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Comprobación de las leyes para la reflexión y transmisión de ondas electromagnéticas en medios no dispersivos. Física 3, 2014.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA Facultad de Ingeniería - Departamento de Física - Física III

Informe de laboratorio

TÍTULO: “Comprobación de las leyes para la reflexión y transmisión de ondas electromagnéticas en medios no dispersivos”

Autores: Manzin, Iván Lorenzo Perez, Cintia Rogers, Kevin Reimond

Fecha de realización: noviembre de 2014

RESUMEN

En este trabajo se realizó la medición del índice de refracción de un lente cilíndrico, la medición del ángulo de Brewster

impactando contra un vidrio, la observación de la reflexión total interna y la reflexión total interna frustrada.

Palabras claves: láser, índice de refracción, óptica geométrica, Brewster, reflexión total interna.

Introducción

El objeto del informe es la consolidación de conceptos físicos vistos en clases de teoría y aplicados en clases de

práctica, a través de la manipulación en la vida real de los fenómenos naturales modelados, dentro del contexto de la

materia Física 3. Para tal cometido, el tema a tratar es la deducción experimental de las ecuaciones de Fresnel que

dan la intensidad transmitida y reflejada para polarizaciones lineales cruzadas de un haz de luz. Los puntos a

demostrar experimentalmente son:

- La frecuencia no depende de la interacción del haz de luz con el material.

- Ley de reflexión.

- Ley de Snell.

- Reflexión total.

- Polarización total para el ángulo de Brewster.

Ley de Snell

Figura 1. Fuente: Fritz Albregsten, 2008

El tiempo que demora el haz de luz para llegar desde P1 hasta P2 está dado por:

√

√

(1)


2

Luego derivando la ecuación (1) respecto de x e igualándola a cero se obtiene el valor de x que representa el menor

tiempo transcurrido.

(2)

(3)

Reacomodando la expresión (3):

√

√

(4)

De la Figura 1, sale que Tanθ1 = x/ay Tan θ2 =(l-x)/b. Reemplazando en (4) queda:

√

√ (5)

Reordenando (5) con relaciones trigonométricas y con n = c/v para <c=velocidad de la luz en el vacío> y

<v=velocidad de la luz en el material> queda:

(6)

La expresión (6) es la Ley de Snell.

Ecuaciones de Fresnel

En general, en la interfaz entre dos medios con índice de refracción ni y nthabrá una onda incidente, una reflejada y

una transmitida.

Si bien la relación entre los ángulos de los rayos transmitido y reflejado está dada por la Ley de Snell, la amplitud del

campo eléctrico de los haces transmitido y reflejado no está contemplada en esa expresión. Para obtener una relación

para esas propiedades, se emplean las ecuaciones de Fresnel.

Cualquier onda plana puede ser representada como una superposición de dos ondas linealmente polarizadas

ortogonales. Descomponiendo el campo eléctrico en luz polarizada linealmente paralela y perpendicular al plano de

incidencia, se pueden aplicar condiciones de contorno a la interfaz para cada caso. Las componentes de los campos

eléctrico y magnético que son tangentes a la superficie deben ser continuas a través de la frontera.

Se comienza con el caso para el que el campo eléctrico está polarizado en el plano de incidencia, como se ve en la

figura 2.

Figura 2. Fuente: Mirabella, D.


3

Como los campos eléctricos y magnéticos deben ser continuos en la interfaz, se tiene que:

(7)

(8)

Donde la Ley de Reflexión se usó para . Además, si se considera que , se puede reescribir (8)

como:

(9)

Combinando las ecuaciones (7) y (9) y reacomodando, se obtienen así las Ecuaciones de Fresnel para la onda

polarizada en el plano de incidencia:

(10)

(11)

Donde se definen

coeficiente de amplitud de reflexión y

coeficiente de amplitud de transmisión.

Para el caso en que el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, se puede llegar en forma análoga al

segundo par de Ecuaciones de Fresnel:

(12)

(13)

Reflexión total interna

Un caso particular de la expresión (6) es en el que θ2 = π/2, es decir, sinθ2 = 1 y sinθ1 = n2/n1. La situación se ilustra

en la Figura 3.

Figura 3. Fuente: Alonso-Finn

De la expresión anterior, se deduce que para que haya refractado se debe cumplir que n2/n1≤1, ya que sinθ1 ≤1. Si

n2/n1>1 la ley de Snell no se aplica, ya que no se está ante un rayo refractado: la reflexión es total.

Un parámetro importante de la reflexión total es el ángulo crítico , que es el ángulo incidente para

el cual el rayo refractado será paralelo a la interfaz, o perpendicular a la normal.


