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ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN
CARLOS ALBERTO RIVEROS JEREZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL
ESCUELA AMBIENTAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
2016
TABLA DE CONTENIDO
1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y FUNCIONES PRIMARIAS DE LAS EDIFICACIONES .......... 3
2. TIPOS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ....................................................................................... 10
3. ESTADOS LÍMITE Y FILOSOFÍAS DE DISEÑO ................................................................................. 23
4. GENERALIDADES DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO .............................................. 32
5. PROPIEDADES MECÁNICAS DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO ............................ 39
6. FLEXIÓN .................................................................................................................................................. 48
7. CONSIDERACIONES BÁSICAS EN LA TEORÍA DE FLEXIÓN ....................................................... 65
8. CARGAS ................................................................................................................................................... 73
9. VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS ............................................................................................... 79
10. VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS ................................................................................................ 99
11. ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS T .................................................................................................... 112
12. CORTANTE ............................................................................................................................................ 132
13. DISEÑO A CORTANTE ........................................................................................................................ 137
14. TORSIÓN ................................................................................................................................................ 156
15. ADHERENCIA Y ANCLAJE ................................................................................................................. 170
16. GANCHOS ESTÁNDAR ........................................................................................................................ 183
17. PROCEDIMIENTO DE CORTE DEL ACERO DE REFUERZO ......................................................... 193
18. LOSAS ..................................................................................................................................................... 205
19. LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN ......................................................................................... 207
20. LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES ..................................................................................... 226
21. COLUMNAS ........................................................................................................................................... 242
22. DIAGRAMA DE INTERACCIÓN ......................................................................................................... 255
23. COLUMNAS BIAXIALES ..................................................................................................................... 270
24. EFECTOS DE ESBELTEZ ..................................................................................................................... 276
25. CIMENTACIONES ................................................................................................................................. 285
26. DISEÑO DE ZAPATAS ......................................................................................................................... 291
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INTRODUCCIÓN
La gran mayoría de obras civiles utilizan el hormigón como material de base para la construcción de
diferentes obras, por lo tanto es importante para cualquier ingeniero civil entender la mecánica y los
procedimientos de diseño de elementos en hormigón. Todas las áreas de la ingeniería civil tienen en
el hormigón un material de construcción de amplio uso, en el área de aguas los sistemas de
almacenamiento, conducción y tratamiento de aguas ya sea potable, industrial o sanitaria usan
estructuras de hormigón, en el área de vías es común el uso del hormigón en la construcción de obras
de estabilización de laderas, puentes y obras de arte menores como ser cunetas o bordillos, de igual
forma en algunas zonas del país es común el uso de pavimentos rígidos cuyo material base es el
hormigón y en el área de estructuras se tienen una gran cantidad de edificaciones hechas en hormigón
desde viviendas de uno o dos pisos hasta edificaciones de gran altura. El presente documento enfatiza
en criterios de diseño por durabilidad atendiendo requerimientos de resistencia sísmica.
Los temas tratados en este documento requieren de bases sólidas en la mecánica del medio contínuo,
la resistencia de materiales y el análisis estructural. En los capítulos 1 y 2 se presentan los diferentes
componentes y sistemas estructurales. Se presentan los sistemas de resistencia a cargas
gravitacionales y cargas ambientales. En los capítulos 4 y 5 se presentan las propiedades de los
materiales que se usan para la elaboración del concreto reforzado a saber el concreto y el acero. Los
capítulos 6 y 7 presentan las consideraciones básicas que se deben considerar en el diseño a flexión,
el capítulo 8 presenta las tipologías y combinaciones de cargas que se deben usar en el diseño de
edificaciones, los capítulos 9, 10 y 11 presenta el diseño a flexión de elementos de concreto reforzado,
los capítulos 12 al 17 presentan los criterios generales de diseño de vigas de acuerdo a la NSR-10, los
capítulos 18 al 20 presentan en forma resumida el tema de losas como sistemas usados como
entrepisos en edificaciones, se presentan los criterios generales de dimensionamiento dejando para
cursos más avanzados el análisis y diseño de losas, los capítulos 21 al 24 presentan las cosideraciones
generales en el diseño de columnas de concreto reforzado con base a la NSR-10. Finalmente, los
capítulos 25 y 26 presentan en forma resumida los criterios a considerar en el diseño de cimentaciones
enfatizando en el diseño de zapatas y dejando para cursos más avanzados el análisis y diseño de
cimentaciones profundas.
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1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y FUNCIONES PRIMARIAS DE LA S EDIFICACIONES
En el curso de análisis estructural se estudiaron diferentes metodologías para solucionar estructuras,
estos métodos se fundamentan en que el trabajo efectuado por las cargas aplicadas se convierte en
energía potencial elástica de deformación; los elementos cargados almacenan la energía en forma de
deformación y una vez se descargan los elementos, la energía es liberada y la estructura regresa a su
estado inicial. Al deformarse la estructura, la configuración geométrica de la estructura cargada es
diferente de su configuración sin carga. La idealización estructural consiste en reducir la estructura a
un modelo matemático que la represente de forma adecuada y permita evaluar su comportamiento en
forma numérica ante las diferentes solicitaciones de carga; las hipótesis que se tienen son en primer
punto que las deformaciones son pequeñas y el comportamiento de los elementos de la estructura es
lineal y elástico. Una estructura es estable cuando es capaz de soportar cualquier sistema concebible
de cargas sin presentar inestabilidad por lo que la estabilidad no depende del sistema de cargas. Para
que una estructura permanezca en estabilidad estática es necesario que se cumplan las siguientes
condiciones:
F 0 E cu a ción qu e re la c ion a la s fuerza s= →∑
M 0 Ecuación que relaciona los m om entos= →∑
Cuando hay tres reacciones de equilibrio para una estructura en el plano, debe haber por lo menos
tres reacciones independientes para impedir el desplazamiento (condición necesaria pero no suficiente
para el equilibrio estático). Con base en el principio de conservación de energía se tiene el siguiente
enunciado: “El trabajo efectuado por las cargas aplicadas se convierte en energía potencial de
deformación elástica o energía elástica que se almacena en los elementos”. La energía de
deformación puede ser causada por: fuerza normal, fuerza cortante, momento flector, y/o momento
torsor. Todo el trabajo de las fuerzas externas debe ser igual al trabajo que hacen las fuerzas internas
en la estructura. Los diferentes elementos estructurales usados para representar el comportamiento de
una estructura pueden ser clasificados básicamente en las siguientes tipologías:
• Elemento tipo viga.
• Elemento tipo columna.
• Elemento tipo losa / placa.
• Elemento tipo muro / diafragma.
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Elemento tipo viga:
Definición: miembro sujeto básicamente a esfuerzos de flexión y cortante.
Figura 1
Propiedades elásticas:
Flexión n
EI
Lbk f
=
Cortante GA
Lsk =
Esfuerzo normal My
Iσ =
Esfuerzo cortante VQ =
Ibτ
Flexión bδ = F (carga, condiciones de soporte, L, E, I)
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Matriz de rigidez elemento viga:
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
1 2 3 4
12 6 12 61
6 4 6 22
[ ]12 6 12 6
3
6 2 6 44
EI EI EI EI
L L L LEI EI EI EI
L L L LkEI EI EI EI
L L L LEI EI EI EI
L L L L
u u u u
u
u
u
u
−
−
= − − − −
Elemento tipo columna:
Definición: miembro sujetos a flexión, cortante y fuerza axial.
Figura 2
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Propiedades elásticas:
Axial EA
Lak =
Flexión n
EI
Lbk f
=
Cortante GA
Lsk =
Normal bδ = F (carga, condiciones de soporte, L, E, I)
Esfuerzo cortante VQ =
Ibτ
Esfuerzo Normal a
F
Aσ =
Esfuerzo Normal b
M y
Iσ =
Matriz de rigidez elemento columna:
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 4 6 20 0
[ ]
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 2 6 40 0
AE AE
L LEI EI EI EI
L L L LEI EI EI EI
L L L LkAE AE
L LEI EI EI EI
L L L LEI EI EI EI
L L L L
− − − = −
− − −
−
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Elemento tipo losa / placa
Definición: miembro sujeto a flexión bidireccional y cortante.
Figura 3
Elemento tipo muro / diafragma
Definición: miembro sujeto a cortante.
Figura 4
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Funciones primarias de las edificaciones
Una estructura bien diseñada es aquella que presta su servicio en forma adecuada y a la vez es segura
ante solicitaciones de cargas ambientales sin presentar colapso. La misión principal de una estructura
es dar soporte a las cargas gravitacionales en condiciones de resistencia y servicio de diseño durante:
• Uso normal de la edificación (condiciones de servicio).
• Consideraciones máximas de cargas durante su vida útil (condiciones en las cuales se presentan
condiciones máximas de cargas).
• Cargas ambientales de variadas intensidades (eventos sísmicos, explosiones, avalanchas,
inundaciones, vientos, huracanes).
Figura 5
Una estructura bien diseñada no solo es segura ante eventos sísmicos sino que garantiza que los
elementos no estructurales como ser muros y pisos no sufran daño considerable a fin de garantizar la
preservación de la estructura. Los daños causados a elementos no estructurales durante sismos pueden
resultar extremadamente costosos y puede resultar compleja la recuperación de la estructura. Es
importante entender que entre menos peso tengan estos elementos no estructurales menos
probabilidades de daño sufriran durante una eventualidad sísmica.
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Las tres lógicas por la cuales una estructura es susceptible a fallar son las siguientes:
• La carga que la estructura supuestamente resiste, no se puede predecir con suficiente grado
de exactitud.
• La resistencia de los distintos componentes de la estructura no puede ser predicha con
suficiente grado de exactitud.
• La estructura entra en un grado de deterioro que causa pérdida de su capacidad para resistir
cargas. Este aspecto es importante en la fase de diseño seleccionando adecuadamente los
materiales que se van a usar en la construcción de la estructura, Por ejemplo en zonas costeras
el uso de acero estructural debe considerar aspectos de corrosión que pueden comprometer
en el corto tiempo la estabilidad de la estructura.
Provisiones para fuerzas sísmicas:
Sismos de pequeña y moderada intensidad deben ser resistidos dentro del rango elástico de los
componentes estructurales sin sufrir daño considerable.
Fuerzas sísmicas con sus respectivas intensidades deben ser usadas en los procedimientos actuales de
diseño.
Exposición de la estructura a sismos de alta intensidad no deben causar colapso de la estructura o sus
elementos. El sitio donde ocurra daño debe ser detectable y de fácil acceso y reparación. Los
procedimientos de diseño deben garantizar que los daños sufridos por estructuras se concentren
principalmente en vigas evitando la generación de daño en columnas garantizando la estabilidad
estructural.
Tipos de Cargas:
Gravedad:
• Muerta
• Viva
• Impacto
• Lluvia/granizo
• Inundaciones
Laterales:
• Viento
• Sismos
• Presiones laterales de suelo
• Variación de temperatura
• Fuerzas centrífugas
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2. TIPOS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN
Sistemas estructurales de soporte a cargas verticales.
Sistemas estructurales de soporte a cargas laterales.
Sistemas de soporte a cargas verticales:
• Placa plana.
• Losa plana (con ábacos y/o capiteles).
• Losa aligerada armada en una dirección.
• Losa aligerada armada en dos direcciones.
Figura 6
Ventajas:
• Relativa facilidad de construcción.
• Techos a la vista planos (reduce costos acabados).
• Muy eficiente para alturas de entrepiso relativamente pequeñas.
• Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces cortas o medianas con cargas pequeñas.
Este sistema no es recomendado para zonas de amenaza sísmica intermedia y alta por los altos
esfuerzos generados durante un sismo en las uniones columna placa plana llevando a una falla por
punzonamiento.
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Figura 7
Ventajas:
Las mismas del sistema de placa plana y adicionalmente se tienen las siguientes:
• Aumento de la resistencia ante cargas verticales y laterales.
• Aumento de la rigidez torsional.
• Disminución de deflexiones en el borde de la placa.
• Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces cortas o medianas con cargas pequeñas.
Este sistema confina perimetralmente la estructura pero no garantiza la falla por punzonamiento de
las columnas interiores por lo cual su uso es restringido en zonas de amenaza sísmica intermedia y
alta.
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Figura 8
Ventajas:
• Aumento de la resistencia ante cargas verticales y laterales.
• Relativa facilidad de construcción.
• Techos a la vista planos (reduce costos acabados).
• Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas con cargas pequeñas.
Sistema de uso común en edificaciones al garantizar una adecuada transferencia de momento entre
las columnas y las vigas que conforman el entrepiso.
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Figura 9
Ventajas:
• Disminución de deflexiones en la losa.
• Incremento de la resistencia a cortante de la losa.
• Techos a la vista planos (reduce costos acabados).
• Muy eficiente para alturas de entrepiso relativamente pequeñas.
• Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas con cargas moderadas a altas.
El principal inconveniente para el uso de este sistema es constructivo, por cuanto la organización de
las formaletas necesarias para conformar los ábacos y capiteles puede resultar costosa y compleja
desde el punto de vista constructivo.
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Figura 10
Figura 11
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Ventajas:
• Luces más largas para resistir cargas mayores.
• Reducción del peso propio de la losa debido al aligeramiento.
• Buena resistencia a la vibración.
• Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas a largas con cargas altas.
Este sistema presenta inconvenientes de tipo estructural para la ubicación de las instalaciones
hidrosanitarias y eléctricas, las cuales atraviesan las viguetas disminuyendo su sección efectiva. Otro
aspecto importante es que la loseta superior de este tipo de losa debe tener como mínimo 100 mm
para ser considerada como elemento de resistencia al fuego.
Figura 12
Ventajas:
• Reducción del peso propio de la losa debido al aligeramiento.
• Las instalaciones hidrosanitarias y eléctricas pueden ser ubicadas entre las viguetas.
• Buena resistencia a la vibración y excelente terminado.
• Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces largas con cargas altas.
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Figura 13
Sistemas de Soporte a Cargas Laterales
• Generalidades del sistema pórtico.
• Pórticos placa/losa-columna con ábacos y/o capiteles.
• Pórticos viga-columna.
• Sistema de muros de cortante.
• Sistema dual.
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Figura 14
Figura 15
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Figura 16
Ventajas del sistema pórtico:
• Uso óptimo del espacio de los pisos (parqueaderos).
• Proceso de construcción relativamente simple y del que se tiene mucha experiencia.
• Generalmente económico para alturas inferiores a 20 pisos.
• En Colombia, la mayoría de pórticos han sido hechos en concreto reforzado.
Desventajas del sistema pórtico:
• Generalmente, los pórticos son estructuras flexibles y su diseño es dominado por
desplazamientos laterales para edificaciones con alturas superiores a 4 pisos.
• Las luces tienen longitudes limitadas cuando se usa concreto reforzado tradicional (generalmente
inferiores a 8 metros). La longitud de las luces puede ser incrementada con el uso de concreto
pretensado.
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Figura 17
Figura 18
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Figura 20
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Figura 21
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Figura 22
Figura 23
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3. ESTADOS LÍMITE Y FILOSOFÍAS DE DISEÑO
Procedimiento de diseño:
Fase 1
Definición de las necesidades de los clientes y las prioridades
• Requerimientos funcionales (colegio, industria, vivienda).
• Requerimientos estéticos (aspectos arquitectónicos).
• Requerimientos de presupuesto (recursos públicos o privados, disponibilidad de los recursos).
Fase 2
Desarrollo conceptual del proyecto (ingeniería conceptual)
• Desarrollo de posibles esquemas.
• Análisis preliminar aproximado para cada uno de los esquemas / costo para cada arreglo.
• Selección del sistema estructural más favorable (evaluación variables ambientales).
Fase 3
Diseño del sistema individual
• El análisis estructural (basado en el diseño preliminar)
Análisis de cargas y determinación de esfuerzos o fuerzas internas en términos de momentos,
fuerzas cortantes y fuerzas axiales.
• Diseño
Dimensionamiento y diseño de los elementos estructurales.
Planos de construcción.
Especificaciones de construcción.
Estética.
Factibilidad de construcción.
Mantenimiento.
Estados límite
Condición en la cual una estructura o elemento estructural ya no es aceptable para su uso previsto.
En estructuras se tienen tres estados límites:
• Estado límite último.
• Estado límite de servicio.
• Estado límite especial.
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Estado límite último
• Tiene que ver con el colapso estructural de toda o parte de la estructura (con muy poca
probabilidad de ocurrencia).
• Tiene que ver con la pérdida del equilibrio de una o todas las partes de una estructura como un
cuerpo rígido (volcamiento, deslizamiento de la estructura).
• Tiene que ver con la ruptura de los componentes críticos, causando el colapso parcial o completo
(flexión, falla a cortante).
Colapso progresivo
(1) Debido a una falla menor local, lo que ocasiona sobrecargas a los elementos adyacentes
induciendo un colapso total de la estructura. La integridad estructural se proporciona mediante la
vinculación de los elementos que componen la estructura por medio de un adecuado detallamiento
en el corte del acero de refuerzo, proporcionando vías alternativas de transmisión de cargas en caso
de falla localizada. (2) Formación de un mecanismo plástico (articulaciones plásticas) en algunas
zonas de la estructura haciendo que la estructura pase a ser inestable. Se prefiere que los daños se
presenten en vigas ante el peligro de colapso que representa una falla inducida en una columna. (3)
Inestabilidad causada por deformaciones de la estructura causando pandeo y por consiguiente
incremento en los momentos de diseño de los elementos de soporte a cargas verticales. (4) Fatiga en
elementos estructurales puede fracturarlos en virtud de ciclos de esfuerzos repetidos por las cargas
de servicio (pueden causar colapso).
Estado límite de servicio
La parte funcional de una estructura es afectada, pero el colapso no es inminente; lo cual puede
generar un peligro potencial para los elementos no estructurales. Un ancho de grieta excesivo produce
fugas de líquidos. La corrosión del refuerzo produce deterioro gradual de estructura. Las deflexiones
excesivas en vigas causan mal funcionamiento de la maquinaria, dificultad en apertura de puertas,
rompimiento de vidrios o vitrinas actuando como elementos no estructurales. Una deflexión
considerable en una viga además de causar alarma visual puede generar cambios en las distribuciones
de fuerzas. Las vibraciones no deseadas producen cambios en las cargas. Es importante prestar
atención en los requerimientos arquitectónicos del proyecto para evitar afectaciones en el uso de la
estructura, por ejemplo la localización de fluxómetros contiguos a aulas de clases puede generar la
interrupción por el ruido que generan estos elementos, para esto se deben aislar mediante pasillos.
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Estado límite especial
El daño y la falla son provocados por condiciones anormales como: terremotos de gran magnitud,
inundaciones, deslizamientos, efectos del fuego, explosiones, colisiones vehiculares, efectos de
corrosión, inestabilidad física y química a largo plazo, deterioro causado por agentes ambientales
que se han tornado agresivos y que no fueron considerados en el diseño de la estructura. Es
importante tener especial cuidado en la selección del tipo de estructura. Estructuras de concreto
reforzado presentan un mejor comportamiento que estructuras de acero estructural desde el punto de
vista de agresividad ambiental y resistencia al fuego, pero el acero estructural puede resultar muy
ventajoso desde el punto de vista dinámico por su bajo peso y alta ductilidad.
Diseño en estado límite
Identificar todos los posibles modos de falla. Determinar niveles aceptables de seguridad para las
estructuras normales con base en las recomendaciones de los códigos de construcción vigentes.
Considerar los estados límites significativos. Los elementos se deben diseñar para el estado límite
último, el servicio se comprueba y el especial se debe garantizar con una adecuada selección del
sistema estructural y materiales utilizados en la construcción.
Códigos de Construcción
Cuando dos materiales diferentes, tales como acero y hormigón, actuando en conjunto deben ser
analizados, es comprensible que el análisis del esfuerzo en un elemento de hormigón armado tiene
que ser parcialmente empírico, aunque racional. Estos principios semi-racionales están siendo
revisados constantemente y mejorados como resultado de la investigación teórica y experimental que
se acumula. El American Concrete Institute (ACI), sirve como centro de información para estos
cambios, así como principal referente de los diferentes códigos de construcción a nivel mundial.
Filosofías de diseño
• Método de esfuerzos admisibles (enfocado en condiciones de cargas de servicio).
• Método de resistencia (enfocado en condiciones de cargas últimas).
Método de esfuerzos admisibles
La seguridad en el diseño se obtiene especificando que el efecto de la carga debe producir esfuerzos
que corresponden a una fracción de fy, por ejemplo 0,5. Este valor equivale a proveer un factor de
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seguridad de 2. Este método no es apropiado para el diseño de estructuras modernas debido a las
siguientes limitaciones:
• El concepto de resistencia se fundamenta en el comportamiento elástico de materiales
homogéneos.
• Este método no proporciona una medida razonable del esfuerzo, el cual es una medida más
fundamental de la resistencia que el esfuerzo admisible.
• El factor de seguridad es aplicado solo a la resistencia, por lo que las cargas en este modelo son
de naturaleza determinística (sin variación).
• La selección del factor de seguridad es subjetiva y por lo tanto no proporciona una medida de
confianza en términos de probabilidad de falla.
Método de resistencia
El método de resistencia se considera conceptualmente más realista para establecer la seguridad
estructural, en este método las cargas de servicio son incrementadas por medio de factores para
obtener las cargas a las cuales la falla es considerada inminente; ésta carga es llamada carga
factorizada o carga mayorada.
Resistencia Proporcionada ≥ Resistencia Requerida
Generalmente la resistencia proporcionada es levemente mayor a la resistencia requerida. La
resistencia proporcionada se calcula de acuerdo con las normas y los supuestos de comportamiento
prescrito por el código de construcción y la resistencia requerida se obtiene mediante la realización
de un análisis estructural con cargas mayoradas. La "resistencia proporcionada" se conoce
comúnmente como "resistencia última".
Provisiones de seguridad
Las estructuras y elementos estructurales deben ser diseñados para resistir carga adicional por encima
de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por las que algún
tipo de factor de seguridad es necesario en el diseño estructural.
• Variabilidad en resistencia.
• Variabilidad en cargas.
• Consecuencia de la falla.
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Variabilidad en resistencia
• La variabilidad de la resistencia del concreto y el refuerzo. Las condiciones ambientales influyen
en la resistencia final de concretos.
• Las diferencias entre las dimensiones de los elementos construidos en obra y los que se
encuentran consignados en los planos estructurales. Este tipo de diferencias es inevitable por
cuanto los procesos constructivos están sujetos a errores humanos ya sea en la etapa de ubicación
de formaletas o durante el proceso de fundida de los elementos estructurales.
• Los efectos de la simplificación hecha en la derivación de la resistencia de los elementos. Si bien
en la actualidad se cuentan con herramientas computacionales de gran precisión, los modelos
matemáticos usados para representar el comportamiento de los elementos estructurales nunca
podrán representar la realidad.
La siguiente gráfica muestra una comparación de la medida y cálculo de los momentos de falla
basados en todos los datos de vigas de hormigón armado con > 2000 psi.f'c
Figura 24
Variabilidad en cargas
Distribución de frecuencias de los componentes sostenidos de las cargas vivas en las oficinas. Es
posible ver como la frecuencia y la intensidad de la carga viva aumenta al aumentar el área de
aplicación de esta carga.
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Figura 25
Consecuencias de la falla
Una serie de factores subjetivos deben ser considerados en la determinación de un nivel aceptable de
seguridad:
• La posible pérdida de vidas humanas.
• El costo de retirar escombros con la correspondiente sustitución de la estructura y su contenido.
• Costo para la sociedad.
• Tipo de advertencia de la falla estructural y la existencia de rutas de carga alternativas.
• Daño ambiental que genera el colapso de una estructura.
Margen de seguridad
Las distribuciones de la resistencia y la carga se usan para obtener una probabilidad de falla de la
estructura.
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Figura 26
El término Y = R – S se llama margen de seguridad. La probabilidad de falla se define como:
Pf = Probabilidad de �� < 0�
Y el índice de seguridad es:
Y
Yβσ
=
Figura 27
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Cargas
Especificaciones
Las ciudades en los Estados Unidos en general, basan sus códigos de construcción en uno de los
siguientes tres códigos (después del 2000):
• International Building Code IBC.
• Building Code Requirements for structural Concrete and Commentary ACI Committee 318,
2008.
Para las ciudades de Colombia, la norma que rigió los códigos de construcción antes del año 2010
fue:
• Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-98, 1998.
Para las ciudades de Colombia, la norma que rige los códigos de construcción después del año 2010
es:
• Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-10, 2010.
Cargas Muertas
• El peso de toda la construcción permanente.
• Magnitud constante y ubicación fija.
Ejemplos:
• Peso de la estructura (paredes, pisos, techos, cielorrasos, escaleras).
• Equipos de servicio fijo (HVAC, pesos de tubería, bandeja de cables).
Pueden ser inciertas:
• Espesor del pavimento.
• Relleno de tierra sobre la estructura subterránea.
Cargas Vivas
• Cargas producidas por el uso y ocupación de la estructura.
• Máximo de cargas que se puedan producir por el uso previsto.
• No menos que el mínimo de carga uniformemente distribuida dada por el código.
Para el caso de bodegas se debe tomar el 25% de la carga viva para el cálculo de la masa de la
estructura que se utiliza en el análisis dinámico.
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Cargas Ambientales
• Cargas de nieve.
• Sismo.
• Viento.
• Presión del suelo.
• Estancamiento de aguas pluviales.
• Diferenciales de temperatura.
Cargas de Construcción
• Materiales utilizados para llevar a efecto la construcción de una edificación.
• Peso de la formaletería que soporta el peso del concreto fresco.
Uno de los aspectos que más accidentes genera en la industria de la construcción es un mal diseño
de formaletería, este tipo de accidentes puede ser evitado con un adecuado cálculo de las cargas y
posibles sobre cargas que se van a tener durante el tiempo del armado del refuerzo de los elementos
estructurales y la fundida de los mismos, con estos datos se debe diseñar el número de apoyos
requeridos para los elementos de cimbrado. Un estricto control de calidad es importante justo antes
de la ejecución de labores de colocación de concreto para evitar que elementos deteriorados de las
cimbras causen accidentes a los trabajadores. Es importante resaltar el concepto de contraflecha, la
cual es una pequeña elevación en el centro de la luz que se le da a la cimbra donde se va a fundir la
losa o viga con el objeto de compensar la flecha generada por el peso de la losa o viga al momento
de decimbrar y de esta forma garantizar que la deformación de la losa sea imperceptible. Es
importante resaltar que las deformaciones se clasifican en deformaciones instantáneas y a largo plazo.
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4. GENERALIDADES DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO
Definición de Concreto
Material compuesto de cemento Portland, agregado fino (arena), agregado grueso (grava / piedra), y
agua con o sin otros aditivos.
Hidratación
Proceso químico en el que el polvo del cemento reacciona con el agua para luego endurecerse
formando una masa sólida y de esta forma uniendo los agregados entre sí.
Calor de hidratación
El calor se libera durante el proceso de hidratación. En grandes masas de hormigón el calor se disipa
lentamente, dando lugar al aumento de la temperatura y la expansión de volumen; más adelante hay
contracción por causas de enfriamiento, debido a esto es importante el uso de medidas especiales
para controlar la fisuración.
Dosificación
El objetivo es lograr la mezcla con:
• Resistencia adecuada.
• Trabajabilidad adecuada para la colocación.
• Bajo costo.
Bajo costo
• Minimizar la cantidad de cemento.
• Gradación buena de los materiales (disminuyendo los vacíos y por lo tanto la pasta de cemento
requerida).
Relación agua-cemento (A / C)
• El aumento de A / C: mejora la plasticidad y fluidez de la mezcla.
• El aumento de A / C: los resultados en disminución de la resistencia debido al mayor volumen
de vacíos en la pasta de cemento y debido al agua libre.
• La completa hidratación del cemento requiere A / C ~ 0,25.
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• Necesidad de agua para humedecer la superficie total, facilitar la movilidad del agua durante la
hidratación y proporcionar trabajabilidad.
• Valor típico de A / C = 0,40-0,60
Tabla 1
Relación Típica Agua/Cemento y Resistencia a la Compresión y Flexión del Peso Normal del Concreto
Relación Agua/Cemento Probabilidad de la Resistencia del Concreto a los
28 Días
Compresión Flexión
Por el Peso Galones por Saco
(94 lb.)
Litros por Saco
(50 kg) psi N/mm2 psi N/mm2
0,35 4,0 17,5 6300 41 650 4,5
0,4 4,5 20,0 5800 40 610 4,2
0,44 5,0 22,0 5400 37 590 4,1
0,49 5,5 24,5 4800 33 560 3,9
0,53 6,0 26,5 4500 31 540 3,7
0,58 6,5 29,0 3900 27 500 3,5
0,62 7,0 31,0 3700 25 490 3,4
0,67 7,5 33,5 3200 22 450 3,1
0,71 8,0 35,5 2900 20 430 3,0
Las proporciones se dan por volumen o peso de cemento para arena y grava (es decir, 1:2:4) con la
relación A / C especificada separadamente.
Agregados
Corresponden al 70-75% del volumen de concreto endurecido.
El resto corresponde a pasta de cemento endurecida, el agua no mezclada, burbujas de aire.
Los agregados más densos dan mejor:
• Fuerza.
• Resistencia a la intemperie (durabilidad).
• Economía.
Agregado fino: arena (pasa a través de una malla # 4 (4 agujeros por pulgada)).
Agregado grueso: grava.
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Gradación buena
• 2-3 grupos de tamaño de la arena.
• Varios grupos de tamaño de la grava.
El tamaño máximo del agregado grueso en las estructuras de concreto reforzado: deben ajustarse a
las formas y el espacio disponible entre las barras de refuerzo (NSR-10, C.3.3.2).
• 1/5 de la dimensión más estrecha.
• 1/3 de la profundidad de la losa.
• 3/4 de la distancia mínima entre barras de refuerzo.
Resistencia de los agregados
Agregados fuertes: cuarcita.
Agregados débiles: arenisca, mármol.
Resistencia intermedia: piedra caliza, granito.
En el diseño de mezclas de concreto, tres requisitos principales para el concreto son de gran
importancia: calidad, trabajabilidad y economía.
Calidad
La calidad del hormigón se mide por su resistencia y durabilidad. Los principales factores que afectan
a la resistencia del concreto, suponiendo que los agregados son de buena calidad, son la relación A/C,
y la medida en que ha progresado la hidratación. La durabilidad del hormigón es la capacidad del
concreto para resistir la desintegración debido procesos de congelación y descongelación, y en
algunos casos debido al ataque químico o por proximidad a zonas costeras. Se debe prestar especial
cuidado a una correcta selección de la relación A/C en estructuras costeras y estructuras localizadas
en ambientes agresivos a fin de garantizar baja porosidad del concreto y de esta forma evitar la
corrosión del acero de refuerzo. Un diseño optimizado de elementos de concreto reforzado no debe
fundamentarse solamente en dimensionar con mínimos posibles las secciones de los elementos
ubicando el mínimo posible de refuerzo, sino que se debe fundamentar en el uso de resistencias o
relaciones agua cemento del concreto dependiendo del grado de exposición a condiciones
ambientales o de riesgo de incendio, en este sentido se debe tener de presente que algunas normativas
de otros países han establecido resistencias del concreto para diferentes clases de exposición a
variables ambientales que distan mucho de las que comúnmente se usan en Colombia, este aspecto
afecta de forma directa la durabilidad y en algunos casos compromete la seguridad de las estructuras.
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Trabajabilidad
La trabajabilidad del hormigón se puede definir como la composición característica indicativa de la
facilidad con que la masa de material plástico puede depositarse en su lugar definitivo, sin
segregación durante la colocación, y su capacidad de adaptarse a la formaleta que conforma el
elemento estructural. El uso de aditivos químicos es recomendado para evitar comprometer la
resistencia del concreto.
Economía
La economía tiene en cuenta el uso eficaz de los materiales, un resultado adecuado de resistencia, y
facilidad de manejo y disposición del concreto. El costo de producción de concreto de buena calidad
es un factor importante en el costo total de cualquier proyecto de construcción.
Tabla 2. Influencia de los ingredientes en las propiedades del concreto.
Ingrediente Calidad Trabajabilidad Economía
Agregados Incrementa Disminuye Incrementa
Cemento Portland Incrementa Incrementa Disminuye
Agua Disminuye Incrementa Incrementa
De W.A. Cordon, Properties, Evaluation, and Control of Engineering Materials, McGraw-Hill
Book Company, New York, 1979.
Ensayo de asentamiento
La trabajabilidad es medida por la prueba de asentamiento. La medida de la consistencia de la mezcla
se hace con el ensayo de asentamiento de cono.
Figura 28
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Capa 1: Llenar 1 / 3 (25 inserciones).
Capa 2: Llenar 2 / 3 (25 inserciones).
Capa 3: Llenar completo (25 inserciones).
Se retira el cono y se mide el asentamiento (por lo general está entre 2 y 6 pulgadas).
Tabla 3: Rangos de asentamientos recomendados para las distintas clases de estructuras de hormigón.
Mezcla Recomendada Para La Consistencia Del Cemento
Tipo de Estructura Asentamiento (in.)
Mínimo Máximo
Secciones masivas, pavimentos y pisos
fundidos sobre el suelo 1 4
Losas pesadas, vigas, muros 3 6
Muros delgados y columnas, losas ordinarias
y vigas. 4 8
Aditivos
• Mejoran la trabajabilidad.
• Aceleran o retardan el fraguado y endurecimiento.
• Ayudan en la curación.
• Mejoran la durabilidad.
Incorporación de aire
Añadir vacíos de aire con burbujas
• Ayuda con los ciclos de congelación/descongelación, facilidad de trabajo, etc.
• Disminuye la densidad: reduce la resistencia, pero también disminuye A / C.
Superplastificantes
Incrementan la trabajabilidad por la liberación química del agua contenida en los agregados finos.
Tipos de cemento
• Tipo I:
Es el más utilizado en nuestro medio, destinado a obras de hormigón en general, al que no se le
exigen propiedades especiales.
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• Tipo II:
Es el que se debe usar en obras que estén expuestas a la acción moderada de sulfatos y se requiera
moderado calor de hidratación, como por ejemplo canales de aguas negras.
• Tipo III:
Es el que desarrolla altas resistencias a temprana edad. Utilizado en la industria de elementos
prefabricados de concreto.
• Tipo IV:
Es el que desarrolla bajo calor de hidratación. Se usa para represas y obras que posean un gran
volumen de concreto.
• Tipo V:
Es el que ofrece alta resistencia a la acción de sulfatos, útil para obras que se encuentren en
contacto con el medio marino
Mecanismos de falla del concreto
Microfisuras por retracción
Corresponde a la contracción inicial del concreto debido a la retracción por fraguado, la contracción
de hidratación, y la contracción por secado.
Figura 29
Microfisuras por adherencia
Son extensiones de microfisuras de retracción, al aumentar el esfuerzo a compresión el campo de
fisuramiento incrementa, la contracción de microfisuras amplía pero no se propaga en la matriz.
Ocurren cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 15-20 % de la resistencia última del concreto.
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Figura 30
Microfisuras de matriz
Son microfisuras que se producen en la matriz. Se producen cuando el nivel de esfuerzos alcanza un
30-45 % de la resistencia última del concreto. Las microfisuras de matriz comienzan el puente entre
sí correspondiente a un 75%. Las microfisuras en los agregados se producen justo antes del fallo.
Figura 31
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5. PROPIEDADES MECÁNICAS DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO
Concreto
Figura 32
La prueba de resistencia estándar generalmente utiliza una muestra cilíndrica. La prueba se hace
después de 28 días para la prueba de resistencia, f’c. El concreto se sigue endureciendo con el tiempo
y para un cemento Portland normal se incrementará con el tiempo aproximadamente de la siguiente
forma:
Tabla 3
Edad 7 Días 14 Días 28 Días 3 Meses 6 Meses 1 Año 2 Años 5 Años
Relación de
Resistencia 0,67 0,86 1 1,17 1,23 1,27 1,31 1,35
Resistencia a la compresión, f’c
Por norma se define a 28 días para la resistencia de diseño
Relación de Poisson, ν
ν ~ 0,15 a 0,20 generalmente se usa ʋ = 0,17
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Figura 33
Figura 34
Módulo de elasticidad del concreto (Ec)
Corresponde al módulo secante para un valor de esfuerzo equivalente a 0,45 f’c. NSR-10 (C.8.5.1).
El módulo de elasticidad, Ec, para el concreto puede tomarse como:
1.5 0,043 ´c cw f× En MPa.
Para valores de wc comprendidos entre 1440 y 2560 kg/m3. Para concreto de densidad normal, Ec
puede tomarse como 4700 cf
Donde wc = Peso (kg / m3)
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3 3c1440 Kg/ m < < 2560 Kg/ mw
Ec (MPa) = 4700 cf
Para el peso normal del concreto:
32400 Kg/mcw ≅
Deformación del concreto a máximo esfuerzo de compresión
• Para las curvas típicas de la compresión εc varía entre 0,0015-0,003.
• Para la resistencia normal de hormigón εc ~ 0,002.
• La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del
concreto se supone igual a 0,003. NSR-10 (C.10.2.3). εcu = 0,003.
• Usado para flexión y compresión axial.
Las curvas Esfuerzo vs Deformación para un concreto típico en compresión:
Figura 35
Tipos de falla a compresión
Hay tres modos de falla:
• El concreto falla a cortante bajo compresión axial.
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• La separación de la muestra en piezas en forma de columna por lo que se conoce como división
o fractura de columna.
• Combinación de la falla cortante y fractura de columna.
Figura 36
Resistencia a tracción del concreto
• Resistencia a tracción ~ 8% a 15% del cf ´ .
• Módulo de rotura, fr.
Para los cálculos de deflexión, se usa:
0,62 ( )r cf f´ MPaλ=
Para el uso de concreto de peso liviano, debe emplearse el factor de modificación λ como
multiplicador de cf´ en todas las ecuaciones y secciones aplicables del Título C del
Reglamento NSR-10, donde = 0,85 λ para concreto liviano de arena de peso normal y 0,75 para
los otros concretos de peso liviano. Se permite la interpolación entre 0,75 y 0,85 con base en
fracciones volumétricas, cuando una porción de los agregados finos de peso liviano es reemplazada
por agregado fino de peso normal. Se permite la interpolación lineal entre 0.85 y 1.0 para el concreto
que contiene agregado fino de peso normal y una combinación de agregados gruesos de peso
normal y de peso liviano. Para el concreto de peso normal = 1,0λ . Si se especifica la resistencia
promedio a la tracción por hendimiento del concreto de peso liviano, fct, entonces:
= 1,0
(0,56 )
ct
c
f
f´λ ≤ NSR-10, C.8.6.1
Ensayo
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Figura 37
Figura 38
Acero de refuerzo
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Figura 39
• Tipos más comunes para miembros no pretensados:
Laminados en caliente, barras corrugadas.
Tejidos de alambre soldado.
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Figura 40
Tabla 4: áreas, pesos, dimensiones acero de refuerzo. Designaciones, áreas, perímetros y pesos de
barras estándar.
Diámetro
Área De
Sección
Transversal
Perímetro Unidad De
Peso Por Pie Diámetro Área
Barra in. in2. in. lb. mm. mm2.
# Nominal Actual
2 1/4 0,250 0,05 0,79 0,167 6,4 32
3 3/8 0,375 0,11 1,18 0,376 9,5 71
4 1/2 0,500 0,20 1,57 0,668 12,7 129
5 5/8 0,625 0,31 1,96 1,043 15,9 200
6 3/4 0,750 0,44 2,36 1,502 19,1 284
7 7/8 0,875 0,60 2,75 2,044 22,2 387
8 1 1,000 0,79 3,14 2,670 25,4 510
9 1 1,128 1,00 3,54 3,400 28,7 645
10 1� 1,270 1,27 3,99 4,303 32,3 820
11 1� 1,410 1,56 4,43 5,313 35,8 1010
14 1�� 1,693 2,25 5,32 7,650 43,0 1450
18 2� 2,257 4,00 7,09 13,600 57,3 2580
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Tipos
ASTM A615 - Especificación estándar para barras de acero deformadas.
