estructuras espaciales. análisisasdfasdf dinámico. guia de estudio 2013-2014

Estructuras Espaciales. Anlisis Dinmico

Estructuras Espaciales.

Anlisis Dinmico

Esta documentacin pretende ser una simple gua de estudio, mostrando los principales

puntos tratados en el temario de forma ms o menos condensada, sin sustituir de

ninguna manera las explicaciones impartidas durante las clases de la asignatura

Gua de Estudio


Introduccin

El mtodo ms utilizado de anlisis es el de los elementos finitos, y en particular los matriciales:

En los mtodos matriciales utilizamos el vector {x}nx1 que se representa la posicin de los modos con el tiempo.

Hay 6 grados de libertad para cada nodo.

Se obtienen las matrices [M]nxn; [K]nxn; [Q(t)]nx1 y con estos obtenemos {x(t)}nx1

0)0(

0)0(

)(

x

x

tQxKxDxM

Super-Elemento. Tcnicas de Condensacin

A mayor gdl, mayor dificultad de resolucin.

Se puede simplificar mucho el estudio cuando en el anlisis modal no tenemos en cuenta los efectos de otro elemento hasta que no sea necesario; se hace el estudio detallado de cada elemento: un elemento

afecta slo a otro elemento en los puntos en comn con este.

Al no dar todo el modelo se ahorra trabajo y el no dar informacin.

Sub-estructuracin: para cada elemento conocemos [K] y [M], pero retenemos slo los puntos en comn con otro elemento, para estudiar el efecto sobre este.

Cuando estudiamos 2 elementos con fuerzas separadas al final actan por separado. Buscamos simplificar los modelos de estudio de los elementos secundarios para estudiar su influencia sobre el

conjunto (su efecto sobre el elemento principal).


Reduccin Esttica de los Elementos Secundarios. Guyan (I).

Estructura Principal

La matriz de rigideces tiene forma anloga

Elementos que aportan masas a la frontera Mpff

Acoplamiento de masas: Mpfi=Mpif


Elemento Secundario

Frontera

Estructura principal con

{xp} grados de libertad

nxnp

nxn

p

pi

pf

nxp

K

M

m

f

x

xx

)(

)(

1

p

ii

p

if

p

fi

p

ffp

MM

MMM

)(

)(

)(

m

f

r

x

x

x

pi

f

si

)(

)(

)(

m

f

r

x

x

x

pi

f

si

)(

)(

)(

m

f

r

x

x

x

pi

f

si

pi

pf

p

ii

p

if

p

if

p

ffT

pi

T

pf

p

x

x

MM

MMxxT

2

1

pi

pf

p

ii

p

if

p

if

p

ffT

pi

T

pf

p

x

x

KK

KKxxV

2

1


Reduccin Esttica de los Elementos Secundarios. Guyan (II).

Estructura Secundaria Estructura Completa

Para realizar un estudio completo hay que conocer:

Matrices completas de cada elemento

Tp+s; Vp+s; Wncp+s

Grados de libertad del conjunto:

Energa cintica y potencial


sfrf

r

x

xx

sf

si

nxs

)(

)(1

sf

si

s

ii

s

if

s

if

s

iiT

sf

T

si

S

x

x

MM

MMxxT

2

1

sf

si

s

ff

s

if

s

if

s

iiT

sf

T

si

S

x

x

KK

KKxxV

2

1)(

)(

)(

m

f

r

x

x

x

pi

f

si

pi

f

si

s

ff

s

fi

s

if

s

ii

T

pi

T

f

T

si

pi

f

si

p

ii

p

if

p

fi

p

ff

T

pi

T

f

T

si

psps

x

x

x

MM

MM

xxx

x

x

x

MM

MMxxxTTT

000

0

0

2

1

0

0

000

2

1

pi

f

si

p

ii

p

if

p

fi

s

ff

p

ff

s

fi

s

if

s

ii

T

pi

T

f

T

si

x

x

x

MM

MMMM

MM

xxxT

0

0

2

1


Reduccin Esttica de los Elementos Secundarios. Guyan (III).

