Estudio delcom p o rta m ie nto el¶e ctrico de lasne uronasy de ndritas,usando elm odelo de R all

R obe rto ¶A vila-Pozos,1 Jo elJim ¶e nezC ruz,2 y R afa elGod¶³nezFe rn¶andez,3¶A r e a A cad¶e m ica de Mate m ¶aticas.Instituto de Cie nciasB¶asicase Inge nie r¶³a

Unive rsidadA ut¶onom a delEstado de Hidalgo2Laborato rio de Cibe rn¶etica,3Laboratorio de Biof¶³sica,

De p to.de Inge nie r¶³a El¶e ctrica Unive rsidadA ut¶onom a Metrop olitana{Iztap ala p a.e-m ail: ravila@uae h.reduae h.m x

R e cibido: 17 de m ayo de 2 004.A ce p tado: 11de junio de 2 004.

R e sum e nE n otrostraba josse han p r e se ntado losconce p tosb¶asicosde lasp rop iedadesel¶e ctricasde lasm e m -branasde las c¶elulas excitables.E n este traba jose r e visar¶a la im p ortancia de conside ra r lasp rop ie-dadesel¶ectricasde lasne uronasy su relaci¶on conge om e tr¶³as esp e c¶³cas.Por e je m p lo,las p rop ieda-desel¶ectricasq ue p r e se ntan lasne uronasson dife-re ntesde acue rdo a la distribuci¶on y m orfolog¶³a delos¶arbolesdendr¶³ticos.Te niendo com o ante ceden-te elcircuito el¶ectrico e q uivale nte de la m e m bra-na y lasp rop iedadesp asivasde estructurascil¶³ndri-casy esf¶e ricas,se ilustran lasdife re nciasp a ra ca-blesde longitud nita,se m i-in nita e in nita q uem odelan lasp r op iedadesel¶e ctricasde lasdendritas.E n este traba jo se usa r¶an lasdescrip cionesp a ra ca-blesde longitud nita y se m i-in nita p ar a deducirelm odelo de R allde una ne urona.Este m odelo p ro-p orciona un m a rco te¶orico p a ra e nte nde r la e xp an-si¶on de la corrie nte y elvolta je e n ¶arbolesde ndr¶³ticoscom p licados.

Introducci¶onLa re ce p ci¶on de infor m aci¶on,su p rocesa m ie nto y lasresp uestasalm edio inte rno o e xte rno q ue r e alizanlosorganism ossup e riore s,son p roducto de la ac-tividadel¶ectrica delsiste m a ne rvioso (SN )[1].Es-tasfuncionesdelSN ,son elr esultado de lasp rop ie-dadesel¶ectricasde lasne uronasy de la com unica-ci¶on q ue e xiste e ntr e e llasa trav¶esde estructurasde-nom inadassinapsis [2 ].E n la gura 1a se ilustranlasca racte r¶³sticasm orfol¶ogicasde una ne urona t¶³p i-ca,m ie ntrasq ue e n la gura 1b se m uestran lases-tructurasq ue com p one n una sinap sis.

A p esa r de la gran com p le jidaddelSN e n su conjun-to,su funcionam ie nto essim ilar a nivelcelular: lasne uronasp re se ntan una dife r e ncia de p ote ncial,o po-tencialde m e m brana,e ntre elinte rior celular y eles-p acio e xtracelula r.Cuando lasne ur onasno p r e se n-tan actividadel¶e ctrica,alp ote ncialde m e m brana sele denom ina pote ncialde re poso (V r),elcualesne ga-tivo y va r¶³a e ntre ¡80y ¡40m V e n la m ayor¶³a de lasne uronas.Cuando elp ote ncialde m e m brana se ale-ja de su valor de r e p oso torn¶andose m e nosne gati-vo y alcanza un cie rto valor um bral(V u),se ge ne -ra un cam bio brusco e n elp ote ncialde m e m branadenom inado pote ncialde acci¶on,com o se ilustra e nla gura 2 .

Elp ote ncialde acci¶on se inicia e n elsegm e nto ini-cialy se p rop aga p or todo elax¶on hasta la m e m -brana p resin¶aptica (MPr e).Elp ote ncialde acci¶onabr e canalesde la m e m brana p r e sin¶ap tica,q ue p e r-m iten elp aso selectivo de losionesde calcio (C a++),lo cualp e rm ite elingre so de C a++ y elincre m e nto desu conce ntraci¶on e n elinte rior de la te rm inalne rvio-sa.Elaum e nto de C a++ p roduce la libe raci¶on de unage nte q u¶³m ico llam ado ne urotransm isor (N t),co-m o se ilustra e n la gura 2 .ElN tse libe r a e n e les-pacio sin¶aptico y se difunde hacia la m e m brana post-sin¶aptica (MPost).Loscanalesi¶onicoslocalizadosenla m e m br ana p ostsin¶ap tica p r ese ntan rece ptoreses-pec¶³cos(R e)q ue une n de m ane ra sele ctiva alne uro-transm isor.Mientraselne urotransm isor se e ncue n-tra unido alr e ce p tor delcanal,¶este se abre p e r m i-tie ndo elp aso de alguna esp e cie i¶onica alcualesse-le ctivo.E xiste n canalesq ue p e r m iten elp aso,p ore je m p lo,de ionesde p otasio (K +)[3]; cuando es-te eselcaso,elp aso de K + ocasiona q ue elp ote n-cialde m e m brana se torne m ¶asne gativo con resp e c-

