evolucio_n de los me_todos cuantitativos econo_mico-financiero-actuariales

Evolucin de los Mtodos Cuantitativos Econmico-Financiero-Actuariales

XXI Jornadas ASEPUMA IX Encuentro Internacional

Anales de ASEPUMA n 21: 639

1

Evolucin de los Mtodos Cuantitativos Econmico-

Financiero-Actuariales Villaln1, Julio G. ([email protected]), Rodrguez Ruz2, Julin

([email protected]), Seijas Macas3, Antonio ([email protected]) 1F. de Cc. Econmicas, 2F.Cc. Econmicas y Empresariales, 3F. de Economa e

Empresa 1Universidad de Valladolid, 2UNED, 3Universidade da Corua

RESUMEN

Los mtodos cuantitativos econmico-financiero-actuariales han experimentado un gran

avance a lo largo del tiempo. Los economistas se han visto obligados a aplicar, de forma

creciente, nuevos mtodos para resolver los distintos problemas que han ido apareciendo y la

relacin de tales problemas aumenta continuamente. La habilidad de los economistas para

plantear los problemas, refleja un cuerpo de teora bien desarrollado, modos de anlisis que

enfatizan la lgica e instrumentos cuantitativos sofisticados.

Las Matemticas y la Estadstica en el mbito econmico-financiero-actuarial, han

jugado un papel central en el anlisis econmico, lo que ha proporcionado un mayor avance en

el campo, particularmente financiero, al permitir a los economistas establecer rigurosamente sus

teoremas y a contrastar la validez emprica de sus teoras.

Por lo que se refiere a la Teora Financiera, hace ms de 50 aos, sta se reduca en

trminos generales, a un solo aspecto: Clculo de los valores financiero actuariales. Ahora bien,

los economistas financieros comenzaron a utilizar una gran variedad de tcnicas estadstico-

matemticas cada vez ms sofisticadas como: Teora de la Probabilidad, Optimizacin, Procesos

Estocsticos, Clculo Estocstico, Ecuaciones Diferenciales Estocsticas, etc.

Pues bien, el trabajo que presentamos hace referencia a la evolucin de las tcnicas

matemticas y sus aplicaciones, anteriormente mencionadas

Villaln, J.; Rodrguez, J.; Seijas, A.



2

ABSTRACT

The quantitative methods economic-actuarial-financial have experienced a great

advance throughout the time. The economists have increasingly met bound to apply by new

methods to solve different problems that have been appearing. These problems have been

increasingly surfacing.

The skill of the economists to raise the problems reflects a body of theory developed

well, manners of analyses that emphasize the logic and quantitative sophisticated instruments.

The Mathematics and Statistics in the economic-actuarial-financial arena have played a central

role in the economic analysis, which has provided a mayor advance in the field, particularly

financially, on having allowed the economists to establish rigorously his theorems and to

contrasting to empirical validity of his theories.

As it refers to the Financial Theory, it has been more than 50 years since it has been

simplified to one aspect alone: financial calculation of the actuarial values. At the same time,

the financial economists began to use a great variety of increasingly sophisticated mathematical

and statistical techniques such as: Probability and optimization Theory, Stochastic calculus,

differential stochastic Equation, etc. Well then, in the work that we present here, we cover the

evolution of the mathematical technologies and his applications, previously mentioned.

Palabras claves: -lgebra; Movimiento Browniano; Martingala; Diferencial

Estocstica; Frmual de It; Teora del Riesgo Individual; Teora del Riesgo Colectivo; Proceso

de Poisson Compuesto; Proceso de Riesgo; Probabilidad de Runa; Desigualdad de Lundbeg;

Clculo Estocstico; Cadenas de Markov; Black/Scholes; Diversificacin del Riesgo; Integral

Estocstica.

rea temtica: A6 Clculo Estocstico y sus Aplicaciones




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1. INTRODUCCIN

Despus de hacer algunas referencias a la evolucin de la ciencia econmico-

financiero-actuarial a lo largo del tiempo, consideramos que para modelar y analizar el

comportamiento de los fenmenos econmicos en ambiente de incertidumbre,

modernamente se vienen utilizando diversos mtodos del clculo estocstico como son

la integral estocstica, el Lema de It, las ecuaciones diferenciales estocsticas, la

estabilidad estocstica y el control ptimo estocstico, algunos de tales aspectos

consideramos a continuacin.

2. METODOS CUANTITATIVOS ECONOMICO FINANCIERO

ACTUARIALES

La Ciencia Financiero Actuarial en su nacimiento en el siglo XVII se dedic

fundamentalmente a las operaciones del seguro de vida: Clculo de primas para las

operaciones de rentas, capitales diferidos de supervivencia (

n Ex ) y operaciones de los seguros de vida entera (

Pxx = Ax). Pronto se vio que eran necesarias las tcnicas financiero actuariales para calcular las reservas matemticas (

tVx ). En este aspecto, la ciencia financiero actuarial mostr los primeros rudimentos del clculo estocstico hace

ms de un siglo. Las ecuaciones diferenciales para las reservas de una pliza del seguro

de vida las obtuvo T. Nicolai Thiele en 1875 y para la probabilidad de ruina eventual de

un seguro de vida, Filip Lundberg en 1903, en momentos en los que la nocin de

proceso estocstico no se haba definido de forma concreta.

