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Paredes-Bartolomé, C. y Flórez-Baquedano, F. (2001). Evaluación eficiente de la densidad de fracturación. Boletín Geológico y Minero. Vol. 112-1, 51-64.ISSN 0366-0176

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Evaluación eficiente de la densidad de fracturación

RESUMEN

La evaluación de la densidad de fracturación es un cálculo que, para la importancia que tiene, habitualmente o se realiza con téc-nicas manuales poco robustas, o se deja a cargo del software inadecuado. Estos métodos no tienen en cuenta a qué nivel de escalala información disponible del medio fracturado es máxima. Si así fuera, se podrían evitar redundancias o sesgos artificiales origi-nados bien en la restitución de los lineamientos, bien en la atribución de la misma sobre una zona, o en ambos.

Por ello, se proponen dos soluciones que, aún siendo computacionalmente más costosas que las manuales, reducen el grado deincertidumbre asociado a esta medida, parámetro característico del medio fracturado. En la primera, se asigna un valor constanteal área de estudio, dependiendo de las características fractales del campo de fracturas. Y en la segunda, se entiende que la densi-dad es una variable espacial discretizada sobre el plano a cierta escala crítica. Esta escala, se calcula para recoger toda la informa-ción posible de la variable para distribuirla en el área.

Como aplicación de estas dos metodologías se presenta un estudio comparativo sobre los resultados obtenidos en un área delSistema Central de la Península Ibérica (escala 1:500.000).

Palabras clave: densidad de fracturación, entropía, fractal, información, Sistema Central.

Efficient evaluation of fracture density

ABSTRACT

The estimation of fracture density is usually carried out despite its importance, using unreliable manual techniques, or using aninnadecuate software. These techniques do not take into account the scale level where the available digital information of the frac-tured medium is maximun. If this was so, redundant or artificial bias from lineaments restitution or in assinging this parameter overa whole area could be avoided.

Therefore, two solutions are presented here, although they require a higher computational effort. They both reduce the uncertain-ties in fracture density measure. One assigns a constant value to the studied area based on the fractal characteristics of the fracturefield. In the other, fracture density is considered a spatial variable discretised at certain critical scale corresponding to the maximuninformation entropy scale.

A comparative study is performed over the Iberian Central System at 1:500.000 scale as an application of both methologies.

Key words: entropy, fractal, fracture density, information, Iberian Central System.

C. Paredes-Bartolomé y F. Flórez-Baquedano

Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos. E.T.S.I. de Minas. UPM. Ríos Rosas 21. 28003 Madrid. E-mail: [email protected], [email protected]

INTRODUCCIÓN

En la actualidad, las herramientas de trabajousuales en el estudio interpretativo de un mediogeológico fracturado son tres: fotografía (aérea ode campo), imágenes de satélite y Modelos

Digitales del Terreno (MDT). Tanto las imágenesde satélite como la fotografía aérea están espe-cialmente indicadas para el análisis macroestruc-tural, y la de campo para el análisis local micro-estructural. Este análisis se utiliza posteriormenteen la caracterización geométrica y cinemática de

los cuerpos geológicos interesados en la zona enestudio, así como de las estructuras que los afec-tan, a una escala mayor del afloramiento o escalacartográfica.

En el caso de fotografías aéreas, se habla de res-titución fotogramétrica, que consiste en el pasode la foto al mapa, siendo necesarias ciertascorrecciones, debidas fundamentalmente a dis-torsiones en la adquisición de las fotos.

En el empleo de imágenes de satélite, dentro dela teledetección, el aprovechamiento de estaherramienta va a depender esencialmente de lacalidad de los afloramientos rocosos, del suelo,de la vegetación, etc. Estas mismas limitacionesson las que se tienen cuando se procede a reali-zar sobre el terreno la cartografía geológica, sibien la imagen de satélite ofrece una visión inte-grada de la morfología estructural de conjunto yla posibilidad de utilizar un amplio rango delespectro electromagnético.

Finalmente, los MDT usan exclusivamente datostopográficos. Tras un proceso de captura dedatos y almacenamiento, son tratados medianteprocesos de sombreado artificial y gradientesdireccionales que resalten los lineamientos,excluyendo así posibles confusiones debidas a lainterpretación de lineaciones no morfoestructu-rales como tales.

No obstante, y a pesar de que aún no estácomúnmente extendido su uso, los ModelosDigitales del Terreno presentan ventajas muyimportantes frente al resto, como son: prestar unsoporte adecuado a toda la información cartográ-fica (estructural, petrológica, hidrológica) y, sobretodo, son fundamentales para el estudio de lasrelaciones entre las características de la red defracturación a diferentes escalas. Esto es asídebido a que la única información que se utilizaen la interpretación es la topografía, lo cual evitaque se puedan interpretar lineaciones vegetales,antrópicas, etc., como lineaciones morfoestructu-rales.

Este hecho es muy importante, debido funda-mentalmente a que no interesará perder informa-ción en el proceso de interpretación y restituciónde los lineamientos, pero tampoco será conve-niente añadir más información que la real. Como

se discutirá más adelante, la cantidad de infor-mación máxima que puede aportar un medio esla que es y vendrá indicada por su entropía.

En lo que sigue, se propondrá la utilización de losMDT como fuente de los lineamientos que se vana analizar en este artículo.