ASTM A616 – Barras para rieles de acero.
ASTM A617 – Barras para ejes de acero.
ASTM A706 – Barras de baja aleación de acero.
Curva esfuerzo-deformación para diferentes tipos de barras de acero de refuerzo
Figura 41
Es = modulo de elasticidad del acero, el cual puede tomarse como la tangente inicial en la curva
esfuerzo deformación y puede tomarse para acero de refuerzo no pre-esforzado como un valor
constante de 200 GPa (NSR-10 C.8.5.2).
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Máquina ensayo de barras de acero
Figura 42
En la NTC 2289 se definen unos valores mínimos de resistencia y porcentaje de alargamiento que deben cumplir los especímenes ensayados:
Requisitos de tracción (NTC 2289).
La NTC 2289 define cual debe ser la composición química de los aceros de refuerzo, una de las verificaciones que se debe hacer es un chequeo de los porcentajes de los componentes del acero con base a la siguiente tabla. Por lo general esta verificación se hace una vez se haya cumplido con los valores mínimos de resistencia y deformación. Es de obligatorio cumplimiento garantizar un acero de refuerzo no solo en términos de resistencia sino de su composición química
Porcentajes máximos de los componentes químicos del acero de refuerzo
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6. FLEXIÓN
Localización del acero de refuerzo
Figura 43
Figura 44
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Figura 45
Figura 46
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Figura 47
Esfuerzo flector en vigas
La viga es un elemento estructural diseñado para soportar principalmente momentos flectores y
cortantes. Una viga debe ser definida como columna si existiera una fuerza de compresión
considerable.
C = T
M = C*(jd)
M = T*(jd)
El esfuerzo en un bloque es definido como:
max
= (M y) / I
Sxx = I / (y )
σ ×
La ecuación para el módulo Sxx para el cálculo del esfuerzo de compresión máxima.
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Figura 48
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Figura 49
Cinco estados de esfuerzos en el concreto al incrementarse la carga aplicada
Estado de carga #1: No hay cargas externas, solo el peso propio.
Figura 50
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Estado de carga #2: La carga externa aplicada sobre la viga hace que las fibras inferiores extremas
tengan un esfuerzo equivalente al módulo de rotura del concreto fr. La sección de concreto entera es
efectiva, las barras de acero en el lado de tensión tienen la misma deformación que la del concreto
ubicado alrededor de las barras de refuerzo.
Estado de carga #3: La resistencia a la tracción del hormigón excede la equivalente al módulo de
rotura fr y por consiguiente se desarrollan fisuras. El eje neutro se desplaza hacia arriba y las fisuras
se extienden hasta el eje neutro. El concreto pierde resistencia a la tracción y el acero comienza a
trabajar eficazmente resistiendo la carga de tensión total.
Estado de carga #4: El esfuerzo en el concreto en la fibra extrema superior se comporta en el rango
lineal para posteriormente sobrepasar el valor de 0,45 cf ´ y pasar a un comportamiento no lineal del
material.
Estado de carga #5: Falla de la viga.
Figura 51
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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Figura 52
Figura 53
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El diagrama momento-curvatura muestra los cinco estados de la viga. El diagrama es del ángulo de
curvatura,φ ,
( )Ey y
( )E
y
yMI
M
EI
σεφ
φ
φ
= =
=
=
La primera viga falla a cortante y la segunda viga falla a momento flector.
Figura 54
Tipos de fallas por flexión de una viga de concreto reforzado:
El acero alcanza el esfuerzo de fluencia antes de que el concreto alcance su máximo valor esfuerzo
(condición de falla sub-reforzada).
Figura 55
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El acero alcanza su esfuerzo de fluencia al mismo tiempo que el hormigón alcanza su máximo valor
esfuerzo y deformación (condición de falla balanceada).
Figura 56
El concreto alcanza su máximo valor esfuerzo y deformación antes que el acero alcance su esfuerzo
de fluencia (condición de fallan sobre-reforzada).
Figura 57
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Análisis de vigas en condiciones de cargas de servicio
Ec – Módulo de Elasticidad - Concreto
Es – Módulo de Elasticidad - Acero
As – Área del Acero
d – Distancia al acero
b – Ancho
h – Alto
n – Relación Modular
s
c
En
E=
Propiedades de la Mecánica de Materiales
Centroide i i
i
y Ay
A= ∑∑
Momento de Inercia ( )2
i i iI I y y A= + −∑ ∑
Sección no fisurada
Figura 58
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Tabla 5
Área yi yiA I yi - y (yi -y)2 A
Concreto bh h/2 bh2/2 bh3/12 (h/2-y) (h/2-y)2bh
Acero (n-1)As d d(n-1)As --- (d-y) (d-y)2(n-1)As
( )( )
( ) ( ) ( )
2
232 2
12
1
112 2
i i
i
i i i
s
s
s
bhn A dy A
yA bh n A
bh hI I y y A y bh d y n A
+ −= =
+ −
= + − = + − + − −
∑∑
∑ ∑
Sección fisurada
Para una sección fisurada el concreto esta en compresión y el acero está en tensión. La deformación
en la viga es lineal.
Figura 59
1
2c
s s
C yb f
T A f
=
= ×
Condición de equilibrio
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1
2
2
s s c
s cs
T C
A f yb f
ybf f
A
=
× =
=
Usando la Ley de Hooke
f Eε=
c ss s c c
s c
2 2
2
s s
s
Eyb A nAE E
A E yb yb
εε εε
= → = =
Sin embargo, este es un problema indeterminado para encontrar y . Se debe utilizar la condición de
compatibilidad de deformaciones.
Figura 60
Usando la condición de compatibilidad de deformaciones.
s c c
s
y
d y y d y
ε ε εε
= ⇒ =− −
Se sustituye en la primera ecuación.
Se sustituye para la relación de deformación
2 sy nA
d y yb=
−
Reorganizar la ecuación en una ecuación de segundo grado
2 2 20
s snA nAy y d
b b + − =
Utilizar una relación de áreas de concreto y acero
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2 22 2 0sA
y n d y n dbd
ρ ρ ρ= → + − =
Modificar la ecuación para definir una relación adimensional.
2
2 2 0y y
n nd d
ρ ρ + − =
Usando la fórmula cuadrática
( )
( )
2
2
2 2 8
2
2
n n ny
d
yn n n
d
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
− ± + =
= + −
Resolver para el centroide multiplicando el resultado por d . El momento de inercia es definido
usando el teorema de los ejes paralelos
Figura 61
( )
( )
( )
2
232
32
12 2
3
= + −
= + + −
= + −
∑ ∑i i i
s
s
I I y y A
by yI by d y nA
byI d y nA
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EJEMPLO 1
Considere una viga rectangular simplemente reforzada con un área de acero de refuerzo .sA
Determinar la ubicación del centroide y el momento de inercia para la sección mostrada en la figura,
considerando los casos de sección no fisurada y fisurada. Compare los resultados.
(C.8.5.2)
Usar 4 barras Nº7 para el acero de refuerzo.
Una barra Nº7 tiene un área de 387 mm2, entonces 4Nº7 corresponde a 1548 mm2.
Se tiene la relación modular, 200000
825000
s
c
E MPan
E Mpa= = =
Sección no fisurada
2 22
2
300 (400 )( 1) (8 1) 1548 340
2 2 212( 1) 300 400 (8 1) 1548
s
s
bh mm mmn A d mm mm
y mmbh n A mm mm mm
×+ − × × + − × ×= = =
+ − × × + − ×
( ) ( )23
21
12 2s
bh hI y bh d y n A
= + − + − −
200000
25000
340
300
400
s
c
E MPa
E MPa
d mm
b mm
h mm
==
===
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( ) ( )23
2 2300 (400 ) 400211,6 300 400 340 211,6 8 1 1548
12 2
mm mm mmI mm mm mm mm mm mm
× = + − × × + − − ×
41794795564I mm=
Sección fisurada
215480,0152
300 340
sA mm
bd mm mmρ = = =
×
( ) ( ) ( ) ( )2 22 8 0,0152 2 8 0,0152 8 0,0152 0,3863
0,3863 0,3863 340 131
yn n n
d
y d mm mm
ρ ρ ρ = + − = × + × × − × =
= × = × =
( ) ( ) ( )33
2 2 2
4
300 131,35340 131,35 8 1548
3 3
765751065
mm mmbyI d y nAs mm mm mm
I mm
×= + − = + − × ×
=
Se puede observar que el centroide cambia de 212 mm a 131 mm y el momento de inercia se reduce
de 1794795564 mm4 a 765751065 mm4.
El centroide disminuye en un 38% y el momento de inercia en un 57%. La sección fisurada pierde
más de la mitad de su resistencia original.
EJEMPLO 2
Determinar la distribución de esfuerzos para los siguientes momentos Mu1= 75 KN-m y Mu2= 125
KN-m.
Es = 200000 MPa
Ec = 25000 MPa
d = 590 mm
b = 300 mm
h = 650 mm
As = 1548 mm2
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 63
Relación modular, 200000
825000
s
c
E MPan
E Mpa= = =
Para agregado grueso de origen ígneo se tiene 4700 ccE f´= (C.8.5.1)
2 225000
28,29 284700 4700
ccE
f´ MPa MPa = = = →
El módulo de rotura, fr, se define de la siguiente forma (NSR-10 C.9-10)
0,62
0,62 1 28 3,28
cr
r
f f´
f MPa
λ= ×
= × × =
Tensiones elásticas sección no fisurada
2 22
2
300 (650 )( 1) (8 1) 1548 590
2 2 339( 1) 300 650 (8 1) 1548
s
s
bh mm mmn A d mm mm
y mmbh n A mm mm mm
××+ − × + − × ×
= = =+ − × × + − ×
( ) ( )23
21
12 2s
bh hI y bh d y n A
= + − + − −
( ) ( ) ( )3 2
2 2300 650 650339 300 650 590 339 8 1 1548
12 2
mm mm mmI mm mm mm mm mm mm
× = + − × × + − × − ×
47586523836I mm=
Concreto a compresión
( )3 4
75 0,3393,35
7,586 10cc
KN m mf MPa
m−
− ×= =
×
Concreto a tracción
( )( )3 4
75 0,650 0,3393,07
7,586 10ct r
KN m m mf MPa f
m−
− −= = <
×
La suposición de que el concreto se encuentra en la zona de tensiones elásticas correspondiente a una
sección no fisurada es correcta.
Tensiones elásticas sección fisurada
215480,0087
300 590
sA mm
bd mm mmρ = = =
×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 64
( ) ( ) ( ) ( )2 22 8 0,0087 2 8 0,0087 8 0,0087 0,31
0,31 0,31 590 183
yn n n
d
y d mm mm
ρ ρ ρ = + − = × + × × − × =
= × = × =
( ) ( ) ( )33
2 2 2
4
300 183590 183 8 1548
3 3
2664245916
smm mmby
I d y nA mm mm mm
I mm
×= + − = + − × ×
=
Concreto a compresión
( )3 4
125 0,1838,59 0,45 12,6
2,664 10cc c
KN m mf MPa f´ MPa
m−
− ×= = < =
×
La suposición de que el concreto se encuentra en la zona de tensiones elásticas correspondiente a una
sección fisurada es correcta.
Esfuerzo en el acero
3 2
0,183 0,38,59 152,32
2 2 1,548 10s c
s
yb m mf f MPa MPa
A m−
× = = × = × ×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 65
7. CONSIDERACIONES BÁSICAS EN LA TEORÍA DE FLEXIÓN
• Las secciones planas continúan siendo planas antes y después de la aplicación de la carga. Este
enunciado no es cierto para vigas de gran altura h> 4b.
• La deformación en el acero de refuerzo es igual a la deformación en el concreto medidas al
mismo nivel.
• El esfuerzo en el concreto y en el acero de refuerzo puede ser calculado de las equivalencias en
deformación de las curvas σ ε− del concreto y el acero.
Supuestos adicionales para el diseño (con el fin de simplificar)
• Resistencia a la tracción del concreto no se considera para el cálculo de resistencia a la flexión.
• El concreto se asume que falla en compresión cuando:
(deformación concreto) (estado límite)
(deformación concreto) 0,003c cu
c
ε εε
==
NSR-10
C.10.2 Suposiciones de diseño
C.10.2.3 La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión
del concreto se supone igual a 0,003.
La relación σ ε− para el concreto puede ser asumida que tiene cualquier forma, siempre y cuando
los resultados permitan obtener un valor aceptable de la resistencia.
Figura 62
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 66
La fuerza de compresión se modela como c 1 3 cC = k k f b c × en la posición 2x = k c×
Figura 63
Los coeficientes de compresión de los esfuerzos en el bloque dados por las siguientes figuras:
Figura 64
k3 es la relación de máximo esfuerzo para cf ´ en la zona a compresión de una viga para la resistencia
del cilindro, cf ´ (0,85 es el valor típico para un concreto común).
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 67
La zona de compresión se modela con un bloque de esfuerzo equivalente.
Figura 65
La distribución rectangular equivalente de esfuerzos para el concreto tiene lo que se conoce como
coeficiente 1β , que es la proporción del promedio que incluye la distribución de esfuerzos.
1
1
para 0,85 28
28 0,85 0,05 0,65
7
c
c
f´ MPa
f´
β
β
= ≤− = − × ≥
Requisitos para el análisis de vigas de concreto reforzado
• Esfuerzo – compatibilidad de deformación
El esfuerzo en un punto en la viga debe corresponder a la tensión en el punto simétrico.
• Equilibrio
Las fuerzas internas se balancean con las fuerzas externas.
Figura 66
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 68
Condición de equilibrio
x 0 T C
0,85
0 T2
s s c
n
F
A f f´ a b
aM d = M
= ⇒ =
× = × ×
= ⇒ −
∑
∑
Figura 67
Resistencia de la sección a flexión
0,85
0,85
s s
c
s s
c
T A f
C f´ a b
A fa
f´ b
= ×= × ×
×=×
( )Momento del brazo
2
n
n s s
M T
aM A f d
=
= × −
Se debe confirmar s y > ε ε
( )
yy
s
1
s c y
E
ac
d c
c
σε
β
ε ε ε
=
=
−= >
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 69
EJEMPLO 3
Determinar la ubicación del eje neutro y el momento de diseño para la viga rectangular mostrada en
la figura.
28
420
300
440
500
y
f´c MPa
f MPa
b mm
d mm
h mm
==
===
Usar 4 Nº7 para el acero de refuerzo, sA = 1548 mm2.
β1 = 0,85 para 28 (C.10.2.7.3)cf´ MPa≤
Principio de equilibrio, asumiendo fluencia del acero se tiene:
2
0,85
420 154891
0,85 0,85 28 300
y
y
c s
s
c
C T
f´ b a A f
A f MPa mma mm
f´ b MPa mm
=× × = ×
× ×= = =× × × ×
El eje neutro se encuentra ubicado a:
1
91107
0,85
a mmc mm
β= = =
Revisión si el acero de refuerzo ha alcanzado la fluencia:
fluencia del acerode refuerzo. Este valor
debe ser superior a 0,005.
4200,0021
200000
440 1070,003 0,003 0,0093
107
0,0093 0,0021
ys
s
yf MPa
E MPa
d c mm mm
c mm
ε
ε
= = =
− − = × = × =
>
( )( )3 2 0,0911,548 10 420000 0,44 256,5
2 2yn s
a mM A f d m KPa m KN m− = × − = × − = −
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EJEMPLO 4
Para la viga mostrada en la figura con cf ´ = 41MPa, fy = 420MPa y d = 640mm.
Determinar el área de acero para la condición balanceada de la sección sombreada, la cual muestra
el área de concreto a compresión, determinar el momento nominal resistente de la sección y la
ubicación del eje neutro.
Determinar el área de concreto:
2150 100 300 80 39000cA mm mm mm mm mm= × + × =
Por condición de equilibrio se tiene:
2
3 2 2
0,85 0,85 41000 0,039 1359
0,85 13590,85 3,236 10 3236
420000y
y
c c
c cs c c s
C T
C f´ A KPa m KN
f´ A KNA f f´ A A m mm
f KPa−
== × × = × × =
× ×× = × × ⇒ = = = × =
Determinar el centroide de la zona de compresión del concreto:
150 100 50 300 80 140105
150 100 300 80i i
i
y A mm mm mm mm mm mmy mm
A mm mm mm mm
× × + × ×= = =× + ×
∑∑
Momento resistente de la sección:
( ) ( )1359 0,64 0,105 727,1nM T d y KN m m KN m= − = × − = −
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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Determinar la ubicación del eje neutro:
1
28 41 280,85 0,05 0,85 0,05 0,76 (C.10.2.7.3)
7 7
cf´β − − = − × = − × =
1
180237
0,76
a mmc mm
β= = =
2370,37
640
c mm
d mm= =
EJEMPLO 5
Determinar el momento último que resiste la sección mostrada en la figura
( )2 2
28
420
4 510 2040
y
c
s
f´ MPa
f MPa
A mm mm
==
= × =
Verificación cuantía mínima
2
min
min min
20400,126
300 540
1,4 28 1,4
4 4 420 420
0,0031 0,0033
y y
s
c
A mm
bd mm mm
f´
f f
ρ
ρ
ρ ρ ρ
= = =×
= ≥ = ≥×
= ≥ → >
Equilibrio de fuerzas
22
21
2 2 22 1
22
2
0,85
2040 4203600
0,85 0,85 28
2 75 100 15000
36000 15000 21000
2100070
300
y
y
s c c
sc
c
c
T C
A f f´ A
A f mm MPaA mm
f´ Mpa
A mm mm mm
A A A mm mm mm
A mmA bx x mm
b mm
=× = × ×
× ×= = =× ×
= × × =
= − = − =
= → = = =
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Ubicación eje neutro 100 70 170
170200
0,85
a mm mm mm
mmc mm
= + =
= =
Verificación falla tensión 200
0,370 0,375 0,9540
= = < → =c mm
d mmφ
Determinar el centroide de la zona a compresión del concreto
2 75 100 50 70 300 13599,6
2 75 100 70 300
× × × + × ×= = =× × + ×
∑∑
i i
i
y A mm mm mm mm mm mmy mm
A mm mm mm mm
Momento resistente 3 2( ) 2,04 10 420000 (0,54 0,1 ) 377
0,9 377
339,3
yn s
u n
u
M A f d y m KPa m m KN m
M M KN m
M KN m
φ
−= × × − = × × × − = −= = × −= −
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8. CARGAS
Provisiones de seguridad
Las estructuras y los elementos estructurales deben siempre ser diseñados para llevar algo de carga
de reserva por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones
principales por las que algún tipo de factor de seguridad es necesario en el diseño estructural.
• Las consecuencias de la falla.
• La variabilidad en la carga.
• La variabilidad en la resistencia.
Especificaciones
Las ciudades en los EE.UU. por lo general basan sus códigos de construcción en uno de los 3 códigos
modelo:
• Uniform Building Code.
• Basic Building Code (BOCA).
• Standard Building Code.
Estos códigos se han consolidado en el 2000 International Building Code.
Las cargas en estos códigos se basan principalmente en el documento ASCE Minimum Design Loads
for Buildings and Other Structures, las cuales han sido actualizadas para ASCE 7-02.
En Colombia a nivel de normativa tenemos:
• Código Colombiano de Construcciones Sismo-resistentes : Decreto 1400 de 1984.
• Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo-resistente NSR-98.
• Reglamento Colombiano de Construcciones Sismo-resistente NSR-10.
Las variaciones de carga se tienen en cuenta mediante el uso de una serie de "factores de carga" para
determinar la carga última.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 74
NSR-10
Capítulo B.2 — COMBINACIONES DE CARGA
B.2.2 — NOMENCLATURA
D = carga muerta consistente en:
(a) peso propio del elemento.
(b) peso de todos los materiales de construcción incorporados a la edificación y
que son permanentemente soportados por el elemento, incluyendo muros y particiones divisorias
de espacios.
(c) peso del equipo permanente.
E = fuerzas sísmicas reducidas de diseño (E = Fs/ R) que se emplean para diseñar los
miembros estructurales.
F = cargas debidas al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y alturas máximas
controlables.
G = carga debida al granizo, sin tener en cuenta la contribución del empozamiento.
L = cargas vivas debidas al uso y ocupación de la edificación, incluyendo cargas debidas a
objetos móviles, particiones que se pueden cambiar de sitio. L incluye cualquier reducción que se
permita. Si se toma en cuenta la resistencia a cargas de impacto este efecto debe tenerse en cuenta en
la carga viva L.
L e = carga de empozamiento de agua.
L r = carga viva sobre la cubierta.
H = cargas debidas al empuje lateral del suelo, de agua freática o de materiales almacenados con
restricción horizontal.
T = fuerzas y efectos causados por efectos acumulados de variación de temperatura, retracción
de fraguado, flujo plástico, cambios de humedad, asentamiento diferencial o combinación de varios
de estos efectos.
W = carga de viento.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 75
B.2.4 — COMBINACIONES DE CARGAS MAYORADAS USANDO EL MÉTODO DE
RESISTENCIA
B.2.4.1 — APLICABILIDAD — Las combinaciones de carga y factores de carga dados en la
sección B.2.4.2 deben ser usados en todos los materiales estructurales permitidos por el
reglamento de diseño del material, con la excepción de aquellos casos en que el Reglamento
indique explícitamente que deba realizarse el diseño utilizando el método de los esfuerzos de trabajo.
Caso en el cual se deben utilizar las combinaciones de la sección B.2.3.1.
Nota Importante: Las combinaciones de carga dadas en B.2.4.2 contienen factores de cargas
menores que los que prescribía el Reglamento NSR-98, pero al mismo tiempo para cada uno de los
materiales estructurales en esta nueva versión del Reglamento (NSR-10) se han prescrito valores
de los coeficientes de reducción de resistencia, φ , menores que los que contenía el Reglamento
NSR-98, siendo los nuevos valores concordantes con la probabilidad de falla estructural que limita
el Reglamento. Por lo tanto es incorrecto, e inseguro, utilizar las nuevas ecuaciones de
combinación de carga de B.2.4.2 con los valores de los coeficientes de reducción de resistencia, φ ,
que contenía la NSR-98.
B.2.4.2 — COMBINACIONES BÁSICAS — El diseño de las estructuras, sus componentes
y cimentaciones debe hacerse de tal forma que sus resistencias de diseño igualen o excedan
los efectos producidos por las cargas mayoradas en las siguientes combinaciones:
1.4 (D+F) (B.2.4-1)
1.2 (D+F+T) + 1.6 (L+H) 0.5 (Lr ó G ó Le) (B.2.4-2)
1.2D+1.6 (Lr ó G ó Le) + (L ó 0.8W) (B.2.4-3)
1.2D+1.6W+1.0L+0.5 (Lr ó G ó Le) (B.2.4-4)
1.2D+1.0E+1.0L (B.2.4-5)
0.9D+1.6W+1.6H (B.2.4-6)
0.9D+1.0E+1.6H (B.2.4-7)
Las ecuaciones más generales de la carga última que van a ser más utilizadas en este libro son:
U = 1.4D
U = 1.2D + 1.6L
RESISTENCIA
Los factores de carga van a generar la carga última, que se utiliza en el diseño y análisis de los
elementos estructurales.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 76
u nM Mφ=
Momento Último
Momento Nominal
Factor de Reducción de Resistencia
-
-
-
u
n
M
M
φ
El factor de reducción de la resistencia, φ , varía de miembro a miembro, dependiendo si está en
tensión o compresión o dependiendo también del tipo de miembro.
Tres posibilidades en el comportamiento inelástico de vigas de concreto reforzado
• Falla a compresión.
• Falla a tensión.
• Falla balanceada.
Falla a compresión
El acero entra en fluencia después de que se presenta la falla en el concreto. Se trata de un fallo
repentino (frágil). La viga es conocida como una viga sobrereforzada.
Figura 68
Falla a tensión
El acero entra en fluencia antes de que falle el concreto. El concreto se aplasta en un fallo de
compresión secundaria. La viga es conocida como una viga subreforzada.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 77
Figura 69
Falla balanceada
El acero entra en fluencia al mismo tiempo que el concreto falla. La viga es conocida como una viga
en condición balanceada.
Figura 70
La falla a tensión de la viga subreforzada es la más conveniente. Es un tipo de falla que permite
soportar carga adicional antes de la falla y por su ductilidad puede ser visualmente apreciada antes
del colapso de la viga.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 78
Figura 71
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 79
9. VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS
Cuantía balanceada
bal =ρ Valor único cuando se presentan simultáneamente las siguientes condiciones:
c s0,003 = y = yε ε ε Usando la relación de triángulos semejantes: 0 003=
−y
b b
,
c d c
ε
Figura 72
La ecuación puede ser rescrita para encontrar bc
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 003 0 003 0 003 0 003
0 003 0 003
0 003 0 003
0 003 600
6000 003
b y b b y
bb
y y
b s
sy y
, d , c c c , , d
c, d ,c
d, ,
c E,
d E f,
ε ε
ε ε
ε
− = ⇒ + =
= ⇒ =+ +
= = ++
Ecuación de momento nominal
0,85
0,85
2
y
y
y
c s
s
c
n s
C T f´ b a A f
A fa
f´ b
aM A f d
= ⇒ × × = ××=
×
= × −
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Cuantía Mínima mínρ (NSR-10)
C.10.5 — Refuerzo mínimo en elementos sometidos a flexión
C.10.5.1 — En toda sección de un elemento sometido a flexión cuando por análisis se requiera
refuerzo de tracción, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 y C.10.5.4, el As proporcionado
no debe ser menor que el obtenido por medio de:
,min
0,25S w
y
cf´A b d
f= (C.10-3)
Pero no menor a 1,4 wy
db
f
C.10.5.2 — Para los elementos estáticamente determinados con el ala en tracción, As no debe ser
menor que el valor dado por la ecuación (C.10-3) remplazando bw por 2bw o el ancho del ala, el que
sea menor.
C.10.5.3 — Los requisitos de C.10.5.1 y C.10.5.2 no necesitan ser aplicados si en cada sección el As
proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por análisis.
Determinación del coeficiente de reducción de resistencia
Figura 73
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 81
Factores de reducción de resistencia φ
NSR-10 — C.9.3 — Resistencia de diseño
• Tensión Axial φ = 0.90
• Compresión axial
Miembro con refuerzo en espiral φ = 0.75
Otros miembros de refuerzo φ = 0.65
• Cortante y torsión φ = 0.75
NSR-10
Limitaciones relacionadas con la relación de refuerzo, ρ
La selección del acero será determinado por el límite inferior de la siguiente forma:
ws(min) w
0,25 1,4
y y
cf´ b dA b d
f f= ≥
son en & yc MPaf´ f
Valor muy pequeño para As ( )n crM < M
sε es muy grande (grandes deflexiones)
Cuando la viga se agrieta ( )n crM > M la viga falla inmediatamente porque ( )n crM < M
Requisitos adicionales para el valor de cuantía mínima
Si el (suministrado) (requerido por diseño)4
3
s sA A≥
Basado en el análisis, entonces el As (min) es no requerido. NSR-10 C.10.5.3
4
3n uM Mφ ≥ Para el (suministrado) sA
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 82
Procedimiento de diseño para vigas simplemente reforzadas
1. Ubicación del refuerzo
Ubicar el refuerzo donde ocurre fisuramiento (región del concreto sometida a tracción). Los esfuerzos
de tracción en el concreto pueden ser debidos a:
a) Flexión
b) Carga axial
c) Retracción de fraguado.
2. Aspectos constructivos
La formaletería es costosa, por esto es necesario y recomendable tratar de volver a utilizarla en varios
pisos. Se deben uniformizar las dimensiones de las vigas y de los elementos estructurales. La
formaletería no viene en dimensiones intermedias diferentes a múltiplos de 50 mm y 100 mm.
3. Alturas o espesores de las vigas
TABLA C.9.5(a) – Alturas o espesores mínimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una dirección a menos que se calculen las deflexiones
Espesor mínimo, h
Simplemente apoyados
Con un extremo continuo
Ambos extremos continuos
En voladizo
Elementos Elementos que NO soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de
elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes
Losas macizas en una dirección
�20 �24
�28 �10
Vigas o losas nervadas en una dirección
�16 �18.5
�21 �8
NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue:
(a) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los valores de la tabla deben multiplicarse por (1,65-0,0003wc), pero no menos de 1.09.
(b) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0,4 + fy/700)
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 83
Las dimensiones de la viga de sección transversal “b” y “h” son por lo general en múltiplos de 50mm
o 100mm para facilidad de encofrado. Las relaciones mostradas en la figura 78 son recomendaciones
con base a un mayor momento de inercia y nada tienen que ver con la NSR-10.
Figura 74
4. Recubrimiento del acero de refuerzo
El recubrimiento es igual a la dimensión entre la superficie de la losa o viga y el refuerzo.
¿Por qué es necesario el recubrimiento?
a) Para adherir el refuerzo al concreto.
b) Para proteger el refuerzo contra la corrosión.
c) Para proteger el refuerzo contra el fuego (los excesos de calentamiento provocan pérdida de la
resistencia).
d) Los recubrimientos adicionales utilizados en talleres, fábricas, etc. dan cuenta del control para la
abrasión y el desgaste.
NSR-10
C.7.7 — Protección de concreto para el refuerzo
C.7.7.1 — Concreto construido en sitio (no preesforzado).
A menos que en C.7.7.6 ó C.7.7.8 se exija un recubrimiento mayor de concreto, el recubrimiento
especificado para el refuerzo no debe ser menor que lo siguiente:
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Recubrimiento de concreto, mm
(a) Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a él:
75 mm
(b) Concreto expuesto a suelo o a la intemperie:
Barras No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) a No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm):
50 mm
Barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), alambre MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) y menores
40 mm
(c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo:
Losas, muros, viguetas:
Barras No. 14 (1-3/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm)
40 mm
Barras No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36 mm) y menores
20 mm
Vigas, columnas:
Armadura principal, estribos, espirales
40 mm
Cáscaras y placas plegadas:
Barra No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) y mayores
20 mm
Barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), alambres MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) y menores
13 mm
5. Límites del espaciamiento del refuerzo
NSR-10
C.7.6 — Límites del espaciamiento del refuerzo
C.7.6.1 — La distancia libre mínima entre barras paralelas de una capa debe ser db , pero
no menor de 25 mm. Véase también C.3.3.2.
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C.7.6.2 — Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o más capas, las barras de las capas
superiores deben colocarse exactamente sobre las de las capas inferiores, con una distancia libre entre
capas no menor de 25 mm.
C.7.6.3 — En elementos a compresión reforzados con espirales o estribos, la distancia libre
entre barras longitudinales no debe ser menor de
1,5 db, ni de 40 mm. Véase también C.3.3.2.
C.7.6.4 — La limitación de distancia libre entre barras también se debe aplicar a la distancia libre
entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes.
C.7.6.5 — En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, la separación del refuerzo principal por
flexión no debe ser mayor de 3 veces el espesor del muro o de la losa, ni de 450 mm, excepto que en
secciones críticas de losas en dos direcciones no debe exceder 2 veces el espesor de la losa (véase el
Capítulo C.13). Cuando se trate de refuerzo de temperatura en losas la separación máxima no
debe exceder 5 veces el espesor de la losa ni 450 mm (véase C.7.12).
Dimensiones mínimas de recubrimiento del acero de refuerzo
Interior de la viga
Figura 75
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 86
Disposición inadecuada del acero de refuerzo
Figura 76
C.3.3 — Agregados
C.3.3.1 — Los agregados para concreto deben cumplir con una de las siguientes normas:
(a) Agregado de peso normal: NTC 174 (ASTM C33),
(b) Agregado liviano: NTC 4045 (ASTM C330).
Se permite el uso de agregados que han demostrado a través de ensayos o por experiencias prácticas
que producen concreto de resistencia y durabilidad adecuadas, siempre y cuando sean aprobados por
el Supervisor Técnico.
C.3.3.2 — El tamaño máximo nominal del agregado grueso no debe ser superior a:
(a) 1/5 de la menor separación entre los lados del encofrado, ni a
(b) 1/3 de la altura de la losa, ni a
(c) 3/4 del espaciamiento mínimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo, paquetes
de barras, tendones individuales, paquetes de tendones o ductos.
Estas limitaciones se pueden omitir si a juicio del profesional facultado para diseñar la trabajabilidad
y los métodos de compactación son tales que el concreto se puede colocar sin la formación de
hormigueros, vacíos o segregación en la mezcla.
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Figura 77
EJEMPLO 6
Para la viga mostrada en la figura determinar si la viga cumple con las disposiciones de la NSR-10.
En la primera parte considerar una viga que no tiene condiciones de exposición ambiental a agentes
agresivos ni se encuentra localizada cerca a zonas costeras para lo cual se selecciona en concreto con
f’c = 21MPa. Analizar la misma viga si es una viga en contacto directo con agua de mar por lo que
se tiene un f’c = 41MPa.
2
21
420
2550
y
c
s
f´ MPa
f MPa
A mm
===
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Cuantía de la viga
( )( )
225500,0187
350 390
sA mm
bd mm mmρ = = =
Cuantía mínima
cumple
1,4 21 1,40,0027 0,0033 (C.10.5)
4 4 420 420
0,0033 0,0187 0,003
mín
mín
y y
cf´ MPa
f f MPaρ
ρ
= ≥ ⇒ = ≥ =×
= ⇒ >
Localización eje neutro
2
1
420 2550171
0,85 0,85 21 350
171201
0,85
2010,52
390
ys
c
la viga noes subreforzada
A f MPa mma mm
f´ b MPa mm
a mmc mm
c mm
d mm
β
× ×= = =× × × ×
= = =
= = ∴
La deformación en el acero de refuerzo es:
390 2010, 003 0, 003 0, 0028
201
− − = × = × =
s
d c mm mm
c mmε
La viga está trabajando en la zona de transición cerca a la zona de compresión ϕ=0,65 la relación c/d
es mayor a 0,375 por lo tanto es recomendable rediseñar la viga. La otra opción es diseñar la viga
calculando el valor correspondiente al coeficiente de reducción de resistencia, lo cual implicaría una
viga trabajando en la zona de transición, lo cual no es muy recomendable.
Para el caso f’c = 41MPa
225500,0187
350 390
sA mm
bd mm mmρ = = =
×
Cuantía mínima
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( )1,4 41 1,4
0,0038 0,00334 4 420 420
0,0038 0,0187 0,0038 cumple
mín
mín
y y
cf´ MPa
f f MPaρ
ρ
= ≥ ⇒ = ≥ =×
= ⇒ >
Localización del eje neutro
2
1
420 255088
0,85 0,85 41 350
88116
0,76
1160,297
390
y
c
As f MPa mma mm
f´ b MPa mm
a mmc mm
c mm
d mm
β
× ×= = =× × × ×
= = =
= =
La deformación del acero es:
390 1160,003 0,003 0,0071
116
− − = × = × =
s
d c mm mm
c mmε
La viga está ubicada en la zona de tensión (φ=0,9). Esta segunda conformación de viga corresponde
a un diseño de acuerdo con la NSR-10.
EJEMPLO 7
Determinar el valor de L que causa que la sección alcance φMn
Notas aclaratorias: • Utilizar concreto f’c=21 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa. La viga no tiene condiciones de
exposición ambiental a agentes agresivos ni se encuentra localizada cerca a zonas costeras. • La carga muerta distribuida WD y la carga viva distribuida WL se aplican en toda la longitud de
la viga simplemente apoyada
3 No. 8
d = 440 mm
WD = 15 KN/m (incluye peso de la viga) WL = 20 KN/m
L=?
b = 300 mm
420yf MPa=21cf´ MPa=
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�� = 3 × 510��� = 1530��� = 1,53 × 10���� Por lo tanto se obtiene el siguiente valor de cuantía
� = ���� = 1530���300�� × 440�� = 0,0116
Se verifica el cumplimiento de la cuantía mínima:
C.10.5.1. En toda sección de un elemento sometido a flexión cuando por análisis se requiera
refuerzo de tracción, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 Y C.10.5.4, el ! , proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:
",#$% =&. '()*+,*- ∗ /0 ∗ 1
Pero no menor a ;2. 3/01/*-
Entonces;
�567 = )8+948: ≥ 1,48: = √21<=>4 × 420<=> ≥ 1,4420
�567 = 0,0027 ≥ 0,0033; �567 = 0,0033
Por lo tanto se cumple la cuantía mínima ya que ,� > �567; 0,0116 > 0,0033
Por equilibrio de fuerzas
B = C
�� × 8: = 0,858+9 × > × � → > = �� × 8:0,858+9 × �
> = 1530��� × 420<=>0,85 × 21<=> × 300�� = 120�� Localización eje neutro:
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C.10.2.7.3. Para *′Fentre 17 y 28 MPa, el factor G2se debe tomar como 0.85. Para *′Fsuperior a
28 MPa, G2se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7MPa de aumento sobre 28
MPa. Sin embargo G2 no debe ser menor de 0.65 entonces, H = 0,85
Luego por C.10.2.7.1 se determina el eje neutro:
9 = >H = 120��0,85 = 141,18�� = 141��
Verificación falla tensión
9� = 141��440�� = 0,32 < 0,375 → ∅ = 0,9
La viga está ubicada en la zona de tensión (φ=0,9).
Deformaciones en el acero de refuerzo
KL = M� − 99 O × 0,003 = M440�� − 141��141�� O × 0,003 = 0,007
Momento resistente
<P = ∅<7 = 0,9 × �� × 8: Q� − >2R
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<P = ∅<7 = 0,9 × 1,53 × 10���� × 420<=> × M0,44� −0,12�2 O =
<P = 219,77ST −� = 220ST −�
Momento producido por cargas externas
U5V: = 1,2W + 1,6Y = 1,2 × 15ST� + 1,6 × 20ST� = 50ST�
<P =U5V: × Y�8
Entonces:
Y5VZ =[8<PU5V: = [8 × 220ST −�50ST/� = 5,93�
Verificación de condiciones de servicio h=L/16=370 mm< 500 mm.
EJEMPLO 8
La viga mostrada en la figura forma parte de la superestructura de un puente peatonal ubicado dentro
de un centro comercial por lo cual no tiene exposición ambiental, esta viga cubre una luz de 12 metros
en condición simplemente apoyada y soporta además de su peso propio, una carga muerta
correspondiente a la plataforma donde transitan los peatones y barandas de 2 KN/ m2 y una carga
viva de 5 KN/m2. Determinar el momento generado sobre la viga por las cargas externas y el
momento resistente de la viga en la condición c/d=0.375.
Notas aclaratorias:
• Utilizar concreto f’c=28 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 93
Viga simplemente apoyada:
ℎ = Y16 = 12000��16 = 750��
El cálculo del recubrimiento se hace con base a las condiciones de exposición de la viga, en este
caso corresponde a una viga interior por lo cual se toma 40 mm de recubrimiento libre:
� = ℎ − (^_9`�^a�a_bcd�a�^_ + �aá�_c^d_fc^a�dTd. 3 + 10��) � = 750�� − 60�� = 690��
Se determina el peso de la viga de la siguiente manera:
�h = 600�� + 1200��2 × 750�� = 675000��� = 0,675��
Volumen de la viga:
ih = �j × Y = 0,675� × 12� = 8,1�� Finalmente, se puede obtener el peso de la viga:
Uj =ij × �_bfa�>��_�9db9^_cd
Según la NSR-10 en su Tabla B.3.2-1 (Masas de los materiales), se tiene una densidad para el
concreto reforzado de 2400 (kg/m3), tomando la aceleración de la gravedad como 10m/seg2 se tiene
una densidad de 24KN/m3.