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Reflexión total interna frustrada

Si se coloca una superficie en contacto con la superficie en la que ocurre la reflexión total interna, se puede frustrar la

RTI (Figura 4).

Figura 4. Fuente: Mirabella

Cuando se halla el ángulo crítico en las ecuaciones de Fresnel y se verifica el fenómeno de reflexión total interna

(RTI), no se puede satisfacer las condiciones de contorno entre los medios de distinto índice con la onda incidente y

reflejada en el de mayor índice, más la transmitida en el de menor índice. Como consecuencia deberá haber una onda

transmitida, aún en RTI, aunque no pueda en promedio transportar energía a través de la interfase.

Se demuestra matemáticamente (cosa que no haremos pues excede nuestro trabajo) que reconstruyendo el problema

en la interfase y usando las ecuaciones de Maxwell, efectivamente hay una onda transmitida no nula del otro lado de

la discontinuidad de índice. Es una onda plana que “vive” pegada a la discontinuidad, denominada onda evanescente

porque se atenúa exponencialmente con la distancia y no sobrevive más allá de unas pocas longitudes de onda. Si

calculáramos la media del vector de Poynting obtendríamos, como era de esperarse, que dicho valor es nulo, o sea,

no hay transmisión de flujo de energía en dirección normal a la superficie de incidencia.

Ahora imaginemos que un haz de luz viaja dentro de un bloque de vidrio y se refleja internamente en una frontera.

Presumiblemente, si presionamos otra pieza de vidrio contra la primera interfase aire-vidrio, podríamos hacer que

desapareciera y entonces el haz se propagaría hacia adelante sin estorbos. Además podríamos esperar que esta

transición de reflexión total o ausencia de ella, ocurriera gradualmente conforme la película de aire se adelgaza. En

términos generales, si la onda evanescente se extiende con amplitud apreciable a través del medio de menor índice

hacia una región cercana ocupada por un material de índice más alto, la energía puede ahora fluir a través del espacio

que los separa en lo que se conoce como reflexión total interna frustrada (RTIF). En otras palabras, se la onda

evanescente, después de atravesar el espacio separador, es aún lo suficientemente fuerte para impulsar electrones en

el medio “frustrante” (de menor índice), ellos a su vez generarán una onda que altera la configuración del campo

permitiendo así el flujo de energía. En conjunto el proceso es notablemente similar al fenómeno mecánico cuántico

de penetración de barreras o efecto túnel. Se puede demostrar la RTIF con la disposición de primas rectos, si las

caras de la hipotenusa de ambos son planas y paralelas y se pueden colocar de tal manera que transmiten y reflejen la

fracción deseada de flujo incidente. El arreglo y el fenómeno se ven en la figura 2.

Figura 2. Fuente: Harvard University


5

Descripción del sistema y resultados

Procedimiento

Medición de índice de refracción

Para esta medición se utilizó una lente cilíndrica, un compás que en una de sus caras poseía una cuadrícula

centimetrada que se utilizó como referencia para la medición. El procedimiento de medida consistió en alinear

correctamente el compás y la lente con el láser de forma tal que a 0° incidiera perpendicularmente el rayo del láser

(se alineó en base al rayo reflejado porque el incidente no se veía), y desde allí se comenzó la medición (Figura 3).

Figura 3

En primera instancia se midieron los catetos del rayo reflejado y del transmitido. Se midió en base al rayo reflejado

debido a que, como se mencionó anteriormente, el rayo incidente no lograba observarse, y esto se pudo realizar ya

que los ángulos de incidencia y reflexión son iguales.

Por ley de Snell:

nisin(ϴi) = ntsin(ϴt) (1)

ni (Cateto opuestoi/Hipotenusa) = nt (Cateto opuestot/Hipotenusa) (2)

Pero resulta que las hipotenusas son iguales

ni Cateto opuestoi = nt Cateto opuestot (3)

A su vez como el medio incidente es el aire ni = 1, con lo que:

(Cateto opuestoi/Cateto opuestot) = nt (4)


6

Como los ángulos del rayo incidente y el reflejado son iguales, entonces:

Cateto opuestoi = Cateto opuestor (5)

Y queda:

(Cateto opuestor/Cateto opuestot) = nt (6)

Se procedió entonces al cálculo de los catetos opuestos y reflejados, girando el compás de a 10° (Tabla 1):

Ángulo Cateto reflejado [cm] Cateto transmitido [cm] nt resultante

10° 0,85 0,50 1,70

20° 1,70 1,20 1,42

30° 2,35 1,50 1,57

40° 2,95 1,80 1,64

50° 3,65 1,75 2,09

60° 4,30 1,70 2,53 Tabla 1

Se pudo medir hasta un ángulo de 60° ya que la regla que se utilizó para medir no cabía en la plataforma debido al

ancho del lente.

