estudio del comportamiento del transformador con

i

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

MÉRIDA - VENEZUELA

ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL TRANSFORMADOR CON

ALIMENTACIÓN PWM DE TENSIÓN Y FRECUENCIA VARIABLE

Trabajo de grado presentado como requisito parcial

para optar al título de Ingeniero Electricista

Br. Yebri W. Novoa M.

Tutor: Prof. Jaime González

Enero, 2007

iii

DEDICATORIA

• A Dios todopoderoso por su omnipresencia en cada paso de mi vida.

• A mis amados padres Abel Novoa y Carmen Márquez por ser los

pilares fundamentales de este logro, me siento el ser más afortunado

del mundo por tenerlos.

• A mis queridos hermanos, Yajaira, Yasmin, Yuli, Yeitsón, Fabián, Yefri

Yender y Yosneibi, por estar siempre conmigo en las buenas y en las

malas, solo nosotros sabemos lo que hemos pasado, pero ahora

comienza una nueva etapa de superación que forjaremos entre todos.

iv

RECONOCIMIENTO

• A la ilustre Universidad de los Andes, a la Facultad de Ingeniería, A la

Escuela de Ingeniería Eléctrica, por brindarme la oportunidad de formarme

tanto personal como profesionalmente.

• Al profesor Jaime González, por su confianza en el desarrollo de este trabajo.

• Al profesor Ramón Cáceres, por su colaboración en la parte experimental de

este proyecto.

• A mis panas del alma y compañeros de trasnocho, Martín, Guzmán, Jorge,

Beisy, Leonardo Fuenmayor, Jexelin, Rafael, Luis Reinoso, Fady, Wilberth,

Edinson, Javier García, David, Maribel, Ender y los que cuyo nombre se me

escapan, gracias por permitirme aprender de todos uds y que en el futuro

sigamos compartiendo momentos inolvidables.

• A Paola Masco, gracias por acompañarme en este camino lleno de alegrías y

tristezas, siempre agradeceré a Dios por haber podido conocerte.

• A los hermanos que la vida me dio, Javier Camargo, Giancarlos (compadre),

Angel (cuñado), Reina, Raiza, José, Wilson, José Antonio; por

incondicionalmente estar a mi lado, así como he contado con uds, siempre

contaran conmigo.

• A Mauro García, Antonio Ramírez, Cruz Camargo, Ana Ramírez y Lino

Rosales, uds son la viva prueba de que a nadie le falta Dios, porque sin nunca

pedir nada a cambio siempre han estado en los momentos cruciales.

v

ÍNDICE DE GENERAL

APROBACIÓN ii DEDICATORIA iii RECONOCIMIENTO iv ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS viiiGLOSARIO DE SIMBOLOS Y NOTACIONES xi RESUMEN xiiiOBJETIVOS 1 JUSTIFICACIÓN 2 INTRODUCCIÓN 3

CAPÍTULO I: MARCO TEÓRICO 1.-FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL ELECTROMAGNETISMO 5 1.1.-Intensidad de la Corriente Eléctrica 5 1.2.-Ley de Ampére 5 1.3.-Fuerza Magnetomotriz 6 1.4.-Inducción Magnética 6 1.5.-Flujo de Inducción Magnética 7 1.6.-Ley de Inducción Electromagnética 7 1.7.-Permeabilidad Magnética 7

1.7.1.-Clasificación de los Materiales Magnéticos Considerando su Permeabilidad 8

1.8.-Ciclo de Histéresis y Curva de Magnetización 8 1.8.1.-Clasificación de los Materiales Magnéticos debido a su Histéresis 9 1.9.-Pérdidas Magnéticas del Material 10 1.10.-Comportamiento del Material Ferromagnético 11 1.11.-Materiales Usados en los Transformadores 12 1.12.-La Inductancia y la Capacitancia 14 2.-EL TRANSFORMADOR ELÉCTRICO DE DOS DEVANADOS 15 2.1.-El Transformador Monofásico Ideal 15 2.2.-El Transformador Monofásico Real 16 2.2.1.-Ecuaciones de Flujo de Enlace 17 2.2.2.-Ecuaciones de Voltaje 19 2.3.-Circuito Equivalente del Transformador Monofásico 21 2.3.1.-Ecuaciones Relacionadas a Diferentes Tipos de Carga 21 2.3.2.-Ensayos para la Obtención de los Parámetros del Transformador 22 3.-INVERSORES PWM 25 3.1.-Circuitos Inversores Monofásicos 26

vi

3.1.1.-Inversor Monofásico en Puente 26 3.2.-Técnicas Básicas PWM para el Control de Tensión en los Inversores 27 3.2.1.-Tipos de Conmutación 28 3.3.-Modulación Senoidal de Ancho de Pulso 29 CAPÍTULO II: HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES USADAS EN EL MODELADO 1.-DESCRIPCIÓN DEL PAQUETE MATLAB 7.2 31 1.1.- Categorías del Comando Ayuda en MATLAB 31 2.-DESCRIPCIÓN DEL SUBPAQUETE SIMULINK 32 2.1.-Fases de Simulación 33 2.2.-Biblioteca de Bloques 33 2.3.-Simulación de un Modelo desde SIMULINK 34 2.3.1.-Opciones para Solución (Solver) 35 2.3.2.-Data Importó/Export 39 2.2.3.-Diagnósticos (Diagnostics) 41 3.-CAUSAS DE LENTITUD DE LA SIMULACIÓN 41 4.-DOCUMENTACIÓN DE MATLAB Y SIMULINK 42

CAPÍTULO III: MODELADO, SIMULACIONES Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

1.-TRANSFORMADOR MONOFÁSICO LINEAL DE DOS DEVANADOS CON ALIMENTACIÓN SINUSOIDAL 43

1.1.-Condiciones para el Modelo 43 1.2.-Diagrama de Bloques para el Modelo 46 1.3.-Simulación para una Carga Resistiva 51

2.-TRANSFORMADOR MONOFÁSICO SATURABLE DE DOS DEVANADOS CON ALIMENTACIÓN SINUSOIDAL 52

2.1.-Incorporación de la Saturación en la Simulación del Transformador 52 2.2.-Validación del Modelo 56 2.3.-Armónicos 62 2.3.1.-Efectos Adversos de los Componentes Armónicos 62 2.4.-Simulaciones para Diferentes Tipos de Carga 63

3.-TRANSFORMADOR MONOFÁSICO SATURABLE DE DOS DEVANADOS CON ALIMENTACIÓN SPWM 66

3.1.-Simulaciones con Alimentación SPWM 66 3.1.1.-Simulaciones a diferentes frecuencias 66 3.1.2.-Simulaciones para diferentes número de pulsos 72 3.1.3.-Simulaciones variando los principales parámetros del Transformador 74

vii

3.3.-APLICABILIDAD DEL MODELO DESARROLLADO 75

CONCLUSIONES 77 RECOMENDACIONES 79 BIBLIOGRAFÍA 80

viii

ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS

Figura 1. Campo magnético en una bobina de N espiras 6 Figura 2. Ciclo de histéresis y curva de magnetización 9 Figura.3. Ciclos de histéresis para materiales magnéticos blandos y duros 10 Figura 4. Transformador ideal de dos devanados 15 Figura 5. Transformador real de dos devanados 17

Figura 6. Circuito equivalente del transformador monofásico lineal de dos devanados

21

Figura.7. Diagrama de conexión para el ensayo a circuito abierto 23 Figura 8. Circuito equivalente del ensayo a circuito abierto 23 Figura 9. Diagrama de conexión para el ensayo en cortocircuito 24 Figura 10. Circuito equivalente del ensayo en cortocircuito 25 Figura 11. Circuito inversor monofásico en puente 27 Figura 12. Esquema de conmutación bipolar 28 Figura 13. Esquema de conmutación unipolar 29 Figura 14. Modulación senoidal de ancho de pulso 30 Figura 15. Pulso de disparo de uno de los IGBT 30 Figura 16. Cuadro de diálogo para controlar los parámetros de simulación 35

Figura 17. Flujo de variables para el modelo lineal del transformador monofásico de dos devanados

43

Figura 18. Variables que definen el transformador 46

Figura 19. Modelo de simulación del transformador monofásico de dos devanados ante alimentación sinusoidal

47

Figura 20. Modelo matemático del transformador monofásico de dos devanados

47

Figura 21. Subsistema correspondiente al primer devanado 48 Figura 22. Subsistema correspondiente al núcleo en ausencia de saturación 48 Figura 23. Subsistema correspondiente al segundo devanado 49 Figura 24. Parámetros de entrada del transformador en el modelo lineal 49 Figura 25. Bloque para la medición de variables 50

Figura 26. Corrientes terminales para 60 Hz en el modelo lineal con alimentación sinusoidal

51

Figura 27. Voltajes terminales para 60 Hz en el modelo lineal con alimentación sinusoidal

51

Figura 28. Variables inducidas en el secundario para 60 Hz en el modelo lineal con alimentación sinusoidal

52

Figura 29. Características para la saturación 53 Figura 30. Curva de aproximación para la saturación del flujo mutuo 54 Figura 31. Flujo de variables para el modelo saturable del transformador

ix

monofásico de dos devanados con alimentación sinusoidal 55 Figura 32. Subsistema correspondiente al núcleo en presencia de la saturación 56 Figura 33. Diagrama de conexión de los experimentos realizados 57

Figura 34. Curva de vacío medida en el laboratorio para diferentes frecuencias

57

Figura 35. Curva de magnetización obtenida en el modelo saturable para diferentes frecuencias y alimentación sinusoidal

58

Figura 36. Curva de aproximación de la saturación para diferentes frecuencias y alimentación sinusoidal 58

Figura 37. Corriente de vacío medida para diferentes frecuencias y alimentación sinusoidal

59

Figura.38. Corriente de vacío obtenida en el modelo saturable para diferentes frecuencias y alimentación sinusoidal

59

Figura 39. Componentes armónicas medidas de la corriente de vacío para 30 Hz y alimentación sinusoidal

60

Figura.40. Componentes armónicas de la corriente de vacío para 30 Hz obtenidas a través del modelo saturable y alimentación sinusoidal

60

Figura.41. Corriente de magnetización para 30 Hz en condiciones nominales usando el modelo saturable y alimentación sinusoidal

61

Figura.42. Armónicos de la corriente de vacío para 30 Hz en condiciones nominales usando el modelo saturable y alimentación sinusoidal

61

Figura.43. Variables inducidas en el núcleo para 30 Hz en condiciones nominales usando el modelo saturable y alimentación sinusoidal

62

Figura.44. Tensiones terminales para diferentes cargas a 30 Hz usando el modelo saturable

63

Figura.45. Corriente de magnetización para diferentes tipos de carga a 30 Hz usando el modelo saturable

64

Figura 46. Corriente del primario para diferentes cargas a 30 Hz usando el modelo saturable

64

Figura 47. Corrientes del secundario para diferentes cargas a 30 Hz usando el modelo saturable

65

Figura.48. Armónicos de la corriente del primario para 30 Hz con carga capacitiva usando el modelo saturable

65

Figura 49. Fuente SPWM-VSI 66

Figura.50. Curva de aproximación de la saturación para diferentes frecuencias y alimentación SPWM

67

Figura.51. Curva de magnetización para diferentes frecuencias y alimentación SPWM

67

Figura.52. Corriente de magnetización para diferentes frecuencias y alimentación SPWM

68

Figura 53. Corrientes terminales a 60 Hz y alimentación SPWM 68

Figura.54. Armónicos de la corriente de magnetización a 30 Hz ante alimentación SPWM

69

Figura 55. Tensiones terminales a 60 Hz y alimentación SPWM 70

x

Figura.56. Variables inducidas en el primario a 60 Hz 71 Figura 57. Variables inducidas en el secundario a 60 Hz 71

Tabla.1. Ecuaciones de acuerdo al tipo de carga 22 Tabla.2. Ecuaciones que describen el modelo lineal 44 Tabla.3. Mediciones obtenidas en los ensayos realizados al transformador 45 Tabla.4. Parámetros del transformador 45

Tabla.5. Componentes armónicas de la corriente de vacío para diferentes frecuencias ante alimentación SPWM

69

Tabla.6. Componentes armónicas de la corriente de magnetización variando el número de pulsos por semiciclo (P)

73

Tabla 7. Comportamiento de los valores eficaces al variar xm 75 Tabla 8. Comportamiento de los valores eficaces al variar r1 y r2` 75 Tabla 9. Comportamiento de los valores eficaces al variar xl1 y xl2` 76

xi

GLOSARIO DE SIMBOLOS Y NOTACIONES

I Intensidad de corriente eléctrica.

H Campo magnético.

F Fuerza magnetomotriz.

B Inducción magnética.

µ Permeabilidad del material.

φ Flujo magnético.

q Carga eléctrica.

R Reluctancia.

1N y 2N Número de espiras del primario y secundario respectivamente.

1i y 2i Corriente del primario y secundario respectivamente.

mφ Flujo mutuo.

rt Relación de transformación.

1e y 2e Tensión inducida en el primario y secundario respectivamente.

1Z y 2Z Impedancia del primer y segundo devanado respectivamente.

1lφ y 2lφ Flujo disperso en el primario y secundario respectivamente.

1φ y 2φ Flujo total enlazado en el primer y segundo devanado.

1λ y 2λ Flujo concatenado en el primer y segundo devanado.

1lP y 2lP Permeancia del primer y segundo devanado respectivamente.

mP Permeancia mutua.

12L y 21L Inductancias mutuas entre arrollamientos.

11L y 22L Inductancia propia en el primer devanado y segundo devanado.

mi Corriente de magnetización.

mϕ Tensión representativa del comportamiento del flujo mutuo.

1ϕ Tensión que representa el comportamiento del flujo en el primario.

xii

2ϕ ` Tensión que representa el comportamiento del flujo en el

secundario.

mL ó mx Inductancia ó reactancia mutua.

me Voltaje inducido en el núcleo.