Uj = 8,1�� × 24ST�� = 194,4ST Carga Muerta
Uk =Wk +Uj = 2ST�� + 194,4ST1,2� × 12� = 15,5 ST��
Uk = 15,5 ST�� × 1,2� = 18,6ST�
Carga Viva
Ul = 5ST�� × 1,2� = 6ST� Por B.2.4.2. Se obtiene la carga mayorada
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U5V: = 1,2Uk + 1,6Ul = 1,2 × M18,6ST� O + 1,6 × M6ST� O = 31,92 ST�
Por lo tanto el momento último por efecto de cargas externas es:
<P = U5V: × Y�8 = 31,92ST� × (12�)�8 = 574,56ST −�
La segunda parte del análisis implica la determinación del momento resistente de la viga en la
condición c/d=0.375.
mn = 0,375; 9 = 0,375 × 690�� = 258,75�� = 259��
C.10.2.7.3. Para *′Fentre 17 y 28 MPa, el factor G2se debe tomar como 0.85. Para *′Fsuperior a
28 MPa, G2se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7MPa de aumento sobre 28
MPa. Sin embargo G2 no debe ser menor de 0.65. H = 0,85fa8+o ≤ 28<=>
Entonces; > = H × > = 0,85 × 259�� = 220,15�� = 220��
Obtención del área a compresión del concreto:
�o = 1024�� + 1200��2 × 220�� = 244640��� = 0,24��
qr = ∑�6qr6∑�6 = (1024�� × 220��) × 110�� + tQ88�� × 220��2 R × 2u × Q13 × 220��R1024�� × 220�� + 2 × 12 (88�� × 220��)
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qr = 107,1�� = 107��
Ahora, por equilibrio de fuerzas;
C = B
0,858+9 × �m = �� × 8:
�L =0,858+9 × �m8: = 0,85 × 28<=> × 244640���420<=> = 13862,93��� = 0,01386��
Momento Último Resistente
<P = ∅<7 = ∅ × �L × 8: × (� − qr)= 0,9 × (13862,93���)(420<=>) M690�� − 107��2 O
<P = 3335,38ST −� <P = 576,56ST −� ≤ <PvwL6L = 3335,38ST −�
La viga está en la capacidad de resistir aproximadamente 7 veces más que lo requerido por cargas
externas, es importante resaltar que la gran mayoría de elementos estructurales que se encuentran
construidos trabajan en este rango, el cual es forzado por el cumplimiento de condiciones de servicio
en el dimensionamiento de los elementos estructurales. Las dimensiones mínimas por condiciones
de servicio son en la gran mayoría de los casos mayores a las requeridas por condiciones de
resistencia llevando a un diseño más conservador de los elementos de concreto reforzado e
introduciendo de esta forma un factor de seguridad adicional en el diseño de estructuras de concreto
reforzado.
En puentes es de especial cuidado el control de deflexiones por las luces grandes que generalmente
manejan, por lo general al ser estructuras simplemente apoyadas se deben diseñar los apoyos
adecuadamente de acuerdo al código de puentes. Una mala selección del espesor de la viga puede
llevar a condiciones visuales indeseables por valores altos de deflexión de la viga. En edificaciones
altas deflexiones en vigas pueden llevar a rompimiento de divisiones o mal funcionamiento de
puertas y ventanas.
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EJEMPLO 9
Diseñar la sección rectangular para los valores de cargas y cuantías presentadas en la figura. El peso
de la viga no está incluido. Mostrar los esquemas de la sección transversal incluyendo la organización
de las barras de refuerzo y sus espaciamientos. Asumir densidad del concreto de 23,5ST/�� , la
viga presenta condiciones de exposición exterior por lo que se debe seleccionar un 8+9 = 28<=> y
8: = 420<=>.
Para la condición balanceada.
Cx� = 600600 + 8: → Cx = 600600 + 8: � = 600600 + 420� = 0,59�
> = ��8:0,858+9 × � × ���� = �8:�0,858+9 >x = �x × � × 8:0,858+9 ; Cx = >xH
>x = H(0,59�) �x = H(0,59�) × 0,85 × 28<=>� × 8: = 0,85 ×(0,59) × 0,85 × 28<=>420<=> = 0,0284
� = 0,5�x = 0,5 × 0,0284 = 0,0142
> = �8:�0,858′9 = 0,0142(420<=>)0,85(28<=>) �; > = 0,25�
C.10.2.7.3.
H = 0.85fa8+o ≤ 28<=>
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Por C.10.2.7.1.
> = H9 = 0,859 = 0,25�
9� = 0,250,85 = 0,294 Viga localizada en la zona de tensión ∅ = 0,9
Momento último provocado por fuerzas externas:
C.9.2.1. U5V: = 1,2W + 1,6Y
<P = 1,6 × 50ST × 3� + M1,2 × 6ST� + 1,6 × 10ST� O × (6�) × (3�) + 1,2 × � × ℎ× M23,5 ST��O (6�)(3�) =
yz2 = {(|, {}~ −#+ (&|, { × / × � = {(|, {}~ −#+ (&|, { × / × (1 + &, &{#) Momento resistente de la viga
<P� = ∅<7,∅ = 0,9(��_�aób sin 9>^�>>�a>�) <7 = � × � × � × 8: Q� − >2R = 0,0142 × � × � × 420<=> M� − 0,25�2 O = 5218,5��� ST��
<P� = 0,9 M5218,5��ST��O � = 4696,65ST�� ���
Según NSR-10 . Tabla C.9.5 (a). El espesor mínimo para una viga en voladizo es:
ℎ567 = Y8 = 6�8 = 0,75� = 750��
ℎ ≈ 1,5� → � = ℎ1,5 = 750��1,5 = 500��
Las condiciones de exposición implican el uso de un recubrimiento libre de 50 mm y con base a
una selección preliminar de barras de refuerzo No. 8 se tienen los siguientes valores para el cálculo
de la altura efectiva:
ℎ = 750��
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� = 750�� − (50��(^_9`�^a�a_bcd�a�^_C. 7.7.1(�)) + 12.7��(_fc^a�d�>^^>Td. 4)+ 25��(�>^^>Td. 8) + 25��2 ) = 650�� = 0,65�
� = 500�� = 0,5�
<P = 657,6ST −� + 507,6ST� × 0,5� × (0,75�) = 847,95ST −�
<P� = 4696,65ST�� × (0,5�) × (0,65�)� = 992,17ST −�
Como <P� > <P → <d�_bcd�_fafc_bc_�_�>�a�> >�d�_bcdú�ca�d�^d�d9>�d�d^8`_^�>f. Determinar ��:
�� = � × � × � = 0,0142 × 500�� × 650�� = 4615��� 10 varillas No.8
�� = 10 × 510��� = 5100��� Diámetro barras No 8= 25,4 mm
Recubrimiento libre= 50 mm
Espaciamiento entre barras = 30 mm
�567 = Waá�_c^d�>^^>f × 5 + 2 × ^_9`�^a�a_bcd + 4 × _f�>9a>�a_bcd_bc^_�>^^>f< 500�� = �
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10. VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS
Efecto de la adición de refuerzo a compresión sobre la resistencia de una viga
Menos concreto es necesitado para resistir la C y por lo tanto el eje neutro se mueve hacia arriba.
;ysT A f C T= × =
Figura 78
Viga simplemente reforzada
1c; 2
yn sa
C C M A f d = = × −
Viga doblemente reforzada
( )
2c s
2 1y
C ;2
yn sa
C C M A f d
a a
′= + = × −
<
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Razones para la provisión de refuerzo a compresión
• Reducción de las deflexiones por carga sostenida.
• Ductilidad del hormigón en la zona de compresión.
• Transferencia de carga al acero de compresión.
• Reducción del esfuerzo en el concreto.
• Menos deflexión por carga sostenida.
Fig 5-14 Efecto del refuerzo a compresión en las deflexiones por carga sostenida
(MacGregor).
Figura 79
Aumento de la ductilidad
Reducido el esfuerzo en el bloque se incrementa la deformación en el acero y se obtiene mayor
curvatura.
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Fig 5-15 Efecto del refuerzo a compresión sobre la resistencia y la ductilidad de las
vigas sub-reforzadas (MacGregor).
bal > ρ ρ
Figura 80
Cambia el modo de falla de compresión a tensión
Cuando bal > ρ ρ
´ρ ρ−
Facilidad de construcción
Las barras de las esquinas son por lo general usadas para sostener y anclar los estribos.
Efecto de la adición de refuerzo a compresión
Comparar la distribución de deformaciones en dos vigas con el mismo As
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Figura 81
Sección 1
c1 1 1
11
0,85 0,85
0,85
s s
c c
s s
c
T A f
T C f´ b a f´ b c
A fc
f´ b
β
β
×
× ×
×
×
== = × = × ×
=×
Sección 2
c1
2
1 2
21
0,85
0,85
0,85
s s
s s c
s s c
s s s s
c
T A f
T C C
A f f´ b a
A f f´ b c
A f A fc
f´ b
β
β
′ ′
′ ′
′ ′
×
×
×
×
×
=′= +
= × + ×
= × + × ×
− ×=×
Además de que As refuerza la zona de compresión de modo que es necesario menos concreto para
resistir un determinado valor de T.
El eje neutro asciende 2 1(c < c ) y sε incrementa s2 s1( )ε ε>
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 103
Cuatro posibles modos de falla
• Subreforzado
Caso 1: Acero a tensión y compresión fluyen.
Caso 2: Sólo el acero a tensión fluye.
• Sobrereforzado
Caso 3: Sólo el acero a compresión fluye.
Caso 4: Falla del concreto.
Análisis de secciones rectangulares doblemente reforzadas
Comprobación de compatibilidad de deformaciones: asumir s'ε usando triángulos semejantes
( )( )s
s
' 0,0030,003
'
− ×′ ′= ⇒ =−
c d
c d c c
ε ε
Figura 82
( )
( )( )
( )( )
c s
1
1
1
0,85
0,85
'
0,85
y
y
y
s s
c
s s
c
c
A A fT C C a
f´ b
ac
A A fc
f´ b
d fc
f´
β
βρ ρ
β
′
′
×
×
−′ ′= + ⇒ =
=
−=
−=
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 104
La deformación en el acero de compresión es:
( )( )
s cu
1s
1
0,851 0,003
' y
c
d
c
f´ d
d f
ε ε
βε
ρ ρ
′ ′ = − ×
′′ = − × −
Figura 83
Verificación:
( )( )
( )( )
( ) ( )
1s
s
1
1
0,851 0,003
'
0,851 0,003
' 200000
0,85 600'
600
ys
y
y
y
y
y
y y
c
c
c
f
E
f´ d
d f
f´ d f
d f
f´ d
d f f
ε
βε
ρ ρε ε
βρ ρ
βρ ρ
=
′′ = − × −
′ ≥
′− × ≥ −
′ − ≥ −
Si la afirmación es verdadera, entonces:
( ) ( )2
y yn s sa
M A As f d A f d d′ ′ ′= − − + × −
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 105
De otro modo la deformación en el acero de compresión es:
ssf Eε=
Calcular el esfuerzo en el acero de compresión.
( )( )1 0,85
200000 1 0,003' y
cs
f´ df
d f
βρ ρ
′ ′= × − × −
Volver atrás y calcular el equilibrio con fs’
( )c s
0,85
s y s s
c
T C C
A f A fa
f´ b
′ ′×
×
′ ′= + ⇒
− ×=
1
a
cβ
= Iterar hasta que el valor de c se ajuste para el sf
1 600sd
fc
′ = −
′
Volver atrás y calcular la capacidad de momento de la viga
( ) ( )2
yn s s s s sa
M A f A f d A f d d′ ′ ′ ′ ′= − − + −
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 106
Procedimiento de diseño de vigas doblemente reforzadas:
A. Procedimiento cuando las dimensiones de la sección son conocidas
1. Calcular el valor para el diseño de momento, Mu .
2. Calcular d, dado que h es conocida.
60d h mm ≈ − Para una sola capa de refuerzo (barras de refuerzo No. 6 o inferiores).
90d h mm≈ − Para dos capas de refuerzo (barras de refuerzo No. 6 o inferiores).
3. Estimar el valor de c
d, el cual provocará una deformación, > 0,005 tε y encontrar el área 1sA
para una sección simplemente reforzada. Calcular c de d.
4. Determinar la capacidad de momento nominal proporcionado por 1sA
1
1
1 1
0,85
2
y
f y
cs
s
f´ b aA
f
aM A f d×
× ×=
= −
5. Encontrar la capacidad de momento nominal que debe ser proporcionada y que debe soportar
sA ′
1fuM
M Mφ
∆ = −
Si 0M∆ ≤ , el acero de compresión no se requiere para resistir uM
φ
Si 0M∆ > , diríjase al paso 6.
Nota:
Utilice 0 ,9=φ para flexión sin carga axial, que dependerá de la deformación en el acero de
tracción. NSR-10 Cap. 9.3.
6. Determine sA ′ requerido para resistir M∆
Asumir s y( ' )ε ε≥
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 107
( ) ( )( )requerido y
sM
Ad d f
′ ∆=′−
7. Calcular la tracción total para el refuerzo requerido
( ) ( )1requerido requerido s s sA A A ′= +
8. Seleccione las barras de refuerzo para
s s(proporcionado) (requerido)A A≥
Confirme que las barras se ajustarán dentro de la sección transversal.
9. Confirme que s y'ε ε≥ , Si no regrese al paso 6 y sustituir s ssf = E ´ ε′ por fy para obtener el
valor correcto de ( )requerido sA ′
10. Calcular el momento Mn para las dimensiones de la sección y el refuerzo seleccionado.
Comprobar la resistencia n uM Mφ ≥
Mantener sobredimensionado en un 10%.
11. Comprobar si ρ siempre está dentro de los límites permitidos.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 108
EJEMPLO 10
Determinar el momento nominal Mn para la sección mostrada en la figura considerando el acero de
refuerzo a compresión. La viga hace parte de una estructura de almacenamiento de agua potable por
lo que se debe seleccionar como mínimo f’c = 28MPa.
2 2
2 2
28
420
450
390
' 60
300
2 º 6 2 284 568
4 º 7 4 387 1548
y
c
s
s
f´ MPa
f MPa
h mm
d mm
d mm
b mm
A N mm mm
A N mm mm
′
==
===
== = × == = × =
Determinar valores de cuantía
2
2
15480,0132
300 390
568' 0,0049
300 390
s
s
A mm
bd mm mm
A mm
bd mm mm
ρ
ρ′
= = =×
= = =×
Determinar el valor de cuantía efectiva
' 0,0132 0,0049 0,0083efρ ρ ρ= − = − =
Verificación cuantía mínima
1,4 28 1,40,0031 0,0033
4 4 420 420
0,0132 0,0033 cumple
mín
mín
y y
cf´ MPa
f f MPaρ
ρ ρ
= ≥ ⇒ = ≥ =×
> ⇒ >
Determinación cuantía mínima para viga simplemente reforzada
( ) ( ) ( )1
no cumple
0,85 ' 0,85 0,85 28 60600 600'
600 420 390 420 600 420
0,0083 0,0247
y
cf´ d
d f
βρ ρ
× × × − ≥ ≥ × − × −
≥
El acero de refuerzo a compresión no ha alcanzado la fluencia.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 109
Utilizar procedimiento iterativo para determinar fs
( ) ( )
( ) ( )
1
1
0,85 '600 600
( ')
0,85 ' 0,85 0,85 28 60600 1 600 1 64,32
( ') 0,0083 390 420
y
y
cs
cs
f´ df
d f
f´ df MPa
d f
βρ ρ
βρ ρ
′
′
− = × − × ×
× × × = − = − = − × × × ×
Primera iteración:
2 2
1
1548 420 568 64,32101
0,85 0,85 28 0,85 300
60' 200000 1 0,003 244
101s s
ys s s
c
s
A f A f mm MPa mm MPac mm
f´ b MPa mm
mmf E MPa MPa
mm
β
ε
′ ′
′
× − × × − ×= = =× × × × × ×
= × = × − × =
Segunda iteración:
2 2
1
1548 420 568 24484
0,85 0,85 28 0,85 300
60' 200000 1 0,003 171
84s s
ys s s
c
s
A f A f mm MPa mm MPac mm
f´ b MPa mm
mmf E MPa MPa
mm
β
ε
′ ′× − × × − ×= = =× × × × × ×
= × = × − × =
Tercera iteración:
2 2
1
1548 420 568 17191
0,85 0,85 28 0,85 300
60' 200000 1 0,003 204
91s s
ys s s
c
s
A f A f mm MPa mm MPac mm
f´ b MPa mm
mmf E MPa MPa
mm
β
ε′
′ ′× − × × − ×= = =× × × × × ×
= × = × − × =
Cuarta iteración:
2 2
1
1548 420 568 20488
0,85 0,85 28 0,85 300
60' 200000 1 0,003 191
88s s
ys s s
c
s
A f A f mm MPa mm MPac mm
f´ b MPa mm
mmf E MPa MPa
mm
β
ε
′ ′
′
× − × × − ×= = =× × × × × ×
= × = × − × =
Quinta iteración:
2 2
1
1548 420 568 19189
0,85 0,85 28 0,85 300
60' 200000 1 0,003 196
89s s
s y s s
c
s
A f A f mm MPa mm MPac mm
f´ b MPa mm
mmf E MPa MPa
mm
β
ε
′ ′
′
× − × × − ×= = =× × × × × ×
= × = × − × =
Tomar fs’ = 196MPa y c = 89mm.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 110
Determinar momento nominal
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )( )( )
3 2 3 2
3 2
'2
0,85 0,0891,548 10 420000 0,568 10 196000 0,39
2
0,568 10 196000 0,39 0,06
226,5
yn s s s s s
n
n
aM A f A f d A f d d
mM m KPa m KPa
m KPa m m
M KN m
′ ′ ′ ′
− −
−
= × − × − + × −
× = × − × − +
× −
= −
EJEMPLO 11
Determinar el momento máximo y su correspondiente momento nominal para la sección mostrada en la figura. La zona a compresión se encuentra en la parte superior. Determinar el refuerzo requerido en la zona a tracción. La viga forma parte de una estructura de transporte de aguas industriales por lo que f’c = 41MPa.
1
41
420
28 41 280,85 0,05 0,85 0,05 0,76
7 7
y
c
c
f´ MPa
f MPa
f´β
==
− − = − × = − × =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 111
Condición viga subreforzada
1
0,003540 203
0,005 0,003
0,76 203 154
= × = × = + +
= = × =
cu
cu s
c d mm mm
a c mm mm
εε ε
β
Verificación fluencia acero a compresión
cumple
( ) 0,003 (203 60)'
203420
' 0,0021 0,0021200000
cus
ss
y
c d
cf
E
εε
ε
× − × −= =
= ≥ = = →
Momento aportado por el refuerzo superior
( ) ( )( )( )6 2' 900 10 420000 0,54 0,06 181ys sM A f d d m KPa m KN m′ ′ −= × − = × − = −
Momento aportado por el bloque a compresión
( )
( )( )
1 20,85 0,85 0,1372
0,1540,85 41000 0,6 0,154 0,54 0,85 41000 0,44 0,154 0,12 0,54 0,137
2
1281
C Cc c c
c
c
aM f´ A d f´ A d
M
M KN m
= × × − − × × −
= × × × − − × × − −
= − Momento último que resiste la sección.
'
1281 181 1462
0,9 1462
1316
n c s
n
u n
u
M M M
M KN m
M M KN m
M KN m
φ
= += + = −= = × −= −
Condición de equilibrio
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 2
0,85 600 440 120
0,85 41 600 154 440 154 120 900 4207326
420
y ys c s
s
A f f´ a a A f
A mm
′× = × − − + ×
× × × − − + ×= =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 112
11. ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS T
Figura 84
Figura 85
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 113
Si el eje neutro desciende, dentro del espesor de la losa se analiza la viga como una viga rectangular,
de lo contrario como una viga T.
Figura 86
Ancho de ala efectivo
Las partes cercanas a las almas son más altamente esforzadas que las áreas fuera del alma.
Figura 87
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 114
Ancho Efectivo be
be es el ancho que es esforzado de manera uniforme para dar la misma fuerza de compresión que se
desarrolla actualmente en la zona de compresión de ancho b(actual).
Figura 88
NSR-10
C.8.12 — Sistemas de vigas T
C.8.12.1 — En la construcción de vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o, de
lo contrario, deben estar efectivamente unidas entre sí.
C.8.12.2 — El ancho efectivo de la losa usada como ala de las vigas T no debe exceder 1/4 de la luz
de la viga, y el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:
(a) 8 veces el espesor de losa, y
(b) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 115
e
e f w
e actual
4
16
Lb
b h b
b b
≤
≤ +≤
C.8.12.3 — Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala no debe
exceder:
(a) 1/12 de la luz de la viga,
(b) 6 veces el espesor de la losa, y
(c) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma.
( )
e w
e f w
e actual w distancia libre a la siguiente alma
12
6
0,5
Lb b
b h b
b b b
≤ +
≤ +≤ = + ×
C.8.12.4 — En vigas aisladas, en las que solamente se utilice la forma T para proporcionar
con el ala un área adicional de compresión, el ala debe tener un espesor no menor de 1/2 del ancho
del alma, y un ancho efectivo no mayor de 4 veces el ancho del alma.
wf
e w
24
bh
b b
≥
≤
C.8.12.5 — Cuando el refuerzo principal de flexión en una losa que se considere como ala de una
viga T (excluyendo las viguetas) sea paralelo a la viga, se debe disponer de refuerzo perpendicular a
la viga en la parte superior de la losa de acuerdo con lo siguiente:
C.8.12.5.1 — El refuerzo transversal se debe diseñar para resistir la carga mayorada que
actúa sobre el ala suponiendo que ésta trabaja en voladizo. Para vigas aisladas debe
considerarse el ancho total del ala. Para otros tipos de vigas T, sólo es necesario considerar el
ancho sobresaliente efectivo del ala.
C.8.12.5.2 — El espaciamiento del refuerzo transversal no debe exceder de 5 veces el espesor de la
losa ni de 450 mm.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 116
Varias geometrías posibles de vigas T
Figura 89
Análisis de vigas T
Caso 1: fa h≤
Asumir s y ysf fε ε≥ ⇒ =
La viga se comporta en condición sub-reforzada. Comprobar fa h≤
Figura 94
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 117
Equilibrio
e0,85
ys
c
A fT C a
f´ b
×= ⇒ =×
Figura 90
s y
1
s cu y
ac
d c
c
ε ε
β
ε ε ε
≥
=
− = ≥
Figura 91
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 118
Calcular M n
2yn s
aM A f d
= × −
Caso 2: fa h>
( )f w f
w w
0,85
0,85
y
c
c
s
C f´ b b h
C f´ b a
T A f
= × − ×= × ×
= ×
Figura 92
( )w ff
0,85
y
cs
f´ b b hA
f
× − ×=
Las aletas son consideradas como de compresión de acero equivalente
( )ff w
w0,85
ys s
c
A A fT C C a
f´ b
−= + ⇒ =
×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 119
Figura 93
Confirmar
f
1
s cu 0,005
a h
ac
d c
c
>
=
− = ≥
β
ε ε
Confirmar
f f1
1,18 ó 1,18
y
c
f
f´
dh c h a d
ϖ ρ
ϖ ϖβ
=
≤ = ≤ =
Determinar los momentos nominales
( )1 2
1 f
f2 f
2
2
y
y
n n n
n s s
n s
M M M
aM A A f d
hM A f d
= +
= − −
= −
La definición de Mn1 y Mn2 para la viga T están dados como:
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 120
Figura 94
El momento último Mu para la viga T está dado como:
0,9
u nM Mφφ
==
Procedimiento de diseño vigas T
• Determinar el valor del momento de diseño, Mu .
• Suponga que el valor de la sección resultante será la tensión controlada t 0,005 ≥ε de
manera que pueda tomarse 0,9=φ
• Calcular d, ya que h es conocida.
60d h mm ≈ − Para una capa de refuerzo (barras de refuerzo No. 6 o menores).
90d h mm ≈ − Para dos capas de refuerzo (barras de refuerzo No. 6 o menores).
• Determinar el ancho efectivo del ala, be
• Comprobar si la capacidad requerida del momento nominal se puede proporcionar con la
compresión en el ala solamente.
( )f1 e f1 f10,85 y / 2f fcC f´ b h M C d h×= × = −
f1Si uM Mφ> → Necesita utilizar el alma por debajo de los rebordes. Vaya al paso 4.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 121
f1Si uM Mφ≤ → Utilice el procedimiento de diseño para vigas rectangulares.
eb = b
ad - = 095d
2
NOTA: 0,9=φ Para flexión sin carga axial.
• Encontrar la capacidad de momento nominal proporcionada por los rebordes sobresalientes
solamente (sin incluir ancho del alma).
Para una sección en forma de T
( )f e w f0,85 cC f´ b b h= −
( )f f f / 2M C d h= −
• Encontrar la capacidad de momento nominal que debe ser proporcionada por el alma.
w f
MuM M
φ= −
• Calcular la profundidad del bloque de compresión, mediante la resolución de la siguiente
ecuación para a.
( )( )
w w
w w
/ 2
0,85 / 2c
M C d a
M f´ b a d a×
= −
= × −
• Encontrar el área de refuerzo requerida, s (req)A
( )
f f
w w w w
f wrequerido
/
/ , donde 0,85
y
y
s
s c
s s s
A C f
A C f C f´ b a
A A A
×
== = ×
= +
• Seleccione las barras de refuerzo para
s s(proporcionado) (requerido)A A ≥
Confirme que las barras se ajustarán dentro de la sección transversal. Puede ser necesario cambiar
los tamaños de barras para ajustar el acero en una capa e incluso para ir a dos capas de acero, en
estos casos es necesario recalcular la altuda efectiva “d”.
• Calcular el actual Mu para las dimensiones de la sección y el refuerzo seleccionado. Verificar la
resistencia n u M Mφ ≥ mantener el sobre-diseño en un 10%
• Comprobar si el As proporcionado está dentro de los límites permitidos.
s s(proporcionado) (minimo)A A ≥
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 122
Limitaciones en el refuerzo de vigas T
Límites inferiores
• Alma de la viga T a compresión (parte inferior):
minw
mayor entre4
1, 4
y
y
c
s
f´
A fb d
f
ρ
= =
• Zona de ancho efectivo a compresión (parte superior):
w
(min) e
e
menor entre
mayor entre
2
4
1,4
y
y
y
c
cs
f´b d
f
f´A b df
b df
=
• Si s s(proporcionado) (requerido)4
A A3
≥
Basado en el análisis entonces (min)sA no es requerido.
para (proporcionado)4
3
n u sM M Aφ ≥
Nota: Confrontar con NSR-10 C.10.5.3
Requerimientos adicionales para vigas T cuando las alas se encuentran sometidas a esfuerzos
de tracción
NSR-10
C.10.6 — Distribución del refuerzo de flexión en vigas y losas en una dirección
C.10.6.6 — Cuando las alas de las vigas T están en tracción, parte del refuerzo de tracción
por flexión debe distribuirse sobre un ancho efectivo del ala como se define en C.8.12 o un ancho
igual a 1/10 de la luz, el que sea menor. Si el ancho efectivo del ala excede de 1/10 de la luz, se debe
colocar algún refuerzo longitudinal en las zonas más externas del ala.
( )1
10e compresiónb >
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 123
EJEMPLO 12
Determinar el momento nominal y el momento último de la viga mostrada en la figura.
2
1400
75
2200
440
5733
345
21
300
5600
e
f
actual
w
y
s
c
b mm
t h mm
b mm
d mm
A mm
f MPa
f´ MPa
b mm
L mm
== =
=====
==
Verificar be
( )
56001400 (C.8.12.2)
4 416 16 75 300 1500
2200
e
e f w
e actual
L mmb mm
b h b mm mm mm
b b mm
≤ = =
≤ + = × + =
≤ =
Determinar la cuantía del refuerzo ρ y verificar que es mayor que mínρ . 25733
0,0434300 440w
sA mm
b d mm mmρ = = =
×
1, 4 1, 4
0,0041345
0,004121
0,00334 4 345
mín mín
y
y
c
f
f´
f
ρ ρ= =
== =
×
0,0434 > 0,0041 cumple sección trabajando con refuerzo mínimo Determinar ω , verificar que el valor de c es mayor hf.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 124
( )
2
1 se analiza como viga T
5733 3450,153
1400 440 21
1,18 1,18 0,153 44075 93,4
0,85
1,18 75 1,18 0,153 440 79,4
0,85 0,85 21 1400 300
f
f
e w ff
y
y
c
cs
f mm MPa
f´ mm mm MPa
d mmh c mm mm
h a d mm mm mm
f´ b b h MPa mmA
f
ϖ ρ
ϖβϖ
= = × =×
× × ≤ = ⇒ ≤ = ≤ = ⇒ ≤ × × =
× − × × −= = ( ) 275
4268345
mm mmmm
MPa=
Determinar el valor de c y verificar la deformación unitaria en el acero, εs.
( ) ( )2 2
1
s
5733 4268 34594
0,85 0,85 21 300
111
4401 0,003 1 0,003 0,0089 0,005
111
f
w
ys s
c
mm mm MPaA A fa mm
f´ b MPa mm
ac mm
d mm
c mm
β
ε
− ×− ×= = =
× × × ×
= =
= − = − = >
El acero fluye en la zona de tracción.
Determinar los componentes de momento
( )
( )( )
( )
( )( )
1
3 2 3 21
2
3 22
1 2
2
0,0945,733 10 4,268 10 345000 0,44 199
2
2
0,0754,268 10 345000 0,44 593
2
199 593 792
f
ff
y
y
n s s
n
n s
n
n n n
u n
aM A A f d
mM m m KPa m KN m
hM A f d
mM m KPa m KN m
M M M KN m KN m KN m
M Mφ
− −
−
= − −
= × − × − = −
= −
= × − = −
= + = − + − = −= = ( )0,9 792 713KN m KN m− = −
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 125
EJEMPLO 13 Determinar el ancho efectivo para la viga de borde y efectuar el análisis. Utilizar 4Nº8 para determinar el momento último. El sistema estructural mostrado en la figura no hace parte del sistema de resistencia sísmica por lo que se permite el uso de un acero importado con un fy=345 MPa. y no tiene condiciones de exposición ambiental (recubierto con piso y cielo raso) se permite el uso de un concreto f`c=21 MPa.
( )2
Columnas
345
21
2040
300 300
y
c
s
f MPa
f´ MPa
A mm
mm mm
===
×
Determinar be
( )( ) ( )_
6000300 800
12 126 6 200 300 1500
0,5 300 0,5 4700 2650
e w
e f w
e actual w luz libre
L mmb b mm mm
b h b mm mm mm
b b b mm mm mm
≤ + = + =
≤ + = × + =
≤ = + × = + × =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 126
Se selecciona be= 800mm
Verificación de mínρ
22040
0,02300 340w
sA mm
b d mm mmρ = = =
×
1,4 1, 40,0041
3500,0041
210,0033
4 4 345
mín mín
y
y
c
f
f´
f
ρ ρ= =
== =
×
Cumple
Determinar ω y verificar que el valor de c es mayor que hf.
2
1 No cumple.
2040 3450,123
800 340 21
1,18 1,18 0,123 340200 58
0,85
1,18 200 1,18 0,123 340 49,3
f
f
y
c
f mm MPa
f´ mm mm MPa
d mmh c mm mm
h a d mm mm mm
ϖ ρ
ϖβϖ
= = × =×
× × ≤ = ⇒ ≤ = ≤ = ⇒ ≤ × × =
No cumple, efectuar análisis como viga rectangular.
Determinar el valor de c y verificar la deformación unitaria en el acero, εs.
22040 34549
0,85 0,85 21 800
ys
c
A f mm MPaa mm
f´ b MPa mm
× ×= = =× × × ×
1
s
4958
0,85
3401 0,003 1 0,003 0,0146 0,005
58
a mmc mm
d mm
c mm
β
ε
= = =
= − = − = >
El acero fluye en la zona de tracción.
( )( )3 2 0,0412,04 10 345000 0,34 225
2 2
0,9 225 203
yn s
u n
a mM A f d m KPa m KN m
M M KN m KN mφ
− = × × − = × − = −
= = × − = −
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 127
EJEMPLO 14 Un sistema de entrepiso en concreto consta de vigas T paralelas y simplemente apoyadas, espaciadas
5000 mm entre centros y con luces entre apoyos de 10000 mm. La losa con espesor de 200 mm esta
vaciada monolíticamente con las almas de las vigas T que tienen un ancho bw=400mm y una altura
total medida de la parte superior de la losa, igual a h=800mm. La altura efectiva se tomará 75mm
menor que la altura total. Además de su propio peso cada viga T debe sostener una carga muerta de
4KN/m2 y una carga viva de 10KN/m2. El sistema estructural mostrado en la figura no presenta
condiciones de exposición ambiental por lo que se seleccionan como resistencias de los materiales
f’c=21MPa y fy=420MPa. Determinar el área de acero requerida a tensión y seleccione las varillas
de acero correspondientes.
Determinación peso de la viga
( ) ( )( )( )( )
3
3 3
5000 200 600 400 12,4
24 / 12,4 298viga
V L V m
W KN m m KN
= × + × × ⇒ =
= =
Carga muerta
( )( )
2 2
2 distribuida
2984 / 9,96 /
5 10
9,96 / 5 49,8 /
D
D
KNW KN m KN m
m m
W KN m m KN m
= + = ×
= × =
Carga viva
( )2 distribuida10 / 5 50 / LW KN m m KN m= × =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 128
Carga mayorada:
( ) ( )1,2 1,6
1,2 49,8 / 1,6 50 / 139,76 /
may D L
may
W W W
W KN m KN m KN m
= +
= × + × =
Determinación de Mu
( )( )22 139,76 / 101747
8 8may
uW L KN m m
M KN m×
= = = −
Determinación de eb
( )
100002500
4 416 16 200 400 3600
5000
2500
e
e f w
e
e
L mmb mm
b h b mm mm mm
b b mm
b mm
≤ = =
≤ + = × + =
≤ ==
Verificación Momento aletas
( )( )( )
( )
1
1 1
Utilizar procedimiento viga rectangular
0,85 0,85 21000 2,5 0,2 8925
0,28925 0,725 5578
2 2
1747 0,9 5578 5020
=
2
f e f
ff f
y
c
u
us
C f´ b h KPa m m KN
hM C d KN m KN m
M KN m KN m
MA
af dφ
= × × = =
= × − = − = −
= − ≤ × = − ⇒
−
0,85 e
ys
c
A fa
f´ b
×=× ×
Suponer 100=a mm (primer tanteo) 26847
64
==
As mm
a mm
Suponer 64=a mm (segundo tanteo) 26669
63
==
As mm
a mm
Suponer 63=a mm (tercer tanteo) 26664
63
==
As mm
a mm
Utilizar 10 varillas Nº10
Verificación 740,102 0,375
725
c mmok
d mm= = < →
Verificación ancho mínimo (refuerzo dos filas) para 5 varillas Nº10 y tamaño de agregado ¾” se
requieren 360mm < 400mm � cumple.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 129
EJEMPLO 15
La viga mostrada en la figura da soporte a una cubierta con su respectiva canal, se debe dimensionar
la viga, determinar el refuerzo inferior y el momento máximo que resiste la viga mostrada en la
figura.
Notas aclaratorias: • Utilizar concreto f’c=35 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa. La viga debe ser diseñadas
por condiciones de exposición ambiental. • La distancia de la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo a compresión es 60
mm.
C.10.2.7.3. Para *′Fentre 17 y 28 MPa, el factor G2se debe tomar como 0.85. Para *′Fsuperior a
28 MPa, G2se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7MPa de aumento sobre 28
MPa. Sin embargo G2 no debe ser menor de 0.65.
Entonces,
H = 0.85 − 0.05 t8+o − 287 u = 0,85 − 0,05 M35 − 287 O = 0,8 ≥ 0.65. C.8.12.3. Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala no debe
exceder:
(a) 1/12 de la luz de la viga,
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 130
(b) 6 veces el espesor de la losa, y
(c) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma.
Es decir, de (b) se tiene;
�w ≤ 6ℎ� + ��
De donde; ℎ� ≥ x��x�� = ���55����55� = 25�� De donde
� ≈ ℎ − 60��(19>�>^_8`_^�d) � ≈ ℎ − 90��(29>�>f^_8`_^�d)
� = ℎ − ^_9`�^a�a_bcd = 600�� − 60�� = 540��
Asumiendo ;
9� = 0,375
9 = 0,375 × � = 0,375 × 540�� = 202,5��
Por C.10.2.7.1.
> = H9 = 0,8 × 202,5�� = 162��
Verificando la fluencia del acero:
KL′9 − �+ = 0,0039 ; �bcdb9_f, KL+ = 0,003 9 − �+9
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 131
= 0,003 M202,5�� − 60��202,5�� O = 0,0021 ≤ 0,375 Como ℎ�567 = 25��, �bcdb9_ff_cd�>,ℎ� = 200��
ℎ� = 200�� > > = 162��
Se analiza como viga rectangular.
Por equilibrio de fuerzas
C+ + C = B
��+ 8: + 0,858+9 × > × � = �L8:
�L = ��+ 8: + 0,858+9 × > × �8: = 800��� × 420<=> + 0,85 × 35<=> × 162�� × 500��420<=>
�� = 6537,5��� = 0,00654�� <P = ∅<7
∅ = 0,9 → ��_�aób sin 9>^�>��a>� <P = 0,9(���8: − ��+ 8:� Q� − >2R + ��+ 8:(� − �+))
= 0,9((6537,5��� × 420<=> − 800��� × 420<=>) M540�� − 162��2 O+ 800��� × 420<=>(540�� − 60��)
<P = 0,9 × 1267,35ST −�
<P = 1140,62ST −�
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 132
12. CORTANTE
Figura 95
Distribución de los esfuerzos distribuidos a través de la sección transversal
VQ
Ibτ =
El esfuerzo cortante actuando en una viga rectangular
Figura 96
La ecuación del esfuerzo cortante de una viga rectangular viene dada por:
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 133
VQ
Ibτ =
3
2
max
max ave
Momento de Inercia12
Q2 4 8
31,5
2
bhI
bh h bh
V
bhτ τ
= −
= × =
= × =
Nota: El máximo cortante se produce primero en el eje neutro.
La distribución ideal de esfuerzo cortante se puede describir como:
Figura 97
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 134
Una descripción realista de la distribución de esfuerzos cortantes se muestra de la siguiente forma:
Figura 98
El esfuerzo cortante que actúa a lo largo de la viga puede ser descrito con un bloque de esfuerzo:
Figura 99
Usando el círculo de Mohr, el bloque de esfuerzo puede ser utilizado para encontrar el cortante
máximo.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 135
Agrietamiento inclinado de vigas de concreto reforzado
Patrones típicos de grietas para una viga de altura considerable
Figura 100
Las fisuras por flexión y cortante comienzan como una fisura por flexión y se propagan debido al
esfuerzo cortante. Las fisuras por flexión en vigas son verticales, perpendicular al eje neutro.
Figura 101
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 136
Para una viga profunda las grietas se presentan como:
Fisuras generadas por esfuerzo cortante:
Inclinadas en diagonal, interceptándose la fisura con las barras longitudinales más las verticales o las
de refuerzo inclinado.
Figura 102
Las fisuras a cortante fallan en dos formas principalmente:
Figura 103
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 137
13. DISEÑO A CORTANTE
Cuando no se usan estribos: cz ay dResistencia Total = v + v + v
czv - Cortante en la zona de compresión
ayv - Trabazón en el agregado
dv - Fuerza de dovela en las barras longitudinales.
Nota:
czv Incrementa de V V
a bd by
Figura 104
Factores que intervienen en la resistencia del concreto al esfuerzo cortante (sin refuerzo a
cortante)
• La resistencia del concreto a la tracción afecta la generación de fisuras diagonales.