15

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Figura 1.a)Morfolog¶³a y estructurasp rincip alesde una ne urona t¶³p ica.Consta de un som a donde se localiza eln¶ucleo (n),de un ¶arboldendr¶³tico (dendritas),de un segm e nto inicial,ax¶on y te rm inalsin¶aptica.b)La com unicaci¶onel¶e ctrica e ntre ne uronascontiguasse r e aliza a trav¶esde la sinapsis,constituida p or la m e m brana p resin¶aptica (MPre)de la te r m inalsin¶ap tica y la m e m brana postsin¶aptica (MPost)de la dendrita de la ne urona contigua.Lasm e m branasse e ncue ntran se p a radasp or un esp acio denom inado espacio sin¶aptico (Es).Elneurotransm isor (N t)se libe ra de late r m inalsin¶ap tica,difunde p or elesp acio sin¶a p tico y nalm e nte lasm ol¶e culasdelne urotransm isor se une n a rece ptorespostsin¶apticos(R p )esp e c¶³cosde la m e m brana p ostsin¶ap tica.Elre ce p tor con elne urotransm isor unido,p roduce laap e rtura de un canali¶onico p o r donde difunden ione sq ue ge ne ran una cor rie nte el¶e ctrica (Is).La cor rie nte Isge ne racam biose n elvoltaje de nom inadosp ote ncialessin¶ap ticose xcitato rios(PPE)y p ote ncialessin¶ap ticosinhibito rios(PPI).

Estudio delcom p orta m ie nto el¶ectrico... R obe rto ¶A vila,JoelJim ¶e nezy R afaelGod¶³nez. 17

Figura 2 .A trav¶esde lassin¶ap sis,se p roduce n e n la den-dritasp ote ncialesp ostsin¶ap ticose xcitato rios(PPE)o in-hibitorios(PPI)q ue dism inuye n o aum e ntan elp ote ncialde m e m brana r esp e ctivam e nte.LosPPI y PPE de to-daslase ntradassin¶ap ticasq ue r e cibe una ne urona,sep rop agan hacia elsom a y se gm e nto inicial.En elso-m a y se gm e nto inicialse r e aliza la sum a alge braica delosPPE y PPI.a)Sila sum a de PPE y PPI no alcan-za elvoltaje um bral,se inte r rum p e la transm isi¶on de lase ~nal.b)Sielresultado esuna dism inuci¶on delp ote n-cialde m e m brana e n else gm e nto inicialhasta e lvolta-je um bral(V u),se disp ara un p ote ncialde acci¶on (Pa)q ue se p ro p aga p o r e lax¶on hasta la te r m inalne rvio-sa q ue p roducir¶a un PPI o PPE con la siguie nte ne uro-na e n contacto sin¶ap tico.En la gura,losn¶um e rosindi-can 4PPsq ue se sup e r p one n.

to alp ote ncialde re p oso V r,ge ne rando lo q ue se de-nom ina pote ncialpostsin¶aptico inhibitorio (PPI).Siloscanalesq ue une n alne urotransm isor p e r m ite n elp aso a cationes(p or e je m p lo N a+ y K +),alabrir-se loscanalesse ge ne ra una corrie nte m ediada p rin-cip alm e nte p or N a+,hacie ndo m e nosne gativo elp ote ncialde m e m br ana y p roduciendo un pote ncialpostsin¶aptico e xcitatorio (PPE),com o se ilustra e nla gura 1a.

LosPPI y PPE se p rop agan a lo la rgo de lasden-dritas hasta elsom a y elsegm e nto inicial.E n es-ta re gi¶on se sum an losPPI y PPE.Com o se p ue-de a p r e ciar e n la gura 2 a,sila sum a de p ote ncia-lesp ostsin¶ap ticosno alcanza elvolta je um br al,lase ~nalel¶ectrica no contin¶ua su p r op agaci¶on; sila su-m a de p ote ncialesp ostsin¶ap ticosalcanza o sobr e-p asa elvolta je um br al,se dese ncadena un p ote n-cialde acci¶on e n else gm e nto inicialq ue se p ro-p aga r¶a p or e lax¶on hasta la te rm inalne rviosa,co-

Figura 3.a)Con ele m p le o de un m icro ele ctrodo (Me)esp osible m edir elp ote ncialde m e m brana de lasne u-ronas.En la p r¶actica,solo esp osible inse rtar elm icro e-le ctrodo e n elsom a.b)Lasne uronasp r ese ntan un p o-te ncialde r e p oso V r ne gativo ; sielp ote ncialde m e m -brana dism inuye hasta un voltaje um bral(V u)se disp a-ra un p ote ncialde acci¶on.

m o se ilustra e n la gura 2 b.De lo ante rior,se des-p re nde q ue lospote ncialespostsin¶apticos(PPs)jue-gan un p a p e lcr¶³tico p a ra el°ujo de inform aci¶on e nelSN .E n otrasp alabr as,losPPE,PPI y la for-m a e n q ue se p rop agan hacia elsom a y se gm e ntoinicialform an,junto con lasr edesne uronalesfor-m adasp or lascone xionessin¶ap ticase ntre lasne uro-nas,losm e canism osfundam e ntalesde p rocesa m ie n-to de lasse ~nalesq ue r e aliza elsiste m a ne rvioso.

