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Exámenes de matemáticas aplicadas II del 17-18

9 de octubre de 2018

Índice

1. 1ª Evaluación. 1er Examen. (10/10/17) 2

2. 1ª Evaluación. 2º Examen Cálculo de derivadas (3/11/17) 4

3. 1ª Evaluación 3erExamen (27/11/2017) 63.1. 1ª Evaluación 3erExamen (27/11/2017). Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. 1ª Evaluación 3erExamen (12/12/2017) Kevin 11

5. 1ª Evaluación 40 Examen (5/12/2017) 13

6. 1ª Evaluación50 Examen (18/12/2017) 15

7. 1ª Evaluación. Recuperación del primer trimestre (22/01/2018) 17

8. 2ª Evaluación 6o Examen (02/02/2018) 198.1. 2ª Evaluación 5º Examen (3/02/2017) Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

9. 2ª Evaluación 7o Examen (2/03/2018) 239.1. 2ª Evaluación 6o Examen (10/03/2017) Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

10.2ª Evaluación 8o Examen (19/03/2018) 27

11.2ª Evaluación. Recuperación 2ª Evaluación (9/04/2018) 30

12.3ª Evaluación 9o Examen (13/04/2018) 3312.1. 3ª Evaluación 9o Examen (13/04/2018) Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.3ª Evaluación 9o Examen Daniel (17/04/2018) 37

14.3ª Evaluación 10o Examen (10/05/2018) 3914.1. 3ª Evaluación 10o Examen (4/05/2018) Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15.3ª Evaluación 10o Examen (10/05/2018) Manu 46

1

IES Puntagorda Curso 2017-2018

1. 1ª Evaluación. 1er Examen. (10/10/17)

Nico Hdez Rguez http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoblog/nherrodj/


Tema: Límites y continuidad

Nombre: ________________________________________________

1. Función cuadrática: Tiramos una bola de acero verticalmente hacia arriba desde lo alto de la clase de segundo debachillerato que se encuentra a una altura de 80 metros sobre el suelo. Al cabo de x segundos, la altura viene dada porla fórmula:

h(x) = 80 + 64x− 16x2

a) ¾En qué momento se alcanza la altura máxima?, ¾Cuál es esa altura máxima?

b) ¾Cuánto subió la bola hasta que alcanzó la máxima altura?

c) ¾Cuánto tiempo tarda la bola en caer al suelo?

d) ¾Cuánto tiempo tarda la bola en estar de nuevo a la misma altura desde la que fue arrojada?

e) ¾A qué altura está la bola a los 4 segundos y medio?, ¾Y a los 10 segundos?

2. Función racional: El grupo de estudios de una empresa ha comprobado que la pérdida o ganancias de esta se ajustan

a la función B(t) =2t− 4

t− 3siendo t los años de vida de la empresa y B(t) en miles de euros.

a) Representa la función anterior.

b) ¾En qué años deja de tener pérdidas?

c) ¾Están limitados sus bene�cios?, Si lo están, ¾Cuál es su límite?

3. Función a trozos: Los bene�cios, en miles de euros, por la venta de un artículo en función de los gastos que se realizanen publicidad, en miles de euros, viene dados por la función:

B(x) =

{5x+ 20 si 0 ≤ x ≤ 3

−x2 + 6x+ 21 si 3 < x ≤ 8

donde x representa la cantidad, en miles de euros, que se gasta en publicidad y B(x) los bene�cios, en miles de euros,que la empresa productora recibe por la venta del artículo.

a) Representa dicha función.

b) ¾Es discontinua dicha función? Clasi�ca el tipo de discontinuidad si la hubiera.

c) ¾Cuál es el bene�cio máximo?, ¾Cuánto se gasta en la publicidad para ese máximo bene�cio?

d) ¾Qué ocurre si el gasto de publicidad es superior a 3000¿? Razona tu respuesta.

1: 3.5 puntos 2: 3 puntos 1: 3.5 puntos

a) 0.75 a) 1.5 a) 1.5

b) 0.25 b) 0.75 b) 1

c) 0.75 c) 0.75 c) 0.5

d) 1.25 d) 1e) 0.5

Cuadro 1: Puntuación de las preguntas



2. 1ª Evaluación. 2º Examen Cálculo de derivadas (3/11/17)

Tema: Cálculo de derivadas

Nombre: ________________________________________________

1. Calcula las derivadas siguientes, indicando para qué valores de la variable dicha derivada es nula.

a) B (x) = −2x2 + 20x+ 250

b) G(x) =(−3x2 + 9

)3

c) f(x) = 2x(700− 3x2

)

d) G(x) = x3 (20− 4x)

e) y =1− 3x

x

f ) V (x) =5x2 − x3x− 2

g) G (x) =x2

x− 2

h) C (z) = 3 · e−0,4z

i) I (z) =4z3 − 12z2

3

j ) f (x) = 3x+x2 − 8x

40

Cada derivada bien realizada: 0.5 puntosBien calculada cuando la derivada es nula: 0.5 puntos




Primera derivada: Derivada nula:

a) B´(x) = −2x2 + 20x+ 250 x = 5

b) G´(x) = 2 ·(−3x2 + 9

)2 · (−6x) x = −3 x = 0 x = 3

c) f´(x) =1

2·(700− 3x2

)12 · (−6x) x = 0

d) G´(x) = 60x2 − 16x3 x = 0 doble x = 5

e) y´ =−1x2

Sin solución.

f) V ´(x) =15x2 − 23x+ 6

(3x− 2)2

x = 0,11 x = 1,22

g) G´(x) =x2 − 4x

(x− 2)2

x = 0 x = 4

h) C´(z) = 3000 · 1,2z · ln (z) Sin solución.

i) I´(z) =12z2 − 24z

3z = 0 z = 2

j) f´(x) =2x− 8

40x = 4

Cuadro 3: Respuestas



3. 1ª Evaluación 3erExamen (27/11/2017)



Examen de Matemáticas aplicadas II

Nombre: ______________________________________________ 27/11/2017


Tema: La derivada y sus aplicaciones

1. El número de cabras de una explotación ganadera de Garafía varía con el tiempo de acuerdo a la función:

f(t) = −t3 + 9t2 − 15t+ 120

donde t es el número de años transcurridos desde que abrió dicha explotación.

a) ¾Con cuántas cabras comenzó?

b) Al cabo de 6 años, ¾con cuántas cabras cuenta?

c) ¾Cuáles han sido los números máximo y mínimo de animales durante estos seis años?

d) Determina los períodos de crecimiento y decrecimiento de la ganadería.

2. Los bene�cios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción (en

miles de euros) vienen dados por:B(x) =

{−x+ 3 si 0 ≤ x ≤ 3

−x2 + 11x− 24 si 3 < x ≤ 8



c) ¾Es derivable?

d) ¾Cuándo crecen los bene�cios?, ¾cuándo decrecen?

e) ¾Cuándo se alcanza el máximo de bene�cios y el mínimo?

3. La cooperativa de la Punta tiene 800 metros de tela metálica con lo que desea cercar una parcela rectangular. ¾Cuálesdeben ser las dimensiones de modo que se encierre la máxima área posible, sabiendo que para uno de los lados de laparcela servirá de valla un canal de riego?

1: 3.5 puntos 2: 4 puntos 3: 2.5 puntos

a) 0.25 a) 1Función a maximizar: 0.25

b) 0.25 b) 0.5 Relación entre variables: 0.5

c) c) 1 Derivada e igual a cero: 0.75

Derivada e igualar a cero: 1 punto Demostrar máximo/mínimo:0.5

Demostrar máximo y mínimo: 1 punto Respuesta: 0.5

d) 1 punto d) 1

e) 0.5


C:/Users/Usuario/Desktop/Nico 20 de enero 2017/Frases/Enseña a pensar.PNG



3.1. 1ª Evaluación 3erExamen (27/11/2017). Solución



1. El número de cabras de una explotación ganadera de Garafía varía con el tiempo de acuerdo a la función f(t) =−t3 + 9t2 − 15t+ 120 donde t es el número de años transcurridos desde que abrió dicha explotación.

a) ¾Con cuántas cabras comenzó?

b) Al cabo de 6 años, ¾con cuántas cabras cuenta?

c) ¾Cuáles han sido los números máximo y mínimo de animales durante estos seis años?

d) En ese tiempo determinar los períodos de crecimiento y decrecimiento de la ganadería?

