Estructuras Algebraicas

Trabajo Final

Eduardo H. Chiumiento

16 de Abril de 2004

1. Introduccion

El tema de este trabajo es la teorıa de Galois y sus aplicaciones. La teorıa de Galois surgemotivada por problemas propios de la teorıa de ecuaciones. Sus aplicaciones se presentan en di-versas ramas de la matematica como teorıa de numeros y geometrıa algabraica. La idea principalde la Teorıa de Galois es relacionar una extension de cuerpos K ⊂ F con el grupo de todos losautomorfismos de F que actuan como la identidad sobre K. De este modo, cuestiones referidasa cuerpos, polinomios y extensiones pueden ser analizadas desde la teorıa de grupos.

Comenzamos con el estudio del Teorema Fundamental de Galois. Con objeto de una mayorclaridad y profundidad, dividimos su exposicion en dos partes. En la seccion 2 tratamos la pri-mera parte donde mostramos la relacion existente entre los cuerpos intermedios de una extensionde Galois de dimension finita y los subgrupos del grupo de Galois de la extension. Damos unageneralizacion de esto ultimo a dimension infinita en la seccion 3, donde tambien veremos lasegunda parte del Teorema Fundamental. En la seccion 4 utilizamos los resultados precedentespara estudiar las propiedades de las extensiones ciclotomicas. Finalmente, en la ultima seccion, amodo de aplicacion concreta, resolvemos un problema clasico de la antiguedad: la caracterizacionde los polıgonos de n lados construıbles con regla y compas.

El trabajo esta estructurado en cinco secciones y un apendice. Despues de esta introduccion,cada seccion presenta una subseccion de preliminares donde enunciamos o demostramos, segunel resultado haya sido visto o no en la cursada de la materia, todo lo necesario para llevar a cabolas demostraciones de la seccion.

2. Teorema Fundamental de Galois. Primera parte

En esta seccion definiremos el concepto de extension de Galois (definicion 2.7) Para dichasextensiones, bajo hipotesis adecuadas, es posible establecer una correspondencia con ciertosgrupos de manera tal que cuestiones concernientes a los cuerpos, extensiones y polinomios puedanser tratadas con herramientas de la teorıa de grupos.

2.1. Preliminares

Dado F un cuerpo y K un subcuerpo de F , es decir, F una extension de K, podemosconsiderar a F como un espacio vectorial sobre K. Anotaremos su dimension con [F : K]. Unaextension se dice finita o infinita de acuerdo [F : K] sea finita o infinita. Vale la siguiente:

Proposicion 2.1. F extension de E y E extension de K. Entonces [F:K]=[F:E][E:K]. Mas aun,[F:K] es finita si y solo si [F:E] y [E:K] lo son.

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Si F es un cuerpo y X ⊂ F , el subcuerpo generado por X es la interseccion de todos lossubcuerpos de F que contienen a X. Si F es una extension de un cuerpo K y X ⊂ F , elsubcuerpo generado por K ∪X se denomina el subcuerpo generado por X sobre K y es anotadocon K(X).

Dada F una extension del cuerpo K, recordemos que un elemento u ∈ F se dice algebraicosobre K si u es raız de algun polinomio no nulo f ∈ K[x]. F se dice una extension algebraicasobre K si todo elemento de F es algebraico sobre K.

Sea u ∈ F un elemento algebraico sobre K. El ideal Iu = {p(x) ∈ K[x] : p(u) = 0} de K[x]tiene un unico generador monico irreducible mu(x) que llamaremos el polinomio irreducible deu.

Proposicion 2.2. Sea F una extension de K, u ∈ F un elemento algebraico sobre K. Entonces:

i) K(u) ∼= K[x]/(mu), donde gr(mu) = n.

ii) [F : K] = gr(mu).

iii) {1K , u, u2, . . . , un−1} es una base del espacio vectorial K(u) sobre K.

Definicion 2.3. Sean E y F dos extensiones de K. Un morfismo de cuerpos σ : E → F tal queσ |K= IdK se denomina un K-morfismo. Si σ es un K-morfismo que es a su vez un automorfismo(monomorfismo) de cuerpos se lo llamara K-automorfismo (K-monomorfismo). El conjunto detodos los K-automorfismos de un cuerpo F es un grupo llamado el grupo de Galois de F sobreK. Lo denotaremos con G(F/K).

Proposicion 2.4. Sea F una extension de K y f ∈ K[x]. Si u es una raız de F y σ ∈ G(F/K),entonces σ(u) es raız de f.

Proposicion 2.5. Sea F una extension de K, E un cuerpo intermedio y H<G(F/K).

i) H ′ = {v ∈ F : σ(v) = v ∀σ ∈ H} es un cuerpo intermedio de la extension.

ii) E′ = {σ ∈ G(F/K) : σ(u) = u ∀u ∈ E} =G(F/E) es un subgrupo de G(F/K)

Al cuerpo H ′ lo llamaremos el cuerpo fijo de H en F . Vemos que F ′ = G(F/F ) =1, K ′ =G(F/K) y 1 ′ = F .

Proposicion 2.6. Sea F una extension de K y X ⊂ F .El subcuerpo K(X) consiste en elementosde forma

f(u1, . . . , un)/g(u1, . . . , un) = f(u1, . . . , un)g(u1, . . . , un)−1

donde n es un entero positivo, f, g ∈ K[x1, . . . , xn], u1, . . . , un ∈ X y g(u1, . . . , un) 6= 0

Estaremos interesados en el siguiente tipo de extensiones:

Definicion 2.7. Sea F una extension de K tal que el cuerpo fijo del grupo de Galois G(F/K) esel mismo K. Entonces F se dice que es una extension de Galois de K o que es Galois sobre K.

Necesitaremos los siguiente resultados:

Proposicion 2.8. Sea D un dominio de integridad contenido en otro dominio de integridad Ey f ∈ D[x] un polinomio de grado n. Entonces f tiene a lo sumo n raıces distintas en E.

Proposicion 2.9. Sea F una extension de dimension finita de K, entonces F es finitamentegenerada y algebraica sobre K.

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2.2. Teorema de Galois. Primera parte.

Comenzaremos enunciando la primera parte del teorema fundamental, para luego probarcuatro lemas que nos conduciran a su demostracion. Mas adelante, daremos algunos corolariosy teoremas relacionados.

Si L y M son dos cuerpos intermedios de una extension con L ⊆M , la dimension [M : L] sellama la dimension relativa de L y M . De modo similar, si H y J son subgrupos del grupo deGalois con H < J el ındice [J : H] se llama el ındice relativo de H y J .

Teorema 2.10. (Teorema Fundamental de Galois. Primera parte.) Sea F una extensionde Galois de K de dimension finita. Entonces hay una correspondencia biyectiva entre el conjuntode todos los cuerpos intermedios de la extension y el conjunto de todos los subgrupos del grupode Galois G(F/K), dada por E 7→ E′ = G(F/E) tal que la dimension relativa de dos cuerposintermedios es igual al ındice relativo de los correspondientes subgrupos; en particular G(F/K)tiene orden [F:K].

El proximo lema muestra las relaciones que hay entre las ‘ operaciones de primas ’.

Lema 2.11. Sea F una extension de K con cuerpos intermedios L y M. Sean H y J subgruposde G(F/K).

i) L ⊂M ⇒M ′ < L′

i´) H < J ⇒ J ′ ⊂ H ′

ii) L ⊂ L′′ y H < H ′′

iii) L′ = L′′′ y H ′ = H ′′′

Demostracion. i)- i´)- ii) salen de las definiciones. Para probar iii), observar que por ii)L ⊂ L′′ y por i) se tiene L′′′ < L′. Aplicando ii) con L′ en lugar de H da L′ < L′′′. Lo referido aH se prueba de modo similar.

Definicion 2.12. Sea X un cuerpo intermedio o un subgrupo de G(F/K). X se llamara cerradosi X = X ′′.

Ası, F es de Galois sobre K si y solo si K es cerrado.

Teorema 2.13. Sea F una extension de K, entonces existe una correspondencia biyectiva entrelos cuerpos intermedios cerrados de la extension y los subgrupos cerrados del grupo de Galois,dada por E 7→ E′ = G(F/E).

Demostracion. Por el lema 2.11 iii) a cada cuerpo cerrado (subgrupo cerrado) le corres-ponde un subgrupo cerrado (cuerpo cerrado). La inversa se define asignandole a cada subgrupocerrado H su cuerpo fijo H ′.

�En el apendice veremos que las ultimas definiciones y resultados son un caso particular del

concepto de correspondencia de Galois y sus propiedades.

Lema 2.14. Sea F una extension de K y L,M dos cuerpos intermedios con L ⊂M . Si [M : L]es finita, entonces [L′ : M ′] ≤ [M : L]. En particular, [F : K] finita implica |G(F/K)| ≤ [F : K].

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Demostracion. Lo demostraremos haciendo induccion sobre n = [M : L]. Para el cason = 1, tendremos M = L y se verifica que el resultado es cierto. Sea ahora n > 1 y supogamosque vale para todo i < n. Elijamos u ∈M \L. Como [M : L] es finito, u es algebraico sobre L (proposicion 2.9) con polinomio irreducible f ∈ L[x] de grado k > 1. Por las proposiciones 2.1 y2.2, [L(u) : L] = k y [M : L(u)] = n/k.

Entonces tenemos dos posibilidades: k < n o k = n. Si k < n, entonces 1 < k < n y porinduccion [L′ : L(u)′] ≤ k y [L(u)′ : M ′] ≤ n/k. Por lo tanto, [L′ : M ′] = [L′ : L(u)′][L(u)′ :M ′] ≤ k(n/k) = n = [M : L] y el teorema queda probado. Si k = n, entonces [M : L(u)] = 1y M = L(u). Para completar la demostracion en este caso, basta con construir una funcioninyectiva del conjunto S formado por todos los cosets a izquierda de M ′ en L′ en el conjuntoT de todas las raıces en F distintas del polinomio f ∈ L[x], ası |S| ≤ |T |. Como |T | ≤ n porla proposicion 2.8 y |S| = [L′ : M ′] por definicion, tenemos que [L′ : M ′] ≤ |T | ≤ n = [M : L].Como caso particular deducimos que |G(F/K)| = [G(F/K) : 1] = [K ′ : F ′] ≤ [F : K].