1r y `r2 Resistencias de los devanados, donde la del secundario esta

referida al primario.

1V y 2V Voltaje terminal en el primario y segundo devanado.

1lL ó 1lx Inductancia ó reactancia en el primario.

2lL ó 2lx Inductancia ó reactancia en el secundario.

Rc, Lc y Cc Resistencia, inductancia y capacitancia de carga.

PWM Modulación de ancho de pulso.

To Periodo total de la señal PWM de salida.

Vcc Voltaje continúo de alimentación para generar la señal PWM.

Vorms y Vo Voltaje eficaz e instantáneo de salida.

SPWM Modulación sinusoidal de ancho de pulso.

Ar Amplitud de la onda sinusoidal de referencia.

Ap Amplitud de la onda portadora triangular.

M Índice de modulación.

fp Frecuencia de la onda portadora triangular.

δm Ancho de pulso enésimo de una señal SPWM.

P Número de pulsos por semiciclo.

F ó f Frecuencia de la señal de entrada.

)sat(mϕ Voltaje representativo del flujo mutuo saturable.

)insat(mϕ Voltaje representativo del flujo mutuo lineal o no saturable..

ks Factor de saturación.

ϕ∆ Diferencial de tensión representativo del flujo.

a , b y c Parámetros que controlan el grado de saturación.

xiii

RESUMEN

ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL TRANSFORMADOR CON

ALIMENTACIÓN PWM DE TENSIÓN Y FRECUENCIA CONSTANTE

Br. Yebri W. Novoa M.

Tutor: Prof. Jaime González

El acelerado aumento en el uso de dispositivos de control electrónico de potencia en la industria, trae como consecuencia que los sistemas eléctricos sean cada vez más sensibles a estos elementos, el transformador no escapa a dicho fenómeno perjudicado por las condiciones normalizadas de tensión y frecuencia, por ello en este trabajo se modela y simula el transformador monofásico real de dos devanados ante alimentación sinusoidal desde pocos hertz hasta el doble de la frecuencia nominal, además de manejar fuentes de modulación sinusoidal de ancho de pulso (SPWM) con diferentes índices de modulación, los resultados son analizados principalmente en función de la saturación del núcleo debido a la dependencia de las variables de salida a este fenómeno. La representación de la curva de magnetización y el efecto de la saturación en el modelo se logro mediante una función analítica simple, el seno hiperbólico, la cual se ajusta mediante parámetros a diferentes características y condiciones de magnetización y saturación deseadas, simulando a su vez la generación armónica correspondiente.

El programa utilizado fue el MATLAB 7.2, que junto al subprograma SIMULINK representarón la herramienta computacional adecuada para el modelado debido a su inigualable capacidad matemática, particularidad justamente necesitada para representar los fenómenos físicos complejos que ocurren en el transformador eléctrico.

Palabras claves: Transformador, magnetización, armónicos, PWM.

1

OBJETIVOS

Objetivos generales:

Estudio del comportamiento del transformador con tensión y frecuencia

variable no senoidal.

Objetivos específicos:

• Estudio del modelo matemático del transformador.

• Estudio del comportamiento del transformador con señal no senoidal.

• Estudio del comportamiento con frecuencia variable (Baja frecuencia).

• Estudio del comportamiento del material ferromagnético del transformador.

2

JUSTIFICACIÓN

La utilización creciente de variadores de velocidad en los accionamientos

industriales eléctricos, propone un estudio interesante en el comportamiento de los

demás equipos que acompañan dichos variadores. Uno de estos elementos es el

transformador, el cual viene diseñado para trabajar con frecuencias nominales de 50 y

60 Hz y con tensiones nominales tanto en el nivel de tensión como en la pureza de su

señal. Cuando estos valores de fábrica no son los adecuados, es posible que el

desempeño del transformador no sea el mismo. El presente trabajo de grado pretende

simular el comportamiento del transformador bajo condiciones de voltaje no senoidal

y con frecuencias que oscilen entre pocos hertz y el doble de su frecuencia nominal.

3

INTRODUCCIÓN

Para la mayoría de los análisis convencionales, el sistema de potencia

esencialmente se modela como sistema lineal con los elementos pasivos excitados por

fuentes sinusoidales de voltaje y frecuencia constante. Sin embargo, con la

proliferación de dispositivos de control electrónico de potencia, los elementos que

componen dicho sistema se ven afectados, entre otras cosas debido a que cantidades

significativas de corrientes armónicas pueden ser inyectadas, convirtiéndose así en

una preocupación si consideramos la definición de armónicos como distorsiones

periódicas del estado constante del voltaje y/o de las formas de onda en sistemas de

potencia.

Antes de que los convertidores e inversores fueran ampliamente utilizados,

una de las fuentes armónicas principales en el sistema de potencia era la corriente de

excitación de los transformadores, aunque este tipo de problemas se ha ido

solventando con el paso del tiempo, disminuyendo significativamente la generación

de armónicos bajo condiciones de funcionamiento normales, pero pudiendo aumentar

considerablemente su contribución armónica bajo condiciones anormales al saturarse

el núcleo magnético [1].

Para mantener un voltaje sinusoidal, el flujo sinusoidal debe ser producido por

la corriente magnetizante. Cuando la amplitud de voltaje o de flujo es bastante

grande, entra en la región no lineal de la curva de magnetización, la corriente

magnetizante se deforma enormemente dejando de ser sinusoidal.

Las características de la saturación y de la histéresis en materiales

ferromagnéticos han sido el tema de mucha investigación, sus representaciones varían

de relaciones empíricas a sofisticadas expresiones analíticas tales como funciones

4

exponenciales, hiperbólicas, polinomios y arcotangentes. El interés de modelar más

rigurosamente a la saturación se justifica en que el comportamiento del

transformador opere de la forma más real posible, esto implica que sus parámetros se

deben ajustar para obtener el mínimo de incertidumbre. Este trabajo sugiere una

alternativa basada en la función del seno hiperbólico basado en tres parámetros que

permiten el ajuste exacto a cualquier característica de la saturación.

Los sistemas de control basados en la modulación por ancho de pulso (PWM)

permiten disminuir sustancialmente los efectos desfavorables de las cargas no

lineales, sin embargo, el proceso de generación de las señales que gobiernan los

controladores que usan esa técnica de modulación es relativamente compleja y por

tanto se requiere de herramientas que faciliten la visualización y comprensión de

estos sistemas.

MATLAB permite realizar la descripción del sistema a simular mediante dos

lenguajes: El lenguaje gráfico de los modelos de simulink y el lenguaje escrito M.

Los programas escritos en ambos lenguajes pueden interactuar entre sí, de esta

manera se puede aprovechar mejor las ventajas de cada uno de estos dos estilos de

programación en la simulación de un sistema particular.

Los lenguajes escritos son más útiles para la descripción de señales complejas,

debido a que ellos admiten la implementación de algoritmos mucho más variados que

los lenguajes gráficos.

Para la descripción de modelos y sistemas es más conveniente el uso del

lenguaje gráfico mediante el simulink, permitiendo visualizar los distintos

componentes del sistema, las conexiones entre ellos y además también permite

realizar mediciones del desempeño del mismo en una forma sencilla.

Actualmente los dispositivos electrónicos, a pesar de inyectar armónicos, son

parte fundamental en los sistemas eléctricos de potencia. Estos dispositivos,

acoplados con las fuentes tradicionales de armónicos, tales como: transformadores

saturados, generadores sincrónicos, y hornos de arco, hacen que el contexto del

problema armónico crezca en complejidad y plantee nuevos retos [2].

Afortunadamente hoy en día, se está mejor preparado para controlar este problema

5

con métodos avanzados de software, hardware e instrumentación que,

paradójicamente, esta diseñado a base de electrónica de potencia.

CAPÍTULO I MARCO TEÓRICO

1.-FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL ELECTROMAGNETISMO

1.1.-Intensidad de la Corriente Eléctrica

Junto a la idea de movimiento de partículas, la noción de corriente eléctrica

lleva asociada la de transporte de carga eléctrica de un punto a otro. La importancia

de dicho transporte en términos de cantidad se expresa mediante la magnitud

intensidad de corriente eléctrica que se define como variación de carga en función del

tiempo que circula por un conductor. En forma de ecuación se puede escribir como:

dtdqI = [A] (1.1)

1.2.-Ley de Ampére

André Ampére en 1825 determinó que las trayectorias de cargas eléctricas en

movimiento crean una corriente neta i, originando a su vez un vector intensidad

campo magnético H.

INdlH ** =∫ (1.2)

Esta expresión refleja la relación directa que existe entre H e I, considerando

que un camino cerrado es atravesado N veces por una misma corriente, donde H se

mide en ampére por metro (A/m).

La ley de Ampére es de gran utilidad en el estudio de bobinas y

transformadores, así como en los casos en que sea necesario determinar el campo

magnético a partir de corrientes con cierto grado de simetría.

6

Figura 1. Campo magnético en una bobina de N espiras

1.3.-Fuerza Magnetomotriz

Siempre que circule corriente por un conductor se produce un campo

magnético. Si este conductor es una bobina constituida por un determinado número

de espiras se originará una tensión magnética proporcional a la corriente y al número

de espiras de la bobina, esta fuerza se denomina fuerza magnetomotriz (f.m.m) [3].

F = N*I [A/v] (1.3)

1.4.-Inducción Magnética

El movimiento de las cargas eléctricas gasta cierta cantidad de energía,

necesaria para hacer circular una corriente y originar el campo magnético, esta

energía quedará almacenada en el medio en que se efectúa el proceso. El campo

magnético es una condición del medio, este medio afectado magnéticamente presenta

así las características de un entorno elástico deformado [3], por tanto, el vector de

inducción magnética B representara en cada punto de este espacio la medida de esa

deformación.

Las unidades de B se pueden medir en Weber por metros al cuadrado

(Wb/m^2), Gauss o Tesla.

7

1.5.-Flujo de Inducción Magnética

Al considerar un elemento cualquiera con una determinada área, inmerso

dentro de un campo de inducción magnética, evidentemente si esta área crece el

número de líneas abarcadas se incrementara proporcionalmente. Al producto del

vector inducción magnética por el valor del área que atraviesa, se denominará flujo de

inducción ∆Φ. Si la superficie forma un cierto ángulo con el vector B el flujo será

proporcional a la proyección ortogonal de esta superficie a dichas líneas [3].

αφ cos** SB ∆=∆ [Wb] (1.4)

1.6.-Ley de Inducción Electromagnética

La inducción electromagnética es el fenómeno que origina la producción de

una fuerza electromotriz (f.e.m.) ó voltaje en un medio o cuerpo expuesto a un

campo magnético variable, o bien en un medio móvil respecto a un campo magnético

estático. Es así que, cuando dicho cuerpo es un circuito cerrado, se produce una

corriente debido a la tensión inducida. Este fenómeno fue descubierto por Michael

Faraday en 1831, quién lo expresó indicando que la magnitud del voltaje inducido es

proporcional a la variación del flujo magnético.

Heinrich Lenz en 1833 comprobó que la corriente debida a la f.e.m. inducida

se opone al cambio de flujo magnético, de forma tal que la corriente tiende a

mantener el flujo. Esto es válido tanto para el caso en que la intensidad del flujo

varíe, o que el cuerpo conductor se mueva respecto de él.

dtdNe φ*−= (1.5)

Donde el signo menos se debe a la ley de Lenz.

1.7.-Permeabilidad Magnética

La permeabilidad magnética es una magnitud escalar que cuantifica la

propiedad de deformación magnética de los materiales, dicha magnitud permite

establecer la relación entre la intensidad de campo y la inducción magnética,

debido a que la intensidad de campo magnético varía de un medio a otro.

8

1.7.1.-Clasificación de los Materiales Magnéticos Considerando su Permeabilidad

De acuerdo a las características magnéticas de los materiales, estos pueden

clasificarse en paramagnéticos, diamagnéticos y ferromagnéticos. En los materiales

paramagnéticos la intensidad del campo se incrementa, mientras que en los

diamagnéticos disminuye, sin embargo estos cambios son pequeños, considerando

que su permeabilidad es menor a la del vacío. Mientras que en los materiales

ferromagnéticos la permeabilidad resulta mucho mayor a la del vacío. La

permeabilidad relativa rµ es una magnitud adimensional que relaciona la

permeabilidad del material µ con la del vacío 0µ .

0µµµ =r (1.6)

La permeabilidad viene expresada en Henrios por metro (H/m), mientras que

la inducción vendrá indicada en función de este parámetro mediante la ecuación (1.7).

H**B r 0µµ= (1.7)

1.8.-Ciclo de Histéresis y Curva de Magnetización

La histéresis es la tendencia de un material a conservar una de sus

propiedades, en ausencia del estímulo que la ha generado.

En los materiales ferromagnéticos la permeabilidad relativa es variable con la

variación de campo magnético, presentando una zona lineal y otra no lineal, en

donde, el incremento de B es muy pequeño con variaciones notables de H, a esta

región se le denomina zona de saturación del material [3]. En la Fig. 2 se observa que

al anular completamente el campo aplicado, quedaría en el material una energía

magnética acumulada, representada por la inducción residual o remanente (Br1). Para

eliminar totalmente esta inducción debe aplicarse un campo en sentido inverso

(Campo Coercitivo) -Hc1, si se aumenta en este sentido la intensidad del campo, se

puede llegar al punto (-Hm) de la curva, al cambiar el sentido del campo, la inducción

residual (-Br2) necesitara de campo (Hc2) para anularlo.

9

Figura 2. Ciclo de histéresis y curva de magnetización

Las ecuaciones (1.2) y (1.4) permiten decir que, el ciclo de histéresis y la

curva de magnetización pueden representarse también en función de las variables Φ

e I.

1.8.1.-Clasificación de los Materiales Magnéticos debido a su Histéresis

• Materiales magnéticos blandos:

Para que un material ferromagnético sea blando, su ciclo de histéresis como se

observa en la Fig. 3 debería ser tan delgado como sea posible y tener una fuerza

coercitiva pequeña para que el material se imante fácilmente y tenga una alta

permeabilidad magnética.

