estudio de regiones de seguridad asociadas a trayectorias ... · alberto arenas gómez estudio de...

Alberto Arenas Gómez

Estudio de regiones de seguridad asociadas atrayectorias de proyectiles

Oscar Ciaurri Ramírez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2012-2013

Título

Autor/es

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2013

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Estudio de regiones de seguridad asociadas a trayectorias de proyectiles,trabajo fin de grado

de Alberto Arenas Gómez, dirigido por Oscar Ciaurri Ramírez (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia

Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los

titulares del copyright.

Facultad

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Titulación

Grado en Matemáticas

Título

Estudio de regiones de seguridad asociadas a

trayectorias de proyectiles

Autor/es


Tutor/es

Dr. D. Óscar Ciaurri Ramírez

Departamento

Departamento de Matemáticas y Computación

Curso académico

2012-2013

Trabajo Fin de GradoGrado en Matemáticas

Estudio de regiones de seguridadasociadas a trayectorias de proyectiles

por


Memoria realizada bajo la dirección delDr. D. Óscar Ciaurri Ramírez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e InformáticaUniversidad de La Rioja

Julio de 2013

Resumen

El propósito de este trabajo es la determinación de las regiones del plano enlas que un cierto objetivo no puede ser alcanzado por un proyectil lanzado endeterminadas condiciones, denominadas regiones de seguridad. Las situacionesconsideradas son las correspondientes al tiro parabólico clásico, al tiro parabólicocon rozamiento —tanto lineal como cuadrático—, y al caso en el que el proyectilestá sujeto a la acción de un campo conservativo.

Tras una breve introducción histórica, en el primer capítulo se obtiene demanera analítica y geométrica la región de seguridad para el tiro parabólicoclásico. Además se analizan algunas propiedades de las trayectorias del proyectil.

En el segundo capítulo se trata el tiro parabólico con rozamiento. Para elcaso del rozamiento lineal la región de seguridad es determinada de manera ana-lítica. Sin embargo, en el caso del rozamiento cuadrático es obtenida medianteaproximaciones numéricas.

El tercer capítulo contiene el cálculo analítico y geométrico de la región deseguridad para proyectiles sometidos a la acción de un campo conservativo.

La memoria concluye con un apéndice con la teoría necesaria para el cálculode envolventes.

i

Abstract

The aim of this project is to establish the plane domain in which a targetcannot be reached by a projectile ejected under certain conditions, which arecalled safety domain. The situations that have been taken into account corres-pond to the classic parabolic motion, parabolic motion in a resistant medium—both with a lineal drag model and a quadratic drag model— and in the casewhen the projectile is under the influence of a conservative field.

After a brief historical introduction, the safety domain in the classic parabo-lic motion is obtained either by analytic way or from geometrical considerationsin the first chapter. Furthermore, some properties of the trajectory of a projectileare discussed.

Parabolic motion in a resistant medium is treated in the second chapter.Safety domain in a motion with linear drag force is determined by an analyticway. However, in the case of quadratic drag force, it is obtained by a numericalapproximation.

The third chapter contains analytical and geometrical calculations of thesafety domain for those projectiles which are subject to the influence of a con-servative field.

The project concludes with an appendix containing the necessary theory forthe determination of envelopes.

iii

Índice general

Prólogo VII

Introducción XI

1. Región de seguridad en el tiro parabólico clásico 11. Cálculo de las trayectorias y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 12. Obtención de la región de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Trayectorias y parábola de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Región de seguridad en el tiro parabólico con rozamiento 91. Rozamiento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Rozamiento cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Regiones de seguridad en campos conservativos 291. Potencial de Kepler o de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . 312. Potencial armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Apéndice 55

A. El concepto de envolvente 57

Bibliografía 61

v

Prólogo

La presente memoria es el resultado del Trabajo Fin de Grado de Matemáti-cas de la Universidad de La Rioja, y está centrada en las regiones de seguridadasociadas a las trayectorias de proyectiles. La región de seguridad está delimi-tada por la envolvente de dichas trayectorias, por lo que en todos los casosdeberemos calcularla. El estudio de regiones de seguridad resulta ser un marcoideal para la aplicación de gran parte de los conocimientos adquiridos duranteel desarrollo de la carrera: conceptos físicos, ecuaciones diferenciales, geometríaclásica y analítica, cálculo diferencial e integral, álgebra lineal, métodos numé-ricos, programación en Mathematica e, incluso, el estudio histórico de un temamatemático. Es éste un claro ejemplo en donde las conexiones existentes entrelas distintas ramas de la matemática se muestran evidentes.

El cuerpo de la memoria consta fundamentalmente de tres partes, de acuer-do a una primera clasificación de las trayectorias de las que se quiere obtenerla región de seguridad: las del tiro parabólico clásico, del tiro parabólico conrozamiento y las trayectorias bajo la influencia de potenciales.

Antes de empezar con la parte principal, hemos creído conveniente incluiruna pequeña introducción histórica sobre la evolución del estudio de trayectoriasde proyectiles balísticos. Para su realización, hemos tenido en cuenta tanto losartículos [14] y [19], como el libro sobre balística [11]. También nos hemos basadoen algunas obras originales como [9] y [21].

El primer capítulo está dedicado a la región de seguridad que forman lastrayectorias del tiro parabólico clásico; esto es, sin considerar la fuerza de ro-zamiento que se opone al movimiento del proyectil a través del aire. Como yademostró Galileo en el siglo XVII —y como bien indica el nombre—, dichastrayectorias tienen forma de parábola. La envolvente que delimita la región deseguridad en este caso es otra parábola, denominada parábola de seguridad,y el primero en obtenerla fue Torricelli en 1644. Nosotros determinaremos laparábola de seguridad tanto por procedimientos analíticos como geométricos.

Existen abundantes referencias bibliográficas que se ocupan de la parábolade seguridad. En concreto, hemos considerado los contenidos desarrollados en[3] y [16], siguiendo especialmente éste último para el cálculo geométrico de laenvolvente.

En el capítulo segundo tratamos de obtener la región de seguridad del tiroparabólico cuando se tiene en cuenta la fuerza de rozamiento. Habitualmentese considera esta fuerza de rozamiento de dos posibles maneras: proporcional almódulo de la velocidad F = kv, o proporcional al cuadrado del módulo de lavelocidad F = kv2. En el primer caso, la envolvente que delimita la región deseguridad se puede calcular de manera exacta analíticamente. Desafortunada-mente para nosotros en el segundo caso esto no es posible, y nos vemos obligados

vii

viii

a recurrir a métodos numéricos para, al menos, poder obtener una aproximaciónde la región de seguridad.

Para el rozamiento lineal nos hemos basado en el artículo [18]. En el caso delrozamiento cuadrático, en la obtención de las ecuaciones del movimiento hemosseguido a [12], aunque en otros artículos, como en [5], se obtienen de maneradistinta. Por su parte, [15] resuelve estas ecuaciones de manera numérica. Estasreferencias no se preocupan por la obtención de la región de seguridad, por loque para la determinación de la misma de manera numérica no hemos seguidoningún estudio previo. Aun así, existen varios artículos muy completos sobre eltiro parabólico con rozamiento cuadrático que sí se preocupan de la obtenciónde la envolvente numéricamente, e.g. [8].

El capítulo tercero está motivado por la eliminación de la suposición de quela fuerza que ejerce la gravedad en el proyectil es constante en módulo, direccióny sentido. Esta hipótesis ha sido clave en los capítulos primero y segundo. Enrealidad la fuerza de la gravedad es lo que se denomina una fuerza central, y estáoriginada por el campo potencial terrestre. Su módulo es F = k/r2 que, comovemos, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del proyectil alcentro de la Tierra r, y sobre la superficie terrestre suele considerarse constante.

A pesar de haber sido el principal fenómeno de estudio en los capítulosanteriores, en el tercer capítulo abandonamos el modelo del proyectil balístico ypasamos a considerar trayectorias de proyectiles —o partículas— influenciadaspor campos potenciales que originan fuerzas centrales, todo esto sin considerarfuerzas de rozamiento de ningún tipo. Para entender mejor estos conceptosfísicos, al inicio del capítulo se desarrolla una breve explicación teórica sobrecampos centrales y funciones potenciales.

Los dos tipos de potenciales que consideraremos son el de Kepler —tambiénconocido como de Coulomb— y el armónico. El potencial de Kepler V = −K/rorigina una fuerza de módulo F = |K| /r2. Estudiaremos dos casos según elsigno de la constante K: si K < 0 el potencial es repulsivo, mientras que siK > 0 es atractivo —y es este último caso el que modeliza el campo gravitatorioterrestre—. Veremos que la región de seguridad no existe para cualquier valorde K. Para los casos en los que si existe, procederemos a calcularla tanto deforma analítica como de forma geométrica. Por último estudiaremos el fenómenoocurrido durante el histórico experimento de Rutherford, que encuentra dentrodel estudio de regiones de seguridad su sitio natural.

El otro caso de potencial que estudiaremos en el tercer capítulo es el potencialarmónico V = λ2

2 r2 que origina una fuerza del tipo F = λ2r; i.e., proporcional a

la distancia del proyectil al potencial. Este tipo de potencial siempre es atractivoy existe una región de seguridad que procederemos a calcular de modo analíticoy geométrico.

El artículo [6] considera el tiro parabólico influenciado por el campo gravi-tacional terrestre y la envolvente mediante el uso de conceptos físicos. Sobre lastrayectorias bajo la influencia de un potencial de Kepler tratan [20] y [22]; enambos obtienen la región de seguridad de manera analítica. Para el cálculo geo-métrico nos hemos basado de nuevo en [16]; además, ésta última referencia trataigualmente el caso del potencial armónico. Las conclusiones del experimento deRutherford fueron publicadas por él mismo en [17]. Una referencia más actualpara tratar la región de seguridad en este caso es [1].

Todos los conceptos físicos tratados en la memoria pueden encontrarse en

Prólogo ix

los libros [10] y [13], aunque nosotros hemos seguido principalmente [2]. Todoslos contenidos matemáticos, y algunos casos que estudiamos, se desarrollan enel libro [7]. En temas puntuales de geometría nos hemos apoyado en [4].

No deseo acabar este prólogo sin expresar mi más sincero agradecimiento alDr. D. Óscar Ciaurri Ramírez, profesor titular del Departamento de Matemáti-cas y Computación de la Universidad de La Rioja, por haber tenido la pacienciade ayudarme y enseñarme todas las cosas que he aprendido, así como por haber-me brindado la oportunidad de realizar este trabajo bajo su dirección. Quisierahacer extensivo este agradecimiento a todos los demás profesores del departa-mento, de los que he tenido el privilegio de aprender durante el transcurso dela carrera.

Agradecer también el apoyo recibido durante estos años por parte de miscompañeros de clase: Nacho, Ana, Edgar, Sergio, Víctor, Javi, Raquel y Guiller-mo. Sin olvidarme del agradecimiento que se merecen mis familiares y amigos,con los que tan poco tiempo he pasado durante la redacción de esta memoria.

Introducción

A pesar de que la pólvora era conocida en Europa desde mediados del sigloXIII y a que se tienen varias referencias del uso de cañones en los campos debatalla del siglo XIV, no fue hasta bien entrado el Renacimiento cuando latecnología militar pudo utilizarla de forma que fuera a la vez segura para elartillero y peligrosa para el enemigo. Hasta ese momento la función principalde la artillería era la de infundir el pánico entre los habitantes de una ciudadsitiada, y no tanto la de derribar murallas o dispersar ejércitos. Ese desarrollode la tecnología militar fue el que promovió el estudio de la determinación dela forma que adopta la trayectoria de una bala de cañón. Aun así, este interéspor el movimiento de proyectiles no era nuevo: había estado presente desde queAristóteles lo introdujo como parte de sus argumentos acerca del movimientoen sus obras Physica (Libros IV y VII) y De caelo (Libro III).

Figura 1: A la izquierda detalle del cuadro Batalla contra los hunos en las afueras deRegensburg pintado por Albrecht Atdorfer en 1518, en donde se observan dos cañonesdisparando contra una carga de caballería. A la derecha ilustración del libro Proble-matum Astronomicorum, escrito por Daniel Santbech en 1561, en donde se muestra latrayectoria de un proyectil conforme a las teorías aristotélicas sobre el movimiento.

Según la doctrina aristotélica, el movimiento que debería seguir la bala alsalir del cañón era a lo largo de una recta y así se mantendría hasta alcanzar sumáxima altura; acto seguido la bala caería, también siguiendo una trayectoriarectilínea, en dirección al centro de la tierra. Esta concepción del movimiento,tan en contra de nuestra intuición actual, se mantuvo vigente hasta bien entradoel siglo XVI (figura 1). La principal razón de este predominio de las ideas delEstagirita es la idealización que sobre él se ha tenido a lo largo de la historiade la ciencia como maestro indiscutible de todo el saber antiguo. Debido a estaconsideración del criterio de autoridad de Aristóteles, las nuevas ideas sobreel movimiento se limitaban a explicaciones adaptadas a las obras aristotélicas

xi

xii

mediante nuevos conceptos —como puede ser el ímpetu, introducido por losmonjes franceses Jean Buridan y Nicole Oresme— o a traducciones de dichasobras con comentarios de cada autor —sirva como ejemplo la Mechanica delespañol Diego Hurtado de Mendoza—.

Fue el italiano Niccolò Fontana —conocido por sus contemporáneos con elsobrenombre de «Tartaglia»— quien, en 1537, rompe con las ideas aristotélicasen su obra Nuova Scientia, cioè invenzione nuovamente trovata utile per cias-cuno speculativo matematico bombardero et altri al afirmar que la trayectoriaque seguía el proyectil en el aire incluía una parte curva; aunque no lo dice ex-plícitamente en el texto, las ilustraciones muestran que este nuevo movimientocurvo es circular. Lo que plantea Tartaglia es que la trayectoria en cuestión secompone de tres partes: una rectilínea que corresponde al «movimiento violentoprovocado por el cañón»; le sigue una segunda sección donde ocurre que esteprimer movimiento comienza a desvanecerse y «entra en conflicto con el movi-miento natural hacia el centro de la tierra», pues «una parte es de movimientoviolento y la otra de movimiento natural»; finalmente, el movimiento natural seimpone y el proyectil se dirige hacia la tierra siguiendo una línea recta (figura 2).

Figura 2: Retrato de Niccolò Fontana «Tartaglia», frontispicio de su obra NuovaScientia en donde se distinguen las trayectorias de varios proyectiles e ilustración enla citada obra de una trayectoria para el proyectil constituida por tres partes, siendouna de ellas curva.

Este tipo de trayectoria plantea una casi inmediata pregunta: ¿en qué mo-mento y por qué razones se inicia la etapa curva de la trayectoria? Tartagliasabe, aunque no lo publique hasta 1546 en su obra Quesiti et inventioni di-verse, que la trayectoria de un proyectil no posee ningún segmento rectilíneo(figura 3). La razón de considerar en Nuova Scientia una trayectoria compuestade tres partes diferentes es, como explica Tartaglia en el prólogo de Quesiti, lasimplificación. Se excusa en que, sin estas simplificaciones, difícilmente seríanaceptadas por parte de la comunidad científica sus nuevas teorías sobre balística.

Figura 3: Ilustración del libro Quesiti et inventioni diverse de Tartaglia en la que seobserva como la trayectoria de un proyectil disparado horizontalmente es totalmentecurva.

Introducción xiii

Un pilar en el que se basa Tartaglia es que la gravedad atrae continuamenteal proyectil hacia el suelo. Lo que ocurre, según él, es que en la primera etapa lafuerza de la gravedad es insignificante respecto a la fuerza impresa por el cañóny por eso desprecia su efecto. Conforme el proyectil avanza, la fuerza impresa vadesapareciendo, lo que provoca que se iguale a la de la gravedad y no podamosdespreciar esta última. Esto da lugar a una trayectoria curva que Tartagliasimplifica en un arco de circunferencia. En la última etapa la fuerza impresaes casi nula y los papeles se intercambian respecto a la primera etapa. Ahorapodemos despreciar la fuerza impresa y considerar que únicamente actúa lagravedad, por lo que estaríamos en el caso de un proyectil que cae verticalmentehacia el suelo.

Otro avance importante realizado por Tartaglia fue la determinación delalcance máximo del disparo, entendiendo éste como la distancia entre el puntopartida y el punto de inicio de la caída vertical. Asegura que el alcance mayorcorresponde a una trayectoria que se inicia con un ángulo la mitad de un rectosobre la horizontal, y que el alcance de este disparo es diez veces la longitud dela primera fase de la trayectoria del tiro horizontal.

Podemos decir que, a pesar de sus deficiencias, la Nuova Scientia alcanzóun éxito considerable y para 1583 el texto ya había alcanzado siete edicionesy había sido traducido a todas las lenguas importantes. Aun así, parece queTartaglia se había adelantado a su tiempo al intentar resolver el problema dela trayectoria de un proyectil. Ni sus adversarios como matemático ni sus su-cesores se preocuparon por la cuestión de la forma geométrica trazada por uncuerpo en movimiento; tuvieron que pasar casi cincuenta años para que el estu-dio físico-matemático del movimiento tuviese su propio renacimiento. La figuracentral de esta renovación fue Galileo, quien retomaría algunas preocupacionesque Tartaglia había dejado inconclusas.

