Examen Geometría Analítica. 1ºBACH CCNNMateria: MATEMÁTICAS

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NOTA

1. (2 puntos). Explica teóricamente qué es una combinación lineal de vectores y expresa el vector w⃗ (8 ,−6) como combinación lineal de los vectores u⃗ (2 ,−3 ) y v⃗ (−2 ,1). Haz una representación gráfica que explique el resultado.

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es una

combinación lineal de y . (0,5 puntos)

Por tanto en el ejercicio se pide encontrar dos números reales, o dos escalares a y b, tales que el vector w⃗=a u⃗+b v⃗. Sustituyendo los vectores por sus coordenadas, la expresión se convertiría en:

(8 ,−6)=a (2 ,−3)+b(−2,1)

Desarrollando las operaciones

(8 ,−6)=(2a ,−3a)+(−2b ,b)

(8 ,−6)=(2a−2b ,−3a+b)

Igualando coordenadas separadamente se obtiene el siguiente sistema:

{ 8=2a−2b−6=−3a+b (0,5 puntos)

Al resolverlo se obtienen las soluciones a=1 yb=−3. (0,5 puntos)

Gráficamente se representaría del siguiente modo. (0,5 puntos)

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NOTA

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2. (2 puntos). Se ejerce una fuerza, F1, de 130 N, sobre un tornillo A, según muestra la figura. Calcula:

(1) Las componentes Fx y Fy de dicha fuerza (coordenadas cartesianas). Trabaja sin decimales.

(2) Las componentes de otra fuerza F2 que cumpla que al sumarla con la F1, la fuerza resultante F de ambas sea de 212N y se ejerza en sentido negativo sobre el eje x.

(1) Para calcular las componentes Fx y Fy de dicha fuerza (coordenadas cartesianas) se utiliza el triángulo que se forma entre el vector y el eje X y las definiciones de las razones trigonométricas. Como el módulo es 130 y el ángulo 145º, las coordenadas quedan:

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NOTA

F⃗=(F x ,F y )= (130·cos145 ,130· sen145 )=(−106' 49 ,74 ' 56)

Como fuerzas, se podrían escribir así:

F⃗ x=(130·cos145 ,0)=(−106' 49 ,0)

F⃗ x=(0 ,130 · sen145 )=(0 ,74 ' 56)

(1 punto)

(2) Para encontrar F⃗2, planteamos la ecuación:

F⃗=(−212 ,0 )=F⃗1+ F⃗2=(−106' 49 ,74 '56 )+(x , y) (0,5 puntos)

Desarrollando la suma e igualando las coordenadas se obtiene el siguiente sistema del que se sacan fácilmente las coordenadas de F⃗2.

{−212=−106 '49+x0=74' 56+ y

→{x=−212+106' 49y=−74 '56

→{x=−205 ' 51y=−74 '56 (0,5 puntos)

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3. (3 puntos) Sea r la recta que pasa por los puntos P(−3, 5)

y Q(−1, 2)

. Se pide:

a) Hallar la ecuación continua y punto pendiente de r.

b) Hallar la ecuación general de la recta s paralela r que pasa por A(−2, 7 )

.c) Hallar el ángulo que forman r y la recta t paralela al eje X que interseca a r en P.

a) Calculamos el vector director de la recta a partir de los dos puntos

v⃗r=P⃗Q=(−1−(−3 ) ,2−5 )=(2 ,−3) (0,25 puntos)

Con vector y un punto, por ejemplo P, ya podemos escribir la ecuación continua de la recta:

r :x−x0

v x=y− y 0

v y→ x+3

2= y−5

−3 (0, 25 puntos)

La pendiente se calcula a partir del vector director m=v yvx

=−32 (0,25 puntos)

La ecuación punto pendiente será:

y− y0=m·(x−x0)→ y−5=−32·(x+3) (0,25 puntos)

b) Para encontrar la ecuación general de s paralela r que pasa por A(−2, 7 )

tenemos en

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NOTA

cuenta que tiene que tener como coeficientes A=v y y B=−vx (0,5 puntos). El término independiente C lo calcularemos sustituyendo el punto A en la ecuación (0,5 puntos).

s :−3x−2 y+C=0 A∈ s→

−3 · (−2 )−2 ·7+C=0→C=−6+14=8

Por tanto,

s :−3 x−2 y+8=0

c) Para calcular el ángulo que forman las dos rectas, basta con conocer sus vectores directores. El de la recta r ya lo tenemos v⃗r=(2 ,−3), el de la recta t, como es paralelo al eje X, independientemente del punto por el que pase será v⃗ t=(1,0) (0,25 puntos). Aplicando la fórmula que conocemos (0,25 puntos), operando (0,5 puntos) obtenemos el coseno del ángulo que forman y por tanto, el ángulo:

cos ( v⃗r , v⃗ t )=v⃗r · v⃗ t

|⃗vr|·|v⃗ t|= 2 ·1−3 ·0

√22+ (−3 )2 ·√12+02= 2

√13 ·1=2√13

13→

→cos−1( 2√1313 )=5 6 ,3 1°

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4. (3 puntos) Hallar un punto C de la recta 2x− y+5=0

, que equidiste de los puntos A(3, 5 )

y B(1,- 1 )

. Calcula el área del triángulo que se obtiene al unir A, B y C.

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El punto C lo vamos a encontrar como el punto de intersección de la recta r: 2x− y+5=0

y la mediatriz de A y B. Por tanto el plan es el siguiente:

1) Calcular s, la mediatriz de A y B:a. Calcular el vector A⃗Bb. Calcular M, punto medio de A y Bc. Calcular la recta s, perpendicular a A⃗B que pasa por M

2) Calcular P=r∩ s3) Calcular el área del triángulo

a. Base: |⃗AB|b. Altura: |⃗MC|

Realizamos los cálculos:

1) Calcular s, la mediatriz de A y B:a. Calcular el vector A⃗B= (1−3 ,−1−5 )=(−2 ,−6)/¿ (1,3) (0,25 puntos)

b. Calcular M, punto medio de A y B: M=( ax+bx2,ay+b y

2 )=(3+12, 5−1

2 )=(2 ,2)

(0,5 puntos)c. Calcular la recta s, perpendicular a A⃗B que pasa por M (0,5 puntos)

s :1· x+3· y+C=0M∈ s→

1·2+3 ·2+C=0→C=−2−6=−8→s : x+3 y−8=0

2) Calcular P=r∩ s, resolviendo el sistema: (0,75 puntos)

{r :2x− y+5=0s : x+3 y−8=0

→ {x=−1y=3

→C (−1,3)

3) Calcular el área del triánguloa. Base: |⃗AB|=√(−2)2+(−6 )2=√4+36=√40=2√10 (0,25 puntos)b. Altura: |⃗MC|=√(−1−2)2+(3−2 )2=√(−3)2+(1 )2=√9+1=√10 (0,5 puntos)

c. Área =Base · Altura2

=2√10·√102

=10 (0,25 puntos)

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