Restitución de los lineamientos

La restitución de los lineamientos, es el procesopor el cual se pasa de la interpretación de lasfotografías, imágenes y modelos a la definicióngeométrica de las posibles fracturas, fallas, dia-clasas, diques, o discontinuidades que seencuentran en el terreno. Los criterios básicos deinterpretación para llevarla a cabo son dos: latopografía y la red de drenaje. Dentro de la topo-grafía están comprendidas la litología y lasestructuras morfotectónicas. Además, en la resti-tución se tienen en cuenta varios criterios para elreconocimiento de la fracturación: discontinui-dad de las estructuras y en la alineación de coli-nas, cerros, etc.; desplazamientos de los estratos,de diques y de fracturas a ambos lados de la falla;incluso cambios bruscos en la vegetación, en lared de drenaje, en el tono, ... entre otros.

En cualquier caso, sea cual sea la procedencia delos lineamientos a restituir, la escala a la cual secartografíen será determinante. En primer lugar,la cantidad de información que se recoja estarámuy condicionada por el límite de percepciónvisual humano, que para magnitudes lineales esde 0,25 mm. Esto significa que, si se multiplica laescala por el límite de percepción, se obtendrá unumbral mínimo por debajo del cual no se regis-trarán medidas de magnitud inferior, con la con-siguiente pérdida de información. Además,según la escala se podrán estar infravalorandolineamientos más grandes que la propia ventanade observación, impuesta por la escala cartográ-fica.

Ambos fenómenos se traducen en el siguientehecho: sobre la función de distribución de las lon-gitudes de los lineamientos, se estarán recor-tando las colas debidas a lineamientos en princi-pio poco probables, con longitudes o muchomenores o mucho mayores que la media. Porotro lado, se habrá de considerar la pericia de la

C. PAREDES-BARTOLOMÉ Y F. FLÓREZ-BAQUEDANO

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EVALUACIÓN EFICIENTE DE LA DENSIDAD DE FRACTURACIÓN

persona que restituya los lineamientos, que,según su interpretación, puede considerarlos devarias formas: no será lo mismo un lineamientomuy largo que una sucesión de lineamientos máso menos concatenados. O bien puede truncarlos,o considerar que atraviesan a otros lineamientos,etcétera.

LA DENSIDAD DE FRACTURACIÓN

En principio, ¿qué se entiende por densidad defracturación?. En la bibliografía pueden encon-trarse diferentes aproximaciones a esta res-puesta. En algunas se encuentra el término inten-sidad (Dershowitz et al., 1998), en otraspersistencia (Dershowitz y Herda, 1992), y enotras se denomina densidad a una relación queno tiene nada que ver con los anteriores (Charlaixy Roux, 1987, Rockworks, 1999), produciendo lacorrespondiente confusión terminológica.

Según la definición física, la densidad es la canti-dad de magnitud física, sea masa, energía, etc.que contiene la unidad de espacio (en términosinfinitesimales ρ=dm/dV). Cuando se trata decampos de fracturas, o de cuerpos geométricosen el espacio, la magnitud física que se asocia esproporcional a su diámetro, es decir, a su exten-sión (longitud en el caso de trazas bidimensiona-les, o superficies en tres dimensiones). La defini-ción se traduce entonces, para el plano en dosdimensiones, en la longitud l total por unidad deárea, λ21:

(1)

ó en tres dimensiones, como superficie fractu-rada s por unidad de volumen de roca, λ32:

(2)

ambas con dimensiones de [L-1]. Los sumatoriosse extienden sobre todas las i fracturas conside-radas en el área o en el volumen, respectiva-mente.

En ocasiones, la densidad se confunde con la

intensidad de fracturación. El concepto de inten-sidad esta asociado a la cuantificación de un flujode cierta cantidad que, en este caso, correspondecon el número de fracturas. Así las cosas, dadoque el flujo es una magnitud por unidad desuperficie, la intensidad de fracturación se refiereal número de fracturas por unidad de área o devolumen:

;(3)

con dimensiones de [L-2] y [L-3], respectivamente.La función indicadora, 1A(i) ó 1V(i), es la unidad sila i-ésima fractura se encuentra en el área o en elvolumen en estudio, y son cero en otro caso.

La persistencia de fracturación (Dershowitz yHerda, 1992), aunque como denominación estámenos extendida, se aplica para definir el mismoconcepto que la intensidad o que la densidad defracturación. La densidad y la intensidad de frac-turación se encuentran relacionadas, a través deuna proporcionalidad directa, exceptuando elcaso particular en el que los datos estén tomadossobre una dirección o transecto (cuando se tratade puntos espaciados sobre una recta), para elque ambas coinciden:

(4)

con dimensiones de [L-1]. En los otros dos casos(bi y tridimensional), la constante de proporcio-nalidad es el momento de primer orden de la fun-ción de distribución de tamaños de fracturas. Así,en el caso bidimensional, al tratarse de segmen-tos rectilíneos, ésta corresponde con la longitudpromedio de la función de densidad de probabi-lidad de longitudes f(l):

(5)

La estimación de la función de distribución f(l)debe hacerse con cierta cautela, para evitar losefectos que puede producir el hecho de que hayafracturas truncadas por su restitución o por suposición. Para evitarlo, es recomendable un estu-

53

λ21 =

∑ lii

A

λ10 10

1= =

∑I

i

L

Li

( )

λ21 21 21

0

= =∞

∫I f d Il l l l( )

Ii

A

Ai

21

1=

∑ ( )I

i

V

Vi

32

1=

∑ ( )