• Relación de refuerzo longitudinal, ρw
ww
sA
b dρ = (Restringe las grietas)
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 138
Para w w0,00075 0,0025: 0,17c cV f´ b dρ λ≤ ≤ ≅ ×
• Relación luz de aplicación de la carga que genera esfuerzos cortantes versus altura efectiva de la
viga, a / d … M / (Vd)
2 a
d≤ ⇒ Un diseño a cortante más detallado es requerido
2 a
d> ⇒ Esta relación tiene poco efecto
Figura 105
• El aumento en el tamaño de la viga lleva por lo general a un incremento en la profundidad de la
viga reduciendo el esfuerzo cortante en fisuras inclinadas.
• Fuerzas axiales
Tensión Axial: Reduce las cargas en las fisuras inclinadas
Compresión Axial: Incrementa las cargas en las fisuras inclinadas.
Función y determinación de la resistencia del refuerzo a cortante
El refuerzo a cortante es proporcionado para asegurar que la capacidad a flexión en viga sea
completamente desarrollada, garantizando un modo de falla a flexión en condición de viga sub-
reforzada, pues la falla por cortante es frágil. Actúa como "pinzas" para impedir la ampliación de las
fisuras generadas por cortante. El refuerzo a cortante debe anclarse adecuadamente a fin de
desarrollar el esfuerzo de fluencia para el cual es diseñado.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 139
Refuerzo a cortante
Estribos
( )v sin cosys
A f dV
s
α α+× ×=
o v90y
sA f d
Vs
α × ×= ⇒ =
Figura 106
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 140
Barras inclinadas
( )v sin cosys
A f dV
s
α α+× ×=
o vs1, 41
45yA f d
Vs
α × ×= ⇒ =
Figura 107
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 141
Procedimiento de diseño
• Determinar Vu
• Determinar φVc
• Verificar φVc
En caso afirmativo, se requiere refuerzo a cortante (ir al paso 4)
En caso negativo. Cumple.
1
2u cV Vφ≥ → En caso afirmativo, se requiere refuerzo a cortante (ir al paso 4)
En caso negativo. Cumple.
• Si1
2
c u cV V Vφ φ≤ ≤ → Ubicar refuerzo mínimo
( )( )
min
0,350,062 ww
vyt yt
cb sb s
A f´f f
= ≤
También:
( )max 600 C.11.4.5.12
ds mm≤ ≤
• Si calular (req'd) , u c sV V Vφ≥ →
u n c s
us u c s c
V V V V
VV V V V V
φ φ φ
φ φφ
≤ = +
⇒ = − ⇒ = −
Verificar
( )0,66 C.11.4.7.9ws cV f´ b d≤
Nota:
Si cumple OK, sino cumple hay que rediseñar.
• Resolver para el espaciamiento de estribos requerido (resistencia) Suponiendo estribos # 3, # 4 ó
# 5.
v yt
s
A f ds
V≤ De la ecuación C.11-15
• Verifique requisito mínimo de acero (Ec. C.11-14)
max 0,350,062v yt yt
wwc
A f fs
bf´ b= ≤
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 142
• Verifique requisito espaciamiento máximo (C.11.4.5)
( )
max
max
Si
Nota: Si Ilegal
0,33 600 2
Si 0,33 300 4
0,66
w
w
w
s c
s c
s c
dV f´ b d s mm
dV f´ b d s mm
V f´ b d
≤ → ≤ ≤
≥ → ≤ ≤
≥
Use el espaciamiento más pequeño.
Ubicación del cortante máximo para el diseño a cortante de vigas
Miembros no pretensados
Secciones ubicadas a menos de una distancia d de la cara del apoyo pueden ser diseñados para el
cortante, Vu, que corresponde al calculado a una distancia d.
Figura 108
La compresión lleva la carga directamente en el apoyo. Cuando:
• La reacción en el apoyo introduce compresión en las zonas extremas del miembro.
Ninguna carga concentrada ocurre a d de la cara de apoyo.
Figura 109
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 143
EJEMPLO 16
Debe proyectarse una viga rectangular para soportar una fuerza cortante mayorada de 140 KN. No
se usa refuerzo a cortante. Por condiciones de exposición ambiental usar f’c = 28MPa ¿Cuáles deben
ser las dimensiones mínimas de la viga?
140
140
0,75uw w
u
u
V KN
V KN
b d b dϑ
φ
=
= =× × × ×
Determinar el valor de fuerza cortante para la cual no se requiere refuerzo
0,17 0,17 1 28 0,89 (C.11 3)2C
u C cf´ MPa MPaϑϑ ϑ λ= ⇒ = × × = × × = −
Igualando las dos expresiones se tiene
32 2
3
140 0,89 10 140 2 140419476
2 0,75 2 0,75 0,75 0,89 10ww w
c KN KPa KNb d m mm
b d b d
ϑ × ×= ⇒ = ⇒ × = =× × × × × ×
Tomando wb = 600mm y d = 700mm.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 144
EJEMPLO 17
Diseñar el refuerzo transversal de la viga mostrada en la figura. ¿Qué parte de la viga requiere
refuerzo a cortante? La viga hace parte de un sistema de entrepiso sin ningún tipo de exposición
ambiental.
• Cortante en el apoyo
100 5,5275
2apuV KN×= =
• Esfuerzo crítico en el concreto
0,17 0,17 1 21 0,78 (C.11 3)C cf´ MPa MPaϑ λ= × × = × × = −
• Diagrama de esfuerzos cortantes
0, 2754, 21
0,75 0,3 0, 29
0, 2453,75
0,75 0,3 0, 29
u
u
MNMPa
MNMPa
ϑ
ϑ
= =× ×
= =× ×
11
22
27502495
4, 21 4, 21 0,39
27502240
4, 21 4.21 0,78
LdmmLd mm
MPa
LdmmLd mm
MPa
= ⇒ =−
= ⇒ =−
Se requieren estribos hasta una distancia de 2495mm.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 145
EJEMPLO 18
Diseñar el refuerzo transversal de la viga mostrada en la figura de acuerdo a las fuerzas cortantes
indicadas. La viga por ser de cubierta presenta condiciones de exposición ambiental y estará en
contacto directo con el agua por lo que f’c=28MPa y fy=420 MPa.
1. DISEÑO VIGA SOPORTE IZQUIERDO
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “d” de la cara de la columna.
( )1
1
426 120 / 0,34 385,2
0,3853,77
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m m KN
MNMPaϑ
= − =
= =× ×
Esfuerzo crítico en el concreto
1
1
Determinar
0,17 0,17 1 28 0,899 (C.11 3)
3,77 0,899
2,87
c
u d C s
s u d c
cf´ MPa
MPa MPa
MPa
ϑ λϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ
= × × = × × = −≥ ⇒ > →
= − =
Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas
2
2
387 420
387 420141
2,87 400
v
v
s w
y
y
A mm f MPa
A f mm MPas mm
b MPa mmϑ
= =
× ×= = =× ×
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)
a) max387 420 420
1239 30,35 0,35 4000,062 0,062 400 28
v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 146
b) 0,33 0,33 28 1,75 3,77 0,89 2,88 (C.11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa× ⇒ × = > − =
No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar
espaciamiento máximo.
14171
2= ≅S mm
Usar el menor valormax 300 71 85 3004
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ →
Colocar 5 estribos ϕ ½” tres ramas c/71mm
• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “2d” de la cara de la columna.
( )2 426 120 / 0,34 2 344,4= − × =dV KN KN m KN
2
0,3443,37
0,75 0,4 0,34u d
MNMPa
m mϑ = =
× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas.
( ) ( )
2
2
2
387 420
387 420163
3,37 0,89 400
v
v
u d c w
y
y
A mm f MPa
A f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ
= =
× ×= = =− × − ×
Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5)
max387 420 420
a) 1239 30,35 0,35 4000,062 0,062 400 28
v
ww
y y
c
A × f fS mm m
bb × f´
×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 3,37 0,89 2,48 (C.11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa× ⇒ × = > − =
No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar
espaciamiento máximo.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 147
16382
2= ≅S mm
Usar el menor valormax 300 82 85 3004
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ →
( )2 5 71 50
82
− × −=
dN
Colocar 4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/82 mm
• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “3d” de la cara de la columna.
( )3
3
426 120 / 0,34 3 303,6
0,3032,97
0,75 0, 4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados ϕ=1/2” tres ramas
( ) ( )
2
2
3
387 420
387 420195
2,97 0,89 400
v
v
u d c w
y
y
A mm f MPa
A f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ
= =
× ×= = =− × − ×
Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5)
max387 420 420
a) 1239 30,35 0,35 4000,062 0,062 400 28
v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 2,97 0,89 2,08 ( .11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa C× ⇒ × = > − =
No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar
espaciamiento máximo.
19597
2= ≅S mm
Usar el menor valor.max 300 97 85 3004
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ →
( ) ( )3 4 82 5 71 50
85
dN
− × − × −= � 4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/85 mm.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 148
• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “4d” de la cara de la columna.
( )4
4
426 120 / 0,34 4 263
0, 2632,58
0,75 0, 4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” tres ramas
( ) ( )
2
2
3
213 420
213 420132
2,58 0,89 400
v
v
u d c w
y
y
A mm f MPa
A f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ
= =
× ×= = =− × − ×
Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5)
213 420 420a) max 682 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 2,58 0,89 1,69 (C.11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa× ⇒ × = > − =
Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar
espaciamiento máximo.
Usar el menor valor.max 600 132 170 6002
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
( ) ( ) ( )4 4 85 4 82 5 71 50
132
dN
− × − × − × −= � 3 estribos φ 3/8” tres ramas c/132mm.
• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “5d” de la cara de la columna.
( )
( )( )
5
5
426 120 / 0,34 5 222
0,2222,17
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas
( ) ( )
2
2
3
142 420
142 420116
2,17 0,89 400
v
v
u d c w
y
y
A mm f MPa
A f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ
= =
× ×= = =− × − ×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 149
Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5).
142 420 420a) max 455 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 2,17 0,89 1,28 (C.11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa× ⇒ × = > − =
Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar
espaciamiento máximo.
max Usar el menor valor.600 116 170 6002
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ →
( ) ( ) ( )5 (3 132) 4 85 4 82 5 71 50
116
dN
− × − × − × − × −= � 2 estribos ϕ 3/8” dos ramas
c/116mm.
• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “6d” de la cara de la columna.
( )6 426 120 / 0,34 6 181.2= − × =dV KN KN m KN
6
0,1811,77
0,75 0,4 0,34u d
MNMPa
m mϑ = =
× × Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas
( ) ( )
2
2
3
142 420
142 420169
1,77 0,89 400
v
v
u d c w
y
y
A mm f MPa
A f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ
= =
× ×= = =− × − ×
Por requerimientos mínimos colocar estribos ϕ 3/8” c/170mm para el resto de la viga hasta el
punto de cortante cero.
2. DISEÑO VIGA SOPORTE DERECHO
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “d” de la cara de la columna.
( )1
1
489,9 120 / 0,34 449,1
0,4494,4
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPaϑ
= − =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 150
( ) ( )
2
2
1
387 420
387 420116
4,4 0,89 400
v
v
u d c w
y
y
A mm f MPa
A f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ
= =
× ×= = =− × − ×
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)
max387 420 420
a) 1239 30,35 0,35 4000,062 0,062 400 28
v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 4,4 0,89 3,50 ( .11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa C× ⇒ × = > − =
No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar
espaciamiento máximo Este valor se aproxima al valor obtenido por 0,66 3,49cf´× = .
11658
2= ≅S mm
max 300 58 85 3004
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Colocar 6 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/58mm.
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “2d” de la cara de la columna.
( )2
2
489,9 120 / 0,34 2 408,3
0,4084
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPaϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas
2387 420v yA mm f MPa= =
( ) ( )2
1
387 420131
4 0,89 400v
u d c w
yA f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ× ×= = =
− × − ×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 151
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)
387 420 420a) max 1239 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 4 0,89 3,11 (C.11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa× ⇒ × = > − =
No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar
espaciamiento máximo.
13166
2= ≅S mm
max 300 66 85 3004
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
( )2 6 58 505
66
− × −= =
dN � Colocar 5 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/66mm.
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “3d” de la cara de la columna.
( )3
3
489,9 120 / 0,34 3 367,5
0,3673,6
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas
2387 420v yA mm f MPa= =
( ) ( )2
3
387 420150
3,6 0,89 400v
u d c w
yA f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ× ×= = =
− × − ×
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)
387 420 420a) max 1239 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 3,6 0,89 2,71 ( .11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa C× ⇒ × = > − =
No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar el
espaciamiento máximo.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 152
15075
2= ≅S mm
max 300 75 85 3004
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
( ) ( )3 5 66 6 58 504
75
− × − × −= =
dN � Colocar 4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/75mm.
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “4d” de la cara de la columna.
( )4
4
489,9 120 / 0,34 4 326,7
0,3263,2
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas
2387 420v yA mm f MPa= =
( ) ( )2
4
387 420176
3,2 0,89 400v
u d c w
yA f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ× ×= = =
− × − ×
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)
387 420 420a) max 1239 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 3,2 0,89 2,31 ( .11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa C× ⇒ × = > − =
No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar el
espaciamiento máximo.
17688
2= ≅S mm
max 300 88 85 3004
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
( ) ( ) ( )4 4 75 5 66 6 58 504
85
dN
− × − × − × −= = � Colocar 4 estribos ϕ ½” tres ramas
c/85mm.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 153
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “5d” de la cara de la columna.
( )5
5
489,9 120 / 0,34 5 285,9
0,2862,8
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” dos ramas
2258 420v yA mm f MPa= =
( ) ( )2
5
258 420142
2,8 0,89 400v
u d c w
yA f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ× ×= = =
− × − ×
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)
258 420 420a) max 826 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 2,8 0,89 1,91 ( .11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa C× ⇒ × = > − =
No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar
espaciamiento máximo.
14271
2= ≅S mm
max 300 71 85 3004
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( )5 4 85 4 75 5 66 6 58 505
71
dN
− × − × − × − × −= = �
Colocar 5 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/71mm.
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “6d” de la cara de la columna.
( )6
6
489,9 120 / 0,34 6 245,1
0,2452,4
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas
2142 420v yA mm f MPa= =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 154
( ) ( )2
5
142 42099
2,4 0,89 400v
u d c w
yA f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ× ×= = =
− × − ×
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)
258 420 420a) max 826 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 2,4 0,89 1,51 ( .11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa C× ⇒ × = > − =
Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar
max 600 99 170 6002
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ espaciamiento máximo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 5 71 4 85 4 75 5 66 6 58 504
99
dN
− × − × − × − × − × −= =
Colocar 4 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/99mm.
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “7d” de la cara de la columna.
( )7
7
489,9 120 / 0,34 7 204,3
0,2042
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas
2142 420v yA mm f MPa= =
( ) ( )2
5
142 420134
2 0,89 400v
u d c w
yA f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ× ×= = =
− × − ×
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5):
142 420 420a) max 455 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 2 0.89 1,11 ( .11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa C× ⇒ × = > − =
Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar
espaciamiento máximo.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 155
max 600 134 170 6002
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 4 99 5 71 4 85 4 75 5 66 6 58 502
134
dN
− × − × − × − × − × − × −= =
Colocar 2 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/134mm.
• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “8d” de la cara de la columna.
( )7
7
489,9 120 / 0,34 8 163,5
0,1641,61
0,75 0,4 0,34
d
u d
V KN KN m KN
MNMPa
m mϑ
= − × =
= =× ×
Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas
2142 420v yA mm f MPa= =
( ) ( )2
5
142 420207
1,61 0,89 400v
u d c w
yA f mm MPas mm
b MPa MPa mmϑ ϑ× ×= = =
− × − ×
Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)
142 420 420a) max 455 3
0,35 0,35 4000,062 0,062 400 28v
ww
y y
c
A f fS mm m
bb f´
× ×= ≤ ⇒ = ≤ =× ×× × × ×
b) 0,33 0,33 28 1,75 1,61 0.89 0,72 ( .11.4.5.3)cf´ MPa MPa MPa MPa C× ⇒ × = > − =
Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar
espaciamiento máximo.
max 600 207 170 6002
dS mm mm mm mm≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ .
Para el resto de la viga colocar estribos diámetro 3/8” dos ramas c/170mm.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 156
14. TORSIÓN
Distribución de esfuerzos sobre una sección transversal sujeta a torsión
Figura 110
Máximo esfuerzo cortante, maxτ
max 2x yτ η Τ=
Donde
η= Factor de forma
Τ = Momento torsor
x, y= Dimensiones de la sección transversal
El factor de forma es diferente para los casos lineales y no lineales.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 157
Modo de falla:
La falla a torsión del concreto simple se produce de repente con una fisura de tracción inclinada en
una de las caras más amplias, entonces se extiende en las caras estrechas. El aplastamiento del
concreto se produce en la cara opuesta más amplia.
Resistencia a la torsión, upΤ del concreto simple.
Varias teorías se han presentado para el cálculo de resistencia a la torsión del hormigón simple
incluyendo teorías plásticas, elásticas, y de flexión oblicua.
• Flexión Oblicua
Figura 111
Τ = Momento torsor aplicado
twM, T = Son los momentos de flexión y torsión respectivamente sobre el plano de 4
π
( )
2
2 2
22
3 2
TM=
2
2
2
6 3 2
3upTp
t x y
u
b y
y x x yS
TM
S x yσ
=
= =
= = =
Donde,
puT = Torsión última de hormigón simple, cuando σ alcanza a tσ
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 158
( )
2
22
3
0.85 0.85 0,62 0,527
0,527 0,1763
p t
t
r p
u
r c c
c c c u
x yT
f f´ f´
x yT f´ x y f´ T
σ
σ λ λ
λ λ
=
= ≈ =
= = =
Resistencia a la torsión contribuida por el acero
Considere el sistema que consiste en estribos de acero longitudinal y transversal. 1 1,x y Son las
dimensiones del armazón de acero como se muestra en la figura:
Figura 112
• Momento torsional con respecto al eje vertical delos estribos
( ) 11 1 1ts s
yT A f x
sα=
Donde,
tA Área de un brazo de estribo
sf Esfuerzo en esa sección
s Espaciamientos estribos
• Momento torsional con respecto al eje horizontal de los estribos
( ) 12 2 1ts s
xT A f y
sα=
• Momento torsional total
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 159
( )1 1 1 2
1 1
t
tt
ss
ss
A fT x y
sA f
T x ys
α α
α
= +
=
tα = Determinado experimentalmente
Concepto de diseño
• Capacidad de torsión máxima total, uT
u c sT T T= +
Donde,
cT = Capacidad a torsión contribuida por el concreto.
sT = Capacidad a torsión contribuida por el acero
( ) 0,4pc uT Tβ β= ≈
Por lo tanto
20,8c cT f´ x y=
El coeficiente β representa la reducción en la resistencia a la torsión proporcionada por el concreto
después de la fisuración. Tras la formación de fisuras el esfuerzo del concreto y la deformación
son parcialmente transferidos al acero. La rigidez y la resistencia del sistema dependerán de la
cantidad de refuerzo transversal y longitudinal.
• La falla final puede ser en uno de los siguientes caminos:
Subreforzada:
Tanto el acero longitudinal y transversal fallan antes.
Sobrereforzada:
El concreto es aplastado antes de que entre en acción el acero.
Parcialmente sobre o sub -reforzada
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 160
Para elementos subreforzados tα es independiente de la relación de acero:
Figura 113
• Sugerencia del código
1
1
0,66 0,33 1,50t
y
xα = + ≤
Funciones del refuerzo longitudinal
• Anclar los estribos, especialmente en las esquinas.
• Controla la ampliación de la fisura.
Condición Subrefuerzada
1 12l t
x yA A
s
+≤
Donde,
lA Volumen por longitud de acero longitudinal
El acero entra en fluencia.
Torsión combinada con flexión - Torsión combinada con cortante
En general el cortante existe al mismo tiempo con la flexión. La existencia de cortante reducirá la
capacidad de resistir en torsión. Así, es necesario considerar el caso de la torsión combinada con
cortante.
• Para vigas con refuerzo transversal
Torsión pura: u c sT T T= +
Cortante puro: u c sV V V= +
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 161
Figura 114
• Diseño para torsión
Igual interacción como en los miembros sin refuerzo transversal.
• Exceso de torque
Más allá de lo resistido por el concreto, la misma cantidad de refuerzo se proporciona en los
miembros sujetos a torsión más cortante como serían requeridos para los miembros puramente
torsionales.
Este refuerzo torsional se añade al que se requiere para llevar a momentos de flexión y cortante.
( )u n c sT T T Tφ φ≤ = +
Donde
uT Factor de torque
φ Factor de capacidad de reducción para torsión = 0.75
nT Resistencia nominal para la torsión
cT Momento de torsión soportado por el hormigón
sT Momento de torsión soportado por el acero
2 2
1
o
o
o
c
c
c
TT
T V
V T
= +
Donde
20,8 'o cT f x y= Torsión pura
2o cV f´ bd= Cortante puro
2 0,40,4o
o T
T x y
V bd C= =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 162
2T
bdC
x y=
Suponer
c u
c u
V V
T T=
De tal manera que
2
2 2
1 1
0,8 2
0,4 1 2,51
T
T
t t vy y
c cc
uu
uu
s s
f´ x y f´ bdT Vc
TV CVC T
A f A f dT x y V
s s
α
= = ++
= =
( )u c s n
u cs
T T T T
T TT
φ φφ
φ
= + =−=
1 1 1 1
( )t
t t
s
y y
u csT s T TA
f x y f x y
φα α φ
−= =
• 4Ts Tc≤ se requiere para asegurar fluencia del acero primero.
• La separación mínima de los estribos de torsión 1 14( ) ó 12 inx y+
Condición que debe cumplirse para no considerar efectos de torsión
• Los efectos torsionales pueden despreciarse si
2
1
0,5 ( )n
i ii
u cT f´ x yφ=
< ∑
Donde
2
1
( )n
i ii
x y=∑ Suma de los pequeños rectángulos para formas irregulares.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 163
Secciones Huecas
Figura 115
• Cuando 4
xh > , considerar la sección transversal en forma de sólido.
• Cuando 10 4
x xh≤ ≤ asumirlo como sólido, pero multiplicar 2( )x y∑ por 4
h
x
• Cuando 10
xh < , se considera como una sección de pared delgada. Compruebe si hay
inestabilidad (pandeo local).
� Formulación general del post-agrietamiento comportamiento de flexión, cortante, y tensión
interacción en vigas R / C.
� Discusión de las aplicaciones: los sistemas de carriles-guía de hormigón de monorriel de
levitación magnética y la infraestructura de transporte.
� Ejemplo de diseño: cortante y torsión.
Procedimiento de diseño de elementos sometidos a torsión según la NSR-10
1. Determinar los diagramas de cortante, momento y torsión.
2. Determinar las dimensiones de la viga, las cuales deben ser adecuadas para resistir los momentos
de flexión y además que cumplan con los límites máximos permitidos para control de deflexión.
3. Determinar si la torsión debe ser considerada C.11.5
(a) en elementos no preesforzados:
2
0,083 cp
cp
u cA
T f´P
φ λ
≤
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 164
(b) en elementos preesforzados:
2
0,083 10,33
cp cp
cp
u cc
A fT f´
P f´φ λ
λ
≤ +
(c) en elementos no preesforzados sometidos a tracción axial o fuerzas de compresión:
2
0,083 10,33
cp u
cp g
u cc
A NT f´
P A f´φ λ
λ
≤ +
4. Verificar si la sección transversal del elemento es adecuada C.11.5.3.1. Las dimensiones de la
sección transversal deben ser tales:
(a) en secciones sólidas:
2 2
20
0,661,7
h
w h w
uu cc
T PV Vf´
b d A b dφ
+ ≤ +
(b) en secciones huecas:
20,66
1,7h
w oh w
uu cc
T PV Vf´
b d A b dφ
+ ≤ +
5. Determinar el refuerzo requerido por flexión y el área de refuerzo requerido por cortante. El área
del refuerzo por cortante debe expresarse en términos de Av/s (área de acero de estribo por unidad
de longitud). Este valor debe ser combinado con el área del refuerzo de estribos requeridos por
torsión. Nota: verificar requisitos para diseño a cortante según la NSR-10.
,v
y
s us c
A V VV V
s f d φ= = −
6. Determinar el área del acero para estribos requerido por torsión en términos de At/s
02t
yt
uA T
s A f Cotφ θ=
Donde A0 debe determinarse por análisis, excepto que se permite tomar A0 igual a 0.85 A0h; θ no
debe tomarse menor a 30° ni mayor que 60°, se permite usar: (a) θ = 45° en elementos no
preesforzados o con un preesforzado con una fuerza efectiva de preesforzado no menor a un
40por ciento de la resistencia a tracción del refuerzo longitudinal.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 165
7. Combine el área de acero requerida para cortante y torsión y seleccione el diámetro de las barras
de refuerzo. Exprese At/s en términos de Av/s. Para un estribo con dos ramas tenemos:
2( )
= +
v v tA A Atotal
s s s
El espaciamiento del refuerzo transversal por torsión no debe exceder el menor valor entre Ph/8,
ni 300 mm.
8. Verificar el área de acero mínimo de estribos cerrados
2 0,35v t w
yt
A A b
s s f + ≥
9. Determinar el área de refuerzo longitudinal por torsión
2cotyttL h
y
fAA p
s fθ
=
Donde θ tiene el mismo valor utilizado en (6) y At/s el valor calculado en (6). El área mínima
total de refuerzo longitudinal para torsión debe calcularse como:
min
0,42 cp yttL h
y y
cf´ A fAA p
f s f = −
Donde ALmin no puede ser menor que cero, a At/s no debe tomarse menor que 0,175bw/fyt. El
refuerzo longitudinal por torsión debe distribuirse uniformemente alrededor del perímetro de la
sección transversal
10. Este paso es opcional. Se permite reducir el área de refuerzo longitudinal para torsión en la zona
de compresión por flexión en una cantidad igual a Mu/ (0,9dfy).
11. Combinar el refuerzo longitudinal por flexión y torsión y seleccionar el diámetro de las barras
de refuerzo.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 166
EJEMPLO 19
Diseñar la viga mostrada en la figura. Esta viga forma parte de una estructura interior sin exposición
a la interperie.
21f c MPa′ =
420yf MPa= (Referencia longitudinal)
240MPa (Referencia transversal)
250
200
20
u
u
u
M KN m
V KN
T KN m
= −== −
• Determinar si la torsión debe ser considerada
2
0,083 cp
cp
u cA
T f´P
φ λ
≤ × ×
( )C.11.5.2.2
( )
20,3 0,65 0,195
2 0,3 0,65 1,9
cp
cp
A m
P m
= × =
= + =
20,1950, 75 0,083 1,0 21 5,71 20
1,9uT KN m KN m
≤ × × × × = − < −
No se pueden despreciar los efectos de la torsión
• Verificar si la sección del elemento es adecuada
2
22
0
0,661,7
h
w wh
uu cc
T PV Vf´
b d A b dφ
×+ ≤ + × ×
( )( )
0,17
300 2 40 220
650 2 40 570
wcV f c b d
x mm
y mm
λ ′= × ×
= − =
= − =
( )2
0 0,57 0, 22 0,1254
2 0,57 0, 22 1,58h
h
A m
P m
= × == + =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 167
( )2 23 6
2
200 10 20 10 15800,75 0,17 21 0,66 21
300 590 1,7 125400
× × ×+ ≤ × + × ×
2 21,64 / 2,85 /N mm N mm≤ →Cumple
• Determinar el refuerzo requerido por flexión
2 0,85
yy
su s
c
a A fM A f d a
f´ bφ × = × − → = ×
(1)
2y
us
MA
af dφ
= −
(2)
Solucionando por iteraciones:
Asumimos viga rectangular 500b mm= con 80a mm=
22250 1000
12030,08
0,9 420000 0,592
sA mm×= = × −
Reemplazando en (2)
1203 42057
0,85 21 500a mm
×= =× ×
22250 1000
11780,057
0,9 420000 0,592
sA mm×= = × −
Reemplazando en (2)
1178 42055
0,85 21 500a mm
×= =× ×
22250 1000
11760,055
0,9 420000 0,592
sA mm×= = × −
Reemplazando en (2)
1176 42055
0,85 21 500a mm
×= =× ×
Cumple con el valor de c/d en zona segura. Seleccionamos 2 7 2 6No No+ área 21342mm=
230 500 cumpleminb mm mm= < →
• Determinar el área de refuerzo por cortante
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 168
( )200
0,17 0,17 1,0 21 0,3 0,59 137,89w
u c s
c c
V KN V V
V f´ b d KN
φ
λ
= = +
= × × = × × × × ⇒
cumple200
137,89 128,78 0,33 21 0,3 0,59 1000 267,670,75
us c
s
VV V
V KN KN
φ= −
= − = < × × × = →
2128,780,909 /
240000 0,59v vy
y
s
s
A f d A VS mm mm
V S f d
× ×= ⇒ = = =× ×
• Determinar el área de acero para estribos requerido por torsión.
02t
yt
nA T
s A f=
×
2026,67
0,75
un
TT KN m
φ= = = −
2
0 00,85 0,85 0,1254 0,10659hA A m= = × =
6226,67 10
0,5213 /2 106590 240
tAmm mm
s
×= =× ×
• Determinar área acero combinada por cortante y torsión.
22( ) 0,909 2 0,5213 1,9516 /V V tA A Atotal mm mm
s s s= + = + × =
Seleccionar estribos No. 3 de dos ramas 2142VA mm=
14273
1,9516s mm= =
Verificar 10NSR−
1580198 300
8 8hP
s mm m≤ = = < → Cumple
Área mínima de estribos
2 2 cumple2
1,9516 / 0,35 0,4375 /V t w
T
A A bmm mm mm mm
s s fy+ = > = →
• Determinar el área del refuerzo longitudinal por torsión:
22400,5213 1580 471
420ytt
L hy
fAA P mm
S f
= = × × =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 169
min
2min
0,42 0,42 21 195000 2400,5213 1580
420 420
423
cp ytTL h
L
y y
cf´ A fAA P
f S f
A mm
× = − = × ×
=
2 2 cumple0,5213 / 0,175 0,2187 /t w
yt
A bmm mm mm mm
S f= > = →
• El máximo espaciamiento entre las barras de refuerzo longitudinal es de 300mm. Se divide en 3
áreas iguales para ser colocadas en la parte superior, inferior y en la mitad de la altura de la
sección de la viga.
22471
1573 3LA mm
As mm= = = (2 barras 05N )
Las barras longitudinales deben tener un diámetro de al menos 0,042 veces el espaciamiento
entre estribos, pero no menos de diámetro 03N .
0, 042 73 3mm mm× =
Verificación 130 300minb mm mm= < →Cumple.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 170
15. ADHERENCIA Y ANCLAJE
Las fuerzas desarrolladas en la viga por la carga aplicada de forma perpendicular a su eje neutro se
pueden apreciar en la siguiente figura:
Figura 116
Fuerzas en las barras de refuerzo
El esfuerzo de adherencia proporciona un mecanismo de transferencia de fuerzas entre el concreto y
el refuerzo.
Figura 117
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 171
Condición de equilibrio para la barra de refuerzo
0
04
4
2b
b b
bd
y
y
Fuerza de adherenciaF T 0
df d l
f dl
π π µ
µ
= ⇒ − =
⇒ − =
⇒ =
∑
Esfuerzo de adherencia=µ
( )bar
cCoeficiente de fricción k f´
k f φ≈
=
Nota: El esfuerzo de adherencia es cero en las fisuras.
Fuentes de transferencia por adherencia
• La adhesión entre el concreto y refuerzo.
• Fricción.
• Trabazón mecánica.
La concentración de esfuerzos en bordes causa la ocurrencia de agrietamiento.
Nota: Estas propiedades se pierden rápidamente cuando el concreto es sometido a tracción.
Fuerza de interacción entre el acero y el hormigón.
Figura 118
La separación generada por las grietas ocasiona la pérdida de la transferencia de adherencia. El
refuerzo se puede utilizar para restringir estas fisuras.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 172
La distribución de esfuerzos dentro de una viga se ve afectada por:
• Distancia mínima al borde y el espaciamiento de las barras.
• Resistencia a la tracción del hormigón.
• El esfuerzo de adherencia promedio a lo largo de las barras (Aumento de esfuerzo de adherencia
da lugar a mayor fuerza de cuña).
El fisuramiento generado por fuerzas de adherencia puede ser clasificado en tres tipos: en el primer
caso se tiene un recubrimiento inferior mayor al lateral, por lo cual la fisura se propagará
predominantemente en dirección horizontal, en el segundo caso se da cuando los dos recubrimientos,
lateral e inferior son iguales, la dirección predominante es en cualquiera de los dos sentidos y
dependerá de factores locales como la ubicación de agregados gruesos que impidan la propagación
de la fisura, finalmente cuando el recubrimiento inferior es menor al lateral las fisuras se propagarán
predominantemente en dirección vertical.
Figura 119
Figura 120
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 173
El fisuramiento del hormigón se produce a lo largo de las barras, ya sea en planos verticales como
en la figura (a) o en un plano horizontal como en la figura (b). Tal división viene en gran parte de la
acción de acuñamiento cuando el corrugado de la barra deformada genera fuerza en el hormigón.
El tipo de fisuramiento horizontal frecuentemente comienza con una fisura diagonal. La acción de
dovela incrementa la tendencia al fisuramiento. Esto indica que las fisuras generadas por cortante y
las generadas por flexión están a menudo estrechamente relacionadas entre sí.
Figura 121
Expresiones de código para determinar la longitud de desarrollo de barras en tracción
Longitud de desarrollo dl
Se define como la menor longitud de la barra en la que el esfuerzo de la barra puede incrementar de
cero a la resistencia a la fluencia, fy. La longitud de desarrollo dl es utilizada debido a que los
esfuerzos de adherencia, µ, varían a lo largo de un barra sometida a tensión.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 174
Figura 122
NSR-10 - CAPITULO C.12
LONGITUDES DE DESARROLLO Y EMPALMES DEL REFUERZO
C.12.1 — Desarrollo del refuerzo — Generalidades
C.12.1.1 — La tracción o comprensión calculada en el refuerzo de cada sección de elementos de
concreto estructural debe ser desarrollada hacia cada lado de dicha sección mediante una longitud
embebida en el concreto por medio de gancho, barra corrugada con cabeza o dispositivo mecánico,
o una combinación de ellos. Los ganchos y barras corrugadas con cabeza no se deben emplear para
desarrollar barras en compresión.
C.12.1.2 — Los valores de cf´ usados en este Capítulo no deben exceder de 8.3 MPa.
C.12.1.3 — Además de los requisitos establecidos en este Capítulo que afectan el detalle del refuerzo,
se deben cumplir los requisitos de integridad estructural de C.7.13.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 175
C.12.2 — Desarrollo de barras corrugadas y de alambres corrugados a tracción
C.12.2.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre corrugado en tracción,dl ,
debe determinarse a partir de C.12.2.2 ó C.12.2.3, con los factores de modificación de C.12.2.4 y
C.12.2.5, pero dl no debe ser menor que 300 mm.
C.12.2.2 — Para barras corrugadas o alambres corrugados, dl debe ser:
Espaciamiento y recubrimiento Barras No. 6 (3/4”)
ó 20M (20 mm) o
menores y
alambres
corrugados
Barras No. 7 (7/8”)
ó 22M (22 mm) y
mayores
Espaciamiento libre entre barras o alambres que
están siendo empalmados o desarrolladas no menor
que db , recubrimiento libre no menor que db , y
estribos a lo largo de dl no menos que el mínimo del
Título C del Reglamento NSR-10 o espaciamiento
libre entre barras o alambres que están siendo
desarrolladas o empalmadas no menor a 2db y
recubrimiento libre no menor a db
2,1t e
b
y
c
fd
f´
ψψλ
1,7t e
b
y
c
fd
f´
ψψλ
Otros casos
1,4t e
b
y
c
fd
f´
ψψλ
1,1
t eb
y
c
fd
f´
ψ ψ λλ
C.12.2.3 — Para barras corrugadas y alambres corrugados dl debe ser:
d
tr1,1
t e sb
b
b
y
c
fl d
c Kf´
d
ψ ψ ψ
λ
= +
(C.12-1)
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 176
En donde el término trb
b
c K
d
+
no debe tomarse mayor a 2.5 y
tr
40 trAK
s n=
× (C.12-2)
En donde n es el número de barras o alambres que se empalman o desarrollan dentro del plano de
hendimiento. Se puede usar Ktr = 0 como una simplificación de diseño aún si hay refuerzo transversal
presente.
C.12.2.4 — Los factores a usar en las expresiones para la longitud de desarrollo de barras y alambres
corrugados en tracción en C.12.2 son los siguientes:
(a) Cuando para el refuerzo horizontal se colocan más 300 mm de concreto fresco debajo de la
longitud de desarrollo o un empalme, 1.3tψ = . Otras situaciones 1.0tψ =
(b) Barras o alambres con recubrimiento epóxico con menos de 3db de recubrimiento, o separación
libre menor de 6db , 1.5eψ = . Para todas las otras barras o alambres con recubrimiento epóxico,
1.2eψ = . Refuerzo sin recubrimiento y refuerzo recubierto con cinc (galvanizado), 1.0eψ = .
No obstante, el producto t eψ ψ no necesita ser mayor de 1.7.
(c) Para barras No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) o menores y alambres corrugados, 0.8sψ = . Para barras
No. 7 (7/8”) ó 22M (22 mm) y mayores, 1.0sψ = .
(d) Donde se use concreto liviano, λ no debe exceder de 0.75 a menos que se especifique fct (véase
C.8.6.1).
Donde se use concreto de peso normal, λ = 1.0.
C.12.2.5 — Refuerzo en exceso
Se permite reducir dl en ( As requerido) / ( As suministrado) cuando el refuerzo en un elemento
sometido a flexión excede el requerido por análisis, excepto cuando se requiere específicamente
anclaje o desarrollo para fy o el refuerzo sea diseñado según C.21.2.1.6.
C.12.3 — Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 177
C.12.3.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre a compresión, dcl , se debe
calcular a partir de C.12.3.2 y de los factores de modificación de C.12.3.3, pero dcl no debe ser menor
de 200 mm.
C.12.3.2 — Para las barras corrugadas y alambres corrugados, dcl debe tomarse como el mayor entre
0,24b
y
c
fd
f´λ
y ( )0,043 byf d , donde λ se toma como indica C.12.2.4 (d) y la constante 0.043 tiene
la unidad de mm2/N
C.12.3.3 — Se permite multiplicar la longitud dcl en 12.3.2 por los siguientes factores:
a) El refuerzo excede lo requerido por el análisis
(As Requerido)/(As Proporcionado)
b) El refuerzo está confinado por una espiral cuya barra tiene un diámetro no menor de 6 mm y no
más que 100 mm de paso o dentro de estribos No. 13 de acuerdo con C.7.10.5, y espaciadas a
distancias no mayores que 100 mm medidos entre centros………………………………………0.75
EJEMPLO 20
Para una viga de concreto reforzado, con una altura efectiva de 540 mm y un ancho de 300 mm,
reforzada con 5 varillas No. 6 y recubrimientos del refuerzo medidos a centro de barra de 60 mm,
determinar la longitud de desarrollo de las barras. La viga se encuentra simplemente apoyada y no
presenta exposición a condiciones ambientales.
21
420y
cf´ MPa
f MPa
==
Verificación de las condiciones de recubrimiento de concreto.
Para barras de diámetro ¾”, db = 19mm.
Recubrimiento libre = 60mm-10mm = 50mm > db
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 178
Separación libre entre barras
( )300 2 60219 26
º 4b b
mm mmb recubrimientoS d mm mm d
N Espacios
− ×− ×= − = − = >
Las barras están confinadas por estribos Nº 3, por lo tanto se cumplen las condiciones de la ecuación.