Solución:

a) Para calcular cuántas cabras tenía cuándo abrió la explotación, sustituimos la t = 0:

f(t = 0) = −03 + 9 · 02 − 15 · 0 + 120 = 120, es decir, abrió la explotación con 120 cabras.

b) Al cabo de 6 años, t = 6:

f(t = 6) = −63 + 9 · 62 − 15 · 6 + 120 = 138, es decir, al cabo de 6 años tenía 138 cabras.

c) Para calcular el máximo y mínimo de cabras que ha tenido, derivamos e igualamos a cero:

f´(t) = −3t2 + 18t− 15 = 0 y resolviendo obtenemos x ' −0,74 y x ' 6,74

Si analizamos la grá�ca, vemos que:

El máximo número de cabras en esos 6 años se obtiene justo el 6º año, con f(t = 6) = 138 cabras.

El mínimo número de cabras en esos 6 años se obtiene justo al principio, con f(t = 0) = 120 cabras.

d) Si nos vamos a la información que nos proporciona la derivada (o la grá�ca), podemos observar que los 6 primeros

años el nº de cabras aumenta siempre. Ponemos nuestra tabla de análisis de la derivada, pero nos quedamos

únicamente con el lado positivo (porque el tiempo en años debe ser positivo).

(−∞,−0,74) x = −0,74 (−0,74, 6,74) x = 6,74 (6,74,+∞)

Signo de la primera

derivada

f´(−1) < 0 f´(−0,74) = 0 f´(0) > 0 f´(6,74) = 0 f´(10 < 0

f(x)es... ↘ ↗ ↘Decreciente Mínimo relativo Creciente Máximo absoluto Decreciente

La tabla nos vuelve a indicar, como ya habíamos visto en la grá�ca, que desde el principio hasta �nales del 6º año,concretamente en el año 6.74, el número de cabras fue aumentando y que a partir de ese momento el nº de cabrasempezó a disminuir.

2. Los bene�cios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción (en

miles de euros) vienen dados por:B(x) =

{−x+ 3 si 0 ≤ x ≤ 3

−x2 + 11x− 24 si 3 < x ≤ 8



c) ¾Es derivable?

d) ¾Cuándo crecen los bene�cios?, ¾cuándo decrecen?

e) ¾Cuándo se alcanza el máximo de bene�cios y el mínimo?



f ) Si fueras el dueño del producto, ¾cuánto te gastarías en promoción?

Solución:

a) Para representar dicha función, realizamos una tabla de valores para la recta (primer trozo) y los puntos de cortes

con los ejes y el vértice para el segundo trozo (la parábola), obteniendo la siguiente tabla:

x B(x) = −x+ 3 x B(x) = −x2 + 11x− 24

0 3 3 0 Punto de corte con el eje de abscisas

3 0 5.5 6.25 Vértice

8 0 Punto de corte con el eje de abscisas

b) Como podemos observar en la grá�ca (y en la tabla de valores), la función es continua en x = 3. Analíticamente lo

debemos expresar con los límites laterales:

limx→3−

(−x+ 3) = 0

limx→3+

(−x2 + 11x− 24

)= 0

Como los dos límites laterales son iguales, podemos a�rmar que la función es continua en x = 3.

c) Para demostrar si una función a trozos es derivable, calculamos las derivadas laterales en el punto de cambio de

trozo:

B(x) =

{−x+ 3 si 0 ≤ x ≤ 3

−x2 + 11x− 24 si 3 < x ≤ 8=⇒ B´(x) =

{−1 si 0 ≤ x < 3

−2x+ 11 si 3 < x ≤ 8

B´(3−

)= −1

B´(3+

)= −2 · 3 + 11 = 5

Como las dos derivadas laterales son diferentes, podemos a�rmar que la función no es derivable en x = 3.

d) Se puede realizar el estudio con la derivada o también, teniendo en cuenta que es una función a trozos de recta y

parábola, utilizando la grá�ca.

Los bene�cios crecen a partir de la inversión dex = 3 miles de euros, es decir, a partir de 3000¿ hasta las x = 5,5miles de euros, es decir, hasta los 5500¿

Los bene�cios decrecen desde x = 0 hasta x = 3, es decir, desde desde los 0¿ hasta los 3000¿ y también desdelos x = 5,5 hasta los x = 8 miles de euros, es decir, desde los 5500¿ hasta los 8000¿ de inversión..

e) Los bene�cios máximos se alcanzan cuando empleamosx = 5,5 miles de euros, es decir, con 5500¿ de promoción

obtenemos un bene�cio de 6.25, es decir, 6250¿ de bene�cio.

Los mínimos bene�cios son en x = 3 y x = 8, es decir, con 3000¿ y 8000¿ de inversión respectivamente, losbene�cios son nulos.

f ) Yo no me gastaría nada porque obtendría unos bene�cios totales de 3000¿. Podemos pensar que deba gastarme x = 5,5miles de euros para obtener unos bene�cios de 6250¿, obteniendo un bene�cio neto: Bneto = 6250¿− 5500¿ = 750¿de bene�cio neto.

3. La cooperativa de la Punta tiene 800 metros de tela metálica con lo que desea cercar una parcela rectangular. ¾Cuálesdeben ser las dimensiones de modo que se encierre la máxima área posible, sabiendo que para uno de los lados de laparcela servirá de valla un canal de riego?

Solución:

Si realizamos un dibujo para entender que es lo que nos piden:

Área máxima: A(x, y) = x · y y como tenemos dos variables, debemos buscar otra relación entre x e y.

Metros de tela metálica para los tres lados: 800 = 2x+ y y despejando: y = 800− 2x.

Sustituimos en la expresión del área:: A(x) = x · (800− 2x) = 800x− 2x2

Ahora para calcular el valor máximo derivamos: A´(x) = 800− 4x e igualando a cero:



800− 4x = 099K x = 200 metros debe medir el ancho.

Para demostrar que es un máximo de área, tomamos un punto a la izquierda y otro a la derecha de 200:

� A´(100) = 800− 4 · 100 > 0, por tanto el área es creciente.

� A´(300) = 800− 4 · 300 < 0, por tanto el área es decreciente.

� Como es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha, obtenemos un máximo.

Un lado por tanto mide 200 metros y el calculamos el otro lado: y = 800− 2 · 200 = 400 metros de largo.



4. 1ª Evaluación 3erExamen (12/12/2017) Kevin




Nombre: ______________________________________________ 12/12/2017



1. El bene�cio, en miles de euros, viene dado por, B(p) = −p2 + 8p+ 20, donde p es el precio de venta de cada unidad.

a) Representa la función bene�cio.

b) ¾A qué precio debemos vender el producto para no obtener ningún bene�cio?

c) Determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máximo bene�cio y cuál sería dicho bene�cio.

d) Indica cuándo son crecientes y cuando decrecientes los bene�cios.

2. Los gastos mensuales en euros que una familia tiene en alimentación vienen dados por la función:

G(x) =

{0,35x si 0 ≤ x ≤ 1000

−0,015x2 + 33x− 17650 si x > 1000

donde x son los ingresos mensuales de la familia en euros.


b) ¾Es continua? Razona tu respuesta.

c) ¾Es derivable?

d) ¾Cuándo crecen los gastos?, ¾cuándo decrecen?

e) ¾Cuándo se alcanza el máximo de gastos y el mínimo?

f ) ¾Crees que la función es válida para una familia que ingrese más de 1282¿ al mes? Razona tu respuesta.

3. Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máximasuper�cie interior posible.

a) ¾Qué longitud deben tener los postes y el larguero?

b) ¾Qué super�cie máxima interior tiene la portería?