A parte de su trabajo prctico en el seguro de vida y su tesis doctoral en 1903,

Filip Lundberg (1876-1965) fue pionero en el seguro de enfermedad, utiliz la tcnica

del seguro de vida para la obtencin de la reserva. As mismo, fue pionero en el campo

del reaseguro y de la Swedish Actuarial Society en 1904. Cre su original Collective

Risk Theory publicada en sueco en 1906 y 1926 y en alemn en 1909 y 1930. En su

tesis doctoral consider ya la descripcin estocstica de la corriente de pagos como un

proceso de Poisson compuesto. Donde los momentos de los pagos constituan un

Proceso de Poisson en el tiempo; las cantidades sucesivas pagadas eran




4

independientemente obtenidas de una distribucin de la masa de riesgo. Probablemente

este fue el primer ejemplo en el cual se introdujo y, a parte del trabajo de Louis

Bachelier en 1990 y el Erlang en 1909, constituyen un ejemplo pionero importante de la

definicin y uso de los procesos estocsticos en tiempo-continuo. En la tesis, prueba el

Teorema Central del Lmite para los procesos, utilizando de forma original la ecuacin

de futuro para la funcin de distribucin del proceso, es decir, Lundberg introdujo el

proceso de riesgo que describa el supervit, donde los ingresos eran continuos al

tanto dado por la prima y el desembolso era un proceso de Poisson compuesto. Para

este proceso, consider la probabilidad de ruina, probabilidad de que el resultado

fuera negativo, como funcin del resultado inicial, el tanto de prima y la distribucin de

la masa de riesgo. Hay una ecuacin integral para la probabilidad de ruina, que se utiliza

para deducir al famosa desigualdad de Lundberg:

P(ruina) < exp(Ru), donde u es el supervit y R es el coeficiente de ajuste, una medida de la dispersin de la

distribucin de la masa de riesgo.

Por otra parte, Harald Cramer (1955) estudi la Teora del riesgo consistente

en el anlisis matemtico de las fluctuaciones aleatorias en la empresas de seguros y

discusin de los diversos medios de proteccin frente a sus efectos adversos.

En la Teora del riesgo individual, la ganancia o prdida de la compaa que

surge durante un tiempo dado sobre una pliza se considera una variable aleatoria y el

desarrollo matemtico de la teora est basado en un estudio de la distribucin de

probabilidad de variables de este tipo. Las ganancias o prdidas totales de la compaa

durante el mismo tiempo ser la suma de las variables aleatorias asociadas a las plizas

individuales en vigor en la compaa. De acuerdo con el Teorema Central del Lmite,

esta suma ser aproximadamente normalmente distribuida si el nmero de plizas es lo

suficientemente grande y se pudiera obtener los tipos de las sumas aseguradas de todas

las plizas individuales, sera posible obtener los valores aproximados de las diversas

posibilidades ligadas a las ganancias o prdidas de la compaa bajo ciertas condiciones.

Respecto a la Teora del Riesgo Colectivo fundada y desarrollada por F.

Lundberg en una serie de trabajos (1903/48), el riesgo empresarial de una compaa de

seguros se consideraba como un total, como un juego de azar continuo entre la

compaa y la totalidad de los accionistas. En el curso de este juego, ciertos sucesos




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aleatorios: las reclamaciones acaecen durante un intervalo de tiempo, tienen que

considerarse por la compaa mientras que por parte la compaa recibe una corriente

continua de primas de riesgo de los accionistas. Mediante ciertas hiptesis

simplificadoras, es posible estudiar las distribuciones de probabilidad de las variables

aleatorias fundamentales asociadas a este juego, tal como el montante total de las

reclamaciones que acaecen durante un intervalo de tiempo dado; la ganancia total de la

Compaa que surge durante el mismo intervalo, etc.

La Teora del Riesgo Colectivo, constituye una parte de la teora general de

los procesos estocsticos, que posteriormente tuvo un gran desarrollo y ha encontrado

un gran nmero de aplicaciones importantes. Se ha demostrado que se puede presentar

desde un punto de vista unificador el de la teora de los procesos estocstico. El negocio

del riesgo de una Compaa de seguros constituye un caso particular de un proceso

estocstico. El proceso de riesgo es un proceso estocstico que pertenece a la clase de

los procesos estocsticos con incrementos estacionarios e independientes.

En el siglo XX, la revista Astin, jug un papel esencial en lo relativo a los

mtodos financiero-actuares que se haban aplicado a las operaciones de seguro no-vida

(seguro del automvil, incendios, etc). Emergi una nueva clase de actuarios:

Actuarios de segunda clase, donde se dio entrada a las tcnicas de pensamiento

probabilista: Actuarios vida y Actuarios no-vida. Posteriormente, un nuevo desarrollo,

Figura 1: Funcin muestral del Proceso Y(t),

montante de las reclamaciones Figura 2: Funcin muestral del proceso X(t)

correspondiente a Y(t)




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dio lugar a la emergencia del Actuario de la tercera clase, grupo de expertos

matemticos que extendieron sus tcnicas a lo relativo a la inversin del seguro y

Banca.