Los materiales blandos, tal como aleaciones de hierro con 3-4 % de silicio son

utilizados en núcleos para transformadores, motores y generadores, ya que la energía

perdida en el proceso, energía equivalente al área del ciclo, es pequeña y por

consiguiente su rendimiento se incrementa.

• Materiales magnéticos duros:

Los materiales magnéticamente duros o permanentes se caracterizan por un

10

alto campo coercitivo H, y una alta inducción magnética remanente Br, como se

indica en la Fig. 3, por ello los ciclos de histéresis de los materiales magnéticamente

duros son anchos y altos.

Los materiales magnéticamente duros son difíciles de desimantar una vez han

sido imantados, y presentan su principal aplicación en circuitos electrónicos,

mayormente en los que usan núcleos de memorias magnéticas; siendo la ferrita el

material mas usado en esta área debido a su baja conductividad.

Figura 3. Ciclos de histéresis para materiales magnéticos blandos y duros

1.9.-Pérdidas Magnéticas del Material

Las pérdidas en el hierro, están conformadas por las producidas por las

corrientes de Foucault y efecto de Histéresis:

• Pérdidas por corrientes parásitas ó pérdidas de Foucault:

Este tipo de pérdidas aparecen en materiales metálicos cuando son sometidos a

la acción de flujos variables con el tiempo, las mismas son debidas al efecto de Joule

de las corrientes que circulan por el material, las cuales tienden a oponerse a esta

variación.

• Pérdidas por Histéresis:

Este tipo de energía se gasta en orientar en la dirección del campo las

11

partículas elementales del material. Los continuos cambios a que se ve sometido el

material, debido a la variación del flujo, consumen energía; esta energía se conoce

como histéresis del material.

Se debe resaltar que al agregar 3% de Silicio, aumenta la resistividad del

material logrando disminuir las pérdidas de Foucault y a su vez reduce el área del

ciclo de Histéresis, permitiendo disminuir también las pérdidas por este concepto.

1.10.-Comportamiento del Material Ferromagnético

En materiales como el hierro, cobalto, níquel y aleaciones entre ellos; la

estructura de sus átomos tiende a tener campos magnéticos fuertemente alineados

entre sí. Una pieza de hierro no manifiesta polaridad magnética definida porque los

dominios se encuentran dispuestos al azar en la estructura del material, pero al

aplicarse un campo magnético exterior los dominios orientados en la dirección del

campo exterior crecen a expensas de los dominios orientados en otras direcciones,

debido a que los átomos adyacentes cambian físicamente su orientación con el campo

magnético aplicado [4]. Los átomos adicionales, alineados con el campo, incrementan

el flujo magnético en el hierro, lo cual causa el alineamiento de más átomos que

incrementan la intensidad del campo magnético. Este efecto de retroalimentación

positiva es la causa de que el hierro adquiera permeabilidad mayor que el aire.

A medida que el campo magnético se fortalece, dominios completos alineados

en otras direcciones se orientan como una unidad para alinearse con el campo. Por

último, cuando casi todos los átomos y dominios en el hierro se han alineado con el

campo externo, el incremento de la fuerza magnetomotriz puede ocasionar tan sólo un

aumento de flujo igual al que ocurriría en el espacio libre (es decir, cuando todos los

dominios se encuentran alineados, ya no habrá más retroalimentación para reforzar el

campo). En este momento, el hierro estará saturado con el flujo.

La histéresis se produce porque cuando el campo magnético exterior se

suprime, los dominios no se ubican de nuevo al azar, ya que requieren energía para

recuperar su posición anterior. La energía para el alineamiento original la proveyó el

12

campo magnético exterior, cuando este se suprime, no hay una fuente que ayude a

que los dominios regresen a sus posiciones. El trozo de hierro es ahora un imán

permanente.

Una vez que los dominios se alinean, algunos de ellos permanecerán en esa

posición hasta que se les aplique una fuente de energía externa para cambiar su

orientación. Otros ejemplos de fuentes externas de energía que puede cambiar los

límites entre los dominios o su alineamiento son la fuerza magnetomotriz aplicada en

otras direcciones, un choque mecánico fuerte y el calor. Cualquiera de estos eventos

puede suministrar energía a los dominios para cambiar su alineación (por esta razón,

un imán permanente puede perder su magnetismo si se le deja caer, se le golpea o se

le calienta) [4].

1.11.-Materiales Usados en los Transformadores

Los núcleos de transformadores para sistemas de potencia suelen construirse

con láminas de acero recocido adecuadamente. En los tipos tradicionales indicados en

transformadores de tipo núcleo, acorazado y acorazado distribuido, se emplea

generalmente acero al silicio que contiene un 4% de silicio, puesto que este material

proporciona un buen compromiso entre el costo, facilidad de manipulación, pérdidas

pequeñas por histéresis, por corrientes de Foucault y gran permeabilidad a

inducciones magnéticas relativamente elevadas reduciendo a un valor razonablemente

pequeño la intensidad de corriente de vacío o de magnetización, lo elevado del

coeficiente de acoplo da origen a una pequeña regulación de tensión en el

funcionamiento con carga. Sin embargo, el núcleo de hierro introduce pérdidas en el

núcleo que tienen un efecto importante sobre el rendimiento y la elevación de

temperatura del transformador [5].

En algunos casos particulares en el uso de transformadores, se podrá utilizar

ventajosamente un material que tenga propiedades magnéticas muy sensibles a la

temperatura. Con una composición apropiada, puede obtenerse una aleación que

tenga nivel útil para muchas aplicaciones técnicas, pudiéndose mencionar las

aleaciones que contiene aproximadamente un 35% de níquel, 5% de cromo, 60% de

13

hierro y 0.3% de silicio, con tratamiento térmico adecuado se logra una inducción de

saturación a una temperatura de 60ºC y que es esencialmente no magnética a 160ºC,

lográndose casos con otras aleaciones donde se hace no magnética a 40ºC, o sea, a

temperatura ligeramente superior a la ambiente [5].

Las propiedades magnéticas de muchos materiales ferromagnéticos varían

gradualmente con el tiempo. Todos los aceros se comportan de esta manera hasta un

cierto punto, ya que sus compuestos hierro-carbono no son estables, sino que cambian

con el tiempo de una forma a otra. Los cambios pueden realizarse rápidamente a

temperatura elevada, originando un retraso tal que el efecto perdure por varios años.

No obstante el envejecimiento no puede detenerse del todo ya que los aceros al silicio

presentan un ligero envejecimiento debido a la reacción que se produce entre el

silicio, oxígeno y carbono durante la fabricación.

Aun cuando los efectos del envejecimiento sobre las propiedades magnéticas

de todos los aceros son importantes, haciendo disminuir ordinariamente la

permeabilidad y aumentar la coercitividad de los materiales magnéticamente blandos,

los efectos especialmente serios cuando se presentan en los aceros magnéticamente

duros utilizados para los imanes de los instrumentos de medida. En este caso

disminuye la fuerza del imán y empeora la precisión del dispositivo aun cuando la

intensidad del campo magnético disminuya poco. La utilidad de los aceros al carbono

magnéticamente duros puede mejorarse mediante el envejecimiento artificial. Por

ejemplo, si se somete el acero a una temperatura de unos 1000 ºC durante varias

horas, se produce un envejecimiento rápido, y una variación considerable de la

intensidad. Con ello se reduce mucho la subsiguiente variación de intensidad del

campo magnético a la temperatura ambiente.

Muchas de las aleaciones modernas no contienen carbono en cantidades

apreciables y no se hallan sometidas a estos efectos de envejecimiento. Algunos de

los compuestos formados, sobre todo el Alnico, son estables incluso a temperaturas

superiores a los 600ºC. En algunas de estas aleaciones se pueden practicar soldaduras

incluso después del tratamiento térmico, sin perjudicar apreciablemente sus

propiedades magnéticas favorables [5].

14

1.12.-La Inductancia y la Capacitancia

El almacenamiento de energía en elementos del circuito eléctrico es un aspecto

importante en el desarrollo de circuitos flexibles y útiles.

Dos elementos pasivos muy importantes aparte del resistor son el capacitor y

el inductor, ambos elementos sólo presentan sus características cuando se hace un

cambio en el voltaje o en la corriente del circuito en el que están conectados. Además

si se considera la situación ideal, no disipa la energía como el resistor sino que la

almacena en una forma que pueda regresar al circuito cuando requiera el diseño de

este.

• La inductancia:

En un inductor o bobina, se denomina inductancia L a la relación entre la

cantidad de flujo magnético φ que lo atraviesa y la corriente I que circula por ella:

I

L φ= [H] (1.8)

El flujo que aparece en esta definición es el producido por la corriente I

exclusivamente. No deben incluirse flujos producidos por otras corrientes, ni por

imanes situados cerca ni por ondas electromagnéticas.

Las variaciones del flujo enlazado por un conductor crean un voltaje V

inducido. Con ello la definición de inductancia queda expresada como:

dtdILV *= (1.9)

• La capacitancia:

La capacitancia entre dos conductores que tienen cargas de igual magnitud y

de signo contrario es la razón de la magnitud de la carga en uno u otro conductor con

la diferencia de potencial resultante entre ambos conductores.

VqC = [F] (1.10)

Considerando la ecuación (1.1) de la intensidad de la corriente eléctrica, se

obtiene:

15

dtdV*CI = (1.11)

Permitiendo redefinir la capacitancia de un dispositivo como la medida de su

capacidad de almacenar carga y energía potencial eléctrica.

2.-EL TRANSFORMADOR ELÉCTRICO DE DOS DEVANADOS

El principal uso del transformador eléctrico, es el de satisfacer la necesidad de

transporte de energía en una forma adecuada y económica, modificando dicha energía

a valores accesibles para su consumo. Inevitablemente en la etapa de transmisión el

nivel de tensión es elevado, disminuyendo en forma proporcional la circulación de

corriente, minimizando las pérdidas por efecto Joule que aparecen en las líneas de

transmisión y a su vez reduciendo los costos de las mismas.

2.1.-El Transformador Monofásico Ideal

Considerando el acoplamiento magnético entre los devanados primario y

secundario observado en la Fig. 4, la circulación de corrientes en ambos devanados

produce f.m.m. en su entorno, estableciéndose el flujo [6].

Figura 4. Transformador ideal de dos devanados

Sabiendo que la reluctancia R, es la resistencia que presenta el medio a la

circulación del flujo de inducción.

16

φ

i*N=R (1.12)

Despreciando la reluctancia del núcleo, la f.m.m. resultante necesaria para

magnetizar el núcleo es cero, pudiéndose decir:

0** 2211 =+ iNiN ó 1

2

2

1

NN

ii

−= (1.13)

El signo negativo de la ecuación 1.13 se debe al sentido asumido en la Fig. 4,

sabiendo que la corriente del secundario circulara siempre hacia la carga. Este sentido

de corriente asumido se mantendrá en el desarrollo de las ecuaciones del

transformador real.

Si los voltajes inducidos son proporcionales al número de espiras de sus

respectivos devanados y en la hipótesis fundamental de considerar despreciables las

caídas de tensión en los devanados, se puede afirmar que:

rtNN

dtmdNdtmdN

ee

===2

1

2

1

2

1

)/(*)/(*

φφ (1.14)

Igualando las ecuaciones (1.13) y (1.14) en función de la relación de

transformación rt, obtenemos:

1

2

2

1

ii

ee

−= (1.15)

En el análisis circuítal, las variables y elementos son referidos a uno de los

lados para obtener un circuito equivalente simple y facilitar los cálculos.

Para referir la carga de un lado a otro se usa la siguiente relación:

( )( ) 2

22

2

2

1

2

22

2

21

112

221

1

11 ***

/*/* ZrtZ

NN

ie

NN

NiNNeN

ieZ =

=

−=

−== (1.16)

2.2.-El Transformador Monofásico Real

En el análisis del transformador real se consideran las pérdidas producidas por

los flujos dispersos, reluctancia y pérdidas del núcleo, así como las pérdidas Joule en

los devanados [7].

17

2.2.1.-Ecuaciones de Flujo de Enlace

Cuando las pérdidas producidas por los flujos son incluidas, como se ilustra en

la Fig. 5, el flujo total enlazado por cada arrollamiento puede ser dividido en dos

componentes, una componente mutua ( mφ ), que es común en ambos devanados, y

una componente de flujos dispersos que solo enlaza el efecto propio de los

devanados, debido a que queda retenido ó no recorre el circuito. En términos de esas

componentes, el flujo total enlazado en cada uno de los arrollamientos puede ser

expresado por [6]:

ml φφφ += 11 (1.17)

ml φφφ += 22 (1.18)

Figura 5. Transformador real de dos devanados

Al tener varias espiras conectadas en serie formando una bobina, sumergidas

dentro de un campo magnético de inducción B, es conveniente hablar de flujo

enlazado o concatenado λ. Así para el primer devanado tendremos [7]:

)(*N*N ml φφφλ +== 11111 (1.19)

El lado derecho de la ecuación (1.19) puede ser expresado en términos de las

corrientes, reemplazando el flujo disperso y mutuo por sus respectivas f.m.m. y

permeancias 1lP y mP , tenemos:

18

)P*)i*Ni*N(P*i*N(*N ml 221111111 ++=λ (1.20) 1lφ mφ

Al reagrupar en términos de i1 e i2 nos queda:

22112

112

11 i*P*N*Ni*)P*NP*N( mml ++=λ (1.21)

1lL 1mL 12L Similarmente, el flujo de enlace del segundo devanado puede ser expresado

como:

12122

222

22 i*P*N*Ni*)P*NP*N( mml ++=λ (1.22)

2lL 2mL 21L

Donde a su vez las inductancias pueden ser representadas por:

1111 ml LLL += (1.23)

2222 ml LLL += (1.24)

Resultando las ecuaciones de flujo de enlace para ambos devanados

magnéticamente acoplados, expresados en términos de las inductancias.

