estimación de los parámetros del modelo matemático del...

Estimación de los Parámetros del Modelo Matemático del Generador

Sincrónico

Hernán Mauricio Sánchez Jaramillo

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de Energía Eléctrica y Automática

Medellín, Colombia

2015


Sincrónico

Hernán Mauricio Sánchez Jaramillo

Trabajo final de maestría como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ingeniería – Ingeniería Eléctrica

Director:

Prof. Jairo José Espinosa Oviedo Ph.D.

Línea de Investigación:

Sistemas de Potencia

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de Energía Eléctrica y Automática

Medellín, Colombia

2015

A mi hijo Tomás y a mi esposa María Paula

por su paciencia aliento y soporte.

Agradecimientos

Al Dr. Jairo José Espinosa O y Dr. Jorge Enrique Gómez. por su direccionamiento y

valioso aporte al éxito de este trabajo.

A X.M. S.A. ESP, María Nohémi Arboleda y Juan Carlos Morales por creer y patrocinar

este proyecto.

Resumen y Abstract V

Resumen

Este trabajo presenta la estimación de los principales parámetros del modelo dinámico

del generador sincrónico, a través de la técnica de optimización basada en sensibilidad

de trayectoria. Actualmente en la literatura han sido propuestas diversas técnicas para

determinar los parámetros del modelo del generador, sin embargo algunas son muy

invasivas y requieren montajes especiales y tener el generador fuera de línea, otras,

como las que consideran el generador en operación continua, dependen de la ocurrencia

de eventos que no necesariamente hacen identificables todos los parámetros del modelo.

La técnica de sensibilidad de trayectorias fue seleccionada no solo porque permite una

completa representación de las dinámicas lineales y no lineales del generador y su

sistema de excitación, sino porque presenta gran eficiencia en la búsqueda de

parámetros en problemas de ajuste de curvas mediante la minimización del error entre

las variables medidas y las simuladas.

El desarrollo del trabajo parte del modelamiento del generador sincrónico y de la solución

de las ecuaciones diferenciales no lineales que componen el modelo de orden 5 que se

encuentra comúnmente en la literatura. Posteriomente se incluye un modelo típico de

regulador de tensión, el cual juega un importante papel en la dinámica eléctrica del

generador. A continuación, se diseña una pequeña red eléctrica de prueba que simula el

generador bajo prueba, líneas de transmisión, una carga y un equivalente dinámico del

sistema. Se plantean las ecuaciones algebraico-diferenciales para la red de prueba,

encontrándose su solución en el tiempo mediante una técnica de integración númerica.

Finalmente la red de prueba es usada por la metodología de estimación para evaluar la

función objetivo enfocada en minimizar el error entre la simulación y los registros de una

prueba mediante la variación iterativa de los parámetros del modelo del generador.

Por último, para evaluar la robustez del algoritmo de estimación se realizaron múltiples

escenarios para los cuales se corrió la metodología, encontrándose excelentes

resultados en cuanto a la precisión de la estimación de parámetros y la usabilidad de la

VI Estimación de los Parámetros del Modelo Matemático del Generador Sincrónico

técnica implementada tanto en ambiente de prueba en planta como en operación normal,

registrando la dinámica del generador ante eventos en la red de transmisión. No obstante

se encontrarón limitaciones en la convergencia del algoritmo de estimación relacionadas

con la desviación inicial de los parámetros del modelo, lo cual limita su uso a

desviaciones no mayores al 20%. Igualmente los ruidos própios de medición imponen

dificultades adicionales para la obtención de buenos resultados, lo que hace necesario la

utilización de instrumentos de medición con alta precisión.

Como producto del presente trabajo se propone una herramienta que puede mejorar

notablemente el desempeño de los modelos de los generadores sincrónicos que tienen

incertidumbre en sus parámetros, usando registros provenientes de pruebas muy simples

sobre el sistema de excitación, o eventos comunes en la red de transmisión.

Palabras clave: Modelo generador sincrónico, Sensibilidad de trayectorias,

Estimación de parámetros, Sistema de excitación, Sistemas no lineales.