Sea τM ′ un coset de M ′ en L′. Si σ ∈M ′ = G(F/M), como u ∈M , τσ(u) = τ(u). Ası todoelemento de τM ′ tiene el mismo efecto en u y manda u en τ(u). Como τ ∈ L′ = G(F/L), y u esuna raız de f ∈ L[x], τ(u) es una raız de f (proposicion 2.4). Esto implica que la funcion de Sen T, dada por τM ′ 7→ τ(u) esta bien definida. Si τ(u) = ζ(u) (τ, ζ ∈ L′), entonces ζ−1τ(u) = u,luego por la proposicion 2.2 iii), ζ−1τ deja fijo cualquier elemento de L(U) = M , i.e ζ−1τ ∈M ′.Por lo tanto, ζM ′ = τM ′ y nuestra funcion es inyectiva.

�Ahora probaremos un analogo referido a los subgrupos del grupo de Galois.

Lema 2.15. Sea F una extension de K y sean H,J subgrupos del grupo de Galois G(F/K) conH < J . Si [J : H] es finito, entonces [H ′ : J ′] ≤ [J : H].

Demostracion. Sea [J : H] = n y supongamos que [H ′ : J ′] > n. Ası, existen u1, u2, . . . , un+1 ∈H ′ que son linealmente independientes sobre J ′. Sea {τ1, τ2, . . . , τn} un conjunto completo derepresentantes de cosets a izquierda de H en J y consideremos el siguiente sistema de n ecua-ciones lineales homogeneas con n+ 1 incognitas, donde los coeficientes τi(uj) estan en el cuerpoF :

τ1(u1)x1 + τ1(u2)x2 + . . .+ τ1(un+1)xn+1 = 0τ2(u1)x1 + τ2(u2)x2 + . . .+ τ2(un+1)xn+1 = 0...

...τn(u1)x1 + τn(u2)x2 + . . .+ τn(un+1)xn+1 = 0

Este tipo de sistemas siempre tiene una solucion no trivial. Ası, podemos tomar una solucionno trivial x1 = a1, . . . , xn+1 = an+1 con un numero mınimo de ai no nulos. Eventualmentecambiando los ındices asumamos que x1 = a1, . . . , xr = ar, xr+1 = . . . = xn+1 = 0 (ai 6= 0).Como al multiplicar por un escalar una solucion el vector obtenido sigue siendo una solucion,podemos suponer que a1 = 1F .

Bajo la hipotesis que u1, . . . , un+1 ∈ H ′ son linealmente independientes sobre J ′ se puedeprobar la existencia de un σ ∈ J tal que x1 = σa1, . . . , xr = σar, xr+1 = . . . = xn+1 = 0 (ai 6= 0)es una solucion del sistema anterior y σa2 6= a2. Como la resta de soluciones es tambien unasolucion, x1 = a1 − σa1, x2 = a2 − σa2, . . . , xr = ar − σar, xr+1 = . . . = xn+1 = 0 es unasolucion del sistema. Como a1 − σa1 = 1F − 1F = 0 y σa2 6= a2, tenemos que x1 = 0, x2 =a2− σa2, . . . , xr = ar − σar, xr+1 = . . . = xn+1 = 0 es una solucion no trivial, pues x2 6= 0 con alo sumo r−1 cordenadas no nulas. Esto contradice la minimalidad de la primer solucion tomadax1 = a1, . . . , xr = ar, xr+1 = . . . = xn+1 = 0. Por lo tanto, [H ′ : J ′] ≤ n.

Falta ver que existe un σ ∈ J con las propiedades requeridas. Exactamente uno de los τj ,supogamos τ1, esta en H por definicion; luego τ1(ui) = ui ∈ H ′,∀i. Como los ai son una soluciondel sistema, la primera ecuacion da que:

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u1a1 + u2a2 + . . .+ urar = 0

La indepencia lineal de ui sobre J ′ y el hecho de que los ai sean distintos de cero, implicanque algun ai, supogamos a2, no esta en J ′. Luego existe un σ ∈ J tal que σa2 6= a2. Ahoraconsideremos el siguiente sistema de ecuaciones

στ1(u1)x1 + στ1(u2)x2 + . . .+ στ1(un+1)xn+1 = 0στ2(u1)x1 + στ2(u2)x2 + . . .+ στ2(un+1)xn+1 = 0...

...στn(u1)x1 + στn(u2)x2 + . . .+ στn(un+1)xn+1 = 0

Como σ es un automorfismo y x1 = a1, . . . , xr = ar, xr+1 = . . . = xn+1 = 0 es una solucion delprimer sistema, tendremos que x1 = σa1, . . . , xr = σar, xr+1 = . . . = xn+1 = 0 es una soluciondel nuevo sistema. Veremos que este nuevo sistema, excepto por el orden de las ecuaciones esigual al primero. Para esto notemos que:

(i) ∀σ ∈ J , {στ1, . . . στn} ⊂ J es un conjunto completo de representantes de cosets a izquierdade H en J : Sea θ ∈ J , entonces existe j tal que σ−1θ ∈ τjH. Luego θ ∈ στjH. Ademas,(στi)−1(στj) = τ−1

i σ−1στj = τ−1i τj ∈ H si y solo si i = j.

(ii) Se cumple que si ζ1, ζ2 estan en el mismo coset de H en J , i.e. si ζ−12 ζ1 ∈ H, tenemos

ζ1(ui) = ζ2(ui) para i = 1, . . . , n+ 1 pues ui ∈ H ′.Por lo tanto, existe un reordenamiento i1, . . . , in+1 de 1, 2, . . . , n + 1 tal que para cada k =

1, . . . , n+1, στk y τik estan en el mismo coset de H en J . Por (ii) la k-esima ecuacion del ultimosistema es la misma que la ik-esima ecuacion del primer sistema.

�

Lema 2.16. Sea F una extension de K, L y M cuerpos intermedios con L ⊂ M , y H,Jsubgrupos del grupo de Galois G(F/K) con H < J .

i) Si L es cerrado y [M : L] finito, entonces M es cerrado y [L′ : M ′] = [M : L].

ii) Si H es cerrado y [J : H] finito, entonces J es cerrado y [H ′ : J ′] = [H : J ].

iii) Si F es una extension de Galois de dimension finita de K, entonces todos los cuerposintermedios y todos los subgrupos del grupo de Galois son cerrados. Ademas, G(F/K)tiene orden [F : K].

Demostracion. ii) Teniendo en cuenta que J ⊂ J ′′ y H = H ′′, usando los lemas 2.14 y 2.15obtenemos que

[J : H] ≤ [J ′′ : H] = [J ′′ : H ′′] ≤ [H ′ : J ′] ≤ [J : H]

Esto implica que J = J ′′ y [H ′ : J ′] = [J : H]De modo similar se prueba i).iii) Si E es un cuerpo intermedio entonces [E : K] es finito, pues [F : K] lo es. Como F es

Galois sobre K, K es cerrado y i) implica que E es cerrado y [K ′ : E′] = [E : K]. En particular,si E = F , entonces |G(F/K)| = [G(F/K) : 1] = [K ′ : F ′] = [F : K] es finito. Luego, todosubgrupo J de G(F/K) es finito. Como 1 es cerrado, ii) implica que J es cerrado.

�Demostracion. (Teorema Fundamental de Galois. Primera parte.) El teorema 2.13

muestra que hay una correspondencia biyectiva entre los cuerpos intermedios cerrados de laextension y los subgrupos cerrados del grupo de Galois. Pero bajo las hipotesis de este teorematodos los cuerpos intermdios y todos los subgrupos son cerrados por el lema 2.16 iii). Por

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ultimo, que la dimension relativa de dos cuerpos intermedios es igual al ındice relativo de loscorrespondientes subgrupos se deduce del lema 2.16 i).

�Completada la demostracion del teorema, veamos ahora algunos corolarios.

Teorema 2.17. (Artin) Sea F un cuerpo, G un grupo de automorfismos de F y K el cuerpo fijode G en F. Entonces F es Galois sobre K. Si G es finito, entonces F es una extension de Galoisde dimension finita de K con grupo de Galois G.

Demostracion. En cualquier caso G es un subgrupo de G(F/K). Si u ∈ F \ K entoncesdebe existir un σ ∈ G tal que σ(u) 6= u. Luego, el cuerpo fijo de G(F/K) es K, ası F es Galoissobre K. Si G es finito, por el lema 2.15 (con H = 1, J = G) tenemos que [F : K] = [1′ : G′] ≤[G : 1] = |G|. Entonces F tiene dimension finita sobre K, ası G = G′′ por el lema 2.16 iii). ComoG′ = K (luego G′′ = K ′) por hipotesis, tenemos G(F/K) = K ′ = G′′ = G.

�Siguiendo con la notacion habitual, diremos que un subgrupo H de G se corresponde con un

cuerpo intermedio E si H = G(F/E).

Si L y M son subcuerpos de un cuerpo F , la composicion de L y M en F , denotada porLM , es el subcuerpo generado por el conjunto L ∪M .

Si H1 y H2 son dos subgrupos de un grupo G, anotaremos con H1∨H2 al subgrupo generadopor H1 ∪H2.

Corolario 2.18. Sea F una extension de Galois de dimension finita de un cuerpo K. Si L, Mson dos cuerpos intermedios :

i) G(F/LM) = G(F/L) ∩G(F/M)

ii) G(F/L ∩M) = G(F/L) ∨G(F/M)

Demostracion. i) Sea σ ∈ G(F/LM), esto es σ es un LM - automorfismo de F . En particu-lar, σ es un L- automorfismo y un M - automorfismo. Entonces tenemos σ ∈ G(F/L)∩G(F/M).Sea ahora σ ∈ G(F/L) ∩G(F/M) por la proposicion 2.6, σ deja fijo LM y ası σ ∈ G(F/LM).

ii) Llamemos H = G(F/L)∨G(F/M), este grupo tiene como elementos productos finitos deelementos de G(F/M) y G(F/L). Luego todo elemento de H actua como la identidad en L∩M .Para probar la otra inclusion sea x ∈ F \ (L ∩M); supongamos que x /∈ L. Como G(F/L)′ = L(pues por el lema 2.16 L es un cuerpo cerrado), existe σ ∈ G(F/L) tal que σ(x) 6= x entoncesx /∈ H ′. Por la otra inclusion ya probada H ′ = G(F/L ∩M)′ = L ∩M . El grupo H es cerrado(lema 2.16), ası H = H ′′ = G(F/L ∩M).