1: 3.25 puntos 2: 4.25 puntos 3: 2.5 puntos

a) 0.5 a) 1Función a maximizar: 0.25

b) 0.25 b) 0.5 Relación entre variables: 0.5

c) c) 0.5 Derivada e igual a cero: 0.75

Derivada e igualar a cero: 1 punto d) 1 Demostrar máximo/mínimo:0.5

Demostrar máximo y mínimo: 1 punto e) 0.5 Respuesta: 0.5

d) 0.5 punto f) 0.75


C:/Users/Usuario/Desktop/Nico 20 de enero 2017/Frases/Enseña a pensar.PNG



5. 1ª Evaluación 40 Examen (5/12/2017)




Nombre: ______________________________________________ 5/12/2017

Cálculo de integrales

Calcula las integrales siguientes.

1.∫ (

2x3 + 5x2 − 7x+ 3)dx =

2.r (x2 − x+ 1

)dx =

3.r [(

x+ 4x2)−(x2 + 4x

)]dx =

4.r (

4x3 − 5x2)dx =

5.rx ·(x2 + 3

)dx =

6.r [(

x2 − 5)− (3x+ 5)

]dx =

7.r [(

x3 − x+ 2)+ (x− 2)

]dx =

8.r((2x+ 1) · (3x+ 5)) dx =

9.r(x3 − 7x2 + 4

x

)dx =

10.r(x+ 3)

2dx =

Cada integral bien realizada 1 punto




6. 1ª Evaluación50 Examen (18/12/2017)




Nombre: ______________________________________________ 18/12/2017


Tema: La derivada y sus aplicaciones.

Tema: La integral y sus aplicaciones

1. Tiramos una bola de acero verticalmente hacia arriba desde lo alto de la clase de segundo de bachillerato que seencuentra a una altura de 80 metros sobre el suelo. Al cabo de x segundos, la altura viene dada por la fórmula:

h(x) = −16x2 + 64x+ 80

a) Representa la función cuadrática.

b) ¾En qué momento se alcanza la altura máxima?, ¾Cuál es esa altura máxima?

c) ¾Cuánto tiempo tarda la bola en estar de nuevo a la misma altura desde la que fue arrojada?

2. La ganancia, en miles de euros, que, para una empresa, produce un determinado puesto de trabajo, viene dada por lafunción:

g(x) =

0,4x+ 3 si 0 ≤ x ≤ 10

5x+27x+1 si x > 10

donde x es el tiempo transcurrido, en años, desde la creación de dicho puesto.

a) ¾Es continua la función al llegar el décimo año? ¾Cuál es la ganancia en este año?

b) ¾Es derivable?

c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de las ganancias, utilizando la derivada.

d) ¾Cuándo se alcanza el máximo y el mínimo de las ganancias?

e) ¾Qué sucede con las ganancias a medida que transcurre el tiempo?

3. Calcular el área limitada por las funciones f(x) = x2 − 3x− 10 y la recta g(x) = 2x− 4, representando previamente elárea pedida.

1: 2.5 puntos 2: 4.5 puntos 3: 3 puntos

a) 1 a) 0.75Funciones: 0.5

b) 0.75 b) 0.5 Área representada: 0.5

c) 0.75 c) 1.75 Puntos de corte: 0.5

d) 0.75Integral bien calculada:

1.5

e) 0.75




7. 1ª Evaluación. Recuperación del primer trimestre (22/01/2018)



Examen de recuperación de la 1ª evaluación de Matemáticas aplicadas II

Nombre: ______________________________________________ 22/01/2018


Tema: La derivada y sus aplicaciones.

Tema: La integral y sus aplicaciones

1. Durante 31 días consecutivos, las acciones de la compañía han tenido una cotización dada por la función:

C(t) = 0,1t2 − 3t+ 100

donde t es el número de días transcurridos.


b) ¾Cuál ha sido las cotización mínima de la compañía?

c) ¾En qué días se alcanzó la cotización máxima?

d) ¾Durante qué período de tiempo las acciones estuvieron al alza (aumentaron la cotización)?

2. Los gastos mensuales en euros que una familia tiene en alimentación vienen dados por la función:

G(x) =

{0,35x− 60 si 0 ≤ x ≤ 1000

−0,015x2 + 33x− 17650 si x > 1000

donde x son los ingresos mensuales de la familia en euros.


b) ¾Es continua? Clasi�ca el tipo de discontinuidad si la hubiera.

c) Calcula la derivada. ¾Es derivable en x = 1000? Razona tu respuesta.

d) ¾Cuándo crecen los gastos?, ¾cuándo decrecen?

e) ¾Cuándo se alcanza el máximo de gasto mensual?, ¾y el mínimo?

f ) ¾Crees que la función es válida para una familia que ingrese más de 1282¿ al mes? Razona tu respuesta.

3. Calcular el área limitada por las funciones f(x) = −x2 + 5x y la recta g(x) = −x + 5, representando previamente elárea pedida.

1: 3 puntos 2: 4 puntos 3: 3 puntos

a) 0.75 a) 1.5Área representada: 1.5

b) 0.75 b) 0.5 Punto de corte: 0.75

c) 0.75 c) 0.5 Integral bien calculada: 0.75

d) 0.75 d) 0.5

e) 0.5

f) 0.5




8. 2ª Evaluación 6o Examen (02/02/2018)




Nombre: ______________________________________________ 2/2/2018

Tema: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

1. En un taller de joyería se fabrican collares de 50, 70 y 90 perlas, y para ello se utilizan en su totalidad 17500 perlas y240 cierres. ¾Cuántos collares de cada tamaño se han de fabricar si la suma de los collares grandes y pequeños es igualal doble de los collares de tamaño mediano?

2. Nico, Tere y Carlos colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados por elpueblo. Nico reparte siempre el 20% del total de la propaganda, Carlos reparte 100 hojas menos que Tere y entreNico y Tere reparten 850 hojas en los parabrisas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántashojas reparten cada uno de los tres.

3. En una ciudad A hay tres aeropuertos A1, A2 y A3, en B hay cuatro y en C dos. Una persona que quiera ir de A a Bun cierto día de la semana, y de B a C al día siguiente, dispone de los vuelos que se recogen en el siguiente grafo:

Construir sendas matrices que representen los vuelos de A a B y de B a C. ¾Qué operación debe hacerse entre ellaspara obtener el número de formas distintas de ir de A a C? Calcula el número de maneras de ir de A hasta C.

1: 3.5 puntos 2: 3.5 puntos 3: 3 puntos

Nombra las incógnitas: 0.25 Nombra las incógnitas: 0.25 Matriz AB: 0.5

Planteamiento ecuaciones: 1 Planteamiento ecuaciones: 1 Matriz BC: 0.5

Resolución por Gauss: 1.5 Resolución por Gauss: 1.5 Operación bien realizada: 1.25

Respuesta: 0.75 Respuesta: 0.75 Respuesta: 0.75


�Nuestro destino no está escrito en las estrellas, sino en nosotros mismos�

William Shakespeare



8.1. 2ª Evaluación 5º Examen (3/02/2017) Solución

Tema: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

1. Una casa rural adquirió un total de 200 toallas de tres tipos: toallas de baño, toallas para manos y toallas para pies,gastando para ello un total de 7 600¿. El precio de una toalla de baño es de 50¿, el de una toalla para manos es de40¿ y el de una toalla para pies es de 25¿. Además, por cada tres toallas para manos se compraron dos toallas parapies. ¾Cuántas toallas de cada tipo ha comprado la casa rural?

2. En un taller de joyería se fabrican collares de 50, 70 y 90 perlas, y para ello se utilizan en su totalidad 17500 perlas y240 cierres. ¾Cuántos collares de cada tamaño se han de fabricar si la suma de los collares grandes y pequeños es igualal doble de los collares de tamaño mediano?

Sol.

Denominamos x,y,z a los collares de 50, 70 y 90 perlas respectivamente.Teniendo en cuenta el enunciado obtenemos lassiguientes tres ecuaciones:

Utilizamos en su totalidad 17500 perlas → 50x+ 70y + 90z = 17500

Además de 240 cierres → x+ y + z = 240, es decir, se van a fabricar 240 cierres.