Mediante elestudio de m odelosbiol¶ogicosadecua-doslosne ur ocie nt¶³coshan estudiado am p liam e n-te losp ote ncialesde acci¶on e n elax¶on [4]; asim ism o,se conoce n losm e canism osge ne ralesq ue dan orige na losPPs.Sin e m ba rgo,de bido a lim itacionest¶e cni-cas,elestudio detallado de la p r op agaci¶on de losPPshacia elsom a ha sido m ¶ascom p licado.La di-cultadreside e n eldi¶am etro p e q ue ~no de lasde ndri-tas.Elestudio de la actividadel¶ectrica de lasne uro-nasse re aliza e m p le ando m icro ele ctrodoscuya p un-ta esm uy na,de talm ane ra q ue p e r m ite su inse r-

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ci¶on e n una ne ur ona [5]; sin e m ba rgo,e n la p r¶acti-ca,esto s¶olo se p uede re alizar e n e lsom a q ue eslap orci¶on de la ne ur ona de m ayor di¶am etro.Elestu-dio detallado de la p r op agaci¶on de losPPsen lasdendritasesdif¶³cil,ya q ue ade m ¶asde la lim itaci¶onp or eldi¶am etro p e q ue ~no,se te ndr¶³an q ue inse rta ralm e nosdosm icro e le ctrodose n la m ism a dendri-ta.Por lo ante rior,se han te nido q ue estudiar losPPscon elm icro ele ctrodo de re gistro e n elsom a,q ue e sle jano alsitio donde se e ncue ntran lassinap -sisdonde se originan losPPs[6 ].La gura 3a m uestraun esq ue m a delre gistro de la actividadel¶ectrica deuna ne urona.

Con este p anora m a,nuestro conocim ie nto delcom -p orta m ie nto el¶e ctrico de lasne uronasse r¶³a lim ita-do de no se r p or elan¶alisiste¶orico de lasp rop iedadesel¶ectricasde lasdendritas,q ue ha brindado un m a r-co p a ra la inte rp r e taci¶on de losdatose xp e rim e nta-les[7 ].Elm odelo el¶e ctrico q ue ha e xp licado de m e-jor m ane ra losdatosexp e rim e ntales,eselModelode R all.A lgunasde lasp re guntasq ue han e ncontra-do resp uesta con este m odelo son: >p or q u¶e losPPsson de dife r e nte a m p litud?,>p or q u¶e losPPsp r e-se ntan dife re nte curso te m p oral?,>la distribuci¶on delasentradassin¶ap ticase n el¶a rbolde ndr¶³tico esr e-le vante e n cuanto a su e cacia p a ra afe ctar la acti-vidadel¶e ctrica de lasne ur onas? [8].

Para com p r e nde r elm odelo de R all,esindisp e nsa-ble iniciar con la descrip ci¶on de lasde nom inadasp ro-piedadesel¶ectricaspasivas.A dife re ncia delp ote n-cialde acci¶on,la p rop agaci¶on de losPPsa trav¶esde lasde ndritasse re aliza de m ane ra p asiva.Porsu m orfolog¶³a ap r oxim adam e nte cil¶³ndrica,lasp ro-p iedadesp asivasde lasdendritasse m odelan com oun cable conductor sum e rgido e n un m edio conduc-tor [9].Elm edio inte rno y e xte rno de lasdendri-tasson m ediosconductore sy la m e m brana celula resun aislante q ue se p a ra a m bosm edios[10].Elm o-delo desde un p unto de vista el¶ectrico,e m p le a loq ue se conoce com o p ropiedadesde cable,te or¶³a de-sarr ollada originalm e nte p or losf¶³sicosp ar a e studiarelcom p orta m ie nto de loscablestransoce ¶anicosuti-lizadosantesdeldesar rollo de lastele com unicacio-nes,dado q ue de m ane ra sim ilar alcaso de lasden-dritas,p r ese ntan dosm ediosconductor esse p a radosp or un aislante.

3.La te or¶³a delcableLosconce p tosde la te or¶³a delcable conductor sonm uy im p ortantese n N e urocie ncias.Lasp rop iedadesp asivasde lasdendritasy elax¶on,as¶³com o la p rop a-gaci¶on delp ote ncialde acci¶on e n elax¶on est¶an ba-sadasen la e cuaci¶on delcable [11],de bido a su m or-folog¶³a cil¶³ndrica.Estosconce p tostam bi¶en se a p li-can p a ra e nte nde r losp rocesosde conducci¶on el¶ectri-ca e n brasm uscula re sy ca rdi¶acas.

La e cuaci¶on delcable esuna e cuaci¶on dife re ncialp ar-cialde se gundo orden e n elesp acio y de p rim e r or-den e n eltie m p o (ecuaci¶on dife r e ncialp arcialp a-rab¶olica o e cuaci¶on de difusi¶on o e cuaci¶on cal¶ori-ca).La form a de esta e cuaci¶on se de riv¶o p or ela ~no1854p or LordK elvin p ar a e lan¶alisisy dise ~no de ca-blestelegr¶a costransatl¶anticos.La e cuaci¶on delca-ble se basa e n la ide a de una una corrie nte longitu-dinale n elconductor inte rno y una cor rie nte de fu-ga r adial,e ntre la p a rte inte rna y e xte rna,a trav¶esde un aislante im p e rfe cto.

E n la de rivaci¶on de estasecuacionesse sup one unasim etr¶³a cil¶³ndrica y se conside ra una p e q ue ~na sec-ci¶on delcable de longitud¢ x com o se ilustra e n la -gur a 4.Para e ste an¶alisisse establece n lassiguie n-tessup osiciones:

Figura 4.Ge om etr¶³a delm odelo delcable y un se gm e nto¢ x delconductor inte rno.V ista frontaly late rala laizq uie rda y de r e cha r esp e ctiva m e nte.

1. La m e m brana celula r se concibe com o una su-p e r cie cil¶³ndrica de grosor nito q ue se p a ra los°uidosintracelula r y e xtracelula r.

2 . Los°uidosintra y e xtracelula r son hom og¶e ne os,isotr¶op icosy ¶ohm icos.

