Clase 2 - EM2Web: http://materias.df.uba.ar/edlm2a2020c2
Red de Bravais (RB)
1) Arreglo infinito de puntos discretos que se ve exactamente igual desde cualquiera de los puntos de la red.
2) Todos los puntos tal que = 1 1 + 2 2 + 3 3 (∀ 1, 2, 3 ∈ )
1, 2, 3 → Vectores linealmente independientes (vectores primitivos -VP-) que generan la red.
Grafeno
https://www.salve-project.de/https://www.knmf.kit.edu/TEM.php
Sólidos cristalinos
Número de coordinación (NC): Es el número de primeros vecinos de un punto de la red.
Oblicua







1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
SC BCC FCC
Celda primitiva (CP)
Volumen del espacio que al ser trasladado a través de todos los
vectores de la RB llena el espacio sin que haya ni superposiciones ni
vacíos. Contiene exactamente un punto de la red.
Celda de Wigner-Seitz (WZ)
Es una CP que no depende de los VP elegidos, y mantiene la
simetría de la red. Para un punto dado, es la región del espacio que
se encuentra más cercana a ese punto que a cualquier otro de la red.
Celda unidad (CU)
Celda unidad convencional o celda unidad (CU): Volumen del
espacio que al ser trasladado a través de un subconjunto de vectores
de la RB llena el espacio sin que haya ni superposiciones ni vacíos.
CP
(FCC)
(FCC)
Repaso
Todos los puntos tal que = 1 1 + 2 2 + 3 3 + , ∀ 1, 2, 3 ∈ , = 1, 2, … , .
RB + base (descripción
A A A A
A A A A A A
Apilamos pequeñas esferas rígidas (“átomos”) que se atraen e intentan acercarse lo máximo posible.
Empaquetamiento compacto
B B B B B B B
B B B B B
Estructura cristalina; Red con una base
Diamante Cloruro de Cesio
Definición de Red recíproca (RR)
El conjunto de vectores de onda que generan ondas planas con la periodicidad de una RB
determinan su red recíproca (RR).
Buscamos todos los tal que: ⋅( + ) = ⋅ ∀ ∈ 3, ∀ ∈ RB
= 1 1 + 2 2 + 3 3 ∀ 1, 2, 3 ∈ ; 1, 2, 3 VP
= 1
1 = 2 2 × 3
Red recíproca
Cualquier vector ∈ 3 puede escribirse como = 1 1 + 2 2 + 3 3, i ∈
=(1 1 + 2 2 + 3 3) 1 1 + 2 2 + 3 3
1 = 2 2 × 3
; 3 = 2 1 × 2
1 (2 × 3) = 2
⋅ = 1∀ ∈ RB ↔ ∈ Nomenclatura: Red directa
(RD) es la RB a partir de la
cual se determina su RR.
¿La RR es una RB?
La RR de la RR
La RR de la RR es la RD
= 2(11 + 22 + 33)
La RR es una RB y los son VP
⋅ ≠ 1
Buscamos todos los tal que: ⋅ = 1 ∀ ∈ RR.
Como todo vector de la RD satisface esto todos ellos están en la RR de la RR.
¿Un vector que no sea de la RD? = 1 1 + 2 2 + 3 3 con al menos un factor no entero.
= 2 11 + 22 + 33
Red recíproca
1 =
2 =
3 =
= 2
1 (2 × 3) 2 2 3 3 − 2 3 3 2
(volumen de la CP de la RD) = 2
2/
2/
2
= 2
; 3 = 2 1 × 2
La RR de una BCC es una FCC.4/
4/
Zonas de Brillouin
La CP de WS de la RR se conoce como la 1era zona de Brillouin (1era ZB).
Este nombre se usa solo en el espacio k. La 1era ZB de una RB en el espacio real es la CP de WS de su RR.
1era ZB de una BCC es la CP de WS de una FCC, y viceversa.