�

3. Teorema Fundamental de Galois. Segunda Parte.

Introduciremos las definiciones y propiedades de los cuerpos de descomposicion. En la teore-ma 3.11 daremos una fuerte caracterizacion de las extensiones de Galois, independiente del grupode Galois, que tiene entre sus consecuencias al teorema fundamental para dimension infinita.A su vez estudiaremos las extensiones separables y las extensiones normales, estas ultimas conmas detalle. Dada F una extension de Galois de K con grupo de Galois G, en la segunda partedel teorema fundamental describiremos la relacion existente entre cuerpos intermedios normalessobre K y subgrupos normales de G, obteniendo informacion acerca del grupo de Galois de loscuerpos intermedios normales sobre K.

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3.1. Preliminares

Sea F un cuerpo y f ∈ K[x] un polinomio de grado positivo. Diremos que f se descomponesobre F (o se descompone en F [x] ) si puede ser escrito como producto de factores lineales enF [x], i.e. f = u0(x− u1)(x− u2) . . . (x− un), con ui ∈ F .

Definicion 3.1. Sea K un cuerpo y f ∈ K[x] polinomio de grado positivo. Una extension Fde K se dice que es el cuerpo de descomposicion sobre K de f si f se descompone en F[x] yF = K(u1, u2, . . . , un), donde u1, u2, . . . , un son las raıces de f en F.

Sea {fi}i∈ I una familia de polinomios de grado positivo en K[x]. Una extension F de K sedice que es el cuerpo de descomposicion sobre K de una familia {fi}i∈ I de polinomios si todopolinomio de la familia se descompone en F[x] y F es generado sobre K por las raıces de todoslos polinomios de la familia.

Definicion 3.2. Un cuerpo K se dice algebraicamente cerrado si todo polinomio en K[x] degrado ≥ 1 tiene una raız en K.

Proposicion 3.3. Sea F una extension de K cuerpo. Son equivalentes:

i) F es algebraico sobre K y F es algebraicamente cerrado.

ii) F es el cuerpo de descomposicion sobre K de la familia de todos los polinomios (irreducibles)en K[x].

Definicion 3.4. Una extension F de un cuerpo K que cumpla cualquiera de las condicionesequivalentes de la proposicion anterior se dice que es una clausura algebraica de K.

Proposicion 3.5. Sea K un cuerpo y {fi}i∈I una familia de polinomios en K[x] entonces existeun cuerpo de descomposicion de {fi}i∈I sobre K. En particular, K tiene una clausura algebraica.

Dados dos cuerpos de descomposicion cualesquiera de {fi}i∈I sobre K son K-isomorfos. Enparticular, dos clausuras algebraicas cualesquiera de K son K-isomorfas.

Definamos dos tipos de extensiones que luego caracterizaran a las extensiones de Galois(corolario 3.16).

Definicion 3.6. Sea K un cuerpo y f ∈ K[x] un polinomio irreducible. El polinomio f se diceseparable si en algun cuerpo de descomposicion de f sobre K toda raız de f es una raız simple.

Sea F una extension algebraica de K tal que ∀u ∈ F mu es separable, F se dice que es unaextension separable de K.

Por la proposicion 3.5 un polinomio separable f ∈ K[x] no tiene raıces multiples en ninguncuerpo de descomposicion de f sobre K.

Definicion 3.7. Una extension algebraica F de K se dice que es una extension normal sobreK (o F normal sobre K) si todo polinomio irreducible en K[x] que tiene una raız en F sedescompone en F [x]

Si f =∑n

i=1 aixi ∈ K[x] y σ : K → L un isomorfismo de cuerpos, anotaremos σ(f) =∑n

i=1 σ(ai)xi ∈ L[x]Recordemos algunos teoremas sobre extension de isomorfismos.

Proposicion 3.8. Sea σ : K → L un isomorfismo de cuerpos, u un elemento de algun cuerpoque extiende a K y v un elemento de algun cuerpo que extiende a L. Si u es una raız de unpolinomio irreducible f ∈ K[x] y v es una raız de σ(f) ∈ L[x], entonces σ se extiende a unisomorfismo de cuerpos K(u) ∼= L(v) tal que manda u en v.

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Teorema 3.9. Sea σ : K → L un isomorfismo de cuerpos, S={fi} un conjunto de polinomios(de grado positivo) en K[x], y S′={σ(fi)} el correspondiete conjunto de polinomios en L[x]. SiF es el cuerpo de descomposicion de S sobre y M es el cuerpo de descomposicion de S′ sobre L,entonces σ se puede extender a un isomorfismo F ∼= M.

Proposicion 3.10. Sea K un cuerpo, E una extension algebraica de K, y σ : K → L unmonomorfismo de K en cuerpo algebraicamente cerrado L. Entonces existe una extension de σa un monomorfismo de E en L.

Demostracion. Sea S el conjunto de todos los pares (F, τ) donde F es un subcuerpo de Eque contiene a K, y τ una extension de σ a un monomorfismo de F en L. Definamos el siguienteorden: (F, τ) ≤ (F ′, τ ′) si F ⊂ F ′ y τ ′ | F = τ . Notar que S es no vacıo pues (K,σ) ∈ S. Si{(Fi, τi)} es un subconjunto totalmente ordenado, hacemos F =

⋃Fi y definimos τ en F como

τi en cada Fi. Entonces (F, τ) es una cota superior para el subconjunto totalmente ordenado.Por el Lema de Zorn, existe (M,λ) elemento maximal en S. Ası, λ es una extension de σ yafirmamos que M = E. Si esto no fuera cierto existirıa a ∈ E, a /∈ M . Por la proposicion3.8, nuestro monomorfismo λ tendrıa una extension a M(a), contradiciendo la maximalidad de(M,λ). De este modo queda probado la existencia de una extension de σ a E.

�El proximo teorema es una importante caracterizacion de las extensiones de Galois que nos

sera muy util en el resto del trabajo.

Teorema 3.11. Sea F una extension de K. Son equivalentes:

i) F es algebraica y Galois sobre K.

ii) F es el cuerpo de descomposicion de una familia de polinomios separables en K[x].

iii) F es separable sobre K y F es el cuerpo de descomposicion sobre K de una familia depolinomios en K[x].

Demostracion. i) ⇒ ii) Si u ∈ F tiene polinomio irreducible mu(x) ∈ K[x] y u =u1, u2, . . . , ur son las raıces distintas de mu que estan en F , entonces r ≤ n =gr mu por laproposicion 2.8. Si τ ∈ G(F/K), sabemos por la proposicion 2.4 que τ solo permuta los ui. Lue-go los coeficientes del polinomio monico g(x) = (x− u1)(x− u2) . . . (x− ur) ∈ F [x] quedan fijoscuando le aplicamos cualquier τ ∈ G(F/K). Como F es Galois sobre K, tenemos que g ∈ K[x].Ahora u = u1 es una raız de g, por lo tanto mu/g. Como ademas g es monico y gr g ≤ gr mu,debemos tener g = mu. Por lo tanto, todas las raıces de mu son distintas y estan en F .

Sea {vi}i∈I una base de F sobre K y para cada i ∈ I sea mvi ∈ K[x] el polinomio irreduciblede vi. Por el parrafo anterior cada mvi es separable y se descompone en F [x]. Luego F es elcuerpo de descomposicion de {mvi : i ∈ I}.

i) → iii) De manera similar a lo anterior.iii) ⇒ ii) Sea {fi}i una familia de polinomios como en iii). Dado un fi sea g ∈ K[x] un factor

monico irreducible de este. Como fi se descompone en F [x], g debe ser el polinomio irreduciblede algun u ∈ F . Como F es separable sobre K, g es necesariamente separable. Luego F es elcuerpo de descomposicion sobre K de la familia de polinomios separables que consiste en todoslos factores monicos irreducibles (en K[x]) de los polinomios fi.

ii) ⇒ i) Sea {fi}i∈I una familia de polinomios en K[x] con las propiedades enunciadas. Fes algebraico sobre K pues es el cuerpo de descomposicion de una familia de polinomios (prop3.14). Si u ∈ F \K, entonces u ∈ K(v1, . . . , vn) (donde cada vi es raız de algun fi) por definicionde cuerpo de descomposicion y por la proposicion 3.13. Ası, u ∈ E = K(u1, . . . , ur) donde losui son todas las raıces de f1, . . . , fn en F . Luego [E : K] es finito por la proposicion 3.14. Comocada fi se descompone en F , E es el cuerpo de descomposicion sobre K del conjunto finito

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{f1, . . . , fn}, o equivalentemente, de f = f1f2 . . . fn. Supongamos por ahora que el teorema escierto en dimension finita. Entonces E es Galois sobre K y por lo tanto existe τ ∈ G(E/K)tal que τ(u) 6= u. Como F es tambien el cuerpo de descomposicion de {fi}i∈I sobre E. Por lateorema 3.9 τ se extiende a un elemento σ ∈ G(F/K) tal que σ(u) = τ(u) 6= u. Luego u noesta en el cuerpo fijo de G(F/K); es decir F es Galois sobre K.

Ahora probaremos el teorema para dimension finita. En este caso existen un numero finitode polinomios g1, . . . , gttal que F es el cuerpo de descomposicion de estos sobre K (sino F serıade dimension finita sobre K). Mas aun, G(F/K) es un grupo finito por el lema 2.14. Si K0 es elcuerpo fijo de G(F/K), entonces F es una extension de Galois de K0 con [F : K0] = |G(F/K)|por el teorema 2.17 (Artin) y el teorema 2.10(Teor Fundamental. Primera Parte.) Ası, paramostrar que F es Galois sobre K basta mostrar que [F : K] = |G(F/K)|.