La suma de los collares grandes y pequeños es igual al doble de los collares de tamaño mediano→x+ z = 2y

Obtenemos por tanto el sistema:

50x+ 70y + 90z = 17500

x+ y + z = 240

x− 2y + z = 0

Resolviendo el sistema (por Gauss) obtenemos que x =125

5' 62, y = 80, z =

195

2' 97. Por tanto se fabricarían

62 collares pequeños, 80 collares medianos y 97 collares grandes.

3. Nico, Tere y Carlos colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados por elpueblo. Nico reparte siempre el 20% del total de la propaganda, Carlos reparte 100 hojas menos que Tere y entreNico y Tere reparten 850 hojas en los parabrisas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántashojas reparten cada uno de los tres.

Sol.

Consideramos las incógnitas N, T y C el número de hojas de propaganda que reparten Nico, Tere y Carlos respectiva-mente.

Leyendo el enunciado obtenemos las siguientes tres ecuaciones:

Nico reparte siempre el 20% del total V N = 20% · (N + T + C)

Carlos reparte 100 hojas menos que TereV C = T − 100

Entre Nico y Tere reparten 850 hojas V N + T = 850

El sistema nos quedaría:

0,80N − 0,2T − 0,2C = 0

T − C = 100

N + T = 850

y resolviendo el sistema obtenemos que N = 266, T = 583,

C = 483. Por tanto Nico reparte 266 hojas, Tere 583 y Carlos 483 hojas.

4. En una ciudad A hay tres aeropuertos A1, A2 y A3, en B hay cuatro y en C dos. Una persona que quiera ir de A a Bun cierto día de la semana, y de B a C al día siguiente, dispone de los vuelos que se recogen en el siguiente grafo:

Construir sendas matrices que representen los vuelos de A a B y de B a C. ¾Qué operación debe hacerse entre ellaspara obtener el número de formas distintas de ir de A a C? Calcula el número de maneras de ir de A hasta C.



B1 B2 B3 B4

A1 1 0 2 0A2 0 1 1 1A3 0 0 0 1

C1 C2

B1 3 2B2 1 0B3 1 0B4 0 2

Calculando el producto de las dos matrices anteriores: AB · BC =

1 0 2 00 1 1 10 0 0 1

3x4

·

3 21 01 00 2

4x2

=

5 22 20 2

3x2

, es

decir:

C1 C2

A1 5 2A2 2 2A3 0 2

5 maneras de ir de A1 a C1 y 2 maneras de ir de A1 a C2

2 maneras de ir de A2 a C1 y 2 maneras de ir de A2 a C2

No se puede ir de A3 a C1 y hay 2 maneras de ir de A3 a C2



Examen de Matemáticas aplicadas IINombre: ______________________________________________ 2/3/2018


Tema: Programación lineal

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B).- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima.

OPCIÓN A

1. Un instituto oferta a sus 240 alumnos actividades extraescolares. Algunos hacen deportes, otros hacen teatro y los hayque deciden no hacer actividades. Los que hacen deportes son el doble de los que hacen teatro y los que no hacenninguna actividad juntos. Los que hacen teatro son la tercera parte de los que no hacen ninguna actividad. ¾Cuántosalumnos hay en cada modalidad?

2. Una empresa fabrica teléfonos móviles con la misma pantalla y electrónica en dos calidades distintas: calidad A, cuyacarcasa es de plástico y calidad B cuya carcasa es de aluminio. El coste de producción unitario es de 70¿ para losteléfonos de calidad A y de 90¿ para los de calidad B dando unos bene�cios de venta de 30¿ para los de clase A y de60¿ para los de clase B. Si, para fabricar la próxima remesa de móviles, la empresa dispone de un capital de 30000euros y su proveedor de componentes es capaz de suministrarle, como máximo, 350 pantallas (que se usan para ambasclases de móviles) y 310 carcasas de aluminio:

a) Plantear el problema que determina el número de móviles de cada calidad que se deben fabricar para maximizarel bene�cio.

b) Representar la región factible, determinar una solución óptima y hallar el valor óptimo de la función objetivo.

OPCIÓN B

3. La tarifa de un anuncio por palabras depende de la zona (A, B o C) en que se coloque en un determinado periódico.La suma de las tarifas de B y C es el triple que la tarifa de A. Si se ponen diez anuncios en cada tarifa, el precio totales de 840 euros, pero si se ponen diez en la zona A y veinte en la zona B, el precio total es de 600 euros.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.

b) ¾Cuánto vale un anuncio en cada una de las zonas?

4. Una con�tería tiene en el almacén 320 bombones de crema de cacao, 240 bombones con frutos secos y 200 bombonescon licor. Estos bombones se venden empaquetados en dos tipos de cajas: azules y rojas. En cada caja azul se incluyen4 bombones de crema, 4 de frutos secos y 2 de licor. En cada caja roja hay 6 bombones de crema, 2 de frutos secos y4 de licor. Si la caja azul se vende a 8 euros y la caja roja se vende a 10 euros.

a) Plantear el problema que determina el número de cajas de cada tipo que se han de confeccionar para maximizarla recaudación.

b) Representar la región factible, determinar una solución óptima y hallar el valor óptimo de la función objetivo.

Preguntas 1 y 3: 5 puntos Preguntas 2 y 4: 5 puntos

Nombra las incógnitas: 0.25 Nombra las incógnitas: 0.25

Planteamiento ecuaciones: 2 Inecuaciones: 1

Resolución por Gauss: 2 Región factible: 2

Respuesta: 0.75 Cálculo vértices: 1

Respuesta: 0.75


�El silencio es el único amigo que jamás traiciona�

Confucio



9.1. 2ª Evaluación 6o Examen (10/03/2017) Solución





Nombre: ________________________________________________

1. Una casa rural adquirió un total de 200 toallas de tres tipos: toallas de baño, toallas para manos y toallas para pies,gastando para ello un total de 7 600¿. El precio de una toalla de baño es de 50¿, el de una toalla para manos es de40¿ y el de una toalla para pies es de 25¿. Además, por cada tres toallas para manos se compraron dos toallas parapies. ¾Cuántas toallas de cada tipo ha comprado la casa rural?

2. Realiza el planteamiento de un problema (a elegir de los tres):

a) Una empresa de transporte quiere organizar un viaje para 320 personas. Dispone de 4 guaguas de 60 plazas y 5guaguas de 40 plazas. Si el costo de cada guagua de 60 plazas es de 320¿ y el costo de cada guagua de 40 plazases de 230¿. Plantear el problema de programación lineal que determina el número de autocares de cada tipo quese han de elegir para minimizar los costos globales.

b) Una papelería quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dostipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg del papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes Bpor 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote es de 0.9¿ y el de cada lote B es de 1¿. Plantearel problema de programación lineal que determina cuantos lotes A y B deben vender para maximizar sus ingresos.

c) Para abonar una �nca un agricultor necesita al menos 9 kg de nitrógeno y 15 kg de fósforo. En el mercado sevende un producto A que contiene un 20% de nitrógeno y un 40% de fósforo y otro producto B que contiene un30% de nitrógeno y un 30% de fósforo. El precio del producto A es de 4¿/kg y el del B de 5¿/kg. Plantear elproblema de programación lineal que determina la cantidad que ha de comprar un agricultor de cada productopara abonar la �nca con el menor coste.




Nombre: ______________________________________________ 19/03/2018



Tema: Profundizamos en la probabilidad


OPCIÓN A

1. Entre los tres trabajadores activos de una familia, madre, padre y hermano mayor, han ganado un total de 66000 euros.Si la madre gana el 125% de lo que gana el padre y las ganancias conjuntas de padre y hermano mayor igualan la sumade lo que gana la madre más la mitad de lo que gana el padre:

a) Plantear el sistema correspondiente.

b) ¾Cuánto gana cada uno?