2121111 ** iLiL +=λ (1.25)

2221212 ** iLiL +=λ (1.26)

Donde 11L y 22L son inductancias propias de los devanados, y 12L y 21L son

las inductancias mutuas entre arrollamientos.

Definiendo 1mφ y 2mφ como las porciones de flujo magnetizado por las

corrientes i1 e i2 respectivamente, representadas por las siguientes ecuaciones:

mm P*i*N 111 =φ (1.27)

mm P*i*N 222 =φ (1.28)

Despejando mP de los términos 1mL y 2mL en las ecuaciones (1.21) y (1.22)

respectivamente, y luego igualando en función del mismo mP , resulta:

22

22

1

1

NL

NL

P mmm == (1.29)

19

Para representar el flujo de enlace mutuo en función de las corrientes, se usan

las ecuaciones (1.27) y (1.28), de la siguiente manera:

)i*Ni*N(P*N)(*N*N mmmm 221112111 +=+= φφφ (1.30)

Si la expresión (1.30) se multiplica y divide por 1N , quedara referida al primer

devanado:

)i*NN

i(*L)i*NN

i(*P*N*N mmm 21

2112

1

21

211 +=+=φ (1.31)

Considerando que la suma algebraica de las corrientes 1i e ì2 origina la

corriente de magnetización y que ésta al ser multiplicada por la reactancia mutua

genera una tensión mϕ que permitirá representar el comportamiento del flujo mutuo:

ìiim 21 += (1.32)

mmm x*i=ϕ (1.33)

En el desarrollo del modelo del transformador, se necesitarán los flujos de

enlace en función de las reactancias. Las ecuaciones (1.34) y (1.35) son tensiones que

representan los flujos dispersos en cada uno de los devanados.

ml i*x*b ϕλωϕ +== 1111 (1.34)

ml ì`*x`*b` ϕλωϕ +== 2222 (1.35)

Donde:

ωb: es la frecuencia base de alimentación.

ì2 : Corriente del secundario referida al primario al multiplicarse por 1/rt.

`xl 2 : Reactancia del secundario referida al primario al multiplicarse por 2rt .

De aquí en adelante la reactancia mx ó inductancia mutua mL no presentarán

ningún subíndice relacionado con el lado al que esta referido.

2.2.2.-Ecuaciones de Voltaje

El voltaje inducido en cada bobina es igual a relación de cambio en el tiempo

de sus respectivos flujos de enlace, así usando la ecuación 1.25, el voltaje inducido

20

en el devanado 1 esta dado por:

dtdi

Ldtdi

Ldt

de 2

121

111

1 ** +==λ (1.36)

Introduciendo la ecuación (1.23) y sustituyendo L12 por la expresión resaltada

en (1.21), y a su vez mP es sustituida por (1.29), resultando:

dt

`)i*i(d*L

dtdi

*Ldt

)i*)N/N(i(d*L

dtdi

*Le mlml211

121211

11+

+=+

+= (1.37)

me

Resaltando que el segundo factor del lado derecho de la igualdad representa el

voltaje inducido en el núcleo me .

dt

)i(d*Le m

mm = (1.38)

Sustituyendo la ecuación (1.33) en (1.38) obtenemos (1.39), expresión que

permitirá más adelante la inclusión de la saturación y así generalizar el modelo.

dt

)m(d*b

emϕ

ω1

= (1.39)

Por tanto las tensiones inducidas en los devanados pueden ser escritas como:

ml edtdi

*Le += 111 (1.40)

ml edt

`di`*L`e += 222 (1.41)

En los devanados del transformador se produce una pérdida de energía

ocasionada por el calentamiento de los conductores. Estas pérdidas pueden ser

representadas por las resistencias 1r y `r2 , las cuales producen una caída de tensión

en los respectivos devanados.