( )
Refuerzo colocado parte inferior viga
Refuerzo si
= C.12.2.22,1×λ
= 1,0 (C.12.2.4)
= 1,0
d t e
b
t
e
y
c
l f ψ ψ
d f´
ψ
ψ
( )n recubrimiento epóxico (C.12.2.4)
= 21 = 4,6 < 8,3 C.12.1.2
420×1,0×1,0 = = 44
2,1×1× 21d
b
cf´ MPa MPa
l
d
Por lo tanto 44 19 836dl mm mm= × =
Para el caso general tenemos ( Ktr = 0 ) (C.12.2.3)
Barras Nº 6 o menores
= (C.12.2.3)
1,1
= 1,0 (C.12.2.4)
= 0,8 (C.1
d t e s
b tr
b
t e
s
y
c
L f ψ ψ ψ
d c + K× λ f´
d
ψ = ψ
ψ
2.2.4)
C = dimensión del espaciamiento o recubrimiento del refuerzo .
Menor distancia desde el centro de la barra a la superficie más cercana del concreto, C1 o la mitad
de la separación centro a centro de las barras que se desarrollan, C2.
1 60
2 60 300 2 602 0,5 2 0,5 23
4
23
231,5 1,5 1,21 1,5
19
420 1 1 0,844 44 19 836
1,1 1 21 1,5
tr
b
dd
b
espacios
usar
c mm
bc c mm
N
c mm
c Ksi
d
ll mm
d
=
− × − × = ⇒ = × = °
=
+ < ⇒ = ⇒
× × ×= = ⇒ = × =× × ×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 179
EJEMPLO 21
Solucionar el ejemplo anterior si las barras están recubiertas por epóxico y el As requerido para el
análisis es 1200mm2.
( )
Refuerzo colocado parte inferior viga
Refuer
C.12.2.22,1
= 1,0 (C.12.2.4)
= 1,5
d t e
b
t
e
y
c
l f ψ ψ =
d × λ f´
ψ
ψ
( )2
2
zo con recubrimiento epóxico (C.12.2.4)
= 21 = 4,6 MPa < 8,3 MPa C.12.1.2
12000,85
1420
420×0,85×1,0×1,5 = = 56
2,1×1× 21d
b
cf´
As req mmRs
As sum mm
l
d
= = =
Por lo tanto 56 19 1064dl mm mm= × =
Desarrollo de barras - secciones críticas
Miembros sometidos a flexión
Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en elementos sometidos a flexión son:
• Puntos de máximo esfuerzo.
• Puntos donde las barras son cortadas.
• Cara del apoyo.
• En los puntos de inflexión en donde el momento cambia de signo.
Secciones críticas para el refuerzo de momento negativo
Tres secciones son críticas para el refuerzo de momento negativo:
Sección 1:
Se encuentra en la cara del apoyo, cuando tanto el momento negativo como el esfuerzo presentan sus
valores máximos. Dos longitudes de desarrollo, X1 y X2 deben ser revisadas y chequeadas.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 180
Figura 123
Sección 2:
Es la sección donde parte de la barra de refuerzo negativo puede ser terminada. Para desarrollar la
fuerza de tensión total, las barras deben extenderse a una distancia X2 antes de que puedan ser
terminadas. Una vez que parte de las barras se terminan las barras restantes desarrollan el esfuerzo
máximo.
Sección 3:
Es un punto de inflexión. Las barras se extenderán a una distancia X3 más allá de la sección 3: X3
debe ser igual o mayor que la profundidad efectiva d, 12db ó 1/16 de la luz libre, el que sea mayor.
Por lo menos 1/3 del refuerzo total previsto para el momento negativo en el apoyo se extenderá a una
distancia X3 más allá del punto de inflexión.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 181
Secciones críticas para el refuerzo de momento positivo
Sección 4:
Localizada donde el momento máximo positivo y esfuerzos son máximos. Dos longitudes de
desarrollo X1 y X2 tienen que ser chequeadas. La longitud X1 es la longitud de desarrollo dl
especificada por la NSR-10 C.12.11. La longitud X2 es igual o mayor que la profundidad efectiva d,
12db.
Sección 5:
Es donde parte de las barras de refuerzo positivo pueden ser cortadas. Para desarrollar la fuerza de
tensión total, las barras deben extenderse a una distancia X2. Las barras restantes tendrán un esfuerzo
máximo debido a la terminación de parte de las barras. En la cara de la sección de apoyo 1, por lo
menos 1/4 del refuerzo de momento positivo en miembros continuos deben llevarse a lo largo de la
misma cara del miembro en el apoyo, de acuerdo con la NSR-10 C.12.11.1. Para vigas simplemente
apoyadas por lo menos 1/3 del refuerzo debe llevarse y anclarse en el apoyo.
Sección 6:
Es en los límites de los puntos de inflexión; de acuerdo al capítulo C.12.11.3 de la NSR-10.
Longitud de desarrollo para barras en compresión
NSR-10
C.12.3 — Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión
C.12.3.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre a compresión, dcl , se debe
calcular a partir de C.12.3.2 y de los factores de modificación de C.12.3.3, pero dcl no debe ser menor
de 200 mm.
C.12.3.2 — Para las barras corrugadas y alambres corrugados, dcl debe tomarse como el mayor entre
0,24b
y
c
fd
f´λ
y ( )0,043 byf d , donde λ se toma como indica C.12.2.4 (d) y la constante 0.043 tiene
la unidad de mm2/N
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 182
C.12.3.3 — Se permite multiplicar la longitud dcl en 12.3.2 por los siguientes factores:
a) El refuerzo excede lo requerido por el análisis
(As Requerido)/(As Proporcionado)
b) El refuerzo está confinado por una espiral cuya barra tiene un diámetro no menor de 6 mm y no
más que 100 mm de paso o dentro de estribos No. 13 de acuerdo con C.7.10.5, y espaciadas a
distancias no mayores que 100 mm medidos entre centros …………………………................... 0.75
Nota:
dc dl l< Generalmente porque:
• Es favorecido por el efecto de compresión en el apoyo.
• El debilitamiento producido por la generación de las grietas de tracción por flexión no afecta a
las barras en compresión.
C.12.4 — Desarrollo de paquetes de barras
C.12.4.1 — La longitud de desarrollo de cada barra individual dentro de un paquete de barras
sometido a tracción o a comprensión, debe ser aquella de la barra individual aumentada un 20
por ciento para un paquete de 3 barras y en un 33 por ciento para un paquete de 4 barras.
C.12.4.2 — Para determinar los valores adecuados de espaciamiento y recubrimiento en C.12.2.2,
así como el parámetro de confinamiento en C.12.2.3 y el factor eψ en C.12.2.4(b), un paquete de
barras debe ser tratado como una sola barra de un diámetro derivado del área total equivalente y
con un centroide que coincide con el del paquete de barras.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 183
16. GANCHOS ESTÁNDAR
Un gancho se utiliza al final de una barra cuando su longitud de empotramiento recta es menor que
la longitud de desarrollo en condición de barra recta requerida. El diámetro mínimo de curvatura,
medida en el interior de la barra principal de un gancho estándar D es:
Figura 124
La distribución de esfuerzos para un gancho de 90° bajo una fuerza P se muestra en la siguiente
figura:
Figura 125
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 184
NSR-10
CAPÍTULO C.7 — DETALLES DEL REFUERZO
C.7.1 — Ganchos estándar
El término “gancho estándar” se emplea en el Título C del Reglamento NSR-10 con uno de los
siguientes significados:
C.7.1.1 — Doblez de 180º más una extensión de 4db, pero no menor de 65 mm en el extremo libre
de la barra.
C.7.1.2 — Doblez de 90º más una extensión de 12db en el extremo libre de la barra.
C.7.1.3 — Para estribos y ganchos de estribo
(a) Barra No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm) y menores, doblez de 90º más 6db de extensión en el extremo
libre de la barra, ó
(b) Barra No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm), No. 7 (7/8”) ó 22M (22 mm), y No. 8 (1”) ó 25M (25 mm),
doblez de 90º más extensión de 12db en el extremo libre de la barra, ó
(c) Barra No. 8 (1”) ó 25M (25 mm) y menor, doblez de 135º más extensión de 6db en el extremo
libre de la barra.
C.7.1.4 — En los estribos de confinamiento requeridos en el Capítulo C.21 en estructuras de
capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES), para construcción sismo
resistente, deben emplearse ganchos sísmicos con un doblez de 135º o más, con una extensión de 6db
pero no menor de 75 mm, que abraza el refuerzo longitudinal del elemento y se proyecta hacia el
interior de la sección del elemento. En los ganchos suplementarios el doblez en los extremos debe
ser un gancho sísmico de 135º, o más, con una extensión de 6db, pero no menor de 75 mm, y se
permite que en uno de los extremos se utilice un gancho de 90º, o más, con una extensión de 6db.
Los ganchos sísmicos están definidos en C.2.2
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 185
Los ganchos resisten a tracción por esfuerzos de adherencia en la superficie de la barra.
Figura 126
Ganchos estándar para anclaje a tracción
El uso de ganchos estándar para anclaje a tracción:
Los ganchos proporcionan un anclaje adicional cuando hay insuficiente longitud disponible para
desarrollar una barra.
Nota:
A los ganchos no se les permiten el refuerzo de compresión desarrollado.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 186
C.12.5 — Desarrollo de ganchos estándar en tracción
C.12.5.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas en tracción que terminen en un
gancho estándar (véase C.7.1), dhl se debe calcular de C.12.5.2 y los factores de modificación de
C.12.5.3, pero dhl no debe ser menor que el mayor de b8d y 150 mm.
C.12.5.2 — Para las barras corrugadas, dhl debe ser ( )0, 24 e by cψ f / λ f´ d con eψ igual a 0.75
para concreto con agregados livianos. Para otros casos, eψ y λ deben tomarse igual a 1.0.
C.12.5.3 — La longitud dhl en C.12.5.2 se puede multiplicar por los siguientes factores cuando
corresponda:
a) Para ganchos de barras No. 36 y menores, con recubrimiento lateral (normal al plano del
gancho) no menor de 65 mm, y para ganchos de 90º, con recubrimiento en la extensión de la barra
más allá del gancho no menor de 50 mm…….................................................................................0.7
b) Para ganchos de 90º de barras No. 36 y menores que se encuentran confinados por estribos
perpendiculares a la barra que se está desarrollando, espaciados a lo largo de dhl a no más de
b3d ; o bien, rodeado con estribos paralelos a la barra que se está desarrollando y espaciados a no
más de b3d a lo largo de la longitud de desarrollo del extremo del gancho más el doblez ....... 0.8
c) Para ganchos de 180º de barra No. 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm) y menores que se encuentran
confinados con estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando, espaciados a no más
de b3d a lo largo de dhl .......................................................................................................0.8
d) Cuando no se requiera específicamente anclaje o longitud de desarrollo para yf , y se dispone
de una cuantía de refuerzo mayor a la requerida por análisis. ( As requerido) /( As proporcionado).
En C.12.5.3 (b) y C.12.5.3(c), db es el diámetro de la barra del gancho, y el primer estribo debe
confinar la parte doblada del gancho, a una distancia menor a 2db del borde externo del gancho.
C.12.5.4 — Para barras que son desarrolladas mediante un gancho estándar en extremos discontinuos
de elementos con recubrimiento sobre el gancho de menos de 65 mm en ambos lados y en el
borde superior (o inferior), la barra con el gancho se debe confinar con estribos, perpendicular a
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 187
la barra en desarrollo, espaciados en no más de 3db a lo largo de dhl . El primer estribo debe
confinar la parte doblada del gancho dentro de 2db del exterior del doblez, donde db es el
diámetro de la barra con gancho. En este caso, no deben aplicarse los factores de C.12.5.3. (b) y
(c).
C.12.5.5 — Los ganchos no deben considerarse efectivos para el desarrollo de barras en
comprensión.
Figura 127
Diseño de ganchos estándar para anclaje a tracción
Longitud de desarrollo para barras enganchadas,
dh dh
dh b dh
Multiplicadores
Cuando, 8 y 150
l l
l d l mm
= ×≥ ≥
La longitud de desarrollo básica para barras enganchadas = dhl
Cuando fy = 420 MPa
dh
0,24 eb
y
c
fl d
f´
ψλ
=
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 188
Condiciones Multiplicadores
Recubrimiento de concreto para ganchos de
180° para barras N° 11 o menores.
Recubrimiento Lateral ≥ 65 mm.
(Normal plano gancho)
0,7
Recubrimiento de concreto para ganchos de
90° para barras N° 11 o menores.
Recubrimiento Lateral ≥ 65 mm.
Recubrimiento en la extensión de la barra más
allá del gancho.
Recubrimiento Extensión ≥ 50 mm.
0,7
Estribos
Para barras N° 11 o menores
Gancho con estribos verticales u horizontales
espaciados a lo largo de d hl a una distancia
no superior a 3db cuando db es diámetro de la
barra enganchada.
No importa si es de 90° ó 180°
0,8
Exceso de refuerzo
Donde el anclaje o desarrollo para fy no se
especifica requerida.
( As requerido) / ( As suministrado)
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EJEMPLO 22
Determinar la longitud de desarrollo requerido para las barras Nº8 superiores de la viga de voladizo
que se une la columna, si las barras son rectas y con ganchos de 90º y 180º. Las barras están
confinadas por estribos Nº3 espaciados a 150mm en toda la longitud de la viga en voladizo. La viga
no presenta condiciones de exposición ambiental.
• Barras rectas
Verificación de las condiciones de recubrimiento del concreto.
Para barras de diámetro 1” db=25mm.
Recubrimiento libre 70 13 57 bmm mm mm d= − = >
Separación libre entre barras:
( )º
300 2 70225 28
3b b
recubrimiento
N espacios
mm mmbd mm mm d
− ×− × − = − = >
Las barras están confinadas por estribos Nº3, por lo tanto se cumplen las condiciones de la
ecuación.
( )Para barras Nº8 (C.12.2.2)
Determinación factores (C.12.2.4
1,7
d t e
b
y
c
l f =
d ×l f´
ψ ψ
)
Refuerzo colocado parte inferior viga con más de 300 mm de concreto
Refuerzo sin recubrimiento epóxico
Por lo tanto
= 1,3
= 1,0
420×1,3×1,070
1,7×1× 21
70×25 1750
t
e
d
b
d
ψ
ψ
l = =
d
l = mm = mm
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 190
Verificación longitud de desarrollo de las barras en el voladizo.
recubrimmiento lateral<
No cumple
1400
1750 50 1400 dl mm
mm mm mm
++ <
• Barras con ganchos 90º
Ninguna modificación aplica por lo tanto
0, 24 0, 24× 420×1= 22 (C.12.5.2)
1× 21
22× 25 550 8 200
550 (C.12.5.3)
55
hb e
b
hb b
dh
y
c
l × f × = =
d l f´
l = mm = mm > d = mm
l = mm
ψ
Cumple0 50 1400 mm + mm < mm →
Verificación longitud del gancho
( )
No cumple, luego no es posible colocar el gancho de 90º en la viga.
25 1912 3 400 2 70
2 2400 238
b b b
mm mmd d d mm mm
mm mm
+ + ≤ − × − −
≤
• Barras con ganchos 180º
0,24 0,24× 420×1 = 22 (C.12.5.2)
1× 21
22× 25 550 8 200
Ninguna modificación aplica por lo tanto 550
hb e
b
hb b
dh
y
c
l × f × = =
d l f´
l = mm = mm > d = mm
l = mm
ψ
(C.12.5.3)
Verificación longitud del gancho
cumple6 200 238b b bd d d mm mm+ + = ≤ →
Se puede usar ganchos a 180° con un ldh =550 mm de los cuales 200mm deben ir en el gancho.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 191
EJEMPLO 23
Determinar el anclaje de las barras en la columna de acuerdo a la figura. La columna forma parte de
una estructura ubicada en una zona de amenaza sísmica alta y por lo tanto resiste cargas laterales. La
viga no presenta condiciones de exposición ambiental.
21
420y
cf´ MPa
f MPa
==
• Longitud de desarrollo básico para barras de gancho
8 150
0,24 0,24 420 122 (C.12.5.2)
1 21
22 25 550
dh hb hb b hb
hb e
b
hb
y
c
factores dondel l l d y l mm
l f
d f´
l mm mm
ψλ
= × ≥ ≥× × × ×= = =
×= × =
• Verificación recubrimiento concreto
Recubrimiento lateral: 50mm<65mm No cumple
Recubrimiento gancho 50mm
• Verificación de estribos
cumple usar factor70 3 75 0,8 (C.12.5.3)
550 0,8 440b
dh
mm d mm
l mm mm
< = → == × =
Longitud anclaje disponible de la columna
400 50 350acl mm mm= − =
Las barras Nº8 no alcanzan a desarrollar ldh dentro de la columna.
Como la viga hace parte de estructura ubicada en zona de amenaza sísmica alta y resiste cargas
laterales, las barras Nº8 deben anclarse de tal forma que puedan desarrollar fy en la cara de los
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 192
apoyos. Lo ideal en este caso es redimensionar los elementos estructurales o disminuir el diámetro
de las barras longitudinales, pero en este caso es imposible por lo cual se plantea el siguiente
procedimiento:
( )Para barras Nº
Factores
Refuerzo colocado parte inferior viga con más de 300mm de concreto
Refuerzo sin recubrimiento epóxico
6 (C.12.2.2)1,7
(C.12.2.4)
1,3
=1,0
d t e
b
t
e
y
c
l f
d f´
ψ ψλ
ψψ
= ≥×
= →→
Entonces
420 1,3 1,070
1,7 1 21
70 25 1750
d
b
d
l
d
l mm mm
× ×= =× ×
= × =
( ) ( )3 3 25 236bd d mm mmπ π π= = × =
Esta solución implica aspectos constructivos para lograr ubicar el gancho del refuerzo dentro de la
columna.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 193
17. PROCEDIMIENTO DE CORTE DEL ACERO DE REFUERZO
Puntos de corte de barras
¿Por qué se deben ubicar puntos de corte para el acero de refuerzo? Por aspectos económicos.
Figura 128
Factores que afectan la localización de los puntos de corte del acero de refuerzo
• Las barras no son necesarias para resistir las fuerzas de tracción o las barras restantes son
adecuadas (determinado por los diagramas de cortante y momento).
• Las barras deben extenderse a cada lado de la sección para desarrollar fuerza de la barra en esa
sección.
• Las mayores concentraciones de esfuerzo ocurren cuando las barras de tensión son cortadas en
las regiones de cortante moderado a alto, esto conduce a la formación de fisuras.
• Los requisitos del código de construcción especificados (buenas prácticas).
• Las incertidumbres en las cargas (consideraciones sísmicas).
Mantener puntos de corte a un mínimo con el propósito de simplificar el diseño y construcción.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 194
Determinación de la ubicación de puntos de corte a flexión
Dada una viga simplemente apoyada con una carga distribuida.
Figura 129
NRS-10
C.12.10 — Desarrollo del refuerzo de flexión — Generalidades
C.12.10.3 — El refuerzo se debe extender más allá del punto en el que ya no es necesario para resistir
flexión por una distancia igual a d ó 12db, la que sea mayor, excepto en los apoyos de vigas
simplemente apoyadas y en el extremo libre de voladizos.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 195
Figura 130
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 196
Procedimiento general - puntos de corte de barras
• Determinar los puntos de corte teóricos de flexión y el diagrama de momentos.
• Extraer las barras para satisfacer los requerimientos de la NSR-10 (C.7.13, C.12.1, C.12.10,
C.12.11 y C.12.12)
• Diseñar estribos adicionales para los puntos donde las barras son cortadas en la zona de tensión a
flexión (C.12.10.5)
Reglas generales para el corte de barras
Todas las barras
Regla 1.
Las barras deben extender el largo de d o 12 db más allá de los puntos de corte a la flexión, excepto
en los apoyos o los extremos de los voladizos (C.12.10.3).
Regla 2.
Las barras deben extenderse por lo menos ld desde el punto esfuerzo máximo de la barra o desde los
puntos de corte de flexión de barras adyacentes (C.12.10.2 C.12.10.4 y C.12.12.2).
Barras – Momento positivo
Regla 3.
Integridad estructural
Soportes simples
Por lo menos un tercio de la parte del refuerzo del momento positivo se debe extender 150 mm en
los soportes (C.12.11.1).
Vigas interiores continuas con estribos cerrados
Al menos una cuarta parte del refuerzo de momento positivo se debe extender 150 mm en el soporte
(C.12.11.1 y C.7.13.2.3).
Al menos una cuarta parte del refuerzo de momento positivo debe ser continuo o se debe empalmar
cerca del apoyo con un empalme a tensión clase A y en apoyos no continuos debe ser terminada con
un gancho estándar. (C.7.13.2.3).
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 197
Vigas continuas perimetrales
Al menos una cuarta parte del refuerzo momento positivo requerido en el centro de la luz se hará
continuo alrededor del perímetro de la losa y debe ser confinado por estribos cerrados o estribos con
ganchos de 135 grados alrededor de barras superiores. La continuidad del refuerzo, puede ser
proporcionada por el empalme de refuerzo inferior o cerca del apoyo con empalmes a tensión clase
A (C.7.13.2.3).
Vigas que forman parte de un marco que es parte del sistema primario de resistencia a carga
lateral del edificio
Este refuerzo debe estar anclado para desarrollar la resistencia a la fluencia especificada fy, en la
cara del soporte (C.12.11.2)
Regla 4.
Los Estribos
En el punto de momento positivo de inflexión y en los apoyos simples, el refuerzo de momento
positivo debe satisfacer la siguiente ecuación (C.12.11.3). Un aumento del 30% en el valor de Mn/Vu
se permitirá cuando los extremos de refuerzo están confinados por la reacción de compresión
(generalmente cierto para soportes simples).
d a
n
u
Ml l
V≤ +
Barras - Momento Negativo
Regla 5.
El refuerzo de momento negativo debe estar anclado en o a través de columnas de soporte o de los
miembros que dan apoyo a la viga ( C.12.12.1).
Regla 6.
Integridad Estructural
Vigas Interiores
Por lo menos un tercio del refuerzo de momento negativo se debe extender por el mayor de d, 12 db
o (ln / 16) más allá del punto de inflexión de momento negativo (C.12.12.3).
Además de la regla satisfactoria anterior, una sexta parte del refuerzo de negativo que se precisa en
el apoyo debe ser continuo en la mitad del tramo. Esto puede lograrse por medio de un empalme a
tensión clase A en la mitad del tramo (C.7.13.2.2).
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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Consideraciones adicionales
Vigas con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) (C.21.3.4)
C.21.3.4.1. El ancho del elemento, bw, no debe ser menor que 200 mm.
C.21.3.4.2. La excentricidad respecto a la columna que le da apoyo no puede ser mayor que el 25%
del ancho del apoyo medido en la dirección perpendicular a la dirección del eje longitudinal de la
viga.
C.21.3.4.3. En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe tener una cuantía,
ρmin, inferior la que se obtiene con la ecuación C.10-3, ni debe exceder 0,025. Debe haber al menos
dos barras continuas con diámetro igual o superior a Nº 4 (1/2”) ó 12M (12 mm), tanto arriba como
abajo.
C.21.3.4.4. La resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que un tercio
de la resistencia a momento negativo proporcionada en esa misma cara del nudo. La resistencia a
momento negativo o positivo, en cualquier sección a lo largo de la longitud del elemento, no debe
ser menor de un quinto de la resistencia máxima a momento proporcionada en la cara de cualquiera
de los nudos.
C.21.3.4.5. No se permiten empalmes por traslapo dentro de los nudos.
Diagramas de momento de resistencia
La resistencia de una viga es una función de su profundidad, d, ancho, b, y el área de acero, As. Es
una práctica común cortar las barras de acero donde ya no son necesarias para resistir los esfuerzos
de flexión. En vigas continuas de momento positivo las barras de acero pueden ser dobladas por lo
general a 45 °, para proporcionar un refuerzo a la tracción de los momentos negativos sobre el
soporte. La capacidad de momento nominal de una viga de hormigón sub-reforzado es:
2
yn sa
M A f d× = −
Donde
s
0,85
y
c
A fa
f´ b×
×=
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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La resistencia al momento último de una barra, Mnb es:
b bs y2
na
M A f d = × −
Donde
bsA es el área de la barra.
La intersección de las líneas de momento de resistencia con el diagrama de momentos de flexión
generado por cargas externas indica los puntos teóricos donde cada barra puede ser terminada.
Empalme de barras
¿Por qué necesitamos los empalmes de barras? Para tramos largos cuando los diámetros comerciales
no permiten cubrir estas distancias en un solo tramo.
Tipos de empalmes
• Empalmado y soldado (debe desarrollar 125% de la resistencia a la fluencia).
• Conectores mecánicos, (debe desarrollar 125% de la resistencia a la fluencia).
• Unión de empalmes.
Empalme de traslapo a tensión
Tipos de empalmes
• Empalme con contacto.
• Empalme sin contacto.
Distancia ≤ 150 mm.
Distancia ≤ Longitud del empalme.
La longitud de empalme es la distancia que las dos barras se superponen.
NRS-10
C.12.15 — Empalmes de alambres y barras corrugadas a tracción.
C.12.15.1 — La longitud mínima del empalme por traslapo en tracción debe ser la requerida
para empalmes por traslapo Clases A o B, pero no menor que 300 mm, donde:
Empalme por traslapo Clase A 1,0 dl
Empalme por traslapo Clase B 1,3 dl
Donde dl se calcula de acuerdo con C.12.2 para desarrollar fy, pero sin los 300 mm mínimos de
C.12.2.1 y sin el factor de modificación de C.12.2.5.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 200
C.12.15.2 — Los empalmes por traslapo de alambres y barras corrugadas sometidas a tracción deben
ser empalmes por traslapo Clase B, excepto que se admiten empalmes por traslapo de Clase A
cuando:
(a) el área de refuerzo proporcionada es al menos el doble que la requerido por análisis a
todo lo largo del empalme por traslapo y
(b) la mitad, o menos, del refuerzo total está empalmado dentro de la longitud de empalme por
traslapo requerido.
C.12.15.3 — Cuando se empalman por traslapo barras de diferente diámetro en tracción, la longitud
del empalme por traslapo debe ser el mayor valor entre el dl de la barra de mayor tamaño y el valor
de la longitud del empalme en tracción de la barra de diámetro menor.
C.12.15.4 — Los empalmes soldados o mecánicos utilizados donde el área de refuerzo
proporcionada es menor del doble de la requerida por el análisis, deben cumplir con los requisitos de
C.12.14.3.2 o de C.12.14.3.4.
C.12.15.5 — Los empalmes soldados o mecánicos que no cumplen con los requisitos de C.12.14.3.2
ó C.12.14.3.4 se permiten para barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm) o menores si cumplen con
C.12.15.5.1. a C.12.15.5.3:
C.12.15.5.1 — Los empalmes deben estar escalonados cuando menos 600 mm.
C.12.15.5.2 — Al calcular las fuerzas de tracción que pueden ser desarrolladas en cada sección, el
esfuerzo en el refuerzo empalmado debe tomarse como la resistencia especificada del empalme, pero
no mayor que fy. El esfuerzo en el refuerzo no empalmado debe tomarse como fy veces la relación
entre la menor longitud anclada más allá de la sección y dl , pero no mayor que fy.
C.12.15.5.3 — La fuerza de tracción total que puede ser desarrollada en cada sección debe ser de al
menos el doble que la requerida por el análisis, y al menos 140 MPa veces el área total del refuerzo
proporcionado.
C.12.15.6 — Los empalmes en elementos de amarre en tracción se deben hacer con un
empalme soldado o mecánico completo, de acuerdo con C.12.14.3.2 ó C.12.14.3.4, y los empalmes
en las barras adyacentes deben estar escalonados por lo menos a 750 mm.
C.12.16 — Empalmes de barras corrugadas a compresión
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 201
C.12.16.1 — La longitud de un empalme por traslapo en compresión debe ser de y0.071f bd , para
fy igual a 420 MPa o menor, o y(0.13f 24) bd− para fy mayor que 420 MPa, pero no debe ser menor
que 300 mm. Para f’c menor que 21 MPa, la longitud del empalme por traslapo debe incrementarse
en 1/3.
EJEMPLO 24
Para la viga simplemente apoyada mostrada en la figura. Determine la localización de los puntos de
corte de barras. No considerar el peso de la viga ni afectaciones por exposición a intemperie.
21
420y
cf´ MPa
f MPa
==
Diagrama de momentos.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 202
Determinar la ubicación del eje neutro para el momento máximo
( )2
1
0,850,85
4 510 420137
0,85 21 350
137161
0,85
1610,374 0,375 0,9
430
yy
ss c
c
A fA f f´ a b a
f´ b
mm MPaa mm
MPa mm
a mmc mm
c mm
d mm
β
φ
×× = × × ⇒ =×
× ×= =
× ×
= = =
= = ≤ → =
Determinar momento nominal máximo que resiste la viga.
( )6 0,1374 510 10 420000 0,43
2 2
309,73
yn s
n
aM A f d
M KN m
− = × − = × × × −
= −
Verificación capacidad viga
( )0,9 309,73 279 275u nM M KN m KN m KN m OKφ= = − = − ≥ − →
Determinar el momento último de una barra Nº8.
( )( )6 0,1370,9 510 10 420000 0,43
2 2
70
barra
barra
yu s
u
aM A f d KN m
M KN m
φ −× = − = × × − −
= −
Por lo tanto tenemos
Mu (1 barra) = 70 KN-m Mu (2 barras) = 139,5 KN-m
Mu (3 barras) = 209,25 KN-m Mu (4 barras) = 279 KN-m
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Determinar longitud de desarrollo
( )Para barras Nº
Determinación factores
Refuerzo colocado parte inferior viga sin más de 300mm de concreto.
Refuerzo sin recubrimie
6 (C.12.2.2)1,7
(C.12.2.4)
1,0
= 1,0
d t e
b
t
e
y
c
l f
d f´
ψ ψλ
ψψ
= ≥×
= →→ nto epóxico.
Por lo tanto
420 1,0 1,054
1,7 21
54 25 1350
d
b
d
l
d
l mm mm
× ×= =
= × =
Determinar punto en el diagrama de momentos correspondiente al momento aportado por 3Nº8.
• Extremo izquierdo
( ) ( )1,5 160
275 16057,5
2
M x Mo m x Mo
m
∴= + − =−= =
Ahora se iguala el momento que soportan 3 barrasN°8 con esta ecuación para saber a que distancia
se cortarían teóricamente las barras en el extremo izquierdo.
( ) ( )160 57,5 1,5
209,25 1601,5 2,36
57,5
M x x
x m
= + −−= + =
• Extremo derecho
( ) ( )275 57,5 3,5M x x= + −
Ahora se iguala el momento que soportan 3 barrasN°8 con esta ecuación para saber a que distancia
se cortarían teóricamente las barras en el extremo derecho.
( )209,25 275 57,5 3,5
209,25 2753,5 4,64
57,5
x
x m
= − −−= + =
−
Puntos de corte de la primera barra
La mayor entre d y 12db � 430al mm=
Extremo izquierdo � 2,36 0, 43 1,93m m m− =
Extremo derecho � 4, 64 0, 43 5, 07m m m+ =
5,07-1,93=3,14 esta es la longitud de la barra cortada y tiene que ser mayor que 2ld=2700 mm
por lo que cumple
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Determinar punto en el diagrama de momentos correspondiente al momento aportado por 2Nº8.
( ) ( )160 0
106,71,5
M x m x
m
=−= =
( ) ( )106,7M x x=
• Extremo izquierdo
( )139,35 106,7 1,31x x m= → =
• Extremo derecho
( )139,35 160 106,7 5,5 5,69x x m= − − → =
Puntos de corte de la segunda barra
Extremo izquierdo � 1,31 0, 43 0,88m m m− =
Extremo derecho � 5, 69 0, 43 6,12m m m+ =
Verificación corte de varillas consecutivas
2,36 0,88 1,48 1,35
6,12 4,64 1,48 1,35d d
d d
l l Cumple
l l Cumple
− ≥ ⇒ ≥ = →− ≥ ⇒ ≥ = →
Según el C.12.11.1 al menos 1/3 del refuerzo para el momento positivo en elementos simplemente
apoyados debe extenderse dentro del apoyo. Por lo tanto no se pueden efectuar más cortes, las
restantes 2Nº8 deben llevarse a los apoyos.
Verificación empotramiento de los apoyos
1,3 1,3 139,350 1,69 (C.12.11.3)
107,5d a
n
u
Ml l
V
× ×≤ + ⇒ + =
Lo anterior se cumple
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 205
18. LOSAS
Clasificación
Sistemas de soporte a cargas verticales
• Placa plana
• Losa plana (con ábacos y/o capiteles)
• Losa aligerada armada en una dirección
• Losa aligerada armada en dos direcciones
Un sistema de losas puede tener pórticos cargueros y/o pórticos sísmicos.
Comportamiento
• Losa en una dirección
Figura 131
Principio de franja unitaria
Se asume que una franja unitaria cortada de tal forma que forme ángulos rectos con las vigas de
apoyo, puede ser considerada como una viga rectangular de ancho unitario con altura h igual al
espesor de la losa y una luz lx. Esta simplificación en la cual se toma una franja unitaria se debe
apoyar en la suposición una relación de Poisson igual a cero.
Figura 132
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 206
• Losa en dos direcciones
Principio de compatibilidad de deformaciones:
4 45 5;
384 384
l s
s s l ll s s l
w l w l
EI EI
δ δ
δ δ δ δ δ
=
× × × ×= = ⇒ = =× ×
4 44 4
4 4 4 4
4
4 4
s l total
s l s ls s l
s l s l total s l
l s
total s l
w w w
w l w lw l w l
w w l l w l l
w l
w l l
+ =
× = × ⇒ = ⇒ =+ + +
=+
Suponer:
4 4
4 4 4 4
1 11
2 2l s l l s
s total l l total s s
l w l w l
l w l l w l l= ⇒ = = ⇒ = =
+ +
4 4
4 4 4 4
16 16 12
16 17 16 17l s s l s
s total s s total s s
l w l w l
l w l l w l l= ⇒ = = ⇒ = =
+ +
Es importante resaltar sí 2l sl l > , es mejor tomar la losa con un comportamiento en una sola
dirección. La relación entre luces es lo que define si el comportamiento es en una o dos
direcciones.
Figura 133
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19. LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN
Conceptos generales
Alternancia de cargas
Debido a la naturaleza variable de la carga viva, en algunos casos cuando la carga viva es
considerable en magnitud con respecto a la carga muerta, es necesario hacer un análisis de alternancia
de cargas. Es posible realizar este análisis utilizando líneas de influencia.
Figura 134
Formación de rotulas plásticas Las viguetas no forman parte del sistema de resistencia sísmica de la edificación. La vigueta debe
diseñarse para estas consideraciones, pero a la vez debe controlar fisuramiento en la unión viga-
vigueta, en las condiciones de servicio, es decir, la vigueta debe comportarse como simplemente
apoyada pero con cierto momento para evitar la fisuramiento, el cual de llegarse a presentar puede
resultar muy costoso si afecta pisos y acabados.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 208
Diseño losas en una dirección (C.13.1.6)
Una losa se considera que trabaja en una dirección cuando se cumple una de las siguientes
condiciones:
• Cuando tiene dos bordes libres, sin apoyo vertical, y tiene vigas o muros, en los otros dos bordes
opuestos aproximadamente paralelos. C.13.1.6.1.
• Cuando el panel de losa tiene forma aproximadamente rectangular con apoyo vertical en sus
cuatro lados, con una relación de la luz larga a la luz corta mayor que 2. C.13.1.6.2.
• Cuando una losa nervada tiene sus nervios principalmente en una dirección. C.13.1.6.3.
Dimensionamiento
Para determinar el espesor de una losa armada en una dirección se puede efectuar un análisis de
deflexiones o utilizar los valores dados en la tabla C.9.5(a).
TABLA C.9.5(a) – Alturas o espesores mínimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una dirección a menos que se calculen las deflexiones
Espesor mínimo, h
Simplemente apoyados
Con un extremo continuo
Ambos extremos continuos
En voladizo
Elementos Elementos que NO soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de
elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes
Losas macizas en una dirección
�20 �24
�28 �10
Vigas o losas nervadas en una dirección
�16 �18.5
�21 �8
NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue: (c) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los
valores de la tabla deben multiplicarse por (1.65-0.0003wc), pero no menos de 1.09. (d) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0.4 + fy/700)
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Determinación cargas de diseño
• Las cargas de los elementos no estructurales se deben obtener con base a lo planteado en el título
B de la NSR-10.
• Se deben realizar análisis completos usando las densidades, volúmenes y pesos de los elementos
no estructurales.
• Realizar análisis por cargas mínimas.
• Seleccionar las cargas vivas según el tipo de uso u ocupación (tabla B.4.2.1-1) recordando que
estos valores son las cargas vivas mínimas. En bodegas es usual y recomendado tomar como
carga muerta adicional el 25% de la carga viva.
Refuerzo longitudinal de la losa C.13.3
• El área de refuerzo en cada dirección para sistemas de losas en dos direcciones debe determinarse
a partir de los momentos en las secciones críticas, pero no debe ser menor que la requerida en
C.7.12.2.1. C.13.3.1.
• El espaciamiento del refuerzo en las secciones críticas no debe exceder de 2 veces el espesor de
la losa, excepto para aquellas porciones de la superficie de la losa nervadas o celulares. El
refuerzo de la losa localizado sobre los espacios celulares debe colocarse como se requiere en
C.7.12. C.13.3.2.
• El refuerzo para momento positivo perpendicular a un borde discontinuo debe prolongarse hasta
el borde de la losa y tener una longitud embebida recta o en gancho, de por lo menos 150 mm en
las vigas, muros o columnas perimetrales. C.13.3.3
• El refuerzo para momento negativo perpendicular a un borde discontinuo debe doblarse, formar
ganchos o anclarse en las vigas, muros o columnas perimetrales, para que desarrolle su capacidad
a tracción en la cara del apoyo, de acuerdo con las disposiciones del Capítulo C.12. C.13.3.4
• Cuando la losa no esté apoyada en una viga perimetral o muro en un borde discontinuo, o cuando
la losa se proyecte en voladizo más allá del apoyo, se permite el anclaje del refuerzo dentro de
la losa. C.13.3.5
• En muros y losas excepto las nervadas la separación del refuerzo principal por flexión no debe
ser mayor a 3 veces el espesor del muro o losa ni menor que 450mm C.7.6.5
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 210
Refuerzo por temperatura C.7.12
El refuerzo por contracción y temperatura debe colocarse debido a efectos de retracción que se
generan a medida que la pasta de cemento se endurece provocando esfuerzos de tracción en el
concreto de la losa, estos esfuerzos son conocidos como esfuerzos de retracción que generan
fisuramiento en el concreto.
• En losas estructurales donde el refuerzo a flexión se extiende en una sola dirección, se debe
colocar refuerzo normal al refuerzo a flexión para resistir los esfuerzos debidos a retracción y
temperatura. C.7.12.1
• El refuerzo de retracción y temperatura debe proveerse de acuerdo con C.7.12.2 ó C.7.12.3.
C.7.12.1.1
• Cuando los movimientos por retracción y temperatura están restringidos de manera significativa,
deben considerarse los requisitos de C.8.2.4 y C.9.2.3. C.7.12.1.2
• El refuerzo corrugado, que cumpla con C.3.5.3, empleado como refuerzo de retracción y
temperatura debe colocarse de acuerdo con lo siguiente C.7.12.2:
• La cuantía de refuerzo de retracción y temperatura debe ser al menos igual a los valores dados a
continuación, pero no menos que 0.0014 C.7.12.2.1:
(a) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 280 o 350 = 0.0020
(b) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 420 o refuerzo electrosoldado de
alambre=0.0018
(c) En losas donde se utilice refuerzo de una resistencia a la fluencia mayor que 420 MPa, medida
a una deformación unitaria de 0.35 por ciento 0.0018 x420/fy
• El refuerzo de retracción y temperatura no debe colocarse con una separación mayor de 5 veces
el espesor de la losa ni de 450 mm. C.7.12.2.2
• En todas las secciones donde se requiera, el refuerzo por retracción y temperatura debe ser capaz
de desarrollar fy en tracción de acuerdo con el Capítulo C.12. C.7.12.2.3
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 211
Requisitos adicionales - Protección del refuerzo C.7.7
• Recubrimiento de refuerzo si la losa esta contra el suelo o a la intemperie debe ser como mínimo
75mm C.7.7.1.