2. Para sufragarse los gastos del viaje de estudios, los alumnos de un instituto han montado un mercadillo para vender objetos de

segunda mano distribuidos en dos tipos de packs. Cada pack tipo A consta de 3 libros y 1 pieza de ropa, y cada pack tipo B

consta de 2 libros y 2 piezas de ropa. Cada pack tipo A se vende a 7 ¿ y cada pack tipo B se vende a 8,5 ¿. Por problemas de

almacenamiento, se pueden disponer, a lo sumo, de 342 libros y 218 piezas de ropa. Desean maximizar su recaudación.

a) Determinar la función objetivo y expresar mediante inecuaciones las restricciones del problema.

b) ¾Cuántas unidades de cada tipo de pack deben vender los alumnos para que la recaudación obtenida sea máxima? Calculadicha recaudación.

3. El 30% de los videojuegos que se consumen en España se juegan en PC, el 45% en consola y el resto en el móvil. Delos que se juegan en PC, el 50% son de acción, el 40% de estrategia y el resto de otras categorías. De los que se jueganen consola, el 70%, son de acción, el 10% de estrategia y el resto de otras categorías. De los juegos para móvil, un 25%son de acción, otro 25% de estrategia y el resto de otras categorías.

a) Construir el árbol de probabilidades completo.

b) ¾Qué proporción de los videojuegos consumidos en España son de acción?

c) Se elige al azar un jugador que está jugando a un juego de estrategia ¾cuál es la probabilidad de que lo estéhaciendo a través del móvil?


Nombra las incógnitas: 0.25 Nombra las incógnitas: 0.25 Nombra los sucesos: 0.25

Planteamiento ecuaciones: 1 Inecuaciones, función objetivo: 1 a) Diagrama de árbol completo: 1.25

Resolución por Gauss: 1.25 Región factible: 0.5 b) 0.75

Respuesta: 0.75 Cálculo vértices: 0.75 c) 1.25

Respuesta: 0.75




OPCIÓN B

4. Un camión trae, en su carga, cajas de tres productos A, B y C. Se ha perdido la hoja de carga, pero uno de los operariosrecuerda que en total hay 120 cajas, que las del tipo A eran tantas como del tipo B y C juntas y que las del tipo Ceran la cuarta parte de las del tipo B. ¾Cuántas cajas de cada tipo trae el camión?

5. En una fábrica se ensamblan dos tipos de motores: para motos y para coches. Para ensamblar un motor de moto seemplean 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de trabajo de máquina. Para ensamblar un motor de coche seemplean 45 minutos de trabajo manual y 40 minutos de trabajo de máquina. En un mes, la fábrica dispone de 120horas de trabajo manual y 90 horas de trabajo de máquina. Sabiendo que el bene�cio obtenido de cada motor de motoes de 1500 ¿ y el de cada motor de coche es de 2000 ¿,:

a) Plantear el problema que permite determinar cuántos motores de cada tipo hay que ensamblar mensualmentepara maximizar los bene�cios globales.

b) Representar la región factible, hallar las cantidades mensuales que se deben ensamblar para maximizar bene�ciosy determinar cuál es el bene�cio máximo.

6. Del alumnado que se matricula en la universidad, el 60% acaba la carrera elegida y, de éstos, el 45% son chicos.Además, el 25% cambia de carrera, de los que el 30% son chicas, y el 15% deja los estudios, de los que el 50% sonchicos.

a) Construir un diagrama de árbol.

b) Elegido un alumno al azar, ¾cuál es la probabilidad de que sea chico?

c) Elegido un chico al azar, ¾cuál es la probabilidad de que cambie de carrera?






Respuesta: 0.75




11. 2ª Evaluación. Recuperación 2ª Evaluación (9/04/2018)



Examen de recuperación de la 2ª evaluación de Matemáticas aplicadas II

Nombre: ______________________________________________ 9/04/2018



Tema: Profundizamos en la probabilidad


OPCIÓN A

1. El dueño de un bar ha comprado refrescos, cervezas y vinos por un importe de 500¿ (sin impuestos). El valor del vinoes de 80¿ menos que el de los refrescos y cerveza juntos. De impuestos ha pagado un 5% por los refrescos, un 20%por la cerveza y un 30% por el vino, lo que hace un total de 103¿ de impuestos.

a) ¾Cuánto ha pagado, sin impuestos, por cada tipo de bebida?

b) ¾Cuánto ha pagado, con impuestos, por cada tipo de bebida?

2. Una fábrica produce dos tipos de televisores: A y B. Para fabricarlos se necesita un tiempo de producción en máquinasy un acabado a mano que realizan los operarios. La venta del modelo A, que necesita 2 horas en las máquinas y mediahora de trabajo a mano, produce un bene�cio de 60 euros. La venta del modelo B, que necesita 3 horas en las máquinasy un cuarto de hora de trabajo a mano, origina un bene�cio de 55 euros. Se dispone de un total de 300 horas de trabajoen máquinas y 60 horas de trabajo a mano. Entre los dos tipos de televisores han de fabricarse por lo menos 90.

a) Determinar la función objetivo y expresar mediante inecuaciones las restricciones del problema.

b) ¾Qué cantidad de televisores de cada tipo ha de producirse para que el bene�cio sea máximo?

3. A un servicio de urgencias de un hospital llegan pacientes de tres procedencias distintas: remitidos por centros desalud (47%), por iniciativa propia (32%) y afectados por accidentes y trasladados directamente por ambulancias(21%). Los pacientes que presentan dolencias graves son el 10%, el 4% y el 25%, respectivamente. Si se eligealeatoriamente un paciente que llega a dicho servicio:

a) Construir el árbol de probabilidades completo.

b) Hallar la probabilidad de que no tenga una dolencia grave.

c) Si se le detecta una dolencia grave, determinar la probabilidad de que haya acudido por iniciativa propia.






Respuesta: 0.75




OPCIÓN B

4. En una boda hay 350 invitados entre familiares de la novia, familiares del novio (no hay familiares de ambos) y amigos.Por cada once familiares hay tres amigos. Los familiares de la novia superan en 25 a los familiares del novio. ¾Cuántosfamiliares de la novia, familiares del novio y amigos hay en la boda?

5. Un veterinario desea dar a sus animales una dieta que contenga un mínimo de 30 unidades de pienso tipo A y 20unidades de pienso tipo B. En el mercado se encuentran dos productos (P1 y P2 ) que se elaboran con dichos piensos.Cada bolsa de P1 a 2.5¿ contiene 4 unidades de A y 2 unidades de B, mientras que cada bolsa de P2 a 3.25¿ contiene5 unidades de A y 5 unidades de B.

a) Plantear el problema que permite determinar qué cantidades de de P1 y P2 deberá comprar para que la dieta seade coste mínimo.

b) Representar la región factible, hallar las cantidades P1 y P2 y determinar el coste mínimo.

6. A una alumna la lleva en coche al IES el 80% de las veces su padre. Cuando la lleva en coche llega tarde el 20% de losdías. Cuando el padre no la lleva, la alumna llega temprano a clase el 10% de los días. Determina:

a) Construir un diagrama de árbol.

b) La probabilidad de que llegue tarde a clase.

c) Ha llegado pronto a clase. ¾cuál es la probabilidad de que no la haya llevado su padre?






Respuesta: 0.75





Nombre: ______________________________________________ 13/04/2018

Tema: Distribuciones binomial y normal


OPCIÓN A

1. Un examen tipo test consta de 38 preguntas a contestar verdadero o falso. El examen se aprueba si se contestancorrectamente al menos a 20 preguntas. Un alumno responde al examen lanzando al aire una moneda y contestandoverdadero si sale cara y falso si sale cruz. Halla:

a) Probabilidad de aprobar el examen.

b) Probabilidad de acertar más de 24 y menos de 31.

2. El tiempo de un usuario en ventanilla sigue una normal de media 8 minutos con una desviación típica de 2,5 minutos.

a) ¾Cuál es la probabilidad de que un usuario tarde entre 5 y 10 minutos?

b) Si en la cola hay 24 usuarios, ¾cuántos de ellos se espera que tarden más de 8 minutos?