Lo probaremos por induccion sobre n = [F : K]. Para n = 1 es trivial. Si n > 1, entoncesuno de gi, podemos tomar g1, tiene grado s > 1 (sino todas las raıces de los gi estan en Ky F = K). Sea u ∈ F una raız de g1; luego [K(u) : K] =gr g1 = s por la proposicion 2.2 yel numero de raıces distintas de g1 es s, pues g1 es separable. La demostracion del lema 2.14(haciendo L = K, M = K(u) y f = g1) muestra que hay una funcion injectiva del conjunto detodos los cosets a izquierda de H = G(F/K(u) en G(F/K) en el conjunto de todas las raıcesde g1 en F , dada por σH 7→ σ(u). Luego [G(F/K) : H] ≤ s. Ahora si v ∈ F es otra raız deg1, hay un K-isomorfismo τ : K(u) → K(v) tal que τ(u) = v (proposicion 3.8) Como es elcuerpo de descomposicion de {g1, . . . , gt} sobre K(u) y sobre K(v), τ se extiende a un elementoσ ∈ G(F/K) con σ(u) = v. Luego nuestra funcion tambien es suryectiva y [G(F/K) : H] = s.Para poder usar la hipotesis inductiva notemos que F es el cuerpo de descomposicion sobre K(u)del conjunto de todos los factores irreducibles hj (en K(u)(x)) de los plinomios gi. Cada hj esseparable pues divide algun gi. Como [F : K(u)] = n/s < n, por hipotesis inductiva tenemosque [F : K(u)] = |G(F/K(u))| = |H|. Ası,

[F : K] = [F : K(u)][K(u) : K] = |H|s = |H|[G(F/K) : H] = |G(F/K)|

como querıamos demostrar.�

Proposicion 3.12. Sea F una extension algebraica de K. Si σ : F → F es un K-monomorfismo,entonces σ es un automorfismo.

Demostracion. Como σ es inyectivo solo falta ver que es suryectivo. Sea u ∈ F con po-linomio irreducible mu(x) sobre K y sea F1 el subcuerpo de F generado por todas las raıcesde mu(x) que estan en F . Luego F1 es finitamente generado y por lo tanto es una extensionfinita de K (prop 3.14) . Mas aun, σ debe mandar toda raız de mu(x) en otra raız de mu(x)y ası σ manda F1 en sı mismo. Como σ es la identidad sobre K podemos pensarlo como unK-monomorfismo de espacios vectoriales. Al ser inyectivo su imagen σ(F1) es un subespacio deF1 de dimension [F1 : K]. Luego σ(F1) = F1. Como u ∈ F1, se sigue que u esta en imagen de σ.

�

Proposicion 3.13. Sea F una extension de K y X ⊂ F . Entonces para cada v ∈ K(X) existeun subconjunto finito X ′ de X tal que v ∈ K(X ′).

Proposicion 3.14. F extension de K, X un subconjunto de F tal que F=K(X) y todo elementode X es algebraico sobre K, entonces F es una extension algebraica sobre K. Si X es finito, F esde dimension finita sobre K.

9

3.2. Teorema fundamental de Galois. Segunda parte

Teorema 3.15. Sea F una extension algebraica de K, contenida en una clausura algebraica Kde K. Son equivalentes:

i) Todo K-monomorfismo de F en K es un automorfismo de F.

ii) F es el cuerpo de descomposicion de una familia de polinomios en K[x].

iii) F es una extension normal de K.

Demostracion. i) ⇒ ii) Sea u ∈ F y mu(x) su polinomio irreducible en K[x]. Sea v unaraız de mu(x) en K. Existe un K-isomorfismo de K(u) en K(v) que manda u en v (consecuenciade la proposicion 3.8). Por la proposicion 3.10 se puede extender a un monomorfismo de F en K.Esta extension es un K-automorfismo de F por hipotesis, ası σ(u) = v ∈ F . Luego toda raız demu(x) esta en F , y mu(x) se descompone en F [x]. Por lo tanto, F es el cuerpo de descomposicionde {mu}u∈F .

ii) ⇒ i) Sea {fi}i∈ I la familia de polinomios de la que F es el cuerpo de descomposicion.Si u es una raız de algun fi ∈ F , ∀σ : F → K que sea un K-monomorfismo sabemos que σ(u)es raız de fi. Como F esta generado por las raıces de todos los fi, tenemos σ(F ) ⊂ F . Por laproposicion 3.12, σ es un automorfismo.

i) ⇒ iii) Se probo en la demostracion dada para i) implica ii).iii) ⇒ i) Sea σ un K-monomorfismo de F en K. Sea u ∈ F y sea mu(x) su polinomio

irreducible sobre K. Si σ es un K-monomorfismo de F en K entonces σ manda u en una raızv de mu(x), y por hipotesis v ∈ F . Por lo tanto, σ(u) ∈ F , y σ manda K en sı mismo. Por laproposicion 3.12, tenemos que σ es un automorfismo.

�

Corolario 3.16. Sea F una extension algebraica de un cuerpo K. Entonces F es Galois sobreK si y solo si F es extension de K normal y separable.

Demostracion. Es una consecuencia inmediata de la proposicion 3.11 y el teorema anterior.�

El teorema fundamental demostrado en la seccion 2.2 deja de ser valido en el caso de exten-siones de Galois de dimension finita. Un contraejemplo se puede consultar en [1]. Para dimensioninfinita tenemos la siguiente version:

Teorema 3.17. (Teorema Fundamental Generalizado) Sea F una extension algebraica deGalois de K. Entonces hay una correspondencia biyectiva entre conjunto de todos los cuerposintermedios de la extension y el conjunto de todos los subgrupos cerrados del grupo de GaloisG(F/K), dada por E 7→ E′ = G(F/E).

Demostracion. Por el teorema 2.13 basta probar que todo cuerpo intermedio es cerrado paratener la funcion bijectiva buscada. Por la teorema 3.11, F es el cuerpo de descomposicion sobreK de una familia {fi}i de polinomios separables. Pero F es tambien el cuerpo de descomposicionsobre E de {fi}i. Luego nuevamente por el teorema 2.13 F es Galois sobre E, es decir, E escerrado.

�

Sea F una extension de Galois de un cuerpo K y λ : F → λ(F ) un isomorfismo. Luego λ(F )es una extension de Galois de λ(K).

La funcion σ 7→ λσλ−1 de G(F/K) en G(λ(F )/λ(K)) es un morfismo de grupos, cu-ya inversa esta dada por τ 7→ λ−1τλ. Por lo tanto, estos grupos son isomorfos. AnotaremosG(λ(F )/λ(K)) = λG(F/K)λ−1.

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En particular si E es un cuerpo intermedio, y λ : E → λ(E) un monomorfismo de E en F ,que asumimos que se extiende a un automorfismo de F (sera λ(F ) = F ), tenemos G(F/λ(K)) =λG(F/K)λ−1.

Teorema 3.18. (Teorema Fundamental de Galois. Segunda Parte.) Sea F una extensionde Galois de K con grupo de Galois G. Sea E un cuerpo intermedio y H=G(F/E). Entonces Ees una extension normal de K si y solo si H es normal en G. Si E es una extension normal deK, entonces la funcion restriccion σ 7→ σ |E es un morfismo de G en G(E/K) tal que su ker esH. Por lo tanto, G(E/K) ∼= G/H.

Demostracion. Supongamos E una extension normal de K. Sea R : G → G(E/K) lafuncion restriccion, i.e. R(σ) = σ |E .

Sea τ ∈ G. Observemos que F ⊂ K pues como F es normal sobre K, F es el cuerpo dedescomposicion de una familia de polinomios en K[x], pero K es el cuerpo de descomposicionde todos los polinomios (irreducibles) en K[x]. Entonces τ |E : E → K es un K-monomorfismo,luego τ |E es unK-automorfismo. Ası tenemos que τ(E) = E, hecho que usaremos a continuacionpara probar que R es un morfismo.

Sea x ∈ E, R(τ1τ0)(x) = (τ1τ0) |E (x) = τ1 |E (τ0 |E (x)) = (τ1 |E τ0 |E)(x) =(R(τ1)R(τ0))(x).

Claramente kerR=H, por lo tanto H es normal en G.Para probar que R es suryectiva sea τ ∈ G(E/K). Veamos que τ se puede extender a un K-

monomorfismo de F en K. Para esto notemos que por ser F normal sobre K, F es el cuerpo dedescomposicion de una familia de polinomios en K[x] ⊂ E[x]. Sea L el cuerpo de descomposicionde la familia de polinomios correspondiente por τ (estaran en K[x] porque τ |K= idK). Por lateorema 3.9 existe τ ′ : F → L K-isomorfismo tal que el siguiente diagrama conmute:

E −→ E

F −→ L

↑ ↑τ

τ ′

Reiteremos que L es el cuerpo de descomposicion de una familia de polinomios en K[x], ası esuna extension normal deK, luego tenemos L ⊂ K. Entonces τ ′ : F → K es unK-monomorfismo.Como F es normal sobre K,tenemos τ ′ ∈ G. Esto nos dice que R es suryectiva.

Supongamos que E no es normal sobre K. Existe λ : E → K K-monomorfismo tal que noes un automorfismo, i.e. λ(E) 6= E. Utilizaremos nuevamente la teorema 3.9: F es el cuerpo dedescomposicion de una familia de polinomios enK[x] ⊂ E[x] y sea L′ el cuerpo de descomposicionde la familia correspondiente por λ, que seran polinomios en K[x], entonces existe λ′ que haceconmutar el diagrama.

E −→ λ(E)

F −→ L′

↑ ↑λ

λ′

Como L′ ⊂ K, λ′ : F → K es un K-monomorfismo. Entonces λ′ ∈ G por ser F normal sobreK. Por los comentarios anteriores a este teorema, G(F/λ′(E)) y G(F/E) son conjugados, es decirG(F/λ′(E) = λ′G(F/E)λ′−1. Por otro lado si H fuera normal en G, en particular tendrıamosH = λ′Hλ′−1 = G(F/λ′(E)). Por el teorema 2.10 o el teorema en el caso infinito dimensional(notar que estos subgrupos de G son cerrados), se deduce que λ′(E) = E. Por lo tanto H no esnormal en G como querıamos probar.

