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MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CIENCIAS
EXAMEN INTEGRALES 1
Calcula las siguientes integrales:
1) ∫ ++ dxxx
2
2
12
2) ∫ −
− dxx 216
2
3) ∫ dxxcos2
4) ∫ dxxtg 52
5) ( )∫ + dxex x23
6) ∫ dxxarctgx 2
7) ∫ ⋅ dxxcosxsen 2
8) ∫ dxxln 2
9) ( )∫ −− dxxxx 21 2
10) ∫ − dxxsene x 4
PUNTUACIÓN: 1 punto cada integral
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CIENCIAS
SOLUCIONES
1) ∫ ++ dxxx
2
2
12 Cxxarctgdx
xxdx
x++=
++
++
= ∫ ∫ 2
2
2 11
11
2) ∫ −
− dxx 216
2=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=
−
−
= ∫ ∫ dxx
dxx 22
41
412
161616
42
Cxarcsen +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
42
3) ∫ dxxcos2 ∫ =⋅= dxxcosxcos ( ) =−⋅− ∫ dxxsenxsenxcosxsen (1)
⎭⎬⎫
=−=
⎭⎬⎫
=
=
senxvdxxsendu
dxxcosdvxcosu
(1)= ( )∫ ∫ →−+=+ dxxcosxcosxsendxxsenxcosxsen 22 1
∫ dxxcos2 ∫ →−+= xdxcosxxcosxsen 2 xxcosxsendxxcos +=∫ 22
Cxxcosxsendxxcos ++
=→ ∫ 22
4) ∫ dxxtg 52 ∫ ∫∫ ∫ =−=−
== dxdxxcos
dxxcosxcosdx
xcosxsen
51
551
55
22
2
2
2
∫ +−=−= Cxxtgxdxxcos
551
55
51
2
5) ( )∫ + dxex x23 ( ) ∫ =−+= dxexex xx 23 32 ( ) [ ] =−−+ ∫ dxxeexex xxx 232 23
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
+=xx ev
dxxdudxedv
xu 23 32
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=xx evxdxdu
dxedvxu 22
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
⎭⎬⎫
=
=xx evdxdu
dxedvxu
( )∫ + dxex x23 = ( ) [ ]∫−+−+ dxexeexex xxxx 632 23
( )∫ + dxex x23 = ( ) ( ) CexxxCeexexex xxxxx +−+−=+−+−+ 4636632 2323
6) ∫ dxxarctgx 2 ∫∫ +−=
+−= dx
xxxarctgxdx
xxxarctgx
2
22
2
22
414
412
2412
2
( )
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
+=
⎭⎬⎫
=
=
2
212
22
2
xv
dxx
du
dxxdvxarctgu
∫ dxxarctgx 2 ∫∫ +−=+
−+−= dxxarctgxdx
xxxarctgx
412
241114
412
2
2
2
22
∫ =+
+ dx)x( 221
141
∫ +⋅+− dx
)x(xxarctgx
2
2
212
21
41
412
2
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CIENCIAS
∫ dxxarctgx 2 = =++− Cxarctgxxarctgx 281
412
2
2
Cxxarctgx+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
42
814 2
7) ∫ ⋅ dxxcosxsen 2 ∫ +== Ctdtt3
32 Cxsen
+=3
3
dxxcosdtxsent =→=
8) ∫ dxxln 2 ( ) ∫ ∫∫ +−−=−
−−= dxxdxlnxlnxxlnxdxx
xxlnxxxlnxxln 2
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
⎭⎬⎫
=
=
−=−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
==
=
⎭⎬⎫
=
=∫
∫xv
dxx
dudxdvxlnu
xxlnxdxxxxlnx(*)
(*)xdxlnv
dxx
du
xdxlndvxlnu
11
∫ dxxln 2 = CxxlnxxlnxCxxxlnxxlnxxlnx ++−=+++−− 2222
9) ( )∫ −− dxxxx 21 2 ∫ ∫∫ ==−−= dttdttdxxx)x( 21
2
21
21212
21
dx)x(dx)x(dtxxt 122222 −=−=→−=
( )∫ −− dxxxx 21 2 ( ) CxxCtCt+−=+=+=
32232
3
231
31
232
1
10) ∫ − dxxsene x 4 = ∫ =−− −− dxxcosexcose xx 4414
41
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
= −
xcosv
dxedu
dxxsendveu
xx
4414
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=−
−
xsenv
dxedu
dxxcosdveu
xx
4414
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−−= ∫ −−− dxxsenexsenexcose xxx 4
414
41
414
41
Llamamos ∫ −= dxxseneI x 4 y tenemos que:
→−−−= −− IxsenexcoseI xx
1614
1614
41 xsenexcoseII xx 4
1614
41
16−− −−=+
→−−= −− xsenexcoseI xx 41614
41
1617 CxsenexcoseI xx +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−= −− 4
1614
41
1716