Tan pronto como pensemos respecto a la inversin en trminos estocsticos se

present el gran problema de que: los riesgos de inversin son tpicamente

dependientes, y por tanto, desequilibrados. La contestacin a este problema: como no

hay ninguna ley matemtica que automticamente equilibre el riesgo de inversin

implica crear nuevos instrumentos artificiales para este fin: las opciones call, put y

futuros. Por tal motivo se crearon tcnicas avanzadas. La base estadstica matemtica

deba sustancialmente ampliarse para los economistas financiero-actuariales, con

nociones como la teora de los proceso estocsticos, integracin estocstica, Frmula de

It, Frmula de Black-Scholes. En resumidas cuentas, dar entrada al clculo estocstico.

Nueva clase de especialistas en las aplicaciones del clculo estocstico.

El trmino estocstico significa el arte de suponer. En primer lugar fue

utilizado por Jacob Bernoulli en su libro Ars Conjuctandi en 1773 en el que prob la

primera ley de los grandes nmeros. Stochastic modern day, es un dominio de las

matemticas aplicadas. Comprende, (entre otras, la Teora de la Probabilidad, los

Procesos Estocstico y la Estadstica). Se utilizan para examinar los sucesos aleatorios,

desarrollos temporales, y estructuras especiales tratando de encontrar las regularidades

posibles. Los mtodos estocsticos son aplicables a todas las disciplinas cientficas,

obtenindose ventajas del comportamiento mediante los computadores modernos. Lo

estocstico ha llegado a ser un instrumento inestimable para las ciencias naturales,

desarrollo tecnolgico y economa.

El clculo que estudiamos en los primeros cursos de matemticas nos

proporciona los instrumentos analticos para las funciones deterministas. Ahora bien,

cuando modelamos la incertidumbre futura de un objeto, por ejemplo, el precio de un

ttulo o los tantos de inters a lo largo del tiempo, estos son aleatorios en cualquier

momento considerado, por tanto, son llamados proceso estocsticos.

El clculo estocstico es el instrumento analtico adecuado para los procesos

estocsticos. Entonces con tales instrumentos, podemos predecir el comportamiento




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futuro de estos aspectos y cuantificar los riesgos asociados a ellos. Esto es por lo que

tiene gran importancia.

La Teora de los Procesos Estocsticos, estudia los acontecimientos aleatorios

asociados al tiempo regidos por las leyes de probabilidad.

El clculo estocstico se refiere a una clase especfica de procesos estocsticos

que son estocsticamente integrables y frecuentemente expresados como soluciones de

ecuaciones diferenciales estocsticas.

Las primeras aplicaciones financieras de los procesos estocsticos, aparte de lo

mencionado relativo a Lunberg y Cramer datan de 1900 cuando el matemtico francs

Louis Bachelier aplic un proceso estocstico especial llamado movimiento Browniano

o proceso de Wiener para describir los precios de los ttulos en su tesis doctoral.

En 1982 Louis Bachelier lleg a Pars para continuar su educacin universitaria

en la Universidad de la Sorbonne. All tuvo un insigne cuadro de profesores: Paul Apell,

Joseph Bousiness y Henri Poincar. El desarrollo como cientfico fue bastante rpido y

escribi su interesante tesis Teora de la Especulacin sobre la aplicacin de la Teora

de la probabilidad a los mercados de ttulos. Este se considera ahora histricamente el

primer intento de utilizar las matemticas avanzadas en la matemtica financiero-

actuarial y testimoniar la introduccin del movimiento Browniano1. De acuerdo con la

tradicin de la poca, tambin defendi una segunda tesis sobre una materia elegida por

la universidad sobre la mecnica de fluidos. Su ttulo refleja el bagaje educativo de L.

Bachelier La resistencia de una masa lquida indefinida dotada de fricciones interiores

regidas por las frmulas de Navier, a los pequeos movimientos variados de traslacin

1 El movimiento Browniano llamado as despus de que el botnico Robert

Brown observar el movimiento aleatorio al estudiar el movimiento de las particulas del

polen en el agua en 1827. El proceso llamado a veces proceso de Wiener en las ciencias

metafsicas, cuando el matemtico Norbert Wiener fundador de la ciberntica aplico el

movimiento Browniano al fenmeno quantum. El trabajo de Louis Bachelier,

olvidado hasta que el Nbel en economa de 1970 Paul Samuelson, llam la atencin a

la comunidad de economa en 1966 (ver discurso de Robert Merton en la sociedad

financiera de L. Bachelier).




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de una esfera slida, sumergida en una masa y adherente a la capa fluida que la

contacta.