Ahora vamos a ver como afecta el elemento principal al secundario:

Si la frecuencia de excitacin de F(t) es baja, es como si estuvisemos aplicando

carga esttica al elemento secundario (las cargas interiores de ste se

comportan como estticas)

(el trmino de aceleraciones desaparece al hacerse una aproximacin esttica

(estamos en frecuencias bajas). Es como si aplicsemos cargas estticas


F(t)

aplicada

fronterap

i

p

f

p

nc F

FxxW

frontera

s

f

s

i

s

nc FxxW

0

)(

0

tFx

x

KK

KK

sf

si

s

ff

s

fi

s

if

s

ii


Reduccin Esttica de los Elementos Secundarios. Guyan (IV).

Desarrollando la ecuacin:

De la ecuacin 1:

Son los movimientos de los elementos interiores en funcin del movimiento de

los frontera

La matriz de movimiento del elemento secundario:

A partir de un movimiento de f gdl ({xf}) obtenemos el movimiento de todos los

g.d.l. del sistema.


011

fxsfrxf

s

ifrxsirxr

s

ii xKxK

011

fxsffxf

s

ffrxsifxr

s

fi xKxK

011

fxsffxf

s

ffrxsifxr

s

fi xKxK

1

)(

1

1)(

fxsf

xffrff

ifii

xfrfi

six

fxf

rxf

I

KK

x

x


Reduccin Esttica de los Elementos Secundarios. Guyan (VV).

Se tiene que cumplir que Kii no sea singular para que se pueda invertir:

como no podemos coger todos los elementos de la frontera, a la hora de elegirlos hay que hacerlo buscando que Kii no sea singular.

Los gdl de la frontera hay que elegirlos de tal manera que al anularlos el sistema se quede

quieto, que no tenga gdl como slido rgido. El apoyo no tiene porque ser isosttico.



Reduccin Esttica de los Elementos Secundarios. Guyan (VI).

Las matrices de rigidez y masa reducidas:


n

i ssubsistemaTxMxT

12

1

n

i ssubsistemaVxKxV

12

1

fguyanTguyanfPayloadf

iT

f

T

iPayloadSuperiorSubsistema xMxTx

xMxxTT

2

1

2

1

fPayloadreducidafPayload xMxT 2

1

guyanTguyanPayloadreducida MM



Reduccin Esttica Mejorada, IRS

Tenemos en cuenta el efecto de las fuerzas de inercia en el sistema global, mediante una

aproximacin como fuerzas seudo-estticas.

La primera ecuacin matricial de la que se parta en la reduccin de guyan, pero sin despreciar los

trminos de inercia, es la siguiente:

El problema condensado con la reduccin de Guyan:

Y la propia reduccin esttica

Trabajando convenientemente con estas expresiones y sustituyendo en la ecuacin general, se

llega a la expresin de la transformacin IRS:

O de forma matricial:

Se puede obtener una precisin mayor haciendo iteraciones sucesivas en la expresin:

0 iiififiiifif xKxKxMxM

fGGf xKMx1

fGGifiififiii xKMKKxKKx111

GGguyanGuyanIRS KMTMSTT1

iIRSiIRSiIRSGuyaniIRS

KMTMSTT1

1

mm

GGomooooomomoo

IRS

mGGomooooomomooo

mGGomomooooomooo

I

KMKKMMKK

xKMKKMMKKx

xKMMKKMKKx

111

111

111



Sntesis Modal, CMS

Se persigue una mejora an mayor en el comportamiento en frecuencia respecto a la que se

consegua con la reduccin esttica

El conjunto de puntos que se retienen constan de:

Coordenadas fsicas que representan la frontera o caractersticas del modelo original que se desea mantener

Coordenadas virtuales, compuestas por autovectores de los modos propios inferiores, calculados con las coordenadas fsicas retenidas fijas (modos de Craig Bampton).