Es en el año 1638 cuando Galileo Galilei (figura 4) publica el tratado Dis-corsi e Dimostrazioni Matematiche intorno à Due Nuove Scienze attenenti allaMecanica & i Movimienti Locali. Este tratado constituye sin duda el primertratado de física, entendida ésta en su acepción moderna como ciencia empíricay formal a la vez. El Libro III de los Discorsi, titulado «Sobre el movimiento delos proyectiles», presenta uno de los grandes logros galileanos: la demostraciónde que la trayectoria de los proyectiles es parabólica. El razonamiento de Galileo

Figura 4: Retrato de Galileo Galilei pintado en 1636 por J. Sustermans y portada desu obra Discorsi e Dimostrazioni, junto a la primera página del Libro III «Sobre elmovimiento de los proyectiles» de dicha obra.

xiv

consiste en combinar simplemente un movimiento horizontal uniforme con otrovertical uniformemente acelerado.

Aunque Galileo ya se había preocupado del movimiento de los proyectilesen su obra De Motu Antiquiora, en estos escritos todavía estaba anclado en lamentalidad de la época y consideraba que la trayectoria estaba formada pordos segmentos rectilíneos unidos por uno curvilíneo más pequeño, en el que sealcanza la altura máxima del proyectil. Aun así, puede afirmarse que Galileoya había descubierto la trayectoria parabólica antes de 1609 —es decir, 29 añosantes de la publicación de los Discorsi—, como lo atestigua una carta suyaescrita a Antonio de Medici el 11 de febrero de este año ([9], vol. 20, págs. 228–230). Sin embargo, fue Bonaventura Cavalieri quien publicó por primera vez, en1632, la formulación de la trayectoria parabólica en su obra Specchio ustorio, loque disgustó profundamente a Galileo a la vista de su carta del 11 de septiembrede 1632 ([9], vol. 14, pág. 386). Cavalieri se excusó vivamente y Galileo quedósatisfecho, como se deduce del elogio que le dedicó en los Discorsi.

Galileo estuvo acompañado durante el último año de su vida por EvangelistaTorricelli en calidad de ayudante, quién formuló la ecuación del alcance de unproyectil y estudió las propiedades de la parábola enunciada por su maestro.Además, Torricelli probó que, para una velocidad de disparo fija, todas las posi-bles trayectorias quedaban encerradas bajo una parábola —que actualmente sedenomina parábola de seguridad, puesto que cualquier objetivo fuera de ella nopuede ser alcanzado por ningún proyectil—. Los resultados de Torricelli fueronpublicados en año 1644 en su libro Opera Geométrica. En este trabajo aparecenunas tablas de balística que Torricelli obtuvo a partir de sus resultados sobre eltiro parabólico pero que, en la práctica, resultaron ser de escasa utilidad puestoque no se correspondían con los resultados experimentales. Esto es razonableya que, tanto en el estudio de Galileo y Torricelli como en el de Tartaglia, úni-camente se consideraba la acción de la fuerza de la gravedad, despreciando lafuerza de rozamiento del medio, lo que producía importantes modificaciones enlas trayectorias.

Figura 5: Retrato de Evangelista Torricelli y portada de su libro Opera Geométrica,junto con algunas tablas de balística. Torricelli fue el primero en calcular la envolventede las trayectorias de los proyectiles y descubrir que ésta era una parábola.

Con Torricelli acaba la etapa de estudio de lo que entendemos por tiro pa-rabólico clásico. A partir de aquí los estudios de la trayectoria que sigue unproyectil incorporan los efectos de la fuerza de rozamiento, y prácticamentetodos los grandes matemáticos se interesaron por el problema.

Introducción xv

Basándose en los trabajos experimentales de Cassini sobre velocidades inicia-les, realizados utilizando rudimentarios péndulos balísticos, Isaac Newton sentólas bases de la dinámica tanto de los cuerpos rígidos como de los fluidos. Newtoncomienza su argumentación sobre la gravitación universal estudiando el movi-miento de un proyectil que se dispara, horizontalmente y en el vacío, desde lacima de una montaña. Así demuestra que si se incrementa la velocidad inicialse consiguen mayores alcances, y que si la velocidad inicial aumentase hasta undeterminado valor, el proyectil podría rodear la tierra y volver a la posición departida de manera similar a como se conciben las órbitas de los planetas.

Benjamin Robins inventó, en 1740, el primer péndulo balístico moderno.Esto le permitió investigar la resistencia aerodinámica a alta y baja velocidad, ycomprobó que las teorías de Newton eran correctas hasta velocidades de 244 m/s.La obra más importante de Robins en este aspecto fue publicada en 1742 conel nombre Nuevos Principios de Artillería.

El sucesor más importante de Newton fue el suizo Leonhard Euler (figura 6),quien estudió la resistencia aerodinámica de las bolas de cañón apoyándose enlos estudios de Robins, y empleó por primera vez métodos analíticos de cálculo,1en vez de los geométricos usados hasta entonces. Sus resultados sobre balísticalos publicó en un libro y tres artículos, entre los que cabe destacar Investigaciónsobre la verdadera curva descrita por los cuerpos disparados a través del aire oen cualquier otro fluido de 1753. En él, Euler expone evidencias, tanto teóricascomo experimentales, de que la resistencia del aire debería ser proporcional alcuadrado de la velocidad del cuerpo.

Figura 6: Retratos de Isaac Newton y Leonhard Euler, respectivamente, junto a laobra Nuevos Principios de Artillería de Benjamin Robins.

Durante el siglo XIX se desarrollaron métodos más precisos para determinarla resistencia aerodinámica. De este modo se pudo comprobar que la resistenciadepende de las propiedades del aire y de los proyectiles. En Alemania, durante lasdécadas anteriores a la Primera Guerra Mundial se trabajó de manera intensivaen el cálculo numérico aproximado de trayectorias de proyectiles, y ésta fuela razón de la superioridad de la artillería germana durante dicha guerra. Elejército estadounidense decidió imitar a los alemanes y fundó el Laboratorio deInvestigación Balística —BRL por sus siglas inglesas— para la realización deeste tipo de cálculos.

1De hecho fue precisamente en unos trabajos sobre balística donde Euler usó por primeravez la letra «e» como base de los logaritmos neperianos.

xvi

En 1943, en pleno apogeo de la Segunda Guerra Mundial, J. Mauchlt, H.Goldstine y J. P. Eckert plantearon al BRL la construcción de un «calculadorelectrónico». Este artilugio, finalizado en 1949 e ideado para simplificar la ela-boración de las tablas de balística, recibió el nombre de Electronic NumericalIntegrator and Computer, más conocido por sus siglas ENIAC, y es comúnmenteaceptado que fue el primer ordenador de la historia (figura 7).

Figura 7: Dos imágenes de ENIAC. La primera es de los años cincuenta del siglopasado y la segunda de la actualidad.

Tras este breve repaso histórico comenzamos con el objetivo principal dela memoria: la obtención de regiones de seguridad asociadas a trayectorias deproyectiles.

Capítulo 1

Región de seguridad en el tiro parabólico clásico

En teoría, no hay ninguna diferencia entre la teoría y la práctica. Pero,en la práctica, sí que la hay.

Jan L. A. van de SnepscheutCitado por D. Rosenberg en

«Use Case Driven Objet Modelling with UMLTheory and Practice»1

§1. Cálculo de las trayectorias y propiedades

Queremos determinar las posibles trayectorias de un proyectil de masam quees lanzado desde un punto O con una velocidad inicial v0 que forma un ánguloα con la horizontal. La figura 1.1 recoge un esquema de la situación descrita.

Usando la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta que la única fuerzaque actúa es la de la gravedad en la dirección negativa de la componente verticaldel movimiento, obtenemos el problema de valores iniciales

mx′′(t) = 0, my′′(t) = −mg,

x(0) = y(0) = 0,

x′(0) = v0 cosα, y′(0) = v0 senα,

cuya solución viene dada por las ecuaciones paramétricas

x(t) = tv0 cosα e y(t) = −g2 t2 + tv0 senα. (1.1)

Asumiendo que α ∈ (0, π) \ {π2 }, si despejamos la variable temporal t dela primera ecuación y la substituimos en la segunda obtenemos la ecuacióncartesiana de la familia de parábolas

y(x) = x

(tgα− g

2v20 cos2 α

x

), (1.2)

dependiente del parámetro α y que, mediante el cambio de variable K = tgα,se reescribe como

y(x) = x

(K − (1 +K2)g

2v20

x

). (1.3)

1También atribuida a Yogi Berra, Chuck Reid, William T. Harbaugh y Karl Marx.

1

2 1.1. Cálculo de las trayectorias y propiedades

mg

v0

O

v0 sen a

v0 cos a

a

x

y

Figura 1.1: Esquema para la determinación trayectoria de un proyectil.

En caso de que α = π2 tenemos que las ecuaciones paramétricas (1.1) se

transforman en

x(t) = 0 e y(t) = t(−g2 t+ v0

),

por lo que la trayectoria es totalmente vertical y alcanza una altura máximaigual a v2

02g .

1.1. Propiedades de las trayectorias. Es evidente que la familia de pará-bolas dada en (1.2) tienen como punto en común el origen de coordenadas O.Pero además, todas comparten la misma directriz ∆. En efecto, manipulandoconvenientemente (1.2) obtenemos la ecuación(

y − v20

2g

)2

=(x− v2

0 sen 2α2g

)2

+(y + v2

0 cos 2α2g

)2

, (1.4)

que se corresponde con una parábola cuya directriz es

∆ ≡ y(x) = v20

2g ,

y que, como vemos, no depende del ángulo de disparo α. Asimismo el vértice yel foco de cada parábola vienen dados, respectivamente, por las coordenadas

V = (xV , yV ) =(v2

0 sen 2α2g ,

v20 sen2 α

2g

),

F = (xF , yF ) =(v2

0 sen 2α2g ,−v

20 cos 2α

2g

).

Una propiedad interesante sobre los focos es que todos están situados sobreuna circunferencia, como podemos observar en la figura 1.2. Para ver este hechoconsideramos el foco de una cualquiera de las parábolas. Por la caracterizaciónde la parábola como lugar geométrico, la distancia del foco al origen es la mismaque la distancia del origen a su directriz. Como el origen y la directriz son

1. Región de seguridad en el tiro parabólico clásico 3

comunes a todas las parábolas de la familia tenemos que, independientementede la parábola elegida inicialmente, la distancia del origen al foco es siemprela misma. Por tanto, los focos forman una circunferencia de centro el origen yradio v2

02g , por ser este valor la distancia del origen a la directriz común. Dicha

circunferencia está dada por la ecuación

x2 + y2 = v40

4g2 .

El siguiente lema, que nos será muy útil en el resto del capítulo, muestra larelación existente entre el ángulo de tiro y el ángulo del radiovector del foco decada trayectoria.

Lema 1.1. Sea β el ángulo del radiovector del foco de una trayectoria de ánguloα, entonces β = 2α− π

2 .

Demostración. Por una parte es claro que cosβ = sen(β + π

2). Por otro lado

cosβ = xF√x2F + y2

F

= sen 2α.

Teniendo en cuenta esto,

sen(β + π

2

)= sen 2α⇒ β = 2α− π

2 .

x

y

Figura 1.2: Focos de las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles y circun-ferencia que forman.

La siguiente propiedad que comentaremos no deja de resultar sorprendente:los máximos de la familia de parábolas dada en (1.2) se encuentran sobre laelipse

x2(v2

02g

)2 +

(y −

(v2

04g

)2)2

(v2

04g

)2 = 1.

Para probar este hecho basta ver que los máximos, que coinciden con los vérticesde la parábola, cumplen la anterior ecuación. En efecto,

4x2V + 16

(yV −

(v2

04g

))2

= v40 sen2 2αg2 + (2v2

0 sen2 α− v20)2

g2 =(v2

0g

)2

.

4 1.2. Obtención de la región de seguridad

x

y

Figura 1.3: Vértices de las trayectorias parabólicas, donde se alcanzan los puntos demáxima altura, y elipse que forman.

La figura 1.3 muestra la familia de parábolas y la elipse que contiene los máxi-mos.

Finalmente, dos hechos de fácil comprobación son que el punto de alcancemáximo horizontal de la trayectoria de ángulo α se corresponde con

L =(v2

0 sen 2αg

, 0),

y que el máximo alcance, fijada una velocidad v0, se corresponde con un ángulode disparo de α = π/4. Como se ha comentado en la introducción, este valorpara el ángulo óptimo ya lo había obtenido Tartaglia en 1537.

§2. Obtención de la región de seguridad

Las trayectorias de los proyectiles, representadas por la familia de curvasdadas en (1.3), rellenan cierta zona del plano y es posible asegurar que cualquierobjeto exterior a ella queda fuera de tiro. Esta región exterior por la que nopasa ninguna trayectoria se denomina región de seguridad y está delimitada poruna cierta curva. Esta curva se corresponde con la envolvente de la familia detrayectorias. Recordar que la envolvente es una curva tal que en cada uno desus puntos contacta con una trayectoria de la familia. Por tanto, para calcularla región de seguridad debemos determinar la envolvente de las trayectorias.Vamos a proceder a obtenerla de un modo analítico y de un modo puramentegeométrico.

2.1. Cálculo analítico de la envolvente. Para plantearnos la determinaciónde la envolvente de la familia de curvas dada por (1.3), considerada como funcióndel parámetro K, la describiremos como F (x, y,K) = 0 con

F (x, y,K) = y − x(K − (1 +K2)g

2v20

x

).

En esta situación, la envolvente es la solución del sistema (vid. Apéndice A)F (x, y,K) = 0,∂

∂KF (x, y,K) = 0.


Tenemos que

∂

∂KF (x, y,K) = x

(1− gK

v20x

)= 0 ⇒ K = v2

0gx,

por lo que substituyendo en F (x, y,K) = 0 obtenemos la envolvente de la familiade parábolas, dada por

y(x) = g

2v20

((v2

0g

)2

− x2

), (1.5)

que como vemos es otra parábola, denominada parábola de seguridad. En lafigura 1.4 se muestran algunas trayectorias posibles y la parábola de seguridadasociada a ellas.

Resulta sencillo observar, resolviendo el sistema de ecuaciones formado por laparábola de seguridad y cada una de las trayectorias, que el punto de tangenciaentre cada parábola y la envolvente tiene coordenadas

M ′ =(v2

0 cosαg senα ,−

v20 cos 2α

2g sen2 α

).

x

y

Figura 1.4: Algunas trayectorias de los proyectiles y su envolvente, la parábola deseguridad.

2.2. Cálculo geométrico de la envolvente. Sea ∆′ la recta paralela a ladirectriz ∆, situada a distancia v2

02g de ésta y que no contiene al origen. Conside-

remos un punto cualquiera M de la trayectoria parabólica dada en (1.2); dichopunto cumple que MF = MA, donde F denota el foco y A es la proyección delpunto M en la directriz ∆ (figura 1.5). Gracias a la desigualdad triangular,

MO ≤MF + FO = MA+AB = MB (1.6)

donde B es la proyección del punto M en la recta ∆′.Los puntos M que cumplen esta desigualdad pertenecen al interior de la

parábola de foco el origen y directriz ∆′, que resulta ser la parábola de seguridad(1.5). En efecto, los puntos M ′ que cumplen la igualdad forman la parábola

x2 + y2 =(y − v2

0g

)2

⇒ y(x) = g

2v20

((v2

0g

)2

− x2

),

6 1.3. Trayectorias y parábola de seguridad

que no es otra cosa que la envolvente a la familia (1.2) y que, como no podía serde otro modo, coincide con la dada en (1.5). La igualdad se consigue cuando lospuntos O, F y M se encuentran alienados.2

F

D

O

A

B

A'

B'

M

M '

D'

x

y

Figura 1.5: Esquema para la determinación de la envolvente de forma geométrica.

§3. Propiedades de las trayectorias relacionadas con la parábola deseguridad

Por último, damos aquí dos interesantes propiedades relacionadas con larecta tangente a la trayectoria en el punto de tangencia con la envolvente.

Antes de enunciarlas establezcamos las notaciones que seguiremos. Comohemos venido haciendo hasta ahora, el punto de tangencia entre una trayectoriaparabólica con la parábola de seguridad lo denotaremos por M ′. A la rectatangente a la trayectoria en el puntoM ′—que también es tangente a la parábolade seguridad— la denotaremos por τ (figura 1.6).

Proposición 1.1. La recta tangente τ es la bisectriz del ángulo ∠OM ′A′.

Demostración. En efecto, siguiendo la notación de la figura 1.6, tenemos quegracias a la propiedad focal de las parábolas, el ángulo γ incidente en el puntoM ′ es el mismo que el ángulo ∠FM ′R, donde R es el punto de corte de τ conla directriz ∆. Recordar que O, F y M ′ están alineados por ser M ′ un punto dela parábola de seguridad, por lo que ∠FM ′R = ∠OM ′R. Por otra parte, γ esopuesto por el vértice al ángulo ∠RM ′A′. Entonces, γ = ∠OM ′R = ∠RM ′A′

y así la recta τ es la bisectriz del ángulo ∠OM ′A.

El siguiente lema, cuya demostración posponemos al final de esta sección,va a sernos muy útil en la demostración de la propiedad que presentaremos acontinuación.

Lema 1.2. El ángulo de disparo α es el mismo que el ángulo γ que forma larecta τ con la recta que une M ′ y el foco F de la trayectoria de ángulo α.

2La demostración de este hecho es trivial usando el teorema del coseno.


F

O

M '

A'D

t

a

b

g

g

x

y

Figura 1.6: La recta tangente τ es la bisectriz del ángulo ∠OM ′A′.

Proposición 1.2. Sea ρ la recta tangente en el origen a la trayectoria de ánguloα. Entonces, la recta tangente τ es perpendicular a la recta tangente ρ. Además,el punto de corte R de dichas rectas pertenece a la directriz ∆.Demostración. Distinguiremos dos casos según el signo de β, el ángulo del ra-diovector del foco de la trayectoria de ángulo α. Demostraremos que el triángulo4ORM ′ es rectángulo en R en ambos casos.