3. Una máquina produce piezas de precisión. En su producción habitual, fabrica un 3% de piezas defectuosas. Un clienterecibe una caja de 500 piezas procedentes de la fábrica. Calculemos la probabilidad de que:

a) Haya más de un 5% de piezas defectuosas en la caja.

b) Haya menos de 10 piezas defectuosas en la caja.

OPCIÓN B

4. Una de las pruebas de acceso a la universidad para mayores de veinticinco años consiste en un test con 100 pregunta,cada una de las cuales dos posibles respuestas, siendo sólo una de ellas correcta. Para superar esta prueba debe obtenerse,al menos, 60 respuestas correctas. Si una persona contesta al azar:

a) ¾Cuál será el número esperado de respuestas correctas?

b) ¾Qué probabilidad tendrá de superar la prueba?

5. La duración de las baterías de una tablet tiene una distribución normal con media igual a 9 horas y con desviacióntípica igual a 2 horas.

a) ¾Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías esté entre 7 horas y media y 9 horas y media?

b) Se toma una muestra aleatoria de 16 tablets. , ¾cuál es la probabilidad de que la duración media de las bateríassea mayor de 10 horas?

6. El 65% de los jóvenes tiene una cuenta en alguna red social. Se elige una muestra de 80 jóvenes al azar:

a) ¾Cuál es la probabilidad de que más del 75% de jóvenes tengan una cuenta en alguna red social de internet?

b) ¾Cuál es la probabilidad de que el número de jóvenes que tienen una cuenta en alguna red social de internet estéentre 45 y 55?

1,4: 3 puntos 2,5: 3.25 puntos 3,6: 3.75 puntos

Planteamiento: 1 Planteamiento: 1 Planteamiento: 1.25

a) 0.75 puntos

b) 1.25 puntos

a) 0.75 puntos

b) 1.5 puntos

a) 1.25 puntos

b) 1.25 puntos


�En la vida, lo que hoy parece el �nal, es realmente un nuevo comienzo�





Nombre: ________________________________________________

1. Un examen tipo test consta de 38 preguntas a contestar verdadero o falso. El examen se aprueba si se contestancorrectamente al menos a 20 preguntas. Un alumno responde al examen lanzando al aire una moneda y contestandoverdadero si sale cara y falso si sale cruz. Halla:

a) Probabilidad de aprobar el examen.

b) Probabilidad de acertar más de 24 y menos de 31.

Solución:

Consideramos el problema que parece ser binomial.

El suceso A= �Contesta bien la pregunta� con p(A) = 0,50 = p

El suceso A = �Contesta mal la pregunta� con p(A) = 0,50 = 1− p = q

La variable aleatoria X = �Número de respuestas correctas de las n = 38�, es una binomial con X ∼ B(38, 0,50)cuya función de probabilidad es p (X = r) =

(38r

)· 0,5r · 0,5·38−r

Aproximando a una normal:

B(38, 0,5)n≥30,n·p=10≥5,n·q=30≥5

−−−−−−−−−−−−−−−−− > N (19, 3,08)

a) Para aprobar el examen debe contestar bien al menos 20, es decir:

p (X ≥ 20) = p

(z ≥ 20− 19

3,08

)= p (z ≥ 0,32) = 1− 0,6255 = 37,35%, es decir, hay aproximadamente un 37% de

posibilidades de aprobar el examen.

b) p (24 ≤ X ≤ 31) = p

(24− 19

3,08≤ z ≤ 31− 19

3,08

)= p (1,62 ≤ z ≤ 3,90) = 100%− 94,74% = 5,26%, es decir, hay

un 5% de posibilidades de acertar entre 24 y 31 preguntas.

2. El tiempo de un usuario en ventanilla sigue una normal de media 8 minutos con una desviación típica de 2,5 minutos.

a) ¾Cuál es la probabilidad de que un usuario tarde entre 5 y 10 minutos?

b) Si en la cola hay 24 usuarios, ¾cuántos de ellos se espera que tarden más de 8 minutos?

3. Una máquina produce piezas de precisión. En su producción habitual, fabrica un 3% de piezas defectuosas. Un clienterecibe una caja de 500 piezas procedentes de la fábrica. Calculemos la probabilidad de que:

a) Haya más de un 5% de piezas defectuosas en la caja.

b) Haya menos de 10 piezas defectuosas en la caja.



1: 3 puntos 2: 3.25 puntos 3: 3.75 puntos


a) 0.75 puntos

b) 1.25 puntos

a) 0.75 puntos

b) 1.5 puntos

a) 1.25 puntos

b) 1.25 puntos





13. 3ª Evaluación 9o Examen Daniel (17/04/2018)




Nombre: ______________________________________________ 17/04/2018



OPCIÓN A

1. Supongamos que la probabilidad de tener una pantalla de ordenador con algún defecto en una línea de ensamblaje esdel 5%. Si analizamos las 50 pantallas que salen al día de la fábrica:

a) ¾Cuál es la probabilidad que dos se encuentren con algún defecto?

b) ¾Cuál es la probabilidad que como máximo dos se encuentren con algún defecto?

2. El tiempo de atención a un paciente, en una consulta médica, sigue una normal de media 10 minutos y desviacióntípica de 3 minutos.

a) ¾Cuál es la probabilidad que sean atendidos como máximo en 13 minutos?

b) Si hay citados 300 pacientes, ¾cuántos pacientes tendrán una consulta de más de 12 minutos?

3. El 10% de las personas del pueblo de Tijarafe a�rma que no ve nunca la televisión. Calcula, la probabilidad queescogidas 100 personas al azar:

a) Haya exactamente 13 personas que no ven la televisión.

b) Haya al menos 14 personas que no vean la televisión.

OPCIÓN B

4. En un proceso de fabricación de tornillos, se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 200tornillos, calcula la probabilidad que en una caja haya:

a) Ningún tornillo defectuoso.

b) Haya más de dos tornillos defectuosos.

5. El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 10 kilómetros está normalmente distribuido con una media de 60minutos y una desviación típica de 9 minutos.

a) Calcula la probabilidad que una persona sana invierta menos de 50 minutos.

b) Calcula la probabilidad que una persona sana invierta entre 55 y 65 minutos.

6. Se está experimentando una nueva vacuna para la malaria que resulta efectiva en el 60% de los casos. Si se eligen alazar 45 personas al azar, halla:

a) La probabilidad que en ese grupo sea efectiva entre 20 y 30 personas.

b) La probabilidad que resulte efectiva en menos de 20 personas.



a) 0.75 puntos

b) 1.25 puntos

a) 0.75 puntos

b) 1.5 puntos

a) 1.25 puntos

b) 1.25 puntos






Nombre: ______________________________________________ 10 / 05 / 2018


Tema: Muestreo e intervalos de con�anza


OPCIÓN A

1. El 10% de los yogures de fruta contienen menos fruta de lo que se anuncia en su publicidad. Se ha seleccionado unamuestra de 900 yogures:

a) Halla la probabilidad de que en la muestra haya más de 108 yogures con menos fruta de la anunciada.

b) ¾Y qué se encuentren menos del 11% de los yogures con menos fruta de lo que anuncia la publicidad?

2. Para estimar el gasto medio en libros y material escolar por alumno de secundaria en la enseñanza pública se tomauna muestra de 121 de estos alumnos, resultando que dicho gasto medio es de 286 euros con una desviación típica de65 euros. Se pide:

a) Estimar el gasto medio poblacional con una con�anza del 95%.

b) ¾De qué tamaño debería ser la muestra para, con una con�anza del 99%, cometer un error menor de 10 euros endicha estimación.

3. Una empresa de productos ecológicos desea estimar el número de familias de la ciudad que comprarían sus productos.Para ello realiza una encuesta en 625 familias entre las que 200 respondieron a�rmativamente.

a) ¾En qué intervalo se encuentra la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresacon una con�anza del 96%?

b) Usando la información que suministra la encuesta, ¾qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporciónde familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa, con un error menor que el 2% y con unacon�anza del 95%?


