SITUACIÓN PROBLEMA PARA PRIMER GRADO DE EDUCACION SECUNDARIA I.E. “22 DE MAYO” SANTA ANA - HUANCAVELICA

PROPUESTA PEDAGOGICA ALTERNATIVA

“Aplicacion de estrategias para la resolucion de problemas utilizando el trabajo colaborativo y participativo”

DOCENTE : JAIME TAYPE CASTILLO UGEL: HUANCAVELICA

Carlos Federico Gaus Fue sin lugar a dudas el mas grande matematico de la Historia . Desde niño mostro talento por los numeros, cuentan que a los seis años resolvio unas cuentas a su padre desde ese momento Gauus es considerado un gran matematico. En la escuela una tarde su profesor , deseando descansar un poco , ordeno a sus estudiantes que hallaran la suma de todos los numeros naturales desde el 1 hasta el 100 . escribio la consigna en la pizarra , dejo la tiza y ya aprestaba a comodarse en su pupitre cuando de pronto el pequeño Gauus levanto la mano diciendo que tenia la respuesta. El profesor no lo creyo pero tal fue la sorpresa de que el niño no solo hallo la respuesta sino tambien el metodo encontrado. ¿como hizo el pequeño Gauus para hallar 1+2+3+4………+99+100? Con tus compañeros , busquen un problema mas simpe ; por ejemplo , la suma de 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

Procedimientos para la resolucion del problema. Se organizan a los estudiantes en equipos de trabajo colaborativo- cooperativo. Vamos a a entender el problema

1. ¿Cuanto es la suma del primer y ultimo numero?...........................¿y del segundo y el penultimo numero?----------------------------¿y del tercero y el antepenultimo?....................

2. ¿Que observan acerca de estas sumas?............................. 3. ¿Es asi para todas las parejas? ................................ 4. ¿Que tienen en comun estas parejas? ............................... 5. Completen con lo que han descubierto:...................................

Elabora un plan 6. ¿Crees que es posible resolver el problema haciendo la suma de terminos que equidistan?

Porque........................... 7. ¿Como calcularias la suma de los 100 numeros naturales?....................................................

Desarrolla tu plan 1. ¿Cuanto es la suma de los terminos que equidistan de los extremos de la suma ?............................. 2. ¿Cuantos parejas e este tipo hay de 1 a 100?.................................................... 3. ¿Cual es la suma de los cien primeros numeros?....................................................

Observen ste otro metodo de resolver los numeros del 1 al 10. La figura representa esos numeros , completen el grafico de manera que se forme un rectangulo y colorea de morado la parte agregada

4. ¿Como son las figuras?............ 5. ¿Cual es la longitud del rectangulo?.... 6. ¿Cual es la altura del rectangulo?........ 7. ¿Como pueden utlizar el grafico para 8. Hallar la uma de los numeros del 1 al

100?

9. Empleen este metodo para hallar la suma de los numeros del 1 al 100........

Vision retrospectiva 1. ¿Cuales son las pistas mas dificiles de entender?............................. 2. ¿Crees que la figura es la mejor forma de organizar la informacion?............................ 3. ¿Como sera la generalizacion?...........................

Pues , 1 más 100 es igual, que 2 más 99, que 3 más 98 y así sucesivamente; como hay 50 de estas sumas y cada una de ellas suma 101, en total tenemos 101 por 50, que es 5050. Osea (100 + 1) x 100/2, de donde para la suma de “n” numeros naturales seria (n + 1) x n/2 Gauss , Había dado con el fundamento de lo que formalmente se denomina la suma de los primeros “n” términos de una progresión aritmética, en concreto, con la suma de los “n” primeros números naturales.

Nueva situacion

1. ¿En que otros problemas puedes utilizar esta estrategia? Conteo Mediante Inducción:

Consiste en analizar casos particulares a la figura dada (figuras análogas), tratando de encontrar una ley de formación coherente, para

luego poder generalizar (encontrar la fórmula).

Así por ejemplo:

1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Resolución:

Figura será Número de triángulos

1

3

6

Ley de Formación:

1 (para 1 espacio)

1 + 2 (para 2 espacios)

1 + 2 + 3 (para 3 espacios)

Para “n” espacios:

Número de triángulos:

Este método nos sirve para contar también “segmentos”; “cuadriláteros”; “ángulos agudos”; “sectores circulares”; “hexágonos”;

“trapecios”; ... etc.

2. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

Resolución:

como hay 9 espacios:

1 2 3 12. . . . . . . . .

1

1 2

1 2 3

n (n + 1)1 + 2 + 3 + ...... + n =

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

Resolución: como hay 20 espacios:

4. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura?

Resolución: como hay 50 espacios:

5. ¿Cuántos sectores circulares hay en la figura?

Resolución: como hay “n” espacios:

6. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura?

Resolución:

• Contando encontramos 6 espacios.

Luego:

7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Resolución:

Analizando casos particulares nos daremos cuenta que cumple con la fórmula:

8. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

Resolución:

9 · 10número de segmentos = = 452

1 2 3 ... 18 19 20

20 · 21número de cuadriláteros = = 2102

1

23

50

50 · 51número de ángulos agudos = = 12752

1 23

n

n (n + 1)número de sectores circulares =

2

12

34

56

6 · 7número de hexágonos = = 212

1

2

3

4

5

6

n (n 1)

2

6 · 7 número de triángulos = = 212

Contando directamente, encontraremos 18, pero el método más rápido sería:

Número de cuadriláteros : 3 · 6 = 18

En general:

9. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

Resolución:

Número de cuadriláteros = 10 · 15 = 150

Resolución:

Por el método práctico:

3

6

×

232

243

1

2

2 3

n

…

3

2

1 . . .2 3 m

horizontal vertical

Número de n(n 1) m(m 1) ·

Cuadriláteros 2 2

n

2

1

. . . . . . . . . . 1 2 m

12

P

. . .

. .

Número de n (n 1) m (m 1) p (p 1) · ·

Paralelepípedos 2 2 2

4 3 2 1

2

3

4

5

10

× 15

4 · 5

2

5 · 6

2

1 2 3 4

2

3

4

5

1

2

310 . ¿Cuántos

paralelepípedos

hay en la

figura?

DOCENTE: JAIME TAYPE CASTILLO UGEL: HUANCAVELICA

Número de 5 · 6 4 · 5 3 · 4 · · 900

Paralelepípedos 2 2 2