Abstract

This work is presents the estimation of the main parameters for the dynamic model of

synchronous generators through an optimization technique based on Trajectory

Sensitivity. Currently in the literature several techniques are proposed to determine the

model parameters for the generator: However some are very invasive and require special

assemblies and the setting of the generator off-line. Others consider the generator in

continuous operation but rely on the occurrence of events that not necessarily makes all

model parameters identifiable. The Trajectory sensitivity technique was selected, not only

because it allows a complete representation of linear and no linear dynamics, but also

because it presents high efficiency in the search for parameters in curve fitting problems

by minimizing the error between measured variables and simulated ones.


Sincrónico

VII

The development of this work begins with the modeling of a synchronous generator and

the solution of nonlinear differential equations that summarises the 6th order model which

is commonly found in the literature. A common model for excitation system is also

included, since it plays an important role in the dynamics of the generator. Then, a small

test grid is designed to simulate the generator under test, transmission lines, a load and a

dynamic equivalent for the system. Algebraic-differential equations for the test network

are stated, finding its solution in time domain by a numerical integration technique.

Finally the test network is used by the estimation methodology to evaluate the objective

function focused on minimizing the error between simulation and test records. This is

done varying iteratively the generator model parameters.

Finally to assess the robustness of the estimation algorithm, multiple scenarios were ran

through the methodology. Excellent results were found in terms of accuracy of the

parameter estimation and the technique usability in both, test environment in plan and in

normal operation recording the dynamics of the generator to events in the transmission

network. However, limitations were found in the convergence of the estimation algorithm

related to the initial deviation of the model parameters, limiting it to deviations below 20%.

Likewise, measurement noise imposes additional difficulties in obtaining good results,

demanding the use of highly accurate measuring instruments.

As result of this work, a tool that can significantly improve the performance of

synchronous generators models with uncertainity in parameters, using records from very

simple tests on the system, or common events in the transmission network is proposed.

Keywords: Synchronous generator model, Trajectories Sensitivity, Parameter

estimation, Excitation system, Nonlinear systems.

Contenido VIII

Contenido

Pág.

1 Estimación de Parámetros en Generadores Síncronos .......................................... 5

1.1 Introducción ......................................................................................................... 5 1.2 Diferentes aproximaciones al tema de estimación de parámetros de generadores

....................................................................................................................... 6 1.2.1 Pruebas de Corto - Circuito ............................................................................. 6 1.2.2 Pruebas de Rechazo de Carga ........................................................................ 8 1.2.3 Pruebas de Respuesta en Frecuencia ........................................................... 11 1.2.4 Pruebas usando perturbaciones .................................................................... 12 1.2.5 Usando los Operadores de Reactancia ......................................................... 12 1.2.6 Análisis de los Datos de Diseño ..................................................................... 12 1.2.7 Identificación del modelo y estimación de sus parámetros con base en datos operativos................................................................................................................. 13 1.2.8 Conclusiones. ................................................................................................ 13

2 Sensibilidad de trayectoria para estimación de parámetros ................................ 14

2.1 Introducción ....................................................................................................... 14 2.2 Metodología de estimación de parámetros ......................................................... 14

2.2.1 Selección de variables medidas ..................................................................... 14 2.2.2 Selección del modelo matemático.................................................................. 15 2.2.3 Proceso de estimación de parámetros ........................................................... 15 2.2.4 Funciones de sensibilidad de trayectoria ....................................................... 16 2.2.5 Función objetivo y su minimización ................................................................ 18

3 Modelo del Generador Sincrónico y su sistema de excitación ............................ 23

3.1 Modelo del Generador Sincrónico ...................................................................... 23 3.1.1 Modelo Eléctrico ............................................................................................ 24 3.1.2 Modelo Mecánico ........................................................................................... 31 3.1.3 Modelo General ............................................................................................. 33

3.2 Modelo del Sistema de Excitación ...................................................................... 35 3.2.1 Sistemas de excitación DC ............................................................................ 37 3.2.2 Sistemas de excitación AC ............................................................................ 38 3.2.3 Sistemas de excitación Estáticos ................................................................... 38

