examen unidad iii
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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Cátedra: Matemáticas. Examen (Corte I)
Evaluación: 30% del Semestre
Valor de examen: 20 ptos
Periodo 2015-2
Matemática II
Resultados del Examen
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Total
Nota
Fecha de Aplicación: _______________________________________
Nombre y Apellido: _________________________________________
Cédula de Identidad del Participante: ___________________________
Código de la Carrera en la que Participa: ________________________
INSTRUCCIONES GENERALES.
SEMESTRE II
INGENIERÍA
Con la aplicación del siguiente examen correspondiente al corte I, se estarán
evaluando las unidades 1 y 2 del programa de la asignatura matemática II del Instituto
Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
El examen está estructurado en cuatro (4) partes: Verdadero y falso, completación,
selección múltiple y desarrollo. El total de preguntas es de catorce (14)
Al iniciar cada parte del examen; usted debe leer detenidamente las instrucciones y
responder de acuerdo a ellas. Traté de Responder primeramente los ejercicios de menor
grado de dificultad para usted.
Para responder el examen, usted dispone de 3 horas, culminado este tiempo, usted
deberá regresar al profesor el examen respondido y con todos los datos llenos solicitados
en la carátula.
Solo estará permitido el uso de calculadoras científicas no programables, las tablas
que sirven de apoyo a la materia las cuales serán revisadas antes de dar inicio al examen,
lápices de grafito, saca puntas, borrador, juego de escuadras y compás
Antes de dar inicio a la aplicación del examen, usted deberá apagar su teléfono
celular eso evitará la distracción suya y la de sus compañeros.
Para el logro de la pregunta usted deberá responder correctamente todo lo
solicitado en cada una de ellas.
“Éxito”
I PARTE (VERDADERO O FALSO)
Instrucciones: A continuación se presentan varias afirmaciones. Analiza si cada una de
ellas es verdadera o falsa. Explique su respuesta. Cada respuesta correcta tiene el valor de un
punto (1 Pto.)
1) Las integrales definidas surgen del concepto de antiderivación....................... ( )
2) Dada la formula ∫cos udu=cosu+c entonces es............................................ ( )
3) La identidad trigonométrica sen2 x=cos2−1 es…………………....................... ( )
4) La integral de ∫ x5dx=5 x+cse dice que es…………...................................... ( )
II PARTE: COMPLETACIÓN Instrucciones: en cada una de las siguientes preguntas escribe el término que le dé
lógicamente un significado verdadero a la proposición. Cada respuesta correcta tiene el valor un
punto (1 Pto.)
5) Dada ∫ senudu= _________________________________________________________
6) La integración de expresiones de la forma ∫ P (x)Q(x )
dx donde el polinomio Q(x) ha
de ser:
____________________________________________________________________
7) La integral por partes ∫udv = _______________________________________________
III Parte: SELECCIÓN MULTIPLE
Instrucciones: En cada uno de los siguientes ítems selecciona la alternativa que consideres
correcta. Cada respuesta bien respondida tiene el valor de un punto (1 Pto.).
8) La integral = ∫ dxX 4
=¿
a) x3
3+C b) 5 x+C
c) x−3
5+C d)−x
−3
3+C
9) La integral ∫ (x2+5 )3 xdx=¿¿
a) 14
(x3+5 )4+C b) 14
(x3+5 )3+C
c) 18
(x2+5 )4+C d) 18
(x3+25 )3+C
10) La integral ∫ x sec2 ( x )dx=¿
a) x3 tan ( x )−ln|sec ( x )|+C b) tan ( x )+ ln|sec ( x )|+C
c) tan ( x )−ln|sec ( x )|+C d) xtan ( x )−ln|sec ( x )|+C
11) La integral ∫ dx√ x2−64
=¿¿
a) sec ( x )+ tan ( x )+C b) ln|x3+√ x−64|+C
c) ln|sec2 ( x )+ tan2 ( x )|+C d) ln|x+√ x2−64|+C
IV Parte: DESARROLLO
Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas en forma ordenada y detallada. Cada
respuesta correcta tiene un valor de tres puntos (3 Pts.).
12) ∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )
dx
13) ∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx
14) ∫ (x2+7 x−5 )cos (2 x )dx
Ver patrón de corrección
PATRÓN DE CORRECCIÓN
I PARTE: VERDADERO O FALSO
1) Las integrales definidas surgen del concepto de antiderivación..................................... (V)
Respuesta: verdadero, porque la integración es lo inverso de la derivación.