Supongamos que β ≥ 0. Observando la figura 1.7 vemos que π = ∠ORM ′+(α − β) + γ. Usando en esta expresión el Lema 1.2 y que por el Lema 1.1β = 2α− π

2 , obtenemos

π = ∠ORM ′ + π

2 ⇒ ∠ORM ′ = π

2 .

F

M '

A'R

O

D

r

g

g

ba

t

x

y

Figura 1.7: Caso β ≥ 0 de las demostraciones de la Proposición 1.2 y del Lema 1.2.

Si β < 0 procedemos de modo análogo. Observando en este caso la figura1.8 tenemos que π = ∠ORM ′ + α + β + γ. Usando de nuevo el Lema 1.2 y larelación β = 2α− π

2 obtenemos

π = ∠ORM ′ + π

2 ⇒ ∠ORM ′ = π

2 .

8 1.3. Trayectorias y parábola de seguridad

RD

O

F

A'

M '

b

a

g

g

r t

x

y

Figura 1.8: Caso β < 0 de las demostraciones de la Proposición 1.2 y del Lema 1.2.

Por la propiedad ortóptica de las parábolas sabemos que si dos tangentes auna cierta parábola se cortan ortogonalmente, lo hacen sobre la directriz, lo queconcluye la demostración.

Observación 1. La propiedad ortóptica que hemos usado en la demostraciónde la Proposición 1.2 es una caracterización para las parábolas, ya que son lasúnicas curvas que la cumplen.

Finalmente, y para acabar el capítulo, damos aquí la demostración del Le-ma 1.2.

Demostración. Por una cuestión de claridad vamos a distinguir dos casos, segúnsea el signo del ángulo β.

Supongamos en primer lugar que β ≥ 0. Basándonos en la figura 1.7 es claroque 2γ + π

2 − β = π, por lo que γ = β2 + π

4 . Finalmente, usando el Lema 1.1,obtenemos que γ = α.

Si por el contrario β < 0 nos fijamos en la figura 1.8. Gracias a la Proposición1.1 sabemos que el ángulo ∠RM ′A′ es γ, entonces tenemos que 2γ+ β = π

2 porlo que γ = π

4−β2 . De este modo, teniendo en cuenta que en este caso la magnitud

de β es, por el Lema 1.1, π2 − 2α, obtenemos que efectivamente γ = α.

Capítulo 2

Región de seguridad en el tiro parabólico conrozamiento

Es mucho mejor una respuesta aproximada a la pregunta correcta, lacual es comúnmente vaga, que la respuesta correcta a la pregunta errónea,la cual siempre puede hacerse de una forma precisa.

John W. Tukey«El futuro del análisis de datos»

Galileo ya era consciente de que sus resultados sobre el tiro parabólico úni-camente eran válidos en el vacío. En realidad un objeto con masa m que sedesplaza por un medio como el aire experimenta una fuerza de resistencia Fdque se opone a su movimiento. Diversos experimentos muestran que la resisten-cia del aire depende esencialmente de la velocidad v. La fuerza de resistenciatiene la dirección de la velocidad pero sentido opuesto y, por tanto, su móduloFd depende del módulo de la velocidad v; es decir, Fd = f(v) con f creciente ycumpliendo f(0) = 0.

Para velocidades mayores que la del sonido —que es de aproximadamente333 m/s— podemos asumir que el módulo de la fuerza de rozamiento es pro-porcional al módulo de la velocidad Fd = kv, lo que se conoce como rozamientolineal, y Fd = −kv. Mientras que para velocidades menores el módulo sueleconsiderarse proporcional al cuadrado del módulo de la velocidad Fd = kv2, portanto Fd = −kvv, y la fuerza se denomina rozamiento cuadrático. En amboscasos el parámetro k es un factor dependiente de la temperatura, la densidaddel aire y la forma del objeto.

Nuestro objetivo en este capítulo es, como en el anterior, obtener la regiónde seguridad para las trayectorias de un proyectil. Dicho proyectil es disparadobajo la influencia de la fuerza de gravedad con diferentes ángulos respecto ala horizontal, pero esta vez considerando tanto un rozamiento lineal como cua-drático que se opongan a su movimiento. Para ello trataremos de calcular laenvolvente, si es que existe, de dichas trayectorias.

§1. Rozamiento lineal

Supongamos el lanzamiento de un proyectil de masa m lanzado con unavelocidad v0, formando un ángulo α con la horizontal y sujeto a una fuerza derozamiento de la forma Fd = −kv. Por comodidad vamos a considerar en lo quesigue que α ∈ (0, π) \ {π2 }, aunque más adelante estudiaremos el caso α = π

2 .

9

10 2.1. Rozamiento lineal

Gracias a la segunda ley de Newton, y siguiendo la figura 2.1, obtenemos lasecuaciones del movimiento en cada una de las componentes

x′′ = − kmx′ e y′′ = − k

my′ − g;

ambas ecuaciones son lineales de segundo orden con coeficientes constantes, yjunto a las condiciones iniciales forman el problema de valores iniciales

x′′ = − kmx′, y′′ = k

my′ − g,

x(0) = y(0) = 0,

x′(0) = v0 cosα, y′(0) = v0 senα,

que modeliza la trayectoria del proyectil.

a

mg

v0

O

Fd

v0 cos a

v0 sen a

x

y

Figura 2.1: Esquema para la determinación de la trayectoria de un proyectil sujeto auna fuerza de rozamiento lineal.

La ecuación característica asociada a la componente horizontal es n2 + kmn =

0, cuyas soluciones son n = 0 y n = − km . Por tanto las soluciones fundamentales

son {1, e− km t}. Entonces, cualquier solución puede escribirse como

x(t) = A+Be−km t,

con constantes A y B que quedan determinadas por las condiciones iniciales.Así, tenemos que

A = −B = m

kv0 cosα

y, por tanto, la ecuación de la trayectoria en la componente horizontal es

x(t) = m

kv0 cosα

(1− e− k

m t). (2.1)

Puesto que la ecuación para la componente vertical posee término indepen-diente, tenemos que su solución vendrá expresada como la solución general de suecuación diferencial homogénea más una solución particular. Por suerte la ecua-ción diferencial homogénea se corresponde con la ecuación para la componente

2. Región de seguridad en el tiro parabólico con rozamiento 11

horizontal que acabamos de resolver, yh(t) = C +De−km t. Para obtener una so-

lución particular, teniendo en cuenta que cero es una raíz simple de la ecuacióncaracterística, tantearemos una solución particular de la forma yp(t) = at, cona constante.

Substituyendo yp(t) en la ecuación no homogénea tenemos que a = − gmk ypor tanto

y(t) = yh(t) + yp(t) = C +De−km t − gm

kt,

con C y D constantes cuyo valor viene determinado por las condiciones inicia-les para la componente y. Así, la ecuación de la trayectoria en la componentevertical es

y(t) = m

k

(v0 senα+ gm

k

)(1− e− k

m t)− gm

kt. (2.2)

Para obtener una expresión cartesiana de la trayectoria del proyectil despe-jamos de la ecuación (2.1) la variable t

t = −mk

log(

1− kx

mv0 cosα

).

Substituyendo ahora este valor dentro de la ecuación (2.2) llegamos a la ecuacióncartesiana de la trayectoria

y(x) =(

tgα+ gm

kv0 cosα

)x+ gm2

k2 log(

1− kx

mv0 cosα

). (2.3)

En el caso α = π2 , las ecuaciones paramétricas de la trayectoria se transfor-

man en

x(t) = 0 e y(t) = m

k

(v0 + gm

k

)(1− e− k

m t)− gm

kt,

y se tiene una trayectoria vertical.Finalmente, determinaremos la altura máxima alcanzada para cada trayec-

toria de ángulo α. Dicho máximo se alcanza en el instante

t = m

klog(

1 + kv0

gmsenα

).

Substituyendo este valor de t en la expresión para y(t) de (2.2), tenemos elmáximo alcance vertical h del proyectil

h = m

k2

(kv0 senα− gm log

(1 + kv0

gmsenα

)).

1.1. Obtención analítica de la región de seguridad. Como en el capítuloanterior, para obtener la región de seguridad debemos calcular la envolvente detodas las posibles trayectorias que pueden recorrer los proyectiles variando elángulo de disparo. Para ello consideramos α como un parámetro en la ecuaciónde las trayectorias (2.3), obteniendo así la familia de curvas

F (x, y, α) = y −(

tgα+ gm

kv0 cosα

)x− gm2

k2 log(

1− kx

mv0 cosα

)= 0.

12 2.1. Rozamiento lineal

Como ya sabemos, en esta situación la envolvente es la solución del sistemaF (x, y, α) = 0,∂

∂αF (x, y, α) = 0.

Tenemos que

∂

∂αF (x, y, α) = −

(sec2 α+ gm senα

kv0 cos2 α

)x+ gm2 senα

k cosα(mv0 cosα− kx)

= gkv0 senα cosα− (kv0 + gm senα)(mv0 cosα− kx)kv0 cos2 α(mv0 cosα− kx) x.

Ahora, es claro que

∂

∂αF (x, y, α) = 0 ⇐⇒ x(gm tgα)−mv2

0 + kv secα = 0

⇐⇒ x = mv20 cosα

kv0 + gm senα.(2.4)

Esta es, para cada valor de α, la abscisa del punto de contacto entre la trayectoriay la envolvente. Substituyendo este valor en (2.3) obtenemos una expresión encoordenadas paramétricas, con parámetro α, para la envolvente

x = mv20 cosα

kv0 + gm senα,

y = mv0(g + kv0 senα)k(v0 + gm senα) −

gm2

k2 log(

1 + kv0

gm senα

).

(2.5)

Para llegar a una ecuación implícita de la envolvente debemos eliminar ladependencia de α. Manipulando (2.4) llegamos a la ecuación de segundo gradoen senα

m2(g2x2 + v40) sen2 α+ 2gmkv0x

2 senα+ k2v20x

2 −m2v40 = 0,

cuyas soluciones son

senα = 1m(g2x2 + v4

0)

(−gkv0x

2 ± v20

√(g2m2 − k2v2

0)x2 +m2v40

).

Debido a que hemos asumido que el ángulo de lanzamiento α toma valores entre0 y π, debemos tomar el signo positivo para que se cumpla que senα > 0. Portanto

senα = 1m(g2x2 + v4

0)

(−gkv0x

2 + v20

√(g2m2 − k2v2

0)x2 +m2v40

).

Gracias a este valor de senα tenemos que

mv0(kv0 senα+ g)k(kv0 + gm senα) = v2

0g

+ (g2x2 + v40)(mg2 − k2v2

0)k2gv4

0 + kg2v0√

(g2m2 − k2v20)x2 +m2v4

0

y

log(

1 + kv0

gm senα

)= − log

(−g2kx2 + gv0

√(g2m2 − k2v2

0)x2 +m2v40)

kv40 + gv0

√(g2m2 − k2v2

0)x2 +m2v40)

).


Así, substituyendo estos valores en la expresión de y dependiente de α en (2.5),obtenemos la ecuación cartesiana para la envolvente de las trayectorias de losproyectiles

y(x) = v20g

+ (g2x2 + v40)(mg2 − k2v2

0)k2gv4

0 + kg2v0√

(g2m2 − k2v20)x2 +m2v4

0

+ gm2

k2 log(−g2kx2 + gv0

√(g2m2 − k2v2

0)x2 +m2v40)

kv40 + gv0

√(g2m2 − k2v2

0)x2 +m2v40)

). (2.6)

En la figura 2.2 se observa la envolvente junto con algunas trayectorias.

x

y

Figura 2.2: Algunas trayectorias de los proyectiles junto a su envolvente, considerandoun rozamiento proporcional a la velocidad.

§2. Rozamiento cuadrático

Supongamos ahora el lanzamiento de un proyectil de masa m lanzado conuna velocidad v0, formando un ángulo α con la horizontal y sujeto a una fuerzade rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, es decir, Fd = −kvv.Procediendo como en la sección anterior, la segunda ley de Newton nos da

mdvdt

= Fd + Fg ⇒ mdvdt

= −kvv−mgj, (2.7)

donde {i, j} denota la base ortonormal usual del plano. Además debemos consi-derar nuevamente las condiciones iniciales

x(0) = y(0) = 0, x′(0) = v0 cosα, e y′(0) = v0 senα.

2.1. Obtención de las ecuaciones de movimiento. En primer lugar nota-mos que el vector velocidad v puede expresarse de la forma v = vT con

T(φ) = cosφi + senφj, (2.8)

donde φ se denomina ángulo local de la trayectoria, y representa el ángulo queforman los vectores v e i en cada instante de tiempo t. Gracias a esto tenemosque el vector normal a la trayectoria es

N(φ) = T(φ+ π

2

)= − senφi + cosφj. (2.9)

14 2.2. Rozamiento cuadrático

Como v es tangente a la trayectoria en todo punto, entonces T y N sonlos vectores tangente y normal, respectivamente, a la trayectoria. Notamos queT = N = 1 y T ·N = 0, por lo que son unitarios y ortogonales; de este modo{T,N} forman una base en cada punto de la trayectoria.

Así, en términos de T y N, la ecuación (2.7) toma la expresión

md

dt(vT) = −kv2T−mg((j ·T)T + (j ·N)N),

que se transforma en

m

(dv

dtT + v

dTdφ

dφ

dt

)= −

(kv2 +mg(j ·T)

)T−mg(j ·N)N

y finalmente en

mdv

dtT +mv

dφ

dtN = −(kv2 +mg senφ)T−mg cosφN, (2.10)

donde hemos tenido en cuenta que dTdφ = N, y que las coordenadas del vector j

en la base {T,N} vienen dadas por el par (senφ, cosφ). En efecto, sirviéndonosde la definición de producto escalar1 tenemos que

(j ·T, j ·N) = (cos∠jT, cos∠jN) = (senφ, cosφ) .

Ahora, igualando las componentes tangenciales y normales en (2.10) obtenemoslas dos ecuaciones diferenciales no lineales

dv

dt= −kv

2

m− g senφ, v(0) = v0, (2.11a)

dφ

dt= −g

vcosφ, φ(0) = α. (2.11b)

Antes de comenzar con la resolución de las ecuaciones, procederemos a sim-plificarlas eliminando algunos parámetros. Tomando s = B1t y w = B2v, su-puesto que w = w(s), tenemos

dw

ds

dv

dw= dv

dt

dt

ds⇒ dv

dt= B1

B2

dw

ds

y así (2.11a) se expresa como

dw

ds= −B2

B1g senφ− k

mB1B2w2, w(0) = B2v0.

Análogamente, tomando s = C1t y w = C2φ, con w = w(s), se verifica que

dw

ds

dφ

dw= dφ

dt

dt

ds⇒ dφ

dt= C1

C2

dw

ds

1Más concretamente hemos usado que como la definición del producto escalar es a · b =ab cos∠ab donde ∠ab denota el ángulo que forman los vectores a y b, entonces

cos∠ab =a · bab

.


y (2.11b) puede escribirse como

dw

ds= −C2

C1

g

vcos(w

C2

), w(0) = C2α.

Ahora, haciendo la elección B1 = g/v0, B2 = 1/v0, C1 = g y C2 = 1, y tomandoA = kv2

0mg , las ecuaciones (2.11) se transforman en

dw

ds= − senφ−Aw2 w(0) = 1,

vdw

ds= − cos w, w(0) = α.

Retomando las variables originales t, v y φ, la pareja de ecuaciones (2.11) seconvierte en

dv

dt= − senφ−Av2, v(0) = 1, (2.12a)

vdφ

dt= − cosφ, φ(0) = α. (2.12b)

Por otra parte, teniendo en cuenta la igualdad (2.8) y que v = dxdt i + dy

dt j,obtenemos las relaciones entre la velocidad de la partícula, el ángulo local de latrayectoria y las coordenadas cartesianas de la posición, junto con las condicionesiniciales referentes a la posición de proyectil

dx

dt= v cosφ, x(0) = 0, (2.13a)

dy

dt= v senφ, y(0) = 0. (2.13b)

Las parejas de ecuaciones (2.13) y (2.12) gobiernan el movimiento de lapartícula para valores de tiempo entre 0 y ti, donde ti es el momento de impactoy está definido por y(ti) = 0.

2.2. Resolución del sistema de ecuaciones en el caso α = π/2. En estecaso el proyectil es propulsado hacia arriba. Por consiguiente el movimiento esunidimensional y, como veremos, la solución a las ecuaciones del movimiento(2.12) y (2.13) se puede obtener de manera exacta.

Sin embargo, notemos que la fase ascendente y descendente de la trayectoriase deben analizar por separado. En efecto, denotemos el instante que separalas fases ascendentes y descendentes por ta, definido por v(ta) = 0. Tenemosentonces que ta se corresponde con el tiempo de ascenso. Gracias a la ecuación(2.12b) obtenemos los posibles valores del ángulo local φ en ta, que vienen dadospor

0 = v(ta)dφdt

(ta) = − cosφ(ta).

Entonces, φ(ta) = π2 o φ(ta) = 3π

2 , por tanto consideraremos que la función φ(t)tiene una discontinuidad en t = ta con

lımt→t−a

φ(t) = π

2 y lımt→t+a

φ(t) = 3π2 .


Usando este hecho en (2.12a) llegamos a

lımt→t−a

d

dtv(t) = −1 y lım

t→t+a

d

dtv(t) = 1.