De esta forma se puede reproducir la respuesta dentro de un rango de frecuencias ms amplio que

con la reduccin esttica

La reduccin queda de la siguiente manera:

Cada columna de T1 representa como se mueve la estructura cuando hay un desplazamiento de la coordenada correspondiente, de forma esttica, y coincide por lo tanto con la matriz de Guyan

(reduccin esttica).

Las columnas de T2 coinciden con los movimientos de los v primeros modos propios cuando se empotran los grados de libertad de la frontera. Est compuesta por autovectores del problema

empotrando en los gdl tomados como frontera

211

1

)(TTT

v

uTq cms

ux

vx

vugxcms



Masa Modal Efectiva (I)

Factor de participacin modal:

respuesta de una estructura sometida a una aceleracin conocida en la base:

Se agrupan todos los grados de libertad en 2 subconjuntos:

Grado de libertad conocido: r (donde aplico las cargas)

Grados de libertad dependientes (libres, sin carga aplicada)

Dividimos las matrices:

PuKuM

T

rllr

rr

l

rrrl

lrll

r

l

llrl

lrll

MM

Pu

u

KK

KK

u

u

MM

MM

0



Masa Modal Efectiva (II)

Se descompone el movimiento del cualquier punto como una traslacin ms una

deformacin elstica:

Estudiamos el movimiento del satlite como slido rgido y luego le aadimos su elasticidad

ur

xul=ul

r+ule

x

ur

ulr=Kur

x

ur

ule



Masa Modal Efectiva (III)

Las ecuaciones son:

que determina como se mueve el satlite con un movimiento conocido en su base.

que determina las acciones que tengo que aplicar para poder deducir el movimiento de

la base.

Ahora separamos ul=ule+ulr, la parte elstica del movimiento es el movimiento relativo

desde la base. Sustituyendo en las ecuaciones:

Los movimientos de ulr son conocidos, slo hay que ponerlos en funcin de ur:

Ulr=Rlrur

rrrrrrlrllrlr uMuKuKuMP

rrrrrr

r

l

e

lrl

r

l

e

lrlr uMuKuuKuuMP )()(

rlrrlrllllll uKuMuKuM

r

lll

r

lllrlrrlr

e

lll

e

lll uKuMuKuMuKuM



Masa Modal Efectiva (IV)

Sustituyendo en la primera ecuacin:

Para calcular Rlr

Para que el sistema se mueva como slido rgido hay que aplicar carga de forma

esttica

Sustituyendo en la ecuacin primera

rlrlllrrlrlllr

e

lll

e

lll uRKKuRMMuKuM )()(

0

0

r

r

l

rrrl

lrll

u

u

KK

KK

lrlllrrlrrlrll

r

l

rlr

r

lll

KKRuRuKKu

uKuK

11

0

rlrlllr

e

lll

e

lll uRMMuKuM )(



Masa Modal Efectiva (V)

A modo de resumen: Volviendo a la ecuacin de partida, ahora queda:

La primera ecuacin que se puede extraer es:

De la siguiente ecuacin tenemos conocimiento de las acciones que hay que aplicar

para obtener la respuesta:

rr

r

l

e

l

rrrl

lrll

r

r

l

e

l

rrrl

lrll

Pu

uu

KK

KK

u

uu

MM

MM 0

)()( lrlllrrlrllrlre

lll

e

lll RKKuRMMuuKuM

0

rlrllrrrlrrlrre

lrl

e

lrlr uRKKuRMMuKuMP )()(

0



Masa Modal Efectiva (VI)