λ32 =∑ s

V

ii


dio más detallado (Visser y Chessa, 2000) de lainformación que proporcionan esas fracturas,cuyo tamaño está sesgado, que modifique lascolas de la función f(l). Para más detalles tambiénpueden consultarse Priest y Hudson (1981), Pahl(1981) y Laslett (1982). En el caso volumétrico, lafunción de distribución corresponde con la desuperficie de fractura f(s). Por lo tanto, la cons-tante de proporcionalidad entre densidad e inten-sidad es la superficie promedio:

(6)

En la práctica, la utilidad de las relaciones ante-riormente presentadas es muy limitada. El pro-blema de interés se plantea en la cuantificaciónde la relación entre las magnitudes, cuando éstasse refieren a diferentes dimensiones, especial-mente en la densidad, que es en la que intervienela extensión de las fracturas. Para encontrarlas espreciso acudir a aquellas que proporciona la este-reología, y que se hallan en textos de geometríaestocástica, como por ejemplo en Stoyan,Kendall y Mecke (1987) y en Santalo (1976), o deteoría estereológica en Underwood (1970). El tipode relaciones que se establecen son del estilo:

(7)

donde, las constantes de proporcionalidad C’ yC’’, que establecen la igualdad, tienen una depen-dencia no lineal con las distribuciones de tama-ños de fracturas y de orientaciones, que son des-conocidas. En realidad, estas funciones dedistribución deben ser estimadas a partir de losdatos disponibles de campo, de tal manera que,en primer lugar, se calibra una función esféricapara las orientaciones (direcciones y buzamien-tos) de las fracturas. Esta se usa, a posteriori,para evaluar una función de distribución test paralos radios de fracturas (supuestas como discostridimensionales en el espacio), teniendo encuenta que, con ambas, debe de verificarse la dis-tribución de tamaños de trazas cartografiadassobre el terreno (HIDROBAP, 2000).

Hasta ahora se han expuesto dos medidas cuyosoporte es el campo de fracturas, expresadas

como puntos, trazas o superficies alabeadas,según sea la dimensión de muestreo (uni, bi o tri-dimensional, respectivamente). Sobre estesoporte espacial, es también posible definir otrasmedidas, que se denotarán de manera generalcomo µ. Algunas de ellas tienen un significadofísico relacionado con las anteriores.

Si se considera que la información procede delineamientos (de igual manera se plantearán si elorigen geométrico es diferente), desde un puntode vista probabilístico, puede definirse la proba-bilidad de fracturación de un área A, como la pro-babilidad de encontrar alguna fractura en A, den-tro de una región mayor B, según:

(8)

Obviamente, si A = B, esta medida es la unidad.Si la fracturación es uniforme en B, entoncesIA⊂ B ∝ sA/sB. La razón de longitud de fracturaciónen un área A ⊂ B, se calcula según:

(9)

entendido como el tanto por uno de longitud defracturación en A respecto a B. Ambas medidasestán implícitamente normalizadas. Es decir, si apartir de un conjunto {Ak} de áreas disjuntas,Am ∩ An = ∅ , tales que todas ellas consiguen recu-brir B = ∪ kAk, entonces (9) verifica:

(10)

Para los cálculos que se presentan a continuaciónse ha adoptado como medida que caracteriza elmedio fracturado la densidad de fracturación, porlas aplicaciones que puede tener a posteriorihacia la modelización y simulación del campo defracturas en tres dimensiones.

EVALUACIÓN REGIONAL CONSTANTE

La evaluación regional de la densidad de fractu-ras en un medio geológico se realiza cuando se

54

λ32 32 32

0

= =∞

∫I sf s ds I s( )

µA B

Ai A

Bj B

i

j⊂∈

∈

=∑∑

1

1

( )

( )

µA B

ii A

jj B

⊂∈

∈

=∑∑

l

l

µ

µA B

A Bk

k

⊂

⊂

∈[ ]=∑

l

l

0 1

1

,

λ α λ α λ32 21 10C C" '


intenta cuantificar el grado de fracturación sobreun área en toda su extensión. La caracterizacióncuantitativa a este nivel de escala es muy simpley se realiza normalmente a través de la relación(1), (2) ó (4), dependiendo de la dimensión deprocedencia de los datos.

Esta estimación, aunque válida para una primeraaproximación, puede ser deficiente si no reúneuna serie de requisitos. Entre éstos cabe mencio-nar el hecho de que para un tamaño concreto delárea, las posibilidades de identificación de loslineamientos y su ulterior restitución, decrececon el tamaño de los mismos. De igual forma,aquellos lineamientos que se encuentran trunca-dos en su longitud por el limitado tamaño de laventana de observación, o área de estudio, intro-ducen un sesgo en la aproximación de la densi-dad. Finalmente, hay que mencionar el hecho deque las trazas se encuentren quebradas por tra-mos, lo que reduciría la longitud en el denomina-dor; o, por el contrario, se aumentaría si éstas seconsiderasen líneas tortuosas (cuando se evalúaλ21, por ejemplo).

