La presente evidencia contiene informacin trabajada en Excel, importada a Power Point que utiliza Editor de Ecuaciones, importa informacin de datos procesados en el software MINITAB v16 as como grficos bajados de la red, imgenes para no olvidar puntos importantes del calculo, contiene pantallas (Print screen, que fueron editadas en Paint y manipuladas para mostrar solo lo requerido para guiar a los alumnos tanto en el calculo manual como en la solucin por medio del software as mismo fue convertido a PDF para proteger la informacin que contiene K Ing. Irma Montoya Del Real Email: irmamontoya66@hotmail.com Nov. / 2011 Por qu estudiar diseos 2K? Se requiere de pocas corridas para estudiar una gran variedad de factores Pueden ser aumentados en caso que se requiera informacin mas detallada Forman la base de los diseos factoriales fraccionados. Son los mas fciles de entender y analizar El diseo factorial 2K me permite encontrar ( ) x f Y =Por qu se llaman diseos 2K? De los diseos factoriales ya estudiados los 2K es un casoespecial cuando cada uno de los factores tienes nicamente 2 niveles. Es el experimento mas sencillo debido a la combinatoria: 2 x 2 x 2 x ..x 2 = 2K Los niveles de los factores pueden ser Cualitativos o Cuantitativos. En general vamos a utilizar un nivel alto y un nivel bajo para el experimento. Cul es el objetivo de los diseos 2K? Estos diseos son utilizados en las etapas iniciales de la experimentacin, cuando se este caracterizando el proceso, es decir investigar los factores que afectan al proceso. A estos diseos se le llaman experimentos de tamizados o seleccin de factores. Puesto que solo hay dos niveles por factor. Se supone que la respuesta es aproximadamente lineal en el rango elegido para los niveles de los factores.Pasos para los Experimentos 2K 1. Indicar el problema prctico y el objetivo experimental 2. Indicar los factores y los niveles de inters 3. Seleccionar el tamao de muestra Stat->Power and Sample Size->2-Level Factorial Design 4. Disear el experimento Stat->DOE->Factorial->Create Factorial Design 5. Correr el experimento y recolectar datos 6. Construir la tabla ANOVA para el modelo completo Stat->DOE->Factorial->Analyze Factorial Design 7. Correr nuevamente el modelo reducido, eliminando efectos no significativos (altos valores de p-valor). 8. Revisar los diagramas de residuos para asegurar la adecuacin del modelo Stat->DOE->Factorial->Analyze Factorial Design Pasos para los Experimentos 2K 9. Examinar las interacciones significativas (p-value < 0.05), las de orden mayor Stat->DOE->Factorial->Factorial Plots Stat->ANOVA->Interaction Plots 10. Examinar los efectos principales significativos (p-value < 0.05) Stat->DOE->Factorial->Factorial Plots Stat->ANOVA-> Interaction Plots 11. Indicar el modelo matemtico obtenido (Y=f(x)) calcular %SS y evaluar para significanca prctica 12. Traducir el modelo en trminos reales del proceso. Obtener conclusiones y hacer recomendaciones 13. Reproducir las condiciones ptimas. Planear el prximo experimento e institucionalizar el cambio. El diseo 22: Vamos a analizar el diseo factorial mas simple el cual son dos factores con dos niveles cada uno. Los niveles de los factores pueden denominarse como alto y bajo. Como ejemplo considere la investigacin del efecto de la concentracin de un reactivo y la cantidad de una catalizador sobre el rendimiento de un proceso qumico. El diseo 22: Factor A: Bajo (-) = 15% Alto (+) = 25% Factor B: Bajo (-) = 1 libra Alto (+) = 2 libras El diseo 22: Efectos Principales: En