La primera parte de la tesis de Louis Bachelier, Teora de la Especulacin,

contiene una descripcin detallada de los productos disponibles en aquel momento en el

mercado de ttulos en Francia, tales como contratos a plazo (forward) y opciones. Sus

especificaciones fueron completamente diferentes de los productos correspondientes en

el mercado americano; por ejemplo todos los pagos estaban relacionados con una fecha

dada y no se tena necesidad de pensar en el descuento o cambio numerario. Despus de

los preliminares financieros Louis Bachelier comenz con la modelacin matemtica de

los movimientos y frmulas de los precios de los ttulos, el principio de que La

esperanza del especulador fuera nula. Obviamente, interpretaba mediante la esperanza

condicionada dada por la informacin pasada. Es decir, implcitamente aceptaba como

axioma que el mercado valoraba los activos utilizando una medida martingala. La

hiptesis posterior era que el precio evolucionaba como un proceso de Markov

continuo, homogneo en el espacio y el tiempo. Louis Bachelier demostr que la

densidad de las distribuciones unidimensionales de este proceso satisfaca la relacin,

ahora conocida como la ecuacin Chapman-Kolmogorov y observ que la densidad

Gaussiana con la varianza lineal creciente resolva esta ecuacin. La cuestin de la

unicidad no se discuta pero Louis Bachelier proporcion algunos argumentos para

confirmar esta conclusin. Lleg a la misma ley considerando el proceso de los precios

como lmite de las trayectorias aleatorias. Louis Bachelier tambin observ que la

familia de funciones de distribucin de los proceso satisfaca la ecuacin de calor.

El modelo se aplic para calcular algunos precios de las opciones. Teniendo en

cuenta las opciones americanas y dependientes de la trayectoria, Louis Bachelier calcul

la probabilidad de que el movimiento Browniano no excediera un nivel fijo y obtuvo la

distribucin del supremum del movimiento Browniano.

La tesis de Louis Bachelier se puede considerar como el origen de la financiera

matemtica moderna y de varias ramas importantes de clculo estocstico tal como la

teora del movimiento Browniano, procesos de Markov (1856-1922), procesos de

difusin e incluso de la convergencia libre en los espacios funcionales. Evidentemente,

el razonamiento no fue riguroso pero a nivel intuitivo bsicamente correcto. Esto es




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realmente asombroso ya que a comienzos del siglo XX los fundamentos matemticos de

la probabilidad no existan. A. Markov comenz sus estudios sobre lo que ahora

llamamos cadenas de Markov en 1906 y el concepto de esperanzas condicionadas con

respecto a una variable arbitraria o -lgebra fueron desarrollados en 1930.

El informe de Henri Poincare, firmado por P. Apell y J. Bousssines, tribunal que

juzg la tesis de Louis Bachelier contiene un profundo anlisis no solamente de los

resultados matemticos sino tambin una penetracin en la leyes de mercado. En

contraste con la leyenda de que la nota de evaluacin honorable significaba algo

como que los examinadores fueron escpticos respecto a la tesis, esta parece que fue la

nota ms alta que poda habrsele reconocido a una tesis que estaba esencialmente fuera

de las matemticas y que tena algunos argumentos lejos de ser rigurosos. La nota de

excelente usualmente se asignaba a memorias que contenan la solucin al cambiante

problema en una disciplina matemtica bien establecida.

Creemos que el informe mostraba que H. Poincare era un lector atento y

benvolo y su moderada crtica fue positiva. La crtica que expres fue que Louis

Bachelier no estudiaba con detalle la relacin descubierta de los procesos estocsticos

con las ecuaciones en derivadas parciales, poda interpretarse que fue realmente

intrigado, viendo all ulteriores perspectivas. El informa de Poincare y la conclusin fue

publicar la tesis en las revistas prestigiosas de aquel tiempo contradeca lo que algunos

consideraron como la decepcin de honorable. Se poda conjeturar que Louis

Bachelier no fue galardonado con la nota de muy honorable debido a una

presentacin ms dbil de su segunda tesis (pero el correspondiente informe de P.

Appell fue muy positivo).

No es necesario decir que las ideas innovadoras de Louis Bachelier estuvieron

por encima del nivel prevaleciente en la teora financiera existente en aquella poca lo

cual fue ciertamente percibido.

Los notables resultados obtenidos por Louis Bachelier en su tesis sobre la

Teora de la Especulacin en 1900 permanecieron en una especie de limbo

cientfico durante ms de 75 aos, hasta que el clebre economista premio Nbel Paul

Samuelson influenciado por el insigne profesor de estadstica William Feller, corrigi a

Louis Bachelier, en 1965, reemplazando el movimiento Browniano por su exponencial




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(geomtrica), evitando as obtener como resultados valores negativos del modelo y,

luego comenz a jugar un papel esencial en el clculo de los precios de las opciones

mediante la famosa frmula de Black-Scholes en 1973.

Desde 1980 se ha comprobado la explosin de lo modelos matemtico

financieros junto con los productos financieros, todos a su vez llegados a ser ms

complejos.

Toda esta tecnologa existe debido a que algunos conceptos matemticos

financieros simples y universales han permitido construir una Teora matemtica

financiera de las leyes de los mercados basada en principios tales como que los precios

de un activo a lo largo del tiempo tienen la estructura probabilista de un juego

equitativo, es decir, una martingala. A partir de este concepto, poco a poco, se ha ido

construyendo toda la teora de los procesos estocsticos, pilar sobre el cual se ha

desarrollado la Teora Matemtica del Arbitraje por Delbaen y Schahermayor en

1994.