4 Modelo del Sistema de Transmisión Acoplado al Generador Sincrónico ........... 41

4.1 Métodos de integración numérica ...................................................................... 41 4.2 Descripción del sistema de potencia modelado .................................................. 44 4.3 Metodología para la simulación dinámica del modelo de prueba ........................ 46

4.3.1 Sistema en por unidad (p.u.) .......................................................................... 46

IX Contenido

4.3.2 Construcción de la matriz Ybarra....................................................................47 4.3.3 Cálculo de las corrientes de las inyecciones ..................................................48 4.3.4 Cálculo de las condiciones iniciales ................................................................49 4.3.5 Solución de Ecuaciones Diferenciales y Algebráicas en el Tiempo. ...............50

4.4 Validación del Modelo ......................................................................................... 54

5 Estimación de parámetros del generador a través de la técnica de sensibilidad del trayectorias 58

5.1 Implementación de la técnica de estimación basada en sensibilidades de trayectoria ..................................................................................................... 58

5.1.1 Selección de variables de entrada, salida, algebráicas, estado y parámetros 58 5.1.2 Selección de los eventos a ser simulados ......................................................59 5.1.3 Metodología de estimación de parámetros .....................................................60

5.2 Resultados ......................................................................................................... 71 5.2.1 Sensibilidad al error inicial en los parametros .................................................72 5.2.2 Caso 3: Estimación de todos los parámetros simultaneamente. Sensibilidad a la estimación de variaciones aleatorias. ....................................................................82 5.2.3 Caso 4: Estimación de todos los parámetros considerando eventos externos – Incremento de carga .................................................................................................88 5.2.4 Caso 5: Estimación de todos los parámetros considerando eventos externos – Corto-circuito y apertura de línea ..............................................................................92 5.2.5 Caso 6: Estimación de todos los parámetros considerando el ruido de medición ...................................................................................................................97

5.3 Resumen y observaciones ................................................................................ 105

6 Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 107

6.1 Conclusiones .................................................................................................... 107 6.2 Recomendaciones ............................................................................................ 108

X Contenido

Lista de figuras

Pág.

Figura 1 Corriente en el estator después de aplicado el cortocircuito [6] .......................... 7 Figura 2 Determinación de constantes de tiempo [6] ........................................................ 8 Figura 3 Tensión en terminales después del rechazo de carga (eje de directo) [6] .......... 9 Figura 4 Tensión en terminales después del rechazo de carga (eje de cuadratura) [6] . 10 Figura 5 Proceso de estimación de parámetros ............................................................. 16 Figura 6 Metodología de estimación de parámetro ......................................................... 21 Figura 7 Devanados del generador sincrónico y sus ejes [1] .......................................... 25 Figura 8 Representación del generador sincrónico en tres juegos de devanados ficticios

[1] ................................................................................................................................... 27 Figura 9 Circuitos equivalentes del generador: (a) eje directo; (b) eje de cuadratura ..... 29 Figura 10 Diagrama general del sistema de excitación de unidades de generación [18] 36 Figura 11 Modelo para sistema de excitación DC tipo DC1A [18] ................................... 37 Figura 12 Modelo para sistema de excitación AC tipo AC1A [18] ................................... 38 Figura 13 Modelo del sistema de excitación estático [43] ............................................... 39 Figura 14 Modelo del regulador de tensión simplificado ................................................. 40 Figura 15 Modelo de red usado para la estimación de parámetros ................................ 44 Figura 16 Diagrama fasorial del generador usado para su inicialización [2] .................... 49 Figura 17 Condiciones iniciales simulación comparativa – Flujo de Cargas ................... 55 Figura 18 Comparación entre el modelo en DigSilent y Matlab del generador bajo prueba

ante un escalón de +2% en la tensión de referencia del AVR. ....................................... 55 Figura 19 Comparación entre el modelo en DigSilent y Matlab del generador bajo prueba

ante un escalón de -2% en la tensión de referencia del AVR. ........................................ 56 Figura 20 Comparación entre el modelo en DigSilent y Matlab del generador bajo prueba

ante un incremento de 100 MW y 50 MVar en la carga de la barra 2. ............................ 57 Figura 21 Comparación entre el modelo en DigSilent y Matlab del generador bajo prueba

ante la reducción de 100 MW y 50 MVar en la carga de la barra 2. ................................ 57 Figura 22 Implementación de la la metodología de estimación de parámetros propuesta

sobre un generador real ................................................................................................. 61 Figura 23 Resultados estimación Tq0'' Caso 1: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Desviación del 30% del valor real. ..................................................... 76 Figura 24 Resultados estimación Xq' Caso 2: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Determinación de la máxima desviación. ........................................... 81 Figura 25 Resultados estimación Xd'' Caso 2: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Determinación de la máxima desviación. ........................................... 82