Entonces, ¿cómo aprovechar la información dis-ponible para cada una de las escalas de fractura-ción, de tal forma que en su conjunto sea repre-sentativa de toda el área?, ¿cuál es estainformación?, y ¿cómo cuantificarla?. La res-puesta la proporciona la teoría geométrica de lamedida, o más comúnmente conocida como geo-metría fractal. Si se estudia el comportamientoinvariante al cambio de escala del medio fractu-rado, es decir se evalúa a qué dimensión elcampo de fracturas puede medirse, y se utilizaesta medida para estimar la densidad de fractu-ración, el resultado proporcionado asegura quela densidad tiene en cuenta la información delmedio a todas las escalas comprendidas entreaquellas que verifican el comportamiento fractaldel campo de fracturas.

La medida que se utiliza, para cuantificar eltamaño del campo de fracturas, es la medida deHausdorff (Falconer, 1990), que se define, para unconjunto F⊂ IRn (que pudiera ser el campo de frac-turas), como el límite:

(11)

si este límite existe para un t particular; y siendo:

(12)

para un δ-recubrimiento contable (o finito) deconjuntos {Ui}, cuyo diámetro es |Ui| ≤ δ, del con-junto F. El valor de t, para el cual este límite existey es finito, se denomina dimensión de Hausdorff,más conocida como dimensión fractal D, de F.Esta es la dimensión para la cual el conjunto F esmensurable. Ahora bien, ¿cómo medir computa-cionalmente F?. Uno de los métodos común-mente propuestos se denomina conteo de celdaso box-counting (Paredes y Elorza, 1999), que con-siste en calcular el límite (11), utilizando un recu-brimiento de conjuntos Ui formado por celdas detamaño ε (de lado o de diagonal) decreciente(para que ε→0). Transformando la expresión (11),para este tipo de recubrimiento, la medida Ddimensional de Hausdorff de F se aproxima por:

(13)

tomando logaritmos en ambos lados de la igual-dad:

(14)

y evaluando que su comportamiento es inva-riante al cambio de escala a partir de la calidad dela regresión lineal de log N(ε) vs. log ε, puedeaproximarse:

(15)

En el ajuste resultante, la ordenada en el origen,para ε = 1, permite determinar la medida Ddimensional de Hausdorff de F como:

(16)

A partir de (16), se define la densidad fractal defracturación como:

; ;

(17)

55

µ ε εε ε ε

D H D Dlim H F lim N, ( ) ( ( ) )= ≅→ →0 0

log ,µ ε εε

D H lim= [ ]→0

logN( ) + Dlog

D limN≈ −

→ε

εε0

log ( )log

µ D H N, ( )= 1

λ µ10D H

D H

L,

,

= λ µ21D H

D H

A,

,

= λ µ32D H

D H

V,

,

=

µε ε

t H tlim H F, ( )=→0

H F U Uti

t

ii

δ δ( ) inf ;= { }

∑ es un - recubrimiento de F


para datos procedentes de muestreo uni, bi y tri-dimensional respectivamente.

La comparación de las medidas obtenidas regio-nalmente, a partir de las ecuaciones (1), (2) ó (4),con (17), respectivamente, proporciona informa-ción sobre la calidad de los datos analizados, encuanto a la integridad de la restitución a unaescala particular. Tomando este criterio, cuandoλ < λD,H significa que la calidad de la restitución espobre, lo que conlleva a que falten fracturas quepudieran encontrarse a la escala de muestreo, yque por lo tanto ésta esté incompleta. Por el con-trario, si λ > λD,H, entonces se han cartografiadomás fracturas de las que un modelo de tipo frac-tal puede admitir o bien que el nivel de detallerecogido en la cartografía sea excesivo para laescala de trabajo.

EVALUACIÓN LOCAL VARIABLE

En otras situaciones, habitualmente relacionadascon la modelización del medio fracturado para suposterior simulación estocástica, o por el simplehecho de realizar un estudio sobre la variabilidadespacial de la densidad de fracturación, es nece-sario que ésta se determine como una funciónestocástica de la posición λ(x). Como en la prác-tica resulta imposible definir su valor para lasinfinitas posiciones x del espacio, ya sea porquelos datos no se detectan a todas las escalas o por-que su cálculo sobre todos los puntos es compu-tacionalmente inalcanzable, debe procederse a ladiscretización espacial de esta función. De estamanera, los puntos discretos xi sobre los que serealiza el cálculo se encuentran agrupados en ele-mentos o celdas cuadradas de lado ε, con unvalor asociado λ(xi) = λ i, promedio del que poseenlos puntos recogidos en su interior. La asignacióndel correspondiente valor de la densidad de frac-turación sobre cada celda se calcula a partir de(1), para un área A de ε2 unidades, (2) ó (4) paraun volumen o longitud de ε3 o ε, respectivamente.

La necesidad de aplicar una discretización,supone que debe conocerse a qué escala ε se dis-cretiza el espacio, lo cual no suele ser simple apriori. Si la escala adoptada es demasiadopequeña, aparecen notables diferencias entre cel-das contiguas con los consiguientes huecos en ladistribución espacial de λ i, pérdida de regularidad

y de precisión. La evaluación a una escala muypequeña necesita una buena calidad de restitu-ción en los lineamientos, lo que es muy com-plejo, especialmente si no se dispone de unametodología y un sistema que lo automatice(Koike, Nagano y Kawaba, 1998), y si el área deestudio es muy amplia. Por el contrario, si laescala es demasiado grande, la información sepromedia sobre grandes zonas, haciendo difícil elestudio de la irregularidad, al perderse muchainformación del detalle recogido durante elmuestreo.