�

11

A modo de aplicacion de los resultados y tecnicas vistas hasta aquı, demostraremos el si-guiente teorema que tradicionalmente se conoce como el teorema de Lagrange sobre las irracio-nalidades naturales.

Teorema 3.19. Sea F una extension de Galois de K de dimension finita, L una extensionarbitraria de K y asumamos que F, L son subcuerpos de algun cuerpo. Entonces FL es Galoissobre L y F es Galois sobre F ∩ L. Sea H el grupo de Galois de FL sobre L y G el grupo deGalois de F sobre K. Si σ ∈ H, entonces la restriccion de σ a F esta en G, y la funcion

σ 7→ σ |F

induce un isomorfismo de H en G(F/F ∩ L).

F ∩ L

K

|

@F

���

L�

�� @@FL

Demostracion. F es el cuerpo de descomposicion de una familia {fi}i de polinomios sepa-rables sobre K[x] (proposicion 3.11). Ası F = K(X), donde X es el conjunto de todas las raıcesde los fi. Luego FL = L(F ) = L(K(X)) = K(L(X)) = L(X) y como cualquier fi ∈ K[x] ⊂ L[x]de la familia se descompone sobre F [x] tambien se descompone sobre FL[x]. Entonces FL es elcuerpo de descomposicion de una familia de polinomios separables sobre L[x]; por el teorema3.11, FL es una extension de Galois de L.

Sea σ ∈ H. Entonces σ |F : F 7→ K es un K-monomorfismo; como F es normal sobre Ktenemos σ |F ∈ G. Usando esto ultimo, podemos probar que la funcion restriccion R : H → G,dada por σ 7→ σ |F es un morfismo de grupos.

Supongamos que σ |F= idF , entonces σ = idFL porque todo elemento de FL es suma,producto y cociente de elementos de F y L, pero por hipotesis σ es la identidad en F y por estaren H es la identidad en L. Por lo tanto R es un monomorfismo.

Hagamos H1 = ImR. En lo que sigue probaremos H ′1 = L ∩ F .

Sea u ∈ F ∩ L, luego σ(u) = u, ∀ ∈ H1. Es decir, σ ∈ H ′1.

Sea u ∈ H ′1, en particular u esta en F . Notemos que u ∈ H ′, luego u ∈ L porque FL es

Galois sobre L.Ahora como F es finita sobre K, entonces H1 es finito. Luego por el teorema 2.17 (Artin),

H1 es el grupo de Galois de F sobre F ∩ L, y F es Galois sobre F ∩ L.�

4. Extensiones Ciclotomicas

En esta seccion estudiaremos los cuerpos de descomposicion del polinomio xn−1K , tratandocon mayor detenimiento el caso K = Q. Se mostrara que estos cuerpos de descomposicion sonextensiones abelianas(definicion 4.1) cuyos grupos de Galois son conocidos.

4.1. Preliminares

Definicion 4.1. Una extension F de K se dice abeliana si su grupo de Galois es abeliano.

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Proposicion 4.2. (Sueno del ingresante) Sea R un anillo conmutativo con identidad tal quecharR=p, p primo. Sean a, b ∈ R, entonces (a± b)p

n= ap

n ± bpn, para todo entero n ≥ 0.

Proposicion 4.3. Sea F un cuerpo y G un subgrupo finito del grupo multiplicativo de los ele-mentos no nulos de F, entonces G es un grupo cıclico. En particular el grupo multiplicativo detodos los elementos no nulos de un cuerpo finito es cıclico.

Demostracion. Para G (G 6= 1) grupo abeliano finito sabemos que G ∼= Zm1 ⊕Zm2 ⊕ . . .⊕Zmk

donde m1 > 1 y m1/m2/ . . . /mk. Como mk∑

Zmi = 0 y G es un grupo multiplicativotenemos que cualquier u ∈ G es una raız de xmk − 1 ∈ F [x]. Como este polinomio tiene a losumo mk raıces distintas en F debemos tener k = 1 y G ∼= Zmk

.�

Sea f ∈ Z[x], f =∑n

i=0 aixi un polinomio no nulo. Llamaremos el contenido de f al maximo

comun divisor de a0, a1, a2, . . . , an y lo anotaremos con C(f). Diremos que f es primitivo siC(f) = 1.

Proposicion 4.4. Sea f ∈ Z[x] un polinomio primitivo de grado positivo. f es irreducible enZ[x] si y solo si es irreducible en Q[x].

Demostracion. Supongamos f irreducible en Z[x] y f = gh con g, h ∈ Q[x], gr(g)≥ 1,gr(f)≥ 1. Entonces g =

∑ni=0(ai/bi)x

i y h =∑m

j=0(cj/dj)xj con ai, bi, cj , dj ∈ Z y bi, dj 6= 0.

Tomemos b = b0b1 . . . bn y b∗i = b0b1 . . . bi−1bi+1 . . . bn. Si g1 =∑n

i=0 aib∗ixi ∈ Z[x], podemos

hacer g1 = ag2, donde a = C(g1) y g2 ∈ Z[x] es primitivo. Notar que g = (1/b)g1 = (a/b)g2 ygr(g)=gr(g2). De modo similar h = (c/d)h2 con c, d ∈ Z, h2 ∈ Z[x], h2 primitivo y gr(h)=gr(h2).Ası, f = gh = (a/b)(c/d)g2h2, o de otra forma (bd)f = (ac)g2h2. Como f es primitivo porhipotesis y g2h2 es primitivo (el producto de primitivos es primitivo),

bd = bdC(f) = C(bdf) = C(acg2h2) = acC(g2h2) = ac

Por lo tanto, f = g2h2, lo que muestra que f es reducible en Z[x].Recıprocamente, si f es irreducible en Q[x] y f = gh, con g, h ∈ Z[x]. Entonces alguno de

los dos es constante, supongamos g. Ası, C(f) = gC(h). Como f es primitivo, g = 1. Luego fes irreducible en Z[x].

�

Proposicion 4.5. Sea F un cuerpo y P la interseccion de todos los subcuerpos de F. EntoncesF es un cuerpo que no contiene subcuerpos propios. Si charF=p (primo), entonces P ∼= Zp. SicharF=0, entonces P ∼= Q.

Demostracion. Como todo subcuerpo de F debe contener al 0 y al 1F , P es un cuerpo queno tiene subcuerpos propios. Observemos que los elementos de la forma m1F (m ∈ Z) estan enP . Luego la funcion ψ : Z → P dada por m 7→ m1F es un morfismo de anillos con kerψ = (n)donde n = charF , i.e. n = 0 o n es primo. Si n es primo, Zn ∼= Z/(n) ∼= Z/kerψ ∼= Imψ ⊂ P .Como Zn es en este caso un cuerpo y P no tiene subcuerpos propios, debemos tener Zn ∼= P . Sin = 0 entonces ψ es un monomorfismo. Definamos ψ : Q → P por ψ(m/n) = ψ(m)ψ(n)−1; severifica que es un monomorfismo que extiende a ψ. Entonces como antes Q ∼= Imψ = P .

�El cuerpo P de la proposicion anterior se lo suele llamar el cuerpo primo de F .

Sea K un cuerpo y n un entero positivo. Un elemento ζ ∈ K se dice que es una raız n-esimade unidad si ζn = 1K , i.e. es una raız de xn − 1K ∈ K[x]. El conjunto de las raıces n-esimasde la unidad en K forma un subgrupo multiplicativo del grupo multiplicativo de los elementosno nulos de K. Por la proposicion 4.3 este subgrupo es cıclico y tiene orden a lo sumo n. Un

13

elemento ζ ∈ K se dice que es una raız n-esima de la unidad primitiva si ζ es una raız n-esimade la unidad y ζ tiene orden n en el grupo multiplicativo de las raıces n-esimas de la unidad. Enparticular, una raız n-esima de la unidad primitiva genera el grupo cıclico de las raıces n-esimasde unidad.

Si charK = p y p/n, entonces n = pkm con (p,m) = 1 y m < n. Por la proposicion 4.2xn − 1K = (xm − 1K)p

k. Por lo tanto las raıces n-esimas de la unidad coinciden con las raıces

m-esimas de unidad en K. Como m < n, no puede haber una raız n-esima primitiva de la unidaden K.

Por otro lado, si charK no divide a n (en particular si charK = 0), entonces nxn−1 6= 0, luegoxn − 1K es primo relativo con su derivada. Ası obtenemos que xn − 1K tiene n raıces distintasen cualquier cuerpo de descomposicion F de xn − 1K sobre K. Deducimos luego que el grupocıclico de las raıces n-esimas de la unidad en F tiene orden n y F (aunque no necesariamenteK) contiene una raız n-esima primitiva de la unidad. Este ultimo hecho nos sera muy util parademostrar los teoremas de la seccion 4.2.

Proposicion 4.6. Sea n un entero positivo y K un cuerpo que contiene una raız n-esima pri-mitiva de la unidad ζ.

i) Si d/n, entonces ζn/d = η es una raız d-esima de la unidad primitiva en K.

ii) Si d/n y u es una raız no nula de xd − a ∈ K[x], entonces xd − a tiene d raıces distintas,u, ηu, η2u, . . . , ηd−1u, donde η ∈ K es una raız d-esima primitiva de la unidad . Mas aun,K(u) es el cuerpo de descomposicion de xd − a sobre K y es Galois sobre K.

Demostracion. i) Existe k ∈ Z tal que dk = n. Tenemos que η es raız d-esima puesηd = (ζn/d)d = ζn = 1. Supongamos que exista r tal que 0 < r < d y ηr = (ζn/d)r = 1, comokr = (n/d)r < (n/d)d = n tenemos un absurdo porque |ζ| = n (esto significa que n es el menorentero positivo tal que ζn = 1).

ii) Notemos que si u es una raız de xd− a, uηi tambien lo es. Por i), η0 = 1K , η, η2, . . . , ηd−1

son raıces de la unidad distintas. Luego como η ∈ K, las raıces u, ηu, . . . , ηd−1u de xd − a sonelementos distintos de K(u). Ası K(u) es el cuerpo de descomposicion de xd − a sobre K. Losfactores irreducibles de xd − a son separables pues todas las raıces son distintas, usando lateorema 3.11 tenemos que K(u) es Galois sobre K.