Sustituyendo en la ecuacin anterior la primera que se obtuvo de la misma matriz (5),

despejando ule

))((1 ellllrllrlrlle

l uMRMMuKu

rrre

lll

T

lrrlr uMuMRMP )(

Trmino de rigidez de la estructura

Inercia del sistema totalmente rgido

rrrrr uMP

elllT

lrrllruMRMP )(

lrrlrrlrll

T

lrrl

T

lrrr RMMRMRMRM

Parte de la fuerza aplicada que deriva en la parte del movimiento que se puede

reproducir como la cinemtica de un slido:

con

Parte de la fuerza aplicada que deriva en la parte del movimiento que se puede

reproducir como la deformacin del elemento sin movimiento de su centro de masas:



Masa Modal Efectiva (VII)

Se puede dar un paso ms delimitando cual es la parte de la fuerza aplicada que excita

cada uno de los modos.

Los modos y frecuencias se calculan de la expresin del movimiento libre del sistema:

La matriz de autovectores (asociadas a los modos) permiten diagonalizar el problema,

pasando al espacio de las coordenadas modales:

Es la parte de la fuerza que excita el

modo j

0 elllelll uKuM

02 llllll KM

)(1

tu j

l

j

l

e

l

jjll

j

rlll

T

lrlrMMRP

1

jjrlllTlrjlr MMRP



Masa Modal Efectiva (VIII)

Asignando al Factor de Participacin Modal (FPM) un valor para cada modo:

La ltima ecuacin se puede escribir de la forma:

Con lo que FPM explica la parte de la fuerza aplicada que se dedica a excitar un

determinado modo

jlrlrlljj

FPMMRMm

)(1

jT

jjjlrFPMmP



Masa Modal Efectiva (IX)

Hay que recordar cual es objetivo que se persigue con la MME

Para cada uno de estos grado de libertad:

k3

m1

k1

k2

m2x2

x1

y

P

MME 1 MME 2

KE 1 KE 2

P

y

j

jjj

jjj

PP

KMP

y

22



Masa Modal Efectiva (X)

Pasando al espacio de las frecuencias con la tr5ansformada de Fourier

Nos quedamos con el resultado:

j

jjjjj

jjj

j

j

jjj

PP

yHMMEyHKMKMP

KMP

yHy

j

yj

yj

2

2

22

2

22

22

1

1

21

11

2

2

yHMMEP jj

2



Masa Modal Efectiva (XI)

Hasta ahora hemos operado con la ecuacin que nos dictaba la relacin entre la fuerza

aplicada y la dinmica de los grados de libertad.

Ahora trabajamos con la ecuacin que nos dicta las relaciones entrelos grados de

libertad. La recordamos (ecuacin matricial):

Diagonalizando:

Aadiendo amortiguamiento

Que representa l sistemas de 1 gdl de la forma:

)( lrllrlre

lll

e

lll RMMuuKuM

)( lrllrlrllll RMMuKM

rlrllrlT

ll

T

ll

TuRMMKM )(

rlrllrlT

uRMMmm )(2

rlrllrlT

uRMMmmm )(2 2

rjjrrllrllT

jjjjjjj uFPMmuMRMmmm )(2 2



Masa Modal Efectiva (XII)

Trabajando en el espacio de las frecuencias con las transformada de Fourier:

Tratando tambin la coordenada modal en la ecuacin de las fuerza modal:

Sustituyendo el valor de la coordenada modal

r

j

j

jj

j

rjjjjjjjjj

um

FPMH

uFPMmmmjm

2

22

1

2

j

T

jjjlr

j

T

jjjjrlll

T

lrjlr

FPMmP

FPMmMMRP

2

rjj

j

T

jjlr

r

j

j

jj

T

jjjlr

uHFPMFPMP

um

FPMHFPMmP

2

2

2 1



Masa Modal Efectiva (XIII)

Comprando este resultado con el del sistema de multiples sistemas de un grado de

libertad:

Concluimos que

Que es la parte que no depende de la frecuencia

Si la estructura tiene amortiguamiento y nos encontramos en la frecuencia de

resonancia para un modo:

rjj

j

T

jjlruHFPMFPMP

2

yHMMEP jj

2

jT

jj FPMFPMMME

rjjj uMMEQP



Masa Modal Efectiva (XIV)