El encontrar la escala apropiada de discretiza-ción, implica adoptar una solución de compro-miso para el tamaño de las celdas, de tal formaque, siendo un tamaño grande no promedieexcesivamente, manteniendo el grado de irregu-laridad espacial; y siendo un tamaño pequeño,que no exija una calidad de muestreo, un costecomputacional difícilmente alcanzable con losrecursos disponibles y una irregularidad impro-pia de la densidad.

En la práctica, la estimación de esta escala suelehacerse manualmente, ponderando los pros y loscontras de tomar una escala mayor o menor,comparándose el error cometido en los análisisde variabilidad, para una serie de escalas entrelas cuales se encuentra la considerada comoóptima. Existe una relación empírica entre ésta yun percentil de la función de distribución de dis-tancias entre lineamientos (Casas et al., 2000),considerada como la distancia entre los centrosde las fracturas. Como puede entenderse, estaforma de proceder resulta poco robusta y labo-riosa, notablemente por su empirismo.

La metodología alternativa que aquí se propone,y que permite superar los inconvenientes de laaproximación manual de la escala, se basa en labúsqueda semi-automática de ésta para la que seencuentra el máximo de la entropía asociada a ladistribución de densidad de fracturación. Si seconoce esta distribución de forma continua,designada por f(z) (función de densidad de pro-babilidad de la configuraciones z del sistema), laentropía de información del sistema es:

(18)

56

H z f z dz= −∫ log ( )


Cuando la distribución de configuraciones es dis-creta, como el número de configuraciones posi-bles es finito, la integral se transforma en unsumatorio:

(19)

para un sistema con nc configuraciones, de pro-babilidad pi, no nula, cada una.

Si se considera que el número de configuracio-nes posibles depende de la escala ε en la que semuestrean, entonces la distribución de probabili-dad cambiará para cada escala. De esta forma, laentropía se hace también dependiente de laescala:

(20)

Por ejemplo, supóngase una configuración en laque las medidas sean equivalentes (eventosequiprobables), entonces la entropía es lamáxima que puede alcanzarse: Hmax(ε), depen-diendo ésta del tipo de sistema que se trate y dela medida de probabilidad aplicada. Se define laentropía de configuración o relativa (Shanon,1948) como el tanto por uno que posee la entro-pía de un sistema frente a la máxima que puedetener:

(21)

La función H*(ε) posee un máximo en una escalaε*, denominada escala de entropía óptima. Dichaescala es aquella para la cual los datos propor-cionan la mayor cantidad de información y, por lotanto, a la que deben ser analizados. De estamanera la búsqueda de esta escala se traduce enencontrar ésta para la que el sistema se aproximemás a uno con distribución uniforme.

Cuando el sistema se encuentra formado por unconjunto geométrico de elementos (fracturas),las probabilidades de las configuraciones del sis-tema que corresponden con la medida (9), paraun caso bidimensional, donde A es la i-ésima

celda de discretización y B el área donde estánrecogidas las fracturas. Es decir, si

(22)

para todas las i celdas, de tamaño ε, resultantesde discretizar B. El sumatorio se efectúa sobre lasnc celdas que contienen medida no nula, µi

p≠0(por convenio, las celdas de medida nula propor-cionan una entropía nula). Establecida la entropíaque se calcula para cada escala, por hacer com-parables los resultados entre diferentes áreas, sedetermina la entropía de configuración o relativapara la medida adoptada:

(23)

siendo, para la medida adoptada:

(24)

Para calcular la escala de máxima información ε*,se hace un estudio del comportamiento cóncavoque tiene la entropía de configuración (23) en unintervalo de escalas ε∗ ∈ [ε min, εmax] ⊂ [0,+∞] . En lapráctica, la cota superior de este intervalo corres-ponde con la longitud del menor lado que limitael área de estudio, para la que:

La cota inferior puede tomarse, como se comentóanteriormente, en relación con el tamaño de lamínima fractura, o de la mínima distancia entreéstas. Una vez la entropía relativa alcance elmáximo, la escala correspondiente se asigna aε*:

(25)

En este estudio, el comportamiento de HP*(ε)muestra una fuerte dependencia con el númerode datos, esto es, con el número de elementos enlos que se discretiza el área de estudio (Goltz,1997), mientras que ε* es mucho más robusta,influenciada por los posibles efectos de lacunari-dad en la medida. Gracias a la precisión con la

57

H p pii

nc

i= −=∑

1

logH p

ip

i

nc

ip( ) ( ) log ( )ε µ ε µ ε= −

=∑

1

H H Hp pmaxp*( ) ( ) / ( )ε ε ε=

H p *( )ε = 0

H ncmaxp ( ) logε =

H Hpmax

p*( ) * ( *)ε ε=

H p pii

nc

i( ) ( ) log ( )ε ε ε= −=∑

1

H H Hmax*( ) ( ) / ( )ε ε ε=

µ µip

A Bi= ⊂

l :


que esta escala puede obtenerse, incluso peque-ñas diferencias en los máximos pueden conside-rarse como muy significativas en las característi-cas de los datos de partida, aunque éstos seanmuy parecidos.

Como, en principio, se ha sugerido que la carac-terización del medio fracturado es más apropiadacon la densidad de fracturación que con otrasmedidas, entonces ¿por qué se calcula la entro-pía mediante la medida (9) en (22), en vez de usarλ i?. Así las cosas, si se designa a la entropía resul-tante de utilizar la densidad de fracturacióncomo:

(26)

Al tomar esta medida, el valor máximo alcanza-ble por la entropía, para cada escala, es:

(27)

con la que se calculará la correspondiente entro-pía de configuración para la densidad de fractu-ración:

(28)

para estimar la correspondiente escala demáxima infomación ε*.