XI Contenido

Figura 26 Resultados Caso 3: Estimación simultanea de parámetros con variaciones

aleatorias ........................................................................................................................ 84 Figura 27 Resultados estimación Caso 3: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Sensibilidad a la estimación de variaciones aleatorias. Ejemplo de

desviación aleatoria alrededor del 30% de los parámetros reales ................................... 86 Figura 28 Resultados estimación Caso 3: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Sensibilidad a la estimación de variaciones aleatorias, con desviación

aleatoria de alrededor del 20% de los parámetros reales. ............................................... 88 Figura 29 Resultados estimación Caso 4: Estimación de todos los parámetros

considerando eventos externos – Incremento de carga, desviación aleatoria alrededor del

20% ................................................................................................................................ 90 Figura 30 Resultados estimación Caso 4: Estimación de todos los parámetros

considerando eventos externos – Incremento de carga, desviación aleatoria alrededor del

30% del valor real ........................................................................................................... 92 Figura 31 Red de prueba para evento externo – Falla 3F en cercanías de barra 2 ......... 93 Figura 32 Resultados estimación Caso 5: Estimación de todos los parámetros

considerando eventos externos – Corto-circuito y apertura de línea, desviación aleatoria

alrededor del 20% del valor nominal ............................................................................... 95 Figura 33 Resultados estimación Caso 5: Estimación de todos los parámetros

considerando eventos externos – Corto-circuito y apertura de línea, con desviación

aleatoria alrededor del 30% del valor real ....................................................................... 97 Figura 34 Resultados estimación Caso 6: Sensibilidad al ruido de medición ................ 100 Figura 35 Resultados estimación Caso 6: Comparación de resultados del proceso de

estimación para diferentes niveles de ruido de medición .............................................. 102 Figura 36 Resultados estimación Caso 6: Comparación de señales medidas filtradas

antes del proceso de estimación ................................................................................... 103 Figura 37 Resultados estimación Caso 6: Comparación de resultados del proceso de

estimación. Filtro pasa bajos Vs. Filtro de media móvil ................................................. 104

XII Contenido

Lista de tablas

Pág.

Tabla 1 Parámetros de generadores del sistema de potencia de prueba ....................... 45 Tabla 2 Parámetros de líneas, transformadores y cargas del sistema de potencia de

prueba ............................................................................................................................ 46 Tabla 3 Caso 1: Desviación de Xd del -30% ................................................................... 72 Tabla 4 Caso 1: Desviación de Xq'del -30% ................................................................... 73 Tabla 5 Caso 1: Desviación de Xd'del -30% ................................................................... 73 Tabla 6 Caso 1: Desviación de Xd''del -30% .................................................................. 73 Tabla 7 Caso 1: Desviación de Xq''del -30% .................................................................. 74 Tabla 8 Caso 1: Desviación de Td0'del -30% ................................................................. 74 Tabla 9 Caso 1: Desviación de Td0'' del -30% ............................................................... 74 Tabla 10 Caso 1: Desviación de Tq0'' del -30% ............................................................. 75 Tabla 11 Caso 2: Desviación de Xd del -20% ................................................................. 77 Tabla 12 Caso 2: Desviación de Xq' del -16% ................................................................ 77 Tabla 13 Caso 2: Desviación de Xd' del -16% ................................................................ 78 Tabla 13 Caso 2: Desviación de Xd'' del -17% ............................................................... 78 Tabla 15 Caso 2: Desviación de Xq'' del -10% ............................................................... 78 Tabla 16 Caso 2: Desviación de Td0' del -17% .............................................................. 79 Tabla 17 Caso 2: Desviación de Td0'' del -17% ............................................................. 79 Tabla 18 Caso 2: Desviación de Tq0'' del -20% ............................................................. 79 Tabla 19 Especificación de casos con sensibilidad a la variación aleatoria inicial del