2) Dada la formula ∫cos udu=cosu+c entonces es...................................................... (F)
Respuesta: falso, porque la integral anterior es una integral directa definida en las
tablas de integrales así: ∫cos udu=senu+C
3) La identidad trigonométrica sen2 x=cos2−1 es.......................................................... (F)
Respuesta: falso, porque la identidad trigonométrica correcta es: sen2 (x )+cos2 ( x )=1
4) La integral de∫ x5dx=5 x+c es................................................................................. (F)
Respuesta: falso, porque es una Integral directa que según las tablas de integrales la
definen como ∫undu= un+1
n+1+C ,conn≠−1, luego la solución es ∫ x5dx=¿ x
6
6+C ¿
II PARTE: COMPLETACIÓN
5) Dada ∫ senudu= −cos (u )+C_ Integral directa que se define en las tablas de
integrales_
6) La integración de expresiones de la forma ∫ P (x)Q(x )
dx donde el polinomio Q(x) ha
de ser: _Q ( x )≠0__De no ser así, no estaría definida en el campo de los números
reales__________________________________________________________________
7) La integral por partes ∫udv = uv−∫ vdu__Fórmula que se aplica para determinar las
integrales por partes_______________________________________________________
III Parte: SELECCIÓN MULTIPLE
8) La integral = ∫ dxX 4
=¿ , Al subir el denominador el exponente cambia de signo de esta
forma ∫ dxx4
=∫ x−4dx ; se integra usando la fórmula ∫undu= un+1
n+1+C ,conn≠−1
luego la integral resultante es ∫ x−4dx= x (−4+1)
(−4+1 )=−x−3
3+C , por lo tanto la opción
correcta, es la opción (d)
9) La integral ∫ (x2+5 )3 xdx=¿¿ , Aquí aplica un cambio de variable de la siguiente
forma:
u=x2+5 , du=2 xdx y du2
=xdx ; luego, aplicando este cambio de variable en la
integral original quedaría de esta forma: ∫ (x2+5 )3dx=∫u3 du2 =12∫u
3du
Al proceder a resolver la integral, utilizando la fórmula ∫undu= un+1
n+1+C ,conn≠−1
resulta 12∫ u
3du=¿( 12 )( u4
4 )+C=u4
8+C ¿ , posteriormente se procede a devolver el
cambio de esta forma u4
8+C=
(x2+5 )4
8+C=1
8(x2+5 )4+C , por lo tanto la opción
correcta, es la opción (c)
10) La integral ∫ x sec2 ( x )dx=¿ , para resolver esta integral se aplica el método de
integración por parte cuya formula ∫udv = uv−∫ vdu ; se procede a realizar los
siguientes cambios u=x , du=dx y dv=sec2 ( x )dx , integrando esta última en
ambos términos ∫ dv=∫sec2 ( x )dx, arroja como resultado lo siguiente: v=tan ( x ) ,
luego aplicando el cambio de variables a la fórmula de integrales por parte resulta lo
siguiente ∫ x sec2 ( x )dx= xtan ( x )−∫ tan ( x )dx .
Resolviendo la integral ∫ tan ( x )dx por medio de la fórmula directa de integración
∫ tan xdx=ln|sec ( x )|+C
Queda finalmente como resultado que: ∫ x sec2 ( x )dx= xtan ( x )−ln|sec (x )|+C , por lo
tanto la opción correcta, es la opción (d)
11) La integral ∫ dx√ x2−64
=¿ , para resolver esta integral se aplica el método de sustitución
trigonométrica así:
Sea x=8 sec (u); donde
0<u< π2, Si x>8 y π<u<(3 π2 ) , si x←8. Entonces dx=8 sec u tan udu , luego
aplicando los cambios en la integral original resulta algo como lo que se muestra a
continuación: ∫ dx√ x2−64
=∫ 8 sec(u) tan(u)du√82 sec2 (u )−82; ahora bien ∫ 8 sec (u) tan(u)du√82 sec2 (u )−82
se
puede simplificar así:
∫ 8 sec (u) tan(u)du√82 sec2 (u )−82=88∫
sec (u ) tan (u )du
√sec2−1=∫ sec (u ) tan (u )du
√ tan2 (u )=∫ sec (u ) tan (u )du
tan (u ),
finalmente ∫ dx√ x2−64
=∫ sec (u )du=ln|sec (u )+ tan (u )|+C , seguidamente se
devuelve el cambio a la variable X. para ello hay que apoyarse en las siguientes figuras.
y
x
√ x2−64
8
x
Figura 1 (X>8)
y
x
−√ x2−64
-8
-x
Figura 2 (X<-8)
En ambas figuras, se puede apreciar que sec (u )= x8 y tan (u )=√x2−64
8 , aplicando a:
∫ dx√ x2−64
=∫ sec (u )du=ln|sec (u )+ tan (u )|+C , Resulta:
∫ dx√ x2−64
=ln|x8+ √ x2−648 | Luego;
∫ dx√ x2−64
=ln|x+√x2−64|−ln (8 )+C.