�

4.2. Extensiones ciclotomicas

Un cuerpo de descomposicion F sobre un cuerpo K de xn−1K ∈ K[x] (donde n ≥ 1) se llamauna extension ciclotomica de orden n. Si charK = p 6= 0 y n = mpt con (p,m) = 1, entoncesxn − 1K = (xm − 1)p

t(proposicion 4.2) . Ası, una extension ciclotomica de orden n coincide

con una de orden m. Por lo tanto, asumiremos que charK no divide n (esto es charK = 0 o esprimo relativo con n).

La dimension de una extension ciclotomica de orden n esta relacionada con la funcion deEuler ϕ, que asigna a cada entero positivo n el numero ϕ(n) que es la cantidad de enteros i talque 1 ≤ i ≤ n y (i, n) = 1.

Sea k un entero tal que (k, n) = 1. Entonces existen c, d ∈ Z cumpliendo ck + dn = 1. EnZn ck = 1, i.e. k es inversible en Zn. Recıprocamente, si existe c ∈ Zn tal que ck = 1, entoncesexiste d ∈ Z tal que ck − 1 = dn y por lo tanto (k, n) = 1. Ası, hemos probado que el grupomultiplicativo de las unidades en Zn tiene orden ϕ(n).

Teorema 4.7. Sea n un entero positivo, K un cuerpo tal que charK no divide n y F unaextension ciclotomica de K de orden n.

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i) F = K(ζ), donde ζ ∈ F es una raız n-esima de la unidad primitiva.

ii) F es una extension abeliana de dimension d, donde d/ϕ(n); mas aun si n es primo laextension es cıclica.

iii) G(F/K) es isomorfo a un subgrupo de orden d del grupo multiplicativo de las unidades deZn.

Demostracion. i) Por las observaciones hechas en el preliminar tenemos que F contieneuna raız n-esima de la unidad primitiva ζ. Por definicion, 1k, ζ, . . . , ζn−1 ∈ K(ζ) son las n raıcesdistintas de xn−1 − 1k, luego F = K(ζ).

ii)-iii) Los factores irreducibles de xn − 1K son claramente separables, ası F es el cuerpode descomposicion de familia finita de polinomios separables y por la proposicion 3.11 F esGalois sobre K. Si σ ∈ G(F/K), entonces σ queda completamente determinado por σ(ζ). Porla proposicion 2.4, σ(ζ) = ζk para algun k, 1 ≤ k ≤ n − 1. Analogamente, σ−1(ζ) = ζr yζ = σ−1σ(ζ) = ζkr. Luego kr ≡ 1 (mod n) y por lo tanto k ∈ Zn es una unidad. ( k 7→ k esla proyeccion canonica al cociente). La funcion σ 7→ k define un monomorfismo (es claro que esmorfismo; para ver que es monomorfismo supongamos k = 1, luego σ(ζ) = ζ y ası σ = id) fde G(F/K) en el grupo abeliano multiplicativo de las unidades en el anillo Zn (que tiene ordenϕ(n)). Por lo tanto, G(F/K) ∼= Imf es abeliano de orden d que divide a ϕ(n). Por el teorema2.10 tenemos [F : K] = d. Si n es primo, entonces Zn es cuerpo y G(F/K) ∼= Imf es cıclico porla proposicion 3.13.

�Observemos que la dimension de F sobre K puede ser estrictamente menor que ϕ(n). Por

ejemplo, si ζ es una raız quinta primitiva de la unidad en C, entonces R ⊂ R(ζ) ⊂ C y [R(ζ) :R] = 2 < 4 = ϕ(5).

Sea n un entero positivo, K un cuerpo tal que charK no divide n, y F una extensionciclotomica de orden n de K. El n-esimo polinomio ciclotomico es el polinomio monico gn(x) =(x−ζ1)(x−ζ2) . . . (x−ζr) donde ζ1, ζ2, . . . , ζr son todas las raıces distintas n-esimas de la unidadprimitivas en F .

En general, g1(x) = x− 1K y g2(x) = x− (−1K). En el caso K = Q, g3(x) = (x− (−1/2 +√3i/2))(x − (−1/2 −

√3i/2)) = x2 + x + 1 y g4(x) = (x − i)(x + i) = x2 + 1. En el siguiente

teorema veremos algunas propiedades de los polinomios ciclotomicos.

Teorema 4.8. Sea n un entero positivo, K un cuerpo tal que charK no divida n y gn el n-esimopolinomio ciclotomico sobre K.

i) xn − 1K =∏d/n

gd(x)

ii) Los coeficientes de gn(x) estan en el cuerpo primo P de K. Si charK=0 y P se identificacon el cuerpo Q de los racionales, entonces los coeficientes son enteros.

iii) gr gn(x) = ϕ(n).

Demostracion. i) Sea F una extension ciclotomica de K de orden n y ζ ∈ F una raızn-esima primitiva de la unidad. La proposicion 4.6 (aplicada a F ) muestra que el grupo cıclicoG =< ζ > de las raıces n-esimas de la unidad contiene todas las raıces d-esimas de la unidadpara cada divisor d de n. Ademas, η ∈ G es una raız primitiva d-esima de la unidad (d/n) si ysolo si |η| = d. Luego para cada d divisor de n, gd(x) =

∏η∈G|η|=d

(x− η) y como |η|/n:

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xn − 1K =∏η∈G

(x− η) =∏dd/n

( ∏η∈G|η|=d

(x− η))

=∏dd/n

= gd(x)

ii) Lo probaremos por induccion. Es claro que x−1k ∈ P [x]. Supongamos que es cierto paratodo k < n y sea f(x) =

∏d: d/n, d<n

gd(x). Entonces f ∈ P [x] por hipotesis inductiva, y en F [x],

xn − 1K = f(x)gn(x) por i). Por otro lado, xn − 1K ∈ P [x] y f es monico. Por el algoritmo dela division en P [x], xn − 1K = fh + r, para ciertos h, r ∈ P [x] ⊂ F [x]. Luego por la unicidaddel algoritmo aplicado en F [x], r = 0 y gn(x) = h ∈ P [x]. En el caso charK = 0 y P = Q,usando un argumento inductivo similar con el algoritmo de la division en Z[x] y Q[x] (en lugarde P [x], F [x]), se muestra que gn(x) ∈ Z[x].

iii) gr gn es el numero de raıces n-esimas primitivas de la unidad. Sea ζ una raız primitivade la unidad tal que cualquier otra raız (primitiva) de la unidad sea una potencia de ζ. Veamosque ζi (1 ≤ i ≤ n) es una raız n-esima primitiva de la unidad si y solo si (i, n) = 1; una vezprobado esto se infiere la tesis pues la cantidad de tales i es exactamente ϕ(n).

Supongamos (k, n) = 1, entonces existen c, d ∈ Z tal que ck + dn = 1. Esto implica ζck =ζck+dn = ζ. Ası, (ζk)sc = ζs para s = 1, . . . , n y por lo tanto |ζk| = n. Recıprocamente, si(k, n) = r > 1 entonces n/r, k/r ∈ Z y n/r < n. Hagamos (ζk)n/r = ζk(n/r) = (ζn)k/r = 1, luego|ζk| < n.

�La proposicion anterior, mas precisamente i), nos da un metodo recursivo para determinar

gn(x):

gn(x) =xn − 1K∏d: d/nd<n

gd(x)

Por ejemplo, si p es un numero primo, gp(x) = (xp−1K)/g1(x) = xp−1 +xp−2 + . . .+x+1K .Ahora calcularemos g18(x). Como los factores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18, tenemos que

x18 − 1 = g1(x)g2(x)g3(x)g6(x)g9(x)g18(x)

Como los factores de 9 son 1, 3 y 9, tenemos

x9 − 1 = g1(x)g3(x)g9(x)

Por lo tanto,x9 + 1 = g2(x)g6(x)g18(x)

Al aparecer g6(x), nos motiva a mirar x6−1 = g1(x)g2(x)g3(x)g6(x). Ademas como x3−1 =g1(x)g3(x), obtenemos

x3 + 1 = g2(x)g6(x)

Reemplazando, g18(x) = (x9 + 1)/(x3 + 1) = x6 − x3 + 1.

Teorema 4.9. Sea F una extension ciclotomica del cuerpo Q de los numeros racionales y gn(x)el n-esimo polinomio ciclotomico sobre Q. Entonces

i) gn(x) es irreducible en Q[x].

ii) [F : Q] = ϕ(n).

iii) G(F/Q) es isomorfo al grupo multiplicativo de las unidades en el anillo Zn.

16

Demostracion. Por la proposicion 4.4 es suficiente mostrar que el polinomio gn(x) es irre-ducible en Z[x]. Sea h un factor irreducible de gn en Z[x] con gr h ≥ 1. Luego gn(x) = f(x)h(x)conf, h ∈ Z[x] monicos. Sea ζ una raız de h y p cualquier entero primo tal que (p, n) = 1.

Primero veremos que ζp es tambien una raız de h. Como ζ es una raız de gn(x), ζ es una raızn-esima primitiva de la unidad. Por la demostracion del teorema 4.8 iii) tenemos que ζp es unaraız n-esima primitiva de la unidad y ası una raız de f o h. Supongamos que ζp no es raız de h.Luego es una raız de f =

∑ri=0 aix

i y por lo tanto ζ es una raız de f(xp) =∑r

i=0 aixip. Como

h es irreducible en Q[x] por la proposicion 4.4 y tiene como raız a ζ, luego h es el polinomioirreducible de ζ y ası divide f(xp), i.e. f(xp) = h(x)k(x), con k ∈ Q[x]. Por el algoritmo de ladivison en Z[x], f(xp) = h(x)k1(x) + r1(x), con k1(x), r1(x) ∈ Z[x]. Por unicidad del algoritmode la division en Q[x] tenemos k(x) = k1(x) ∈ Z[x]. Recordar que la proyeccion canonica Z → Zpinduce un epimorfismo de anillos Z[x] → Zp[x] definido por g =

∑ti=0 bix

i 7→ g =∑t

i=0 bixi.