Esta entropía está directamente relacionada conHp*(ε) a través de un coeficiente que la multiplicay una constante adicional, donde aparece

o densidad específica, que depende de la escalaε. Con lo que el cálculo de la posición del máximocon Hp(ε) o con Hλ(ε) es equivalente.

Calculada la escala óptima a la cual se discretizael espacio, se determina para cada celda i el valorque le corresponde de densidad de fracturación,verificándose la relación:

(29)

entre las densidades regional constante y localvariable, para un estudio n dimensional, sobre undominio de lado L.

ESQUEMAS COMPUTACIONALES

Tómese el caso de un MDT sobre el que se hanidentificado y restituido una serie de lineamien-tos. La obtención de la densidad de fracturaciónregional constante es un cálculo en principio sen-cillo, ya que basta, aplicar (1). En el mercado exis-ten programas comerciales que permiten hacereste cálculo, como por ejemplo FRACMAN(Dershowitz et al., 1998), pero no son capaces deobtener (17). Para ello es necesario un programade análisis fractal sobre lineamientos que per-mita calcular (15), como por ejemplo en Paredesy Elorza (1999), sobre un campo de fracturas.

Igualmente, el cálculo de la densidad de fractura-ción local variable puede hacerse mediante algúnprograma. Pero dado que se trata de un estudiode más detalle que el simple regional, muy pocoslo incluyen, y sólo aquellos específicos que tratencon datos geológicos. Este es el caso de ROCK-WARE (Rockworks, 1999), en el que se permite laevaluación de (3), (8) y de una medida semejantea la densidad de fracturación. La dificultad seencuentra en la utilización de un esquema de cál-culo eficiente, en el sentido de tiempo para cal-cular la longitud de la intersección entre un seg-mento y una celda rectangular. En la literaturapueden encontrarse algunos algoritmos que per-miten resolver este problema. Por ejemplo, enRogers (1985) se presenta, aunque de formaincompleta, el esquema de Sutherland y Cohen,basado en una codificación binaria de la posiciónrelativa del segmento frente a la celda. Otra estra-tegia posible, aunque menos rápida, es la que seusa en Casas et al. (2000), en la que se calcula lalongitud estableciendo todas las posibles posi-ciones relativas y evaluando condicionalmente,con las coordenadas de los extremos del seg-mento, en cuál de éstas se encuentra.

EJEMPLO: SISTEMA CENTRAL ESPAÑOL

Las metodologías alternativas presentadas paraevaluar la densidad de fracturación regional ylocal, con la máxima información respectiva, han

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H ii

nc

iλ ε λ ε λ ε( ) ( ) log ( )= −

=∑

1

λε λ

n n

ni

inL − =∑

1

*

Hmaxλ

εε λ λ( ) log= − 21

H H Hmaxλ λ λε ε ε*( ) ( ) / ( )=

λ εε = ∑ li

i

/ 2


sido aplicadas a un campo de fracturas cartogra-fiado a escala 1:500.000 (figura 1), procedente deun MDT con una escala de pixel de 500 m.

La zona sujeto de estudio, que incluye gran partedel Macizo Central español, está comprendidaentre las coordenadas UTM X:299867-450643.8 eY:4409506-4490081. Tras la correspondiente resti-tución, se han marcado un total de 1483 linea-mientos de diversas longitudes. Sobre los datosanalizados se han incorporado aquellos que seencuentran truncados en su longitud por situarsepróximos a los bordes del área considerada.

La función de distribución de tamaños f(l) seaprecia en la figura 2 (sin corregir los efectos detruncamiento). Sobre ésta puede constatarse quehay una moda muy marcada en las longitudespróximas a los 3000 - 4000 m, valor máximo delas longitudes para casi un 70% de la población.Si se tiene en cuenta el límite de percepción a

esta escala, que se señaló al principio de este tra-bajo, será muy difícil encontrar lineamientos delongitud inferior a 125 m. La frecuencia de laclase que incluye este valor sobre la función dedistribución aproximada presenta un valor nulo(véase la ampliación entre 0 – 1000 m del recua-dro). De hecho, el lineamiento de menor tamañoencontrado es de unos 450 m. A este respecto,según contempla la Tabla 1, en la columna depercentiles, un 1% de las fracturas posee unalongitud inferior a los 780 m, el 50% de las mis-mas son como máximo de 3438 m, y el 99% infe-riores a los 15800 m.

Al analizar los datos para obtener la densidad defracturación regional, basta con determinar lalongitud total de los mismos y dividir ésta por lasuperficie que abarca el área de estudio(12148840.66 103 m2). Aplicando (1), resulta queλ21 = 5.2893 10-4 m-1, y una intensidad de valorI21 = 1.2206 10-7 m-2, según (3), que corresponde

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Figura 1: Lineamientos restituidos a partir del MDT a escala 1:500.000

Figure1: MDT restituted lineaments at 1:500.000 scale


con el que se obtiene según la relación (5), si setiene en cuenta que l=4333.08 m.