3. E n el an¶alisis se usa una a p roxim aci¶onele ctrost¶atica

Estudio delcom p orta m ie nto el¶ectrico... R obe rto ¶A vila,JoelJim ¶e nezy R afaelGod¶³nez. 19

4. Las cor rie ntes e n los conductores inte r-no y e xte rno °uir¶an solam e nte e n la dire cci¶onlongitudinalx

5. La corrie nte transm e m br anal°uye solam e nte e nla dire cci¶on r adialr

6 . Se sup one una sim etr¶³a cil¶³ndrica p a ra todaslasvariablesinvolucr adas.f(r;x ;µ;t)= f(r;x ;t)=f(x ;t)

La e cuaci¶on de cable se obtiene usando un segm e ntodelcable y lasleyesde K ircho®.

Losestudioselectro siol¶ogicoshan establecido q ue lam e m br ana celula r se p uede re p r e se nta r inicialm e ntep or un e q uivale nte el¶e ctrico q ue consiste e n una r e-siste ncia rm e n p a ralelo con una ca p acitancia cm,co-m o se ilustra e n la gura 5.La r esistencia rm r e p r e-se nta loscanalesi¶onicosq ue se e ncue ntran abie rtosp e rm itiendo elp aso de iones.La ca p acitancia cm r e-p r e se nta la bicap a lip¶³dica q ue constituye la m e m -brana celular.E n la p arte inte rna,debido aldi¶am e-tro de la c¶elula,existe una re siste ncia al°ujo de ca r-ga r e p r e se ntado p or la r esistencia inte rna ri.La r e-siste ncia delesp acio e xtracelula r se denota p or roy p uede desp re ciarse,p or lo q ue ro = 0.La e cua-ci¶on q ue describe e lcom p orta m ie nto el¶e ctrico de es-te m odelo es:

rmri

@2 Vm@x 2

¡rmcm@Vm@t

¡Vm = 0 (1)

Sihace m osX = x = ,T = t=¿m,¸2 = rm=ri y¿m = rmcm,la e cuaci¶on 1q ueda com o

@2 Vm

@X2 ¡@Vm@T

¡Vm = 0

donde ¿m esllam ada la constante de tie m p o y ¸ seconoce com o la constante espacial.

Lassolucionesde la e cuaci¶on 1de p e nden de lascon-dicionesinicialesy de lascondicionesde fronte ra (va-lore sde Vm e n los e xtr e m osdelcable).La e cua-ci¶on 1,ba jo cie rtassup osiciones,escap azde des-cribir lasp rop iedadesp asivasde cablessellados(ca-blescon re siste ncia el¶ectrica m uy grande e n su te rm i-naci¶on)o de cablescon m ¶ultip lesram asa n de des-

cribir lasp rop iedadesel¶e ctricasp asivasde lasde n-dritasy axones[12].

Sise a p lica una corrie nte a trav¶esde la m e m bra-na e n alg¶un p unto e n elcable,e ntoncescon elp a-so deltie m p o la ca p acitancia de la m e m brana sep ola riza y la de nsidadde corrie nte transm e m bra-nalse convie rte e n una funci¶on solam e nte de la dis-tancia.Esto es,q ue p a ra un tie m p o su cie nte m e n-te la rgo (cuando t ! 1 ),@Vm=@t ! 0,lo q ue co-rre sp onde alestado estable,a m edida q ue la dis-tancia aum e nta con resp e cto alp unto de estim ula-ci¶on,se esp e ra q ue elp ote ncialde la m e m brana dis-m inuya debido a la fuga de corrie nte a trav¶esdela m e m brana.

De esta m ane ra,la e cuaci¶on delcable p a ra estadoestable se reduce a una e cuaci¶on dife re ncialordina riade la for m a

¸2@2 Vm@x 2

= Vm (2 )

Una soluci¶on ge ne ralp a ra esta e cuaci¶on cuando seap lica una cor rie nte constante I o e n x = 0 es:

Vm(x ;t)= A e x =¸ + B e¡x =¸ (3)

Donde A y B de p e nde n de lascondicionesde fronte ra

O tra soluci¶on q ue conviene describir p a ra e ncontrarlosvaloresde fronte ra es

Vm(x ;t)= A cosh(X)+ Bsenh(X ) (4)

Donde cosh(x )= (e x + e¡x )=2 y se nh(x)= (e x ¡e¡x)=2

La constante esp acial es¶utilp a ra e stim ar q u¶e tanle josun ax¶on o de ndrita p uede p rop aga r la activi-dadel¶ectrica e n form a p asiva.Losvalorest¶³p icosp a-ra axonesgrandesm ielinizadosson de 1 a 2 m m ,m ie ntrasq ue p a ra axoneso dendritasno m ieliniza-doselvalor e sde a p roxim adam e nte unos30 ¹m.

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Figura 5.Modelo el¶e ctrico delcable y su e q uivale nte con losp ar¶am etrosde la m e m brana.

Figura 6 .Cuando se inye cta cor rie nte e n un p unto X o,una p a rte °uye p o r la r esiste ncia inte rna y otra se fuga a trav¶esde la r esiste ncia rm.Sise m ide elp ote nciale n elsitio de inye cci¶on de cor rie nte Vo y se com p a ra con elp ote ncialm edido e n un sitio le jano Vn,se p uede com p robar q ue Vo > Vn.

Estudio delcom p orta m ie nto el¶ectrico... R obe rto ¶A vila,JoelJim ¶e nezy R afaelGod¶³nez. 2 1

A continuaci¶on se conside rar¶a la dete rm inaci¶on delosco e cie ntesde la e cuaci¶on 4p a ra ilustra r e lti-p o de an¶alisisq ue se r e aliza.Elm odelo q ue se e m -p le a essele ccionado de acue rdo a la m e jor r e p r ese n-taci¶on de lascondicionese xp e rim e ntales.A s¶³,se p ue-den discutir 4casosq ue e st¶an ilustradose n las gu-ras7 y 8:

a)Cilindro in nito

b)Cilindro se m i-in nito

c)Cilindro nito de longitudlcon e xtre m ossella-dosen x = 0 y x = l

d)Cilindro nito de longitudlcon un e xtre m o se-llado e n x = 0 y abie rto e n x = l.