La aplicacin de este concepto nos ayuda a escoger un nmero de modos, mucho

inferior al total, y que reproduzca de forma aproximada la dinmica del sistema,

siempre que las MME asignadas a estos modos sumen un % elevado de la masa total

(cuanto mayor sea este porcentaje la aproximacin ser mayor)

Una propiedad de la MME es que la suma de las MMEs correspondientes a todos los

modos sima exactamente la masa total del sistema.

Nota: la expresin anterior de la masa modal efectiva es vlida para cuando se ha definido el

factor de participacin modal como se ha hecho aqu. En diferentes bibliografas, el factor de

participacin modal se puede expresar de diferente manera segn se divida por la raz

cuadrada de la masa modal (nuestro caso) por la masa modal, o, en algunos casos sin dividir

por ningn trmino de masa modal.

lnu nxlxne

lxl 11



Masa Modal Efectiva por Componente (I)

La masa modal efectiva da una informacin cualitativa muy valiosa sobre la relevancia de los modos de vibracin de la estructura en el comportamiento

GLOBAL de sta.

Sin embargo no es adecuado para identificar los modos principales en la respuesta de cada COMPONENTE.

Una Masa modal Efectiva puede ser una pequea fraccin del sistema (5%) y podra ser despreciada en el comportamiento del sistema. Sin embargo este

mismo modo puede representar el 90% de participacin en la dinmica de uno de

los componentes siendo el modo principal en el componente.

El mtodo CEMM solventa este problema.



Masa Modal Efectiva por Componente (II)

Los valores pueden ser negativos, lo que representa para el mismo modo el desplazamiento en direcciones opuestas de dos componentes.

La suma de todas las CEMM para un modo es igual a la EMM para ese modo

La suma de todas las CEMM para un componente es igual a la masa del componente

Ventajas:

o Identifica los modos que pueden ser importantes en el comportamiento dinmico del sistema

o Permite una seleccin ms exacta de los modos que participan el la dinmica del sistema y de los

componentes

o Identifica la contribucin de cada componente a la EMM del sistema

o Identifica los modos y la interaccin entre componentes (desplazamientos relativos).



Masa Modal Efectiva por Componente (III)

Autovector correspondiente al modo n normalizado

Matriz de masa del componente i

Matriz de masa del sistema completo

Matriz de transformacin del movimiento como slido

Operador de multiplicacin trmino a trmino

bl

i

n

bl

T

nbl

iT

n

i

n

R

M

M

RMRMCEMM


Anlisis Aproximado de la Respuesta

Introduccin

Partimos de

Pasamos al espacio modal:

Como n>>1 elijo un nmero manejable N

Mtodos de las aceleraciones modales

Se aplica la transformacin modal slo para los trminos de inercia y los de amortiguamiento

CMKRKX

CMRXK

ext

ext

11


Los elementos se resuelven de la misma forma que anteriormente

pI 2

nipiiiiii ,122

Mtodo de los Vectores Residuales (I)

En general, con los mtodos anteriores no se puede reproducir el desplazamiento debido un caso

de carga esttica porque no tenemos suficientes modos.

Lo que hacemos es aadir a la base modal un vector que nos permita reproducir deformaciones

estticas, como forma de disminuir el error que cometemos al truncar la base modal

Suponemos todas las cargas generalizadas con la misma ley de tiempos

Tomamos el vector desplazamiento y le eliminamos sus componentes ya recogidas en la base

modal truncada: N

iiresidualretenidoresidual axxx1

estticaT

esttica FKMmFK111

estticaT FKMmI 11




Mtodo de los Vectores Residuales (II)

Nos tenemos que quedar con vectores que tienen la misma ley temporal en todos los gdl. No se

pueden aadir ms vectores residuales que gdl y estos deben ser linealmente independientes

Hay que garantizar que los [Y]residuales sea linealmente independiente.