Siguiendo la metodología propuesta para mejo-rar la estimación de λ21, se ha realizado un análi-

sis fractal del campo de lineamientos. Para ello elárea inicial ha sido dividida en tres zonas cuadra-das para apreciar, si existen, variaciones en elcomportamiento al cambio de escala. Las men-cionadas zonas han sido designadas por nº 1, nº2 y nº 3, con una dimensión de 80575 m de lado(ver figura 1), para las que se han obtenido losresultados representados por puntos en la grá-fica de la figura 3. El análisis detallado de las trescurvas (por puntos para cada zona), permite des-tacar tres intervalos de escalas con comporta-mientos diferentes. El primero, comprendidoentre εmin y los 2177 m, en el que la regresión pre-senta una pendiente unidad, lo que permite ase-gurar que se esta analizando, mediante el algo-ritmo de recubrimiento, fracturas de formaindividualizada (como segmentos) de ahí que serecoja la dimensión de recubrimiento como ladimensión topológica de los cuerpos geométri-cos lineales. El segundo tramo está entre los 2177m y los 4739 m y comprende la zona sobre la quepuede determinarse (15); donde estimar (16) esfactible, a partir de una regresión lineal de losdatos en dicho intervalo. Se presentan en la Tabla2 los resultados obtenidos para cada zona, en losparámetros más importantes de los ajustes. Eltercer tramo de las gráficas se encuentra entre lasescalas de 4739 m y εmax, intervalo sobre el quetodas las celdas del recubrimiento poseen almenos una fractura; en este intervalo el procesode estimación de (16) recoge como dimensión ladel espacio que contiene el campo de fracturas,es decir el plano bidimensional.

La comparación de los resultados para cada zonapermite afirmar que, en cuanto a la dimensión derecubrimiento, se caracteriza la fracturacióncomo un proceso persistente (D < 1.5), recono-ciéndose zonas con pocas fracturas y otras conagrupaciones e incrementos localizados delnúmero, si bien existe una fracturación de fondogeneralizada que asegura que no se quedenzonas amplias sin fracturar. En cuanto a la densi-dad de fracturación, comparativamente comoλ21<λ21

D,H entonces puede afirmarse que si fueraposible una restitución del campo de fracturashasta escala unidad, sobre la que se mide la den-sidad, se recuperarían dos ordenes de magnitudsuperior. Este hecho permite asegurar que elvalor de densidad fractal es más conservador queel clásico. Esto es así, ya que, al incorporar más

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Figura 2: Función de densidad de distribución de las longitu-des de los lineamientos restituidos. En el recuadro la distri-bución de tamaños entre 0 m y 1000 m.

Figure 2: Density distribution funcion of the restituded linea-ments lengths. In the insert, size distribution between 0 and1000 m

Tabla 1: Estadísticos significativos de las longitudes de loslineamientos restituidos en el área completa.

Table 1: Statistical data of the restituted lineaments lengths inthe whole area

Estadística univariante Percentiles

N.º = 1483 1.0 % = 780.138 m

Media = 4333.08 m 5.0 % = 1246.81 m

Varianza = 1.03058E7 m2 10.0 % = 1589.21 m

Desviación = 3210.27 m 25.0 % = 2319.65 m

Mínimo = 438.196 m 50.0 % = 3438.26 m

Máximo = 45916.8 m 75.0 % = 5405.55 m

Sesgo Std. = 51.2232 90.0 % = 8246.3 m

Kurtosis Std. = 192.699 95.0% = 10129.1 m

Suma = 6425963.7785 m 99.0 % = 15803.2 m

Zona n.º 1 Zona n.º 2 Zona n.º 3

λ21 0.595459E-03 m-1 0.487432E-03 m-1 0.597446E-03 m-1

Dimensión D 1.4979 ± 0.025 1.4577 ± 0.025 1.3056 ± 0.030

λ21D,H 13.93032E-03 m-1 10.06705E-03 m-1 2.584075E-03 m-1

Coef. Correlación -0.997301 -0.997127 -0.994973

R-sqr. 99.461 % 99.426 % 98.997 %


fracturas, que se rijan en su distribución espacialpor un comportamiento invariante al cambio deescala, en el rango de escalas apropiado (de 1 mhasta los 5000 m aprox. dentro de las áreas toma-das), se incrementan las posibilidades de exis-tencia de caminos críticos entre dos puntos (casodesfavorable, por ejemplo en problemas de con-taminación medioambiental). Finalmente señalarque, frente al valor clásico de densidad regional,que parte de la información restituida como tal acierta escala (según sea la del MDT), el valor de ladensidad fractal de fracturación estima un valor

basado en un comportamiento percibido en unamplio rango de escalas, que se extrapola haciaescalas inferiores (de 1 m) suponiéndose queéste se mantiene hasta éstas. El hecho de que loscampos de fracturas poseen un comportamientofractal en un muy amplio abanico de escalas esuna realidad constatada (p.e. Barton y La Pointe,1995); con lo que el que esta extrapolación nopueda hacerse en base a los resultados gráficosde la figura 3, es debido a que sólo se dispone deinformación válida para recoger este comporta-miento hasta los 2177 m por, probablemente,deficiencias en la calidad de la restitución paraescalas inferiores a ésta.

A continuación se estudia en detalle la distribu-ción espacial de la densidad de fracturación a tra-vés de su estimación local como variable espacialdeterminada a la escala de máxima informaciónde (21). A partir del comportamiento de la entro-pía de configuración de (22) según (23), y de (26)según (28), para las que se ha encontrado que elmáximo se encuentra en una escala ε*≈11510 m,en ambas debido a la equivalencia comentadadel cálculo (figura 4). El valor de dicha escala seencuentra a su vez comprendido dentro del ante-rior intervalo de escalas de comportamientoinvariante.