• Si las barras del refuerzo son menores que la número 11 el recubrimiento debe ser como mínimo
20 mm.
• Para barras mayores que numero 11 el recubrimiento debe ser como mínimo 40 mm.
• El corte del refuerzo en losas y viguetas se realiza igual al de una viga que no forma parte del
sistema de resistencia sísmica de la edificación.
Losas armadas en una dirección
• Losas macizas: estas losas se usan en el diseño de escaleras o en entrepisos y cubiertas
correspondientes a luces muy pequeñas, ya que en luces considerables se generan altos costos,
otro aspecto es que aumentan en forma considerable la masa de la estructura. También son muy
usadas para ubicar cargas concentradas como tanques de almacenamiento de agua potable. Para
el análisis y diseño de este tipo de losas se usa el método de franja unitaria, en el cual se toma
una franja de la losa como una viga y se diseña a flexión, siendo una viga de poco peralte con un
ancho b, para el diseño supuesto unitario, de espesor h y altura efectiva d. En la norma NSR-10
en el titulo E.5 se proporcionan procedimientos simplificados para el dimensionamiento y
cálculo de este tipo de losas.
• Losas aligeradas: logran reducción de la masa del entrepiso suprimiendo parte del concreto con
ayuda de elementos de menor peso. Si la losa aligerada lleva loseta inferior debe cumplir con las
disposiciones de la NSR-10 y como mínimo se debe reforzar con alambrón cada 300 mm en
ambas direcciones o con malla de gallinero con ojo de 25 mm y tener un espesor mínimo de 20
mm y máximo de 30 mm. E.5.1.5. La placa superior debe cumplir con los requerimientos de la
NSR-10 y se puede diseñar a flexión y cortante asumiendo que la loseta es una viga doblemente
empotrada con una luz libre igual al ancho del aligeramiento.
Dimensionamiento de viguetas
• Los nervios principales y los nervios transversales o riostras, de losas nervadas en una dirección,
no pueden tenerse en cuenta para efectos de rigidez ante fuerzas horizontales del sistema de
resistencia sísmica. El elemento, paralelo a la viguetería, que enlaza las columnas, debe cumplir
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 212
los requisitos para vigas dados en el Capítulo C.21 y su rigidez puede tenerse en cuenta en el
análisis ante cargas horizontales.
• El ancho de las nervaduras no debe ser menor de 100 mm en su parte superior y su ancho
promedio no puede ser menor de 80 mm; y debe tener una altura no mayor de 5 veces su ancho
promedio. C.8.13.2.
• Para losas nervadas en una dirección, la separación máxima entre nervios, medida centro a
centro, no puede ser mayor que 2.5 veces el espesor total de la losa, sin exceder 1.20 m. Para
losas nervadas en dos direcciones, la separación máxima entre nervios, medida centro a centro,
no puede ser mayor que 3.5 veces el espesor total de la losa, sin exceder 1.50 m. C.8.13.3
• Cuando se trate de losas nervadas en una dirección, deben colocarse viguetas transversales de
repartición con una separación libre máxima de 10 veces el espesor total de la losa, sin exceder
4.0 m. C.8.13.3.1
• Estas viguetas transversales de repartición deben diseñarse, a flexión y a cortante, de tal manera
que sean capaces de transportar la carga total (muerta más viva) de cada nervio a los dos nervios
adyacentes. C.8.13.3.2
• En el diseño de los elementos donde se apoyen estas viguetas transversales de repartición debe
considerarse el efecto de la carga que puedan transportar considerando una carga aferente
equivalente al doble de la carga total que lleva un nervio típico principal. C.8.13.3.3
• Las losas nervadas que no cumplan con las limitaciones de C.8.13.1 a C.8.13.3, deben diseñarse
como losas y vigas. C.8.13.4
• Cuando se empleen aligeramientos fabricados con arcilla cocida u concreto que tengan una
resistencia unitaria a la compresión por lo menos igual al f’c de las viguetas: C.8.13.5
• Se permite incluir la pared vertical del elemento de aligeramiento que está en contacto con la
vigueta en los cálculos de resistencia al cortante y momento negativo. Ninguna otra parte de los
aligeramientos debe incluirse en los cálculos de resistencia. C.8.13.5.1.
• La porción vaciada en sitio de la loseta superior debe tener al menos 45 mm de espesor, pero ésta
no debe ser menor de 1/20 de la distancia libre entre los nervios. El espesor de la losa de concreto
vaciada en sitio sobre aligeramientos permanentes de concreto, de arcilla cocida, o plaquetas
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 213
prefabricadas, la parte vaciada en sitio del espesor mínimo de la loseta superior puede reducirse
a 40 mm. C.8.13.5.2
• Cuando se utilicen encofrados o aligeramientos removibles que no cumplan con C.8.13.5: El
espesor de la losa no debe ser menor que 1/12 de la distancia libre entre las nervaduras, ni menor
de 50 mm. C.8.13.6.1
• La losa debe llevar refuerzo perpendicular a las viguetas que cumpla lo requerido por flexión,
considerando las concentraciones de carga, si las hay, pero no menor que el que se estipula en
C.7.12. C.8.13.6.2
• Cuando en la losa se coloquen ductos o tuberías embebidas según lo permitido en C.6.3, el
espesor en cualquier punto de ésta debe ser al menos 25 mm mayor que la altura total del ducto
o tubería. Tales ductos o tuberías no deben afectar significativamente la resistencia del sistema.
C.8.13.7.
Análisis para losas en una dirección
• Se permite diseñar un sistema de losas mediante cualquier procedimiento que satisfaga las
condiciones de equilibrio y compatibilidad geométrica, si se demuestra que la resistencia de
diseño en cada sección es por lo menos igual a la resistencia requerida en C.9.2 y C.9.3, y se
cumplen todas las condiciones de funcionamiento incluyendo los límites especificados para las
deflexiones. C.13.5.1
• El diseño para cargas gravitacionales de sistema de losas, incluyendo la losa y las vigas (cuando
las hay) entre apoyos, y las columnas de apoyo o muros que formen pórticos ortogonales, se
puede hacer mediante el Método de diseño directo de C.13.6 o el Método del Pórtico Equivalente
de C.13.7. C.13.5.1.1
• La losa y las vigas (si las hay) entre los apoyos deben diseñarse para los momentos mayorados
dominantes en cada sección.C.13.5.2
• Cuando la carga gravitacional, viento, sismo u otras fuerzas laterales causen transferencia de
momento entre la losa y la columna, una fracción del momento no balanceado debe ser
transferida por flexión, de acuerdo con C.13.5.3.2 y C.13.5.3.3. C.13.5.3
• El diseño para la transmisión de carga desde la losa a los muros y columnas de apoyo por medio
de cortante y torsión debe estar de acuerdo con el Capítulo C.11. C.13.5.4.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 214
Análisis aproximado para losas en una dirección C.13.5.5
• Las losas que trabajan en una dirección, macizas o aligeradas, construidas monolíticamente con
sus apoyos, pueden analizarse como losas continuas sobre apoyos simples, con luces iguales a
las luces libres de la losa y despreciando el ancho de las vigas y su efecto torsional. C.13.5.5.1
• En lugar de un análisis detallado, en las losas en una dirección pueden utilizarse los siguientes
momentos y cortantes aproximados en lugar de un método más exacto de análisis, siempre y
cuando se cumplan los siguientes requisitos: C.13.5.5.3
(a) Haya dos o más vanos,
(b) Los vanos son aproximadamente iguales, sin que el mayor de los vanos adyacentes exceda
en más de 20 por ciento al menor,
(c) Las cargas estén uniformemente distribuidas,
(d) La carga viva no mayorada L no exceda en 3 veces la carga muerta no mayorada D,
(e) Los elementos sean prismáticos.
Metodología de los coeficientes de cortante y momento de acuerdo a la ACI
2( )u m u nM C W l=
2u n
u v
W lV C
=
uW Carga viva y muerta total mayorada por unidad de longitud
mC Coeficiente de momento
vC Coeficiente de cortante
nl Longitud del tramo abierto para el tramo en cuestión para - uM en la cara interior del
soporte exterior, + uM y uV
nl Promedio de la longitud tramo abierto para tramos adyacentes para - uM en los soportes
interiores.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 215
Para el cálculo de los momentos negativos, ln se toma como el promedio de las luces libres de
los vanos adyacentes.
Momento positivo Vanos extremos
El extremo discontinuo no está restringido…....................................................................... 2u nw /11l
El extremo discontinuo es monolítico con el apoyo…....................................................... 2u nw / 14l
Vanos interiores.........................................................................................................................2
u nw / 16l
Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior
Dos vanos..................................................................................................................................... 2u nw / 9l
Más de dos vanos.......................................................................................................................2
u nw / 10l
Momento negativo en las demás caras de apoyos interiores..................................................... 2
u nw /11l
Momento negativo en la cara de todos los apoyos para: Losas con luces que no excedan de 3 m, y vigas en las cuales la relación entre la suma de las rigideces de las columnas y la rigidez de la viga, exceda de 8 en cada extremo del vano. ...........................................................................................................................................
2u nw / 12l
Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores para los elementos construidos monolíticamente con sus apoyos
Cuando el apoyo es una viga de borde.. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2u nw / 24l
Cuando el apoyo es una columna............................................................................................. 2u nw / 16l
Cortante en elementos extremos en la cara del primer apoyo interior................................u n1.15w / 2l
Cortante en la cara de todos los demás apoyos .........................................................................
u nw / 2l
EJEMPLO 25
Determinar los momentos de diseño de una losa de entrepiso que se va a construir para una vivienda
de uso residencial con particiones en mampostería, la losa se encuentra apoyada sobre muros de
mampostería con un espesor de 150 mm, estos muros se encuentran separados entre sí 3200 mm,
f´c= 21MPa y fy= 420MPa.
Dimensionamiento losa
del tipo de vigueta más crítico (C.9.5(a))3200
= = 0, 216
mmh m
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 216
Se usará una losa aligerada de 200 mm de espesor con aligeramiento en ladrillos de arcilla huecos de
150 200 400× × mm, peso promedio de cada ladrillo es 10 kg y una placa superior con un espesor
de 50 mm.
Verificación del espesor y separación de las viguetas C.8.13.2 y C.8.13.3
200 5 100 500h mm mm mm= ≤ × =
100 100
500 2,5 2,5 200 500
500 1200
b mm mm
s mm h mm mm
s mm mm
= ≥= ≤ × = × == ≤
Verificación del espesor de la placa superior C.8.13.5.2
50 40
40050 20
20 20l
t mm mm
s mmt mm = mm
= ≥
= ≥ =
Determinación de las cargas
Elementos no estructurales tabla B.3.4.3-1. Cuando la altura de entrepiso es igual o inferior a 3 m y
la losa tiene un uso residencial las cargas son:
2 2Muros Pisos=3 =1,6 KN m KN m
2
2
2
2
Peso losa: peso loseta + peso vigueta + pesoladrillos
Peso loseta
Peso vigueta
Peso ladrillos
Peso losa
= 0,05×24= 0,12
= 0,1×0,15×24/0,5=0,072 ;
= 2×5×0,1=1 ;
= 0,12+0,072+1 = 1,192
KN m
KN m
KN m
KN m
2
2
Carga viva (Tabla B.4.2.1-1)
Carga última,
= 1,8
= 1,2×(3+1,6+1,192)+1,6×1,8 = 9,8 u
KN m
W KN m
Con una separación de 500 mm la carga linealmente distribuida sobre las viguetas es:
u 0,5 4,9 -W KN m× =
Momento máximo negativo en los extremos apoyados en los muros C.13.5.5.3
2×= =2,1 -
24
W lM KN m
Momento máximo positivo 2×
= =6,3 -8
W lM KN m
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 217
EJEMPLO 26
Diseñar la losa armada en una dirección de la planta estructural mostrada en la figura 5 sobre la cual
actúa una carga viva en los balcones de 5 KN/m2 y en los interiores de 1,8 KN/m2, las columnas están
dimensionadas con una sección cuadrada de 250 mm, la estructura se encuentra ubicada en una zona
de amenaza sísmica intermedia y por ser un sistema de entrepiso no presenta exposición ambiental.
f´c= 21MPa y fy= 420MPa.
Nota: Longitud máxima de barras 9 m.
El espesor de la losa está dado por los valores de la tabla C.9.5-(a) de la NSR-10.
h = (4,05-0,25)/18,5 = 205,4 mm, el espesor de la losa se tomará de 250 mm.
Características de la losa
• Ladrillo de (200 x 200 x 400) mm.
• Viguetas de 100 x 250 mm separadas cada 500 mm desde ejes.
• Placa superior de 50 mm con varillas N° 2 cada 300 mm.
Verificación del espesor y separación de las viguetas C.8.13.2 y C.8.13.3
250 5 100 500 h mm mm mm= ≤ × =
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 218
100 100
500 2,5 =2,5 250 625
500 1200
b mm mm
s mm h mm mm
s mm mm
= ≥= ≤ × × == ≤
Verificación del espesor de la placa superior C.8.13.5.2
50 40
400 50 = 20
20 20l
t mm mm
s mmt mm mm
= ≥
= ≥ =
Distribución de viguetas
Cargas sobre las viguetas
Carga muerta
Viguetas: en cada m2 de losa caben 2 viguetas.
3 2 2
21 0,1 0,2 24 0,96
1
KN KNWvigueta m m m
m m m = × × × × =
27,76
KN
m
Ladrillo: el ladrillo usado pesa 10 Kg y caben 10 ladrillos por m2.
2
2 2
10 1010 1,00
1
mKg Vol KNsWladrillo
Vol m m
× = × × =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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Placa superior: se usa concreto reforzado.
3 20,05 24 1,20
KN KNWplaca m
m m= × =
Se toma una carga de 3,00 KN/m2 para muros y 1,60 KN/m2 para pisos asumiendo altura entrepiso menor de 3 metros.
Carga viva Tabla B.4.2.2-1. NSR-10 (uso residencial)
Balcones. 25
KN
m
Interiores. 21,8
KN
m
Carga última balcón. 2 2 21,2 7,76 1,6 5 17,31
KN KN KNWub
m m m= × + × =
Carga última interior. 2 2 21,2 7,76 1,6 1,8 12,19
KN KN KNWui
m m m= × + × =
Carga por vigueta; están separadas cada 0,5 m desde ejes.
Balcón
17,31 0,5 8,66KN
Wubm
= × =
Interior
12,19 0,5 6,096KN
Wuim
= × =
Vigueta tipo I
Alternancia de cargas vivas C.8.11.2
a. Carga muerta y carga viva mayoradas en todos los vanos.
b. Carga muerta mayorada en todos los vanos con la carga viva mayorada en dos vanos adyacentes.
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c. Carga muerta mayorada en todos los vanos con la carga viva mayorada en vanos alternados.
Diseño del refuerzo a flexión
Vigueta ICaso M(KN-m) + M(KN-m) -
a 5,9 8,65,5 7,44,9 9,05,7 9,24,9 6,96,8 7,5
Momentos máximos
b
c
2
2
2 2min
91
125
0,0033 100 210 70
As mm
As mm
As mm mm mm
+
−
==
= × × =
Utilizar 1 varilla N° 4 2129As mm= para momento positivo.
Utilizar 1 varilla N° 4 2129As mm= para momento negativo.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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Verificación longitud de desarrollo para viguetas C.7.13.2.1
En la construcción con viguetas, como se define en C.8.13.1 a C.8.13.3, al menos una barra de la
parte inferior debe ser continua o debe empalmarse por traslapo con un empalme por traslapo de
tracción Clase B, o un empalme mecánico o soldado que cumpla con C.12.14.3, y en los apoyos no
continuos debe ser anclado para desarrollar fy en la cara del apoyo usando un gancho estándar que
cumpla con C.12.5 o una barra corrugada con cabeza que cumpla con C.12.6.
• Longitud de desarrollo
( )Para barras Nº 6 (C.12.2.2)2,1
420 1 112,7 555
2,1 1 21
t ed b
d
y
c
fl d
f´
l mm
ψ ψλ
= ≤ ×
× ×= × =× ×
• Empalme por traslapo Clase B (C.12.15.1)→1,3dl
Traslapo 1,3 555 721,5mm mm× =
Diseño de refuerzo de fisuramiento
Para evitar fisuraciones en los apoyos discontinuos se coloca un refuerzo calculado a partir de un
momento para una viga simplemente apoyada con una carga distribuida.
• Apoyo izquierdo
( )22 8,66 1
0, 424 24
KNmWu l mMu KN m
××= = = −
26As mm=
Utilizar 1 varilla N° 2 232As mm=
Longitud de desarrollo
420 1 16,4 280
2,1 1 21dl mm
× ×= × =× ×
Longitud de desarrollo básica para barras enganchadas
edh
dh
y
c
0,24ψ f 0,24 1 4206,4 141 8 52
λ f´ 1 21
141 150
bl d mm d mm
l mm mm
× × = = × = ≥ = ×
= ≥
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Utilizar dh 150l mm=
• Apoyo derecho
( )22 8,66 3
3, 2524 24
KNmWu l mMu KN m
××= = = −
241As mm=
Utilizar 1 varilla N° 3 271As mm=
Longitud de desarrollo
420 1 19,5 415
2,1 1 21dl mm
× ×= × =× ×
Longitud de desarrollo básica para barras enganchadas
edh
dh
y
c
0,24ψ f 0,24 1 4209,5 209 8 76
λ f´ 1 21
209 150
bl d mm d mm
l mm mm
× × = = × = ≥ = ×
= ≥
Nota: Utilizar multiplicadores cuando sea necesario.
Puntos(m) M(KN-m)+ M(KN-m)- As(mm 2)+ Varillas As(mm2)- Varillas As (fis.)
0 0 Anclaje 1 N° 2
Sección
crítica
6,8 91 1N° 4
9,2 125 1N°4
10,7 0 Anclaje 1 N° 3
Cortante
Estribos de 3/8” cada 105 mm, en la luz del extremo de 1 m se coloca en toda la longitud.
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Vigueta tipo II
Puntos(m) M(KN-m)+ M(KN-m)- As(mm 2)+ Varillas As(mm2)- Varillas As (fis.)
0 0 Anclaje 1 N° 2
Sección
crítica
4,5 59 1N° 4
6,3 84 1N°4
10,7 0 Anclaje 1 N° 3
Cortante
Estribos de 3/8” cada 105 mm, en la luz del extremo de 1 m se coloca en toda la longitud.
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Vigueta tipo III
Puntos(m) M(KN-m)+ As(mm2)+ Varillas As (mm2) (fis.) Varillas
0 0 Anclaje 29 1 N° 2
Sección
crítica 6,9 92 1N° 4
3 0 Anclaje 29 1 N° 2
Cortante
Estribos de 3/8” cada 105 mm
Vigueta tipo IV
Puntos(m) M(KN-m)+ M(KN-m)- As(mm 2)+ Varillas As(mm2)- Varillas As (fis.)
0 0 Anclaje 1 N° 2
Sección
crítica
5,6 74 1N° 4
7,1 95 1N°4
4,4 0 Anclaje 1 N° 3
Cortante
Estribos de 3/8” cada 105 mm, en la luz del extremo de 1 m se coloca en toda la longitud.
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Vigueta tipo V
Puntos(m) M(KN-m)+ M(KN-m)- As(mm 2)+ Varillas As(mm2)- Varillas As (fis.)
0 0 Anclaje 1 N° 2
Sección
crítica
3,8 42 1N° 4
5,2 69 1N°4
6,15 0 Anclaje 1 N° 2
Cortante
Estribos de 3/8” cada 105 mm, en la luz del extremo de 1 m se ponen en toda la longitud.
Desarrollo de barras para As-: las barras deben tener una longitud embebida más allá del punto de
inflexión, no menor que d , 12db ó ln/16 , la que sea mayor.(C.12.12.3). Las fuerzas de cortantes
críticas se obtienen en las secciones críticas a cortante. Las viguetas no hacen parte del sistema de
resistencia sísmica, el espaciamiento se compara con d/2= (210 mm)/2= 105 mm en toda la longitud.
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20. LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES
Comparación del comportamiento de los sistemas de losas en una y dos direcciones
• Las losas en una dirección llevan la carga en una dirección.
• Las losas en dos direcciones llevan la carga en dos direcciones.
Figura 135
• Las losas en una y dos direcciones llevan la carga en dos direcciones.
Figura 136
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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• Las losas en una dirección poseen una relación de: lado largo/lado corto > 2,0
Figura 137
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Figura 138
• La luz óptima para un sistema de losa maciza unidireccional sobre vigas es de 3 m a 5 m.
Se puede utilizar para luces mayores con costos relativamente más altos y mayores deflexiones.
• La luz óptima para un sistema de losa aligerada unidireccional es de 5 m a 8 m.
El encofrado es relativamente costoso
sw Carga tomada por la dirección corta
lw Carga tomada por la dirección larga
A Bδ δ=
EI
Bw
EI
Aw
384
5
384
5 4l
4s =
4s
s l4l
Para B 2A 16w B
w ww A
= = ⇒ =
Para B / A> 2, diseñar como losa unidireccional
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 229
Figura 139
Diseño de losas en dos direcciones
Equilibrio estático para losas en dos direcciones
Figura 140
Analogía de la losa bidireccional para planchas y vigas de piso
Sección A-A
Momento por unidad de ancho de longitud en las planchas
21
8
wlM⇒ =
Momento total
( )22
f 1 8
lM wl⇒ =
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Carga uniforme para cada viga
1
2
wl⇒
Sección B-B
Momento en una viga
21 2
lb 2 8
wl lM
⇒ =
Momento total en ambas vigas
( )22
1 8
lM wl⇒ =
La carga completa se trasladó de Este a Oeste por las planchas y luego fue trasladado de Norte a
Sur por las vigas; lo mismo es verdad para una losa bidireccional o cualquier otro sistema de piso.
Conceptos generales de diseño
Método directo de diseño
Limitado a los sistemas de losa para cargas uniformemente distribuidas y apoyadas sobre columnas
equidistantes. El método utiliza un conjunto de coeficientes para determinar el momento del diseño
en las secciones críticas. El sistema de losa bidireccional que no cumpla con las limitaciones de la
NSR-10 debe ser analizado siguiendo procedimientos más precisos.
Método del pórtico equivalente
Un edificio de tres dimensiones se divide en una serie de dos dimensiones de pórticos equivalentes
por el corte de la construcción a lo largo de las líneas a mitad de la luz entre las columnas. Los
pórticos resultantes se consideran por separado en las direcciones longitudinales y transversales del
edificio y son tratados planta por planta.
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Figura 141. Sección equivalente longitudinal y transversal
Figura 142. Elevación del pórtico
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Figura 143. Vista en perspectiva
Métodos de análisis
Análisis elástico
La losa de hormigón puede ser tratada como una placa elástica. Se puede utilizar el método de
Timoshenko para analizar la estructura. Análisis de elementos finitos.
Análisis plástico
El método por rendimiento utilizado para determinar el estado límite de la losa considerando líneas
de influencia.
El método de bandas, donde la losa se divide en franjas y la carga sobre la losa se distribuye en dos
direcciones ortogonales y las bandas se analizan como vigas.
El análisis óptimo presenta métodos para minimizar el refuerzo basado en el análisis plástico.
Análisis no lineal
Simula la verdadera carga-deformación característica de una losa de hormigón armado con el método
de elementos finitos que toma en consideración la no linealidad de la relación esfuerzo-deformación
de los miembros individuales.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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Columnas y bandas intermedias
La losa se descompone en columna y bandas intermedias para el análisis.
Figura 144
Espesor de losa mínimo para el diseño de losas bidireccionales (NSR-10)
C.9.5.3 — Elementos reforzados en dos direcciones (no preesforzados)
C.9.5.3.1 — Debe emplearse la sección C.9.5.3 para definir el espesor mínimo de
losas u otros elementos reforzados en dos direcciones diseñados de acuerdo con las
disposiciones del Capítulo C.13 y que se ajusten a los requisitos de C.13.6.1.2. El espesor de
las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los apoyos en todos sentidos debe satisfacer
los requisitos de C.9.5.3.2 ó C.9.5.3.4. El espesor de las losas con vigas que se extiendan entre
los apoyos en todos sentidos debe satisfacer los requisitos de una de C.9.5.3.3 ó C.9.5.3.4.
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TABLA C.9.5 (b) — Deflexión máxima admisible calculada
Tipo de elemento Deflexión considerada Límite de deflexión Cubiertas planas que no soporten ni estén
ligadas a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.
Deflexión inmediata debida a la carga viva, L l/180*
Entrepisos que no soporten ni estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.
Deflexión inmediata debida a la carga viva, L l/360
Sistema de entrepiso o cubierta que soporte o esté ligado a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.
La parte de la deflexión total que ocurre después de la unión de los elementos no estructurales (la suma de la deflexión a largo plazo debida a todas las cargas permanentes, y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional)†
l/480‡
Sistema de entrepiso o cubierta que soporte o esté ligado a elementos no estructurales no susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.
l/240§
* Este límite no tiene por objeto constituirse en un resguardo contra el empozamiento de aguas. Este último se debe verificar mediante cálculos de deflexiones adecuados, incluyendo las deflexiones debidas al agua estancada, y considerando los efectos a largo plazo de todas las cargas permanentes, la contraflecha, las tolerancias de construcción y la confiabilidad en las medidas tomadas para el drenaje. † Las deflexiones a largo plazo deben determinarse de acuerdo con C.9.5.2.5 ó C.9.5.4.3, pero se pueden reducir en la cantidad de deflexión calculada que ocurra antes de unir los elementos no estructurales. Esta cantidad se determina basándose en datos de ingeniería aceptables correspondiente a las característica tiempo-deflexión de elementos similares a los que se están considerando. ‡ Este límite se puede exceder si se toman medidas adecuadas para prevenir daños en elementos apoyados o unidos. § Pero no mayor que la tolerancia establecida para los elementos no estructurales. Este límite se puede exceder si se proporciona una contraflecha de modo que la deflexión total menos la contraflecha no exceda dicho límite.
C.9.5.3.2 — El espesor mínimo de las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los
apoyos y que tienen una relación entre lados no mayor que 2, debe cumplir con lo requerido en
la tabla C.9.5(c) y no debe ser inferior que los siguientes valores:
(a) Losas sin ábacos como se definen en C.13.2.5125 mm
(b) Losas con ábacos como se definen en C.13.2.5100 mm
C.9.5.3.3 — El espesor mínimo h para losas con vigas que se extienden entre los apoyos en
todos los lados debe ser:
(a) Para αfm igual o menor que 0.2, se aplican las disposiciones de C.9.5.3.2.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
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(b) Para αfm mayor que 0.2 pero no mayor que 2.0, h no debe ser menor que:
(C.9-12)
Pero no menor que 125 mm.
(c) Para αfm mayor que 2.0, h no debe ser menor que:
yn
f0.8
1400h
36 9
+
=+ β
l
(C.9-13)
Y no menor que 90 mm.
(d) En bordes discontinuos debe disponerse una viga de borde que tenga una relación de rigidez
αf no menor de 0.80, o bien aumentar el espesor mínimo requerido por las ecuaciones (C.9-
12) ó (C.9-13), por lo menos un 10 por ciento en el panel que tenga un borde discontinuo.
TABLA C.9.5(c) - Espesores mínimos de losas sin vigas interiores*
fy ,
MPa †
Sin ábacos ‡ Con ábacos ‡
Paneles exteriores
Paneles interiores
Paneles exteriores
Paneles interiores
Sin vigas
de borde
Con vigas de borde§
Sin
vigas de borde
Con vigas de borde§
280 n
3 3l
n
3 6l
n
3 6l
n
3 6l
n
40l
n
40l
420 n
3 0l
n
3 3l
n
3 3l
n
3 3l
n
3 6l
n
3 6l
520 n
2 8l
n
31l
n
31l
n
31l
n
3 4l
n
3 4l
* Para construcción en dos direcciones,ln, es la luz libre en la dirección larga, medida entre caras de los apoyos en losas sin vigas y entre caras de las vigas, para losas con vigas u otros apoyos en otros casos. †Para fy entre los valores dados en la tabla, el espesor mínimo debe obtenerse por interpolación lineal. ‡ Ábaco, como se define en C.13.2.5.
( )
yn
fm
f0.8
1400h
36 5 0.2
+
=+ β α −
l
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 236
§ Losas con vigas entre las columnas a lo largo de los bordes exteriores. El valor de αf para la viga de borde no debe ser menor que 0.8.
El término ln en (b) y (c) corresponde a la luz libre en la dirección larga medida cara a cara de
las vigas. El término ᵦ en (b) y (c) corresponde a la relación de la luz libre en la dirección larga a
la luz libre en la dirección corta de la losa.
C.9.5.3.4 — Puede utilizarse espesores de losas menores que los mínimos requeridos en
C.9.5.3.1, C.9.5.3.2 y C.9.5.3.3 cuando las deflexiones calculadas no exceden los límites
de la tabla C.9.5(b). Las deflexiones deben calcularse tomando en cuenta el tamaño y la forma
del panel, las condiciones de apoyo y la naturaleza de las restricciones en los bordes de la
losa. El módulo de elasticidad del concreto, Ec, debe ser el especificado en C.8.5.1. El momento
de inercia efectivo, I e, debe ser el obtenido por medio de la ecuación (C.9-8); se permite emplear
otros valores si los resultados del cálculo de la deflexión concuerdan razonablemente con los
resultados de ensayos de alcance apropiado. La deflexión adicional a largo plazo debe calcularse
de acuerdo con C.9.5.2.5.
Definición de relación de rigidez viga-losa, Α
Las cuentas para el efecto la rigidez de las vigas situadas a lo largo del borde del piso, reduce las
desviaciones del panel adyacente a las vigas.
Rigidez a la flexión de la viga
Rigidez a la flexión de la losaα =
scs
bcb
scs
bcb
E
E
/4E
/4E
I
I
lI
lI ==α
cbE = Módulo de elasticidad de la viga de concreto
sbE = Módulo de elasticidad de la losa de concreto
bI = Momento de inercia de la viga no fisurada
sI = Momento de inercia de la losa no fisurada
Con anchura delimitada lateralmente por línea central de los paneles adyacentes a cada lado de la
viga.
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Viga y secciones de la losa para determinar α
Figura 145
Figura 146
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 238
Figura 147
Definición de la viga de sección transversal.
Los gráficos pueden ser utilizados para calcular α
Losas sin ábacos 120 minh mm=
Losas con ábacos 100 minh mm=
EJEMPLO 27
El sistema de losa esa compuesto por placas y vigas en dos direcciones soportadas en columnas de
450 mm x 450 mm. Determinar el mínimo espesor de losa requerido para el sistema. Usar
f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa
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Sección A-A
Se asume 150 4h mm x y h= = <
( )Cumple
450 -150 300 300 4
300 4 150
300 600
mm mm mm mm h
mm mm
mm mm
= ⇒ <<< →
( )( )
450 2 300 1050 8
1050 450 8 150
1050 1650 Cumple
e e wb mm b < b h= + = ⇒ +
< + ×< →
( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )
150 1050 75 450 300 300179
150 1050 450 300y mm
+=
+=
Para largoα
( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3
2 21050 150 450 3001050 150 104 450 300 121
12 12bI = + + +× × × ×
4 6 44987807500 4988 10bI mm mm== ×
( )( )3
6 45000 1501406 10
12sI mm= = ×
6
largo 6
4988 103,55
1406 10b
s
= =EI
EIα × =
×
Para cortoα
( )( )3
6 46000 1501688 10
12I mm= = ×
6
corto 6
4988 102,95
1688 10b
s
EI
EIα ×= = =
×
largo corto1
3,55 2,953,25
2 2m
α αα
+ += = =
Sección B-B
( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )
700 150 75 300 400 300195
700 150 300 400y mm
+= =
+
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 240
Para largoα
( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3
2 2400 450 300 150400 450 30 300 150 120
12 12bI = + × × + + × ×
6 44217 10bI = mm×
( )( )3
6 42500 150703 10
12sI mm= = ×
6
largo 6
4217 106,0
703 10b
s
EI=
EIα ×= =
×
Para cortoα
( )( )3
6 43000 150844 10
12s =I mm= ×
6
corto 6
4217 105
844 10b
s
EI=
EIα ×= =
×
Coeficiente β
largo
corto
4506000 - 2
2 1,22
4505000 - 2
2
l
lβ =
= =
2,95 2,95 3,55 6, 0
4mα + + +=
3,86mα =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 241
2,95 3,55 3,55 5, 0
4mα+ + +=
3,76mα =
2,95 3,55 5, 0 6, 0
4mα + + +=
4,375mα =
Espesor mínimo para 2mα >
450 4006000 5575
2 2n mm= − − =l
( )36 9
4200,8 5575 0,8
1400 1400131 90
36 9 1,22
n
yf
h mm mmβ
=+
+ + = = >
+ ×
l
El espesor mínimo de la losa requerido es de 131 mm, por aspectos constructivos se selecciona un
espesor de losa h=150 mm.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 242
21. COLUMNAS
Análisis y diseño de columnas cortas
Columna corta
• Miembro estructural vertical.
• Transmite cargas de compresión axial con o sin momento.
• Transmite cargas de pisos y techos a la cimentación.
Estribos
Espiral
Figura 148
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 243
Configuración del refuerzo transversal:
• Estribos
Aproximadamente el 95% de todas las columnas de los edificios poseen una configuración del
refuerzo en estribos. La esencia de la presencia de estribos en columnas es para restringir los
efectos de pandeo localizado en las barras longitudinales y así proporcionar confinamiento al
núcleo
• Espiral
Recientes investigaciones han mostrado la bondad de este tipo de refuerzo transversal en
columnas, conformando un elemento más dúctil y menos propenso a sufrir pandeo local de
barras longitudinales durante eventos sísmicos.
Comportamiento elástico de columnas
Un análisis elástico utilizando el método de sección transformada sería:
Para carga concentrada, P
t
cc s
Pf l
A nA=
+ Esfuerzo uniforme sobre la sección
s cf n f=
s c/n E E=
cA Área del concreto
sA Área del acero
El cambio en la deformación del concreto con respecto al tiempo afecta y afectará los esfuerzos
en el concreto y en el acero como se muestra en la siguiente figura:
Esfuerzo en el concreto
Figura 149
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 244
Esfuerzo en el acero
Figura 150
Un análisis elástico en columnas no funciona pues los efectos de deformación y retracción
afectan la deformación en el concreto como se muestra en la siguiente figura:
Figura 151
Dentro del comportamiento elástico hay que tener en cuenta la deformación y la retracción de
fraguado del concreto, por lo tanto es imposible calcular las deformaciones en el acero y en el
concreto utilizando un análisis elástico.
Por lo tanto, no es posible calcular las deformaciones reales en una columna de concreto reforzado
para todas las cargas que actúan a través del tiempo. Como resultado, el método de esfuerzos
admisibles, procedimiento fundamentado en un análisis elástico se encontró que era inaceptable.
Las columnas de hormigón armado han sido diseñadas por el método de resistencia desde 1940.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 245
Comportamiento, capacidad nominal y de diseño bajo cargas axiales concéntricas
• Comportamiento inicial hasta la carga nominal – Columnas con estribos y con espiral.
Figura 152
Figura 153
( )0 0,85 g t t yc s sP f´ A A A f= × − +
gA bh= Área bruta.
tsA Área longitudinal del acero.
cf ´ Resistencia a la compresión de concreto.
yf Resistencia a la fluencia del acero.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 246
0,85 Factor que depende de las condiciones de curado consolidación de la columna.
• Máxima Capacidad Nominal Para Diseño
( ) 0maxnP rP=
r Factor de reducción que tiene en cuenta efectos accidentales por flexión.
0, 75r = Estribos
0,8r = Espiral C.10.3.6.1
• Requerimientos para el acero longitudinal, stA
tg
g
sA
Aρ =
NRS-10
C.10.9 — Límites del refuerzo de elementos a compresión (columnas)
C.10.9.1 — El área de refuerzo longitudinal, tsA , para elementos no compuestos a compresión
no debe ser menor que 0,01 gA ni mayor que 0,04 gA . Para estructuras con capacidad de
disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES) en el Capítulo C.21 se restringe el área máxima admisible.
g0,01 0,04ρ≤ ≤
C.10.9.2 — El número mínimo de barras longitudinales en elementos sometidos a compresión debe ser de 4 para barras dentro de estribos circulares o rectangulares, 3 para barras dentro de estribos triangulares y 6 para barras rodeadas por espirales, que cumplan con C.10.9.3.
C.10.9.3 — La cuantía volumétrica del refuerzo en espiral, sρ , no debe ser menor que el valor
dado por:
0, 45 1gs
h yt
c
c
A f´
A fρ
= −
Donde el valor de ytf a usar en la ecuación (C.10-5) no debe ser mayor de 700 MPa. Para ytf
mayor de 420 MPa, no deben usarse empalmes por traslapo de acuerdo con C.7.10.4.5(a).
Requerimientos de refuerzo para estribos laterales
C.7.10.5 — Estribos Los estribos para elementos sometidos a compresión deben cumplir con lo siguiente:
C.7.10.5.1 — Todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos transversales de por lo menos diámetro No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm), para barras longitudinales No. 10 (1-1/4”) ó 32M (32 mm) o menores; y diámetro No. 4 (1/2”) ó 12M
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 247
(12 mm) como mínimo, para barras longitudinales No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36 mm), No. 14 (1-3/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm) y paquetes de barras. En estructuras de capacidad de disipación de energía mínima (DMI) se permiten estribos de barra Nº 2 (1/4") ó 6M(6 mm) cuando las columnas soportan únicamente uno o dos pisos.
C.7.10.5.2 — El espaciamiento vertical de los estribos no debe exceder 16 diámetros de barra longitudinal, 48 diámetros de barra o alambre de los estribos, o la menor dimensión del elemento sometido a compresión.
C.7.10.5.3 — Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior no mayor de 135º, y ninguna barra longitudinal debe estar separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo circular completo.
C.21.3.5. Columnas con capacidad moderada de disipación de energía (DMO)
C.21.3.5.1. La dimensión menor de la sección transversal, medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico, no debe ser menor de 250 mm. Las columnas en forma de T, C o I pueden tener una dimensión mínima de 0,20 m pero su área no puede ser menor de 0,0625 m².
C.21.3.5.2. El área de refuerzo longitudinal, Ast, no debe ser menor que 0,01Ag ni mayor que 0,04Ag.
C.21.3.5.3. Los empalmes mecánicos deben cumplir C.21.1.6 y los empalmes soldados deben cumplir C.21.1.7. Los empalmes por traslapo se permiten únicamente en la mitad central de la longitud del elemento y deben diseñarse como empalmes en tracción.
C.21.3.5.6. En ambos extremos del elemento debe proporcionarse estribos cerrados de confinamiento con un espaciamiento de S0 por una longitud L0, medida desde la cara del nudo. El espaciamiento S0 no debe exceder el menor de (a), (b), (c) y (d):
(a) Ocho veces el diámetro de la barra longitudinal confinada de menor diámetro.
(b) 16 veces el diámetro de la barra del estribo cerrado de confinamiento.
(c) Un tercio de la menor dimensión de la sección transversal de la columna.
(d) 150 mm.
La longitud L0, no debe ser menor que la mayor entre (e), (f) y (g):
(e) Una sexta parte de la luz libre de la columna.