El voltaje terminal en cada arrollamiento es la suma del voltaje inducido y la

caída resistiva

1111 * eriV += (1.42)

```*` 2222 eriV += (1.43)

21

Donde:

`r2 : Resistencia del secundario referida al primario a través de 2rt .

`e2 : Tensión inducida en el secundario referida al primario mediante rt.

2.3.-Circuito Equivalente del Transformador Monofásico

Partiendo de la ecuaciones (1.38), (1.40), (1.41), (1.42) y (1.43), podemos

representar el circuito mostrado en la Fig. 6.

Figura 6. Circuito equivalente del transformador monofásico lineal de dos devanados

2.3.1.-Ecuaciones Relacionadas a Diferentes Tipos de Carga

El transformador presentara diferentes comportamientos de acuerdo al tipo de

carga, por ende es importante plantear las ecuaciones que las describen, en la Tabla1

se muestran las expresiones que representan resumidamente las diferentes cargas que

pueden conformarlas, si se considera las opciones serie y paralelo de la impedancia

equivalente de thevenin de dicha carga

Se considerará que el transformador es alimentado por el primario y la carga

conectada en el secundario, usando el circuito de la Fig. 6.

22

Tabla 1. Ecuaciones de acuerdo al tipo de carga

Tipo de carga Ecuación

Resistiva (rc) rcV

i`

` 22

−=

Inductiva (Lc) dtV

Lci `**1` 22 ∫

−=

Capacitiva (Cc) Cc

dtdV

i *`

` 22

−=

RL en serie (rc y Lc)

rc

Lcdt

diV

i*

`´

`2

2

2

+−=

RC en serie (rc y Cc)

rc

dtiCc

Vi

*`*1´`

22

2

∫+−=

RL en paralelo (rc y Lc)

+−= ∫ dtV

LcrcV

i `**1`` 2

22

RC en paralelo (rc y Cc)

+−= Cc

dtdV

rcV

i *``

` 222

2.3.2.-Ensayos para la Obtención de los Parámetros del Transformador

Son las pruebas a que se somete el transformador para conocer los parámetros

del circuito equivalente y las pérdidas que posee.

• Ensayo a circuito abierto:

Con este ensayo es posible determinar las pérdidas del circuito magnético y

los parámetros de vacío del transformador.

Para llevarlo a cabo se procede a alimentar el transformador a tensión nominal

por el lado de baja tensión dejando los bornes de alta abiertos, en estas condiciones

no hay potencia de salida, entonces toda la potencia de entrada se transforma en

pérdidas

El circuito que representa este ensayo se puede representar mediante la Fig. 8.

23

Figura 7. Diagrama de conexión para el ensayo a circuito abierto

Figura 8. Circuito equivalente del ensayo a circuito abierto

Las ecuaciones que definen este ensayo son:

Vn

WiWVnWoie −

== (1.44)

22 ieioim −= (1.45)

ieVnro = (1.46)

imVnxo = (1.47)

24

Donde:

Wo: Representa las pérdidas magnéticas. im: Componente magnetizante de la

corriente de vacío.

W: Pérdidas totales medidas con el

vatímetro.

io: Corriente de vacío.

Wi: Pérdidas del instrumento. ro: Resistencia del núcleo.

Vn: Tensión nominal de alimentación. xo: Reactancia del núcleo.

ie: Componente de pérdidas de la

corriente de vacío.

• Ensayo en cortocircuito:

Figura 9. Diagrama de conexión para el ensayo en cortocircuito

Este ensayo permite determinar las pérdidas inherentes al efecto Joule en los

devanados y los parámetros de corto del transformador.

Para realizarlo se alimenta el transformador a tensión reducida por el lado de

alta tensión dejando los terminales del lado de baja tensión cortocircuitados, Fig. 9,

de tal manera que por ellos circule la aproximadamente la corriente nominal, al no

haber potencia de salida, toda la potencia de entrada se transforma en pérdidas. Si se

representa este ensayo mediante el circuito de la Fig. 10.

25

Figura 10. Circuito equivalente del ensayo en cortocircuito

Se obtienen las expresiones:

22 iccWiW

iccWccre −

== (1.48)

iccVccze = (1.49)

22 rezexe −= (1.50)

Donde:

Wcc: Representa las pérdidas Joule. re: Resistencia equivalente de los

devanados.

Vcc: Tensión reducida de alimentación. xe: Reactancia equivalente de los

devanados.

icc: Corriente de cortocircuito.

3.-INVERSORES PWM

Básicamente la función esencial de estos circuitos electrónicos es convertir un

voltaje DC de entrada a un voltaje AC simétrico de salida, es decir, transferir

potencial desde una fuente contínua a una carga alterna libre de contenido de

armónico, que sea capaz de ajustarse a la magnitud y frecuencia deseada, pudiendo

26

ser estas magnitudes fijas o variables, dependiendo de su característica de

controlabilidad, en otras palabras, el objetivo primordial es crear una tensión alterna

cuando sólo hay disponible una fuente de tensión contínua. Es utilizado en

aplicaciones industriales tales como: motores de inducción de velocidad ajustable,

propulsión de motores de AC de velocidad variable, calefacción por inducción,

fuentes de poder, alimentaciones interrumpidas de potencia, entre otros.

Por lo general en este tipo de sistemas la tensión contínua de entrada es de

magnitud fija y no controlable, pero existe una forma de variar los niveles de tensión

a la salida, variando la ganancia del inversor controlándolo por técnicas de

modulación del ancho de pulso PWM (Pulse Width Modulation) dentro del circuito

inversor, que no es más que la relación existente entre el voltaje de salida en AC y el

voltaje de entrada en DC. En el estudio de la electrónica de potencia es común

encontrar los inversores a base de tiristores donde la conmutación es forzada (modo

controlado) y no de la forma natural (modo no controlado) como lo hacen los

rectificadores [8].

Los inversores al igual que los convertidores controlados están constituidos

por elementos semiconductores tales como: BJT, MOSFET, IGBT, GTO, entre otros.

En el caso a desarrollar se utilizará IGBT ya que tienen la ventaja de conmutar a gran

velocidad y a alta potencia, convirtiéndose en los preferidos para construir inversores

PWM.

3.1.-Circuitos Inversores Monofásicos

Los inversores se clasifican en monofásicos y trifásicos, pero se introducirá

sólo el primero de ellos debido a las condiciones del modelo a desarrollar.

3.1.1.-Inversor Monofásico en Puente

Básicamente esta conformado por 4 semiconductores, tal y como se muestra

en la Fig.11. Cuando Q1 y Q2 se activan, el voltaje de entrada aparecerá en la carga,

aprovechando de esta forma toda la tensión suministrada por la fuente. Cuando Q3 y

Q4 se activan el voltaje a través de la carga se invierte. Quedando sobreentendido que

27

las ramas Q1 y Q4, Q3 y Q2 no deberían estar activadas al mismo tiempo, de esta

manera habría un cortocircuito en la fuente de entrada continua.

Los conmutadores deben bloquear una polaridad de la tensión, pero deben ser

capaces de conducir en ambos sentidos de la corriente, mediante un diodo que

conduzca la corriente inversa, teniendo especial cuidado en los tiempos de transición

de la conmutación ya que el solapamiento de estos tiempos resultaría en un

cortocircuito.

La expresión del voltaje RMS a la salida del circuito se representa por: 212

0

22//To

dt*Vcc*To

Vorms

= ∫ (3.9)

Mientras que la expresión de la tensión instantánea de salida será:

)nwt(sen**nVcc*Vo

...,,∑∞

=531

4π

(3.10)

Figura. 11. Circuito inversor monofásico en puente

3.2.-Técnicas Básicas PWM para el Control de Tensión en los Inversores

En ciertas aplicaciones industriales se hace necesario controlar la tensión de

salida de los inversores, para hacer frente a las variaciones de la fuente de entrada,

fluctuaciones en la carga, requisitos de control de voltaje y frecuencia constante. Para

corregir dichas dificultades existe una gran diversidad de métodos, pero el más

eficiente es el PWM, ya que permite variar la ganancia y la tensión de salida,

28

también se puede decir que el PWM reduce significativamente la necesidad de filtraje

para disminuir los armónicos y el control de la amplitud de salida, no obstante los

circuitos de control de los interruptores son más complejos y producen mayores

pérdidas en el proceso de conmutación.

En el sistema de control de los interruptores es necesario, para la salida

sinusoidal PWM en forma alterna, una señal de referencia (en la mayoría de los

métodos es de forma sinusoidal), llamada a veces señal de control o moduladora; y

una señal portadora (en la mayoría de los métodos es de forma triangular) que es una

onda que controla la frecuencia de conmutación.

A continuación vamos a analizar los esquemas de conmutación bipolar y

unipolar.

3.2.1.-Tipos de Conmutación

• Conmutación Bipolar: Este tipo de esquema como el mostrado en la Fig.12

permite a la salida tomar valores alternos entre mas y menos la tensión de la

fuente continua a la entrada del sistema.

Figura 12. Esquema de conmutación bipolar

• Conmutación Unipolar: Este tipo de esquema como el mostrado en la Fig.

13, la salida del circuito se conmuta de un nivel alto a cero, o de un nivel bajo

a cero

29

Figura 13. Esquema de conmutación unipolar

En la mayoría de los casos se utilizan los sistemas PWM en el modo de

operación bipolar, y por consiguiente las simulaciones tendrán estas mismas

características.

3.3.-Modulación Senoidal de Ancho de Pulso

Esta modulación, mejor conocida como SPWM, tiene la particularidad de que

cada ancho de pulso varía en función de la amplitud Ar de una onda sinusoidal de

referencia que se compara con una onda portadora triangular generalmente de

amplitud Ap unitaria, mostrada en la Fig.14, estableciendo de esta forma la frecuencia

de la señal de salida y controlando el índice de modulación M, es decir, la tensión

RMS de salida se puede modificar si se varia este parámetro, logrando de esta manera

un factor de distorsión bajo y una reducción de las armónicas de menor orden.

El número de pulsos por cada semiciclo depende de la frecuencia fp de la onda

portadora de forma triangular. Si δm es el ancho del pulso enésimo, la expresión para

el voltaje RMS de salida será:

21

1

/p

m

m*VccVo

= ∑

= πδ

(3.11)

30

Figura 14. Modulación senoidal de ancho de pulso

Figura 15. Pulso de disparo de uno de los IGBT

Para los Fig.14 y 15 se utilizó un índice de modulación M=0.8, número de

pulsos por semiciclo P=5 y F=60 Hz.

31

CAPÍTULO II HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES USADAS EN EL MODELADO

1.-DESCRIPCIÓN DEL PAQUETE MATLAB 7.2

El nombre de MATLAB proviene de la contracción de los términos MATrix

LABoratory (Laboratorio de Matrices) y fue inicialmente concebido para

proporcionar fácil acceso a las librerías LINPACK y EISPACK, las cuales hoy en día

han sido reestructuradas por LAPACK mediante la integración de algoritmos en un

solo paquete, alcanzando mayor eficacia y consolidándose como la librería más

importante en computación y cálculo matricial.

MATLAB es un sistema interactivo cuyo elemento básico de datos es una

matriz que no requiere dimensionamiento. Esto permite resolver muchos problemas

numéricos en una fracción del tiempo que llevaría hacerlo en lenguajes como C,

BASIC ó FORTRAN.

MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones

totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren

implicados elevados cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los mismos.

MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y

visualización gráfica,

En los medios universitarios y en el mundo industrial MATLAB es

aprovechado en áreas de investigación relacionadas con la aplicación de modelos

matemáticos complejos, estadística, ingeniería de control, álgebra lineal, proceso

digital de imágenes y señales entre otros.

1.2.-Categorías del Comando Ayuda en MATLAB

Algunas de las rutinas de MATLAB están implementadas en ficheros.m, los

cuales se agrupan en 20 directorios, cada uno contiene los ficheros asociados con esa

categoría. El comando de ayuda muestra la siguiente tabla de categorías:

• Color: Funciones de control de color y modelo de iluminación.

• Datafun: Análisis de datos y transformada de Fourier.

32

• Demos: Demostraciones y ejemplos.

• Elfun: Funciones matemáticas elementales.

• Elmat: Matrices elementales y manipulación de matrices.

• Funfun: Funciones de funciones (métodos numéricos no lineales).

• General: Comandos de propósito general.

• Graphics: Funciones gráficas de propósito general.

• Iofun: Funciones de E/S de ficheros de bajo nivel.

• Lang: Construcciones de lenguaje y depuración.

• Matfun: Funciones matriciales (álgebra lineal numérica).

• Ops: Operadores y caracteres especiales.

• Plotxy: Gráficos bidimensionales.

• Plotyxyz: Gráficos tridimensionales.

• Polyfun: Funciones polinomiales y de interpolación.

• Sparfun: Funciones de matrices dispersas (sparse).

• Specfun: Funciones matemáticas especializadas.

• Specmat: Matrices especializadas.

• Sounds: Funciones de procesamiento de sonidos.

• Strfun: Funciones de cadenas de caracteres.

2.-DESCRIPCIÓN DEL SUBPAQUETE SIMULINK

SIMULINK es un paquete de Software que se ejecuta sobre MATLAB para

modelar, simular y analizar sistemas dinámicos. Ambos programas están

desarrollados y comercializados por The MathWorks Inc. SIMULINK es soportado en

sistemas Windows, Unix o Macintosh.

SIMULINK puede simular modelos continuos, discretos o híbridos de ambos

a través de ecuaciones diferenciales, además de sistemas lineales, no lineales y

multifrecuencia.

Posee una interfaz de usuario gráfica (GUI), con diagramas de bloques para

construir los modelos utilizando operaciones con el ratón del tipo pulsar y arrastrar.

33

Una vez construidos los diagramas de bloques, podemos ejecutar simulaciones y

analizar los resultados también de forma gráfica.

2.1.-Fases de Simulación

SIMULINK tiene dos fases, definición y análisis del modelo. La definición del

modelo consiste en construirlo a partir de elementos básicos creados previamente, tal

como, integradores, bloques de ganancia, entre otros. El análisis del modelo significa

realizar la simulación, linealización y determinación del punto de equilibrio de un

modelo previamente definido.

2.2.-Biblioteca de Bloques

En SIMULINK podemos encontrar una amplia biblioteca de bloques. Además

de poder personalizar y crear nuestros propios bloques.

Los modelos son jerárquicos, de forma que podemos ver un sistema desde un

nivel superior y entrando en los bloques podemos ir descendiendo a través de los

niveles para ver con más detalle el modelo. Las librerías principales de SIMULINK

son:

• Continue: Elementos y conexiones para sistemas lineales y en tiempo

continúo, además de funciones de transferencia y retardos.

• Descontinuities: Operadores no lineales, especialmente con diferentes tipos

de saturación.

• Discrete: Elementos de sistemas lineales y en tiempo discreto (funciones de

transferencia, diagramas de espacio-estado).

• Lógica and bit operations: Permiten realizar múltiples operaciones lógicas y

del tipo binario.

• Look-up tables: Contiene bloques que permiten graficar funciones hasta n-

dimensiones con arreglos de datos del mismo tamaño.

• Math operations: En el se encuentran múltiples elementos para operaciones

matemáticas tanto reales como complejas.

34

• Model verification: Estos bloques son utilizados para la verificación y

supervisión de señales permitiendo afirmar cuando la señal sale del límite

especificado, pudiendo hasta llegar a detener la simulación.

• Ports & subsystems: Se pueden encontrar bloques que contribuyen a la

reducción de los diagramas mediante la reducción jerárquica a través de

subsistemas.

• Signal atributes: Chequea y termina la simulación con un error cuando las

características de la entrada se diferencian a las especificadas en el bloque.

• Signal routing: En esta sección se encuentran multiplexores, demultiplexores

interruptores y buses.

• Sinks: Contiene los dispositivos para crear salidas a subsistemas y para

visualización grafica.

• Sources: Se utiliza para generar casi todo tipo de señales.

• User-defined functions: Permite crear funciones matemáticas, además de

encontrar una cantidad importante de librerías en áreas especializadas como

telecomunicaciones, control, sistemas eléctricos e ingeniería mecánica entre

otros.

• Additional math & discrete: Engloba las funciones que permiten incorporar

sistemas de retardo, incrementos y decrementos.

• Commonly used blocks: Agrupa los bloques más usados entre todas las

librerías mencionadas anteriormente.

2.3.-Simulación de un Modelo desde SIMULINK

Después de definir un modelo, se puede simular desde el menú de órdenes de

SIMULINK con la ventaja de observar la ejecución de los resultados de la simulación

mediante los bloques de visualización. Además, los resultados de la simulación se

pueden transferir al espacio de trabajo de MATLAB para su posterior tratamiento.

Si se selecciona el menú de Simulation Parameters aparece el siguiente

cuadro de diálogo:

35

Figura 16. Cuadro de diálogo para controlar los parámetros de simulación

Dentro de este cuadro se observan varias opciones en la que solo se explicarán

las primeras tres, debido a su nivel de utilización. La pestaña Solver se ocupa de

todo lo que se refiere al método de resolución. La segunda es Data Import/Export se

refiere a las entradas y salidas del espacio de trabajo. La tercera Diagnostics permite

seleccionar el nivel de los mensajes de advertencia mostrados durante la simulación.

2.3.1.-Opciones para Solución (Solver)

La pestaña Solver admite modificar los siguientes parámetros: tiempo de

simulación, método de integración, tamaño de pasos máximo y mínimo, márgenes de

error (tolerancia relativa y absoluta), y opciones de salida.

a.-Tiempo de Simulación

Los parámetros Start time y Stop time especifican los valores de tiempo en los

que la simulación comienza y termina. El tiempo de simulación no es tiempo real, es

36

decir, el verdadero tiempo empleado en una simulación no es la diferencia entre el

tiempo de inicio y de finalización, sino que dependerá de la complejidad del modelo,

de los tamaños de paso mínimo y máximo, y del ordenador con el que ejecute la

simulación.

b.-Método de Integración (Solver Options)

Es el método matemático que utiliza SIMULINK para realizar la simulación

de modelos. Se hace a través de modificaciones de ecuaciones diferenciales

ordinarias (ODEs). Debido al comportamiento de los distintos sistemas dinámicos,

algunos métodos pueden ser más eficientes que otros, según el sistema de que se

trate.

Se escoge entre métodos de paso variable (Variable-step) o de paso fijo

(Fixed-step). Los métodos de paso variable permiten modificar el tamaño del paso

durante la simulación, mientras que los de paso fijo mantienen el mismo paso durante

toda la simulación.

Los métodos de paso variable son:

• ode45: Es un método de un solo paso, es decir, para averiguar un punto, sólo

se basa en el calculado anteriormente. En general, es el método más apropiado

para solucionar la mayoría de los problemas. Está basado en una fórmula

explícita de Runge-Kutta.

• ode23: Puede ser más eficiente que el método ode45 para altas tolerancias, ó

en presencia de sistemas stiff suaves (Los sistemas stiff son aquellos en que

coexisten dinámicas lentas y rápidas, y éstas últimas alcanzan su estado

estacionario). Un método apropiado para un sistema stiff es capaz de tomar

grandes pasos de integración e ignorar las partes del sistema cuya respuesta ha

alcanzado ya el estado estacionario. Está basado en la fórmula explícita de

Runge-Kutta.

• ode113: Puede ser más eficaz que el método ode45 para tolerancias ajustadas.

Es un método multipaso, es decir, necesita conocer de varios puntos anteriores

37

para calcular la solución. Este es el método variable de Adams-Bachforth-

Moulton.

• ode15s: Como los métodos ode45 y ode113, es un método de varios pasos. Se

puede usar cuando nos encontramos con un sistema stiff, o cuando el método

ode45 no es lo suficientemente eficaz. Es un método de orden variable basado

en las fórmulas de diferenciación numérica (NDFs).

• ode23s: Es un método de un solo paso, por lo que puede ser más eficaz que el

método ode15s para altas tolerancias. Puede resolver varias clases de sistemas

stiff más eficazmente que el método ode15s. Está basado en la fórmula

modificada de Rosenbrock de orden 2.

• ode23t: Pone en practica la regla trapezoidal usando una libre interpolación.

• ode23tb: Es una puesta en practica de TR-BDF2, una formula implícita de

Runge-Kutta con una primera etapa que es una regla de paso trapezoidal y

una segunda etapa que es una fórmula posterior de la diferenciación de

segundo orden.

• discrete: Es el método que usa SIMULINK cuando detecta que el modelo no

tiene estados continuos.

Los métodos de paso fijo que podemos usar son:

• ode5: Es la versión de paso fijo del método ode45 (fórmula de Dormand-

Prince).

• ode4: Es la fórmula de Runge-Kutta de orden 4.

• ode3: Es la versión de paso fijo del método ode23 (fórmula de Bogacki-

Shampine).

• ode2: Es el método de Heun, también conocido como fórmula mejorada de

Euler.

• ode1: Método de Euler.

• discrete: Es un método de paso fijo que funciona sin integrar. Esta indicado

para modelos sin estados continuos.

38

c.-Tamaños de Paso Máximo y Mínimo

En los sistemas de paso variable podemos fijar el tamaño de paso máximo y

sugerir el tamaño de paso mínimo. En los sistemas de paso fijo, podemos fijar el

tamaño de paso.

• Tamaño de paso máximo (Fax Step Size): Es el mayor tiempo de paso

que utiliza el método de resolución. Por defecto, viene determinado por los

tiempos de inicio y de finalización. Generalmente, el valor del paso

máximo que SIMULINK toma por defecto es suficiente.

• Tamaño de paso mínimo (Min Step Size): Por defecto, el método de

resolución fija el tamaño de paso inicial en relación con el tiempo de inicio

de la simulación. Si se fija el tamaño de paso mínimo, pero no se cumple

el error mínimo, SIMULINK reduce el tamaño de paso mínimo.

d.-Margen de Error

Controla en la simulación el error en cada estado. Esto se mide en la tolerancia

relativa y absoluta:

• Tolerancia relativa (Relative tolerance): Mide el error relativo de cada

estado. La tolerancia relativa representa un porcentaje del valor de cada

estado. Por defecto, la tolerancia relativa está establecida en 1e-3. Esto

significa que el valor tendrá una exactitud del 0.1%.

• Tolerancia absoluta (Absolute tolerance): Es el valor del umbral de

error. Representa como error aceptable el valor de la medida del estado

más próximo a cero.

e.-Opciones de Salida

Mediante las opciones de salida se controla cuántos puntos de salida se quiere

que genere la simulación. Las opciones que ofrece el menú emergente son:

39

• Salidas adicionales (Produce aditional outputs): Esta opción permite

especificar directamente los tiempos adicionales en los que se pretende

generar puntos de salida. Al igual que con el factor de refinamiento, con

esta opción no cambia el tamaño de paso.

• Solo salidas especificadas (Produce specified outputs only): Con esta

opción sólo se obtiene en la simulación los puntos en los tiempos

especificados. El tamaño de paso no se ve afectado. Esta opción es útil

cuando comparamos diferentes simulaciones, para ver las salidas de cada

sistema en el mismo instante de tiempo.

2.3.2.-Data Import/Export

Las secciones son las siguientes:

a.-Carga del Espacio de Trabajo (Load From Workspace)

En el modelo, se pueden usar bloques import que representen entradas del

exterior del sistema. Para especificar una entrada externa, marcamos el cuadro Input

dentro del área Load from workspace. Las entradas externas pueden ser especificadas

de dos formas: mediante cualquier comando de MATLAB expresado en función del

tiempo de simulación, o como una matriz que proporciona valores de entrada para

todos los bloques Import

.

• Mediante comandos de MATLAB: Especificando el comando como una

cadena de caracteres. Para cada instante de tiempo de la simulación,

MATLAB evalúa la cadena y proporciona la entrada. Podemos especificar

más de una entrada, separándolas con una coma.

• Mediante una matriz de tiempo y valores de entrada: La primera

columna será un vector de tiempos en orden ascendente, y las restantes

serán los valores de entrada, donde cada columna representa la entrada

para un bloque Input en orden secuencial, y cada fila es el valor de entrada

en cada instante de tiempo.

40

En esta sección también se encuentran las condiciones iniciales de que parte el

sistema al comenzar una simulación, indicados en los bloques. Sin embargo, podemos

anular estas condiciones especificándolas en esta área del cuadro de diálogo. Para

cargar estados ya existentes seleccionamos el cuadro de Initial state, y especificamos

el vector de estado en el campo adyacente.

b.-Guardar el espacio de trabajo (Save to Workspace)

Como variables de retorno a guardar, se pueden seleccionar cuatro: el tiempo,

los estados, la salida ó el estado final. Se escoge marcándolo en su cuadro de

selección. SIMULINK escribirá valores en el espacio de trabajo para estas variables

de retorno. También podemos asignar valores a variables diferentes, especificando el

nombre de la variable a la derecha de los cuadros de selección. Si se quiere escribir

las salidas para más de una variable, se especifican los nombres de las mismas

separados por una coma.

El recuadro States permite establecer los estados de un sistema, guardar los

estados finales de una simulación y aplicarlos a otra; mientras que para guardar el

valor de los estados al final de la simulación, seleccionamos el cuadro Final state e

introducimos una variable en el campo de edición.

c.-Opciones para Guardar (Save Options)

Se tiene la opción de restringir la cantidad de salidas a guardar, limitando el

número de filas. Para ello, en la casilla Limit data points to last escribiendo el número

de filas a guardar. También se puede aplicar un factor de decimación, especificándolo

en el cuadro decimation.

d.-Refinamiento Salidas (Refine Output)

El refinamiento de la salida proporciona puntos adicionales cuando la salida

no es lo suficientemente exacta. Por ejemplo, un factor de refinamiento Factor Refine

41

igual a 2 proporciona puntos de salida en el intermedio de los pasos de tiempo,

además de en los pasos. El factor de refinamiento por defecto es uno.

2.2.3.-Diagnósticos (Diagnostics)

En esta pestaña se especifica la acción que se quiere realice SIMULINK

cuando se encuentre con cualquiera de los eventos especificados. Para cada tipo de

evento, se puede elegir entre que no aparezca ningún mensaje, que aparezca un

mensaje de advertencia, o que aparezca un mensaje de error. La diferencia entre estos

dos tipos de mensaje es que el mensaje de advertencia no finaliza la simulación,

mientras que el de error sí lo hace.

3.-CAUSAS DE LENTITUD DE LA SIMULACIÓN

La velocidad de simulación puede verse afectada debido a:

• Inclusión de bloques Fcn, archivos.m ó una S-función: Cuando estos

bloques o archivos aparecen en un modelo, el intérprete de MATLAB es

llamado en cada paso de tiempo, haciendo la simulación mucho más lenta.

• Uso de un bloque Memory. Estos bloques causan que los métodos de

resolución de orden variable (ode15s y ode113) vuelvan al orden 1 en cada

paso de tiempo.

• Tamaño de paso máximo sea demasiado pequeño. Si ocurre esto, la

simulación seria muy lenta, aunque la resolución de la señal sería excelente,

es importante manejar una adecuada relación entre velocidad y resolución.

• Tiempo de simulación muy grande. Obviamente tardaría mucho tiempo y

por tanto se sugiere reducirlo.

• Posibilidad de que el sistema sea stiff y no estemos usando un método

adecuado. Se recomienda usar el método ode15s.

• Utilización de tiempos de muestreo que no sean múltiplos de los otros.

Esto provoca que se tomen pasos muy pequeños para poder cumplir el tiempo

de muestreo.

42

• Presencia de lazos algebraicos. Las soluciones a estos lazos son calculadas

iterativamente en cada paso. Por eso, empeora mucho la ejecución de la

simulación.

• Alimentación por parte del modelo de bloques Random Number de un

Integrador. Para sistemas continuos, es mejor usar bloques de ruido blando

limitado en banda (Band-Limited White Noise), de la librería de fuentes.

4.-DOCUMENTACIÓN DE MATLAB y SIMULINK

La documentación de MATLAB incluye ayuda en línea y manuales impresos:

• MATLAB USER'S GUIDE: Contiene aspectos específicos de la plataforma

acerca de su uso y un tutorial con las funcionalidades básicas de MATLAB.

• MATLAB REFERENCE GUIDE: Compendio alfabético de todos los

comandos de MATLAB.

• EXTERNAL INTERFACE GUIDE: Describe los interfaces externos de

MATLAB, incluyendo la importación y exportación de datos, librerías

FORTRAN y C para enlazamiento dinámico, lectura y escritura de ficheros y

llamada a MATLAB como motor de cálculo.

• INSTALLATION GUIDE: Describe cómo instalar MATLAB.

• ONLINE HELP: La ayuda en línea del programa y las demos proporcionan

información acerca de los comandos de MATLAB y muestran algunas de sus

características.

• AYUDA EN INTERNET: En la red se puede encontrar una gran variedad de

sitios con información abundante sobre MATLAB. Desde la página web de la

propia casa The MathWorks Inc, y sus enlaces directos con MATLAB

CENTRAL donde se pueden encontrar tutórales, ayudas, foros, entre otros.

43

CAPÍTULO III MODELADO, SIMULACIONES Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

1.-TRANSFORMADOR MONOFÁSICO LINEAL DE DOS DEVANADOS CON ALIMENTACIÓN SINUSOIDAL

1.1.-Condiciones para el Modelo

La Fig. 17 presenta las ecuaciones que definen el comportamiento del

transformador, además la propuesta de interrelación entre ellas para obtener las

salidas requeridas en función de una sola variable de entrada V1.

Figura 17. Flujo de variables para el modelo lineal del transformador monofásico de

dos devanados

44

En la Fig. 17 también se observa una sección de diagrama (Ecuación de Tabla

1) para escoger entre un grupo de ecuaciones que permitirán introducir la carga. Las

ecuaciones desarrolladas en la sección 2 del Capitulo I que permiten modelar el

transformador se resumen en la Tabla 2 para facilitar la comprensión del diagrama

mostrado en la Fig. 17.

Tabla 2. Ecuaciones que describen el modelo lineal

Ecuación Número de identificación

ìiim 21 += (1.32)

mmm x*i=ϕ (1.33)

ml i*x*b ϕλωϕ +== 1111 (1.34)

ml ì`*x`*b` ϕλωϕ +== 2222(1.35)

dt)m(d*

bem

ϕω1

= (1.39)

ml edtdi*Le += 1

11 (1.40)

ml edt

`di`*Lè += 2

22 (1.41)

1111 * eriV += (1.42)