3.1Cilindr o in nitoPa ra elcaso de un cilindro de longitudin nita,elvolta je de la m e m br ana e n sitiosalejadosdelluga rde inye cci¶on de corrie nte,tie nde a ce ro V (¡1 )=V (1 )= 0 y p a ra x ¸0,A = 0 y B = Vo

Vo e selp ote ncialen elsitio de estim ulaci¶on.

Sim ilarm e nte p ar a x ·0,A = Vo y B = 0.De estam ane ra la e cuaci¶on q ueda:

Vm(x ;t)= Vo e¡x =¸ (5)

p a ra una cor rie nte constante I o a p licada e n x = 0

La gr¶a ca de la gura 7 ilustra c¶om o deca e elp o-tencialde la m e m brana a lo largo delcable in ni-to.E n este caso,la corrie nte °uye e n a m basdire c-cionessobre e le je x .

Exp e rim e ntalm e nte,se inye cta cor rie nte con un m i-cro ele ctrodo y se m ide Vm e lp ote ncialde la m e m -brana e n e lp unto Vo y de esta m ane ra se p ue-de m edir la resistencia de e ntrada Re de nida p orla e xp r esi¶on

Re =Vm(x ;t)

I o

E n estado estable (t! 1 ),elp ote ncialde la m e m -brana est¶a dado p or

Vm(x ;1 )=riI o¸2

e¡x (6 )

Figura 7 .De caim ie nto delp ote ncialde la m e m brana alo largo de un cable in nito.Elsitio de inye cci¶on de co-rrie nte est¶a situado e n x = 0

y elvolta je de la m e m brana e n x = 0,elsitio deinye cci¶on de corrie nte es

Vm(0;1 )=riI o¸2

(7 )

Sustituye ndo la e cuaci¶on 7 e n la e xp r esi¶on q ue des-cribe la re siste ncia de e ntrada y se re e m p laza ¸ p orp

rm=ri tene m os

Re =Vm(x ;t)

I o=

riI o¸2 I o

=ri¸2=

ri2

rrmri

=prirm2

Sise conside ra la ge om e tr¶³a cil¶³ndrica delcable,sep uede n de nir rm y ri com o

ri =Ri

¼a2y rm =

Rm

2 ¼a

donde aeselradio delcilindro,Ri esla resistivi-dadintracelula r e sp e c¶³ca y Rm esla re sistividades-p e c¶³ca de la m e m br ana.

Sustituye ndo losvalor esde rm y ri,la e xp r e si¶on p a rala resistencia de e ntrada es

Re =p

RiRm=22 ¼a3=2

(8)

Sise de ne la conductancia com o e lre c¶³p r oco de laresistencia G = 1=R,entonces,la conductancia dee ntrada G e p a ra un cable in nito es

2 2 ContactoS 53,15{2 7 (2 004)

G e =2 ¼a3=2pRiRm=2

(9)

3.2 Cilindr o se m i-in nitoPa ra elcaso de un cable se m i-in nito,elinte r¶esest¶a ce ntrado e n lo q ue sucede desde x = 0 has-ta x ! 1 .En este caso,elp ote ncialde la m e m bra-na est¶a dado p or

Vm(X;1 )= riI o¸e¡x =¸ (10)

Para este caso,la resistencia de e ntrada es

Re =1¼

pRiRm=2a3=2

(11)

y la conductancia de e ntrada est¶a dada p or

G e =¼a3=2pRiRm=2

(12 )

3.3 Cilindr o nito se llado e n x = lLa ide a de un e xtre m o sellado es q ue la corrie n-te axialno °uya p or ¶el.Se sup one una corrie nte I oq ue se a p lica e n x = 0 y q ue p roduce un p ote n-cialVm q ue se p uede conside rar e stable p a ra t! 1 ;e n otrasp alabras,Vm cam bia con la distancia x ,p e-ro no e n eltie m p o.Por lo tanto,se debe n satisfa-ce r lassiguientescondiciones:

@Vm@x

¯¯x =o

= ¡riI o y@Vm@x

¯¯x =l

= 0

Estascondicionesse usan p a ra e ncontra r losco e -cie ntesA y B y e ncontra r la soluci¶on de la e cua-ci¶on 3,q ue q uedar¶³a de la siguie nte m ane ra

V m(x ;t)= Vm(0)cosh((l¡x )= )

cosh(l= )p a ra 0· x ·l

(13)

Donde Vm(0)= riI o¸coth(l= )

Para e ste caso,la re siste ncia de e ntrada est¶a de nidacom o

Re =1¼

pRiRm=2a3=2

coth(L) (14)

y la conductancia de e ntrada delcilindro nito se-llado e n x = l es

G e =¼a3=2pRiRm=2

tanh(L) (15)

3.4Cilindro nito abie rto e n x = lE n un e xtr e m o abie rto,con ause ncia de volta jesi¶onicos Vm = 0.Tam bi¶e n se ap lica una corrie n-te I o e n x = 0 y elp ote ncialVm se conside ra e nestado estable.La soluci¶on satisface lassiguie ntescondiciones:

@Vm

@x

¯¯x =o

= ¡riI o y Vm(l)= 0

Y la soluci¶on q ueda:

Vm(x ;t)= Vm(0)senh((l¡x)= )se nh(l= )

p ar a 0· x ·l

(16 )

Donde Vm(0)= riI o¸tanh(l= )

La gr¶a ca de la gura 8 ilustra elde caim ie nto delvolta je de la m e m brana a lo largo de un cilindrose m i-in nito,un cilindro nito sellado y un cilindronito abie rto.