Al ampliar la base modal [ = [gxNY gxNEC]. El problema es que ahora [Y] no es ortogonal ni a [K]

ni a [M], habra que hacer un nuevo cambio de base para pasar a un espacio ortogonal que

diagonalice el problema

: coordenadas modales

: tantos elementos como vectores residuales se incluyen

u



Inertial Relief

Es el equilibrado del sistema mediante fuerzas de inercia. En el mtodo de las

aceleraciones necesitbamos que el sistema estuviese estticamente determinado.

El objetivo de este mtodo es estudiar como fijo el sistema para que est estticamente determinado cuando en realidad est libre

Estudiamos que cargas hay que aplicar para restringir el problema y dejarlo esttico.

Sistema Libre

Al aplicar una cara se desplaza pero no se deforma

F

Fuerza de Inercia que equilibra el sistema

PuKuM

0K



Inertial Relief

El sistema posee g grados de libertad y r como slido rgido (tendra slo 6 gdl

como mucho si no tuvisemos en cuenta los mecanismos (se desplazan sin

generar esfuerzos ni deformaciones))

Rehacemos el estado de carga para descomponerlo, o como cargas que

introducen movimiento como slido rgido y las que introducen deformaciones

elsticas nicamente.

Sustituimos en la ecuacin de la expresin general

Adems hemos impuesto que

eeRReR uuu

PKMKM RRRReeee

0RK



Inertial Relief

Calculamos la porcin de las fuerzas que generan movimiento como slido rgido:

Si los modos como slido rgido son ortogonales:

Adems de la ecuacin de equilibrio global como slido rgido

Esta porcin de las fuerzas produce movimiento como slido rgido, pero no

deformaciones elstica (definen el movimiento del cdg del sistema)

PM TRRRT

R

Pm TRiRiRi PmT

RRi 1

PmMMxMFxMF TRRRRRRRR 1

0



Inertial Relief

Detrayendo esta cantidad a la fuerza total, podemos obtener la porcin de las

fuerzas que estn produciendo deformacin elstica, pero sin modificar el cdg del

sistema:

Adems se cumple la propiedad:

Por lo tanto el estado de cargas elstico no excita los modos como slido rgido

PPmMIP TRRe 1 eR PPP

PPP eeeeR 0

PPmMP TeTRRTeTeeTe 1



Inertial Relief

Si en lugar de aplicar el estado de carga original {P} aplico este estado de cargas {Pe}

obtengo el mismo movimiento para los modos elsticos. El estado de cargas {Pe} est

en equilibrio y no produce movimientos como slido rgido.

Pero la matriz de rigidez [K] sigue siendo singular.

Resolvemos el movimiento del sistema bajo la accin de cargas {Pe}:

Soportamos la estructura de manera que no existan movimientos como slido rgido

Ejemplo de estado de cargas {Pe}:

TRR mMI

P

1

eP

P/2P/2



Inertial Relief

Lo sujetamos para que no se mueva en P, la reaccin del sistema en P es cero.

Repartimos el vector {u}e en dos:

{u}e={u}e,p+{u}u, Rigido el ltimo trmino es debido a que trasladamos el sistema al

punto de apoyo.

ePuKuM

A1 A2

A1+A2



Inertial Relief

Matriz de Flexibilidad

Sabemos resolver los desplazamientos elsticos de la forma

Pero el problema es calcular la matriz [G]f, ya que tendramos que invertir la

matriz de rigidez:

FGu ee

ee FuK

eee FGu



Inertial Relief

Para resolver este problema:

1) Se elige un modo de apoyo P para eliminar los grados de libertad como slido

rgido sin introducir deformaciones. (sistema libre sometido a estado de cargas en

equilibrio). Las reacciones introducidas en P son nulas o iguales a las cargas en

P.