RR
2

2
2
2
volumen, que es el de la CP.
La n-ésima ZB es el conjunto de
puntos a los que se llega desde el
origen luego de cruzar n-1 planos
bisectores. También es el conjunto
de puntos que tienen al origen como
su n-ésimo vecino más cercano.
Red recíproca: Relación con planos de la red directa
Planos de la red
Dada una RB, un “plano de la red” es aquel que contiene al menos tres puntos no colineales de la red.
Una familia de planos de la red es un conjunto de planos de la red paralelos e igualmente espaciados, que
contienen todos los puntos de la RB.
1) Para cualquier familia de planos de la red separados en una distancia d, existen vectores de la RR
perpendiculares a ellos, el más corto de los cuales tiene una longitud 2p/d.
2) De igual manera, para cualquier vector de la RR existe una familia de planos de la red normales
a separados una distancia d, donde 2p/d es la longitud del vector de la RR más corto paralelo a .
Teorema

Demostración
Dada una familia de planos de la red con vector normal unitario , separados en d:
¿Es = 2 / un vector de la RR?
⋅ es constante en planos perpendiculares a y tiene el mismo valor en planos separados λ = 2
=
Como uno de los planos de la RD contiene a = ⋅ = 1 ∀ en cualquiera de ellos.
Un vector más corto daría lugar a una onda plana de longitud de onda más grande, y no podría tomar el
mismo valor (en particular, 1) en todos los planos de la familia.
1) Para cualquier familia de planos de la red separados en una distancia d, existen vectores de la RR
perpendiculares a ellos, el más corto de los cuales tiene una longitud 2p/d.

¿Es es el vector normal más corto de la RR?
Los planos contienen a todos los de la RB ⋅ = 1 ∀ ∈ RD
es el vector normal más corto de la RR.
∈ RR.

Índices de Miller
Los índices de Miller de un plano de la RD son las coordenadas del vector más corto de la RR normal a ese
plano, para un dado conjunto de VP de la RR. Se utilizan para definir orientaciones de planos de la RD.
Un plano con índices h, k, l es normal al vector de la RR 1 + 2 + 3; h, k, l ∈ y los índices no
tienen factor común.
Interpretación geométrica en la RD
Este plano interseca a los ejes determinados por los VP de la RD i en 1 1, 2 2, 3 3
Un plano de la red de índices h, k, l definido por = 1 + 2 + 3 está contenido en el plano continuo
= , para una constante adecuada .
Los i están determinados por la ecuación del plano ( i) =
1 = 2 2 = 2 3 = 2
1 = /2 2 = /2 3 = /2
( = 2) 11 1
2
3
Convenciones
Los planos se especifican como (, , ) Un plano con normal 1 − 2 + 3 se le llama el plano (1,-1,1).
Alternativamente, (111) y se eliminan las comas.
Para especificar direcciones en la RD: [123] 1 1 + 2 2 + 3 3 apunta en la dirección [123].
Para especificar familias de planos de igual simetría: {}
Los índices de Miller dependen de la elección de VP. Para la SC, BCC y FCC se suelen tomar CU cúbicas.
En un sistema cúbico los planos (100), (010),
(001) forman parte del conjunto de planos {100}.
Ejemplo: Planos en una SC
1 1 1
(100) (110) (111)
Difracción de rayos X: Formulación de Bragg
Formulación de Bragg
Las distancias interatómicas están en el rango de los (10-10 m).
=
2 = , ∈
Interferencia constructiva:
de onda daría lugar a múltiples reflexiones.

( ≤ 2)
Formulación de von Laue
Tratamos a cada átomo como un elemento dispersor que puede re-irradiar en todas las direcciones.
= 2 /
Interferencia constructiva:
⋅ − ′ = , ∈ ⋅ − ′ = 2
Interferencia constructiva en toda la red:
⋅ − ′ = 2, ∀ ∈ RD, ∈ ( −′)⋅ = 1, ∀ ∈ RD
Necesitamos = − ′ ∈ RR (el cambio en vector de onda debe ser un vector de la RR: Condición de Laue).
′
( = ′, dispersión elástica)
Formulación de von Laue
2 = 2 − 2 ⋅ + 2 2 ⋅ = 2
2 ⋅ () = 2 ⋅ = 1
2
Formulación alternativa
Plano de Bragg
= 0, ∈
0 = 2/ = 2/
corresponde a un cambio de
vector de onda dado por ∈ ,
que equivale a una reflexión de
Bragg por los planos de la RD
perpendiculares a . El orden n es
el cociente entre y 0.