Consideremos en primer lugar la fase ascendente en donde, como acabamosde comentar, los valores del tiempo están dentro del intervalo (0, ta). Las con-diciones iniciales están dadas en (2.12) y (2.13), y en este caso particular son

v(0) = 1, x(0) = 0,

α(0) = π

2 , y(0) = 0.

Se puede demostrar a partir de las ecuaciones (2.12), usando los teoremas deexistencia y unicidad de solución para ecuaciones diferenciales, que la soluciónpara el ángulo local de la trayectoria φ es única y viene dada por φ(t) = π

2 .Introduciendo el valor de φ en la ecuación (2.13b) obtenemos que dy

dt = v.Así, podemos considerar que v = v(y) y deducimos que

dv

dt= dv

dy

dy

dt= v

dv

dy.

Substituyendo esto en (2.12a) obtenemos la ecuación diferencial de variablesseparadas

vdv

dy= −(1 +Av2),

cuya solución esy(v) = C − 1

2A log(1 +Av2),

donde C es una constante de integración. Teniendo en cuenta que y(0) = 0

C = 12A log(1 +A),

por lo que la componente vertical en función de la velocidad es

y(v) = 12A(log(1 +A)− log(1 +Av2)

)= 1A

log√

1 +A

1 +Av2 . (2.14)

Para que esta ecuación esté en función del tiempo, hay que obtener unaexpresión de la velocidad que dependa del tiempo. Para ello, substituyendo en(2.12a) el valor de φ obtenemos la ecuación diferencial de variables separadas

dv

dt= −(1 +Av2),

cuya solución esv(t) = 1√

Atg(√

A(C − t)),

donde C denota nuevamente una constante de integración. Como v(0) = 1, elvalor de C es

1 = 1√A

tg(√

AC)⇒ C = 1√

Aarc tg

√A


y, de este modo,

v(t) = 1√A

tg(√

A

(1√A

arc tg√A− t

)).

Puesto que v(ta) = 0, llegamos a que

ta = 1√A

arc tg√A,

y, por tanto, podemos reescribir la función velocidad en esta fase ascendentecomo

v(t) = 1√A

tg(√

A(ta − t)). (2.15)

Utilizando esta expresión en (2.14) obtenemos la componente vertical y delmovimiento en función del tiempo, dada por

y(t) = 1A

log√√√√ 1 +A

1 + tg2(√

A(ta − t)) = 1

Alog(√

1 +A cos(√

A(ta − t)))

.

(2.16)Recopilando las expresiones obtenidas para ambas componentes del movi-

miento tenemos que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectilen el caso vertical ascendente vienen dadas porx(t) = 0,

y(t) = 1A

log(√

1 +A cos(√

A(ta − t)))

.

Para finalizar con el estudio de la parte ascendente del movimiento vamos aobtener la altura máxima h que alcanza el proyectil. Evaluando (2.16) en ta yusando que y(ta) = h, obtenemos que la altura máxima viene dada por

h = 1A

log√

1 +A. (2.17)

Pasemos a estudiar ahora el caso vertical en su fase descendente, en dondeel tiempo toma valores en el intervalo abierto (ta, ti). Las condiciones inicialesen este caso vienen determinadas por

v(ta) = 0, x(ta) = 0,

φ(ta) = 3π2 , y(ta) = h.

Procediendo como en la fase ascendente, se puede determinar a partir de lasecuaciones (2.12) que φ(t) = 3π

2 .Substituyendo este valor de φ en (2.13b) tenemos que dy

dt = −v, por lo quepodemos suponer que v = v(y) y así

dv

dt= dv

dy

dy

dt= −v dv

dy.

Reemplazando esto en (2.12a) obtenemos en este caso la ecuación diferencial devariables separadas

−v dvdy

= 1−Av2,


con solución

y(v) =∫

−v1−Av2 dv + C1 = 1

2A log(1−Av2) + C, (2.18)

siendo C una constante de integración.De nuevo hemos obtenido una expresión para la componente vertical que

no depende explícitamente del tiempo. Para que esto ocurra procedemos de unmodo análogo a como hicimos en la fase ascendente. Substituyendo el valor deφ en (2.12a) obtenemos la ecuación diferencial de variables separadas

dv

dt= 1−Av2,

cuya solución viene dada por

t =∫ 1

1−Av2 + C1 = 1√A

arg tgh v√A⇒ v = 1√

Atgh√A(t+ C),

donde C es una constante de integración. Para determinar el valor de la cons-tante C usamos que v(ta) = 0. De este modo,

0 = 1√A

tgh√A(ta + C)⇒ 0 =

√A(ta + C)⇒ C = −ta,

por lo que la velocidad en función del tiempo viene dada por

v(t) = 1√A

tgh(√

A(t− ta)). (2.19)

Introduciendo (2.19) en (2.18) llegamos a la expresión

y(t) = 12A log

(sech2

(√A(t− ta)

))+ C = 1

Alog(

sech(√

A(t− ta)))

+ C.

Teniendo en cuenta que y(ta) = h deducimos que C = h y, por tanto, podemosreescribir

y(t) = 1A

log(

sech(√

A(t− ta)))

+ 1A

log√

1 +A2

= 1A

log(√

1 +A sech(√

A(t− ta)))

.

(2.20)

Así, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil, en el casovertical descendente, vienen dadas porx(t) = 0,

y(t) = 1A

log(√

1 +A sech(√

A(t− ta) )) .

Para concluir nuestro análisis de este caso, vamos a calcular la velocidad y eltiempo de impacto del proyectil, que denotaremos por vi y ti, respectivamente.

Definimos el tiempo de descenso como td = ti − ta. Usando que y(ti) = 0 en(2.20) obtenemos que el tiempo de descenso es

td = 1√A

arg cosh√

1 +A,


y el tiempo de impacto ti viene dado por

ti = 1√A

(arc tg

√A+ arg cosh

√1 +A

).

Por otra parte, puesto que v(ti) = vi, de la ecuación (2.19) concluimos quela velocidad de impacto es

vi = 1√A

tgh(

arg cosh√

1 +A)

= 1√A(1 +A)

senh(

arg cosh√

1 +A),

que con la igualdad arg cosh√

1 +A = arg senh√A, nos da la expresión más

simple

vi = 1√1 +A

.

La Tabla 2.1 recoge, a modo de resumen, las expresiones que hemos obtenidopara la velocidad del proyectil y para la posición vertical de la trayectoria en cadauna de las fases del movimiento. Asimismo, también se muestran las expresionesdel tiempo de ascenso para la fase ascendente y del tiempo de descenso en ladescendente.

Fase ascendente Fase descendente

v(t) = 1√A

tg(√

A(t− ta))

v(t) = 1√A

tgh(√

A(t− ta))

y(t) = 1A

log(√

1 +A cos(√

A(t− ta)))

y(t) = 1A

log(√

1 +A sech (√a(t− ta))

)ta = 1√

Aarc tg

√A td = 1√

Aarg senh

√A

Tabla 2.1: Comparación de los distintos aspectos de la trayectoria del proyectil en susdistintas fases.

Como comentario final, y debido a que la verificación es casi inmediata,incluimos aquí una demostración de que el tiempo de ascenso es menor que eltiempo de descenso para cualquier valor de A > 0. Si consideramos la funciónf(x) = arg senh x− arc tg x, es claro que f(0) = 0. Por otra parte, tenemos que

f ′(x) = 1√1 + x2

− 11 + x2 =

√1 + x2 − 11 + x2 > 0.

Así en [0,∞) tenemos que en x = 0 existe un mínimo, y que f(x) es creciente,por lo que f(x) es positiva en dicho intervalo. De este modo

arg senh√A− arc tg

√A > 0⇒ 1√

Aarg senh

√A >

1√A

arc tg√A⇒ td > ta.


2.3. Resolución del sistema de ecuaciones para 0 < α < π/2. En es-te caso consideramos como posibles ángulos de disparo todos los valores de αincluidos en el intervalo abierto (0, π2 ). A diferencia del punto anterior, no po-demos establecer que el ángulo local de la trayectoria φ sea el mismo para todoslos valores del tiempo t ∈ (0, ti); además, también en contraposición al caso an-terior, las ecuaciones diferenciales resultantes no son resolubles en términos defunciones analíticas elementales y nos veremos obligados a resolverlas mediantemétodos numéricos de cuadratura de integrales.

Para empezar, supongamos v = v(φ). Así podemos establecer las relacionest←− φ←− v −→ t. Gracias a ellas y a (2.12) deducimos que

dφ

dt

dv

dφ= dv

dt⇒ dv

dφcosφ = v senφ+Av3 ⇒ dv

dφ− v tg φ = Av3 secφ, (2.21)

que es una ecuación diferencial de tipo Bernoulli. Para solucionarla realizamosel cambio de función w = 1/v2 y de este modo

dw

dφ= d

dφ

1v2 = − 2

v3dv

dφ⇒ dv

dφ= −v

3

2dw

dφ,

por lo que la ecuación (2.21) se convierte en

−v3

2dw

dφ− v tg φ = Av

wsecφ⇒ − 1

2wdw

dφ− tg φ = A

wsecφ

⇒ dw

dφ+ 2w tg φ = −2A secφ,

(2.22)

que es una ecuación diferencial de primer orden. Para resolverla vamos a utilizarel denominado método de variación de la constante. En primer lugar, resolvemosla ecuación homogénea asociada

dw

dφ+ 2w tg φ = 0⇒ w = K cos2 φ; (2.23)

suponiendo ahora que K = K(φ), tenemos

dw

dφ= dK

dφcos2 φ− 2C senφ cosφ

e imponemos que (2.23) satisfaga la ecuación diferencial completa (2.22). Deeste modo llegamos a que

dK

dφ= −2A sec3 φ⇒ K = −2A

∫sec3 φdφ.

Con el fin de resolver esta integral, realizamos en primer lugar una integra-ción por partes tomando

u = secφ, du = secφ tg φdφ,dv = sec2 φdφ, v = tg φ.

Con esto ∫sec3 φdφ = secφ tg φ−

∫sen2 φ sec3 φdφ

= secφ tg φ−∫

sec3 φdφ+∫

secφdφ,


de donde deducimos la identidad∫sec3 φdφ = 1

2 tg φ secφ+ 12

∫secφdφ.

Por lo tanto, la función K es2

K = −A secφ tg φ−A log (tg φ+ secφ) + C

= −A tg φ√

1 + tg2 φ−A log(

tg φ+√

1 + tg2 φ

)+ C,

y, utilizando la identidad arg senh x = log(x+√

1 + x2), concluimos que

K = −A tg φ√

1 + tg2 φ−A arg senh tg φ+ C.

De este modo (2.23) se transforma en

1v2 cos2 φ

= −A tg φ√

1 + tg2 φ−A arg senh tg φ+ C.

Para determinar la constante de integración C usamos que v(0) = 1 y φ(0) = α.Así

C = A tgα√

1 + tg2 α+ arg senh tgα+ 1 + tg2 α,

y la solución de la ecuación de Bernoulli (2.21) es

1v2 cos2 φ

= −A tg φ√

1 + tg2 φ−A arg senh tg φ+

+A tgα√

1 + tg2 α+ arg senh tgα+ 1 + tg2 α. (2.24)

Esta expresión es complicada para trabajar cómodamente con ella. Paradarle un aspecto más manejable vamos a definir la función g(x) = x

√1 + x2 +

arg senh x. Gracias a esta función g, (2.24) toma la expresión

1v2 cos2 φ

= −Ag(tg φ)+Ag(tgα)+1+tg2 α = A (g(− tg φ) + g(tgα))+1+tg2 α,

(2.25)donde hemos usado que la función g es impar, i.e., g(−x) = −g(x). Para lograrque esta expresión sea todavía más simple vamos a considerar la función de dosvariables f(x, y) = A(g(x) + g(y) + 1 + y2). De esta forma, tomando las nuevasvariables

u = − tg φ y ξ0 = tgα,

(2.25) se transforma en1v2 (1 + u2) = f(u, ξ0),

2Para resolver la integral de la secante notamos que

secφ = secφsecφ+ tgφsecφ+ tgφ

=1

secφ+ tgφd

dφ(secφ+ tgφ) .


y, finalmente, la solución a la ecuación de Bernoulli (2.21) se reescribe como

v =

√1 + u2

f(u, ξ0) . (2.26)

Antes de continuar, hagamos un par de consideraciones sobre las funcionesg y f . En primer lugar notamos que g, además de ser impar, es estrictamentecreciente en todo su dominio por ser su derivada

g′(x) =√

1 + x2 + 1 + x2√

1 + x2= 2√

1 + x2

estrictamente positiva. Por otra parte, f(u, ξ0) > 0 para todo u ≥ −ξ0. Enefecto,

u ≥ −ξ0 ⇒ g(u) ≥ g(−ξ0) = −g(ξ0)⇒ g(u) + g(ξ0) > 0⇒ f(u, ξ0) > 0.

Continuamos con nuestro objetivo de obtener unas ecuaciones paramétricasque describan el movimiento del proyectil. Para ello debemos tener en cuentaque t←− x −→ u −→ φ −→ t, por lo que usando (2.13a) y (2.12b) obtenemos

dx

dt= dx

du

du

dφ

dφ

dt⇒ dx

du= v2 cos2 φ. (2.27a)

Por otra parte, de las relaciones t ←− y −→ u −→ φ −→ t, procediendo demodo análogo y usando (2.13b), concluimos

dy

dt= dy

du

du

dφ

dφ

dt⇒ dy

du= v2 senφ cosφ⇒ dy

du= −uv2 cos2 φ. (2.27b)

Finalmente, como t←− u←− x −→ t, deducimos que

du

dt

dx

du= dx

dt⇒ dt

du= v cosφ. (2.27c)

Ahora, de la ecuación (2.26), que nos relaciona la función f(u, ξ0) con v2 cos2 φ,se tiene

v2 cos2 φ = 1f(u, ξ0) .

Por lo que usando esta igualdad en las ecuaciones (2.27) e integrando, obtenemoslas ecuaciones paramétricas que rigen el movimiento del proyectil

x =∫ u

−ξ0

1f(p, ξ0) dp, (2.28a)

y =∫ u

−ξ0

− p

f(p, ξ0) dp, (2.28b)

t =∫ u

−ξ0

1√f(p, ξ0)

dp. (2.28c)

Debemos observar que las fórmulas integrales para x, y y t no pueden ser ex-presadas en términos de funciones elementales.


2.4. Cálculo de la envolvente. Si pensamos el ángulo inicial de lanzamientoα como un parámetro variable en lugar de establecerlo como fijo, las ecuaciones(2.28) forman una familia de curvas paramétricas, de parámetro u, dependientesde ξ0 = tgα. Para obtener la región de seguridad, nuevamente debemos calcularla envolvente de la familia de curvas.

Un primer problema al que nos enfrentamos es que como las curvas estándadas en forma paramétrica, no podemos calcular la envolvente tal y comohemos estado realizando hasta ahora. Como se detalla en el Apéndice A, en estecaso la envolvente viene dada por la solución del sistema

x =∫ u

−ξ0

1f(p, ξ0) dp,

y =∫ u

−ξ0

− p

f(p, ξ0) dp,

∂x

∂u

∂y

∂ξ0− ∂y

∂u

∂x

∂ξ0= 0.

Por tanto, lo primero que necesitamos es calcular las derivadas parciales respectode u y ξ0 de las funciones x e y. Usando el teorema fundamental del cálculotenemos que

∂x

∂u= ∂

∂u

∫ u

−ξ0

1f(p, ξ0) dp = 1

f(u, ξ0) , (2.29a)

y∂y

∂u= ∂

∂u

∫ u

−ξ0

− p

f(p, ξ0) dp = − u

f(u, ξ0) . (2.29b)

Las derivadas parciales respecto a ξ0 van a costar un poco más de trabajo.Empecemos por la parcial de la función x

∂x

∂ξ0= ∂

∂ξ0

∫ u

−ξ0

1f(p, ξ0) dp = ∂

∂ξ0

∫Rχ[−ξ0,u](p)

1f(p, ξ0) dp.

Por el teorema de derivación bajo el signo integral,∂x

∂ξ0=∫R

∂

∂ξ0χ[−ξ0,u](p)

1f(p, ξ0) dp+

∫Rχ[−ξ0,u](p)

∂

∂ξ0

1f(p, ξ0) dp.

Como la derivada en el sentido distribucional3 de la función característica χ[a,∞)es la delta de Dirac δa(x) y ∫

Rδa(x)h(x) dx = h(a),

tenemos entonces∫R

∂

∂ξ0χ[−ξ0,u](p)

1f(p, ξ0) dp =

∫Rδ−ξ0(p) 1

f(p, ξ0) dp = 1f(−ξ0, ξ0) ,

por lo que

∂x

∂ξ0= 1f(−ξ0, ξ0) +

∫ u

−ξ0

1f2(p, ξ0)

∂

∂ξ0f(p, ξ0) dp. (2.30a)

3Las distribuciones son una generalización del concepto de función. Fueron introducidaspor el matemático ruso Sergéi Sóbolev en 1935 y formalizadas por el francés Laurent Schwartzen 1940.