Planteamiento: 1 Planteamiento: 1 Planteamiento: 1

a) 1.25 puntos

b) 1.25 puntos

a) 1 punto

b) 1.25 puntos

a) 1 puntos

b) 1.25 puntos


�Pon tu futuro en buenas manos, las tuyas.� Anónimo



OPCIÓN B

4. En una empresa que fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 2% de estos son defectuosos. Un cliente va acomprar un paquete de 100 microcircuitos procedentes de la fábrica. Determinar:

a) La probabilidad que haya más del 3% de microcircuitos defectuosos.

b) La probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 2 y 4.

5. Para una muestra de 25 personas, el consumo medio diario de agua es de 115 litros con una desviación típica de 18litros.

a) Obtener un intervalo de con�anza al 98% de con�anza para el consumo medio diario de agua por persona.

b) Con un nivel de con�anza del 99%, ¾cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el consumo medio diariode agua por persona con un error menor de 5 litros?

6. Una nueva compañía telefónica desea estimar el número de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio. Una vezrealizada una encuesta en 400 viviendas, la empresa se encontró con que en 140 viviendas si contratarían su servicio.

a) ¾En qué intervalo se encuentra la proporción de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio con unacon�anza del 98%?

b) ¾Qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de viviendas que contratarían su servicio, conun error menor del 2% y con una con�anza del 95%?



a) 1.25 puntos

b) 1.25 puntos

a) 1 punto

b) 1.25 puntos

a) 1 puntos

b) 1.25 puntos


�Todos nuestros sueños se pueden volver realidad si tenemos el coraje de perseguirlos�

Walt Disney





Nombre: ______________________________________________ 4/05/2018



Nombre: ________________________________________________


OPCIÓN A

1. Distribución de la media: La masa de las peras de una cosecha se distribuyen normalmente con media de 125 gramosy varianza de 400.

a) ¾Cuál es la probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 130 gr.?

b) ¾Cuál es la probabilidad de que el peso medio en una muestra de 25 peras sea mayor que 130 gr.?

Solución:

Consideremos la variable aleatoria X =�Masa de las peras� sigue una distribución normal, es decir, X ∼ N (125, 20)

a) La probabilidad de que una pera pesa más de 130 gramos, es decir:

p (X > 130) = p

(z >

130− 125

20

)= p (z > 0,25) = 40,167%, es decir, hay un 40% de posibilidades que una pera

elegida al azar pese más de 130 gramos.

b) Como nos hablan de que tomemos una muestra, tenemos en cuenta que las medias muestrales siguen la distribución

X ∼ N(125,

20√25

)= N (125, 4)

La probabilidad de que el peso medio en una muestra de 25 peras sea mayor que 130, es decir:

p(X > 130

)= p

(z >

130− 125

4

)= p (z > 1,25) = 10,56%, es decir, hay casi un 11% de posibilidades que el

peso medio en una muestra de 25 peras sea mayor que 130 gramos.

2. Distribución de la proporción El 10% de los yogures de fruta contienen menos fruta de lo que se anuncia en supublicidad. Se ha seleccionado una muestra de 900 yogures:

a) Halla la probabilidad de que en la muestra haya más de 108 yogures con menos fruta de la anunciada.

b) ¾Y qué se encuentren menos de 100 yogures con menos fruta?

c) ¾En cuántas de ellas se puede esperar que haya entre 100 y 108 yogures que tienen menos fruta de lo anunciado?

Solución:

Consideramos los siguientes sucesos:

A=�Contiene menos fruta de lo que se anuncia� con p(A) = p = 10%

A=�Contiene igual o más fruta de lo que se anuncia� con p(A) = q = 1− p = 90%

X=�Nº de yogures con menos fruta de lo que se anuncia�

P=�Proporción de yogures defectuosos de los 900�

Según el teorema central del límite sabemos que la variable aleatoria P se aproxima a una normal:

X ∼ B (N, 0,10)n>30, n·p>5, n·q>5

−−−−−−−−−−−−−− >n=900

P ∼ N (0,10, 0,01)

a) p

(P >

108

900

)= p

(z >

0,12− 0,10

0,01

)= p (z > 2) = 2,28%, es decir, hay un 2% de prosibilidades que haya 108

yogures con menos fruta de lo esperado.

b) p

(P <

100

900

)= p

(z <

0,11− 0,10

0,01

)= p (z < 1,11) = 84,38%, es decir, hay un 84% de prosibilidades que haya

100 yogures con menos fruta de lo esperado.



c) p

(100

900< P <

108

900

)= p

(0,11− 0,10

0,01< z <

0,12− 0,10

0,01

)= p (1,11 < z < 2) = 97,72%− 84,38% = 13,34%, es

decir, hay un 13% de prosibilidades que haya entre 100 y 108 yogures con menos fruta de lo esperado.Sitomamos 100 muestras, aproximadamente 13 muestras de las 100.

3. Intervalo de con�anza de la media: Para estimar el gasto medio en libros y material escolar por alumno desecundaria en la enseñanza pública se toma una muestra de 121 de estos alumnos, resultando que dicho gasto medio esde 286 euros con una desviación típica de 65 euros. Se pide:

a) Estimar el gasto medio poblacional con una con�anza del 95%.

b) ¾De qué tamaño debería ser la muestra para, con una con�anza del 99%, cometer un error menor de 10 euros endicha estimación.

Solución:

Sea X=�El gasto en libros y material escolar por el alumno de secundaria�.

Si tomamos una muestra de n = 121alumnos obtenemos como datos muestrales x = 286¿ y σx = 65¿.

Si1− α = 95%, p(z ≤ zα

2

)= 0,97599K zα

2= 1,96

a) El intervalo de con�anza de la media poblacional se calcularía como:

Iµ =

(x± zα

2· σ√

n

)=

(286± 1,96 · 65√

121

)= (274,42, 297,58) es decir, el gasto medio poblacional estaría entre

274.42¿ y 297.58¿ con un nivel de con�anza del 95%.

b) Vamos a encontrar el tamaño muestral para obtener un error menor que 10¿ con un nivel de con�anza del 99%

E < 10 y si 1− α = 99% 99K zα2= 2,575

Si sustituimos en la expresión del error:

E = zα2· σ√

n99K10 > 2,575 · 65√

ny despejando la n:

√n >

2,575 · 6510

y ahora elevando al cuadrado:

(√n)

2>

(2,575 · 65

10

)2

, obtenemos que n > 281, es decir, debemos tomar al menos una muestra de tamaño 281

alumnos para obtener un error menor que 10¿ con un nivel de con�anza del 99%.

4. Intervalo de con�anza de la proporción: Una empresa de productos ecológicos desea estimar el número de familiasde la ciudad que comprarían sus productos. Para ello realiza una encuesta en 625 familias entre las que 200 respondierona�rmativamente.

a) ¾En qué intervalo se encuentra la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresacon una con�anza del 96%?

b) Usando la información que suministra la encuesta, ¾qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporciónde familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa, con un error menor que el 2% y con unacon�anza del 95%?

Solución:

Sea X=�Nº de familias que comprarían sus productos� cuya distribución puede ser X ∼ B (n, p)

Con la muestra tomada de 625 familias, obtenemos la proporción muestral p =200

625= 32%

a) Si α = 4%99K1− α = 96%, por tanto, p(z ≤ zα

2

)= 0,9899K zα

2= 2,055 es valor crítico asociado. El intervalo de

con�anza de la proporción poblacional sería:

Ip =

(p± zα

2·√p · (1− p)

n

)=

(0,32± 2,055 · ·

√0,32 · 0,68

625

)= (0,2817, 0,3583), es decir, la proporción de

familias que comprarían sus productos estarían entre un 28.17% y un 35.83% con un nivel de con�anza del 98%.

b) Vamos a encontrar el tamaño muestral para obtener un error menor que el 2% con un nivel de con�anza del 95%

E < 2% = 0,02 y si 1− α = 95%, por tanto, p(z ≤ zα

2

)= 0,97599K zα

2= 1,96




E = zα2·√p · (1− p)

n99K0,02 > 1,96 ·

√0,32 · 0,68

ny elevando al cuadrado:

(0,02

1,96

)2

>

(√0,32 · 0,68

n

)2

y ahora despejando la n:

n >0.32 · 0.68(

0.02

1.96

)2 y calculando: n > 2090, es decir, se debe tomar un tamaño muestral de al menos 2090 familias

para que el error sea menor del 2%.