Una vez identificada esta escala, es posible des-cribir el campo de fracturación mediante unamedida asociada λ i, discretizada en una serie de iceldas con un tamaño que asegura la mínimaincertidumbre en su variabilidad espacial (figura5).

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Tabla 2: Estadísticos más significativos del ajuste lineal bilogarítmico, por mínimos cuadrados, sobre los resultados del análisis frac-tal en cada zona

Table 2: Representative statistical data of the bilogaritmic lineal adjustment by square minimum on the results of fractal analysis oneach zone

Figura 3: Puntos resultantes del análisis fractal por box coun-ting en el intervalo de escalas [εmin , εmax] ≡ [1343,80575]

Figure 3: Resalting points of fractal analysis by box countingin the scale range [εmin , εmax] ≡ [1343,80575]


CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN

De entre las diferentes fuentes de informaciónque pueden utilizarse para la restitución de linea-mientos sobre el terreno, es la que corresponde alos Modelos Digitales del Terreno la que permite

cartografiar éstos con un menor error. El resto,como son las fotografías aéreas o de satélite,introducen elementos naturales y antrópicos quepueden producir errores en el análisis e interpre-tación de las trazas y lineamientos morfoestruc-turales.

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Figura 4. A) Gráfica de Hp*(ε) según Hp*(ε)=Hp(ε)/Hpmax(ε). B) Gráfica de Hλ*(ε) según Hλ*(ε)=Hλ(ε)/Hλ

max(ε)

Figure 4. A) Graphic of Hp*(ε) according to Hp*(ε)=Hp(ε)/Hpmax(ε). B) Graphic of Hλ*(ε) according to Hλ*(ε)=Hλ(ε)/Hλ

max(ε)


La definición del término de densidad de fractu-ración alude a la extensión de las fracturas porunidad de espacio en estudio. Igualmente esposible definir la intensidad y la persistencia, queen el caso unidimensional coinciden con la den-sidad, y las ecuaciones que las relacionan entresí.

El estudio tradicional de la densidad de fractura-ción regional como constante debe hacerseteniendo en cuenta toda la información disponi-ble del medio fracturado a todas las escalas. Paraello, si el medio fracturado sigue un comporta-miento fractal sobre cierto rango de escalas, esposible utilizar su medida de Hausdorff, y calcu-lar la densidad fractal de fracturación.

La densidad local variable, como una distribuciónvariable en el espacio, se calcula de manera finitasobre una discretización de la zona en estudio. Laescala a la cual debe de efectuarse esta discreti-zación debe tener en cuenta la variación de lainformación que, en forma de entropía, seencuentra para cada una de las discretizaciones.Se tomará de éstas la óptima, siendo aquellapara la que la información disponible del mediofracturado es máxima. De esta manera se redu-cen los sesgos producidos por la deficiencia en larestitución de aquellos lineamientos pequeños ypor el limitado tamaño de la muestra, al ser laventana observacional finita.

La evaluación numérica de la densidad de fractu-ración, ya sea a escala regional o a escala local,requiere la preparación de una serie de progra-mas informáticos que determinen la longitud dela intersección de un segmento con una celdarectangular. La elección del algoritmo que efec-túe este cálculo será determinante en el tiempoque se invierta para ello, debido al gran númerode operaciones que son necesarias.

La aplicación de las técnicas expuestas en estetrabajo a los datos de los lineamientos cartogra-fiados a partir del MDT 1:500.000 sobre elSistema Central español, permiten afirmar que,su densidad de fracturación es del orden de0.5E-03 m-1, siendo la estimada según un criteriode comportamiento fractal dos órdenes de mag-nitud superior, lo que se traduce en un incre-mento cuadrático de las extensiones lineales dela fracturación del macizo. Desde el punto de

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Figura 5. Campo de densidad de fracturación a escala de dis-cretización ε*, para la distribución espacial de fracturas de lafigura 1, en cada una de las tres zonas en las que se ha divi-dido (número entre paréntesis)

Figure 5. Fracture density field at ε*, discretisation scale, forthe spatial distribution of fractures of figure 1, in each of thethree subdivided zones (n.º between brackeets)


vista geológico esto significa que la escala demuestreo utilizada para la cartografía recoge unnivel de información insuficiente. Esta se suple yse extrapola hasta la escala de interés (1 m), gra-cias al comportamiento fractal del campo de frac-turas. Para los datos de fracturación disponiblesen el ejemplo analizado se obtiene una escala demáxima información del orden de 11500 m, loque permite tratar la densidad de fracturación,como una variable espacial (variable regionali-zada) muestreada sobre celdas de este tamaño,lo que permite utilizar las herramientas geoesta-dísticas para estudiar su estructura de correla-ción.

AGRADECIMIENTOS

Al equipo del Departamento de Geodinámica, dela Fac. de CC. Geológicas (UCM), que realizó larestitución de los lineamientos del MDT a escala1:500.000, por la cesión de los mismos para serutilizados en parte de los estudios que aquí sepresentan. A D. Ignacio Vélez por la preparaciónde los programas utilizados para evaluar la den-sidad de fracturación local.

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Original recibido: Enero 2001.Original aceptado: Marzo 2001.

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