De manera totalmente análoga, obtenemos la derivada parcial de y respecto a ξ0

∂y

∂ξ0= ξ0

f(−ξ0, ξ0) +∫ u

−ξ0

p

f2(p, ξ0)∂

∂ξ0f(p, ξ0) dp. (2.30b)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.29) y (2.30) obtenemos la expresión

∂x

∂u

∂y

∂ξ0− ∂y

∂u

∂x

∂ξ0= ξ0 + u

f(−ξ0, ξ0) +∫ u

−ξ0

p− uf2(p, ξ0)

∂

∂ξ0f(p, ξ0) dp = 0. (2.31)

Ahora, gracias a la igualdad∂

∂ξ0f(p, ξ0) = ∂

∂pf(p, ξ) + 2ξ0,

la ecuación (2.31) se transforma en

ξ0 + u

f(−ξ0, ξ0) +∫ u

−ξ0

p− uf2(p, ξ0)

∂

∂pf(p, ξ0) dp+

∫ u

−ξ0

2ξ0(p− u)f2(p, ξ0) dp = 0. (2.32)

Para lograr una expresión más manejable de (2.32), realizamos una integraciónpor partes en la primera integral tomando

U = p− uf2(p, ξ0) , dU =

(1

f2(p, ξ0) −2(p− u)f3(p, ξ0)

∂

∂pf(p, ξ0)

)dp,

dV = ∂

∂pf(p, ξ0) dp, V = f(p, ξ0).

De este modo∫ u

−ξ0

p− uf2(p, ξ0)

∂

∂pf(p, ξ0) dp = ξ0 + u

f(−ξ0, ξ0) −∫ u

−ξ

1f(p, ξ0) dp

+ 2∫ u

−ξ0

p− uf2(p, ξ0)

∂

∂pf(p, ξ0) dp,

y ∫ u

−ξ0

p− uf2(p, ξ0)

∂

∂pf(p, ξ0) dp = − ξ0 + u

f2(−ξ0, ξ0) +∫ u

−ξ0

1f(p, ξ0) dp.

Finalmente, substituyendo esta expresión en (2.32), llegamos a la ecuación∫ u

−ξ0

f(p, ξ0) + 2ξ0(p− u)f2(p, ξ0) dp = 0. (2.33)

Por lo tanto, la envolvente será la solución del sistema

x =∫ u

−ξ0

1f(p, ξ0) dp,

y =∫ u

−ξ0

− p

f(p, ξ0) dp,∫ u

−ξ0

f(p, ξ0) + 2ξ0(p− u)f2(p, ξ0) dp = 0.

Al igual que nos ocurría con las ecuaciones (2.28), tampoco podemos expre-sar la envolvente de las trayectorias en términos de funciones elementales. Apesar de esto podemos recurrir a métodos numéricos para aproximar tanto lastrayectorias como la envolvente, que es a lo que nos dedicaremos a continuación.


2.5. Aproximación mediante métodos numéricos de las trayectoriasy su envolvente. Como ya comentamos cuando tratamos de obtener unaexpresión explícita para la trayectoria del proyectil, las ecuaciones (2.28) noeran resolubles analíticamente en términos de funciones elementales. Es paraestos casos para los que el análisis numérico nos provee de lo que se denominanfórmulas de cuadratura, que no son otra cosa sino expresiones que nos permitenaproximar el resultado de una integral definida.

Una de las fórmulas que mejores resultados da es la denominada cuadraturade Gauss-Legendre, cuya expresión viene dada por∫ b

a

h(x) dx ≈ b− a2

n∑k=1

wn,kh

(b− a

2 xn,k + a+ b

2

), (2.34)

donde xn,k se denomina nodo desplazado, y coincide con la raíz k-ésima delpolinomio de Legendre Pn de grado n desplazada al intervalo [a, b]; y wk,n es elpeso asociado a xk,n, que se obtiene con la fórmula

wk,n = 2(1− x2

k,n

)(P ′n(xk,n))2

. (2.35)

En nuestro caso queremos aproximar las integrales que definen las funcionesx e y; por tanto, usando (2.34) en las ecuaciones (2.28a) y (2.28b) obtenemos,respectivamente, las cuadraturas

x ≈ u+ ξ0

2

n∑k=1

wk,n1

f(u+ξ0

2 xk,n + u−ξ02 , ξ0

) , (2.36a)

y ≈ u+ ξ0

2

n∑k=1

wk,n−(u+ξ0

2 xk,n + u−ξ02

)f(u+ξ0

2 xk,n + u−ξ02 , ξ0

) , (2.36b)

que nos dan para cada valor de u un punto aproximado de la trayectoria.El cálculo manual de varios puntos mediante estas fórmulas es totalmente

inviable y por ello recurrimos al uso del software Mathematica. Lo primero quehacemos es definir las funciones g(x) y f(x, y), junto con los parámetros A y ξ0,además de la altura máxima del tiro vertical h dada en (2.17).

A:=10;xi:=Tan[alpha];h:=Log[Sqrt[1+A]]/A;g[x_]:=x*Sqrt[1+x^2]+ArcSinh[x];f[x_]:=A(g[x]+g[xi])+1+xi^2;

Notar que hemos definido f(x, y) como una función de una única variable. Larazón de haber realizado tal cosa es que en todas las operaciones que vamos arealizar, ξ0 va a ocupar siempre el valor de la segunda variable.

Para implementar la cuadraturas dadas en (2.36) definimos las funciones

CuadGaussX[{a_,b_},{n_,nodosDesp_,pesos_}]:=((b-a)/2)*Sum[pesos[[k]]/f[nodosDesp[[k]]],{k,1,n}];

CuadGaussY[{a_,b_},{n_,nodosDesp_,pesos_}]:=((b-a)/2)*Sum[pesos[[k]]*(-nodosDesp[[k]])/f[nodosDesp[[k]]],{k,1,n}];


El argumento de entrada {a,b} representa el intervalo de integración [a, b]; porsu parte, {n,nodosDesp,pesos} son el grado n de los polinomios de Legendre,una lista con los nodos desplazados y otra lista con los pesos wk,n, respectiva-mente.

Ahora construimos una función, denominada Trayectoria que obtiene va-rios puntos de una trayectoria y los une con una curva; además, aprovechandola simetría existente respecto al eje de coordenadas vertical, también calcula yune los puntos de la trayectoria con ángulo de disparo π−α. Los argumentos deentrada de esta acción son el ángulo de disparo alpha perteneciente al intervalo(0, π2 ), n que, como antes, indica el grado de los polinomios de Legendre, sup esel máximo valor que deseamos que tome el parámetro u y prec es la distanciaexistente entre dos valores consecutivos de u. Notar que cuanto más pequeñosea prec más puntos obtendremos con la función.

Trayectoria[alpha_,{n_,sup_,prec_}]:=Module[{a,nodos,nodosDesp,pesos,abscisas,ordenadas,

puntosDerecha={},puntosIzquierda={}},xi=Tan[alpha];a=-xi;Do[

nodos=x /.NSolve[LegendreP[n,x]==0,x];nodosDesp=Table[(b-a)/2*nodos[[k]]+(b+a)/2,{k,1,n}];pesos=Table[2/((1-nodos[[k]]^2)*

(D[LegendreP[n,x],x]/.{x->nodos[[k]]})^2),{k,1,n}];abscisas=CuadGaussX[{a,b},{n,nodosDesp,pesos}];ordenadas=CuadGaussY[{a,b},{n,nodosDesp,pesos}];AppendTo[puntosDerecha,{abscisas,ordenadas}];AppendTo[puntosIzquierda,{-abscisas,ordenadas}],

{b,a,sup,prec}];ListLinePlot[{puntosDerecha,puntosIzquierda},

PlotRange->{0,h},InterpolationOrder->5,PlotStyle->{Red,Red},AspectRatio->Automatic]

]

Finalmente definimos la función Trayectorias para poder calcular variastrayectorias a la vez, cuyos argumentos de entrada ya han sido definidos anterior-mente, excepto num que se corresponde con la mitad del número de trayectoriasque queremos obtener; es decir, si lo que deseamos son 20 trayectorias, debemosintroducir como argumento de entrada 10.

Trayectorias[num_,{n_,sup_,prec_}]:=Module[{dib={}},Do[

AppendTo[dib,Trayectoria[alpha,{n,sup,prec}]],{alpha,Pi/(2num+2),num*Pi/(2num+2),Pi/(2num+2)}];AppendTo[dib,ListLinePlot[{{0,0},{0,h}},PlotRange->{0,h},

PlotStyle->Gray,AspectRatio->Automatic]];Show[dib,PlotRange->{0,h},AxesLabel->{x,y},

LabelStyle->Directive[FontSize->15,Italic],Ticks->False,AspectRatio->Automatic,ImageSize->Full]

]


Notar además que independientemente del valor que tome el parámetro numla acción siempre nos dibuja la trayectoria correspondiente al ángulo π

2 . En lafigura 2.3 se pueden observar las distintas trayectorias obtenidas al ejecutarTrayectorias[10,{9,25,0.05}]

x

y

Figura 2.3: Aproximación de las trayectorias de un proyectil sometido a una fuerzade rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Procedemos ahora con la aproximación de la envolvente. En esta ocasiónusaremos la cuadratura de Simpson, cuya fórmula es∫ b

a

h(x) dx ≈ b− a6

(h(a) + 4h

(a+ b

2

)+ h(b)

),

para aproximar la integral en (2.33).Para implementar esta cuadratura en (2.33) definimos la función

CuadSimpsonCondEnv[{a_,b_}]:=((b-a)/6)*((f[a]+2(-a)(a-b))/f[a]^2+4(f[(a+b)/2]+2(-a)((a+b)/2-b))/f[(a+b)/2]^2+1/f[b]);

Como anteriormente, el argumento de entrada {a,b} representa el intervalo deintegración [a, b], mientras que alpha es el ángulo de disparo α.

Construimos ahora una función denominada PuntoEnvolvente que obtienepara cada trayectoria el punto de contacto de ésta con la envolvente.

PuntoEnvolvente[alpha_,{n_}]:= Module[{a,sup,nodos,nodosDesp,pesos,abscisa,ordenada},xi=Tan[alpha];a=-xi;sup=u/.FindRoot[CuadSimpsonCondEnv[{a,u}],

{u,0.1+u/.Last[FindMaximum[CuadSimpsonCondEnv[{a,u}],{u,0}]]}];

nodos:=x/.NSolve[LegendreP[n,x]==0,x];nodosDesp:=Table[(sup-a)/2*nodos[[k]]+(sup+a)/2,{k,1,n}];pesos:=Table[2/((1-nodos[[k]]^2)*

(D[LegendreP[n,x],x]/.{x->nodos[[k]]})^2),{k, 1, n}];abscisa:=CuadGaussX[{a,sup},{n,nodosDesp,pesos}];ordenada:=CuadGaussY[{a,sup},{n,nodosDesp,pesos}];{abscisa, ordenada}

]


Para poder calcular varios puntos de la envolvente de una sola vez definimosla función Envolvente que, además, une dichos puntos. Los argumentos deentrada son los mismos que hemos utilizado en las funciones anteriores.

Envolvente[num_,{n_}]:=Module[{punto,puntos={},puntos2={}},Do[punto=PuntoEnvolvente[alpha,{n}];AppendTo[puntos,punto];AppendTo[puntos2,{-First[punto],Last[punto]}],{alpha,Pi/(2num+2),num*Pi/(2num+2),Pi/(2num+2)}];

AppendTo[puntos2,{0,h}];Show[ListLinePlot[Join[puntos2,Reverse[puntos]],

PlotRange->{0,h},InterpolationOrder->5,PlotStyle->Directive[Blue,Thickness[0.0025]],AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[FontSize->15,Italic],Ticks->False,AspectRatio->Automatic]]

]

La figura 2.4 muestra el resultado de aplicar la siguiente instrucción

Show[Trayectorias[10,{5,30,0.05}],Envolvente[40,{20}],ImageSize->Large]

Como puede verse, hemos calculado 20 trayectorias con 9 nodos, un valor máxi-mo de u de 25 y una precisión de 0.05. Por su parte, para la envolvente hemoscalculado 10 puntos con 40 nodos.

x

y

Figura 2.4: Trayectorias y envolvente, calculadas de manera aproximada, de un pro-yectil sometido a un rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Capítulo 3

Regiones de seguridad en campos conservativos

El matemático, que se encuentra bajo su diluvio de símbolos, y trabaja,al parecer, con verdades puramente formales, puede aún alcanzar resulta-dos de infinita importancia para nuestra descripción del universo físico.

Karl PearsonCitado por N. Rose en «Mathematical Maxims and Minims»

Hasta ahora hemos supuesto que la velocidad inicial con la que el proyectilera disparado era relativamente pequeña y, consecuentemente, las distanciascon las que hemos estado trabajando también eran pequeñas comparadas conel radio terrestre. Es por eso que hemos considerado que la fuerza que ejercíala gravedad sobre el proyectil era constante en módulo, dirección y sentido. Sinembargo, para velocidades iniciales próximas a la velocidad circular debemosconsiderar que la fuerza de la gravedad no es constante y que, en realidad, sedebe a la acción del campo de fuerza gravitacional [6].

Una región D del plano se denomina un campo de fuerza si sobre un puntoP con masa m, situado en cualquier parte de la región D, actúa una fuerza Fque únicamente depende de la posición de dicho punto. El campo de fuerza estádefinido por las proyecciones de F sobre los ejes coordenados: Fx = Fx(x, y) yFy = Fy(x, y). Además, si la dirección de F pasa siempre sobre un punto fijo O ala región D se le denomina campo de fuerza central, y a O centro del campo. Enel campo gravitacional terrestre la fuerza de la gravedad siempre tiene direcciónhacia el centro de la Tierra.

Si P se mueve desde un punto A hasta otro B a través de una curva AB eltrabajo ejercido por la fuerza F es

WAB =∫AB

Fx dx+ Fy dy. (3.1)

El trabajo dependerá en general tanto de los puntos A y B como de la curvaAB. Los campos en los que el trabajo únicamente es función de A y B —y node AB— juegan un importante papel en la mecánica, ya que si P se mueve deA hasta B a lo largo de distintas curvas entonces la fuerza F siempre realizael mismo trabajo. Este tipo de campos se denominan campos conservativos ocampos potenciales. De aquí en adelante supondremos que el campo en el queestamos trabajando es conservativo.

Si fijamos el punto A, entonces el trabajo WAB realizado por un campoconservativo dependerá solamente de las coordenadas (x, y) del punto B; por

29

30

consiguiente, el trabajo será función de x e y, y lo denotaremos por V (x, y). Es-ta función se denomina potencial y cumple que WAB = V (x, y). Consideremosahora otro punto B′ con coordenadas (x′, y′). El trabajo sobre una curva arbi-traria ABB′A es nulo ya que, como únicamente depende del inicio y final de lacurva y éstos coinciden, el trabajo es el mismo que si no se hubiera movido. Portanto WAB +WBB′ +WB′A = 0; pero es claro que WB′A = −WAB′ = V (x′, y′),por lo que

V (x, y) +WBB′ − V (x′, y′) = 0⇒WBB′ = V (x′, y′)− V (x, y). (3.2)

Es decir, el trabajo en el paso de un punto a otro es igual a la diferencia depotencial entre esos dos puntos.

Veamos la relación que hay entre el concepto de potencial y el de fuerza.Supongamos que movemos un punto P con masa m desde el punto A = (x0, y)hasta el punto B = (x, y) a lo largo de una recta paralela al eje de abscisas.Usando (3.1) y (3.2) tenemos que el trabajo es

WAB = V (x, y)− V (x0, y) =∫AB

Fx dx+ Fy dy.

Como el punto se traslada por una recta paralela al eje de abscisas, dy = 0; portanto,

V (x, y)− V (x0, y) =∫ x

x0

Fx dx.

Derivando parcialmente respecto a x obtenemos ∂V∂x = Fx; mediante un pro-

cedimiento análogo llegamos a que ∂V∂y = Fy. Por consiguiente, las derivadas

parciales del potencial V son iguales a las correspondientes proyecciones de lafuerza F sobre los ejes coordenados, es decir,

∂V

∂x= Fx,

∂V

∂y= Fy. (3.3)

De manera recíproca, si asumimos que dada una fuerza F existe una función Vque satisfacen las relaciones (3.3), entonces el campo es un campo potencial.

Tomemos una función V que satisfaga las relaciones (3.3); entonces, el tra-bajo desde el punto A = (x1, y1) hasta el punto B = (x2, y2) a lo largo de uncamino AB es

WAB =∫AB

Fx dx+ Fy dy =∫AB

∂V

∂xdx+ ∂V

∂ydy.

Como el último integrando es en realidad el diferencial total dV , obtenemos lafórmula

WAB =∫AB

dV = V (x2, y2)− V (x1, y1), (3.4)

que expresa el hecho de que el trabajo depende únicamente del principio y finalde la trayectoria, y no de la trayectoria en sí como ya sabíamos. Además, estaúltima ecuación nos dice que la función V es un potencial.

Por tanto, la relación buscada entre la fuerza y el potencial es la siguiente: sien un campo de fuerza existe una función V que satisface las relaciones (3.3), en-tonces el campo de fuerza es un campo de potencial con función potencial V . Se

3. Regiones de seguridad en campos conservativos 31

puede demostrar que el campo gravitacional terrestre es un campo conservativo([2], pág. 101).

La motivación de este capítulo es —por continuación con los anteriores— elestudio de la región de seguridad de las trayectorias de proyectiles bajo la in-fluencia del campo gravitacional terrestre. Sin embargo realizaremos una gene-ralización de nuestro estudio considerando distintas funciones potenciales, endonde podremos encontrar como caso particular el potencial terrestre. Ademássupondremos, por ser más natural en este contexto, que el objeto de nuestroestudio son las trayectorias seguidas por una partícula

Por tanto, la cuestión que nos planteamos es la siguiente: ¿cuál es la regiónde seguridad en trayectorias de partículas que se mueven bajo la influencia deciertos campos potenciales?

§1. Potencial de Kepler o de Coulomb

Una función potencial de la forma V = −K/r, donde r denota la distanciade un punto (x, y) al origen de coordenadas, se denomina potencial de Kepler opotencial de Coulomb.1 Si la constante K es positiva el potencial es atractivo ymodeliza, por ejemplo, el potencial existente en el campo gravitatorio terrestre.Si por el contrario K es negativa, el potencial es repulsivo.