Figura 8.De caim ie nto delvolta je de la m e m brana a lolargo de un cilindro se m i-in nito,un cilindro nito sella-do y un cilindro nito abie rto.La cor rie nte I o se inye c-ta e n x = 0.

Estudio delcom p orta m ie nto el¶ectrico... R obe rto ¶A vila,JoelJim ¶e nezy R afaelGod¶³nez. 2 3

E n una de ndrita,la inye cci¶on de corrie nte sucede p orel°ujo de ionesa trav¶esde loscanalese n la m e m -brana celula r p ostsin¶ap tica [13].El°ujo de cada ti-p o de ion de p e nde r¶a de losgradientesde conce ntra-ci¶on transm e m branal,delp ote ncialde la m e m bra-na,de la a p e rtur a de loscanalesp or la uni¶on delne u-rotrasm isor y selectividada alguna o algunasesp e-ciesi¶onicas.

4.Elm odelo de R allE n ge ne ral,lasne ur onasdelsiste m a ne rvioso ce n-traltie ne n e xte nsos¶arbolesdendr¶³ticos,q ue r e ci-be n m ilesde e ntradassin¶ap ticase xcitatorias,inhi-bidorasy ne ur om oduladoras[14].La gura 9 m ue s-tra,de m ane ra esq ue m ¶atica,una ne urona delsiste-m a ne rvioso ce ntral.E n este diagra m a se p r ese ntauna ne urona con su som a y ¶arbolde ndr¶³tico.E n ca-da una de susp a rtesse p uede n ap r e cia r lasdife r e n-tese ntradassin¶ap ticas.Lasentradassin¶ap ticasin-hibitoriasse e ncue ntran e n elcue rp o celula r o so-m a,m ie ntrasq ue lase ntradase xcitatoriasse distri-buye n a lo la rgo del¶arboldendr¶³tico [15].

La inte r acci¶on din¶am ica e ntr e las e ntradas inhi-bitoriasy e xcitatorias e n la m e m br ana delsom ay del¶arbolde ndr¶³tico,dete r m inan siuna ne uro-na estar¶a lo su cie nte m e nte desp ola rizada p a ra ge-ne r ar uno o m ¶as p ote ncialesde acci¶on,com o yase com e nt¶o.

>Cu¶ales elp a p e lde lasdendritas e n elp rocesodin¶am ico llam ado integraci¶on sin¶aptica ? >Cu¶alesladife re ncia funcionale ntre una sin¶ap sisp roxim alyuna sin¶ap sisdistal? >C¶om o inte r act¶uan lassin¶ap sisen la m ism a ra m a dendr¶³tica? E lm odelo de R allaborda estosp roble m as.

A hora p rocede re m osa re lacionar la te or¶³a de cableya descrita,p ar a e xp lica r elcom p orta m ie nto de lasdendritas.Para a p licar e sta te or¶³a a lasne uronasre ales,se tie ne n q ue hace r algunasconside racionescr¶³ticas:

1. La resiste ncia inte rna de la m e m brana Ri,la r e-siste ncia sup e r cialde la m e m brana Rm y la ca-p acitancia de la m e m brana C m son uniform es.Esto signica q ue lasp rop iedadesde la m e m -brana son inde p e ndie ntesdelvolta je,o se a,p a-sivas,y q ue e stasp rop iedadesel¶ectricase n elso-m a y e n lasdendritasson id¶enticas.

2 . La r esistencia e xte rna esiguala ce ro Ro = 0.

3. Elsom a p uede r e p r e se ntarse com o una esfe raisop ote ncial

4. Todaslasdendritaste r m inan e n la m ism a lon-gitudele ctrot¶onica [16].Esta sup osici¶on esm uyim p ortante,p uesp e r m ite q ue todoslos¶arbo-lesde ndr¶³ticosse colap se n e n un solo cable y deotra m ane ra,cada ra m a te ndr¶³a q ue se r trata-da p or se p a rado.

4.1.Cilindr o se m i-in nito e q uivale nteUna ne ur ona im agina ria con su ¶a rbolde ndr¶³tico seilustra e n la gura 9.Losp untosX1,X2 y X3 sonlosp untosde ra m icaci¶on; d0,d11,d12,etc,r e p r e se n-tan eldi¶am etro de cada ram a.A sum a m osq ue lasra-m ascone ctadasalp unto X3 se e xtiende n alin ni-to y p or lo tanto,p ueden ve rse com o cablesse m i-in nitos.Una de lasm ayor escontribucionesde R allfue m ostrar c¶om o una estructura com p licada com oun ¶arbolde ndr¶³tico p uede r educirse a un solo ca-ble e q uivale nte .

Figura 9.Esq ue m a de una ne urona con su ¶arboldendr¶³ti-co.de seldi¶am etro de cada ram a,X1,X2 y X3 r e p r e -se ntan losp untosde ra m icaci¶on.

La conductancia de e ntrada de un cable se m i-in nitoest¶a dada p or

G e = (¼=2 )(RmRi)¡1=2 (d)3=2

Hacie ndo K = (¼=2 )(RmRi)¡1=2,la e cuaci¶on p a rala conductancia de e ntrada de un cable se m i-in nitop uede r e e scribirse com o

G e = K(d)3=2 (17 )

N ¶otese q ue la conductancia de e ntrada de un cablese m i-in nito esp r op orcionalaldi¶am etro delcable,elevado a la 3/2 .