```*` 2222 eriV += (1.43)

Para la simulación se requieren los parámetros propios, por ello se realizarón

ensayos de laboratorio a un transformador con datos de placa 120/120 V, 0.5 A y 60

Hz, obteniéndose los medidas mostradas en la Tabla 2. El transformador antes

mencionado fue utilizado debido a su completa disponibilidad y que en el ambiente

experimental se cuenta con equipos necesarios para los diferentes ensayos y pruebas,

además de darnos la posibilidad de verificar el modelo matemático propuesto.

.

45

Tabla 3. Mediciones obtenidas en los ensayos realizados al transformador

Siguiendo los diagramas y ecuaciones de la sección 2.3.2 del Capitulo I, se

calcularón los parámetros de la Tabla 3.

Tabla 4. Parámetros del transformador

En las ecuaciones desarrolladas en la sección 2.2 no se utiliza ro ya que no se

consideran las pérdidas del núcleo, por tanto esta variable no se tomará en cuenta.

Generalmente xo es mucho mayor que las reactancias de los devanados, esta

característica observada en la Tabla 4 origina una corriente de magnetización muy

pequeña que admite desplazar la rama vertical de la Fig. 6 hacia la entrada del

circuito, resultando la disposición en serie de las impedancias de los devanados

planteadas en las ecuaciones (3.1) y (3.2).

`* 21

2

1

221 rr

NNrrre +=

+= (3.1)

`xlxlNN*xlxlxe 21

2

1

221 +=

+= (3.2)

A partir de los valores equivalentes presentados en la tabla 3, obtenidos a

partir de una relación de transformación unitaria, y respaldados a través de las

Ensayo en vacío Ensayo de cortocircuito

Vn = 120.5 V Vcc = 13.7 V

io = 68 mA icc=0.5 A

W=4.8 W W=4.2 W

Wi=2.6 W Wi=0 W

Ensayo en vacío Ensayo de cortocircuito

ro = 6590 Ω re = 16.53 Ω

xo = 1997.01 Ω xe = 21.58 Ω

46

ecuaciones (3.1) y (3.2) resulta r1 = r2` = 8.265 Ω y xl1 = xl2` = 10.79 Ω.

1.2.-Diagrama de Bloques para el Modelo

En la Fig. 18 se muestran las variables que además de la corriente de

magnetización y la tensión inducida en el núcleo detallan el comportamiento del

transformador que permitirán definir el modelo a desarrollar, además de evidenciarse

su versatilidad ya que con solo una tensión de entrada y sin importar el tipo de carga a

conectar, se pueden obtener tanto las variables generalmente medible en los

terminales ( 1i , 2i , 2V ) como las que describen los fenómenos internos implícitos en el

transformador ( me , mi , mφ , 1e , 1φ , 2e y 2φ ).

Figura 18. Variables que definen el transformador

En la Fig. 19 se identifican plenamente los diferentes módulos y subsistemas

en el modelo de simulación del transformador.

En la ayuda del MATLAB 7.21 se sustenta la discretización del sistema de la

Fig. 19 debido a los múltiples lazos algebraicos entre las ecuaciones diferenciales que

describen la modelo, dicha discretización además debe complementarse con un paso

fijo de simulación. Al introducir más adelante la alimentación SPWM se justifica con

mayor propiedad la simulación en las condiciones antes mencionadas ya que se

1 Simulation discretized electrical system - Improving simulation performance.

47

emplean sistemas de conmutación a base de IGBT que agudizan los problemas de

lazos algebraicos.

Figura 19. Modelo de simulación del transformador monofásico de dos devanados ante

alimentación sinusoidal

Figura 20. Modelo matemático del transformador monofásico de dos devanados

48

Figura 21. Subsistema correspondiente al primer devanado

El subsistema correspondiente al modelo matemático se presenta en la Fig. 20,

donde se pueden distinguir ambos devanados y el núcleo siguiendo el diagrama de la

Fig. 17. Es de mencionar que la tensión representativa de los flujos es identificada en

el modelo de simulink con F en vez de ϕ .

Figura 22. Subsistema correspondiente al núcleo en ausencia de saturación

Al seguir entrando a los subsistemas se puede entender mejor el desarrollo del

modelo, tal como se observa en las Fig. 21, 22 y 23, además dentro de estos

subsistemas se presentan otros que definen en forma puntual ecuaciones base para el

modelo.

49

Figura 23. Subsistema correspondiente al segundo devanado

Figura 24. Parámetros de entrada del transformador en el modelo lineal

50

El bloque correspondiente a la introducción de parámetros se muestra

desarrollado en la Fig. 24, donde se puede encontrar como parámetro del núcleo a la

inductancia mutua ya que en este caso se pretende modelar el transformador lineal.

Figura 25. Bloque para la medición de variables

La medición de variables se realiza mediante los diagramas mostrados en la

Fig. 25 aprovechando la visualización grafica administrada por SIMULINK,

51

estableciéndose también pequeños subsistemas para la medición de armónicos y

valores de voltaje y corriente RMS.

3.1.3.-Simulación para una Carga Resistiva

En este caso se establecierón las condiciones nominales del transformador,

incluyendo la carga, es decir, 240 Ω. Se escogierón debido a su importancia las

curvas mostradas en las Fig. 26, 27 y 28.

Figura 26. Corrientes terminales para 60 Hz en el modelo lineal con alimentación sinusoidal

Figura 27. Voltajes terminales para 60 Hz en el modelo lineal con alimentación

sinusoidal

52

La similitud en la amplitud de las corrientes mostradas en la Fig. 26 se ve

reflejado en los valores eficaces, 0.470 y 0.463 A para el primario y el secundario

respectivamente, aunque con un defasaje de 180 º entre dichas corrientes debido al

sentido asumido para la corriente del segundo devanado presentado en el diagrama de

la Fig. 6.

En la Fig. 27 se observa la similitud entre los voltajes terminales, creando

tensiones eficaces (RMS) de 120 voltios para el primario y una disminución de 7.32

% para el secundario.

Figura 28. Variables inducidas en el secundario para 60 Hz en el modelo lineal con


En la Fig. 28 se evidencia el defasaje de 90 º entre la tensión inducida 2e y el

flujo representado a través del voltaje 2ϕ , manteniéndose este comportamiento para

el núcleo.

2.-TRANSFORMADOR MONOFÁSICO SATURABLE DE DOS DEVANADOS CON ALIMENTACIÓN SINUSOIDAL

2.1.-Incorporación de la Saturación en la Simulación del Transformador

La saturación del núcleo afecta principalmente a la inductancia mutua y en

forma menos importante a las inductancias de enlace.

53

El comportamiento de la saturación del núcleo puede ser determinado por la

curva de magnetización a circuito abierto, semejante a la observada en la Fig. 29a,

obtenida al graficar los valores medidos de tensión y corriente en el primario

cuando el terminal secundario esta abierto. Con las pérdidas del núcleo

despreciadas la corriente sin carga es la misma de magnetización.

Al circular corriente en el primario a circuito abierto, el voltaje que se crea a

través de la impedancia serie r1+ jωb*Ll1 es insignificante, en el secundario la

corriente será cero y de esta manera V1 ≈ em ≈ im*xm, considerando que cuando la

excitación es sinusoidal, los valores eficaces de em y φm son aproximadamante

iguales [7].