(f) La mayor dimensión de la sección transversal de la columna.
(g) 500 mm.
C.21.3.5.7. El área total de la sección transversal del refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangulares, Ash, colocados en la longitud L0 no debe ser menor que la requerida por las ecuaciones (C.21-2) y (C.21-3).
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 248
0, 20 1gch
yt h
cs
c
Asb f´A
f A
= × −
ó
0,06 ch
yt
cs
sb f´A
f=
C.21.3.5.10. El primer estribo cerrado de confinamiento debe estar situado a no más de S0/2 de la cara del nudo. Este requisito establece que el primer estribo debe ubicarse a una distancia, medida desde la cara del nudo, igual a S0/2 = 0,035 m en columnas o 0,05 m en vigas.
C.21.3.5.11. Fuera de la longitud L0, deben colocarse estribos de confinamiento con la misma disposición, diámetro de barra y resistencia a la fluencia, fyt, con un espaciamiento centro a centro que no debe ser mayor que 2 veces el espaciamiento utilizado en la longitud L0.
Ejemplos de configuraciones de estribos en columnas
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 249
Figura 154
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 250
Requerimientos de refuerzo para estribos en espiral
NSR-10
C.7.10 — Refuerzo transversal para elementos a compresión
C.7.10.4 — Espirales
El refuerzo en espiral para elementos a compresión debe cumplir con C.10.9.3 y lo siguiente:
C.7.10.4.1 — Las espirales deben consistir en barras o alambres continuos espaciados
uniformemente, con un tamaño y disposición que permitan su manejo y colocación sin distorsión
de las dimensiones de diseño.
C.7.10.4.2 — Para elementos construidos en obra, el diámetro de barra utilizada en espirales no
debe ser menor de 10 mm.
C.7.10.4.3 — El espaciamiento libre entre hélices de la espiral no debe exceder de 75 mm ni ser
menor de 25 mm. Véase también C.3.3.2.
C.7.10.4.4 — El anclaje de la espiral debe consistir en 1.5 vueltas adicionales de la barra
o alambre en cada extremo de la espiral.
Relación del refuerzo en espiral, sρ
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 251
Figura 155
sD
A
c
sps
4
Núcleo delVolumen
Espiral delVolumen ==ρ
sp cs 2
c
A D
1 4 D s
πρ
π=
gs
c yt
0,45 1cA f´
A fρ
= × − ×
Donde
spA = Área de sección transversal del refuerzo en espiral
cA =
2c
4
Dπ = Área central
cD = Diámetro central. Borde exterior al borde exterior de la espiral.
s = Espaciamiento del acero en espiral (centro a centro)
ytf = Resistencia a la fluencia del acero en espiral (≤ 420 MPa)
Diseño de columnas para cargas axiales concéntricas
Requerimientos de resistencia general
NRS-10
C.9.3 — Resistencia de diseño
C.9.3.1 — La resistencia de diseño proporcionada por un elemento, sus conexiones con otros
elementos, así como sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante
y torsión, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos
y suposiciones del Título C del Reglamento NSR-10, multiplicada por los factores φ de
reducción de resistencia dados en C.9.3.2, C.9.3.4. y C.9.3.5.
C.9.3.2 — El factor de reducción de resistencia, φ , debe ser el dado en C.9.3.2.1 a C.9.3.2.7.
C.9.3.2.1 — Secciones controladas por tracción como se define en 10.3.4…...…0.90
(Véase también C.9.3.2.7).
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 252
C.9.3.2.2 — Secciones controladas por compresión como se definen en C.10.3.3:
(a) Elementos con refuerzo en espiral según C.10.9.3…………….…………..0.75
(b) Otros elementos reforzados. …………………………………………….….0.65
Para las secciones en las que la deformación unitaria neta a la tracción en el acero extremo en
tracción en el estado de resistencia nominal, tε , se encuentra entre los límites para secciones
controladas por compresión y las secciones controladas por tracción, se permite que φ aumente
linealmente desde el valor correspondiente a las secciones controladas por compresión hasta 0.90,
en la medida que tε aumente desde el límite de deformación unitaria controlado por compresión
hasta 0.005.
En forma alternativa, cuando se usa el Apéndice C-B, para elementos en los cuales fy no exceda
420 MPa, con refuerzo simétrico, y cuando (d - d´ )/ h no es menor de 0,70, se permite
aumentar φ linealmente hasta 0.90, en la medida que Pnφ disminuye desde 0,10 gcf´ A hasta
cero. Para otros elementos reforzados φ puede incrementarse linealmente a 0.90 en la medida
que Pnφ disminuye desde 0,10 gcf´ A ó Pnφ , el que sea menor, hasta cero.
Expresiones para el diseño de columnas
tg
g
sA
Aρ = g0,01 0,04ρ≤ ≤
( ) ( )0,85 0,85g t yn c s c u
AceroConcreto
P r A f´ A f f´ Pφ φ= + − ≥
1444244431442443
( )0,85 0,85g g yn c c u P r A f´ f f´ Pφ φ ρ = + − ≥
Cuando gρ es conocido o asumido:
( )0,85 0,85g
g y
u
c c
PA
r f´ f f´φ ρ≥
+ −
Cuando gA es conocido o asumido:
( ) ( )10,85
0,85t gy
us c
c
PA A f´
f f´ rφ ≥ − −
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 253
EJEMPLO 28 Diseño de columna corta para carga axial concéntrica.
750 ; 1500 ; 300
28 420dl ll w
yc
P KN P KN P KN
f´ MPa f MPa
= = == =
Diseñar una columna cuadrada con 0,03gρ = y seleccionar el refuerzo longitudinal
transversal. Determinar la carga
1,2 1 ,6
1,2 750 1 ,6 1500
3300
dl llu
u
u
P P P
P KN KN
P KN
= += × + ×=
( ) ( ) ( )1, 2 1 ,0 1 ,6
1, 2 750 1 ,0 1500 1 ,6 300
2880
dl ll wu
u
u
P P P P
P KN KN KN
P KN
= + += + +=
Chequear la compresión o tensión en la columna
Para una columna cuadrada 0,75; 0,65 0,03gr yφ ρ= = =
( )( )2
0,85 0,85
1 89689
gg
g
y
u
c c
PA
r f´ f f´
A mm
φ ρ≥
+ −
≥
2 435 450 gA b b mm b mm= ⇒ = ⇒ =
Para una columna cuadrada ( )2 20,03 450 6075 ρ= = =s g gA A mm mm
( )2
10,85
0,85
4922
t g
t
y
us c
c
s
PA f´ A
f f´ r
A mm
φ ≥ − × −
≥
Usar 8 #9; ( )2 28 645 5160tsA mm mm= × =
Chequear Po
( )0
0
0
0 85
6864
0 65 0 75 6864
3346 3300
g t tc s s y
n
n
P , f´ A A A f
P KN
P rP , , KN
P KN KN OK
φ φφ
= − +
== = × ×= >
( ) ( ) 0,9 1,6
0,9 750 1,6 300
1 95
dl wu
u
u
P P P
P KN KN
P KN
= −= × − ×=
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 254
Usar estribo #3 y calcular el espaciamiento
( )( )
( )#
# 2
1
450 3(29 ) 2 40 10
2132 150
b estriborecubrimiento
barras
b d ds
mm mm mm mms
s mm mm OK
− − +=
−
− − +=
= <
Diseño del estribo
( )( )
1 6 16 29 464
48 = 48 10 480
450
b
estribo
d mm mm
s d mm mm
menor b ó d mm
= = ≤ = =
espaciamiento estriboss →
Usar estribo #3 con 450mm de espaciamiento en la columna.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 255
22. DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
Comportamiento bajo cargas combinadas de flexión y axial
Generalmente el momento está representado por la carga axial de excentricidad
Figura 156
La interacción entre el diagrama de carga axial y el momento (envolvente de falla).
Figura 157
Nota: Cualquier combinación de P y M fuera de la envolvente provocará la falla.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 256
Diagrama de interacción de carga axial y el momento.
Figura 158
Fuerzas de acción resultante en el centroide
(h / 2 en este caso)
s1 c s2
La comprensiónes positiva
nP C C T= + −14243
Momento en el centro geométrico
s1 1 c s2 22 2 2 2n
h h a hM C d C T d
= × − + × − + × −
Columnas en tracción pura
La sección está completamente agrietada (sin capacidad axial de resistencia en el concreto).
Deformación uniforme y ε≥ −
( )
N
Tracción ii 1
yn sP A f=
= − ×∑
Columnas
Factor de reducción de resistencia ,φ , NSR-10
• Tracción axial, y tracción axial con flexión. 0,9φ =
• Compresión axial y compresión axial con flexión.
Miembros con refuerzo en espiral 0,75φ =
Otros miembros reforzados 0,65φ =
Excepto para valores bajos de compresión axial, φ puede ser aumentado de la siguiente manera:
Cuando 420 M Payf ≤ y el refuerzo es simétrico y ( )s 0,70
′− −>
h d d
h
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 257
sd Distancia desde la fibra de tracción extrema al centroide del refuerzo a tracción.
Entonces φ puede aumentar linealmente hasta 0,9 Pnφ decrece de 0,10 cf´ a cero.
Figura 159
Diseño de columnas para carga combinada de flexión y axial (columna corta)
Seleccionar la sección transversal y el refuerzo para resistir la carga axial y momento.
Tipos de columnas
• Columna reforzada con espiral - Más eficiente para e/h <0,1, pero más costosa la
formación y la espiral.
• Columna reforzada con estribos – Barras en cuatro caras usadas cuando e/h < 0,2 y para
flexión biaxial
Procedimiento General
El diagrama de interacción para una columna se construye utilizando una serie de valores para
Pn y M n. El gráfico muestra la envolvente fuera del problema.
Procedimiento general para la construcción de diagramas de interacción
• Calcular P0 y determinar el máximo Pu en compresión.
• Seleccione un valor de c.
• Calcular el esfuerzo en los componentes de acero.
Calcular las fuerzas en el acero y el concreto, CC, CS1 y Ts.
Determinar el valor Pu.
Calcular el Mu alrededor del centro.
Calcular el brazo del momento, e = /Mn Pn
• Repetir con una serie de valores de c.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 258
• Obtener el valor de máxima tensión.
• Graficar Pu versus Mu
• Determinar nPφ y nMφ
Encontrar el nivel de compresión máxima.
Tener presente que el valor de φ variará linealmente desde 0,65 hasta 0,9 para los valores de
deformación, para el caso de columnas con estribos.
El componente de la tensión será φ= 0,9
EJEMPLO 29
Considerar una columna cuadrada (500mm x 500mm) reforzada con 8 barras #10 y 28cf´ MPa=
y 420yf MPa= . Se especifica una distancia desde la cara externa de la columna al eje del
refuerzo longitudinal de 66 mm. Dibujar el diagrama de interacción.
La deformación última del concreto cuε y el acero yε :
0,003
4200,0021
200000
cu
yy
sf
E
ε
ε
=
= = =
Se hallan las áreas del acero tsA y de la sección gA :
( )
2
2 2
8 819 6552
500 250000
t
g
sA mm mm
A mm mm
= × =
= =
Carga 0P :
( )( )
0
2 20
0
0,85
0,85 28 250000 6552 420 6552
8546
g t tyc s sP f´ A A f A
P MPa mm MPa mm
P KN
= − +
= × × − + ×=
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 259
Columna con estribos r = 0.75, en espiral r = 0.8, Carga nominal Pn:
0 0,75 8546
6409,4
n
n
P rP KN
P KN
= = ×=
Determinar la localización del punto de balance bc , este se puede encontrar usando semejanza
de triángulos.
434
0,003 0,003 0,0021
0,003434
0,0051
255,3
b
b
b
c mm
c mm
c mm
=+
⇒ = ×
=
Determinar el esfuerzo del acero
1
1
66 255,3 660,003
256,8
0,00222
bS cu
b
S
c mm mm mm
c mmε ε
ε
− − = = ×
=
2
2
250 255,3 2500,003
255,3
0,00006
bS cu
b
S
c mm mm mm
c mmε ε
ε
− − = = ×
=
3
3
434 434 255,30,003
255,3
0,00210
bS cu
b
S
mm c mm
c mmε ε
ε
− − = = ×
=
1 1
1
2 2
2
3 3
3
200000 0,00222
444 420
200000 0,00006
12,46
200000 0,00210
420
S S S
S
S S S
S
S S S
S
f E MPa
f MPa MPa compresión
f E MPa
f MPa compresión
f E MPa
f MPa tensión
ε
ε
ε
= = ×= ⇒ →= = ×= →= = ×= →
Calcular las fuerzas en la columna
10,85 0,85 28 500 0,85 255,3C cC f´ b c MPa mm mmβ= × × × = × × × ×
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 260
( ) ( )
( ) ( )
21 1 1
1
22 2 2
2
23 3 3
3
2582,4
0,85 3 819 420 0,85 28
973,5
0,85 2 819 12,46 0,85 28
18,58
3 819 420
1031,88
C
S S S
S
S S S
S
S S S
S
c
c
C KN compresión
C A f f´ mm MPa MPa
C KN compresión
C A f f´ mm MPa MPa
C KN compresión
T A f mm MPa
T KN ten
= →
= − = × − ×= →
= − = × − ×= − →
= = × ×= → sión
2582,4 973,5 18,58 1031,88
2505,44
n
n
P KN KN KN KN
P KN
= + − −=
Calcular el momento cerca del centro
1 1 3 32 2 2 2
500 0,85 255,3 5002582,4 973,5 66
2 2 2
5001031,88 434
2
365,4 179,1 189,9
734,4
C S S
h a h hM C C d T d
mm mm mmM KN KN mm
mmKN mm
M KN m KN m KN m
M KN m
= − + − + −
× = − + −
+ −
= − + − + −= −
Un solo punto del diagrama de interacción (2505,44KN, 734,4KN-m). La excentricidad del
punto está definida como
734,40,293 293
2505,44
M KN me m mm
P KN
−= = = =
Ahora seleccionar una serie de puntos adicionales seleccionando valores de c. Seleccionar c=d=434mm. Determinar el esfuerzo del acero,
1
1 1
66 434 660,003
434
0,00254 508,8 420
S cu
S S
c mm mm mm
c mm
f MPa MPa compresión
ε ε
ε
− − = = ×
= ⇒ = →
2
2 2
3
250 434 2500,003
434
0,00127 254,38
0
S cu
S S
S
c mm mm mm
c mm
f MPa compresión
ε ε
ε
ε
− − = = ×
= ⇒ = →
=
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 261
Calcular las fuerzas en la columna
( ) ( )
( ) ( )
1
21 1 1
1
22 2 2
2
0,85 ' 0,85 28 500 0,85 434
4390
0,85 ' 3 819 420 0,85 28
973,5
0,85 ' 2 819 254,38 0.85 28
377,7
C
C
S S S
S
S S S
S
C f c b c MPa mm mm
C KN
C A f f c mm MPa MPa
C KN
C A f f c mm MPa MPa
C KN
β= × × × = × × × ×=
= − = × × − ×=
= − = × × − ×=
23 819 0
0
s s s
s
T A f mm MPa
T KN
= = × ×=
4390 973,5 377, 7
5741
n
n
P KN KN KN
P KN
= + +=
Calcular el momento cerca del centro
1 12 2 2
500 0,85 434 5004390 973,5 66
2 2 2
467
C S
h a hM C C d
mm mm mmM KN KN mm
M KN m
= − + −
× = − + −
= −
Un solo punto del diagrama de interacción (5741KN, 467KN-m). La excentricidad del punto
está definida como:
4670, 0813 81
5741
M KN me m mm
P KN
−= = = =
Hay un punto especial el cual representa el límite de la zona controlada por compresión, en la
cual se tiene el siguiente dato según el método de los esfuerzos límites.
0,6 0,6 0,6 434 260,4= → = × = × =tt
cc d mm mm
d
Seleccionar c=260,4mm Determinar el esfuerzo del acero
1
1 1
2
66 260,4 660,003
260,4
0,00224 447,9 420
250 260,4 2500,003
260,4
S cu
S S
S cu
c mm mm mm
c mm
f MPa MPa compresión
c mm mm mm
c mm
ε ε
ε
ε ε
− − = = ×
= ⇒ = →
− − = = ×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 262
2 20,00012 23,96S Sf MPaε = ⇒ =
( )3
3 3
434 434 260.40,0021
434 434 260.4
0,0021 420
S y
S S
mm c mm mm
mm c mm mm
f MPa tensión
ε ε
ε
− − = = − −
= ⇒ = →
Calcular las fuerzas en la columna
( ) ( )
( ) ( )
1
21 1 1
1
22 2 2
2
0,85 ' 0,85 28 500 0,85 260,4
2634
0,85 ' 3 819 420 0,85 28
973,5
0,85 ' 2 819 23,96 0,85 28
0,27
C
C
S S S
S
S S S
S
C f c b c MPa mm mm
C KN
C A f f c mm MPa MPa
C KN
C A f f c mm MPa MPa
C KN
β= × × × = × × × ×=
= − = × × − ×=
= − = × × − ×=
23 819 420
1032
2634 973,5 0,26 1032
2576
s s s
s
n
n
T A f mm MPa
T KN
P KN KN KN KN
P KN
= = × ×=
= + + −=
Calcular el momento cerca del centro
1 1 32 2 2 2
500 0,85 260,4 5002634 973,5 66
2 2 2
5001032 434
2
736
C S S
h a h hM C C d T d
mm mm mmM KN KN mm
mmKN mm
M KN m
= − + − − −
× = − + −
+ −
= −
Un solo punto del diagrama de interacción (2576KN, 736KN-m). La excentricidad del punto
está definida como:
736
0, 2857 2862576
M KN me m mm
P KN
−= = = =
Hay un punto especial el cual representa el límite de la zona controlada por tensión, en la cual se
tiene el siguiente dato según el método de los esfuerzos límites.
0,375 0,375 0.375 434 162,75= → = × = × =tt
cc d mm mm
d
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 263
Seleccionar c=162,75mm Determinar el esfuerzo del acero
1
1 1
2
2 2
3
66 162,75 660,003
162,75
0,00178 356,68
250 162,75 2500,003
162,75
0,00161 321,66
434 434
434
S cu
S S
S cu
S S
S y
c mm mm mm
c mm
f MPa
c mm mm mm
c mm
f MPa tensión
mm c m
mm c
ε ε
ε
ε ε
ε
ε ε
− − = = ×
= ⇒ =
− − = = ×
= − ⇒ = →
− = = −
3 3
260,40,0021
434 260,4
0,0021 420S S
m mm
mm mm
f MPa tensiónε
− × −
= ⇒ = →
Calcular las fuerzas en la columna
( ) ( )
1
21 1 1
1
22 2 2
2
23 3 3
3
0,85 ' 0,85 28 500 0,85 162,75
1646,2
0,85 ' 3 819 356,68 0,85 28
817,9
2 819 321,66
526,99
3 819 420
1031,94
C
C
S S S
S
S S S
S
S S S
S
C f c b c MPa mm mm
C KN
C A f f c mm MPa MPa
C KN
T A f mm MPa
T KN
T A f mm MPa
T KN
β= × × × = × × × ×=
= − = × × − ×=
= = × ×=
= = × ×=
Calcular el momento cerca del centro
1 1 32 2 2 2
500 0,85 162,75 5001646,2 817,9 66
2 2 2
5001031,94 434
2
297,7 150,5 189,9
638,1
C S S
h a h hM C C d T d
mm mm mmM KN KN mm
mmKN mm
M KN m KN m KN m
M KN m
= − + − − −
× = − + −
+ −
= − + − + −= −
1646,2 817,9 526,88 1031,94
905,3
n
n
P KN KN KN KN
P KN
= + − −=
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 264
Un solo punto del diagrama de interacción (905.3KN; 638.1 KN-m). La excentricidad del punto
está definida como:
638,10,7048 705
905,3
M KN me m mm
P KN
−= = = =
Seleccionar c=153mm. Determinar el esfuerzo del acero
1
1 1
2
2 2
3
66 153 660,003
153
0,00171 341,18
250 153 2500,003
153
0,00190 380,39
434 434
434
S cu
S S
S cu
S S
S y
c mm mm mm
c mm
f MPa compresión
c mm mm mm
c mm
f MPa tensión
mm c mm
mm c
ε ε
ε
ε ε
ε
ε ε
− − = = ×
= ⇒ = →
− − = = ×
= − ⇒ = →
− = = −
3 3
1530,0021
434 153
0,0021 420S S
mm
mm mm
f MPa tensiónε
− × −
= ⇒ = →
Calcular las fuerzas en la columna
( ) ( )
1
21 1 1
1
22 2 2
2
23 3 3
3
0,85 ' 0,85 28 500 0,85 153
1547,6
0,85 ' 3 819 341,18 0,85 28
779,8
2 819 380,39
623,08
3 819 420
1031,94
C
C
S S S
S
S S S
S
S S S
S
C f c b c MPa mm mm
C KN
C A f f c mm MPa MPa
C KN
T A f mm MPa
T KN
T A f mm MPa
T KN
β= × × × = × × × ×=
= − = × × − ×=
= = × ×=
= = × ×=
1547,6 779,8 623,08 1031,94
672,4
n
n
P KN KN KN KN
P KN
= + − −=
Calcular el momento cerca del centro
1 1 32 2 2 2
500 0,85 153 5001547,6 779,8 66
2 2 2
5001031,94 434
2
C S S
h a h hM C C d T d
mm mm mmM KN KN mm
mmKN mm
= − + − + −
× = − + −
+ −
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 265
286,3 143,5 189,9
619,6
M
M KN m
= + += −
Un solo punto del diagrama de interacción (672.4KN, 619.6KN-m). La excentricidad del punto
está definida como
619,6
0,9216 922672,4
M KN me m mm
P KN
−= = = =
La máxima tensión en la columna
28 819 420
2751,84
yn s
n
P A f mm MPa
P KN
= × = × ×=
Punto c (mm) Pn (KN) Mn (KN.m) e (mm) 1 0 6409 0 0 2 434 5741,1 466,9 81 3 260,4 2575,7 736 286 4 255,3 2505,4 734,4 293 5 162,75 905,3 638,1 705 6 153 672,4 619,6 922 7 0 -2751,84 0
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Pn
(K
N)
Mn (KN.m)
Diagrama de interacción
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 266
Los datos anteriores deben ser afectados por el coeficiente de reducción de resistencia φ cuyo
valor depende de la zona en la que se encuentre el elemento (compresión, transición o tensión).
Punto c (mm) Pn (KN) Mn
(KN.m) φ φ Pn (KN) φ Mn
(KN.m) e (mm)
1 0 6409,4 0 0,65 4166,13,05 0 0 2 434 5741,1 466,9 0,65 3731,72 303,49 81 3 260,4 2575,7 736 0,65 1674,21 478,40 286 4 255,3 2505,4 734,4 0,66 1653,56 484,70 293 5 162,75 905,3 638,1 0,9 814,77 574,29 705 6 153 672,4 619,6 0,9 605,16 557,64 922 7 0 -2751,8 0 0,9 -2476,66 0
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 100 200 300 400 500 600 700
φP
n (
KN
)
φ Mn (KN.m)
Diagrama de interacción
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 267
Diseño de columnas para carga combinada de flexión y axial (columna corta)
Columna con estribos
- Barras en dos caras (más alejado del eje de flexión)
- Más eficiente cuando e / h> 0,2
- Forma rectangular incrementa la eficiencia
Empalmes
-Normalmente, las barras longitudinales empalmadas justo por encima de cada planta. (No
sísmicas).
-Tipo de estribo que depende del estado de esfuerzo (C.12.17)
Para todas las barras en compresión Use estribos a compresión (C.12.16)
0 0, 5 ysf f≤ ≤ Sobre la cara a tracción Estribo a tracción Clase A
Barras de empalme <1/2
Clase B
Barras de empalme >1/2
0,5 ysf f> Estribo a tracción Clase B
Revisión cortante en columnas
Recordar (Compresión Axial)
uw
g
0,17 1 14
c cN
V f´ b dA
λ
= +
C.11-4 Si
0,5u cV Vφ> Las sujeciones deben satisfacer a C.7.10
Recordar
0,01 0,04ρ≤ ≤
NSR-10
C.10.8 — Dimensiones de diseño para elementos a compresión (columnas)
C.10.8.1 — Elementos en compresión aislados con espirales múltiples
Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento en compresión,
con dos o más espirales entrelazados, debe tomarse a una distancia fuera de los límites
extremos de los espirales igual al recubrimiento mínimo del concreto requerido en C.7.7.
C.10.8.2 — Elementos en compresión construidos monolíticamente con muros
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 268
Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento en compresión
con espirales o estribos, construido monolíticamente con un muro o pilar de concreto, no deben
tomarse a más de 40 mm fuera de la espiral o estribos de dicho elemento.
C.10.8.3 — Elementos en compresión de sección circular equivalente
En lugar de utilizar el área bruta para el diseño de un elemento sometido a compresión
de sección transversal cuadrada, octogonal o de otra forma geométrica, se permite utilizar una
sección circular con diámetro igual a la menor dimensión lateral de la sección real. El área bruta
considerada, las cuantías requeridas de refuerzo y la resistencia de diseño deben basarse en dicha
sección circular.
C.10.8.4 — Límites de la sección
Para un elemento a compresión que tenga una sección transversal mayor que la requerida por las
consideraciones de carga, se permite emplear un área efectiva reducida gA , no menor que la mitad
del área total, con el fin de determinar el refuerzo mínimo y la resistencia. Esta disposición no se
aplica en elementos (pórticos resistentes a momento o muros estructurales) con capacidad de
disipación de energía moderada (DMO) o especial (DES) diseñados de acuerdo con el
Capítulo C.21.
Diagramas de interacción adimensionales
g g
versus n n
c c
P M
f´ A f´ A h
ó
n ng g
n n
c c
P P eK versus R
f´ A f´ A h= =
Procedimiento de diseño de columnas usando diagramas de interacción adimensionales
• Calcular los factores de carga Pu , Mu y e para las combinaciones de carga pertinentes
• Seleccionar caso potencialmente crítico • Utilice un estimativo de h para determinar , /h e hγ para el casa crítico
• Usar diagramas de interacción adimensionales
Leer g
n
c
P
f´ A
Para el cálculo requerido g
g
u c
n
c
P f´A
P
f´ A
φ×
×
=
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 269
• Determinar g = ×A b h
• Si las dimensiones son significativamente diferentes de los estimados (paso 3), calcular (e / h) y rehacer los pasos 4 y 5.
Revisar gA si es necesario.
• Determinar t gsA Aρ=
• Utilizando las dimensiones reales y tamaños de barras para comprobar todas las combinaciones de carga (utilizar los gráficos o exactamente los diagrama de interacción).
• Diseño de refuerzo lateral.
La utilización de estos diagramas de interacción adimensionales dependerá del manual o la referencia usada para determinar los parámetros adimensionales.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 270
23. COLUMNAS BIAXIALES
Carga axial y flexión biaxial
Figura 160
Momentos de flexión biaxial
x y
y x
M = P e
M = P e
×
×
Figura 161
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 271
Métodos de análisis aproximados
Utilizando la superficie de falla
2x yn
1S
P ,e ,e
La ordenada n
1
P sobre la superficie 2S se aproxima por la ordenada
n
1
P sobre el plano
2x yn
1S'
P ,e ,e
. El plano 2S es definido por los puntos A, B y C.
Figura 162
0P = Resistencia a la carga axial bajo compresión axial pura
(Corresponde al punto C) x yn nM = M = 0
0xP = Resistencia a la carga axial bajo excentricidad uniaxial, ye
(Corresponde al punto B) x yn nM = P e
0yP = Resistencia a la carga axial bajo excentricidad uniaxial, xe
(Corresponde al punto A)
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 272
Diseño de y x
x y
u u u
u u u
P , M , M
P , P e , P e
Figura 163
'
1 1 1 1 1
11 1 1
0x 0y 0
0x 0y 0
n n
n
P P P P P
P
P P P
≈ = + −
⇒ ≈+ −
nP = Resistencia nominal de carga axial a excentricidades, xe y ye limitados a los
casos cuando 0,1 gn cP f´ A≥
Procedimiento de análisis: Método de Bresler
Fórmula: 0x 0y 0
1 1 1 1
nP P P P≅ + −
Pasos:
• Calcular 0P
• Calcular 0yP ( )x xpara e = e , e 0nP =
• Calcular 0xP ( )x ypara e = 0, e enP =
• Calcular nP (de la fórmula de Bresler)
u nP Pφ≤ Donde, 0, 65φ = (columna reforzada con estribos)
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 273
EJEMPLO 30 La sección de una columna corta es (400mm x 600mm) y esta reforzada con 8 barras #10.
Determinar la carga última permitida en la sección nPφ con las consideraciones: d’=64mm,
200xe mm= y 300ye mm= .Usar 28cf´ MPa= y 420yf MPa=
Calcular la carga P0, a compresión sin los momentos.
( )( )
2 2
0
2 2 20
0
8 819 6552
0,85
0,85 28 240000 6552 6552 420
8308
t
g t t y
s
c s s
A mm mm
P f´ A A A f
P MPa mm mm mm MPa
P KN
= × =
= − +
= × × − + ×
=
0 0, 75 8308 6231nP rP K N K N= = × = Calcular Pnx empezando con el término ey verificando que la compresión controla. Chequear para
300 0,6 0,6 536 321,6ye mm d mm mm= ≤ = × =
Calcular la carga nominal, Pnx y asumir que el segundo acero a compresión no contribuye.
1 2C S SnP C C C T= + + −
Los componentes de la ecuación de equilibrio son:
( )21
2
2457 420 0,85 28 973,5
2457
5361 200000 0,003 1 600
S
s
s
C mm MPa KN
T mm f
d mmf MPa MPa
c c
= − × =
= ×
= − × × = − ×
Usar semejanza de triángulos para encontrar el esfuerzo en el acero, sf
Calcular el momento cerca del acero a tensión:
( )11' '
2C Snc
P e C d C d dβ = − + −
Donde
( ) ( ) ( )' 236 300 536
536 7616 536 0,4 973,5 536 64n
e mm mm mm
P mm c mm c KN mm mm
= + == − + −
El resultado de la ecuación es:
27616 5,68 459,5nP c c= − +
Combinando las dos ecuaciones y solucionando para Pn usando una solución iterativa: 27616 973,5 2457n sP c KN mm f= + − ×
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 274
27616 5,68 459,5nP c c= − +
Igualando y despejando fs
20,21 0,0023sf c= +
5361 600sf
c = − ×
Combinando las dos ecuaciones y resolviendo para c usando una técnica iterativa.
2 5360,21 0,0023 1 600c
c + = − ×
2
2
7616 973,5 2457
7616 353,82 973,5 2457 309
1936
n s
n
n
P c KN mm f
P mm KN mm MPa
P KN
= + − ×= × + − ×=
Entonces
1936xnP KN=
Empezar con el término ex y asumir que la compresión controla.
64 0,6 0,6 336 201,6xe mm d mm mm= ≤ = × =
Calcular la carga nominal, Pny y asumir que el segundo acero a compresión no contribuye.
1 2C S SnP C C C T= + + −
Los componentes de la ecuación de equilibrio son:
( )( )
21
2
0,85 28 600 0,8 11424
2457 420 0,85 28 973,5
2457
3361 200000 0,003 1 600
C
S
s
s
C MPa mm c c
C mm MPa KN
T mm f
d mmf MPa MPa
c c
= × × × =
= − × =
=
= − × × = − ×
Usar semejanza de triángulos para encontrar el esfuerzo en el acero, fs.
Calcular el momento cerca del acero a tensión:
( )11' '
2C Snc
P e C d C d dβ = − + −
Donde
( ) ( ) ( )' 136 200 336
336 11424 336 0,4 973,5 336 64n
e mm mm mm
P mm c c
= + == × − + × −
El resultado de la ecuación es:
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 275
211424 13,6 788nP c c= − +
Combinando las dos ecuaciones y solucionando para Pn usando una solución iterativa
211424 973,5 2457n sP c KN mm f= + − ×
211424 13,6 788nP c c= − +
Igualando una ecuación a la otra y despejando fs
20,075 0,0055sf c= +
3361 600s
mmf MPa
c = − ×
Combinando las dos ecuaciones y resolviendo para “c” usando una técnica iterativa.
2 3360,075 0,0055 1 600
mmc
c + = − ×
( )2
2
11424 973,5 2457
11424 227,7 973,5 2457 285,37
1901,1
n s
n
n
P c KN mm f
P mm KN mm MPa
P KN
= + −
= × + − ×=
Entonces
1901,1ynP KN=
Calculando la carga nominal
0
1 1 1 1
1 1 1 1
1936 1901,1 6231
1133,72 0,65 1133,72 736,9
x yn n n n
n
n u n
P P P P
P
P KN P P KN KNφ
= + −
= + −
= ⇒ = = × =
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 276
24. EFECTOS DE ESBELTEZ
Columna larga
Columna cargada excéntricamente con pasador al principio y al final de esta.
Deflexión lateral M = P ( e + )× ∆
Figura 164
Deflexión por cargas
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 277
o = ∆ Deflexión de primer orden, debido a oM
a =∆ Deflexión de segundo orden, debido a oP
OA - curva de momento final
OB - curva para el máximo
Momento de la columna (a la mitad de altura)
NSR-10
C.10.10 — Efectos de esbeltez en elementos a compresión
C.10.10.1 — Se permite ignorar los efectos de esbeltez en los siguientes casos:
a) en elementos sometidos a compresión no arriostrados contra desplazamientos laterales
cuando:
u 22kl
r≤ (C.10-6)
b) en elementos a compresión arriostrados contra desplazamientos laterales cuando:
u 1
2
34 12kl M
r M
≤ −
(C.10-7)
Donde el término 1 2M /M es positivo si la columna está flectada en curvatura simple y negativo
si el elemento tiene curvatura doble.
Se permite considerar los elementos a compresión como arriostrados contra desplazamientos
laterales cuando los elementos de arriostramiento tienen una rigidez total que restringe los
movimientos laterales de ese piso de al menos doce veces la rigidez bruta de las columnas dentro
del piso.
C.10.10.1.1 — La longitud no apoyada lateralmente de un elemento en compresión, ul , debe
tomarse como la distancia libre entre losas de piso, vigas u otros elementos capaces de
proporcionar apoyo lateral en la dirección que se está considerando. Cuando existan capiteles o
cartelas en las columnas, ul debe medirse hasta el extremo inferior del capitel o cartela en el
plano considerado.
C.10.10.1.2 — Se puede tomar el radio de giro, r , igual a 0.3 veces la dimensión total de la sección
en la dirección en la cual se está considerando la estabilidad para el caso de elementos
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 278
rectangulares y 0.25 veces el diámetro para elementos circulares en compresión. Para otras
formas, se permite calcular r para la sección bruta de concreto.
k = Factor de longitud efectiva (en función de las restricciones finales).
Marcos arriostrados 0, 5 1, 0k≤ ≤
Marcos no arriostrados 1, 0 k≤ ≤ ∞
Relación de esbeltez
Relación de esbeltez para columnas
a) Conexión Simple – no resistente a momento
b) Conexión empotrada – resistente a momento
Figura 165
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 279
Relación de esbeltez para columnas en pórticos con desplazamiento lateral
Figura 166
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Relación de esbeltez para columnas en pórticos sin desplazamiento lateral
Figura 167
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ul = La altura de la columna sin apoyo desde la parte superior del piso hasta la
parte inferior de las vigas o losas en el piso
r = Radio de giro
A
Ir =
Profundidad total de columnas rectangulares0 3 ( )r ,= ×
( )Profundidad total de columnas circularesr = 0.25× NSR-10 (C.10.10.1.2)
1 2M /M = Relación de los momentos en los dos extremos de las columnas
Donde
2 1M > M (Con un rango de -1 a 1)
Figura 168
Curvatura Simple
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 282
Figura 169
Curvatura Doble
1
2
0 5
k 1,0
M,
M= =
Suele ser conservador (Marcos no arriostrados)
1 2M /M 0,5≥− Marcos no balanceados
Nota:
El código define que:
1
2
0,5M
M≥ − (Marcos no arriostrados)
Rango posible de
u de 22 a 40r
kl⇒
Factor de magnificación en marcos no arriostrados
Si los efectos de esbeltez deben ser considerados, la magnificación del factor para el marco no
arriostrado, nsδ , causará un aumento en la magnitud del momento de diseño.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 283
c ns 2M Mδ=
Donde
mns 1,0
10,75
u
c
C
P
P
δ = ≥ −
Los componentes de la ecuación para una carga de pandeo de Euler para una columna con apoyo
fijo al extremo.
( )2
2
u
cEI
Pkl
π=
Y la rigidez, EI es tomada como
{c g s se c g
conservativamented d
0,2 0,4
1 1
E I E I E IEI EI
β β+
= ⇒ =+ +
Un factor de coeficiente que relaciona el diagrama de momento real con el diagrama de
momento uniforme equivalente.
Para los miembros sin cargas transversales se toma la ecuación (10-16):
1m
2
0,6 0, 4 0, 4M
CM
= + ≥
Para otras condiciones, como los miembros con cargas transversales entre apoyos, mC = 1,0
El valor mínimo permitido de M2 es:
( )2,min 15 0,03uM P h= +
Donde 15 y h están en milímetros. Para los elementos en que M2,min , excede a M2 , el valor de Cm
en la ecuación (10-16) debe ser igual a 1.0, ó estar basado en la relación de los momentos
calculados en los extremos, M1 M2 .
EJEMPLO 31
Una columna de sección cuadrada de 400 mm x 400 mm y reforzada con estribos está sometida
a la acción de dos momentos en sus extremos M1=100 KN-m y M2=120 KN-m, en condición de
curvatura simple. La carga última actuando en la columna es Pu=400 KN formando parte esta
columna de un pórtico arriostrado contra desplazamiento lateral. Si lu es igual a 5 m, k=1.0, fy=
420 MPa y f´c=28 MPa, determinar el momento de diseño de la columna. Asumir PD=200 KN.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 284
Verificar si deben ser considerados los efectos de esbeltez:
( )Profundidad total de columna rectangular= 0,3
= 0,3 400 120
r
r mm mm
×× =
u 1, 0 500041, 67
120
kl mm
r mm
×= =
1
2
10034 12 34 12 24
120
M
M
− = − =
Como u 1
2
34 12kl M
r M
> −
Se deben considerar los efectos de esbeltez
( )2,min
2,min 2
15 0, 03 (15 0,03 400) 400 0,027 10,8u u
como cumple
M P h P KN m KN m
M M
= + = + × = × = −<
4700 4700 28 24870c cE f´ MPa= = =
3 440,4
0,00213312 12g
bhI m= = =
4c g 2
d
0,4 0,4 24870000 0,00213314146
1 1 200 / 400
E I KPa mEI KN m
KN KNβ× ×= = = −
+ +
Determinación de la carga crítica
( ) ( )2 2
2 2
u
141465585
1, 0 5, 0c
EIP KN
kl
π π ×= = =×
1m
2
1000,6 0, 4 0,6 0, 4 0,93 0, 4
120
MC
M
= + = + = ≥
mns
0,931,03 1,0
4001 1
0,75 0,75 5585u
c
C
P
P
δ = = = ≥ − − ×
Momento de diseño de la columna
ns 2 1,03 120 123,6cM M KN mδ= = × = −
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 285
25. CIMENTACIONES
Por lo general las losas reciben las cargas generadas por los elementos no estructurales y las cargas
generadas por uso de la estructura transmitiendo estas cargas a las vigas que delimitan las losas,
a su vez los esfuerzos generados en las vigas son transmitidos a las columnas o muros que
finalmente se apoyan en el suelo de fundación de la estructura. Los elementos utilizados para
realizar la transferencia de cargas entre columnas o muros al suelo de fundación reciben el nombre
de cimentación. Antes de comprender el funcionamiento de las cimentaciones de estructuras de
concreto reforzado es importante comprender los aspectos generales que rigen el comportamiento
de suelos o rocas que se usan como soporte de una estructura, este tema debe ser tratado en el
curso de cimentaciones por lo que en el presente documento solo se mencionarán los aspectos
relevantes dentro del diseño de los elementos de concreto reforzado de cimentación. El suelo de
cimentación debe tener la capacidad de recibir las cargas provenientes de la estructura sin exceder
la capacidad portante del suelo. No es suficiente que el suelo sea resistente sino que además los
asentamientos inducidos por las cargas aplicadas al suelo de fundación no superen los máximos
permisibles buscando que los esfuerzos sobre el suelo se apliquen lo más uniformemente posible
para evitar asentamientos diferenciales, los cuales pueden inducir esfuerzos adicionales a los
generados por las cargas transmitidas de la estructura al suelo de fundación. Adicionalmente a
estos dos aspectos, el suelo de fundación debe tener la capacidad de resistir esfuerzos generados
por cargas ambientales de variada intensidad para evitar el colapso de la estructura.
