pueden acomodarse esos

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nelementos u objetos en grupos de relementos, en trminos de orden.Permutacin. Todos los arreglos de robjetos seleccionados de nobjetos posibles, el los cualeses importante el orden.

En ocasiones, se nos presenta el caso, en el cual slo se tienen respacios o lugares disponibles,mas sin embargo contamos con un total de nelementos, y deseamos a su vez conocer el total de

formas en que podemos acomodar estos nelementos con la restriccin de que no todos puedenutilizarse a la vez, solamente pueden participar relementos. Para estos casos, contamos con lasiguiente frmula

Donde:

nPr = Es el nmero de permutaciones considerando relementos de un total de nelementosn = Es el nmero total de objetosr= Es el nmero de objetos utilizados en un mismo momento

Nota:

Es importante sealar, que en algunos libros de textos se utiliza la siguiente simbologa

Ejemplo 4Suponga que hay ocho tipos de computadora pero slo tres espacios disponibles para exhibirlasen la tienda de computadoras. De cuntas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8mquinas en los tres espacios disponibles?

Solucin:Empecemos por definir quien es ny quien es r.n= Total de computadoras = 8.r= nmero de computadoras que se van a exhibir = 3.Entonces hay que calcular nPr = 8P3.

Ejemplo 5Cuntos cdigos de 5 caracteres se pueden formar considerando que todos los caracteres en elcdigo deben de ser diferentes, y que los caracteres a utilizar son A, 3, 6, T, 7, U, X, 9, Z?

Solucin:Empecemos por definir quien es ny quien es r.n= Total de caracteres disponibles = 9.r= nmero de caracteres en el cdigo = 5.

Entonces hay que calcular nPr = 9P5.

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Ejemplo 6Suponga que un saln de clase est constituido por 35 alumnos. El maestro desea que senombre a los representantes del saln (Presidente, Secretario y Tesorero). Determina de cuantasformas se puede construir este grupo de representantes.

Solucin:

En este problema se debe de utilizar permutaciones para poder resolverlo, ya que el orden esimportante, dado que El Alumno 1 puede ser Presidente, el Alumno 2 el tesorero y el Alumno 3Secretario, pero a otra persona se le puede ocurrir que el Alumno 2 sea el presidente, el alumno1 el tesorero y el alumno 3 el secretario (ste grupo sera diferente que el primero, aunque seanlas mismas personas), es por eso que se deben de utilizar permutaciones.

Adems podemos verificar que las 3 consideraciones para utilizar permutaciones se cumplenSentran todos los elementos. Ya que todos los alumnos pueden ser considerados.Simporta el orden. Por la explicacin en el prrafo anterior.Nose repiten los elementos. Ya que un mismo alumno no puede ocupar mas de un puesto en elgrupo de representantes.

Empecemos por definir quien es ny quien es r.

n= Total de alumnos disponibles = 35.r= nmero de integrantes en el grupo de representantes = 3.Entonces hay que calcular nPr = 35P9.

La Tcnica de la Combinacin

En una permutacin, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el ordende los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinacin. Porejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de ungrupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa elorden, los resultados sern permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funcionesdefinidas, entonces no importa el orden y los resultados sern combinaciones. Los resultados enambos casos son los siguientes:Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CBCombinaciones: AB, AC, BC

ConceptoCombinaciones: Es el nmero de formas de seleccionar robjetos de un grupo de nobjetos sinimportar el orden.

La frmula de combinaciones es:

Donde:

nCr = Es el nmero de combinaciones considerando relementos de un total de nelementosn = Es el nmero total de objetosr= Es el nmero de objetos utilizados en un mismo momento

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Nota:Es importante sealar, que en algunos libros de textos se utiliza la siguiente simbologa

Ejemplo 1

Si de un grupo de 6 personas se van a seleccin a 3 personas para que realicen una actividadespecial Cuntos grupos diferentes de 3 personas se pueden formar?

Solucin:Suponga que el grupo de personas son A, B, C, D, E y F, entonces el grupo ABC = BCA, por tantoel orden no importa.Para este cason= 6r= 3Hay que determinar nCr = 6C3

Por tanto hay 20 formas de generar grupos de 3 personas.

Ejemplo 2En una compaa se quiere establecer un cdigo de colores para identificar cada una de las 42partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes,de tal suerte que cada una tenga una combinacin de 3 colores diferentes. Ser adecuado estecdigo de colores para identificar las 42 partes del producto?

Solucin:Supongamos que los colores que se tienen son rojo, azul, blanco, negro, naranja, verde yamarillo y dada la condicin del problema, en que se desea que cada combinacin de colores seanica, esto significa que la combinacin rojo-verde-azul = verde-azul-rojo, por tanto, este

problema deber ser resuelto con combinaciones, ya que el orden no importa.

Identifiquemos ny r.n= 7 (ya que son los 7 colores disponibles)r= 3, ya que slo se van a usar 3 colores a la vezHay que determinar nCr = 7C3

El tomar 3 colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto, yaque las posibles combinaciones que se obtendran son 35.