(a) Curva a circuito abierto (b) Relación entre flujo mutuo saturado y no saturado Figura 29. Características para la saturación

El grado de saturación puede ser expresado por un factor de saturación, el cual

es definido como:

)()(

insatmsatmks

ϕϕ

= ó )()(

satiminsatimks = k<1 (3.3)

La Fig. 29b permite denotar la diferencia entre los valores saturados y no

saturados del flujo mutuo por medio de ϕ∆ de la siguiente manera [07]:

ϕϕϕ ∆+= )()( satminsatm (3.4)

54

El valor de ∆φ se aproximará mediante funciones analíticas simples para los

rangos apropiados de ∆φ y φm(sat), en el que se utilizaran las ecuaciones (3.5) y

(3.6) para aproximar el efecto en el primer y tercer cuadrante.

)c)sat(m(*

fb

e*fa −

=∆ϕ

ϕ 1 (3.5)

)c)sat(m(*

fb

e*fa −−

−=∆ϕ

ϕ 3 (3.6)

Sumando y manipulando las ecuaciones (3.5) y (3.6) se obtiene,

2*))sat(m*fb(senh*e*

fa c*

fb

ϕϕ−

=∆ (3.7)

Donde a, b y c permite manipular los rangos de variación de la ecuación (3.7)

y en el que el grado de sensibilidad grafico se representa por b>a>c. Además f es la

frecuencia en Hertz aplicada al sistema, esta variable permitirá simular los cambios

en las magnitudes y formas de la corriente magnetizante y el y flujo mutuo,

características propias que describen el comportamiento del núcleo del transformador.

La Fig. 30 muestra el comportamiento de la ecuación (3.7) ante un flujo mutuo

de )**(sen** 6022120 π y asignaciones de 41 == b,a y c=10.

Figura 30. Curva de aproximación para la saturación del flujo mutuo

55

Para introducir la saturación dentro del modelo se cambia la ecuación (1.33)

por:

ϕϕ ∆−= iminsatxmsatm *)()( (3.8)

En la Fig. 30 se muestra la interrelación de ecuaciones que describen el

modelo matemático de transformador para el caso en que satura el núcleo, se puede

detallar que en relación al diagrama de la Fig. 17 se han agregado las ecuaciones 3.7

y 3.8 en lugar de la ecuación 1.33. Este cambio origina obviamente una variación en

el diagrama de bloques, los cuales son presentados en las Fig. 31 y 32

Figura 31. Flujo de variables para el modelo saturable del transformador monofásico de

dos devanados

56

La ecuación 3.7 que permite aproximar la saturación del núcleo esta

representada en la Fig. 32, mientras que los parámetros (a, b y c) se deben agregar al

bloque observado en la Fig. 24 en la sección correspondiente al núcleo.

Figura 32. Subsistema correspondiente al núcleo en presencia de la saturación

2.2.-Validación del Modelo

Se realizarón pruebas de laboratorio con la finalidad de ajustar el modelo a las

condiciones reales; el circuito de montaje mostrado en la Fig. 33 permite un rango de

variación entre 1 y 120 Hz, obteniéndose en las Fig. 34 y 35 las características más

importantes que rigen la saturación del núcleo. Para dicha prueba se alimentó con

aproximadamente 98.05 V eficaces, ya que este fue el valor máximo permitido por el

variador de velocidad para 120 Hz.

Las graficas correspondientes fuerón obtenidas mediante un osciloscopio con

memoria, transferidas a EXCEL mediante un discket y posteriormente llevadas a

MATLAB 7.2.

57

Figura 33. Diagrama de conexión de los experimentos realizados

Aunque las curvas de las Fig. 34 y 35, no están presentadas en las mismas

condiciones, muestran una tendencia de comportamiento análogo.

Figura 34. Curva de vacío medida en el laboratorio para diferentes frecuencias

La aproximación realizada mediante la Fig. 36 permite obtener la curva de la

Fig. 35.

58

Figura 35. Curva de magnetización obtenida en el modelo saturable para diferentes frecuencias y alimentación sinusoidal

Figura 36. Curva de aproximación de la saturación para diferentes frecuencias y


El modelo implementado considera la saturación más no la histéresis del

núcleo, por ello entre las Fig. 37 y 38 aunque que se logró una importante

aproximación introduciendo 30.a = , b=2.4 y c=10 como parámetros característicos

de la curva de magnetización, todavía se presentan diferencias, sobre todo si se

59

detalla la asimetría de la Fig. 37, debida a la histéresis propia del núcleo del

transformador usado en el laboratorio. Los parámetros antes mencionados serán

utilizados en las simulaciones de aquí en adelante.

Figura 37. Corriente de vacío medida para diferentes frecuencias y alimentación sinusoidal

Figura 38. Corriente de vacío obtenida en el modelo saturable para diferentes

frecuencias y alimentación sinusoidal

60

Comparando las Fig. 39 y 40 se observa en la primera de ellas un mayor

contenido armónico, esto se debe a la distorsión adicional relacionada con la

histéresis mencionada en el análisis de las Fig. 37 y 38.

Figura 39. Componentes armónicas medidas de la corriente de vacío para

30 Hz y alimentación sinusoidal

La grafica de la Fig. 38 fue conseguida mediante la aplicación del bloque de

medición de armónicos (Fourier) de SIMULINK a la corriente obtenida

experimentalmente.

Figura 40. Componentes armónicas de la corriente de vacío para

30 Hz obtenidas a través del modelo saturable y alimentación sinusoidal

61

Tal como se muestra en las Fig. 38 y 41, al aumentar la tensión de

alimentación hasta el valor nominal del transformador se produce una mayor

deformación en la forma de onda de la corriente de vacío, ocasionando la elevación

de su valor pico en casi cuatro veces, mientras que al comparar las Fig. 40 y 42 el 3er

y 5to armónicos ascienden aproximadamente 100 % con respecto a sus

fundamentales, esto debido a que pequeños aumentos de tensión o flujo ocasionan

grandes variaciones en la corriente al estar en la región saturable

Figura 41. Corriente de magnetización para 30 Hz en condiciones nominales usando el modelo saturable y alimentación sinusoidal

Figura 42. Armónicos de la corriente de vacío para 30 Hz en

condiciones nominales usando el modelo saturable y alimentación sinusoidal

62

En la sección 2.3 del presente Capitulo se explicaran algunos conceptos y

propiedades de los armónicos para entender mejor el comportamiento anteriormente

mencionado.

En la Fig. 43 el defasaje entre el flujo y la tensión sigue siendo 90 º grados aun

cuando la condición de saturación esta presente en el núcleo.

Figura 43. Variables inducidas en el núcleo para 30 Hz en condiciones nominales

usando el modelo saturable y alimentación sinusoidal

2.3.-Armónicos

Los armónicos son distorsiones de las ondas sinusoidales de tensión y/o

corriente de los sistemas eléctricos, debido al uso de cargas con impedancia no lineal,

a materiales ferromagnéticos, y en general al uso de equipos que necesiten realizar

conmutaciones en su operación normal [2].

2.3.1.-Efectos Adversos de los Componentes Armónicos

La mayoría de los generadores y transformadores basan sus características de

operación en ondas de corriente y tensión no disturbadas de 60 Hz. Cuando las ondas

son ricas en armónicos originan daños al equipo llegando por lo general a un

acortamiento de la vida de servicio o un fallo completo del equipo, a continuación se

mencionan algunos de efectos adversos:

63

• Sobrecalentamiento en conductores y equipo eléctrico.

• Efectos de resonancia.

• Disparo de protecciones y fusibles.

• El aumento de pérdidas de potencia activa.

• Sobretensiones en los condensadores.

• Errores de medición.

• Daño en los aislamientos.

• Deterioro de dieléctricos.

3.2.4.-Simulaciones para Diferentes Tipos de Carga

Se desarrollarón simulaciones con varios tipos de carga usando las relaciones

entre el voltaje y la corriente del secundario de la Tabla 1.1, se fijo 240 Ω como su

impedancia nominal según los datos de placa.

Al detallar la Fig. 44 y 45, la carga capacitiva provoca un incremento en la

tensión de salida y en la corriente de magnetización, esto debido a que dicha carga

trata de contrarrestar el efecto inductivo del trasformador, agregando además un

importante aumento en la tercera componente armónica que afecta la pureza de la

onda.

Figura 44. Tensiones terminales para diferentes cargas a 30 Hz usando el modelo

saturable

64

Figura 45. Corriente de magnetización para diferentes tipos de

carga a 30 Hz usando el modelo saturable

Otro efecto de la carga capacitiva se puede observar en las Fig. 46 y 47, el

sistema trata de entrar en resonancia, sabiendo que la resonancia eléctrica se produce

en circuitos en el que existen elementos reactivos (inductancias y capacitancias)

cuando es recorrido por una corriente alterna de una frecuencia tal que la reactancia

se anule, en caso de estar en serie o se haga máxima si están en paralelo.

Figura 46. Corrientes del primario para diferentes cargas a 30 Hz usando el

modelo saturable

65

Las corrientes terminales muestran esta característica de deformación, creando

en el nivel más extremo una componente armónica de tercer orden cercana al 563.64

% respecto a la fundamental, esto en el caso de la corriente del primario para carga

capacitiva presentada en la Fig. 48.

Figura 47. Corrientes del secundario para diferentes cargas a 30 Hz usando el modelo

saturable

Figura 48. Armónicos de la corriente del primario para 30 Hz con carga capacitiva

usando el modelo saturable

66

3.-TRANSFORMADOR MONOFÁSICO SATURABLE DE DOS DEVANADOS CON ALIMENTACIÓN SPWM

3.1.-Simulaciones con Alimentación SPWM

Para la alimentación SPWM se utilizó el diagrama de la Fig. 49, el cual

sustituirá a la fuente sinusoidal de la Fig. 19.

Figura 49. Fuente SPWM-VSI

La generación de los pulsos de control de los IGBT fue desarrollada en código

de MATLAB debido a la complejidad de este tipo de señales y posteriormente

llevada a SIMULINK mediante el bloque S-Function representado por pwm3 [9].

3.1.1.-Simulaciones a diferentes frecuencias

Se simuló con M=0.8 y P=5 a diferentes frecuencias, con la finalidad de

analizar su comportamiento al alimentar el transformador con 120 voltios RMS para

la cual fuerón necesarios 185 voltios DC en la fuente correspondiente de la Fig. 49.

67

Figura 50. Curva de aproximación de la saturación para diferentes frecuencias y

alimentación SPWM

El comportamiento de las Fig. 50 y 51 al ser alimentado por SPWM es muy

similar al utilizar una fuente sinusoidal, esto se puede verificar si se comparan con las

Figuras 35 y 36.

Figura 51. Curva de magnetización para diferentes frecuencias y alimentación SPWM

68

Figura 52. Corriente de magnetización para diferentes frecuencias y

alimentación SPWM

La componente contínua de la corriente de magnetización observada en la Fig.

52 para 60 Hz es tan pequeña que no afectan a las corrientes terminales

mostradas en la Fig. 53, situación similar ocurre para 30 y 120 Hz.

Figura 53. Corrientes terminales a 60 Hz y alimentación SPWM

La disminución del tercer y quinto armónico así como el leve aumento de la

componente DC al alimentar el transformador con SPWM se debe al proceso de

conmutación transitoria, esto se puede percibir si observamos las Fig. 54 y 42.

69

Figura 54. Armónicos de la corriente de magnetización a 30 Hz ante

alimentación SPWM

Otro detalle que se puede notar en la Fig. 52 y Tabla 5 es el signo de la

componente contínua de la corriente de vacío, fenómeno que presenta cierta

variabilidad con respecto a la frecuencia que no sigue ningún patrón de

comportamiento que permita ser pronosticado.

Tabla 5. Componentes armónicas de la corriente de vacío para diferentes

frecuencias ante alimentación SPWM

(Hz) 5 10 15 20 25 30 35 40 Io1 (A) 6.424 4.114 2.085 0.79 0.277 0.064 0.062 0.259Io3 (%) 16.42 32.24 47.11 52.68 47.48 16.85 2.40 2.35 Io5 (%) 7.39 7.05 7.86 19.64 15.3 5.46 1.5 1.05

IoDC (%) 0 0 0 0 40.18 10.3 0 54 Signo IoDC 0 0 0 0 - - 0 +

(Hz) 45 50 55 60 65 70 75 80 Io1 (A) 0.061 0.141 0.058 0.063 0.06 0.062 0.075 0.246Io3 (%) 1.80 28 3.25 4.05 1.05 2.56 3.1 17 Io5 (%) 0.8 7 1.56 2 0.90 1.25 1.6 1.05

IoDC (%) 0 78 0 70.63 0 0 138.7 110 Signo IoDC 0 - 0 - 0 0 - +

(Hz) 85 90 95 100 105 110 115 120 Io1 (A) 0.059 0.063 0.059 0.06 0.059 0.062 0.059 0.06 Io3 (%) 2.68 3.05 3.1 2.5 3.10 2.3 1.5 2.64 Io5 (%) 1.10 0.9 1.45 1.6 1.12 1.1 0.64 1.5

IoDC (%) 0 0 0 180 0 0 0 236.3Signo IoDC 0 0 0 + 0 0 0 +

70

Al observar la Tabla 5 las frecuencias bajas menores o iguales a 15 Hz

repercuten negativamente en la amplitud de la corriente de magnetización pudiendo

ocasionar problemas de sobrecalentamiento y mal funcionamiento del transformador

aminorando así su vida útil. También se puede notar la distorsión armónica en las

componentes de orden 3 y 5 indicados en al Tabla 5 para las frecuencias menores a

30 Hz, mientras que para frecuencias mayores la señal tiende a ser sinusoidal.

Las corrientes terminales reflejan en poca proporción las componentes

armónicas de la corriente de magnetización., mientras las tensiones terminales

prácticamente no presentan ningún tipo de distorsión

Figura 55. Tensiones terminales a 60 Hz y alimentación SPWM

Al analizar las Fig. 55 y medir los respectivos valores RMS se encuentra una

caída en la tensión del secundario respecto a la entrada de aproximadamente 25%,

circunstancia que se repite para frecuencias entre 20 y 120 Hz, ya que para valores

por debajo de estos, el decremento en la tensión alcanza hasta 48.34% en el caso

especifico de 5 Hz.

