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Universidad del PacíficoManual de imagenLogotipo institucional

EXAMEN PARCIAL

Matematicas I Miercoles 07 de octubre de 2015

Verifique que son cinco preguntas, 20 puntos. Duracion: 120 minutos.

Esta estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el prestamo

de materiales.

No hay consultas; si considera que alguna pregunta esta errada o mal propuesta corrija

el enunciado y justifique su proceder.

Justifique su respuesta.

Son importantes el orden y la claridad en la presentacion de su trabajo, caso contrario

se puede invalidar completamente la respuesta.

1 2 3 4 5 NOTA

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1. (4 pts.) Determine el conjunto solucion:

a) 3JxK2 � 6JxK = 5JxK � 10

Solucion:

3JxK2 � 11JxK + 10 = 0

(3JxK � 5) · (JxK � 2) = 0

(JxK = 5

3) _ (JxK = 2)

(?) _ (x 2 [2; 3[)

) C.S. = [2; 3[

b) |x� 2||x| > 3

Solucion:

|(x� 2) · (x)| > 3

|x2 � 2x| > 3

(x2 � 2x > 3) _ (x2 � 2x < �3)

(x2 � 2x� 3 > 0) _ (x2 � 2x+ 3 < 0)

((x� 3) · (x+ 1) > 0) _ ((x� 1)2+ 2 < 0)

(x 2]�1;�1[[]3; +1) _ (?)

x 2]�1;�1[[]3; +1[

) C.S. =]�1;�1[[]3; +1[

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2. (4 pts.) Responda.

a) Aplicando algebra de lımites, calcular:

Solucion:

lımn!1

⇣npe⇡+2n

⌘= lım

n!1

⇣e

⇡+2nn

⌘=

⇣e

lımn!1

(⇡n+ 2nn )⌘= e(0+2)

= e2

b) Las coordenadas de un triangulo son P = (1; 4), Q = (�16;�2) y R = (�1; 18).

Sea C la circunferencia con centro en P y sea l una recta tangente a C. Sabiendo

que el segmento QR ⇢ l:

Solucion:

Determinar el punto de tangencia.

pendQR =4

3^ (�1; 18) : y � 18 =

4

3(x+ 1)... (i)

pendP = �3

4^ (1; 4) : y � 4 = �3

4(x� 1)... (ii)

De (i) y (ii) obtenemos el punto de tangencia: T = (�7; 10)

Determinar la ecuacion de la circunferencia C.

r = d(T, P ) =

p(�7� 1)2 + (10� 4)2 =

p100 = 10

C : (x� 1)2+ (y � 4)

2= (10)

2

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3. (4 pts.) Las graficas de la Oferta y la Demanda de un bien z en el plano R+0 x R+

0 son

perpendiculares. Sabiendo que el punto de equilibrio es (pe, qe) = (25; 20); determinar:

pe

40

qe

Solucion:

a) La ecuacion general de la Oferta.

pend(Op) =5

4^ (25; 20) : q � 20 =

5

4(p� 25)... (i)

De (i) obtenemos la ecuacion general: 5p� 4q � 45 = 0

b) La ecuacion general de la Demanda.

pend(Dp) = �4

5^ (25; 20) : q � 20 =

4

5(p� 25)... (ii)

De (ii) obtenemos la ecuacion general: 4p+ 5q � 200 = 0

c) El Excedente del Consumidor.

En la ecuacion general Dp, si q = 0 obtenemos: 4p+ 5(0)� 200 = 0 ! p = 50

Dado el triangulo rectangulo de base b = 50�25 = 25 y altura h = 20. Calculamos

el area (Excedente del Consumidor): Ec =25 · 20

2= 250

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4. (4 pts.) Dada una Region cuya poblacion consta de n personas, sea xi el ingreso de la i-

esima persona; i 2 {1, 2, 3, ..., n}. Consideremos que los ingresos de las n personas estan

ordenados de manera creciente, esto es: 0 xi xi+1. Se considera pobre monetario

a toda persona cuyo ingreso es igual o menor a un valor pre-establecido, denominado

lınea de pobreza.

Solucion:

a) Sea z la lınea de pobreza y p la cantidad de personas pobres: xp z. Determine

la relacion entre xp+1 y z. Justifique.

Si existen p pobres, p 2 N, entonces (p+ 1) no es pobre.

En consecuencia: xp+1 > z.

b) La insuficiencia de ingreso de un pobre se definide como (z � xi), donde i p.En consecuencia, la insuficiencia de ingreso para todos los pobres de la Region es

H =

pX

i=1

(z � xi). ¿Cual es el valor maximo de H? Justifique.

H =

pX

i=1

(z � xi) = (z � x1) + (z � x2) + ...+ (z � xp) = pz �pX

i=1

(xi)

H asume su valor maximo haciendo mınimo el ingreso: xi = 0; 1 i p.

) H = pz � p(0) = pz

c) Se define la razon de insuficiencia de ingreso I por: I =1

pz

pX

i=1

(z � xi). Sea m el

ingreso promedio de los pobres; es decir: m =1

p

pX

i=1

xi. Demostrar que I = 1�m

z.

I =1

pz

pX

i=1

(z � xi) =1

pz[pz �

pX

i=1

(xi)] = 1� 1

z[1

p

pX

i=1

xi] = 1� 1

z[m] = 1� m

z

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5. Dada las graficas en el plano cartesiano, responda:

�8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

�7

�6

�5

�4

�3

�2

�1

1

2

3

4

5

6

7

0

d

Solucion:

a) Determine la ecuacion de la elipse, de centro E = (�3; 2)

De la grafica, la longitud de a es 4 y la de b es 3.

) (x+ 3)2

42+

(y � 2)2

32= 1

b) Determine la ecuacion de la hiperbola, de centro H = (4; 0)

De la grafica, la longitud de b es 4 y la de a es 3.

) (y � 0)2

42� (x� 4)

2

32= 1

c) Determine las ecuaciones de las asıntotas.

La ecuacion de la asıntota de pendiente positiva es: y =4

3(x� 4).

La ecuacion de la asıntota de pendiente negativa es: y = �4

3(x� 4).