Ejemplo 3Juanita invit a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero slo puede pasar a la mesa a6 personasa. De cuntas maneras los puede pasar a la mesa? si no le importa como queden acomodados.b. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidi sentarlos a la mesa juntos. Decuntas maneras los puede pasar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados losdems.c. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. De cuntasmaneras los puede pasar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los dems.

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Solucin:En los tres incisos nos ponen de condicin que no importa como queden acomodados los dems.Por tanto los 3 incisos se resuelven con combinaciones.

Caso a.Identifiquemos n y r

n = 10 (Total de Amigos)r = 6 (Lugares en la mesa)Hay que determinar nCr = 10C6

Por tanto existen 210 formas de pasar a sus amigos a la mesa en grupos de 6.

Caso b.Este inciso se resuelve de la siguiente manera. Juanita tiene 2 situacionesSituacin 1.Cuando pasa a la pareja en el grupoSituacin 2.Cuando la pareja no pasa en el grupo.Entonces, el total de formas ser la suma de las 2 situaciones.

Para la situacin 1, que es cuando la pareja es considerada en el grupo, hay que resolver

Explicacin:

Entonces:

Para la situacin 2, que es cuando la pareja no es considerada en el grupo, hay que resolver

Explicacin:

Entonces:

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Por tanto, el total de formas de pasarlos a la mesa ser:

Por tanto existen 98 formas de pasar a sus amigos a sentarse, considerando que la pareja debede pasar al mismo tiempo.

Caso c.En este caso, Juanita tiene 2 situaciones,Situacin 1.Que no pase ninguno de los 2Situacin 2.Que slo pase 1 de los 2.Entonces, el total de formas ser la suma de las 2 situaciones.

Para la situacin 1, que es cuando ninguno de los 2 pasa, entonces hay que resolver

Explicacin:

Entonces:

Para la situacin 2, que es cuando pase slo 1 de ellos, entonces hay que resolver

Explicacin:

Entonces:

Por tanto, el total de formas de pasarlos a la mesa ser:

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Por tanto existen 84 formas de pasar a sus amigos a sentarse, considerando que los 2 enemigosno deben de pasar juntos.

Probabilidad utilizando Tcnicas de Conteo.

Para poder calcular la probabilidad utilizando tcnicas de conteo, debemos aplicar la siguientefrmula:

Donde:A = Es el evento o condicin que se debe de cumplirh = El nmero de maneras de obtener una muestra dexelementos de los kque cumplen con lacaracterstica deseada

H = El nmero de formas de extraer una muestra con nelementos de una muestra mayor opoblacin N.

Ejemplo 1Se tienen en una bodega 15 artculos, de los cuales 4 son de importacin. Si se toman 3artculos. Cul es la probabilidad de que:a. Los 3 sean de Importacin?b. De que slo 2 sean de Importacin?Solucin:Caso a.Determinar la Probabilidad de que al extraer una muestra de 3 elementos, los 3 sean deimportacin. Entonces hay que evaluar

Donde:X = Nmero de Artculos de Importacin que se desean en la muestrah = # de formas en las cuales las muestras extradas tengan 3 piezas de importacinH = # de formas de extraer la muestra (estas muestras pueden tener artculos de Importaciny/o artculos de No-Importacin)

Datos:N = 15 (Tamao de la Poblacin)

n = 3 (Tamao de la muestra a extraer)k = 4 (Total de Artculos de Importacin en la poblacin)g = 15 4 = 11 (Total de Artculos de No-Importacin en la poblacin)

En base a los datos y dado que las muestras son de 3 elementos (n), entonces:h = # de muestras de 3 elementos que cumplen con la condicin de que las 3 piezas extradassean de Importacin, por tanto en estas muestras no hay artculos de No-ImportacinH = # de muestras de 3 elementos.

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En trminos matemticos, h y H se calcularan de la siguiente forma:

Explicacin

Entonces, Resolviendo cada una de las combinaciones que se requieren

Y sustituyendo estos valores en donde corresponde, tenemos que

Por tanto

Caso b.Determinar la Probabilidad de que al extraer una muestra de 3 elementos, 2 de ellos sean deimportacin. Entonces hay que evaluar

Donde:X = Nmero de Artculos de Importacin que se desean en la muestrah = # de formas en las cuales las muestras extradas tengan 2 piezas de importacinH = # de formas de extraer la muestra (estas muestras pueden tener artculos de Importaciny/o artculos de No-Importacin)

Datos:

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N = 15 (Tamao de la Poblacin)n = 3 (Tamao de la muestra a extraer)k = 4 (Total de Artculos de Importacin en la poblacin)g = 15 4 = 11 (Total de Artculos de No-Importacin en la poblacin)

En base a los datos y dado que las muestras son de 3 elementos (n), entonces:

h = # de muestras de 3 elementos que cumplen con la condicin de que 2 piezas extradas seande Importacin, por tanto en estas muestras hay 1 artculo de No-ImportacinH = # de muestras de 3 elementos.

En trminos matemticos, h y H se calcularan de la siguiente forma:

Explicacin

Entonces, Resolviendo cada una de las combinaciones que se requieren

Y sustituyendo estos valores en donde corresponde, tenemos que

Por tanto