Para una segunda medición se utilizó un goniómetro en vez del compás (Figura 4). Se rotó sobre su eje central en

cada medición, posicionando el lente cilíndrico en el centro y alineado de manera tal que el rayo del láser incidiera

perpendicularmente sobre su superficie. Como la altura del lente no bastaba para que el rayo impacte sobre él se lo

colocó sobre una arandela con el fin de que el rayo incidiera correctamente. Para la visualización del rayo

transmitido se colocó una pantalla de observación en el perímetro del goniómetro, la cual se movía en cada

medición. La manera de posicionarla correctamente consistió en alinear el rayo visualizado con una marca de

referencia sobre el lado inferior de la pantalla, y se definía el ángulo del rayo transmitido por la coincidencia de la

marca de la pantalla y el valor que se correspondía en el goniómetro.

Figura 4

A partir de la Ley de Snell, (Ecuación 1), se deriva una expresión para el cálculo del índice de refracción: (con ni = 1

porque el medio incidente es el aire):

sin(ϴi)/sin(ϴt) = nt (7)

Rotando el goniómetro y registrando los ángulos de los rayos reflejados, los resultados fueron los siguientes (Tabla

2):


7

ϴi ϴr ϴt nt resultante

20° 20° 13,5° 1,47

30° 30° 21,0° 1,40

40° 40° 27,0° 1,42

50° 50° 32,5° 1,43

60° 60° 37,0° 1,44

70° 70° 41,0° 1,43

Tabla 2

No se pudo medir el ángulo de 10° como en la primer medición porque la pantalla de observación bloqueaba el rayo

incidente proveniente del láser.

Medición del ángulo de Brewster

En primera instancia, se colocó un polarizador a la salida del láser, con su eje de transmisión horizontal, a fin de

polarizar la onda. Luego se la hizo incidir contra un vidrio colocado sobre una plataforma. El vidrio se rotó y con la

misma pantalla con la que se observó anteriormente el rayo transmitido contra la lente cilíndrica, se buscó el punto

para el cual el rayo reflejado era casi nulo (Figura 5).

Figura 5

A su vez se visualizó con la misma pantalla el rayo reflejado máximo (Figura 6):

Figura 6

La medición dio como resultado:

Θ brewster = 56°


8

Reflexión Total Interna con agua

Con un punzón se realizó un orificio de unos 5mm de diámetro cerca del fondo de una botella plástica de gaseosa

de 2,250 litros, se la llenó de agua y se tapó el pico, dejando que la propia presión ambiente evitara la salida de agua

por el orificio. Se dispuso la botella sobre el borde de la mesada del laboratorio, a mayor altura de un contenedor

para dejar caer el agua. En el lado opuesto al orificio se niveló un puntero láser de 1mW, cuya longitud de onda era

de 633 nanometros, orientando el haz lo mejor posible con el centro del mismo. Se presionó contra el plástico de la

botella para mejorar la transmisión del haz a través del agua, viéndose un punto luminoso verde en la pared frente al

láser (Figura 7. Fuente: Harvard University).

Figura 7. Fuente: Harvard University

Al abrir la tapa y nivelarse la presión, comenzó a fluir un delgado chorro de agua al momento que el punto luminoso

sobre la pared se atenuaba o desaparecía cuando se alineaba correctamente la salida del láser con el centro del

orificio. Dado que el ángulo crítico para la interfase agua-aire es de unos 49°, el haz saliente del láser quedaba

atrapado por RTI y caía sobre el contenedor, acompañando la caída del chorro (equivalente a una fibra óptica de

agua) incluso cuando el flujo se hacía lento y delgado al irse vaciando la botella. Por las imperfecciones en el flujo,

se lo mejoró con un pedacito de sorbete plástico adherido con plastilina alrededor del orificio (Figura 8).

Figura 8


9

Reflexión Total Interna frustrada

Para el experimento de la reflexión total interna frustrada, usamos dos prismas triangulares rectos e hicimos incidir el

haz del láser sobre la cara opuesta a la hipotenusa de uno de ellos. Lo que se observa en primera instancia es que el

haz se refleja totalmente en ella y sale del prisma en ángulo recto respecto al haz incidente. Esto es consecuencia de

que el haz dentro del prisma incide a un ángulo mayor al ángulo crítico.