El primer trmino representa el desplazamiento elstico cuando se fija el punto P.

El segundo trmino representa un cierto movimiento como slido rgido.

2)

Rpee uu ,

)(0

,

,Ppuntoalientescorrespondlasr

rguu

pe

pe



Inertial Relief

La segunda ecuacin o se cumple como una identidad o nos permite calcular Pp.

ep

pepe

rrre

eree

P

Pu

KK

KK

,,

0

pepeee PuK ,,

eeepepeeepe PK

uPKu

11

,,

1

,00

0



Inertial Relief

3) Queremos hallar {}i, para ello imponemos que {u}e tiene que ser ortogonal a

todos los modos [R]

Teniendo en cuanta que la traspuesta de la matriz identidad y de la matriz de

masas son las originales:

RT

Rpe

T

Re

T

R MuMuM ,

muMuM peT

Re

T

R ,

peT

R uMm ,1

peT

RRpee uMmuu ,1

,

peT

RRe uMmIu ,1

}{

peT

pe

TT

RR

T

e uuMmIu ,,1

}{



Inertial Relief

4) Los desplazamientos elsticos son:

5)

[G]f=matriz de flexibilidad (simtrica)

[]=matriz de equilibrado inercial

PK

PK

u eeT

e

eeT

e

00

0

00

0 11

00

01eeTf

KG


Respuesta Transitoria al Choque

Solucin Analtica

Sistemas de un grado de libertad.

Conocemos b, y por integracin podemos conocer b y ub.

Wnc=0, no existe fuerza aplicada en la coordenada generalizada x

Si z(0)=z(0)=0:

Mx

ub

2

2

1xMT

22

1buxcD

22

1buxkV

Ecuacin que define el movimiento absoluto

Si rehacemos las ecuaciones en forma de

movimiento relativo:

El problema reside en como calcular z:

bb KuucKxxcxM

buMKzzczM

FzKzCzM

zzzM

kz

M

czutx

tutztx

uxz

uMkzzczM

b

b

2

002

t

d

t

d

dd

d

dtSeneUtCosztSenzz

tz0

0 01

)0()0()0(

)(

t

d

t

d

dtSeneUtz0

01

)(

t

b

d

dt dutCos

etztx0

0

2

0 )(2)(12)(0



Solucin Analtica

Sistema de varios grados de libertad:

1) Plantear el sistema en coordenadas fsicas

2) pasar a coordenadas modales

3) Determinar SRS i

4) Determinar SRS x a partir de SRS i

bibi

T

i

R

T

iiiiii uu

M

M

22

bR uMzKzCzM



Sistema de multiples gdl:

A i se le conoce como factor de participacin modal.

Calculamos SRS para cada modo:

Volvemos a la variable z

Es la respuesta al choque mxima esperada en cada una de las coordenadas fsicas del

modelo.

Fuerzas internas: Matriz de fuerzas internas por SRS

)( baseii uSRSSRS

)( baseiii uSRSzSRS

2

1

1

)(

n

i

izSRSzSRS


Respuesta Vibroacstica

Introduccin:

La respuesta acstica es de carcter aleatoria (frente a las anteriores que eran de carcter determinado)

Dominio del Tiempo: Dominio de la Frecuencia

Variable: x(t)

Valor medio:

Calor Cuadrtico Medio:

Funcin de Autocorrelacin:

Respuesta:

La funcin de autocorrelacin coincide en 0 con el valor cuadrtico medio.

Buscamos calcular el valor cuadrtico medio de aceleraciones, velocidades y/o desplazamientos, a partir

de PSD del ruido acstico.