un diseo factorial con dos niveles, el efecto promedio de un factor puede definirse como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de ese factor promediado para los niveles del otro factor. Al promediarse estas dos cantidades se obtiene el efecto principal de A: | || | { }| | ) 1 (21) 1 (21 + = + =b a abnAa b abnAEfectos Principales: De la misma manera puede obtenerse el efecto principal de B: | || | { }| | ) 1 (21) 1 (21 + = + =a b abnBb a abnBEfectos Principales: Para encontrar el efecto de la interaccin AB se define como la diferencia promedio entre el efecto de A con el nivel alto de B y el efecto de A con el nivel bajo de B, por lo tanto: | || | { }| | b a abnABa b abnAB + = =) 1 (21) 1 (21Efectos Principales: En el caso del ejemplo se tienen los siguientes factores principales: ( )( )( ) 67 . 1 60 100 80 90) 3 ( 2100 . 5 80 100 60 90) 3 ( 2133 . 8 80 60 100 90) 3 ( 21= + = = + == + =ABBAEfectos Principales: El efecto de A (concentracin del reactivo) es positivo; esto sugiere que al incrementar A del nivel bajo al nivel alto, el rendimiento se incrementara. El efecto de B (catalizador) es negativo; esto sugiere que al incrementar B se reducir el rendimiento del proceso. El efecto de la interaccin AB parece ser pequeo en comparacin con los dos efectos principales. Por lo que hasta ahora se cree pudiera no tener un efecto significativo. Contrastes: Cuando se hizo la estimacin del efecto principal de A se utilizo un contraste. As mismo se utilizaron los contrastes para la estimacin de B y de AB. Contraste A = ab + a b (1) El efecto principal de una fuente de variacin, es igual al contraste dividido por la mitad delnmero total de observaciones. La suma de cuadrados para una fuente de variacin, es igual al cuadrado del contraste dividido entre el nmero total de observaciones. Suma de Cuadrados: ( ) | |( )( ) | | ( )( )( ) | |( )33 . 83 4104100 . 753 4304133 . 2083 45041222 222= = +=== +== = +=nb a abSSna b abSSnb a abSSABBALa suma de cuadrados total se calcula como de costumbre, es decir: 34 . 3100 . 32342121 12...2= == == = =AB B A T Ei jnkijk TSS SS SS SS SSnyy SSUso del Contraste en 2K Efecto Principal Suma de Cuadrados 2NContrasteEfectoVariacin FuenteVariacin Fuente=( )NContrasteEfectoVariacin FuenteVariacin Fuente2=Tabla ANOVA: De la tabla ANOVA se observa que la concentracin y el catalizador son las variables principales que afectan el rendimiento del proceso qumico, la magnitud y el sentido de que tanto afectan se observaron con los efectos principales. Modelo de Regresin: En un diseo 2K es sencillo expresar los resultados del experimento en trminos de un modelo de regresin. Para el experimento del proceso qumico el modelo de regresin es: c | | | | + + + + =2 1 3 2 2 1 1 0x x x x yDonde x1 es una variable codificada que representa la concentracin del reactivo y x2 es una variable codificada que representa la cantidad del catalizador y las | son los coeficientes de regresin. Modelo de Regresin: Con el entendido de las variables codificadas se puede construir el modelo de regresin propuesto, donde la ordenada al origen es el gran promedio de las 12 observaciones y los coeficientes de regresin |1, |2 y |3 son la mitad de las estimaciones de los efectos de los factores correspondientes: 2 1 2 1267 . 125233 . 85 . 27 x x x x y|.|

\|+|.|

\| +|.|