El potencial de Kepler V genera una fuerza F = K/r2. Supongamos entoncesque una partícula de masam, sometida al potencial V , es lanzada desde el punto(r0, 0), con una velocidad v0 formando un ángulo α con la horizontal, ¿cuál esla trayectoria que sigue la partícula?

Establecemos un sistema de coordenadas polares dado por (r, θ) centrado enel origen (figura 3.1). El radiovector del cuerpo en movimiento r es de la formar = r(cos θi + sen θj) = rur; además resulta evidente que uθ = − sen θi + cos θjes el vector perpendicular a ur en la dirección del incremento de θ.

O

r

r0

v0

aq

Fr

Fq

F

uruq

x

y

Figura 3.1: Esquema para la determinación de las trayectoria de una partícula bajola influencia de un potencial situado en el origen O.

1La razón de estos nombres es que tanto el movimiento de los planetas, como las cargaseléctricas se rigen por un potencial de esa forma

32 3.1. Potencial de Kepler o de Coulomb

Las relacionesdurdθ

= uθ y duθdθ

= −ur

nos permiten establecer que la velocidad viene dada por

v = drdt

= d

dt(rur) = dr

dtur + r

urdt

= dr

dtur + r

urdθ

dθ

dt= dr

dtur + r

dθ

dtuθ.

Un razonamiento análogo nos lleva a que

a =(d2r

dt2− r

(dθ

dt

)2)

ur +(

2drdt

dθ

dt+ r

d2θ

dt2

)uθ.

Supongamos que la única fuerza que actúa en el sistema es la del potencialsobre la dirección ur. Usando la segunda ley de Newton y la expresión ante-rior para el vector aceleración deducimos que las ecuaciones que modelizan elmovimiento son

0 = m

(2drdt

dθ

dt+ r

d2θ

dt2

)= m

r

d

dt

(r2 dθ

dt

)(3.5)

y

− K

r2 = m

(d2r

dt2− r

(dθ

dt

)2). (3.6)

Teniendo en cuenta que 1/r 6= 0, de (3.5) obtenemos que

r2 dθ

dt= L, (3.7)

donde L es una constante. Esta ecuación se denomina ley de conservación delmomento angular.

Si reescribimos (3.6) usando (3.7) llegamos a la ecuación de la trayectoria

d2r

dt2= L2

r3 −K

mr2 . (3.8)

El cambio de variable y función z = 1/r, suponiendo z = z(θ), implica quer(θ) = 1/z(θ), por lo que d2r

dt2 = −L2z2 d2zdθ2 . De este modo la ecuación (3.8) se

transforma en

d2r

dt2= L2

r3 −K

mr2 ⇒ −L2 d

2z

dθ2 = L2z − K

m⇒ d2z

dθ2 + z = K

mL2 .

Es evidente que se trata de una ecuación lineal de segundo orden con coeficientesconstantes. La ecuación característica de la ecuación lineal homogénea asociadaes n2 + 1 = 0, cuyas raíces son n = ±i y, por tanto, la base de solucionesasociada es {sen θ, cos θ}. Para determinar una solución particular tanteamoscon soluciones de la forma zp(θ) = w y obtenemos que w = K

mL2 . Así, la solucióngeneral de la ecuación es

z(θ) = q sen θ + p cos θ + K

mL2 ; (3.9)

donde p y q son constantes a determinar usando las condiciones iniciales.


Dichas condiciones iniciales son, por una parte z(0) = 1/r0, puesto queθ(0) = 0. Por otro lado

dy

dt= d

dt(r sen θ) = L

r2 sen θ drdθ

+ L

rcos θ ⇒ dy

dt(0) = L

r0= v0 senα (3.10)

ydx

dt= d

dt(r cos θ) = L

r2 cos θ drdθ− L

rsen θ ⇒ dx

dt(0) = L

r20

dr

dθ= v0 cosα (3.11)

De la ecuación (3.10) obtenemos la constante de conservación del momentoangular L = r0v0 senα. Usando este valor de L en (3.11) concluimos que dr

dθ (0) =r0 cosα

senα , y entoncesdz

dθ(0) = − 1

r20

dr

dθ(0) = − cosα

r0 senα.

Por lo tanto,

z(0) = 1r0⇐⇒ p+ K

mL2 = 1r0⇐⇒ p = 1

r0− K

mL2

ydz

dθ(0) = q = − cosα

r0 senα.

De este modo (3.9) se transforma en

z(θ) = − cosαr0 senα sen θ +

(1r0− K

mL2

)cos θ + K

mL2 ,

que reordenando y tomando A = mr0v20/K nos permite obtener la trayectoria

en coordenadas polares de la partícula1r(θ) = 1− cos θ

Ar0 sen2 α+ cos θ

r0− cosα sen θ

r0 senα . (3.12)

Aunque trabajaremos principalmente con esta ecuación, podemos escribirla deuna forma más elegante. Si agrupamos los términos en una sola fracción tenemos

1r(θ) = 1− cos θ +A sen2 α cos θ −A senα cosα sen θ

Ar0 sen2 α, (3.13)

de donde concluimos de forma inmediata la expresión

Ar0

r(θ) sen2 α = 1− cos θ −A senα sen(θ − α). (3.14)

Hemos conseguido la ecuación de la trayectoria de nuestra partícula, pero apriori no parece que sea una curva familiar para nosotros. Sin embargo, vamosa descubrir que en el fondo la ecuación (3.12) representa a distintas cónicas,dependiendo del valor que tome el parámetro A.

Sabemos que la ecuación en coordenadas polares de una cónica central2rotada respecto al eje horizontal un ángulo φ en el sentido positivo y uno decuyos focos coincide con el origen de coordenadas es

1ρ(θ) = 1± ε cos(θ − φ)

±a(1− ε2) , (3.15)

2Las cónicas centrales son las hipérbolas y las elipses. Se denominan así debido a que sucentro es un punto ordinario del plano, es decir, que no pertenece a la cónica ni es un puntodel infinito.


donde ε, a ∈ (0,+∞) denotan la excentricidad y el semieje mayor, respectiva-mente.

Escrita en forma desarrollada, la ecuación (3.15) toma la forma1ρ(θ) = 1± ε cosφ cos θ ± ε senφ sen θ

±a(1− ε2) ,

con ε 6= 1, que es muy similar a la dada en (3.13). Comparando ambas expre-siones obtenemos el sistema de tres ecuaciones

±ε cosφ = −(1−A sen2 α),

±ε senφ = −A senα cosα,

±a(1− ε2) = Ar0 sen2 α,

(3.16)

en donde las incógnitas son ε, φ y a. De las dos primeras ecuaciones deducimosla excentricidad

ε2 = (1−A sen2 α)2 +A2 sen2 α cos2 α⇒ ε =√

1 +A(A− 2) sen2 α.

Como ya sabemos, el valor de la excentricidad caracteriza el tipo de cónica:elipse si ε ∈ (0, 1), parábola si ε = 1 e hipérbola si ε ∈ (1,∞), aunque ennuestro caso ε = 1 no está definido. El valor de ε = 1 está asociado con A = 2 ymomentáneamente lo omitiremos. A la vista de la expresión que hemos obtenidopara la excentricidad, tenemos que el tipo de trayectoria que sigue la partículaestá marcado por el parámetro A.

Si K > 0, entonces A > 0 y podemos distinguir los siguientes casos:

• si A ∈ (0, 2), entonces ε ∈ (0, 1) y por tanto la trayectoria que siguela partícula es elíptica;• si A ∈ (2,∞), entonces ε ∈ (1,∞), y lo que obtenemos es una trayec-toria hiperbólica.

Sin embargo, si K < 0 se tiene que A < 0 y ε ∈ (1,∞) para cualquiervalor de A. Es decir, si el potencial es repulsivo todas las trayectorias sonhiperbólicas.

Regresando de nuevo al sistema dado en (3.16), el ángulo φ que la cónica estárotada respecto a la horizontal lo podemos calcular utilizando las dos primerasecuaciones

tg φ = A senα cosα1−A sen2 α

⇒ φ = arc tg(A senα cosα1−A sen2 α

).

Notemos que φ es el arcotangente de una función dependiente del ángulo dedisparo, i.e, φ = arc tg f(α). Además existe un ángulo α0 ∈ [−π, π) tal que

lımα→α−0

f(α) = +∞ y lımα→α+

0

f(α) = −∞.

Para enmendar este problema definimos φ de un modo más conveniente paranuestros intereses de la siguiente manera

φ =

arc tg

(A senα cosα1−A sen2 α

), si α < α0,

arc tg(A senα cosα1−A sen2 α

)+ π, si α > α0.


Finalmente, la última variable que obtenemos del sistema (3.16) es el semiejemayor

±a = Ar0 sen2 α

1− ε2 ⇒ a = ± r0

A− 2 .

Observar que esta expresión no depende del ángulo de disparo, característicaque será crucial a la hora de hallar geométricamente la envolvente de todas lastrayectorias.

Sin embargo, una peculiaridad que posee a es que siempre debe ser positivodebido a que representa una distancia. Esto justifica que en la expresión aparezcael ±, ya que cuando A toma valores menores que dos el cociente r0

A−2 es negativoy debemos usar el signo negativo; pero si A es mayor que dos debemos usar elpositivo.

Una vez conocido el semieje mayor y la excentricidad, calcular la semidis-tancia focal es sencillo teniendo en cuenta que la excentricidad de una cónicacentral se puede obtener mediante la fórmula ε = c/a. De este modo, tenemosque

c = ± r0

A− 2√

1 +A(A− 2) sen2 α,

tomando el signo negativo cuando A ∈ (−∞, 2) \ {0}; y el signo positivo siA ∈ (2,∞).

Ahora, gracias a las relaciones

a2 = b2 + c2 y a2 = c2 − b2,

válidas según la cónica sea una elipse o una hipérbola respectivamente, podemosobtener el semieje menor. Si A ∈ (0, 2) la trayectoria es elíptica y por tanto

b2 = a2 − c2 = a2(1− ε)⇒ b = r0 senα√

A

2−A ;

pero, si por el contrario A ∈ (−∞, 0) ó A ∈ (2,∞) la trayectoria es hiperbólicay tenemos que

b2 = c2 − a2 = a2(ε− 1)⇒ b = r0 senα√

A

A− 2 .

En la Tabla 3.1 se da un resumen del valor que toman los dos semiejes y lasemidistancia focal en función del parámetro A.

A (−∞, 0) (0, 2) (2,∞)

ar0

2−Ar0

A− 2

b r0 senα√

A

A− 2 r0 senα√

A

2−A r0 senα√

A

A− 2

cr0√

1 +A(A− 2) sen2 α

2−Ar0√

1 +A(A− 2) sen2 α

A− 2

Tabla 3.1: Tabla de valores para el semieje mayor, el semieje menor y la semidistanciafocal atendiendo al valor del parámetro A.


Por otra parte ya sabemos que un foco está situado sobre el origen del sistemade coordenadas pero, ¿dónde se encuentra el otro foco F = (xF , yF )? Para poderlocalizarlo usamos la semidistancia focal c y el ángulo de rotación de la cónicaφ. De este modo

xF = 2c cosφ = ±2r0(1−A sen2 α)A− 2 e yF = 2c senφ = ±2Ar0 senα cosα

A− 2 ,

tomando el signo negativo si A ∈ (−∞, 2)\{0}, y el positivo si A ∈ (2,∞). Deaquí se sigue inmediatamente que las coordenadas del centro C = (xC , yC) son

xC = c cosφ = ±2r0(1−A sen2 α)A− 2 e yC = c senφ = ±2Ar0 senα cosα

A− 2 .

Si queremos obtener las ecuaciones cartesianas de estas trayectorias, tratarde hacerlo a partir de las coordenadas polares se antoja una tarea complicada.En su lugar, realizaremos una rototraslación a partir de la elipse centrada enel origen cuyos parámetros son lo que acabamos de calcular. De este modo,partiendo de la ecuación canónica

x2

a2 + y2

b2 = 1

realizamos una traslación de vector (c, 0), hasta que uno de los focos coincidacon el origen de coordenadas. Nosotros supondremos, sin pérdida de generalidad,que es el foco izquierdo el que está situado en el origen; de este modo

(x− c)2

a2 + y2

b2 = 1.

Realizando una rotación de ángulo φ en el sentido positivo obtenemos lascoordenadas cartesianas de la trayectoria. Para esto, tenemos que las nuevascoordenadas (x, y) satisfacen la relación(

xy

)=(

cosφ − senφsenφ cosφ

)(xy

)⇒(xy

)=(

cosφ senφ− senφ cosφ

)(xy

)y de este modo, la ecuación cartesiana de la trayectoria es

(x cosφ+ y senφ− c)2

a2 + (−x senφ+ y cosφ)2

b2 = 1,

donde a, b, c y φ son los elementos calculados anteriormente según el valor delparámetro A.

En todo este análisis hemos dejado de lado el caso A = 2. Para este valor setiene de (3.14)

1r(θ) = 1− cos θ + 2 senα sen(α− θ)

2r0 sen2 α,

que usando la identidad 2 sen x cos y = cos(x− y)− cos(x+ y) se convierte en

r(θ) = 2r0 sen2 α

1− cos(θ − 2α) .


La ecuación polar de una parábola girada un ángulo φ es

ρ(θ) = p

1− cos(θ − φ) ,

donde p se denomina distancia focal y representa la distancia del foco a ladirectriz. Por tanto para A = 2, la trayectoria es una parábola girada un ángulo2α y con distancia focal

p = 2r0 sen2 α.

Para hallar la ecuación cartesiana de la trayectoria cuando ésta es parabólicavamos a tener en cuenta que la ecuación canónica cartesiana de una parábolacon el foco en el origen, eje de simetría el eje horizontal y con el interior ala derecha, viene dada por y2 = p(2x + p); aplicando una rotación de ánguloφ = 2α a esta ecuación tenemos la ecuación cartesiana

(−x senφ+ y cosφ)2 = p(2x cosφ+ 2y senφ+ p).

En la Tabla 3.2 se muestra un resumen de los casos que acabamos de analizary en la figura (3.2) una imagen de las posibles trayectorias.

K < 0 K > 0A < 0 A ∈ (0, 2) A = 2 A > 2

Hiperbólica Elíptica Parabólica Hiperbólica

Tabla 3.2: Posibles trayectorias de la partícula atendiendo tanto al tipo de potencialcomo a las condiciones iniciales del lanzamiento, que aparecen recogidas en A.

x

y

Figura 3.2: Posibles trayectorias de la partícula dependiendo del valor del parámetroK. En gris las trayectorias elípticas, en rojo la parabólica y en azul las hiperbólicas.

1.1. Cálculo analítico de la región de seguridad. Supongamos que laecuación de la trayectoria de la partícula (3.12) es siempre positiva para cual-quier valor de θ, i.e., z(θ) > 0. Entonces, considerando α como un parámetro


obtenemos una familia de trayectorias. Como esta familia está dada en coor-denadas polares, para hallar la envolvente que delimita la región de seguridaddebemos resolver el sistema dado por (vid. Apéndice A)

1r(θ) = 1− cos θ

Ar0 sen2 α+ cos θ

r0− cosα sen θ

r0 senα ,

dr

dα= 0.

Notemos quedr

dα= − 1

z2dz

dα= 0 ⇐⇒ dz

dα= 0,

por lo que derivamos parcialmente la ecuación (3.12) respecto de α e igualamosa cero

dz

dα= −2(1− cos θ)

Ar0 sen2 αcosα+ sen θ

r0 sen2 θ= 0.

De este modo, obtenemos la condición

tgα = 2(1− cos θ)A sen θ ,

que usando la identidad sen2 α = tg2 α1+tg2 α se convierte en

sen2 α = 4(1− cos θ)2

4(1− cos θ)2 +A2 sen2 θ.

Substituyendo ahora estos valores en la trayectoria (3.12) obtenemos

z(θ) = 4(1− cos θ)2 −A2 sen2 θ + 4A(1− cos θ) cos θ4Ar0(1− cos θ) , (3.17)

que operando se transforma en

z(θ) = − (A− 2)2

4Ar0

(cos θ + A+ 2

A− 2

).

De este modo la ecuación polar de la envolvente será

r(θ) = −4Ar0

(A− 2) (A(1 + cos θ) + 2(1− cos θ)) . (3.18)

¿Está bien definida esta ecuación para cualquier valor de A? Apoyándonosen la Tabla 3.3 observamos que únicamente está bien definida para valores deA dentro del conjunto (−∞, 2) \ {0}.

A (−∞, 0) (0, 2) 2 (2,∞)

−4Ar0 + −

A− 2 − 0 +

A(1 + cos θ) + 2(1− cos θ) Depende de θ + 4 +

r(θ) Depende de θ + @ −

Tabla 3.3: Estudio del signo 3.18 para distintos valores de A


Vamos a analizar en primer lugar el valor particular A = −2, ya que va aser un caso límite —notar que la expresión para z se simplifica significativa-mente para este valor—. Lo que ocurre en este caso es que la ecuación (3.17) setransforma en

z(θ) = 2 cos θr0

⇒ r(θ) = r0

2 cos θ .

Para identificar la envolvente totalmente hay que tener en cuenta que x =r(θ) cos θ e y = r(θ) sen θ, por lo que

x = r0

2 e y = r0

2 tg θ,

que representa, como podemos ver en la figura 3.3, la recta vertical x = r02 ; es

decir, la mediatriz del segmento que une el origen y el punto de lanzamientoR = (r0, 0).