Para poder invertir [H] no pueden existir modos como slido rgido

T

dttxT

x0

)(1

T

dttxT

x0

22 )(1

T

dttxtxT

0

)()(1

)(tFkxxcxM

dtetxx ti )()(

22)(2 xxxPSD

T

i dePSDdttxtxT

0

)(2

1)()(

1

QiHx

QxiH

QxCiMk

1

2

)(


Respuesta Vibroacstica

Introduccin:

Calculamos PSD de la respuesta a partir de la excitacin

Sistema de un grado de libertad:

1) calcular PSDrespuesta=

2) valor cuadrtico medio de la respuesta -> transformada inversa de Fourier de la PSDrespuesta

3)Relacin de la PSD desplazamiento velocidad aceleracin

Sistemas de varios grados de libertad:

Se trabaja en el espacio modal, para convertir todo el sistema de un grado de libertad, determinamos

la fuerza modal PSD y a partir de aqu la respuesta modal.

)(

2)()()(2 Qx PSDiHixixPSD

excitacinPSDH2

xPSD

fPSDx

xPSDf

xPSD

4

2

2

1

2

1

)(2 tfFci

x

FxKxCxM

iiiiiii

Excitaciniiirespuesta

iiii

iiiiiiii

PSDiHPSD

QiH

QiHQci

22

_

222

22

)(

)()(

)()()(

222 iijijiiiiix


Control de la Respuesta

Introduccin

Es importante poder controlar como las cargas que actan sobre la estructura van a

excitar a sta, controlarla y tomar decisiones que ayuden a minimizar su efecto.

La respuesta de la estructura se traducir en mayores o menores esfuerzos

Impacto en la funcionalidad de sistemas debido a la diferente respuesta en desplazamiento, o aceleraciones.

Alternativas de Control de la Respuesta Estructural

Hay varias formas de poder controlar los efectos que produce la respuesta de la

estructura a las excitaciones externas:

Aadir amortiguamiento a la estructura

Modificando la ubicacin de determinados elementos con especiales requerimientos que pueden verse afectados por la respuesta de la estructura.

Aislando frecuencias, de forma que no se exciten determinados modos de la estructura.

Controlando la excitacin de la estructura, all donde sea posible




Aadir amortiguamiento a la estructura

La ecuacin que define la respuesta de la estructura frente a una excitacin es:

n

i

i

iii

ififf

ffH

fUfHfX

122

2

2

Aadiendo amortiguamiento a la estructura

(aumentando ), la funcin de transferencia

desciende en las cercanas de la resonancia,

sin embargo cuando la excitacin se aleja de

los modos propios el amortiguamiento puede

ser menor.

Modificando la ubicacin de determinados elementos

En las ecuaciones de la dinmica, para cada modo se tiene una ecuacin de la forma

(dependiendo del tipo de amortiguamiento):

n

i

ii

T

igi

giginiiginiiigi

tqtx

tFtF

tFtqmtqmtqm

1

22

Segn la excitacin se produzca en un punto u otro (se particularizar la deformacin

modal para ese punto) o segn donde se

coloque un elemento, la cinemtica de ste

(aceleracin, velocidad y desplazamiento

/apuntamiento) ser diferente.




Aislando frecuencias

Segn la frecuencia de excitacin y las modales y su proximidad, la funcin de

transferencia podra tener un valor u otro (el caso ms desfavorable es que se

encuentre en un pico, en resonancia).

n

i

i

iii

ififf

ffH

fUfHfX

122

2

2

Se pueden aadir elementos para que la frecuencia de la excitacin que llega a un determinado elemento

est alejadas de las resonancias del sistema.

Controlando la excitacin

Controlando la funcin de excitacin, que en ocasiones se puede modificar si es un

elemento sobre el que podemos actuar, por ejemplo para evitar que se acople con los

sistemas de control, o con elementos mviles o que pueden ser excitados bajo unas

determinadas frecuencias: modificar la funcin F(t).

n

i

i

iii

ififf

ffH

fUfHfX

122

2

2

n

i

ii

T

igi

giginiiginiiigi

tqtx

tFtF

tFtqmtqmtqm

1

22

estructuras espaciales. análisisasdfasdf dinámico. guia de estudio 2013-2014

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