\|+ =Codificacin de las variables: ( )( )( )( ) 2 /2 /2 /2 /21baja altaalta bajabaja altaalta bajar Catalizado r Catalizador Catalizado r Catalizado r Catalizadoxion Concentrac ion Concentracion Concentrac ion Concentrac ion Concentracx+ =+ =La relacin entre las variables naturales la concentracin del reactivo y la cantidad del catalizador y las variables codificadas es: ( )( )( )( ) 5 . 05 . 12 / 1 22 / 2 15202 / 15 252 / 25 1521=+ ==+ =r Catalizado r Catalizadoxion Concentrac ion ConcentracxDe-codificando las variables: 5 . 05 . 152021==r Catalizadoxion ConcentracxLa relacin entre las variables naturales la concentracin del reactivo y la cantidad del catalizador y las variables codificadas es: 5 . 1 5 . 020 521+ =+ =x r Catalizadox ion ConcentracDiseo del Experimento en Minitab En Minitab Seleccionar: Stat->DOE->Factorial->Create Factorial Design Activar opcin de: 2 Level Factorial (default generators) Seleccionar en Number of Factors: 2 Seleccionar la opcin de Designs. Diseo del Experimento en Minitab Seleccionar la opcin de diseo Full Factorial Colocar 3 replicas del experimento y seleccionar OK Seleccionar la opcin de Factor Colocar los nombres de los factores y dejar los niveles codificados Seleccionar OK Diseo del Experimento en Minitab Seleccionar Options Dejar activada la opcin de Randomize Runs Colocar como base generadora de datos aleatorios el 1 Dar OK hasta que se genere el diseo Diseo del Experimento en Minitab Se deber generar una tabla de datos como se muestra a continuacin: Anlisis en Minitab Abrir el Archivo Ejercicio 1 Rendimiento de Proceso Qumico Seleccionar Stat->DOE->Factorial->Analize Factorial Design Colocar Rendimiento como la variable de respuesta a analizar Anlisis en Minitab Seleccionar Graphs y activar la opcin del grafico de los residuales (Four in one) Seleccionar Storage y activar la opcin de guardar residuales y ajustes. Seleccin OK hasta que se haga el anlisis Anlisis de Residuales Para la prueba de Normalidad haremos el grafico de probabilidad normal para comprobar que los residuales sean normales. Para la prueba de Varianza Constante u Homocedasticidad haremos una prueba de igualdad de varianzas. Podemos observar claramente que no existe un problema con los residuales con respecto al tiempo. Prueba de Normalidad Seleccionar Graph->Probability Plot Seleccionar la opcin de Single y OK Colocar RES1 como variable a graficar Prueba de Varianza Constante Seleccionar Stat->Anova->Test for Equal Variance Seleccionar RES1 como la variable de respuesta Seleccionar FITS1 como Factors Anlisis Tabla ANOVA Estimated Effects and Coefficients for Rendimiento (coded units) Term EffectCoefSE CoefTP Constant 27.500 0.571348.140.000 Concentracion 8.333 4.167 0.5713 7.290.000 Catalizador-5.000-2.500 0.5713-4.380.002 Concentracion*Catalizador 1.667 0.833 0.5713 1.460.183 S = 1.97906 R-Sq = 90.30% R-Sq(adj) = 86.66% Analysis of Variance for Rendimiento (coded units) SourceDF Seq SS Adj SS Adj MSFP Main Effects 2283.333283.333141.66736.170.000 2-Way Interactions 18.3338.3338.333 2.130.183 Residual Error 8 31.333 31.3333.917 Pure Error 8 31.333 31.3333.917 Total 11323.000 P-Values Calculo de Porcentajes de Contribucin Seleccionar Stat->Anova->General Linear Model Seleccionar Rendimiento como la respuesta a analizar Colocar los factores e interacciones a estudiar Nota: Se pueden colocar los factores e interacciones manualmente. Tambin se pueden colocar los factores separados por el smbolo | esto indicara que haga el modelo factorial completo. Calculo de Porcentajes de Contribucin Analysis of Variance for Rendimiento, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MSFP Concentracion 1208.333208.333208.33353.190.000 Catalizador 1 75.000 75.000 75.00019.150.002 