RO

x =

r0

2

x

y

Figura 3.3: Trayectorias de la partícula para distintos ángulos de disparo en el casoA = −2 y su envolvente, la mediatriz de los puntos O y R.

Tratemos ahora de expresar la envolvente en forma cartesiana para el restode los casos, es decir A ∈ (−∞, 2) \ {−2, 0}. Puesto que x = r(θ) cos θ se tieneque

x = 4Ar0 cos θ4−A2 − (A− 2)2 cos θ ⇐⇒ cos θ = (4−A2)x

4Ar0 + (A− 2)2x.

Notamos que para que este coseno esté bien definido tiene que ocurrir que

x ∈

(−∞, 2r0

2−A

]∪[Ar0

A− 2 ,∞), si A ∈ (−∞,−2),(

−∞, Ar0

A− 2

]∪[

2r0

2−A,∞), si A ∈ (−2, 0),(

Ar0

A− 2 ,2r0

2−A

], si A ∈ (0, 2).


Ahora, usando que sen2 θ = 1− cos2 θ, tenemos

sen θ = ±√

8A(Ar0 − (A− 2)x)(2r0 + (A− 2)x)4Ar0 + (A− 2)2x

.

Por lo tanto, como y = r(θ) sen θ, llegamos a la expresión

y = 14−A2

√8A(Ar0 − (A− 2)x)(2r0 + (A− 2)x),

de donde elevando al cuadrado y completando cuadrados obtenemos

4(A− 2)2

r20(A+ 2)2

(x− r0

2

)2+ (A− 2)2

2Ar0y2 = 1, (3.19)

que es la ecuación cartesiana de la envolvente y representa distintas curvas segúnel valor del parámetro A.

Analicemos primero el caso en el que A ∈ (−∞,−2), asociado con K < 0.Así r0 ∈ (−2K

mv20,∞) y la ecuación (3.19) se transforma en la hipérbola(

x− r02)2(

r0(A+2)2(2−A)

)2 −y2(

r0√−2A

2−A

)2 = 1, (3.20)

cuyos semiejes mayor y menor son

a = r0(A+ 2)2(2−A) y b = r0

√−2A

2−A .

Las trayectorias y la envolvente en este caso aparecen representadas en la figu-ra 3.4.

O Rx

y

Figura 3.4: Trayectorias de la partícula para distintos ángulos de disparo en el casoA ∈ (−∞,−2) y su envolvente, que se corresponde con la rama hiperbólica más alejadadel punto de disparo. En discontinuo se representa la otra rama hiperbólica.

Para A ∈ (−2, 0), para el que también K < 0, se tiene que el punto delanzamiento cumple que r0 ∈ (0, −2K

mv20

) y la ecuación (3.19) es de nuevo unahipérbola, dada esta vez por la ecuación(

x− r02)2(

r0(A+2)2(2−A)

)2 −y2(

r0√−2A

2−A

)2 = 1, (3.21)


cuyos semiejes mayor y menor son, respectivamente

a = r0(A+ 2)2(2−A) y b = r0

√−2A

2−A .

En la figura 3.5 se muestran las trayectorias y la envolvente en este caso.

ROx

y

Figura 3.5: Trayectorias de la partícula para distintos ángulos de disparo en el casoA ∈ (−2, 0) y su envolvente, que se corresponde con la rama hiperbólica más cercanaal punto de disparo. En discontinuo se representa la otra rama hiperbólica.

Debemos notar que aunque para los casos A ∈ (−∞,−2) y A ∈ (−2, 0) laecuación cartesiana de la envolvente es de una misma hipérbola, la envolventeno es la misma. Si A ∈ (−∞,−2) la envolvente es la rama hiperbólica másalejada del punto de disparo R, y si A ∈ (−2, 0) es la más cercana.

Finalmente, en el caso de que A ∈ (0, 2), asociado con K > 0, se tiene queel punto de lanzamiento cumple r0 ∈

(0, 2K

mv20

)y la ecuación (3.19) se convierte

en la elipse de ecuación (x− r0

2)2(

r0(A+2)2(2−A)

)2 + y2(r0√

2A2−A

)2 = 1, (3.22)

cuyos semiejes mayor y menor son

a = r0(A+ 2)2(2−A) y b = r0

√2A

2−A .

Las trayectorias elípticas y su envolvente aparecen representadas en la figura 3.6.


ROx

y

Figura 3.6: Trayectorias de la partícula para distintos ángulos de disparo en el casoA ∈ (0, 2) y su envolvente, que se corresponde con una elipse.

No podemos cerrar este apartado sin dejar de hacer un par de observacionesrelativas a las envolventes. En primer lugar hay que notar que todas las envol-ventes no degeneradas están centradas en el mismo punto, a saber, C =

(r02 , 0

).

Por otra parte, todas tienen la misma semidistancia focal c = r02 ; basta despejar

c de la identidad a2 = c2− b2 en el caso de que la envolvente sea una hipérbola,o de a2 = b2 + c2 en el caso de que la envolvente sea una elipse.

Gracias a estas dos observaciones podemos afirmar que uno de los focos delas cónicas envolventes de las trayectorias es el punto donde se encuentra elpotencial, i.e, el origen del sistema de coordenadas, mientras que el otro foco secorresponde con el punto de lanzamiento R.

1.2. Cálculo geométrico de la envolvente Hemos visto que el semieje ma-yor a de todas las cónicas que representan las trayectorias de la partícula esindependiente del ángulo de disparo. Dichas trayectorias son elipses en el casoA ∈ (0, 2) e hipérbolas si A ∈ (−∞, 0), donde A = mr0v

20

K . La razón de con-siderar únicamente estos valores de A es que, como hemos visto al calcular laenvolvente de forma analítica, fuera de estos valores la envolvente no existe.

Para el caso de que las trayectorias sean elípticas, siguiendo la notación dela figura 3.7 y siendo F el foco fuera del origen de la trayectoria, tenemos que

OR+RF = 2a⇒ RF = 2a− r0,

por lo que RF , al igual que el semieje mayor, no depende del ángulo de disparo.Esto implica que la distancia del foco de una cualquiera de las trayectorias alpunto de disparo es constante, es decir, que los focos forman una circunferenciacon centro R = (r0, 0) dada por

(x− r0)2 + y2 = (2a− r0)2.

Por otra parte, un punto cualquiera M de la trayectoria de la partículacumple

OM +MR ≤ OM +MF + FR = 2a+ 2a− r0 = 4a− r0. (3.23)


Si consideramos la igualdad tenemos

OM +MR = 4a− r0 (3.24)

que es la definición de elipse como lugar geométrico.

F

M

RO

M'

x

y

Figura 3.7: Esquema para la obtención geométrica de la envolvente en el ca-so A ∈ (0, 2).

El razonamiento que seguimos es el siguiente: un punto cualquiera M decualquier trayectoria cumple (3.23), lo que significa que todas las trayectoriasestán dentro de la elipse (3.24). Además, sabemos que ésta igualdad únicamentese cumple cuando los puntos R, F y M están alineados, en cuyo caso el puntoM se convierte en el punto de tangencia.

Veamos que (3.24) es en realidad la ecuación (3.22). En efecto, (3.24) esequivalente a (

24a− r0

)2 (x− r0

2

)2+ y2

2a(2a− r0) = 1,

que se transforma en (x− r0

2)2(

r02A+22−A

)2 + y2(r0√

2A2−A

)2 = 1.

El otro caso que debemos analizar es en el que la partícula sigue una trayecto-ria hiperbólica. Como ya sabemos una hipérbola se compone de dos ramas, peroúnicamente vamos a trabajar con la rama que contiene al punto de lanzamientodebido a que es ésta la que se corresponde con la trayectoria de la partícula. Noconsideramos, entonces, que la partícula pueda retornar del infinito por la otrarama, si no que se aleja indefinidamente.

Siguiendo el esquema de la figura 3.8, tenemos que OR − RF = 2a porpertenecer R a la hipérbola y por ser F el foco de la trayectoria hiperbólicadistinto del origen, por lo que RF = r0 − 2a. Observamos que este valor nodepende del ángulo de disparo, lo que implica que los focos de las trayectoriashiperbólicas se encuentran nuevamente sobre una circunferencia de centro Rdada por

(x− r0)2 + y2 = (r0 − 2a)2.


Por otra parte seaM un punto de una trayectoria hiperbólica cualquiera. Setiene que

MR ≤MF + FR ⇐⇒ OM −MR ≥ OM −MF − FR = 4a− r0. (3.25)

Si consideramos la igualdad tenemos

OM −MR = 4a− r0, (3.26)

que es la definición de una hipérbola como lugar geométrico.

R

M'

M

F

Ox

y

Figura 3.8: Esquema para la obtención geométrica de la envolvente en el caso de A ∈(−∞, 0). Para realizar el dibujo únicamente hemos considerado el caso A ∈ (−∞,−2).

El razonamiento que realizamos en este caso es análogo al realizado parala elipse: un punto M de cualquier trayectoria cumple la desigualdad (3.25),por lo que todas las trayectorias son exteriores a la hipérbola dada en (3.26).Como esta igualdad sólo se cumple cuando los puntos R, F yM están alineados,tenemos que en este caso M se convierte en el punto de tangencia.

Comprobemos que efectivamente obtenemos el mismo resultado que con elprocedimiento analítico. De (3.26) tenemos√

x2 + y2 = 4a− r0 +√

(x− r0)2 + y2 ⇐⇒

⇐⇒ 2a(2a− r0) = (x− r0)2 + r0(x− r0) + (4a− r0)2

8a(2a− r0)y2.

Simplificando llegamos a

4(4a− r0)2

(x− r0

2

)2− 1

2a(r0 − 2a)y2 = 1,

que se corresponde con las hipérbolas (3.20) y (3.21), de semiejes a = r0(A+2)2(A−2)

y b = r0√−2A

2A .


1.3. El experimento de Rutherford. Para finalizar analizamos el experi-mento de Rutherford, que a la postre significaría el derrumbamiento de la teoríaatómica de Thomson y el establecimiento del modelo atómico de Rutherfordque, aun siendo erróneo, ha sobrevivido a nivel popular como modelo del átomohasta nuestros días. La explicación del experimento tiene su contexto natural enel estudio de trayectorias de partículas sobre las que actúa un cierto potencial.

El modelo de Thomson debe su nombre al físico británico Joseph John Thom-son3 que lo propuso en 1904. En su modelo se entiende que el átomo está com-puesto por electrones de carga negativa, distribuidos en posiciones equidistantesy lo más distante posibles entre sí, en un átomo con carga positiva. Este hechoes el responsable de que se conozca este modelo como modelo del pudín conpasas debido a la analogía con dicho pastel inglés, donde la masa del pudínrepresentaría la masa del átomo cargada positivamente y las pasas incrustadasen el pastel serían los electrones.

En 1909 los físicos Hans Geiger y Ernest Marsden realizaron, bajo la super-vision de Ernest Rutherford (figura 3.9), el experimento conocido actualmenteen la literatura física como Experimento de Rutherford o Experimento Geiger-Marsden. Geiger y Marsden dirigieron sobre una lámina de oro muy fina unhaz de partículas α (cuya carga eléctrica es positiva) procedentes de una fuenteradiactiva y observaron que la mayoría de las partículas α atravesaban la láminasin ser desviadas, pero algunas la atravesaban sufriendo desviaciones conside-rables e incluso unas pocas llegaban a rebotar en la lámina. Este resultado eratan inesperado que en palabras del propio Rutherford:

Era el suceso más increíble que me había sucedido en la vida. Eracomo si disparara un proyectil de 15 pulgadas contra una pedazo depapel y éste rebotara dirigiéndose directamente hacia mi.4

Figura 3.9: Retratos de Ernest Rutherford, Hans Geiger y Ernest Marsden, respon-sables del experimento de Rutherford.

Rutherford publicó sus resultados en el artículo The scattering of α and βparticles by matter and the structure of the atom de 1911 (figura 3.10) y estable-ció un nuevo modelo atómico para poder explicar correctamente las desviacionesobservadas, con lo que dejó obsoleto el anterior modelo propuesto por JosephJohn Thomson en 1904.

3Thomson es considerado como el inventor del espectómetro de masas y descubridor delelectrón en 1897, hecho este último por el que recibió el Premio Nobel de Física en 1906

4Esta cita se puede encontrar en la página 57 del libro de Laylin James, Nobel Laureatesin Chemistry, 1901-1992. Chemical Heritage Foundation, 1993.


Figura 3.10: Páginas 669, 672 y 673 del artículo de Rutherford The scattering of α andβ particles by matter and the structure of the atom en donde se explican los resultadosde su famoso experimento. Observar la gran similitud entre la parábola obtenida porRutherford y obtenida por nosotros en la figura 3.12.

Nuestro objetivo consiste en determinar la región de seguridad que provocael potencial del núcleo del átomo alrededor de éste. En nuestro modelización delexperimento, el núcleo atómico jugaría el papel del potencial repulsivo situadoen el centro de coordenadas, por lo que establecemos que K < 0. Las partículasα cargadas positivamente se proyectan desde un punto que podemos considerarcomo impropio, debido a las pequeñas dimensiones del núcleo respecto al tamañototal del átomo, i.e, r0 =∞.5

En primer lugar debemos recordar que el momento angular viene dado porL = r × v, por lo que L = rv sen θ. Ahora, observando la figura 3.11 es claroque L = vb, donde b se denomina parámetro de impacto. Como L es constantepor la ley de conservación del momento angular, tenemos que necesariamentev = v0 y así L = v0b.

Substituyendo el valor de L en la ecuación (3.9) obtenemos

z(θ) = q sen θ + p cos θ + K

mv20b

2 .

Para determinar las constantes q y p tenemos en cuenta las condiciones iniciales.Usando la condición inicial r(0) =∞ se tiene que

0 = p+ K

mv20b

2 ⇒ p = − K

mv20b

2 ,

y por tantoz(θ) = q sen θ − K

mv20b

2 cos θ + K

mv20b

2 .

Por otra parte, substituyendo L en (3.7) tenemos que dθdt = v0b

r2 y así

dz

dt= d

dt

(1r

)= − 1

v0b

dθ

dt

dr

dt=(q cos θ + K

mv20b

2 sen θ)dθ

dt.

5Si imaginamos un átomo con las dimensiones de un campo de fútbol, su núcleo sería deltamaño de una canica colocada en el centro.


O

q

r sen q b

v

r

x

y

Figura 3.11: Esquema para la determinación de las trayectorias que siguen las partí-culas α en el experimento de Rutherford.

De la última igualdad obtenemos la ecuación

dr

dt= −qv0b cos θ − K

mvbsen θ,

y, usando ahora la condición inicial drdt (0) = −v0, llegamos a que

−v0 = −qv0b⇒ q = 1b.

Así, la trayectoria que sigue nuestra partícula α viene dada por

z(θ) = 1b

sen θ + K

mv20b

2 (1− cos θ). (3.27)

Para calcular la región de seguridad debemos calcular la envolvente de lafamilia de trayectorias (3.27). Como las trayectorias están dadas en coordenadaspolares, sabemos que el sistema que debemos resolver viene dado por

z(θ) = sen θb

+ K(1− cos θ)mv2

0b2 ,

dz

db= 0.

Derivando parcialmente la ecuación de la trayectoria respecto de b e igualandoa cero, obtenemos la condición

dz

db= − sen θ

b2 − 2K(1− cos θ)mv2

0b3 = 0⇒ 1

b= − mv2

0 sen θ2K(1− cos θ) .

Substituyendo este valor en (3.27) deducimos que

z(θ) = − mv20 sen2 θ

4K(1− cos θ) = mv20(1 + cos θ)

4K . (3.28)

Ahora mediante el cambio a coordenadas cartesianas se tiene que

x = r(θ) cos θ ⇐⇒ cos θ = − mv20x

4K +mv20x,

48 3.2. Potencial armónico

que únicamente está bien definido si x < 2Kmv2

0. De aquí llegamos inmediatamente

a la expresión

y = r(θ)√

1− cos2 θ = ± 2mv2

0

√2K(2K +mv2

0x),

que elevando al cuadrado nos da la envolvente en coordenadas cartesianas

y2 = 8Kmv2

0

(x+ 2K

mv20

),

que se corresponde con una parábola horizontal. En la figura 3.12 se observanalgunas trayectorias de las partículas α para distintos valores del parámetro b ysu envolvente asociada.

x

y

Figura 3.12: Envolvente que delimita la región de seguridad que forman las trayecto-rias de las partículas α.

§2. Potencial armónico

Supongamos que un punto P se desplaza por un campo de fuerza centralen el que la fuerza F está inducida por un potencial V = λ2

2 r2, denominado

potencial armónico. La fuerza tiene dirección hacia el centro del campo y es, enmódulo, proporcional a la distancia del punto al centro, i.e, F = λ2r. Usando lasegunda ley de Newton, tenemos que la dirección de la aceleración también eshacia el centro del campo y es, en módulo, proporcional a la distancia del puntoal centro. Un movimiento que posee esta propiedad de denomina movimientoen el plano armónico y a la fuerza F se la denomina fuerza elástica.

Sea una partícula de masa m lanzada, con una velocidad inicial v0, desdeun punto R = (x0, 0) de un plano con un potencial armónico V .