Desde comienzos de 1990, la matemtica y particularmente la teora de la

probabilidad han jugado un papel creciente, en general y particularmente, en el campo

econmico financiero actuarial influenciado por las investigaciones de A. Kolmogorov

relativas a los procesos temporales continuos.

A partir de la tesis de Louis Bachelier surgi el nuevo nacimiento de los

procesos estocsticos y, por otra parte, la estrategia de tiempo continuo para la cobertura

de riesgos financieros.

Aunque Louis Bachelier estableci en su tesis la conexin entre el precio de los

instrumentos financieros y algunos clculos de probabilidad relativos a ciertos procesos

estocsticos, el problema de la cobertura correspondiente al riesgo fue resuelto mediante

los trabajos de Black/Scholes/Merton en 1973. En aquella poca la idea de

diversificacin estaba vigente debido a los trabajos pioneros de Markowitz en 1952

(Nbel de Economa en 1990) relativos a la optimizacin de la cartera.




11

3. RELACIONES DEL CLCULO CLSICO CON EL CLCULO

ESTOCSTICO

Respecto de las relaciones del Clclulo Clsico con el Clculo Estocstico

procede hacer la siguientes consideraciones.

Si

X : 0,[ ]R es una funcin real

X(t) = Xt . Por ejemplo, la funcin

Xt puede representar la velocidad de un cuerpo slido dependiente del tiempo t. Tambin

Xt puede representar el precio de un ttulo a lo largo del tiempo, diagrama del ttulo X. Ahora bien, hay una diferencia fundamental entre las dos interpretaciones. En el

primer caso, X como funcin de t es una funcin suave no solamente continua, sino

tambin diferenciable. Para esta clase de funciones se aplican dos instrumentos

conocidos del clculo clsico. Utilizando la notacin

X := dXtdt

para la derivada de

Xt con respecto al tiempo t, la relacin bsica entre la derivacin e integracin se puede establecer como

Xt = X0 + X sds0t ,

o bien,

dXt = X tdt . Si

F C2(R) es una funcin real continuamente diferenciable dos veces sobre la recta real

R. Entonces la frmula de Taylor establece:

f (Xt ) = F(Xt+t ) F(Xt ) = F '(Xt )Xt +12 F ' '(Xt )(Xt )

2

con

Xt = Xt+t Xt y cierto

t t,t + t[ ]. Tomando lmites cuando

t 0 , obtenemos

dF(Xt ) = F '(Xt )dXt o tambin,

F(Xt ) = F(X0) + F '(Xs)dXs0t

puesto que para una funcin suave

Xt ,Xt t 0 dXt = X tdt y los trminos de orden superior (dt)2 son despreciables.




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Ahora bien, esta relacin clsica no es aplicable para las funciones reales que se

presentan en la Matemtica Financiera. Cuando el matemtico alemn Weierstrass

construy una funcin real continua, pero no diferenciable en ninguna parte, esto se

consider como una curiosidad matemtica. Desgraciadamente, esta curiosidad est

en el corazn de la Matemtica Financiera. Los grficos de los tantos de cambio, de

los tantos de inters y de los activos lquidos son prcticamente continuos, como los

disponibles hoy en da que presentan datos de alta frecuencia, pero son de

variacin ilimitada en todo el intervalo de tiempo. En particular, no son

diferenciables en ninguna parte. Por tanto, el Clculo Clsico necesita una

extensin a funciones de variacin no acotada, tema estudiado por los matemticos

durante mucho tiempo.

Este dficit se cubri mediante el desarrollo del Clculo Estocstico que

se puede considerar como la teora de la diferenciacin e integracin de los

procesos estocsticos.

Existen numeros libros recientemente publicados que desarrollan ampliamente el

clculo estocstico con nfasis sobre las aplicaciones a los mercados financieros a

diferentes niveles de sofisticacin matemtica (Fllmer y Schied, 2010).

Qu extensin del clculo clsico se necsita para las funciones reales de

variacin ilimitada? Simplemente, cuando al desarrollar la diferencial

dF(Xt ) el segundo trmino de la frmula de Taylor no se puede despreciar, puesto que el trmino

Xt( )2, la variacin cuadrtica de

Xt no desaparece para

t 0 . Por tanto, para las funciones de variacin non acotada, la diferencial es de la forma

dF(Xt ) = F '(Xt )dXt +12 F ' '(t)(dXt )

2 (1)

o bien, de forma explcita

F(Xt ) = F(X0) + F '(Xs)dXs0t + 12 F ' '(Xs)(dXs)

20t (2)

donde

dXt( )2 es la variacin cuadrtica infinitsimal de X.