Concentracion*Catalizador 18.3338.3338.333 2.130.183 Error 8 31.333 31.3333.917 Total11323.000 S = 1.97906 R-Sq = 90.30% R-Sq(adj) = 86.66 Optimizacin de la Respuesta Minitab me proporciona una herramienta poderosa con la cual puedo hacer la optimizacin de la variable de respuesta: Maximizar Minimizar Llevar a un objetivo Esta herramienta me puede hacer la optimizacin simultanea de mltiples variables de respuesta en caso que as fuese el problema a analizar. Optimizacin de la Variable de Respuesta Seleccionar Stat->DOE->Factorial->Response Optimizer Seleccionar Rendimiento como la respuesta a analizar Seleccionar Setup Optimizacin de la Variable de Respuesta Podemos seleccionar la opcin deseada en Goal. Para este problema vamos a colocar los siguientes datos: Goal: Target Target: 30 Lower: 25 Upper: 35 Optimizacin de la Variable de Respuesta Eficiencia de alcanzar el objetivo Valor esperado de la respuesta Ajuste de mis factores de entrada Diseo General 2K: Losmtodosdeanlisisquesehanpresentado puedengeneralizarseparaelcasodeundiseo factorial2K,esdecir,undiseoconkfactoresque tienendosnivelescadauno.Paraundiseo2Kel modelo completo obtendr 2K-1 efectos. Engeneralelenfoqueparaestetipodediseos 2K se resume en: Diseo General 2K: Estimar los efectos de los factores Formar el modelo inicial Realizar las pruebas estadsticas Refinar el modelo Analizar los residuales Interpretar los resultados Al estimar los efectos de los factores, sus signos y susmagnitudesobtenemosinformacinpreliminar respectoalosfactoresylasinteracciones.As mismopodemosdeterminarlasdireccionesde ajuste de estos factores para mejorar la respuesta Diseo General 2K: Paraformarelmodeloinicialdelexperimento,por lo general se elige el modelo completo, todos los efectosprincipalesysusinteracciones,siemprey cuando se haya hecho al menos una replica. EnlaspruebasestadsticassehaceelANOVA paraprobarformalmentelasignificacindelos efectos principales y sus interacciones. Alhacerelrefinamientodelmodelo,sesuele eliminarlasvariablesnosignificativasdelmodelo completo. Diseo General 2K: Enelanlisisresidualseutilizaparaverificarla adecuacindelmodeloyquelossupuestosse cumplan.Encasocontrariosetendrquehacer una refinacin del modelo. Lainterpretacindelosresultados,consiste generalmente en el anlisis grafico: graficas de los efectosprincipalesolasinteracciones,superficie de respuesta y graficas de contorno. Impacto de la eleccin de niveles: Entonces como debo seleccionar los niveles de los factores? Deben estar lo mas separado posibles uno del otro, tanto como nos lo permita el proceso sin caer en una zona de peligro para el proceso o para el operador. Ejemplo 2: Resistencia a la compresin Los datos siguientes representan una sola rplica de undiseo25queseutilizaenunexperimentopara estudiarlaresistenciaalacompresindelconcreto. Losfactoressonlamezcla(A),eltiempo(B),el laboratorio(C),latemperatura(D)yeltiempode secado (E). Anlisis en Minitab Abrir el archivo Ejercicio 2 Resistencia a la compresin Hacer el anlisis normal: Stat->DOE->Factorial->Analize Factorial Design Colocar Resistencia Compresin como respuesta Seleccionar OK para hacer el anlisis Analysis of Variance for Resistencia Compresin (coded units) SourceDF Seq SS Adj SSAdj MSFP Main Effects 512181250012181250024362500** 2-Way Interactions10 11345000 11345000 1134500** 3-Way Interactions10 807500 807500 80750** 4-Way Interactions 5 333750 333750 66750** 5-Way Interactions 18000080000 80000** Residual Error 0** * Total 31134378750 Una sola replica del diseo 2K: Inclusoparaunnumeromoderadodefactores,el numero total de combinaciones de tratamientos en un diseo factorial 2K es grande. Debido a que por lo general los recursos son limitados, el numero de replicasqueelexperimentadorpuedaemplear estarrestringido.Confrecuencia,losrecursos disponiblespermitenhacersolounareplicadel diseo. Un riesgo obvio con los experimentos con una sola corrida es que el modelo puede ajustarse al ruido. Esdecir,silarespuestatienemuchavariabilidad se pueden tener conclusiones engaosas. Impacto de la eleccin de niveles: Como se observa en las graficas si la variacin es grandeylosnivelessonpequeos,puedeexistir unagranprobabilidaddeobtenerunaconclusin errnea.Ahorabiensilavariabilidadespequea enlarespuesta,lasituacindeunerrorser menor. Paraasegurarnosqueseobtienenestimaciones confiablesdelosefectosesincrementarla distanciaentrelosnivelesbajo(-)yalto(+)del factor. Una sola replica del diseo 2K: Elusodelaestrategiadeunasolareplicaes comn en los experimentos de exploracin cuando setieneunnumerograndedefactoresbajo consideracin. Debido a que en estos casos nunca puedetenerselacertezaabsolutadequeelerror experimentalespequeo,unabuenapracticaen estetipodeexperimentosessepararlosniveles de los factores de una manera mas agresiva. Cuandosetieneunasolareplicaenel experimentoselellamadiseofactorialno replicado. Con una sola replica NO se cuenta con ninguna estimacin interna del error. Una sola replica del diseo 2K: Unaformarderealizaresteanlisiscuandose tratadeundiseofactorialnoreplicado,consiste ensuponerquealgunasinteraccionesdeorden superior son insignificantes y combinar sus medios cuadrados para estimar el error. Estoesunaapelacinalprincipiodeefectos esparcidos;esdecir,lamayoradelossistemas estndominadosporalgunosdelosefectos principalesylasinteraccionesdeordeninferior,y lamayorpartedelasinteraccionesdeorden superior son insignificantes. Una sola replica del diseo 2K: Cuandoseanalizanlosdatosdediseos factorialesnoreplicados,ocasionalmenteocurren interaccionesdeordensuperior.Elusodeun cuadradomediodelerrorqueseobtiene agrupandolasinteraccionesdeordensuperiorno es apropiado en estos casos. Unmtodoalternoquesesugiereesexaminarel grafico de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos. Losefectosquesoninsignificantessiguenuna distribucin normal con media cero y varianza o2, y tendern a localizarse sobre una lnea recta. Anlisis en Minitab Abrir el archivo Ejercicio 2 Resistencia a la compresin Stat->DOE->Factorial->Analize Factorial Design Colocar Resistencia Compresin como respuesta Seleccionar la opcin de Graphs y activar los grficos de efectos normales y de pareto con nivel del significanca del 10% Grafico de Efectos Normal Grafico de Efectos Pareto Depurando el modelo De cualquiera de los dos grficos anteriores, podemos observar que nicamente los factores que estarn afectando al proceso son: B: Tiempo A: Mezcla AB E: Tiempo de Secado D: Temperatura ABD ACDE DE Estos son las fuentes de variacin que dejare en mi modelo de anlisis Depurando el modelo Seleccionar Ctrl-E o Stat->DOE->Factorial->Analize Factorial Design Seleccionar la opcin de Terms Dejar nicamente los factores anteriormente encontrados: B, A, AB, E, D, ABD, ACDE y DE Activa grafico de residuales Guarda residuales y ajustes Grafico de Residuales Cuales son tus conclusiones? Anlisis de Efectos Cuales son tus conclusiones? Estimated Effects and Coefficients for Resistencia Compresin (coded units) TermEffect CoefSE CoefTP Constant2906.2532.4589.560.000 Mezcla 1425.00 712.5032.4521.960.000 Tiempo 