vector de parámetros...................................................................................................... 83 Tabla 20 Caso 3: Desviación aleatoria de todos los parámetros alrededor del 30% ....... 85 Tabla 21 Caso 3: Desviación aleatoria de todos los parámetros alrededor del 20% ....... 87 Tabla 22 Caso 4: Desviación aleatoria de todos los parámetros alrededor del 20% ....... 89 Tabla 23 Caso 4: Desviación aleatoria de todos los parámetros alrededor del 30% ....... 90 Tabla 24 Caso 5: Desviación aleatoria de todos los parámetros alrededor del 20% ....... 94 Tabla 25 Caso 5: Desviación aleatoria de todos los parámetros alrededor del 30% ....... 96 Tabla 26 Caso 6: Sensibilidad del algoritmo de estimación al ruido de medición ............ 99

Introducción

En los sistemas de potencia modernos es altamente reconocida la importancia de los

modelos matemáticos del sistema que proporcionan la capacidad de realizar un amplio

rango de estudios sobre el comportamiento del mismo. Uno de los elementos claves de

este modelo general es el generador sincrónico, el cual junto con sus sistemas de control

de velocidad y excitación aportan el mayor número de dinámicas, e influencian de

manera directa las decisiones que deben tomarse en las etapas de planeación, las

cuales a su vez impactan directamente el costo operativo, la seguridad y la confiabilidad

de la operación. Por esta razón, trabajar en el mejoramiento de los modelos actuales de

los generadores y sus controles es de vital importancia para lograr emular de forma más

precisa el comportamiento dinámico del sistema.

Un gran número de trabajos se han realizado en el campo de estimación de los

parámetros del modelo del generador, usando por ejemplo técnicas de optimización para

minimizar el error entre la respuesta simulada y la real de los generadores ante

perturbaciones en el sistema.

La falta de correlación entre los resultados del modelo y el comportamiento real del

generador, puede derivar en conclusiones equivocadas a la hora de realizar estudios de

planeación eléctrica. Por ejemplo podría conducir a una parametrización equivocada de

controles de velocidad, tensión o incluso de protecciones del generador que pondrían

poner en riesgo, no solo la integridad del generador sino del propio sistema de potencia

al que este se conecta.

El cálculo de las generaciones de seguridad depende en general de la determinación

precisa de las restricciones eléctricas y operativas, las cuales a su vez son establecidas a

través de la simulación del comportamiento del sistema ante diferentes perturbaciones.

La falta de precisión en la simulación de las diferentes contingencias, puede derivar en la

sobre estimación de los recursos mínimos de generación que deben estar en línea para

garantizar la seguridad operativa, lo cual acarrea sobrecostos para la demanda; o peor

2 Introducción

aún las generaciones de seguridad podrían ser subestimadas, poniendo en riesgo la

atención confiable de la demanda.

Desde el punto de vista de las técnicas de estimación sobre los parámetros del modelo

del generador, podrían listarse las características más convenientes que debería tener

dicha técnica:

Facilidad para la medición de variables de salida del generador: esto implica en

muchas ocasiones que las ecuaciones diferenciales del modelo original del

generador deban ser modificadas para lograr acomodarse a las variables que

pueden ser medidas y están normalmente disponibles en campo.

Pruebas en operación continua: con esto se pretende determinar los parámetros

del modelo sin necesidad de remover el generador de operación y con la mínima

intervención posible sobre sus sistemas de control o protecciones.

Tratamiento de no linealidades: la metodología diseñada debe funcionar

adecuadamente al permitir el modelamiento detallado de no linealidades del

sistema tales como los límites en tensión o corriente del sistema de excitación, la

saturación del generador o límites de integración y salida de los controladores.

Robustez en la identificación de parámetros: esto se refiere a la capacidad de la

técnica de estimación para determinar con precisión los parámetros del modelo

bajo diferentes estados operativos y eventos que exciten las diferentes dinámicas

del mismo.