2 4 ContactoS 53,15{2 7 (2 004)

Para sim p licar e l¶a rbolde ndr¶³tico,consid¶e rese elp unto de ra m icaci¶on X3.Sielcable d3111 se des-p re nde delp unto X3 y essellado,su conductanciade e ntrada se r¶a

G e(d3111)= K(d3111)3=2

Una e cuaci¶on sim ilar e xiste p ar a elcable d3112 .Dadoq ue la conductancia totalesla sum a de lasconduc-tanciasen p a ralelo,alp e ga r loscablesd3111 y d3112alp unto X3,la conductancia de e ntrada e n elp un-to X3 se r¶a

G e(X3)= G e(d3111)+ G e(d3112 )=

K [(d3111)3=2 + (d3112 )3=2]

Sie n elluga r delp unto de ra m icaci¶on X3 e lca-ble d2 11se e xte ndie ra hacia elin nito,se p a rado y se-llado e n elm ism o p unto,su conductancia de e ntra-da se r¶a

G e(d2 11)= K(d2 11)3=2

Una de lasgrandesap ortacionesde R all[17]p a raelestudio delcom p orta m ie nto el¶ectrico e n un ¶a rboldendr¶³tico,fue r e conoce r q ue si

(d2 11)3=2 = (d3111)3=2 + (d3112 )3=2 (18)

entonces,m ate m ¶atica y el¶ectrica m e nte,tene r e lp un-to de ra m icaci¶on X3 con lasra m asd3111 y d3112 e se xactam e nte e q uivale nte a e xte nde r la ra m a d2 11 alin nito,com o se ilustra e n la gur a 10

Figura 10.Esq ue m a de un ¶a rbolde ndr¶³tico,desp u¶esdeelim ina r elp unto de ram icaci¶on X3.

Sise hace la m ism a sim p licaci¶on e n elp unto dera m icaci¶on X2 ,habr¶a doscablesse m i-in nitosd2 11

y d2 12 unidosa la r am a d11.Com o e n elcaso ante rior,si

(d11)3=2 = (d2 11)3=2 + (d2 12 )3=2

e ntonces

G e(X2 )= G e(d2 11)+ G e(d2 12 )= K(d11)3=2

y tene r e lp unto de ra m icaci¶on X2 con dosca-bles se m i-in nitos d2 11 y d2 12 cone ctados,resul-ta e xactam e nte e q uivale nte a e xte nde r elcable d11alin nito.

A sum ie ndo q ue p ueden hace rse las m ism as sim -p licaciones e n todos los p untosde ram icaci¶onp rese ntese n la ra m a d12,entonceshabr¶a dosca-bles se m i-in nitos d11 y d12 unidos alp unto dera m icaci¶on X1.

N ueva m e nte,si

(d0)3=2 = (d11)3=2 + (d12 )3=2

e ntonces

G e(X1)= G e(d11)+ G e(d12 )= K(d0)3=2

y elp unto de ra m icaci¶on X1 y lasram asd11 y d12p uede n elim ina rse ale xte nde r la ra m a d0 alin nito.La ne urona originalcon su ¶a rbolde ndr¶³tico,esahorae q uivale nte a un solo cable se m i-in nito,de di¶am etrod0,unido alsom a,com o se ilustra e n la gur a 11

Figura 11.Esq ue m a de la ne urona e q uivale nte desp u¶esde la sim p licaci¶on del¶arboldendr¶³tico.Ele q uivale ntep r ese nta e lsom a y un cilindro se m i-in nito.

Par a p r op ¶ositosde ilustraci¶on se han usado s¶olo dosra m ase n cada p unto de ra m icaci¶on,p e r o e n ge ne ralse tie ne n m ¶asde dosram ase n cada p unto.E n estecaso,se asum e com o cie rta la re laci¶on

dM 3=2 =nX

i=1

dH i3=2 (19)

donde dM esla dendrita m adre y dH i son lasde ndri-tashijasunidasa la ra m a dM .A la e cuaci¶on 19,tam -bi¶e n se le conoce com o regla de la pote ncia 3/2.Sies-ta re laci¶on se m antiene e n todoslosp untosde ra m i-caci¶on,entoncestodo el¶arbolde ndr¶³tico p uede re -ducirse a un solo cilindro se m i-in nito e q uivale nte.

Estudio delcom p orta m ie nto el¶ectrico... R obe rto ¶A vila,JoelJim ¶e nezy R afaelGod¶³nez. 2 5

Esta esuna sim p licaci¶on m uy p ote nte p a ra estu-diar una estructura com p le ja.

Sila ne urona tie ne m ¶asde un ¶a rboldendr¶³tico,y ca-da uno de estos¶arbolesobedece a la re gla de la p o-tencia 3/2 ,dicha ne ur ona p uede reducirse a m u-choscilindrosse m i-in nitos e q uivale ntes(uno p orcada ¶arboldendr¶³tico),unidosa un som a isop ote n-cial[16 ].Elconjunto de cilindrose q uivale ntes,p ue-de reducirse a un s¶olo cilindro e q uivale nte con di¶am e-tro iguala

de q =

0@

nX

j=1

dj3=2

1A2 =3

(2 0)

donde djr e p r ese nta eldi¶am etro delj-¶esim o cilindroe q uivale nte.

R allsostuvo q ue este m odelo no esuna \le y de lanaturaleza",sino una conve nie nte ide alizaci¶on p a-ra elestudio de estructurastan com p le jascom o los¶arbolesde ndr¶³ticos.Sin e m ba rgo,algunosestudiosre alizadosen ¶a rbolesdendr¶³ticosde ne ur onascor-ticalesy ne ur onasdelhip oca m o,sugie r e n q ue e s-ta r e gla de la p ote ncia 3/2 r esulta se r una bue naa p roxim aci¶on.