Luego en Zp[x], f(xp) = h(x)k(x). Usando que charZp = p tenemos que f(xp) = f(x)p. Ası,

f(x)p = h(x)k(x) ∈ Zp[x]

Ahora algun factor irreducible de h(x) de grado positivo debe dividir a f(x)p, y por lotanto debe dividir a f(x). Por otro lado, como gn(x) es un factor de xn − 1, tenemos xn − 1 =gn(x)r(x) = f(x)h(x)r(x) para algun r(x) ∈ Z[x]. Ası,

xn − 1 = xn − 1 = f(x)h(x)r(x)

Como f y h tienen un factor en comun, xn − 1 ∈ Zp[x] debe tener una raız multiple. Sitenemos presentes los comentarios hechos en el preliminar de esta seccion, como (p, n) = 1 elpolinomio xn − 1 tiene todas sus raıces distintas. Absurdo; luego ζp es una raız de h(x).

Supongamos r ∈ Z tal que 1 ≤ r ≤ n y (r, n) = 1, entonces r = pk11 . . . pkss donde ki > 0 y

cada pi es un primo tal que (pi, n) = 1. Por lo probado antes, i.e. ζp es una raız de h si ζ loes, deducimos que ζr es un raız de h. Pero ζr (1 ≤ r ≤ n y (r, n) = 1) son precisamente todaslas raıces n-esimas primitivas de la unidad por la demostracion del teorema 4.8iii). Ası, h(x) esdivisible por

∏1≤r≤n(r,n)=1

(x− ζr) = gn(x) , luego gn(x) = h(x) y gn(x) es irreducible como querıamos

demostrar.ii) Por la proposicion 4.6, F = Q(ζ). Veamos que gn = mζ ; mζ/gn pues gn(ζ) = 0. Ası existe

p ∈ Q[x] tal que p(x)mζ(x) = gn(x). Pero por i), p(x) es una constante que tiene que ser 1porque mζ , gn son monicos.

Tenemos entonces[F : Q] = [Q(ζ) : Q] = gr gn = ϕ(n)

Donde la ultima igualdad es por el teorema 4.8iii).iii)

|G(F/Q)| = [F : Q] = ϕ(n)

Donde las igualdades se siguen de ii), el teorema 4.7 ii) y del hecho que el grupo multiplicativode las unidades en Zn tiene orden ϕ(n).

�

En general no es cierto que los polinomios ciclotomicos sean irreducibles. Si tomamos elcuerpo de descomposicion de x5 − 1 ∈ R[x] (i.e. C), el quinto polinomio ciclotomico sobre R esgn(x) = (x − ζ1) . . . (x − ζ4), donde ζi son las cuatro raıces quintas primitivas de la unidad yson conjugadas de a pares.

Si ν es un entero no nulo definimos

17

(ν

p

)=

{1 si ν ≡ x2 (mod p)−1 si ν 6≡ x2 (mod p)

Se conoce como el sımbolo cuadratico. Se verifica que esta bien definido, es decir, dependesolo de la clase de ν mod p.

Sea Zp, p primo, el cuerpo finito de p elementos y Z∗p el grupo multiplicativo de los elementos

no nulos que tiene orden p− 1. Por la proposicion 4.3, Z∗p es cıclico; Z∗

p =< k >. Consideremos

Z∗2p = {ss : s ∈ Z∗

p} =< k2 >

es un subgrupo de orden p−12 . Esto implica que el ındice [Z∗

p : Z∗2p ] = 2 y ası,∑

ν

(ν

p

)= 0

donde ν varıa sobre todas las clases no nulas mod p.En el siguiente teorema heremos uso de esto y del hecho que(

ν

p

)(µ

p

)=

(νµ

p

)Para justificar esto observemos que dado ν ∈ Z∗

p,(ν

p

)= 1 si y solo si ν ∈ Z∗2

p

Tomemos ν, µ ∈ Z∗p, entonces existen enteros l, l′ tal que ν = kl y µ = kl

′. Luego νµ = kl+l

′y

nuestra afirmacion se sigue de analizar si l + l′ es par de acuerdo l y l′ lo sean.

Teorema 4.10. Sea ζ una raız p-esima de la unidad primitiva (p primo) y

S =∑ν

(ν

p

)ζν

donde ν varıa sobre todas las clases no nulas mod p. Entonces

S2 =(−1p

)p

Toda extension cuadratica de Q esta contenida en una extension ciclotomica.

Demostracion.

S2 =∑ν, µ

(ν

p

)(µ

p

)ζν+µ =

∑ν, µ

(νµ

p

)ζν+µ

Como ν varıa sobre todas las clases no nulas, νµ tambien para cualquier µ fijo. Entoncesreemplazando ν por νµ

S2 =∑ν, µ

(νµ2

p

)ζµ(ν+1) =

∑ν, µ

(ν

p

)ζµ(ν+1) =

∑µ

(−1p

)ζ0 +

∑ν 6=−1

(µ

p

) ∑ν

ζµ(ν+1)

Usando que 1+ζν+1 + . . .+ζ(ν+1)(p−1) = 1−ζ(ν+1)p

1−ζν+1 = 0, si ν 6≡ −1. Luego la ultima sumatoriasobre µ es igual -1.

S2 =(−1p

)(p− 1) + (−1)

∑ν 6=−1

(ν

p

)= p

(−1p

)−

∑ν

(ν

p

)= p

(−1p

)

18

Para cualquier p primo sabemos que S2 =(−1p

)p. Aun en el caso p = 2, en el que la extension

ciclotomica es el mismo Q, tenemos (1 + i)2 = 2i. Luego Q(√p) ⊂ Q(ζp) o Q(

√p) ⊂ Q(ζp, i)

(dependiendo de(−1p

), donde ζp es una raız p-esima primitiva de la unidad.

Supongamos que (n,m) = 1, y ζn, ζm sean raıces n,m-esimas de la unidad primitivas res-pectivamente. Llamemos ζnm = ζnζm que sera una raız nm-esima de la unidad. Ademas, como(m,n) = 1, tenemos que ζnm = ζnnm es una raız m-esima de la unidad primitiva contenida enQ(ζnm). Por lo tanto, Q(ζn)Q(ζm) ⊂ Q(ζnm.

Queremos probar que ζnm es una raız primitiva. Sea 1 < l < nm. No puede ser l ≡ 0 (modn) y l ≡ 0 (mod m) (sino el mınimo comun multiplo [m,n] < mn, pero [m,n] = (mn)/(m,n) =mn). Entonces ζ lnm = ζ lmζ

ln y alguno de los dos es distinto de 1. Como < ζn > ∩ < ζm >= 1

(supongamos que existan k, k′ tal que 1 ≤ k < m, 1 ≤ k′ < n y ζkm = ζk′n . Luego 1 = ζnk

′n = ζnkm

y ası nk ≡ 0 (mod m). Como (n,m) = 1, la clase de n es inversible mod m, esto implica k ≡ 0(mod m). Absurdo.) tenemos que ζ lnm = ζ lmζ

ln 6= 1.

Ası vale que si n,m son coprimos entonces Q(√nm) ⊂ Q(ζn)Q(ζm) ⊂ Q(ζnm) o eventual-

mente Q(ζnm, i).El caso general q ∈ Q se deduce hacer q = pt11 . . . p

tkk p

−tk+1

k+1 . . . p−tll , ti enteros positivos y piprimos distintos.

�

5. Construcciones con regla y compas.

Una de las tantas aplicaciones de la teorıa de Galois es la solucion de algunos problemas dela anteguedad referidos a las construcciones con regla y compas de ciertas figuras, por ejemplo:

� Dado un cırculo cualquiera, ¿ es posible construir con regla y compas un cuadrado quetenga area igual al area del cırculo dado?

� ¿Es posible trisectar un angulo arbitrario utilizando regla y compas?� ¿Dado el lado de un cubo, ¿es posible construir con regla y compas el lado de un cubo que

tenga el doble del volumen del cubo original?� ¿Cuales polıgonos regulares de n lados son construıbles con regla y compas?

En esta seccion trataremos el ultimo problema por ser el mas interesante desde el punto devista de la teorıa de Galois. Nuestro proposito no es mas que mostrar, de modo rapido y conciso,una aplicacion de los resultados vistos a lo largo de este trabajo. Por este motivo, omitiremosalgunas demostraciones exclusivamente referidas a ideas de la geometrıa plana euclideana clasica.

5.1. Preliminares

Recordemos el primer teorema de Sylow:

Proposicion 5.1. Sea G un grupo de orden pnm, con n ≥ 1, p primo y (p,m)=1. Entonces Gcontiene un subgrupo de orden pi para cada 1 ≤ i ≤ n.

Los numeros de la forma 22k+1, k = 0, 1, 2, . . . son conocidos como los numeros de Fermat y,

en el caso de ser primos se denominan primos de Fermat. Necesitaremos la siguiente proposicion:

Proposicion 5.2. Sea ϕ la funcion de Euler. Entonces ϕ(n) es una potencia de 2 si y solo sitodos los primos impares que dividen n son primos de Fermat cuyo cuadrado no divide n.

Demostracion. Se puede probar que si

n = 2vps11 ps22 . . . pst

t

19

donde los pi son primos impares distintos que dividen n, entonces

ϕ(n) = 2v−1ps1−11 ps2−1

2 . . . pst−1t (p1 − 1) . . . (pt − 1)

De aquı se deduce facilmente que si los primos impares que dividen n son primos de Fermatcuyo cuadrado no divide n, ϕ(n) es una potencia de 2.