Lo que se hizo luego fue aproximar la hipotenusa correspondiente del otro prisma con la del primero, logrando una

interfaz muy pequeña de aire entre ambos, presionando lo suficiente para que sea prácticamente despreciable y los

prismas queden en contacto directo. Luego de ajustar lo más posible el contacto, desplazando un poco las caras entre

sí, tal vez debido a una imperceptible suciedad o a una curvatura de las caras que no permitía eliminar del todo la

capa de aire intermedia, se observó un punto de luz sobre la pantalla posterior, correspondiendo al haz inicialmente

reflejado de manera total en ángulo recto, y ahora trasmitido paralelo al haz incidente. Esto evidenció que la onda

evanescente “apoyada” sobre la cara oblicua del primer prisma había encontrado de esta manera el camino para

transmitirse en el segundo prisma, a modo de un efecto túnel óptico (Figura 9. Fuente: Barrangú, J.P.).

Figura 9. Fuente: Barrangú, J.P.

Análisis de los datos

Calculando la media aritmética de los índices obtenidos en la Tabla 1 se llega a (Gráfico 1. Correspondiente a datos

de la Tabla 1):

nt1 = 1,83

Gráfico 1. Correspondiente a datos de la Tabla 1

-

1.00

2.00

3.00

0 20 40 60 80

Índ

ice

de

ref

racc

ión

Ángulo de Incidencia

nresultante


10

Calculando la media aritmética de los índices obtenidos en la Tabla 2 se llega a (Gráfico 2. Correspondiente a los

datos de la Tabla 2):

nt2 = 1,43

Gráfico 2. Correspondiente a los datos de la Tabla 2

Realizando el promedio entre los dos índices obtenidos se concluye:

nt = (nt1 + nt2)/2 = (1,83+1,43)/2 = 1,63

Para el caso de la medición de los catetos, lo que se realizó para obtener el n resultante fue el cociente entre el cateto

reflejado (igual al incidente) y el cateto transmitido. Luego para el segundo caso de medición del ángulo

directamente, el índice se obtuvo dividiendo el seno del ángulo reflejado (igual al incidente) sobre el seno del ángulo

transmitido.

Discusión

Para los índices de refracción propuestos, los resultados obtenidos están en el rango esperado ya que el lente

cilíndrico tiene como aproximado un n entre 1.5 y 1.8. A pesar de mediciones erróneas (dos de los seis índices de

refracción calculados se salen notoriamente de tendencia en el gráfico 2) , cantidad de mediciones no considerables,

errores humanos a la hora de medir, el resultado correspondió de manera correcta. Cuando se midió el ángulo de

Brewster, el valor obtenido corresponde a un ángulo esperado para un vidrio común.

Los resultados obtenidos en general cubren las expectativas que se propuso alcanzar, ya que a pesar de que existen

errores en la medición no hubo obstáculos que no permitieran la obtención de los mismos.

En cuanto al diseño del experimento, al tener dos variantes par medir lo mismo se contrastan ambas en el modo de

obtener el dato. Quizá al tener que realizar acciones manuales para cada una de las medidas se puede contribuir a un

mayor error en el resultado final, aspecto que puede mejorarse realizando el experimento con instrumentos de mayor

precisión.

Conclusiones

Se logró completar los objetivos propuestos con éxito, desarrollando las experiencias con claridad. La realización de

estos experimentos fue eficaz al momento de fijar los conceptos dados en la teoría, permitiendo ver cómo son en la

realidad los fenómenos estudiados. Si bien se observan desviaciones importantes en los valores esperados de n1, el

método utilizado para las mediciones fue apropiado y conllevó a obtener buenos resultados. El trabajo fue

gratificante en el sentido de poder comprender realmente lo que estaba sucediendo.

1 Deberían haber dado más próximos entre sí, tratándose del mismo cristal, como se menciona en la discusión. Se atribuye la

diferencia a errores sistemáticos cometidos durante las mediciones, dada la inexperiencia de los practicantes en el uso de

elementos de laboratorio, además de errores de paralaje frecuentes durante la medición con regla

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

- 20 40 60 80Índ

ice

de

refr

acci

ón

Ángulo de incidencia

Índice derefraccion

Linear (Índicede refraccion)


11

Agradecimientos

A Esteban Zoratti y Pablo Rovito, ayudantes de la cátedra de Física 3 y co-tutores del presente trabajo. Al Prof.

Adrián Gabbanelli y Juan Pablo Barrangú por la disposición del laboratorio y el material experimental.

Bibliografía

-Alonso, M.; Finn. E. - "Física. Vol II: Campos y ondas" - Fondo Educativo Interamericano S.A. (1970).

-Hecht, E.; Zajac, A - "Óptica" (1ra. edición en español) - Addison-Wesley Iberoamericana S.A. (1986).

-Physical Science Study Committee - "Física" (2da. edición) - Ed. Reverté (1967).

-Tejero Cantero, A. - "Óptica Electromagnética" (versión 1.1.0) - Proyecto Libre Alqua (10 de abril de 2004).

-Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations.

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