3575.001787.5032.4555.090.000 Laboratorio-100.00 -50.0032.45-1.540.138 Temperatura 437.50 218.7532.45 6.740.000 Tiempo de Secado462.50 231.2532.45 7.130.000 Mezcla*Tiempo1162.50 581.2532.4517.910.000 Temperatura*Tiempo de Secado187.5093.7532.45 2.890.009 Mezcla*Tiempo*Temperatura 237.50 118.7532.45 3.660.001 Mezcla*Laboratorio*Temperatura* 187.5093.7532.45 2.890.009 Tiempo de Secado S = 183.557 R-Sq = 99.45% R-Sq(adj) = 99.22% Anlisis Tabla ANOVA Cuales son tus conclusiones? Analysis of Variance for Resistencia Compresin (coded units) SourceDF Seq SS Adj SSAdj MS FP Main Effects 512181250012181250024362500723.070.000 2-Way Interactions 2 11092500 11092500 5546250164.610.000 3-Way Interactions 1 451250 451250451250 13.390.001 4-Way Interactions 1 281250 2812502812508.350.009 Residual Error22 741250 741250 33693 Total 31134378750 Grafico de Efectos Principales Cuales son tus conclusiones? Grafico de Interacciones Cuales son tus conclusiones? Optimizacin de la Respuesta Cul es el modelo que se elige para la optimizacin? Minitab tomara el ultimo modelo analizado en la tabla ANOVA en este caso ser el modelo filtrado o depurado. Stat->DOE->Factorial->Response Optimizer Colocar Resistencia Compresin como variable de respuesta y seleccionar Setup Para caso de estudio queremos encontrar un valor de resistencia de 2500 +/- 500 Optimizacin de la Respuesta Tarea 1: Enunciado Se usa una maquina para hace ranuras de localizacin en una tarjeta de circuitos impresos. El nivel de vibracin en la superficie de la tarjeta cuando se hacen las ranuras se considera una fuente principal de variacin dimensional de las ranuras. Se piensa que dos factores influyen en la vibracin: el tamao de las ranuras (A) y la velocidad de corte (B). Los niveles seleccionados para el factor A son 1/16 y 1/8 de pulgada. Los niveles seleccionados para el factor B son 40 y 90 rpm. Obtenga el diseo de experimentos efectue el anlisis en cuanto a: 1.- Factores que influyen y que tanto influyen. Obtenga el diagrama de pareto de los factores. 2.- Obtenga el modelo y diga que porcentaje de ajuste tiene dicho modelo. Si se puede mejorar, mejrelo. 3.- Analice la suposicin de normalidad de los residuales. 4.- Analice si la varianza para la respuesta es la misma en todos los niveles de los tratamientos. 5.- Obtenga las grficas de los efectos principales y las interacciones. De sus conclusiones y recomendaciones. Datos Tarea 1 Tarea 2: Enunciado Un ingeniero est interesado en el efecto de la velocidad de corte (A),la dureza del metal (B) y el ngulo de corte (C) sobre la duracin de una herramienta de corte. Para ello se eligen dos niveles para cada factor y se corren dos rplicas del diseo factorial 23. La tabla siguiente presenta los datos de tiempo de duracin (en horas) de la herramienta. Obtenga el diseo de experimentos efectue el anlisis en cuanto a: 1.- Factores que influyen y que tanto influyen. Obtenga el diagrama de pareto de los factores. 2.- Obtenga el modelo y diga que porcentaje de ajuste tiene dicho modelo. Ya es un modelo reducido? Si no lo es, redzcalo y vuelva a correr el anlisis.. 3.- Analice la suposicin de normalidad de los residuales. Cumplen los residuales con los supuestos? 4.- Analice si la varianza para la respuesta es la misma en todos los niveles de los tratamientos. 5.- Obtenga las grficas de los efectos principales y las interacciones. De sus conclusiones y recomendaciones. Datos Tarea 2 Rplica Combinacin de tratamientosIII (1)221311 a325435 b354348 ab552472 c440453 ac406377 bc605500 abc392419