Esta no fue, la nuevamente aparici del segundo trmino, lo que cre la principal

dificultad para desarrollar el Clculo Estocstico. Para funciones de variacin cuadrtica




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finita este trmino

F ' ' es una integral bien definida Lebesgue-Stieltjes. El cambio real consiste en dar un significado preciso a la primera integral donde tanto el argumento del

integrando y del integrador son de varicin no-acotada sobre todo el intervalo de

tiempo, arbitrariamente pequeo. Esta cuestin fue resuelta en primer lugar por It, de

ah el nombre de la frmula de It para la relacin (1) y la integral de It para la

primera integral de la (2).

Utilizando el enfoque a lo largo de una trayectoria de Fllmer, podemos deducir

la frmula de It y la integral de It sin recurrir a la teora de la probabilidad.

Observando un proceso estocstico paso a paso, se puede dar un significado preciso a

las expresiones (1) y (2) utilizando solamente instrumentos elementales del anlisis real

clsico. Solamente se necesita la teora de la probabilidad, posteriormente cuando

consideramos la accin recproca de todas las trayectorias de los procesos estocsticos

como difusiones y semimartingalas.

3.1. El Lema de It

Si

Xt es un proceso de It que satisface

dXt = (t,Xt )dt + (t,Xt )dWt (3)

y

f (t,x) es una funcin dos veces diferenciable, entonces tenemos que

f (t,Xt ) es un proceso de It y que

df (t,Xt ) =ft dt + f '(x)dx +

12 f ' '(x)dx

2 (4)

donde

dx 2 est definido por

dt 2 = 0 (5)

dtdW = 0 (6)

dW 2 = dt (7)

Observemos que la regla de la multiplicacin final es la crucial que da el trmino

complementario.

Un argumento anlogo, nos proporciona una regla cuando tenemos varios

procesos It basados en el mismo movimiento Browniano.




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En efecto, sean n procesos de It unidimensionales

Si, dados por

dSi = idt + idzi, i =1,2,...,n Supongamos que

u = u t,S1,S2,...,Sn( ) : 0,T[ ] Rn R , tiene derivadas parciales

ut ,uSi,uSij , i, j n que son continuas. Entonces, el proceso

Y = u t,S1,S2,...,Sn( ) tambin es un proceso de It dado por:

dY = utdt + uSidSii=1n + 12 uSiSjdSidS jj=1

ni=1

n (8)

donde el producto

dSidS j , se puede calcular utilizando las reglas de multiplicacin:

dZi dZ j = ijdt para i j, j < ndZi dZ j = dt para i = j =1,2,...,ndt dZi = 0 para i =1,2,...,n

con

ij coeficiente de correlacin entre

dZi y

dZ j .

Sobre este tema se podran consultar: It (1951), Gikman y Skorokhod (1969),

Arnold (1974), o bien Malliaris y Brock (1982).

4. CUESTIONES PRACTICAS

4.1. Ejemplo 1

Sea una funcin de proceso de Wiener estndar

Wt dada por

F(Wt ,t) =Wt2. (9) Se pide aplicar la frmula de It a esta funcin.

Solucin: Teniendo en cuenta que

Wt tiene un parmetro de tendencia 0 y un parmetro de difusin 1.

Aplicamos la frmula de It a la funcin:

dFt =12 2dt[ ] + 2WtdWt (10)

o bien,

dFt = dt + 2WtdWt (11)




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Entonces, en este caso, la frmula de It resulta una ecuacin diferencial

estocstica que tiene de coeficiente de tendencia a

(It ,t) =1 (12)

y coeficiente de difusin

(It ,t) = 2Wt (13)

Por tanto, la tendencia es constante y la difusin depende del conjunto de

informacin

It .

4.2. Ejemplo 2

Aplicar la frmula de It a la funcin

F(Wt ,t) = 3+ t + eWt . (14) Solucin: Obtenemos

dFt = dt + eWt dWt +12 e

Wt dt . (15)

Agrupando

dFt = 1+12 e

Wt

dt + eWt dWt . (16)

En este caso, obtenemos una ecuacin diferencial estocstica para

F(s,t) con tendencia

It -dependiente y trmino de difusin:

a(It ,t) = 1+12 e

Wt

y

(It ,t) = eWt .

5. CONCLUSIONES

Despus de haber realizado una revisin de los mtodos cuantitativos a lo largo

del tiempo se observa que el Lema de Ito, es el instrumento central de la diferenciacin

en el clculo estocstico. No son demasiadas cuestiones bsicas las que hay que

recordar para poder utilizarle. En primer lugar, la frmula ayuda a determinar las




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diferenciales estocsticas para los derivados financieros dados los movimientos del

activo subyacente. En segundo lugar, las frmulas son completamente dependientes de

la definicin de la integral de Ito. Esto significa que las igualdades se deben interpretar

dentro de la equivalencia estocstica. Finalmente, desde un punto de vista prctico, se

debe recordar que las frmulas estndar utilizadas en el clculo determinista

proporcionan resultados significativamente diferentes de los obtenidos mediante el

clculo estocstico. En particular, si se utilizan las frmulas estndar, esto supondra

que todos los procesos en observacin tendran volatilidad infinitesimal nula. Por otra

parte, hemos visto que sta no es una hiptesis adecuada cuando se trata de valorar el

riesgo utilizando los derivados financieros.