Nota: el Ln (8) es una constante, por lo tanto se le suma a la constante C, finalmente el
resultado queda así: ∫ dx√ x2−64
=ln|x+√x2−64|+C , esto implica que la opción
correcta, es la opción (d)
IV Parte: DESARROLLO
12) ∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )
dx , para resolver esta integral, hay que apoyarse en el método de las
fracciones parciales a saber:
∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )
dx=∫ ( x−1 )x (x2−x−2 )
dx=∫ [ Ax + B( x−2 )
+ C( x+1 ) ]dx
Factorización:
Ecuación N° 1 [ ( x−1 )
(x3−x2−2x )¿=¿]
Regla del método:
Ecuación N° 2 [ ( x−1 )x ( x−2 ) (x+1 ) ]=[ Ax + B
( x−2 )+ c
( x+1 ) ] Nota: x≠0 ,2 ,−1
{Hasta aquí considere un punto}
Resolviendo:
De la ecuación II se obtiene:
Ecuación N° 3 ( x−1 )= [ (A+B+C ) X2+(−A+B−2C ) X−2 A ], esta ecuación es una
identidad, la cual es cierta para todos los valores de x incluyendo 0,2 y –1. Deseamos
encontrar las constantes, A, B, y C. De aquí se desprende lo siguiente:
A+B+C = 0 A =12
-A+B-2C = 1 B = 16
-2A= -1 C = −23
{Hasta aquí considere dos puntos}
Ahora se sustituyen los valores de las variables A , B , y C en la integral y queda de esta
forma:
∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )
dx=∫ [ AX + B(X−2 )
+ C(X+1 ) ]dx=∫ [( 12x )+( 1
6( x−2 ) )+( −2
3(x+1 ) )] dx
Se aplica propiedades de las integrales y resultan:
∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )
dx= 12∫
dxx
+ 16∫
dx( x−2 )
−23∫
dx( x+1 )
Nos apoyamos en la integral inmediata ∫ duu =ln|u|+C , y se hacen los cambios de
variables necesarios para obtener los resultados de cada una de las integrales
resultantes, así:
a) 12∫
dxx
=12ln|x|+C
b) 16∫
dx( x−2 )
=16∫
duu
=16ln|u|+C=1
6ln|x−2|+C , haciendo u= (x-2) y du=dx
c) −23 ∫ dx
(x+1 )=−23 ∫ duu =−2
3ln|u|+C=−2
3ln|x+1|+C , haciendo u= (x+1) y
du=dx. Por lo tanto:
∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )
dx= 12ln|x|+ 1
6ln|x−2|−2
3ln|x+1|+C
{Hasta aquí considere tres puntos}
13) ∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx , para resolver esta integral nos apoyaremos en el álgebra de
integrales mediante la siguiente fórmula ∫ [ f (u )+g (u ) ] du=¿∫ f (u )du+∫ g (u )du ,¿
{Hasta aquí considere un punto}
Ahora aplicando la fórmula respectiva y haciendo los arreglos pertinentes se tiene:
∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx=5∫ x3dx+6∫ x2dx+3∫ x dx+5∫ dx
Para resolver se utiliza ∫undu= un+1
n+1+C ,conn≠−1
{Hasta aquí considere dos puntos}
Finalmente:
∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx=5∫ x3dx+6∫ x2dx+3∫ x dx+5∫ dx=54 x4+2 x3+ 3
2x2+5 x+C
∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx=54x4+2x3+3
2x2+5 x+C
{Hasta aquí considere tres puntos}
14) ∫ (x2+7 x−5 )cos (2 x ) dx, para resolver esta integral se aplica el método de integración
por parte cuya formula ∫udv = uv−∫ vdu ; se procede a realizar los siguientes
cambios u=(x2+7 x−5 ) , du=(2 x+7 )dx y dv=cos (2x ) dx , integrando esta última
en ambos términos ∫ dv=∫cos (2 x )dx , arroja como resultado lo siguiente:
v= sen (2 x )2
, luego aplicando el cambio de variables a la fórmula de integrales resulta
∫ (x2+7 x−5 )cos (2 x )dx=12 [ (x2+7x−5 ) (sen (2x ) ) ]−12∫ ( sen (2 x ) ) (2 x+7 )dx .
{Hasta aquí considere un punto}
Aplicamos el método de integración por partes a la última integral, teniendo en cuenta
que:
u= (2 x+7 )2
, du=dx , dv=se n (2x )dx , y v=−cos (2x )2
, luego
∫ [ (2 x+7 )2 ] [ sen (2x ) ]dx=−1
4(2 x+7 ) [cos (2x ) ]+ 12∫ cos (2 x )dx
∫ [ (2 x+7 )2 ] [ sen (2x ) ]dx=−1
4(2 x+7 ) [cos (2 x ) ]+ 14 sen (2x )+C
{Hasta aquí considere dos puntos}
Finalmente:
∫ (x2+7 x−5 )cos (2 x ) dx=12 [ (x2+7x−5 ) (sen (2x ) ) ]+ 14 [ (2 x+7 ) ( cos (2x ) ) ]−14 [sen (2 x ) ]+C
{Hasta aquí considere tres puntos}