Recıprocamente, si ϕ(n) es una potencia de 2, entonces todo primo impar que divida n debeaparecer solo a la primera potencia y debe ser una mas que una potencia de 2. Por lo tanto

pi = 2m + 1

para algun m. Como -1 es una raız de xq + 1 para q primo impar, x+ 1 divide xq + 1, mas aunexiste c(x) ∈ Z[x] tal que xq + 1 = (x+ 1)c(x). Si m = qu, entonces 2m + 1 = (2u + 1)c(2u). Ası,para que pi = 2m + 1 sea primo debemos tener que m sea solo divisible por 2. Esto es, pi debeser de la forma

pi = 22k+ 1

�

5.2. Construcciones con regla y compas

De aquı en mas construıble sera sinonimo de construıble con regla y compas. Dada una lınearecta L y un punto P que no este en L, la unica lınea recta que pasa por P y es paralela a L esconstruıble. Podemos entonces construir dos lıneas rectas paralelas (ejes). Tomemos una unidadde longitud, y a partir de esta construimos todos los puntos en el plano de coordenadas enteras.

Si F es un subcuerpo del cuerpo R de los numeros reales, el plano de F es el subconjunto delplano formado por los puntos de la forma (c, d), con c ∈ F , d ∈ F . Si P , Q son puntos distintosen el plano de F , la unica recta que pasa por P y Q se llama recta en F y el cırculo con centroP y radio el segmento PQ se llama cırculo en F. Se verifica que toda lınea recta en F tiene unaecuacion de la forma ax + by + c = 0 (a, b, c ∈ F ) y todo cırculo en F tiene una ecuacion deforma x2 + y2 + ax+ by + c = 0 (a, b, c ∈ F ). Aceptaremos el siguiente resultado:

Lema 5.3. Sea F un cuerpo de R y sean L1, L2 dos rectas paralelas en F y C1, C2 dos cırculosdistintos en F . Entonces

i) L1 ∩ L2 es un punto en plano de F .

ii) L1 ∩ C1 = Ø o consiste en uno o dos puntos en el plano de F (√u)) para algun u ∈ F

(u ≥ 0).

iii) C1 ∩C2 = Ø o consiste en uno o dos puntos en el plano F (√u) para algun u ∈ F (u ≥ 0).

Un numero real c se dice construıble si el punto (c, 0) puede ser localizado en el planomediante una sucesion finita de construcciones con regla y compas que comiencen en un puntocon coordenadas enteras. Claramente, el numero c es construıble si y solo si se puede construirun segmento de longitud |c|. Mas aun, el punto (c, d) en el plano es construıble si y solo si c,dson construıbles. Notemos que los enteros son claramente construıbles; ademas se pueden probarlos siguientes hechos:

i) Los numeros racionales son construıbles.

ii) Si c es construıble, entonces√c tambien lo es.

iii) Si c, d son construıbles, entonces c± d, cd y c/d (d 6= 0) son construıbles, ası los numerosconstruıbles son un subcuerpo de los numeros reales.

20

Teorema 5.4. Si un numero real c es construıble, entonces c es algebraico de grado una potenciade 2 sobre el cuerpo Q de los racionales.

Demostracion. Como los racionales son construıbles, que un numero c sea contruıble signifi-ca que el punto (c, 0) puede ser ubicado mediante una sucesion finita de construcciones con regla ycompas que comiencen en un punto perteneciente al plano de Q. El primer paso es la construccionde una recta o un cırculo, los cuales estan determinados por dos puntos (en el caso del cırculo elcentro y el radio) en el plano de Q. Del mismo modo en las sucesivas etapas construımos una rec-ta o un cırculo, a partir de puntos en el plano de Q o puntos construıdos en la etapa anterior. Porel lema 5.3 el primer punto construıdo esta en el cuerpo Q(

√u), con u ∈ Q, o equivalentemente

en el plano de Q(v) con v2 ∈ Q. Esta es una extension de grado 1 o 2 sobre Q. El proximo puntoconstruıdo esta en plano de Q(v, w) = Q(v)(w), con w2 ∈ Q(v). Luego de un numero finito depasos tendremos v2

i ∈ Q(v1, v2, . . . , vi−1) y [Q(v1, . . . , vi) : Q(v1, . . . , vi−1)] = 1 o 2 (2 ≤ i ≤ n).El punto (c, 0) construıdo mediante este proceso esta en el plano de F = Q(v1, . . . , vn). Ası,[F : Q] es una potencia de 2 y luego c es algebraico sobre Q. Como Q ⊂ Q(c) ⊂ F implica que[Q(c) : Q] divide a [F : Q] y por lo tanto el grado [Q(c) : Q] de c sobre Q es una potencia de 2.

�Ahora estamos en condiciones de demostrar:

Teorema 5.5. El polıgono regular de n lados es construıble con regla y compas si y solo si todoslos primos impares que didivien n son primos de Fermat cuyo cuadrado no divide n.

Demostracion. Primero notemos que el polıgono regular de n lados es construıble si y solosi cos (2π

n ) es un numero construıble.Sea

ζ = cos (2πn

) + i sen (2πn

)

Entoncesζ−1 = cos (

2πn

)− i sen (2πn

)

Como ζ+ζ−1 = 2 cos (2πn ), por el teorema 5.4 el polıgono regular es construıble solo si ζ+ζ−1

genera una extension de Q de grado una potencia de 2.Sea F el cuerpo de descomposicion de xn−1 sobre Q, entonces [F : Q] = ϕ(n) por el teorema

4.9. Sea σ ∈ G(F/Q). Como ζ es una raız primitiva y σ manda raıces en raıces, σ(ζ) = ζr paraalgun r, 1 ≤ r ≤ n.

σ(ζ + ζ−1) = ζr + ζ−r = 2 cos2πrn

Para 1 < r < n,cos 2πrn = cos 2π

n solo si r = n−1. Luego los unicos elementos de G(F/Q) quellevan ζ+ζ−1 sobre sı mismo son la identidad y σ(ζ) = ζn−1 = ζ−1. Por el teorema fundamental[F : Q(ζ + ζ−1)] = 2 y por la proposicion 2.1,

[Q(ζ + ζ−1) : Q] =ϕ(n)

2

Si el polıgono regular de n lados es construıble, ϕ(n)2 y luego ϕ(n) deben ser una potencia de 2.

Por la proposicion 5.2, n es de la forma buscada.Para probar la otra implicacion, supongamos n como en la hipotesis. Por la proposicion 5.2,

ϕ(n) es de la forma 2s.Sea H1 el subgrupo correspondiente a la extension F = Q(ζ) de Q(ζ + ζ−1). Por lo anterior,

|H1| = 2. La proposicion 5.1 implica que existen subgrupos Hi de orden 2i, i = 1, . . . , s tales que

1 < H1 < H2 < . . . < Hs = G(F/Q)

21

EntoncesQ = H ′

s < H ′s−1 < . . . < H ′

1 = Q(ζ + ζ−1)

siendo [H ′j−1 : H ′

j ] = 2. Luego existe αj ∈ H ′j−1 tal que H ′

j−1 = H ′j(αj), y ası αj es raız de algun

ajx2 + bjx+ cj ∈ H ′

j [x]. Por la formula cuadratica,

H ′j−1 = Hj(

√b2j − 4ajcj)

Como la raız cuadrada de un numero construıble es construıble tenemos que todo elemento deQ(ζ + ζ−1) es construıble, en particular cos (2πn) es construıble.

�

Apendice

Definicion 5.6. Sean (A,≤) y (B,�) conjuntos parcialmente ordenados. Se dice que hay unacorrespondencia de Galois entre ellos si existen aplicaciones ϕ : A→ B y ψ : B → A tales que:

i) a1, a2 ∈ A, a1 ≤ a2 implican que ϕ(a1) � ϕ(a2).b1, b2 ∈ B, b1 ≤ b2 implican que ψ(b1) ≥ ψ(b2)

ii) a ∈ A implica a ≤ ψ(ϕ(a))b ∈ B implica b � ϕ(ψ(b))

Las aplicaciones a 7→ ψ(ϕ(a)) y b 7→ ϕ(ψ(b)) se llaman clausuras.Un elemento a ∈ A (resp. b ∈ B) se dira cerrado si a = ψ(ϕ(a)) (resp b = ϕ(ψ(b))).

En nuestro caso, dada F una extension de K con grupo de Galois G, tenemos una corres-pondencia de Galois entre el conjunto de todos los cuerpos intermedios y el conjunto de todoslos subgrupos de G, donde los dos conjuntos estan ordenados por la inclusion. Las aplicacionesψ y ϕ de la definicion consisten en tomar primas.

Teorema 5.7. Sean (A,≤) y (B,�) conjuntos parcialmente ordenados. Supongamos que ϕ :A→ B y ψ : B → A establecen una correspondencia de Galois entre estos conjuntos y definamoslos conjuntos

Aϕ := {a ∈ A : a = ψϕ(a)}

Bψ := {b ∈ B : b = ϕψ(b)}

Entonces

i) ∀ a ∈ A, ϕψϕ(a) = ϕ(a) y Aϕ = {ψϕ(a) : a ∈ A}

ii) ϕ : Aϕ → Bψ y ψ : Bψ → Aϕ son biyecciones y una es la inversa de la otra.

Demostracion. i) Dado a ∈ A, por definicion a ≤ ψϕ(a) y ϕψϕ(a) � ϕ(a).Por otro lado, ϕ(a) � ϕψ(ϕ(a)) y por lo tanto, ϕ(a) = ϕψϕ(a). De esto deducimos que

ψϕ(a) = ψϕ(ψϕ(a)). Ası, podemos concluir que

Aϕ = {ψϕ(a) : a ∈ A}

Del mismo modo se prueba un enunciado analogo para el conjunto Bψ.ii) Por lo visto en i) tenemos que ϕ manda A en Bψ y ψ manda B en Aϕ, mas aun

ϕ : Aϕ → Bψ y ψ : Bψ → Aϕ son biyecciones y una es la inversa de la otra.�

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Referencias

[1] Thomas W. Hungerford, Algebra. Springer, 1996.

[2] Serge Lang, Algebra. Adison-Wesley, 1971.

[3] Ian T. Adamson, Intrduction to Field theory. Oliver y Boyd, 1964.

[4] Fraleigh, Algebra Abstracta. Adison Wesley Iberoamericana, S.A., 1987.

[5] J. A. Antezana, Shorted de Operadores. Tesis de grado, 2002.

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