6. ANEXO SOBRE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS

ESTOCASTICOS

6.1 Definiciones generales de la teora de la probabilidad.

La nocin bsica de la teora de la probabilidad es la de espacio de probabilidad,

constituida por terna siguiente:

Un conjunto

.

Una -lgebra

sobre

.

Una medida de probabilidad

P sobre

.

Una -lgebra

sobre un conjunto

, es un conjunto de las partes que contiene el

conjunto vaco y que es estable respecto de las operaciones de unin numerable, de las

intersecciones numerables y del conjunto complementario. Los elementos de

se denomina

sucesos.

Una ley de probabilidad

P sobre el espacio

,( ) es una medida positiva definida sobre

, de masa total igual a 1.

Se tiene pues:

a)

P() =1; b)

P(A) 0,A ; c)

P Ann

= P(An )

n .

El nmero

P(A), se denomina poblacin del suceso A

A( ) ; se tratar de un nmero real comprendido entre 0 y 1.




17

Un suceso

A( ) , se dice casi seguro si su probabilidad es igual a 1. Un suceso

A( ) , se dice P-despreciable si su probabilidad es nula. Un espacio de probabilidad

,,P( ) , se denomina completo si toda parte A de

contenida en un conjunto P-despreciable pertenece a la -lgebra de los sucesos

.

Sobre un espacio de probabilidad as definido, se introduce la nocin de variable

aleatoria que modela el resultado cuantitativo de la experiencia aleatoria considerada.

Una variable aleatoria X definida sobre el conjunto

con valores en un espacio

medible dado

E,( ) es una funcin medible de

E , es decir,

X :E : X() E tal que

X 1(A) para A . La -lgebra

F(X)asociada a la variable aleatoria X es la -lgebra sobre

engendrada por los conjuntos de la forma:

B = : X( )B{ } donde B. La ley de probabilidad (o distribucin) de la variable aleatoria X definida sobre el

espacio de probabilidad

,,P( ) , es la medida

QX sobre el espacio

E,( ) definida por

QX (A) = P : X( ) A{ }, donde A . Para una variable aleatoria real, la distribucin se puede caracterizar por la nocin de

funcin de distribucin.

6.2 El Proceso de Poisson.

El proceso de Poisson permite modelar el tipo de experiencia siguiente.

Se observa a lo largo del tiempo la aparicin repetida de un cierto suceso aleatorio

(espacio de los tiempo =

R+ ). Si a) el nmero de sucesos aparecidos en el intervalo

t,t + h[ ] no depende ni del nmero ni del momento de aparicin de los sucesos en el intervalo

0,t[ ] ; b) la probabilidad de que se presente un suceso en el intervalo

t,t + h[ ] es de la forma

h +O(h), > 0; c) la probabilidad de que no aparezca ningn suceso en el intervalo

t,t + h[ ] es de la forma




18

1 h +O(h); d) la probabilidad de que se presenten ms de un suceso en el intervalo

t,t + h[ ] es igual a O(h).

Entonces el proceso definido por

X(t)= nmero de sucesos aparecidos en el intervalo

0,t[ ] es un proceso de Poisson. La distribucin de tal proceso estocstico viene dada por:

P X(t) = k[ ] = t( )k

k! et , k N.

La variable aleatoria

X(t) admite pues una distribucin de Poisson de parmetro

t . La nocin de proceso de Poisson compuesto proviene de esta interpretacin: los saltos,

deterministas y unitarios en el proceso de Poisson, se reemplazan por variables aleatorias

independientes y equidistantes.

6.3 Movimiento Browniano.

Sea

,,P( ) un espacio de probabilidad, dotado de un filtracin

t ,t 0{ } , es decir, de una familia creciente de -lgebras de

.

Un proceso estocstico

W (t,);t R+, { } es un proceso de Wiener o movimiento browniano estndar si:

a)

W es un proceso de incrementos independientes y estacionarios; b)

W (t) admite una distribucin normal,

t > 0 . c)

W (0) = 0 d)

t > 0; E(W (t)) = 0 y Var(W (t)) = t . El movimiento browniano se denomina adaptado a la filtracin

t{ } si

W (t) es una variable aleatoria t-medible para todo

t 0 . Adems, se supone que

t,s > 0,W (t + s) =W (t + s) W (t) es independiente de

t{ }.

La funcional

I0T se denomina funcional de integracin estocstica con respecto al movimiento browniano; la variable aleatoria

I0T ( f ) , se denomina integral estocstica definida y se denota

I0T = f (t)dW (t)0T

Se dice que el proceso

admite una diferencial estocstica sobre

0,t[ ] y se denota




19

d(t) = a(t)dt + b(t)dW (t) . La operacin de diferenciacin estocstica, lineal como la diferenciacin clsica, se

distingue en dos aspectos.

1) Diferenciacin de un producto de procesos.

Si

1 y

2 son dos procesos que admiten una diferencial estocstica, entones el

producto

1.

