1. Dados los siguientes vectores:

(a) Efectúa gráficamente las operaciones −→u +−→v , 13u, −4−→v y 2−→u − 3−→v .

(b) Dibuja un vector −→w que sea equipolente a −→v .

(c) Define el concepto de vector libre y relaciónalo con el concepto de vector fijo.

Solución:

(a)

1

(b)

(c) Un vector libre es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí. Cada vector �jo es un repre-

sentante del vector libre.

2. Las coordenadas de un punto B son(−4, 1

2

). ¾Cuáles son las coordenadas de otro punto A si las del

vector−→AB son

(−2, 3

2

)? Representa gráficamente los dos puntos y el vector.

Solución:

−−→AB = B −A⇒ A = B −−−→AB =

(−4, 1

2

)−(−2, 3

2

)=(−4 + 2, 1

2 −32

)= (−2,−1)

3. Calcula el punto medio del segmento AB y la distancia entre los puntos A y C.

Solución:

Las coordenadas del punto medio del segmento AB, M, vienen dadas por:

M = 12 · (A+B) = 1

2 · [(−3, 0) + (0, 4)] = 12 · (−3, 4) =

(− 3

2 , 2)

La distancia entre los puntos A y C coincide con el módulo del vector−→AC.

−→AC = C −A = (4, 4)− (−3, 0) = (7, 4)⇒

∣∣∣−→AC∣∣∣ = √72 + 42 =

√49 + 16 =

√65 ' 8′06 unidades

4. Resuelve:

(a) Calcula el módulo, el producto escalar y el ángulo que forman los vectores −→a = (3,−2) y−→b = (−1, 5).

2

(b) ¾Son perpendiculares los vectores −→c = (1, 2) y−→d = (−4, 2)? ¾Por qué?

Solución:

(a) |−→a | =√

32 + (−2)2 =√9 + 4 =

√13 ' 3′606∣∣∣−→b ∣∣∣ =√(−1)2 + 52 =

√1 + 25 =

√26 ' 5′099

−→a · −→b = 3 · (−1) + (−2) · 5 = −13−→a · −→b = |−→a | ·

∣∣∣−→b ∣∣∣ · cos∠(−→a ,−→b)⇒ cos∠

(−→a ,−→b)=−→a ·−→b|−→a |·

∣∣∣∣−→b ∣∣∣∣ = −13√13·√26

= −1313·√2= −1√

2' −0′707 ⇒⇒

∠(−→a ,−→b)= 135◦

(b) Serán perpendiculares si forman un ángulo de 90◦, lo cual motiva que el coseno del ángulo que forman

valdría 0, y por tanto, según la fórmula utilizada en el apartado (a), el producto escalar de ambos vectores

valdría también 0. Comprobémoslo:

−→c · −→d = 1 · (−4) + 2 · 2 = −4 + 4 = 0. Por tanto, −→c y−→d sí son perpendiculares.

5. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A = (2, 3) con vector director −→v = (1,−2) Enlas formas vectorial, paramétrica, continua, general y explícita.

Solución:

Ecuación vectorial: −→p = −→a + t · −→v ⇒ (x, y) = (2, 3) + t · (1,−2)

Ecuaciones paramétricas: (x, y) = (2 + 1 · t, 3− 2 · t)⇒

{x = 2 + 1t

y = 3− 2t

Ecuación continua:

{t = x−2

1

t = y−3−2

⇒ x−21 = y−3

−2

Ecuación general: −2 · (x− 2) = 1 · (y − 3)⇒ −2x+ 4 = y − 3⇒ −2x− y + 7 = 0

Ecuación explícita: −y = 2x− 7⇒ y = −2x+ 7

6. Encuentra un punto y un vector director de las rectas dadas por las siguientes ecuaciones: 2x−5y+

12 = 0 y

{x = −2 + 3t

y = 1− t.

Solución:

• 2x− 5y + 12 = 0⇒ el vector director puede ser, directamente, −→u = (−B,A) = (5, 2). Para calcular un

punto de la recta elegimos un valor cualquiera, por ejemplo x = −1, y despejamos: 2 · (−1)− 5y + 12 =

0⇒ −2− 5y + 12 = 0⇒ −5y = −10⇒ y = 2. Así, un punto de la recta puede ser el (−1, 2).

•

{x = −2 + 3t

y = 1− t⇒ el vector director es (3,−1) y un punto de la recta puede ser (−2, 1).

7. Averigua si los vectores−−−−→puebla = (1,−2), −−−−−−→el puente = (−3, 5) y −−−−−−→mombuey = (0, 2) son linealmente dependi-

entes. De serlo, calcula los escalares que lo permiten.

Solución:

Tres vectores en el plano son siempre linealmente dependientes, por tanto en el caso que nos ocupa también

lo son. Obtengamos los escalares pedidos:

−−−−→puebla = x ·−−−−−−→el puente+y ·−−−−−−→mombuey ⇒ (1,−2) = x ·(−3, 5)+y ·(0, 2) = (−3x, 5x)+(0, 2y) = (−3x, 5x+ 2y)⇒

⇒

{1 = −3x

−2 = 5x+ 2y⇒ 1 = −3x⇒ x = − 1

3

3

−2 = 5x+ 2y ⇒ −2 = − 53 + 2y ⇒ 2y = −2 + 5

3 ⇒ 2y = − 13 ⇒ y = − 1

6

Los escalares buscados son x = −13 , y = −1

6 .

8. Sean las rectas r : ax + by + c = 0 y s : dx + ey + f = 0. Estudia su posición relativa en función de los

parámetros a, b, c, d, e, f.

Solución:{ax+ by + c = 0

dx+ ey + f = 0

• Si ad 6=

be , entonces las dos rectas son secantes.

• Si ad = b

e 6=cf , entonces las dos rectas son paralelas.

• Si ad = b

e = cf , entonces las dos rectas son coincidentes.

4