OPCIÓN B

5. Distribución de la proporción. En una empresa que fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 2% de estosson defectuosos. Un cliente va a comprar un paquete de 100 microcircuitos procedentes de la fábrica. Determinar:

a) El número esperado de microcircuitos no defectuosos del paquete.

b) La probabilidad de que en un paquete de 100 haya más del 3% de microcircuitos defectuosos.

c) La probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 2 y 4.

Solución:

Consideramos los siguientes sucesos:

A=�El microcircuito es defectuoso� con p(A) = p = 2%

A=�El microcircuito es no defectuoso� con p(A) = q = 1− p = 98%

X=�Nº de microcircuitos defectuosos�

P=�Proporción de microcircuitos defectuosos de los 100�

Según el teorema central del límite sabemos que la variable aleatoria P se aproxima a una normal:

X ∼ B (N, 0,02)n>30, n·p>5, n·q>5

−−−−−−−−−−−−−− >n=100

P ∼ N (0,02, 0,014)

a) El número de microcircuitos no defectuosos es del 98%, es decir, 98% microcircuitos están bien.

b) Si tomamos la muestra de 100 microcircuitos, entonces:

p

(P >

3

100

)= p

(z >

0,03− 0,02

0,014

)= p (z > 0,71) = 23,89%, es decir, hay casi un 24% de prosibilidades que

haya más del 3% de microcircuitos defectuosos.

c) p

(2

100< P <

4

100

)= p

(0,02− 0,02

0,014< z <

0,04− 0,02

0,014

)= p (0 < z < 1,43) = 92,36%− 50% = 42,36%, es

decir, hay un 42% de prosibilidades que haya entre 2 y 4 microcircuitos defectuosos de los 100.

6. Intervalo de con�anza de la media: Para una muestra de 25 personas, el consumo medio diario de agua es de 115litros con una desviación típica de 18 litros.



Solución:

Sea X=�El consumo diario de agua�.

Si tomamos una muestra de n = 25 personas obtenemos como datos muestrales x = 115 litros y σx = 18 l.

Si1− α = 98%, p(z ≤ zα

2

)= 0,9999K zα

2= 2,325

a) El intervalo de con�anza de la media poblacional se calcularía como:

Iµ =

(x± zα

2· σ√

n

)=

(115± 2,325 · 18√

25

)= (106,63, 123,37) es decir, el consumo medio poblacional de agua

estaría entre 106 y 123 litros con un nivel de con�anza del 98%.



b) Vamos a encontrar el tamaño muestral para obtener un error menor que 5 litros con un nivel de con�anza del99%

E < 10 y si 1− α = 99% 99K zα2= 2,575


E = zα2· σ√

n99K5 > 2,575 · 18√

ny despejando la n:

√n >

2,575 · 185

y ahora elevando al cuadrado:

(√n)

2>

(2,575 · 18

5

)2

, obtenemos que n > 86, es decir, debemos tomar al menos una muestra de 86 personas

con un error menor de 5 litros con un con un nivel de con�anza del 99%.

7. Intervalo de con�anza de la proporción: Una nueva compañía telefónica desea estimar el número de viviendas dela ciudad que contratarían su servicio. Una vez realizada una encuesta en 400 viviendas, la empresa se encontró conque en 140 viviendas si contratarían su servicio.



Solución:

Sea X=�Nº de viviendas que contratarían el servicio en la nueva compañía telefónica�

Con la muestra tomada de 400 viviendas, obtenemos la proporción muestral p =140

400= 35%

a) Si 1− α = 98%, por tanto, p(z ≤ zα

2

)= 0,9999K zα

2= 2,325 es valor crítico asociado. El intervalo de con�anza

de la proporción poblacional sería:

Ip =

(p± zα

2·√p · (1− p)

n

)=

(0,352± 2,325 ·

√0,35 · 0,65

400

)= (0,2211, 0,4789), es decir, la proporción de

viviendas que piensan contratar el servicio con la nueva compañía se encuentra entre un 22% y un 48% con unnivel de con�anza del 98%.

b) Vamos a encontrar el tamaño muestral para obtener un error menor que el 2% con un nivel de con�anza del 95%

E < 2% = 0,02 y si 1− α = 95%, por tanto, p(z ≤ zα

2

)= 0,97599K zα

2= 1,96


E = zα2·√p · (1− p)

n99K0,02 > 1,96 ·

√0,35 · 0,65

ny elevando al cuadrado:(

0,02

1,96

)2

>

(√0,35 · 0,65

n

)2

y ahora despejando la n:

n >0.35 · 0.65(

0.02

1.96

)2 y calculando: n > 2185, es decir, se debe tomar un tamaño muestral de al menos 2185 viviendas

para que el error sea menor del 2% con un nivel de con�anza del 95%.



a) 0.75 puntos

b) 1.25 puntos

a) 0.75 puntos

b) 1.5 puntos

a) 1.25 puntos

b) 1.25 puntos





15. 3ª Evaluación 10o Examen (10/05/2018) Manu




Nombre: ______________________________________________ 10 / 05 / 2018




OPCIÓN A

1. Se quiere estimar la media del consumo, en litros, de leche por persona al mes. Sabiendo que dicho consumo sigue una normal

con desviación típica de 6 litros.

a) ¾Qué tamaño muestral se necesita para estimar el consumo medio con un error menor de 1 litro y con un nivel de con�anzadel 96%?

b) Si la media del consumo mensual de leche por persona fuese igual a 21 litros, hallar la probabilidad de que la media de unamuestra de 16 personas sea mayor que 22 litros.

2. En una ciudad española la altura de sus habitantes tiene una desviación típica de 8 cm. Se pide:

a) Si la altura media de dichos habitantes fuera 175 cm., ¾Cuál sería la probabilidad de que la altura media de una muestrade 100 individuos tomada al azar fuera superior a 176cm?

b) Si se considera una muestra aleatoria de 100 individuos de esta ciudad se obtiene una altura media de 178 cm. Determinaun intervalo de con�anza del 95% para la altura media de los habitantes de esta ciudad.

3. Con un nivel de con�anza igual a 0.95, a partir de un estudio muestral, el intervalo de con�anza de la proporción de habitantes

de una comunidad que tienen ordenador portátil es [0.1804, 0.2196].

a) ¾Cuál es el tamaño de la muestra?

b) ¾Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporción, con una con�anza del 95%, con un error máximode 0.01?



a) 1.25 puntos

b) 1.25 puntos

a) 1 punto

b) 1.25 puntos

a) 1 puntos

b) 1.25 puntos


�Pon tu futuro en buenas manos, las tuyas.� Anónimo



OPCIÓN B

4. En una empresa que fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 2% de estos son defectuosos. Un cliente va acomprar un paquete de 100 microcircuitos procedentes de la fábrica. Determinar:

a) La probabilidad que haya más del 3% de microcircuitos defectuosos.

b) La probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 2 y 4.

5. Para una muestra de 25 personas, el consumo medio diario de agua es de 115 litros con una desviación típica de 18litros.



6. Una nueva compañía telefónica desea estimar el número de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio. Una vezrealizada una encuesta en 400 viviendas, la empresa se encontró con que en 140 viviendas si contratarían su servicio.





a) 1.25 puntos

b) 1.25 puntos

a) 1 punto

b) 1.25 puntos

a) 1 puntos

b) 1.25 puntos


�Todos nuestros sueños se pueden volver realidad si tenemos el coraje de perseguirlos�

Walt Disney


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