Los resultados obtenidos con el modelado del transformador basado en los

parámetros experimentales no son los mejores al alimentar con SPWM influenciado

posiblemente por las características de los materiales que lo conforman,

introduciendo flujos dispersos grandes en los devanados y que representados en

71

forma proporcional por las inductancias, originan constantes de tiempo elevadas,

impidiendo así que la tensión en el secundario siga fielmente a la entrada

Figura 56. Variables inducidas en el primario a 60 Hz

Figura 57. Variables inducidas en el secundario a 60 Hz

Las tensiones inducidas en los devanados se muestran en las Fig. 56 y 57,

evidenciando el efecto inductivo de los devanados y en forma más notable por parte

del núcleo, además el flujo al estar plenamente relacionado con la corriente, muestra

la presencia de la misma componente contínua.

72

3.1.2.-Simulaciones para diferente número de pulsos

Para tratar de entender mejor el comportamiento de las componentes

armónicas del transformador ante alimentación SPWM, se procedió a simular

cambiando el número de pulsos por semiciclo y tomando aleatoriamente 6 de las

frecuencias anteriormente utilizadas, obteniéndose resultados que constatan la

complejidad del fenómeno. En la Tabla 6 al cambiar P para una misma frecuencia, se

observa una variabilidad de los componentes armónicos estudiados, presentando los

principales cambios en el signo y amplitud de la componente DC, identificándose

casos en los que los efectos armónicos son más perjudiciales que en otros.

En el caso en que se alimenta con SPWM, utilizando los parámetros del

transformador del laboratorio no arrojó resultados satisfactorios ya que la tensión

eficaz de salida presenta una caída en la tensión del secundario considerable sin

mencionar las altas corrientes de magnetización al trabajar con frecuencias menores o

iguales a 15 Hz, tal y como se puede observar en la Tabla 5.

ii

Tabla 6. Componentes armónicas de la corriente de magnetización variando el número de pulsos por semiciclo (P)

(Hz) 30 60 65 70 75 120 30 60 65 70 75 120 Io1 (A) 0.097 0.061 0.061 0.061 0.062 0.061 0.08 0.064 0.062 0.062 0.062 0.062 Io3 (%) 25.77 5.71 3.53 2.1 4.56 2.36 13.75 3.41 2.35 1.48 2.87 4.65 Io5 (%) 15.46 3.5 2.63 0.98 1.36 0.52 6.25 2.12 1.29 0.98 0.94 2.38

IoDC (%) 22.68 0 0 0 89.16 0 0 69.14 41.94 0 0 141.94 P =3

Signo IoDC - 0 0 0 + 0

P =

4

0 + + 0 0 +

(Hz) 30 60 65 70 75 120 30 60 65 70 75 120 Io1 (A) 0.064 0.063 0.06 0.062 0.075 0.06 0.08 0.07 0.061 0.061 0.063 0.063 Io3 (%) 16.85 4.05 1.05 2.56 3.1 2.64 13.75 5.73 3.36 2.41 2.16 1.28 Io5 (%) 5.46 2 0.90 1.25 1.6 1.5 62.5 1.43 1.45 0.98 0.94 1.45

IoDC (%) 10.3 70.63 0 0 138.7 236.3 0 94.56 0 0 127.08 210.53 P =

5

Signo IoDC - - 0 0 - +

P =

6

0 + 0 0 + +

(Hz) 30 60 65 70 75 120 30 60 65 70 75 120 Io1 (A) 0.105 0.063 0.061 0.061 0.0615 0.061 0.155 0.063 0.062 0.063 0.061 0.06 Io3 (%) 28.57 4.21 3.24 2.47 1.05 4.5 37.81 2.45 3.78 3.28 1.14 2.23 Io5 (%) 9.52 2.58 0.84 2.01 1.12 1.39 14.52 1.58 0.75 2.87 1.53 1.47

IoDC (%) 33.33 63.2 31.15 49.59 41.79 39.34 42.58 64 65.65 100 46.95 76.67 P =

7

Signo IoDC - - - - +

P =

8

- - - - + +

(Hz) 30 60 65 70 75 120 30 60 65 70 75 120 Io1 (A) 0.077 0.12 0.061 0.061 0.061 0.062 0.077 0.062 0.061 0.061 0.064 0.059 Io3 (%) 14.66 20.5 2.15 2.54 3.45 1.12 13.64 1.03 1.03 1.89 1.26 1.45 Io5 (%) 6.36 3.43 0.59 2.23 2.01 0.54 6.49 5.1 0.69 0.78 1.01 0.68

IoDC (%) 0 85.41 36.07 0 42.62 123.5 0 38.71 63.04 0 12.99 149.15 P =

9

Signo IoDC 0 - + 0 + +

P =

10

0 + + 0 + +

(Hz) 30 60 65 70 75 120 30 60 65 70 75 120 Io1 (A) 0.11 0.061 0.062 0.061 0.06 0.133 0.08 0.139 0.062 0.061 0.162 0.061 Io3 (%) 28.18 1.45 2.78 1.74 0.58 1.78 16.88 21.58 2.88 1.03 18.52 0.56 Io5 (%) 10.45 1.58 1.86 0.54 0.86 0.46 7.63 4.32 0.26 0.69 0.81 0.35

IoDC (%) 34.56 39.34 39.02 72.95 0 126.32 0 95.68 20.16 14.05 119 0 P =

11

Signo IoDC + + + + 0 + P

= 12

0 - - - - 0

ii

3.1.3.-Simulaciones variando los principales parámetros del transformador

Los resultados obtenidos en las simulaciones, sugirierón emplear otras

condiciones basados en los parámetros del circuito equivalente, por ello se plantearón

tres casos utilizando M = 0.8, P = 5, F = 30 Hz.

a.- Para r1 = r2`=8.265 Ω, xl1=xl2`= 10.79 Ω se vario la reactancia mutua,

obteniéndose los resultados mostrados en la Tabla 3.6.

Tabla.-7: Comportamiento de los valores eficaces al variar xm

xm = 199701 Ω xm = 1997.01 Ω xm = 19.9701 Ω

V1RMS (V) 120 120 120

V2`RMS (V) 91 90.5 59

I1RMS (A) 0.378 0.385 2.82

I2`RMS (A) 0.36 0.374 0.246

Al disminuir demasiado la reactancia mutua, las corrientes y tensiones en el

secundario caen considerablemente debido al fortalecimiento del flujo de

acoplamiento, ocasionado por el incremento de la corriente de magnetización.

b.- Para xm = 1997.01, xl1=xl2`= 10.79 Ω se variarón las resistencias de los

devanados, resultando las valores mostrados en la Tabla 3.7.

Tabla 8. Comportamiento de los valores eficaces al variar r1 y r2`

r1=r2`= 8265 Ω r1=r2`= 8.265 Ω r1=r2`= 0.8265 Ω

V1RMS (V) 120 120 120

V2`RMS (V) 89.6 87.5 95

I1RMS (A) 0.0112 0.387 0.395

I2`RMS (A) 0.0523 0.38 0.385

Para valores grandes de r1 y r2` la corriente de magnetización decrece hasta 4

veces, mientras que para las condiciones contrarias la tensión en el secundario se

iii

eleva hasta 95 V, lógico ya que la disminución de la resistencia en los devanados

denota una disminución de en las caídas de tensión en los mismos, aumentando a su

vez el rendimiento del transformador.

c.- Para xm = 1997.01 Ω, r1=r2`= 8.265 Ω se variarón las reactancias de los

devanados, lográndose los datos de la Tabla 3.8.

Tabla 9. Comportamiento de los valores eficaces al variar xl1 y xl2`

xl1=xl2`=10790 Ω xl1=xl2`=10.79 Ω xl1=xl2`=0.01079 Ω

V1RMS (V) 120 120 120

V2`RMS (V) 1.5 88.5 114

I1RMS (A) 2e-3 0.385 0.475

I2`RMS (A) 2e-3 0.38 0.45

La corriente de magnetización es prácticamente nula para valores grandes de

xl1 y xl2`, lográndose hasta 114 voltios de salida con una forma de onda similar a la

entrada SPWM solo con una pequeña caída en la amplitud debido a las caídas

resistivas, las corrientes también tienden a una forma de onda parecida a la tensión de

alimentación.

Los resultados de estos tres casos de estudio permiten concluir que un

transformador eficiente en los niveles de corriente y tensión eficaz será aquel que lo

conforme materiales que permitan obtener flujos dispersos pequeños y un flujo

importante en el núcleo.

3.3.-APLICABILIDAD DEL MODELO DESARROLLADO

El modelo desarrollado presenta una gran versatilidad ya que emula al

transformador real en el sentido de ser alimentado por una tensión de entrada y

obtener las demás variables de salida, pudiéndose introducir cualquier carga sin

afectar la disposición matemática del sistema, además de permitir un importante

rango en el grado de saturación del núcleo a través de los parámetros de variación.

iv

El modelo permite realizar simulaciones para cualquiera de las condiciones del

transformador, además de las ya aplicadas, tales como, real lineal, real saturable,

también se puede obtener la condición ideal, corto circuito y circuito abierto.

Considerando el modelo saturable, en particular el bloque fcn con salida DFm

de la Fig. 3.15 y multiplicar la expresión que esta dentro por 0, inmediatamente se

convertirá en un modelo lineal, mientras que para lograr la característica ideal será

suficiente con introducir valores muy pequeños para las resistencias y reactancias de

los devanados representando la ausencia de las pérdidas Joule y el efecto de los flujos

dispersos, además de una reactancia mutua de valor importante que represente el flujo

en el núcleo.

Para lograr la condición de vacío y cortocircuito se introduce un valor de carga

elevado y pequeño respectivamente.

v

CONCLUSIONES

Las ecuaciones diferenciales que describen el transformador eléctrico de dos

devanados fuerón analizadas, consiguiendo establecer con sólo una variable de

entrada, la generación de las salidas típicas como la tensión de salida y las corrientes

terminales, además de las no tan comunes pero igual de importantes como los flujos y

tensiones inducidas en el núcleo y los devanados. Otro logro importante es el hecho

de introducir cualquier carga sin afectar la disposición matemática del modelo.

El efecto de magnetización del núcleo se logro mediante la incorporación de

una ecuación basada en el seno hiperbólico, aprovechando su característica permitió

mediante la manipulación de 3 parámetros, la aproximación de la curva de

magnetización en un rango importante.

El modelo se desarrolló en Matlab 7.2 y su subprograma SIMULINK,

aprovechando las respectivas ventajas de los lenguaje escrito y gráfico, formando la

combinación ideal para tratar el problema planteado.

Las simulaciones hechas al trabajar con alimentación sinusoidal fuerón

validadas mediante pruebas realizadas a un transformador en el laboratorio, dicho

experimento permitió ajustar el efecto saturable del núcleo modelado al obtenido en

la medición considerando las mismas circunstancias.

Al simular el sistema con alimentación SPWM, el transformador se volvió

ineficiente en cuanto a su tensión de salida, atribuyéndose a las conmutaciones

transitorias de los IGBT durante el proceso de generación y complicando el problema

al trabajar con frecuencias menores o iguales a 15 Hz, ya que la corriente de

magnetización presenta valores muy grandes. La componente DC de la corriente de

magnetización no presento ningún patrón de comportamiento al alimentar el

transformador con diferentes frecuencias y numero de pulsos por semiciclo, no

permitiendo ser pronosticado, evidenciando la complejidad del fenómeno.

El principal problema asociado con la electrónica de potencia son los

componentes armónicos en el voltaje y corriente inducidos en el sistema por la

conmutación transitoria en los controladores electrónicos de potencia. Estas

vi

armónicas incrementan los flujos de corriente total en las líneas (en especial en el

neutro de los sistemas de potencia trifásicos). Las corrientes armónicas incrementan

pérdidas y el calentamiento de los componentes de los sistemas de potencia, lo cual

exige disponer de componentes más grandes para suministrar la misma carga total.

Además, las altas corrientes en el neutro pueden disparar los relés de protección y

desconectar partes del sistema de potencia.

Los componentes de las frecuencias más altas en la corriente de magnetización

se deben a la saturación magnética en el núcleo del trasformador debido a una vez

que el flujo pico alcanza el punto de saturación en el núcleo, un pequeño incremento

en el flujo pico requiere un gran aumento en la corriente de magnetización pico, en

pocas palabras cuando más fuerte sea el proceso de saturación en el núcleo, mayores

serán los componentes armónicos.

El aumento de la frecuencia hace menos notable las ventajas del hierro, el

incremento de las pérdidas puede hacer excesiva la resistencia aparente y el efecto

pelicular de las corrientes de Eddy reducen la permeabilidad del núcleo decreciendo la

inductancia aparente.

El sobrecalentamiento se puede evitar trabajando con materiales de alta

permeabilidad y resistividad para mantener los flujos por debajo de la saturación.

vii

RECOMENDACIONES

Para futuros trabajos relacionados se recomienda:

• Hacer pruebas con una fuente real PWM para comparar con los

resultados del modelo desarrollado y así estudiar con mayor eficiencia

el comportamiento del transformador ante este tipo de alimentación.

• Realizar las simulaciones utilizando otro tipo de alimentación con

técnicas más avanzadas PWM, considerando modulación trapezoidal,

escalonada, en delta entre otras.

• Crear un sistema que represente el transformador trifasico, y en la

medida de lo posible teniendo como carga un motor de inducción

trifásico.

• Desarrollar un modelo que considere el ciclo de histéresis.

viii

BIBLIOGRAFÍA

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