4.2 .Cilindr o nito e q uivale nteGe ne r alm e nte,lasdendritasse p uede n re p r ese nta rde m e jor m ane ra p or un cable de longitud nita l,da-do q ue usualm e nte l< 2 ¸.Por lo tanto,esne cesa-rio ge ne r a r una im p le m e ntaci¶on delm odelo de R allq ue r eduzca el¶arboldendr¶³tico a un cilindro ni-to e q uivale nte [18].O bte ne r la sim p licaci¶on alci-lindro nito e q uivale nte se obtie ne de la m ism a m a-ne r a q ue e n e lcaso delcilindro se m i-in nito e q uiva-le nte,con la dife re ncia e n la e xp r e si¶on p a ra la con-ductancia de e ntrada.

E n este caso,esde sum a im p ortancia asum ir q ue to-daslasdendritaste rm inan a la m ism a longitudele c-trot¶onica,L,y q ue e le xtre m o te rm inalde lasden-dritasest¶a sellado.De esta m ane ra,la conductan-cia de e ntrada p a ra elcable nito est¶a de nida p or

G e = (2 =¼)(RmRi)¡1=2 (d)3=2 tanh(L)

Puede ve rse q ue la conductancia de e ntrada de uncable nito esp rop orcionala su di¶am etro e le vado ala p ote ncia 3/2 .

Dado q ue ¸ = (rm=ri)1=2,Rm = ¼drm y Ri =¼(d=2 )2 ri,la e cuaci¶on p ar a la conductancia de e n-trada delcable nito,p uede re escribirse com o

G e =1¸ri

tanh(L)

Con estase xp r esionesp ar a la conductancia de e n-trada,la re gla de la p ote ncia 3/2 y lassup osicio-nesp a ra laste rm inacionesde lasdendritasy la lon-gitudele ctrot¶onica,el¶arboldendr¶³tico de la gura 9p uede r educirse a un cilindro e q uivale nte de di¶am e -tro d0 y longitudelectrot¶onica L,de la m ism a m ane -ra q ue se r e aliz¶o p ar a e lcaso de cablesse m i-in nitos.

La longitudelectrot¶onica L,est¶a de nida com o L =l= ,p or lo q ue e n e lcaso del¶arbolde la gura 9,lae xp r e si¶on p a ra L p uede escribirse com o

L =l0¸0

+l11¸11

+l2 11¸2 11

+l3111¸3111

donde li r e p r ese nta la longituddeli-¶esim o se gm e n-to de cada ra m a.N ote q ue la longitudtotaldelasdife re ntes ra m as p uede varia r.Pa ra elan¶ali-sis,elre q uisito esq ue la longitudele ctrot¶onica to-talse a la m ism a al nalde cada ra m a.E n elcasom ¶asge ne ral

L =l0¸0

+l11¸11

+l2 11¸2 11

+ :::+ (2 1)

4.3.Som a con cilindro nitoA lgunasne uronasp uede n re p r e se nta rse razonable-m e nte p or la uni¶on de un som a y un cilindro ni-to [19].Para otrasne ur onas,la m e jor r e p r ese ntaci¶onp uede se r un som a con va rioscilindros nitoscone c-tados[2 0].Siestoscilindrosson de la m ism a longi-tudelectrot¶onica L,p ueden reducirse a un s¶olo ci-lindro con di¶am etro (

Pnj=1d

3=2j )2 =3 [2 1],com o ya se

ha discutido.

Elcircuito el¶e ctrico q ue r e p r ese nta elcaso de un ca-ble nito unido alsom a,se p r e se nta e n la gura 12 .

Par a elan¶alisisde este caso,esne cesa rio introducirun nue vo t¶e rm ino,llam ado raz¶on de la conductanciae ntre lasdendritasy elsom a,½.Esta raz¶on se de necom o la conductancia de e ntrada de lasdendritas(odelcilindro e q uivale nte de lasdendritas),divididop or la conductancia de e ntrada delsom a.

2 6 ContactoS 53,15{2 7 (2 004)

Figura 12 .Diagra m a delcable nito unido alsom a y sucircuito el¶e ctrico e q uivale nte.

½=G D

G S(2 2 )

Plante ado e n otrost¶e rm inos,cuando una corrie n-te I O se inye cta e n elsom a,½ esla p rop orci¶on de lacorrie nte q ue °uye hacia el¶a rbolde ndr¶³tico e n r e-laci¶on a la q ue °uye a trav¶esde la m e m brana celu-lar delsom a.

La conductancia de e ntrada totalde esta ne urona e s

G e = G D + G S = G S (1+ ½) (2 3)

Este m odelo est¶a descrito p or losp a r¶a m e trosL,½y ¸m,ade m ¶asde la conductancia de e ntrada G N .N um e rosos m ¶etodos e xp e rim e ntaleshan sido usa-dosp a ra dete rm ina r e stosp a r¶am etrosde la ne uro-na.La situaci¶on e xp e rim e ntalt¶³p ica esuna e n lacu¶alse re aliza un re gistro con un ele ctrodo e n lacon guraci¶on de c¶elula com p leta,com o se ilustr¶o e nla gura 3.

Lasp rop iedadesde cable tiene n im p ortantesim p li-cacionesp a ra la inte graci¶on de losp ote ncialese n lasne uronas.Lasne uronastransm iten inform aci¶on e nfor m a de se cue nciasde p ote ncialesde acci¶on.Es-tosp ote ncialesde acci¶on llegan a lossitiossin¶ap ti-cosy ge ne ran p ote ncialesp ostsin¶ap ticos; estosp o-te ncialesdisp a ran a su vez p ote ncialesde acci¶onq ue se p rop agan a trav¶esde la m e m brana celula rde acue rdo alm odelo de cable.E n este traba jo se

ha he cho una descrip ci¶on cuantitativa de la p rop a-gaci¶on de losp ote ncialesde acci¶on e n los¶arbolesdendr¶³ticos.

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