Consideremos el centro del campo como el origen O de un sistema de coor-denadas cartesianas en el plano. Entonces, gracias a la segunda ley de Newtonobtenemos los siguientes problemas de valores iniciales{

mx′′ = −λ2x,

x′(0) = v0 cosα, x(0) = x0;y

{my′′ = −λ2y,

y′(0) = v0 senα, y(0) = 0;(3.29)


uno por cada componente cartesiana, y en donde λ es la constante de propor-cionalidad de la fuerza elástica. Conviene notar que ambos problemas tienen laforma {

mz′′ = −λ2z,

z′(0) = z′0, z(0) = z0.(3.30)

La ecuación característica de este tipo de ecuación diferencial es mn2 + λ2n =0, cuyas raíces son n = ± λ√

mi. Entonces, denotando ω = λ√

my usando las

condiciones iniciales, se obtienen las soluciones

x(t) = x0 cosωt+ v0

ωcosα senωt, (3.31a)

y(t) = v0

ωsenα senωt, (3.31b)

que definen de forma paramétrica la trayectoria de la partícula en el plano.Para expresar (3.31) de forma explícita suponemos que y = y(x) y despeja-

mos senωt de la ecuación (3.31b),

senωt = ω

v0 senαy.

Substituyendo este valor en (3.31a), y teniendo en cuenta la igualdad cos2 ωt =1− sen2 ωt, llegamos a que

x− y cotα = x0

√1−

(ω

v0 senαy)2

;

que elevando al cuadrado y simplificando se transforma en

x2 +(v2

0 cos2 α+ ω2x20

v20 sen2 α

)y2 − 2xy cotα− x2

0 = 0. (3.32)

Finalmente, tomando A = v20 cos2 α+ω2x2

0v2

0 sen2 α, llegamos a que la trayectoria que sigue

la partícula viene dada por

x2 +Ay2 − 2xy cotα− x20 = 0, (3.33)

que se corresponde con la ecuación de una cuádrica que, como estamos traba-jando en el plano euclídeo, es en realidad una cónica. En forma matricial, laecuación (3.33) se expresa como

(1 x y

)−x20 0 0

0 1 − cotα0 − cotα A

1x

y

= 0,

por lo que la cónica está representada por la matriz

M =

−x20 0 0

0 1 − cotα0 − cotα A

.


Gracias al teorema de caracterización de cónicas sabemos que existe unabase del plano en la que la fórmula de la cónica se expresa mediante su formacanónica. Para obtener la ecuación canónica tenemos que estudiar el valor derang(M)− rang(M11), donde

M11 =(

1 − cotα− cotα A

).

Tenemos que det(M) = −x20(A− cot2 α

)6= 0 y det(M11) =

(A− cot2 α

)6= 0,

puesto que

A− cot2 α = ω2x20

v20 sen2 α

> 0.

Por consiguiente, rang(M)− rang(M11) = 3− 2 = 1 y por el teorema de carac-terización concluimos que nuestra cuádrica es de tipo 1. Los valores propios dela matriz M11, que denotaremos por µ1 y µ2, vienen dados por

det(M11 − µI2) =

∣∣∣∣∣ 1− µ − cotα− cotα A− µ

∣∣∣∣∣ = µ2 − (A+ 1)µ+A− cot2 α = 0,

y son

µ1 = A+ 1−√

(A− 1)2 + 4 cot2 α

2 , µ2 = A+ 1 +√

(A− 1)2 + 4 cot2 α

2 ,

respectivamente. Puesto que no son nulos, la ecuación canónica de la cónica será

µ1x2 + µ2y

2 = µ0, con µ0 = −ΣM3

µ1µ2, (3.34)

donde ΣM3 representa la suma de los menores principales de tercer orden de lamatriz M , que en nuestro caso es ΣM3 = det(M) = −x2

0(A− cot2 α

). Además

µ1µ2 =(A+ 1

2

)2−

(√(A− 1)2 + 4 cot2 α

2

)2

= A− cot2 α,

y así µ0 = x20. Substituyendo los valores de µ0, µ1 y µ2 en la expresión (3.34)

obtenemos finalmente la ecuación canónica de la cónica correspondiente a latrayectoria de nuestra partícula dada por

A+ 1−√

(A− 1)2 + 4 cot2 α

2 x2 + A+ 1 +√

(A− 1)2 + 4 cot2 α

2 y2 = x20,

que se corresponde con una elipse con semiejes mayor y menor

a =

√2x2

0

A+ 1− 4√

(A− 1)2 + cot2 α, b =

√2x2

0

A+ 1 + 4√

(A− 1)2 + cot2 α

respectivamente.Notamos un hecho que a la hora de obtener la envolvente de modo geométrico

nos será de gran ayuda: la suma de los cuadrados de los semiejes mayor y menores independiente del ángulo de disparo de la partícula. En efecto,

a2 + b2 = x0(A+ 1)A− cot2 α

= 1ω2

(v2

0 + ω2x20)

= x20 + v2

0ω2 . (3.35)


2.1. Cálculo analítico de la envolvente. La ecuación (3.33) puede reescri-birse como F (x, y, α) = 0, donde

F (x, y, α) =(x− y cotα

x0

)2+(

yv0ω senα

)2− 1. (3.36)

Si consideramos el ángulo de disparo α como un parámetro variable obte-nemos una familia de curvas y podemos plantearnos la determinación de suenvolvente. Para ello, como en anteriores ocasiones, debemos calcular la deri-vada parcial de F (x, y, α) respecto al parámetro α e igualarla a cero. De estemodo,

∂

∂αF (x, y, α) = − sen 2α(v2

0 + ω2x20)

v20 sen4 α

y2 + 2xysenα2

= 2v20xy senα− 2y2 cosα(v2

0 + ω2x20)

v20 sen3 α

= 0

y de aquí se desprende que la condición que deben cumplir los puntos (x, y)para pertenecer a la envolvente es

v20x senα− y cosα(v2

0 + ω2x20) = 0 ⇐⇒ cotα = v2

0x

(v20 + ω2x2

0)y . (3.37a)

De esta condición, usando la igualdad 1sen2 α = 1 + cot2 α, obtenemos

1sen2 α

= v40x

2

(v20 + ω2x2

0)2y2 + 1. (3.37b)

Substituyendo las condiciones (3.37) en la ecuación (3.36) llegamos a que

0 = x2

x20

(1− v2

0v2

0 + ω2x20

)2

+ ω2y2

v20

(v4

0x2

(v20 + ω2x2

0)2y2 + 1)− 1,

= ω4x20x

2

(v20 + ω2x2

0)2 + ω2v20x

2

(v20 + ω2x2

0)2 + ω2y2

v20− 1,

= ω2

v20 + ω2x2

0x2 + ω2

v20y2 − 1,

que no es otra cosa sino una elipse centrada en el origen de coordenadas dadapor

x2

x20 + v2

0ω2

+ y2

v20ω2

= 1, (3.38)

con semiejes mayor y menor

a =√x2

0 + v20ω2 y b = v0

ω,

respectivamente. Gracias a estos valores y a la relación c2 = a2 − b2 obtenemosel valor de la semidistancia focal, dada por c = x2

0. Este valor de c nos muestraque los focos de la elipse son el punto de lanzamiento de la partícula R = (x0, 0)y su simétrico respecto al eje de ordenadas R′ = (−x0, 0) (figura 3.13).


RR' Ox

y

Figura 3.13: Posibles trayectorias, junto con su envolvente, de una partícula disparadacon diferentes ángulos de tiro considerando la influencia de un potencial armónicosituado en el origen O.

2.2. Cálculo geométrico de la envolvente. La siguiente proposición, relati-vamente poco conocida en general, juega un papel fundamental en la obtencióngeométrica de la envolvente que vamos a realizar.

Proposición 3.1. Si R y R′ son los puntos de intersección de una elipse C conuno de sus diámetros y M es un punto variable de C, entonces el máximo dela suma de las distancias RM y MR′ es independiente de los puntos R y R′.Además, dicho máximo es

maxM∈C

(RM +MR′) = 2√a2 + b2,

donde a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.

La demostración completa puede encontrarse en [4]. Siguiendo la prueba sepuede ver que el máximo se alcanza en dos puntos, M1 y M2. La construccióngeométrica de estos puntos es como sigue: primero se construye la recta ρ tan-gente a la elipse por el punto R; ahora, se trazan las rectas τ1 y τ2, que sonperpendiculares a ρ y tangentes a la elipse; entonces, los puntos M1 y M2 sonlos puntos de tangencia con la elipse de τ1 y τ2, respectivamente (figura 3.14).

Por otra parte, como hemos visto en (3.35) la suma de los cuadrados de lossemiejes mayor y menor de una trayectoria de ángulo α no depende del mismo;por consiguiente, esta suma es igual para todas las trayectorias que obtenemosal variar el ángulo α.

Con la observación anterior y usando la Proposición 3.1, pasemos a realizarla construcción geométrica de la envolvente que delimita la región de seguridad.Supongamos que M es un punto variable de una trayectoria T de ángulo α.Apoyándonos en la figura 3.15 se tiene que

RM +MR′ ≤ maxP∈T

(RP + PR′) = RM1 +M1R′ = 2

√x2

0 + v20ω2 , (3.39)

donde en la igualdad hemos usado la Proposición 3.1 y la expresión (3.35).Observar que hemos supuesto que el máximo se alcanza en M1; si suponemos


O RR'

M1

M2

r

t1

t2

x

y

Figura 3.14: Los puntos M1 y M2 se obtienen como puntos de tangencia de la elipsecon rectas perpendiculares a la tangente en R.

O RR'

M

M1

M2 T

x

y

Figura 3.15: Esquema para la construcción de la envolvente de forma geométrica.

que se alcanza en M2, el razonamiento es análogo y el resultado el mismo. Lospuntos que cumplen esta desigualdad están dentro del alcance de las partículas,y forman parte del interior de una elipse.

Finalmente, veamos que esta elipse es la misma que la que representa laecuación (3.38). Tomando a =

√x2

0 + v20ω2 y la igualdad en (3.39) se tiene√

(x− x0)2 + y2 +√

(x+ x0)2 + y2 = 2a.

Desarrollando esta identidad, tenemos que

x2

a2 + y2

a2 − x20

= 1,

de donde se obtiene la ecuaciónx2

x20 + v2

0ω2

+ y2

v20ω2

= 1.

Apéndice

55

Apéndice A

El concepto de envolvente

Sea φ(x, y, α) = 0 una familia de curvas planas dependientes del parámetroα ∈ A, con A ⊆ R, y donde supondremos que la función φ es diferenciablerespecto a t, x y α. La envolvente de la familia de curvas, si es que existe, es unanueva curva Φ que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvasde la familia dada, y tal que cada curva de la familia es tangente al menos enun punto a la envolvente.1

Si existe la envolvente, cada uno de sus puntos será de la forma (x, y) =(x(α), y(α)) verificando la ecuación de la familia de curvas: es decir,

φ(x(α), y(α), α) = 0. (A.1)

Así, derivando con respecto a α tenemos que∂φ

∂x

dx

dα+ ∂φ

∂y

dy

dα+ ∂φ

∂α= 0. (A.2)

Además, si se verifica que ∂φ∂y 6= 0 (el razonamiento es análogo suponiendo que

∂φ∂x 6= 0), la ecuación φ(x, y, α) = 0 define implícitamente, gracias al teorema dela función implícita, una función y = y(x, α) diferenciable, y la pendiente de larecta tangente a la curva φ(x, y, α) = 0 en un punto (x, y) de ella vendrá dadapor

dy

dt= −∂φ

∂x

/∂φ∂y.

Por la definición de curva envolvente, también tendremos que la pendiente dela recta tangente en un punto (x, y) de la envolvente será

dy

dt= − dy

dα

/dxdα.

Puesto que las pendientes anteriores deben coincidir sobre los puntos de laenvolvente, podemos concluir que

∂φ

∂x

dx

tα+ ∂φ

∂y

dy

dα= 0.

De esta manera, el sistema formado por (A.1) y (A.2) queda reducido aφ(x, y, α) = 0,∂

∂αφ(x, y, α) = 0.

(A.3)

1Entenderemos que dos curvas son tangentes en un punto si en dicho punto ambas curvascomparten la recta tangente.

57

58

Acabamos de deducir que si existe la envolvente, ésta debe satisfacer el sistema(A.3) que proporciona unas ecuaciones paramétricas para la envolvente Φ.

Sin embargo, puede ocurrir que las soluciones de este sistema no sean envol-ventes. En concreto, resulta sencillo comprobar que el lugar geométrico de lospuntos singulares de la familia de curvas, i.e, aquellos para los que se cumpleque ∂φ

∂x = ∂φ∂y = 0, también cumplirá el sistema (A.3). Es por esto que de manera

general la curva definida por dicho sistema se denomina línea discriminante. Portanto, en cada ocasión deberemos comprobar que es lo que representa la líneadiscriminante.

Ocurre que habitualmente las curvas con las que trabajamos están definidasde forma paramétrica en función de un parámetro t. Supongamos una familiade curvas paramétricas que, además de t, también dependen del parámetro αdefinido anteriormente, i.e.,

x = x(t, α) e y = y(t, α). (A.4)

Entonces, la pregunta que nos hacemos es la siguiente: ¿de qué manera podemoscalcular la envolvente Φ de dicha familia en este caso?

Gracias al teorema de la función implícita podemos expresar dicha familiacomo φ = φ(x(t, α), y(t, α)) = 0 que también depende del parámetro α, porlo que en realidad φ = φ(x(t, α), y(t, α), α) = 0. De este modo, aplicando elrazonamiento realizado anteriormente, sabemos que la envolvente Φ de la familia(A.4) viene dada por la solución del sistema (A.3).

Intentemos expresar el sistema (A.3) de un modo más simple para este casodesarrollando la segunda ecuación

0 = ∂φ

∂α= ∂φ

∂x

∂x

∂α+ ∂φ

∂y

∂y

∂α. (A.5)

Utilizando el hecho de que

∂φ

∂x= −∂φ

∂y

∂φ

∂α

/∂x∂α

,

en (A.5) llegamos a

∂φ

∂y

(∂x

∂t

∂y

∂α− ∂y

∂t

∂x

∂α

)/∂x∂t

= 0.

Finalmente, recordando que hemos supuesto ∂φ∂y 6= 0, el sistema (A.3) se rees-

cribe x = x(t, α), y = y(t, α),∂x

∂t

∂y

∂α− ∂y

∂t

∂x

∂α.

(A.6)

Por tanto, si existe la envolvente Φ de una familia de curvas dada en paramé-tricas, ésta es la solución del sistema (A.7).

Una de las representaciones paramétricas más utilizadas son las coordenadaspolares. En este caso, una familia dependiente del parámetro α viene dada por

x = r(θ, α) cos θ e y = r(θ, α) senα,

A. El concepto de envolvente 59

donde r(θ, α) 6= 0. Teniendo en cuenta esto, el sistema (A.7) toma la expresiónr(θ, α) = 0,∂

∂αr(θ, α) = 0.

(A.7)

Bibliografía

[1] J. W. Adolph et ál., Some Geometrical Aspects of Classical Coulomb Scat-tering, Am. J. Phys. 40 (1972), 1852–1857.

[2] S. Banach, Mechanics, Sociedad Matemática Polaca, Wrocław, 1951.

[3] M. Baće et ál., The envelope of projectile trajectories, Eur. J. Phys. 23(2002), 637–642.

[4] M. Berger, Géométrie, Vol. II, Nathan, París, 1990.

[5] R. Borghi, Trajectory of a body in a resistant medium: an elementaryderivation, Eur. J. Phys. 34 (2013), 359–370.

[6] E. I. Butikov, Families of Keplerian orbits, Eur. J. Phys. 24 (2003), 175–183.

[7] O. Ciaurri, Instantáneas Diferenciales, Servicio de Publicaciones de la Uni-versidad de La Rioja, Logroño, 2013.

[8] P. S. Chudinov, Approximate Analytical Investigation of Projectile Motionin a Medim with Quadratic Drag Force, International Journal of SportSciencie and Engineering 5 (2011), 27–42.

[9] G. Galilei, Le Opere di Galileo Galilei, Ministerio de Educación Pública,Florencia, 1890.

[10] H. Goldstein et ál., Classical Mechanics (3.a edición), Addison Wesley, Nue-va York, 2000.

[11] A. E. González, Fundamentos de balística, Ministerio de Defensa, Madrid,2004.

[12] J. C. Hayen, Projectile motion in a resistant medium. Part I: exact solutionand properties, International Journal of Non-Linear Mechanics 38 (2003),357–369.

[13] L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Mechanics (3.a edición), Butterworth-Heinenann, Oxford, 1976.

[14] R. H. Naylor, Galileo’s Theory of Projectile Motion, Chicago Journals 71(1980), 550–570.

[15] G. W. Parker, Projectile motion with air resistance quadratic in the speed,Am. J. Phys. 45 (1977), 606–610.

61

62 BIBLIOGRAFÍA

[16] J. M. Richard, Safe domain and elementary geometry, Eur. J. Phys. 25(2004), 835–844.

[17] E. Rutherford, The scattering of α and β particles by matter and the struc-ture of the atom, Philosophical Magazine 21 (1911), 669–688.

[18] F. Pascoal et ál., The influence of the drag force on the safety domain,Revista Brasileira de Ensino de Física 33 (2011), 1–4.

[19] M. Perera, ENIAC, matemáticas y computación científica, La Gaceta de laRSME 2 (1999), 495–518.

[20] I. Samengo y R. O. Barrachina, Rainbow and Glory Scattering in CoulombTrajectories Starting From a Point in Space, Eur. J. Phys. 15 (1994), 300–308.

[21] N. Tartaglia, La Nueva Ciencia, Servicios Editoriales de la Facultad deCiencias de la Universidad Nacional Autónoma de México, México D. F.,1998.

[22] R. E. Warner y L. A. Huttar, The parabolic shadow of a Coulomb scatterer,Am. J. Phys. 59 (1991), 755–756.

estudio de regiones de seguridad asociadas a trayectorias ... · alberto arenas gómez estudio de...

Documents