′
(−)
(Distancia entre planos sucesivos de
la RD definidos por 0, por teorema.)
Difracción de Rayos X: Construcción de Ewald
Construcción de Ewald (espacio k)
Construimos una esfera centrada en la punta de (vector de onda incidente), de radio .
′

la esfera interseca a un punto de
la RR (además del origen).


En general no habrá un punto de la RR intersecando a la superficie de la esfera de Ewald.
Construimos una esfera centrada en la punta de (vector de onda incidente), de radio .
La condición de Laue se
satisface sólo si la superficie de
la esfera interseca a un punto de
la RR (además del origen).
Difracción de Rayos X: Construcción de Ewald
Construcción de Ewald (espacio k)
Método de Laue
Se observan máximos de Bragg para los puntos ubicados entre las dos esferas.
Se utiliza un haz de rayos X no monocromático para asegurar la ocurrencia de máximos de Bragg.
0 1
1 < < 0
Método del cristal rotante
Se utiliza un haz de rayos X monocromático y se rota continuamente al cristal.


Cristal
Detección
Eje de rotación
Se producen reflexiones de Bragg cuando puntos de la RR intersecan la superficie de la esfera.
Difracción de Rayos X: Cristal rotante
Factor de estructura
Si se satisface la condición de Laue, pero el cristal tiene una base de más de un átomo, con posiciones 1, … , en la CU, entonces debe analizarse también cómo estos interfieren entre sí.
′
′ + (
Onda proveniente de una CP de átomos idénticos
= ′ (
)
Diferencia de fase entre haces dispersados en 1 = 0 y

El factor de estructura determina
la influencia de la interferencia
entre átomos idénticos en una
base sobre la intensidad del
máximo de Bragg asociado a . Intensidad del máximo de Bragg ∝ 2
Difracción de Rayos X: Factor de estructura
+ ′ =
Diferencia de camino:
Factor de estructura
Si bien no es la única fuente de dependencia en en la intensidad (por ejemplo, la estructura interna del
átomo puede dar una dependencia), es de utilidad para determinar extinciones por interferencia destructiva.
Ejemplo: BCC como SC con una base
Difracción de Rayos X: Factor de estructura
1 =
2 =
3 =
=
RR


= 2, + + par 0, a + + impar
= 1 + 2
+ + = 1 + ++ = 1 + (−1)++
Difracción de Rayos X: Factor de estructura
= 2, + + par 0, + + impar
= (2/)( + + )
2/
Los puntos de la RR SC con suma de coordenadas impar no
presentan reflexiones de Bragg.
¡Se obtiene una FCC! (RR de una BCC)
La descripción de difracción de rayos X es correcta ya sea tratando a
la red como una BCC, o como una SC + base.
Ocurre interferencia destructiva
los distintos elementos de la base.
¿Cómo se entiende en el espacio real?
(100)
4/


Ejemplo: Estructura de diamante
1 = 0
1 = (2/) + −
2 = (2/) + −
3 = (2/)( + − )
= 1 + 2 + 3 = (2/) ( + − ) + ( + − ) + ( + − )
=
4
+ + = 1 + ++ =
2, s + + doble de n° par 1 ± , + + impar 0, s + + doble de n° impar
= 1 + 2 ++
Factor de forma atómico
Si los átomos de la base no son idénticos:
=

() : Factor de forma atómico. Determinado por la estructura interna del átomo en .
Si los átomos son idénticos se recupera la expresión anterior, multiplicado por un factor común.
está dado por la transformada de Fourier de la distribución de carga electrónica ( ).
= − 1
( )
En general ≠ 0, a menos que ocurra una extinción casual.
Resumen
• Definición de red recíproca (RR). La RR es una RB.
• Propiedades de la RR (VP, volumen de la CP, RR de la RR)
• Zonas de Brillouin
• Relación entre RR y planos de la RD (teorema, índices de Miller)
• Difracción de rayos X (formulaciones de Bragg y von Laue)
• Construcción de Ewald y algunos métodos de DRX
• Factor de estructura y de forma
2
2
2