Existe una gran número de tipos de cimentaciones por lo que es una gran responsabilidad la
adecuada selección del tipo de cimentación de una estructura, aspectos relacionados con el tipo
de estructura, el sistema estructural empleado, las condiciones del suelo de cimentación,
estructuras colindantes, tecnología disponible en el lugar de localización de la estructura, nivel
freático y otros aspectos deben ser considerados para una adecuada selección del tipo de
cimentación. Es importante resaltar que en suelos agresivos debe darse especial cuidado a la
durabilidad del concreto. Arcillas expansivas presentan una variación alta de volumen según su
contenido de humedad, este tipo de suelo debe en lo posible evitarse como suelo de fundación
buscando estratos de suelo más competentes. Una adecuada exploración de terreno debe incluir
entre otros más datos, la profundidad de la capa freática, estudio detallado de los diferentes
estratos del suelo indicando su espesor, características mecánicas (compresión simple, ensayo
triaxial, etc.) y características químicas (sulfatos, carbonatos, etc.)
La interacción suelo estructura ha cobrado recientemente gran importancia para lo cual se
requieren estudios adicionales a los mencionados relacionados con las propiedades del suelo a fin
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 286
de determinar en la forma más aproximadamente posible los efectos de interacción suelo
estructura necesarios para optimizar el diseño de la estructura y considerar los efectos inducidos
sobre el suelo de fundación por la estructura bajo el efecto de cargas ambientales. Las
cimentaciones de concreto reforzado pueden ser clasificadas en dos tipologías: superficiales y
profundas.
Cimentaciones superficiales:
Las cimentaciones superficiales generalmente se usan cuando es suelo presenta buenas
propiedades mecánicas y químicas a profundidades no mayores a los 4 m. Para edificaciones de
baja altura cimentadas sobre suelos de muy buena resistencia se utilizan zapatas, que son
ensanchamientos de la sección de la columna en la parte de contacto con el suelo de cimentación,
las cimentaciones superficiales definidas como zapatas pueden ser céntricas, medianeras,
esquineras, combinadas o corridas. Para edificaciones de mayor altura con el fin de evitar el
traslapo de las zapatas se utilizan losas de cimentación que consiste en una losa sobre la cual se
apoyan las columnas o muros y que generalmente abarca la totalidad del área que ocupa la
edificación. Generalmente se usan en edificaciones que no abarcan un área extensa sino que
predominan en altura, deben tener un espesor mínimo de 30 cm, pero se recomiendan espesores
no inferiores a los 50 cm y van hasta los 120 cm. Uno de los problemas que presenta este tipo de
cimentación es la localización de las tuberías de desagüe dado que deben ubicarse embebidas
dentro de la losa de cimentación lo cual puede causar problemas futuros de deterioro de las
tuberías o daño por rompimiento de tuberías lo cual resulta bastante costoso y complejo de reparar
y que en algunos casos puede causar corrosión del acero de refuerzo de la losa de cimentación. El
coeficiente de balastro es un parámetro importante en la determinación de los parámetros de
diseño de la losa de cimentación. Es de obligatorio cumplimiento enlazar las zapatas con vigas
centradoras o vigas de atado para contrarestar posibles asentamientos diferenciales y garantizar
una respuesta adecuada ante solicitaciones de cargas ambientales.
Las cimentaciones profundas se usan cuando las propiedades mecánicas y químicas del suelo son
bajas, otros aspectos que pueden influir en la selección de este tipo de cimentación tienen que ver
con niveles freáticos muy altos, capas superficiales de terrenos con variaciones volumétricas
considerables por efecto de cambio de la humedad, y en casos de cimentaciones de edificios de
altura considerable o en zonas de ladera donde se generan fuerzas de tracción en la cimentación
a fin de garantizar su estabilidad.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 287
Cimentaciones profundas:
Las cimentaciones profundas se clasifican en pilotes y pilas. Los pilotes se consideran como
elementos tipo columnas que se encuentran hincadas o fundidas dentro de las capas del suelo de
fundación, su característica principal es que presentan una sección transversal es pequeña con
respecto a la altura. Por las limitaciones de carga de un pilote individual, frecuentemente es
necesario utilizar varios elementos para un mismo apoyo de la estructura, este es caso se requiere
de un elemento de enlace entre la columna y el grupo de pilotes llamado comúnmente encepado.
Dependiendo de las características del suelo los pilotes pueden trabajar por transmisión de cargas
en la punta, a este tipo de pilote se le conoce como pilote columna y el otro tipo de pilote es el
que trabaja por fricción en el fuste el cual se conoce comúnmente como pilote flotante.
En algunos casos se tienen pilotes trabajando por punta y por fricción en el fuste. Según el
procedimiento de construcción los pilotes se clasifican en pilotes de desplazamiento y pilotes de
extracción. Los pilotes de desplazamiento se clasifican a su vez en pilotes hincados prefabricados
y pilotes hincados mediante tubería y fundidos in situ. Los pilotes de extracción son aquellos que
se construyen una vez se realiza la perforación mediante una barrena o hélice, su uso solo debe
ser considerado en suelos donde no se presenten niveles freáticos que afecten las excavaciones.
Tambien se usan pilotes con camisa perdida o recuperable dependiendo de las condiciones del
suelo, en estos casos se introduce una tubería que sirve de camisa al pilote. En la actualidad se
han desarollado un gran número de procedimientos de pilotaje, los cuales deben ser evaluados
bajo criterios de seguridad. Los micropilotes se recomiendan en casos de reforzamiento
estructural de edificaciones existentes donde las áreas disponibles limitan el uso de pilotes, debe
darse especial cuidado a la falla de estos elementos ante eventos sísmicos por efectos de la gran
esbeltez que presentan y la baja resistencia a cortante, adicionalmente al tener secciones tan
reducidas que oscilan entre los 10 y 15 cm impidien dar cumplimiento al refuerzo mínimo de
acuerdo a lo estipulado en la tabla C.15.11-1 de la NSR-10
Finalmente, el uso de pilas como sistema de cimentación, generalmente se emplea en conjunto
con un elemento por apoyo. Las pilas están asociadas a cargas muy altas, a condiciones del suelo
superficialmente desfavorables y a condiciones aceptables en los estratos profundos del suelo, a
donde se transmitirán las cargas de la estructura. Las pilas siempre son pre-excavadas y vaciadas
in situ.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 288
Vigas de cimentación:
Las vigas de cimentación son los elementos estructurales que se emplean para amarrar estructuras
de cimentación tales como zapatas, encepados, pilas y que tienen como funciones principales la
reducción de asentamientos diferenciales, soporte a momentos generados por excentricidades de
cargas, y mejorar el comportamiento sísmico de la estructura. Presentan otras funciones
secundarias como ser el arriostramiento en laderas, la disminución de la esbeltez en columnas, y
aporte en estabilización de zapatas medianeras. Las vigas de fundación se pueden diseñar bajo
dos criterios:
Criterio 1:
Diseñar la viga de fundación para que tome los momentos y la zapata solo la carga axial.
Criterio 2:
Diseñar la zapata para que atienda el momento biaxial. La viga se diseña sólo para carga axial.
Las vigas de fundación deben resistir en tensión o compresión una fuerza no menor de (A.3.6.4.2
– Vigas de amarre en la cimentación – NSR-10):
o 0,25 a uC T A P=
Aa: Coeficiente que representa la aceleración horizontal pico efectiva, para diseño, dado en
A.2.2 – NSR-10.
Pu: Valor de la fuerza axial mayorada o carga última correspondiente a la columna más
cargada (comparando las dos fuerzas axiales a las cuales están sometidas las dos columnas
unidas por la viga de amarre).
En el caso de Medellín con el nuevo código Aa = 0.15, luego:
o 0,0375uC T P=
En la mayoría de los casos prácticos la fuerza a compresión o tensión puede ser soportada por la
viga con refuerzo mínimo (C.10.9 – Límite del refuerzo de elementos a compresión – NSR-10):
,min 0,01s gA A=
Ag: Área bruta de la sección, expresada en 2m m .
Suponiendo una viga de 300 300mm mm× , tenemos Ag = 90000 mm 2.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 289
2 2,min 0,01 90000 900sA mm mm= × =
2,min 4 3 4 1136sA mmφ ′′≈ =
Supóngase que la viga está sometida a una carga de compresión C. De acuerdo con C.10.3.6.2 de
la NSR-10, la resistencia de diseño a fuerza axial de un elemento no pre-esforzado, reforzado con
estribos cerrados, sometido a compresión, está dada por la expresión:
( )0, 75 0,85 g st y stC f c A A f Aφ ′= − +
ϕ: Coeficiente de reducción de resistencia, que para elementos reforzados con estribos
cerrados es igual a 0.65 (C.9.3.2.2).
f'c: Resistencia nominal del concreto a la compresión, expresada en MPa. Supóngase
f‘c=21Mpa.
Ag: Área bruta de la sección, expresada en mm2. Suponiendo una viga de 300mmx300mm,
tenemos Ag=90000mm2.
Ast: Área total de refuerzo longitudinal, expresada en mm2. Para el caso Ast=1136mm2.
fy: Resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo, expresada en MPa. Supóngase
fy = 420 Mpa.
( )( )
0,75 0,85
0,75 0,65 0,85 21 90000 1136 420 1136
1005879,42 101
101 0,0375 2693
g st y st
u
C f c A A f A
C
C N ton
P ton
φ ′= − +
= × × × × − + ×
= == =
Para una carga superior a 2693 toneladas se debería aumentar la sección de la viga.
Supóngase que la viga ahora está sometida a una carga de tensión T. En este caso, la resistencia
de diseño a fuerza axial de la viga (despreciando la resistencia a tracción del concreto), está dada
por la expresión:
0,90
0,90 420 1136 429408
43
43 0,0375 1147
y st
u
T f A
T N
T ton
P ton
=
= × × === =
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 290
La viga reforzada de 300× 300mm, funciona adecuadamente siempre y cuando, la fuerza axial
(Pu) que actúa sobre la columna más cargada no sea superior a 1147 toneladas, equivalente a la
carga gravitacional que sobre esta columna transmitiría un edificio de aproximadamente 30 pisos.
Dimensiones mínimas
El artículo C.15.13.3 de la NSR-10 establece las dimensiones mínimas para las vigas de
cimentación.
Mayor dimensión de la viga de fundación
Estructuras con capacidad de disipación de energía (DES) >=L/20
Estructuras con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) >=L/30
Estructuras con capacidad mínima de disipación de energía (DMI) >=L/40
En Medellín (DMO) por ejemplo, la máxima dimensión de una viga de amarre de 6 m de longitud
sería mínimo L/30 = 6000/30 = 200 mm. Esta viga, con una dimensión mínima de 100 mm, podría
eventualmente desaparecer como elemento viga al quedar embebida en la losa de piso; situación
que obliga a diseñar la zapata por flexión biaxial.
Refuerzo longitudinal
El artículo C.15.13.2 de la NSR-10 establece lo siguiente acerca del refuerzo longitudinal.
Las vigas de amarre sobre el terreno que enlacen dados o zapatas deben tener refuerzo longitudinal
continuo, el cual debe ser capaz de desarrollar fy por medio de anclaje en la columna exterior del
vano final. Las varillas de 3/4” en nuestro ejemplo pasan de una zapata a otra con el fin de
garantizar el trabajo de tensión.
Refuerzo transversal
El artículo C.15.13.4 de la NSR-10 establece lo siguiente acerca del refuerzo transversal.
Deben colocarse estribos cerrados en toda su longitud, con una separación que no exceda la mitad
de la menor dimensión de la sección ó 300 mm. Las vigas de amarre que resistan momentos
flectores provenientes de columnas deben cumplir los requisitos de separación y cantidad de
refuerzo transversal que fije el Reglamento para el nivel de capacidad de disipación de energía en
el rango inelástico del sistema de resistencia sísmica. Para la viga mínima de 300 mm x 300 mm,
la separación será entonces de 150 mm.
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 291
26. DISEÑO DE ZAPATAS
Para la localización de las secciones críticas de momento, cortante y desarrollo del refuerzo de
las zapatas, en columnas o pedestales de concreto no cuadrados, la NSR 10 en su artículo C.15.3,
permite, por simplicidad, trabajar con columnas o pedestales cuadrados equivalentes en área.
Figura 170
Para el diseño de una zapata concéntrica se deben tener en cuenta los siguientes pasos:
i. Obtener la carga de servicio P
ii. Determinar el ancho de la zapata
iii. Suponer espesor h de la zapata
iv. Revisar punzonamiento o cortante bidireccional.
v. Revisar cortante unidireccional
vi. Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo
vii. Revisar el aplastamiento
viii. Detalles de refuerzo
i. Obtener la carga de servicio Ps: se desmayora la carga última Pu obtenida en el análisis
estructural.
a. Dividiendo la carga por el factor de seguridad FG (1.5 para estructuras de concreto, 1.4
para estructuras de acero).
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 292
b. Calcularla con cargas de servicio.
us
G
PP F=
P se compara con la capacidad admisible qa (Calculada a partir de qu). Por medio de la
siguiente expresión válida para suelos cohesivos.
u c fq cN Dγ= +
ca f
cNq D
Fsγ= +
c: Cohesión del suelo (ton/m2)
Nc: Factor de capacidad de carga
γ : Peso unitario de la masa del suelo (ton/m3)
Df: Profundidad de desplante de la zapata (m)
Fs: Factor de seguridad
ii. Determinar el ancho B de la zapata: Para ello se emplea la expresión:
s
a
PB q=
iii. Suponer espesor h de la zapata: La NSR-10 expresa:
a. dmin > 150 mm para zapatas apoyadas en suelo, dmin > 300 mm para zapatas apoyadas
en pilotes (C.15.7).
b. El recubrimiento mínimo debe ser de 75 mm cuando la zapata este apoyada en terreno
natural (C.7.7.1(a)).
c. El recubrimiento mínimo debe ser 50 mm para barras No. 6 a No. 18 y 40 mm para barras
No.5 y menores, cuando estén expuestas a suelo de relleno o a la intemperie (C.7.7.1 (b)).
De acuerdo a lo anterior el espesor mínimo de una zapata será 190 mm (150 mm + 40 mm).
iv. Revisar punzonamiento o cortante bidireccional: Es el efecto en que la zapata trata de fallar
en forma piramidal debido a la carga transmitida por la columna (C.11.11.2 – NSR-10).
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: Programa de Ingeniería Civil - UdeA
Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 293
Figura 171
En la práctica se trabaja con una sección crítica perpendicular al plano de distancia d/2 de la
columna o placa.
iv. Revisar punzonamiento o cortante bidireccional: Para el caso supuesto de zapata cuadrada,
el esfuerzo cortante bidireccional será:
( )( )( )( )
21 2
21 22
uup
B b d b dP
B b d b d dν
− + +=
+ + +
Pu: Carga última que se trasfiere a la zapata por la columna o pedestal
B: Ancho de la zapata (mm)
h: Distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo a tracción
(mm, d = h - recubrimiento)
b1: Lado corto de la columna o pedestal (mm)
b2: Lado largo de la columna o pedestal (mm)
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 294
De acuerdo al artículo C.11.11.2.1 de la NSR-10 se debe cumplir lo siguiente:
0
00
0
20,17 1
0,083 2
0,33
c
sup c
c
V f cb d
dV V f cb d
b
V f cb d
λβ
α λ
λ
′= +
′< = +
′=
Vc: Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto.
f’c: Resistencia nominal del concreto expresada en MPa
d: Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo
longitudinal a tracción (mm)
b0: Perímetro de la sección crítica a cortante para losas y zapatas.
β: Relación de la dimensión larga a corta de la columna.
sα : Constante usada para calcular el cortante en losas y zapatas. 40 para columnas interiores,
30 para columnas de borde, 20 para columnas de esquina.
λ : Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas del concreto de
peso liviano relativa a los concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión.
v. Revisar cortante unidireccional: Se refiere al comportamiento de la zapata como un
elemento viga (C.11.11.1.1 – NSR-10).
Para el caso supuesto de zapata cuadrada el cortante unidireccional estará dado por:
1 1
2 2
2 2 2 2u uud
b bB BB d d
P P
B Bd B dν
− − − − = =
Y debe cumplirse que:
0,17ud c wV V f cb dλ ′< =
wb : Ancho del alma o diámetro de la sección circular (mm).
vi. Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo: El momento máximo mayorado
para una zapata aislada debe calcularse pasando un plano vertical a través de la zapata y
calculando el momento de las fuerzas que actúan sobre el área total de la zapata que quede
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 295
a un lado de dicho plano vertical (C.15.4.2). Para las secciones críticas localizadas como
se indica a continuación:
a) En la cara de la columna, pedestal o muro, para zapatas que soporten una columna,
pedestal o muro de concreto.
Figura 172
b) En el punto medio entre el eje central y el borde del muro para zapatas que soporten muros
de albañilería (Figura A).
c) En el punto medio entre la cara de la columna y el borde de la platina de base de acero,
para zapatas que soporten una columna con platina de acero de base (Figura B).
El momento mayorado máximo será igual al momento de las fuerzas que actúan sobre la totalidad
del área de la zapata, en un lado de ese plano vertical. Se puede expresar entonces:
2 2
1 12 2 2 2 2 2 2u uu
P Pb bB B BM
B B = − = −
Figura 173
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 296
De acuerdo con los artículos C.15.4.3 y C15.4.4, el refuerzo resultante debe repartirse
uniformemente a todo lo ancho de la zapata, con excepción del refuerzo transversal de zapata
rectangulares, en donde una banda central de ancho igual al menor de la zapata debe tener
uniformemente repartida una porción del refuerzo total dada por la ecuación:
Refuerzo en el ancho de la banda
Refuerzo total en la dirección corta
2
1sγβ
= =+
Donde:
Longitud larga
Longitud cortaβ =
Banda central: s sAγ
Fuera de la banda central: ( )1 s sAγ−
• En cualquier caso, el refuerzo a flexión debe tener una cuantía mínima de 0,0020 en ambas
direcciones.
• En el evento en que la zapata pueda quedar sometida a solicitaciones de tensión, debe
considerarse un refuerzo para flexión en su parte superior (o parrilla de acero superior), en
la cuantía requerida o mínima y revisarse el acero que pasa a la columna a tensión.
vii. Revisar el aplastamiento: Se suele considerar que la presión de compresión que transmite la
columna o pedestal se va disipando con el espesor h de la zapata, a razón de 2 horizontal por
1 vertical, desde el área A1 en su cara superior (área de contacto columna o pedestal –
zapata), hasta el área A2 en su cara inferior. La capacidad de carga por aplastamiento debe
ser tal que:
( )1 2 1 2 10,85 2uP f cA A A A Aφ ′< ∴ ≤
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Figura 174
Diseño de zapatas – zapatas medianeras
Las zapatas medianeras son aquellas que soportan una columna dispuesta de tal forma que una de
sus caras coincida con el borde de la zapata. La necesidad de su uso es muy frecuente debido a
las limitaciones de colindancia con las edificaciones adyacentes.
Figura 175
Existen varias teorías expuestas por algunos autores para modelar y resolver el problema de
zapatas medianeras.
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Caso de carga axial de valores bajos
Enrique Kerpel hace las siguientes recomendaciones:
El equilibrio exige que la resultante de las presiones sobre el terreno sea igual y opuesta a la carga
vertical que actúa sobre la columna.
Como la zapata no es simétrica con respecto a la columna y la condición anterior debe cumplirse
de todas maneras, es evidente que se deben tener presiones mayores del lado al lado de la columna,
o sea que no habrá reacción uniforme.
No se toma en cuenta el peso propio de la zapata.
Figura 176
Para el predimensionamiento se tienen en cuanta las siguientes expresiones:
2
3
2B b=
min
61 0
P eq
BL B = − =
max
61 a
P eq q
BL B = − =
Para que qmin = 0, se debe cumplir que e = B/6. Remplazando este valor en la expresión de qmax y
despejando L se obtiene:
2
a
PL
Bq= Zapatas Alargadas
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 299
Caso de carga axial de valores medios
Análisis de zapata medianera con viga aérea, recomendado por José Calavera. Este autor supone
que bajo la cimentación existe una distribución de presiones uniforme o linealmente variable, y
realiza el análisis de cada una de ellas de la siguiente manera:
• Zapata medianera con distribución uniforme de presiones y reacción mediante viga aérea.
0yF P N R= ⇒ + =∑
( )20 02 2 2O
Pb NB RBM T C h M= ⇒ + + + − + =∑
( )( )
2 2
2
P B b MT
C h
− −=
+
Figura 177
• Zapata medianera con distribución variable de presiones y reacción mediante viga aérea. Se
considera efecto de reacción lineal no uniforme con mayor intensidad en el vértice de la zapata.
Se requiere ecuación de deformación para resolver el problema (ISE)
Figura 178
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 300
Figura 179
Figura 180
max0
q
Kδ =
min1
q
Kδ =
max mins
q q
KBα −=
( ) 2 2
3c
cc
T M C
EI
λα
+=
λ : Coeficiente que depende del grado de empotramiento de la columna. 1λ = para
articulación. 0, 75λ = para empotramiento.
Ic: Inercia de la columna.
E: Modulo de elasticidad de la columna.
K: Modulo de reacción del suelo o módulo de balasto.
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Igualando los giros de las zapatas y la columna se obtiene:
2 2max min
3c
c
T C q q
EI KB
λ −=
( )max min02y
q qF P N R BL
+= ⇒ + = =∑
( ) ( ) ( )max min 20 2
210 0
2 6
q qM T C h NB Pb B L M
−= ⇒ + + + − + =∑
Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene:
2
2 23
2
36 c
B bP M
TK C
C h B LEI
λ
− − =
+ +
2 2
max 6 ac
P K C Bq T q
BL EI
λ= + ≤
2
2 23
2
36 c
B bP M
TK C
C h B LEI
λ
− − =
+ +
2 2
min 06 c
P K C Bq T
BL EI
λ= − >
Debido a que los resultados obtenidos mediante la aplicación de esta expresión son inferiores a
los obtenidos mediante un análisis de Interacción suelo estructura, se recomienda, para el cálculo
del acero de refuerzo de la viga, duplicar este valor.
El valor del coeficiente de balasto K está dado por la expresión:
0, 67
fK kl=
Donde:
1 0,50
1,5
b
Lf
+ =
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( )21sE
klB µ
=−
Es: Modulo de elasticidad del suelo. Es=1/mv (mv: Modulo de compresibilidad obtenido en el
ensayo de consolidación).
µ: Relación de Poisson. Para suelos arcillosos = 0.35, para suelos arenosos= 0.25.
Caso de carga axial de valores altos
En este caso se recomienda el uso de una viga de enlace resistente a momentos conectada a una
zapata concéntrica.
EJEMPLO 32
Diseñar una zapata concéntrica que soporta una columna interior de 300x400mm, con los
siguientes datos:
21
420y
f'c MPa
f MPa
==
3 4 4 sP K N=
1 0 0 aq K P a=
1
2
300
400
b mm
b mm
==
Determinar ancho de la zapata
Se procede a dimensionar una zapata cuadrada de lado B que permita sostener la estructura. Esta
dimensión se calcula de la forma:
( )344 /100 1,85 S aB P q m m= = =
Suponer espesor h de la zapata
Se supone un espesor de 250mm y el recubrimiento del acero es 75 mm.
250 75 175 150 .d mm mm mm mm cumple= − = > →
Revisar punzonamiento o corte bidireccional
1, 5 5 1 6u sP P K N= =
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Como es el caso de una zapata cuadrada, asumiendo que debajo de ella se presenta una reacción
uniforme del suelo dada por 22
1,51 /uu
Pq KN m
B= = , el esfuerzo cortante bidireccionali`xn
está dado por:
( )( )( )( )
21 2
21 22bd
uu
B b d b dP
B b d b d dυ
− + +=
+ + +
1
2
300
400
b mm
b mm
==
Dimensiones de la columna.
uP = Carga última que baja por la columna (mayorada).
175 d mm= Profundidad efectiva del refuerzo para un recubrimiento de 80 mm. (d debe ser
mayor que 150mm) cumple.
La expresión anterior queda planteada de la siguiente manera:
( )( )( )( )
( )( )( )
22 2
2 2 2
1,85 0,3 0,175 (0, 4 0,175)516
1,85 2 0, 4 0,3 2 0,175 0,1754
1292,03 1, 29
bd
bd
uu
u
B b dP KN
B md b d
kPa MPa
υ
υ
− + − + += = =
× + + × ×+
= ≈
Se debe cumplir que
0
2 0,17 1 1,95
0,083 2 2,03
0,33 1,51
c
Sup
f c MPa
df c MPa
b
f c Mpa
λβ
αυ λ
λ
′+ =
′≤ + =
′ =
Parámetros
• 400 / 300 1, 33cβ = =
• 21f c MPa′ =
• 4 0Sα = , columna interior
• ( )0 1 22 2 2,1b b b d m= + + =
• 1λ =
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 304
Al cumplir estos requisitos significa que la zapata no falla por punzonamiento, la columna no se
separa de la zapata.
Revisar cortante unidireccional
Para el presente caso de una zapata cuadrada el cortante unidireccional udVu está dado por la
ecuación:
2 2 2
1,85 0,30,175
5162 2 2 2516,9 0,52
1,85 0,175ud
uu
B bd
P KNKPa MPa
B d mυ
− − − − = = = ≈
Se debe cumplir que 0,52 0,17 0,78 . .udu Mpa f c MPa cumpleυ λ ′= ≤ = →
Finalmente, las dimensiones de la zapata son:
B=L=1,85 m
h=250 mm
Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo
La sección crítica en una zapata en la cual se calcula el momento mayorado máximo se determina
pasando un plano vertical justo en la cara de la columna si la columna es de concreto. El momento
mayorado máximo es igual al momento de las fuerzas que actúan en toda el área de la zapata y se
expresa como:
2516 1,85 0,3
83,76 2 1,85 2 2
uM KN m KN m = − − = − ×
Diseño refuerzo
Para que el acero entre en fluencia se tiene que garantizar que el comportamiento de la franja
esté controlado por la tensión, es decir, 0,375c
d≤ y el coeficiente de reducción de resistencia
se puede tomar como φ = 0,9 .
Aplicando el principio de equilibrio de fuerzas, T = C
2ys
aMu A f dφ ×
= −
y 0,85
ysA fa
f c b
×=′ ×
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Iterando se obtiene: 21330,5As mm= y 16, 9a m m= 0,114c d =
Se escogen 7 No. 5 con un 21400 sA mm=
Cuantía: 14000,0043 0,002 .
1850 175SA
cumpleb d
ρ = = = > →× ×
Verificar longitud de desarrollo:
694 .2,1 '
t e bd
yf dL mm cumple
f c
ψ ψ× × ×= = →
Cumple la longitud de desarrollo, para ambos lados no es necesario utilizar gancho.
El refuerzo anteriormente calculado debe ubicarse sobre todo el ancho para cada una de las dos
direcciones con un espaciamiento de:
( )# 2 . 1850 7 15,9 2 75265
# 1 7 1bB barras d recub
S mmbarras
− × − − × − ×= = =− −
Revisar aplastamiento
21 1 2 0,12A b b m= × =
( )( ) 22 1 22 2 0,72A b h b h m= + + =
2
1
0,722, 44 2
0,12
A
A= = ≥ , se toma 2 dado que es el máximo admisible.
( )( ) ( )( )( )6 221
1
0,85 0,65 0,85 21 0,12 10 2 2784,6 n
AP f cA Mpa mm KN
Aφ φ ′= = × =
5 1 6 2 7 8 4 , 6 .u nP K N P K N cu m p leφ= ≤ = →
Solo se requiere pedestal para cubrir con un recubrimiento dentro del suelo, lo cual se cumple
con 50 mm más que la columna a cada lado.
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Detallamiento del refuerzo
EJEMPLO 33
Diseñar una zapata de lindero que soporta una columna de 400mm x 400 mm para los siguientes
datos:
220
330
250
' 21
420
1,2
D
L
a
y
P KN
P KN
q KPa
f c MPa
f MPa
desplante mm
===
==
=
(220 330) 550S D lP P P KN KN= + = + = 420 yf MPa=
250aq KPa= ' 21f c MPa=
400b mm= 0, 5C m=
Determinar dimensiones de la zapata
Para dimensionar la zapata se utiliza la expresión dada por Meyerhof:
( )max 2 2S
a
Pq q
B e L= ≤
−
• Para este caso como no existen momentos aplicados a la columna 0e=
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• La relación más eficiente para zapatas medianeras con viga aérea es 2, 2L
B=
Sustituyendo lo anterior en la ecuación, se obtiene:
5501, 05
2 2 250S
a
PB m
q≥ = =
×
Se asume 1,8 y 3, 6B m L m= =
Suponer espesor h de la zapata
Se supone un espesor de h=600mm y el recubrimiento del acero es 75 mm, por lo cual
525d mm=
Tensión en la viga aérea y presiones máximas y mínimas ejercidas por el suelo a la cara
inferior de la zapata
Según J. Calavera estas están dadas por las siguientes ecuaciones:
2
2 23
2
36
S
s
C
B bP
Tk c
c h B LEI
λ
− =
+ +
2 2
max 6S
s S aC
P k c Bq T q
BL EI
λ= + ≤
2 2
min 06
Ss s
C
P k c Bq T
BL EI
λ= − >
Donde:
• 0, 75λ = conexión viga columna empotrada
• 3 38, 5 1 0K N m m−= × coeficiente de Balasto (Supuesto)
• 24700 ´ 21538 21538 /E f c MPa N mm= = = Módulo de elasticidad del concreto.
• 3 6 412133,3 10
12CI lb mm= = × Momento de inercia de la columna.
Sustituyendo estos valores en las expresiones anteriores, se obtiene:
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( ) ( )
( )( ) ( )
2 233
3
6 42
1800 400550
2
8,5 10 0,75 500500 600 1800 3600
36 21538 2133,3 10
s
mm mmKN
TN
mmmm
mm mm mm mmN
mmmm
−
− =
× + + ×
385000345,24
500 600 15,17s
KN mmT KN
mm mm mm
−= =+ +
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
2 233
max6 4
2
max
max
8,5 10 0,75 500 1800550000
3452401800 3600 6 21538 2133,3 10
0,0848 0,00269
87,57 250 .
s
s a
s
Nmm mm
N mmq N
Nmm mmmm
mm
q MPa MPa q
q KPa KPa ok
− × = +
×
= + ≤
= ≤ →
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
2 233
min6 4
2
min
min
8,5 10 0,75 500 1800550000
3452401800 3600 6 21538 2133,3 10
0,0848 0,00269 0
82,18 0 .
s
s
s
Nmm mm
N mmq N
Nmm mmmm
mm
q MPa MPa
q KPa KPa cumple
− × = −
×
= − ≥
= ≥ →
Los valores de m axsq
y m insq para estado último de carga son:
m ax m ax1, 5 131, 36u sq q K P a= =
m in m in1, 5 1 2 3,1 6u sq q K P a= =
Cortante por punzonamiento (cortante bidireccional)
Las cargas mayoradas son:
( )1,2 1,6 1,2 220 1,6 330 792 u D LP P P KN KN= × + × = × + × =
Esfuerzo en la sección critica
max minmax 2
2 2u u
d uu
q q dq q b
B
− = − +
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 309
2
131,36 123,16 0,52131,36 0,4
1,8 2du
KPa KPa mq KPa m
m
− = − +
2
128,35du
q KPa=
La fuerza total por punzonamiento que hace la columna sobre la placa es:
( )max
22 12 2
u du
up u
q qd
V P b d b
+ = − + × +
( )131,36 128,35 0,52792 0,4 0,52 0,4
2 2upV+ = − + × +
713,15 upV KN=
El esfuerzo cortante por punzonamiento es:
0
upup
V
b dυ =
Donde:
( )0 1 22 2,242
db b d b m
= + + + =
Se obtiene que:
( ) ( )713150
2240 520 up
N
mm mmυ =
×
0,61 up MPaυ =
Se debe de cumplir que:
0
2 20,17 1 0,17 1 1 21 2,33
1
30 0,52 0,083 2 0,083 2 1 21 3,41
2,24
0,33 0,33 1 21 1,51
Sup
f c MPa
dSea f c MPa
b
f c MPa
λβ
αυ λ
λ
′+ = + =
× ′≤ + = + =
′ = × × =
Donde:
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• 1cβ = columna cuadrada
• 21f c MPa′ =
• 30sα = , columna de borde
• 1λ = , concreto de peso normal
• 0 2,24b m=
Al cumplir estos requisitos significa que la zapata no falla por punzonamiento, la columna no se
separa de la zapata.
Cortante Unidireccional en sentido longitudinal (L)
[ ]max minmin 2
u uud u
q qq q B b d
B
−= + − −
[ ]131,36 123,16123,16 1,8 0,4 0,52
1,8udq−= + − −
2127,17ud
KNq
m=
La fuerza cortante en el sentido longitudinal es:
[ ]min22
u udud
q qV B b d L
+= − −
[ ]123,16 127,171,8 0, 4 0,52 3, 6
2udV+= × − − ×
396,52udV KN=
El esfuerzo cortante es:
udud
V
Ldυ =
( ) ( )396520
3600 520 ud
N
mm mmυ =
×
0,21 0,17 ' 0,78 .ud Mpa f c MPa cumpleυ = < = →
Cortante Unidireccional en sentido transversal (B)
La fuerza cortante en sentido transversal es:
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( )1min max
2 2u u
ud
L bq qV d B
− += −
( )3,6 0, 4123,16 131,360,525 1,8
2 2udV− += −
2 4 7 , 3 9 u dV K N=
El esfuerzo a cortante es:
udud
V
Bdυ =
( ) ( )247390
1800 520 ud
N
mm mmυ =
×
0,26 0,17 ' 0,78 .ud MPa f c MPa cumpleυ = < = →
Finalmente las dimensiones de la zapata son:
1,8
3,6
0,6
B m
L m
h m
===
Refuerzo en sentido longitudinal o largo
2min max
2 2u u vu
q q LM B
+ =
Donde:
1 1, 62 2v
bLL m= − =
Entonces
( )2123,16 131,36 1,6
1,82 2
uM+ =
293, 21 uM KN m= −
Aplicando el principio de equilibrio de fuerzas, T = C
2yu s
aM A f dφ ×
= −
y 0,85
s yA fa
f c b
×=′ ×
Iterando se obtiene: 21506 sA mm= y 19, 7 a mm= 0, 044c d =
Se escogen 8 No. 5 con un 21600 sA mm=
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 312
Cuantía: usar cuantía mínima1600
0, 0017 0, 002, 1800 525
sA
b dρ = = = >
× ×
2min 0,002 1800 525 1890sA b d mmρ= × × = × × =
Entonces se escogen finalmente 7 No. 6 con un 21988 sA mm=
Verificar longitud de desarrollo:
834 .2,1 '
t e bd
yf dL mm cumple
f c
ψ ψ× × ×= = →
Cumple la longitud de desarrollo, no es necesario utilizar gancho.
Para el espaciamiento, se usa la fórmula:
( )# 2 .253
# 1bB barras d recub
S mmbarras
− × −= =
−
El refuerzo en la dirección larga debe distribuirse uniformemente a todo lo ancho de la zapata
con una separación de 253 mm.
Refuerzo en sentido transversal o corto
[ ]max minmin 2
u uuf u
q qq q B b
B
−= + −
[ ]131,36 123,16123,16 1,8 0,4
1,8ufq−= + −
129,54ufq KPa=
2 2min
min 2 2 3uf uv v
uuq qL L
M q L −
= +
Donde:
2 1,4 vL B b m= − =
Entonces:
2 21,4 129,54 123,16 1,4123,16 3,6
2 2 3uM
− = +
442, 01 uM KN m= −
Aplicando el principio de equilibrio de fuerzas, T = C
2yu s
aM A f dφ = × −
y
0,85
ysA fa
f c b
×=′ ×
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 313
Iterando se obtiene: 22260 sA mm= y 14, 7 a mm= 0, 033c d =
Se escogen 8 No. 6 con un 22272 sA mm=
Cuantía: 22720, 0012 0,002
3600 525
sA
b dρ = = = >
× ×Se debe tomar cuantía mínima.
2min 0,002 3600 525 3780sA b d mmρ= × × = × × =
Se escogen 10 No. 7 con un 23870sA mm=
Verificar longitud de desarrollo:
1197 .1,7 '
t e bd
yf dL mm cumple
f c
ψ ψ× × ×= = →
Cumple la longitud de desarrollo, no es necesario utilizar gancho.
Para el refuerzo en la dirección más corta de la zapata, una porción del refuerzo total obtenido
debe distribuirse uniformemente sobre una faja centrada sobre el eje de la columna de igual
longitud a la del lado corto de la zapata.
Se tiene que:
Refuerzo en el ancho de la faja
Refuerzo total en la dirección corta
2
1β=
+
Donde 2β = → relación entre el lado largo y el lado corto de la zapata.
Refuerzo en el ancho de la faja Refuerzo total en la dirección corta2
1β=
+
( )2 2Refuerzo en el ancho de la faja2
3870 2580 2 1
mm mm= =+
El refuerzo en el ancho de la faja, distribuido uniformemente se logra con 7 No. 7 espaciadas a
274 mm.
#274
# 1bB barras d
S mmbarras
− ×= =−
2 2 2R efuerzo po r fuera de l ancho de la fa ja3870 2709 1161 m m m m m m= − =
El refuerzo por fuera de la faja equivale a 3 No. 7, pero para garantizar simetría se ubicarán dos
barras No. 7. Por lo cual se debe colocar dos barras por fuera de la faja central, dos a cada lado,
entre el borde de la faja y el borde de la zapata.
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 314
Chequear aplastamiento
( )22 21 0,4 0,16 A b m m= = =
( ) ( ) 22 2 1,6 A b h b h m= + × + =
2
1
1,63,16 2
0,16
A
A= = ≥ , se toma 2 dado que es el máximo admisible.
( ) ( )( )( )( )6 221
1
0,85 0,65 0,85 21 0,16 10 2 3712,8 n
AP f cA MPa mm KN
Aφ φ ′= = × =
792 3712, 8 .u nP K N P K N cum p leφ= ≤ = →
Detalles del refuerzo
10 No 7 @ 183 mm
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Riveros Jerez, Carlos Alberto. Página 315
AGRADECIMIENTOS
El autor expresa sus más profundos agradecimientos al Profesor Eric W. Sandt, Departamento de
Ingeniería Civil, Universidad Texas A&M, por su amabilidad en permitirme usar como referencia
su material de clase del curso Structural Concrete Design.
BIBLIOGRAFÍA
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• Calavera, José. Cálculo de estructuras de cimentación, 8ª Edición. Intemac Ediciones, 2000.
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• Kerpel, Enrique, Unigracon, 1978, Concreto II.
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• Nawy, Edward. Reinforced Concrete: A Fundamental Approach, 6ª Edición. Pearson/ Prentice Hall, 2009.
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