2 es igualmente diferenciable

d1(t) = a1(t)dt + b1(t)dW (t)d2(t) = a2(t)dt + b2(t)dW (t)

entonces

d1(t)2(t) = 1(t)d2(t) + 2(t)d1(t) + b1(t)b2(t)dt 2) Diferenciacin de un proceso compuesto (frmula de It).

Si un proceso

admite una diferencial estocstica

d(t) = a(t)dt + b(t)dW (t) y si

f (t,x) es una funcin de

0,T[ ] R en

R, continua as como sus derivada

parciales:

ft ,

fx ,

2 fx 2 , entonces:

df t,(t)( ) = ft (t,(t)) +

fx (t,(t)) +

12 2 fx 2 (t,(t))b

2(t)

dt + f

x (t,(t))b(t)dW (t)

Un proceso

X se denomina cad-lag, cadlag functions (abreviatura del francs) continuas por la derecha con lmite por la izquierda, si sus trayectorias son continuas por la

derecha sobre

R+ y tienen lmites por la izquierda finitos sobre

R0+ . Tiempo de espera.

La nocin de tiempo de espera, generalmente los tiempos deterministas, juegan un

papel esencial en teora de los procesos estocsticos.

Una variable aleatoria

T :R+ { } es un tiempo de espera si

t R+ el suceso

T t{ }t . En particular, toda constante positiva es un tiempo de espera.

6.4 Martingalas.

Una martingala

M es un proceso estocstico adaptado, cad-lag, tal que: 1)

M(t, ) es integrable y

E(M(t, )) < ;




20

2)

E M(s, ) |t( ) = M(t,),0 t s. Si

E M(s, ) |t( ) M(t,),0 t s (

respectivamente) se habla de super-

martingala (respectivamente, sub-martingala)


X(t),t 0{ } con medias finitas, se denomina martingala (de parmetro continuo) si para todo conjunto de momentos

t1 < t2 < ... < tn < tn+1E X(tn+1) | X(t1),...,X(tn )[ ] = X(tn )

es decir, la esperanza condicionada de

X(tn+1) , dados los valores

X(t1),...,X(tn ) es igual al valor ms recientemente observado

X(tn ) . - Martingalas (de parmetro discreto)


Xn ,n =1,2,...{ } con medias finitas se denomina martingala (de parmetro discreto) si para todo entero n

E Xn+1 | X1,...,Xn[ ] = Xn Un proceso estocstico

X(t) : t T{ } es tal que la esperanza matemtica de

X(t) es finita para cada t y si

t1 < t2 < ... < tn son del ndice T, entonces (con probabilidad 1) la esperanza condicionada de

X(tn ) , dado

X(ti) = ai; si i < n es igual a

an1. Si T es el conjunto de los enteros positivos; basta requerir que la esperanza condicionada de

Xn , dado

X(i) = ai si i < n , es

an1.

6.5 Procesos Estocsticos.

Un proceso estocstico es una familia de variables aleatorias

X(t) : t T{ } indizada por un parmetro t que vara dentro de un conjunto ndice T.

Sean

,,P( ) un espacio de probabilidad, T un conjunto cualquiera y

E,( ) un espacio medible. Se llama proceso estocstico definido sobre

que tiene a T como conjunto

de tiempos y E como espacio de estados, a toda familia

X(t)( )tT de variables aleatorias con valores en E.

La variable aleatoria

X(t) se denomina estado en el instante t. Para todo

, la

aplicacin

T E : t X(t, ) se llama trayectoria asociada a

.




21

Es decir una familia de variables aleatorias

X(t) : t T{ } donde T es el conjunto ndice y hay una variable aleatoria

X(t) para cada

t T . Cuando T es un conjunto discreto (por ejemplo, un conjunto de enteros) el proceso es un proceso de parmetro discreto, cuando

T es un intervalo de nmeros reales, el proceso es un proceso de parmetro continuo.

Un proceso estocstico X se denomina de crecimientos independientes si

n y t1 < t2 < ... < tn, ti T( ) las variables aleatorias

X(t1),X(t2) X(t1),...,X(tn ) X(tn1) son independientes.

Este proceso estocstico se denomina de crecimientos estacionarios si las variables

aleatorias

X(t + h) X(t) y

X(h) estn equidistantes. Una filtracin es una familia

t( )tT de sub--lgebras de

, tal que

s t , para s t (familia creciente). La -lgebras de

t se denomina -lgebra de los sucesos anteriores a t, modela la

informaciones disponibles en el instante t.

En el futuro y a medida que transcurre el tiempo la informacin es cada vez ms

importante, lo que modela el aspecto creciente de la familia.

La relacin entre filtracin y proceso estocstico est asegurada mediante la definicin

siguiente:

Todo proceso estocstico X genera una filtracin llamada filtracin natural del

proceso definida por:

t =(X(s)) : s < t : filtracin engendrada por las variables aleatorias anteriores al instante t.

Un proceso estocstico X se denomina adaptado a una filtracin

t( )tT si y slo si

para

t T , la variable aleatoria

X(t) es

t-medible (es decir,

Xt1(A)t , A ). Un proceso estocstico es, por definicin, adaptado a su filtracin natural.

7. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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