De acuerdo con lo anterior, el objetivo general del presente trabajo es el desarrollo de

una metodología de optimización que permita estimar los parámetros eléctricos del

modelo tipo VI de la máquina sincrónica [1], [2], [3], con el propósito de ajustar la

respuesta dinámica del modelo a la realidad.

Con el propósito de dar cumplimiento a los objetivos del trabajo, el presente documento

se estructura de la siguiente forma:

En el Capitulo 1 se presenta un resumen del estado del arte a la fecha en el tema de

estimación de parámetros del modelo del generador sincrónico. Se discuten las

principales tendencias y se habla sobre sus ventajas y desventajas.

En el Capitulo 2 se presenta de forma funcional la metodología de estimación de

parámetros basada en el uso de la técnica de sensibilidad de trayectoria aplicada a la

Introducción 3

estimación de parámetros de sistemas dinámicos. De igual forma se detalla el soporte

matemático necesario que compone dicha técnica.

El Capitulo 3 presenta la fundamentación matemática y la deducción básica del modelo

del generador sincrónico que es objeto de estudio en el presente trabajo. Igualmente se

proponen modelos matemáticos comúnmente usados para representar los principales

tipos de sistemas de excitación y se presenta el modelo del sistema de excitación que es

usado en el generador de prueba.

El Capitulo 4 describe la metodología llevada a cabo para simular el generador sincrónico

conectado a un sistema de transmisión, asi mismo, se detalla el procedimiento

matemático para su modelamiento y la comparación de resultados de simuación entre el

desarrollo realizado y una herramienta profesional para simulación de la dinámica de

sistemas de potencia (DigSilent Power Factory).

En el Capitulo 5 se detalla la implementación de la técnica de sensibilidad de trayectorias

para la estimación de los parámetros del generador en prueba, incluyendo la obtención

explicita de las sensibilidades. Adicicionalmente se corre el algorítmo de estimación ante

diferentes escenarios con el objetivo de evaluar el desempeño de la metodología

implementada

Finalmente en el Capitulo 6, con base en los resultados obtenidos, se presentan las

conclusiones y recomendaciones para trabajos futuros.

1 Estimación de Parámetros en Generadores Síncronos

1.1 Introducción

En este capítulo se realiza una revisión del estado del arte en el tema de estimación de

parámetros de generadores sincrónicos. Un gran número de trabajos se han realizado en

este campo, usando por ejemplo técnicas de optimización para minimizar el error entre la

respuesta simulada y la real de los generadores ante perturbaciones en el sistema. Se

plantea la posibilidad de comenzar la optimización, partiendo de unos parámetros semilla

con base en los parámetros informados por los fabricantes. El objetivo de la optimización

es encontrar el conjunto óptimo de parámetros que mejor reproduzca el comportamiento

dinámico del generador. Es de resaltar que algunas de las técnicas encontradas en la

literatura han sido adoptadas por IEEE [4] para este propósito. En términos generales se

puede concluir que existen dos aproximaciones bien diferenciadas para abordar el

problema de encontrar los mejores parámetros del modelo matemático del generador. El

primero considera que la estructura del modelo matemático que describe la dinámica del

generador es conocida y parte de la determinación de los parámetros usando mediciones

de la respuesta de la unidad a pruebas o eventos en operación normal. La segunda

aproximación parte de asumir que no se conoce la estructura del modelo matemático del

generador y por lo tanto la estimación de sus parámetros se enfoca en las técnicas de

estimación de caja-negra, basadas en las entradas y salidas del sistema que se quiere

estimar [5]. Adicionalmente las técnicas de estimación pueden clasificarse según las

siguientes características:

De acuerdo a la técnica de estimación empleada; lineal o no lineal.

De acuerdo con el dominio en el que trabaja la técnica de estimación; tiempo o

frecuencia.

De acuerdo a al dominio temporal considerado para determinar los parámetros;

transitorio o permanente.

6 Estimación de los Parámetros del Modelo Matemático del Generador Sincrónico

De acuerdo al modo de operación del generador; en operación normal

sincronizada a la red o fuera de línea.

1.2 Diferentes aproximaciones al tema de estimación de parámetros de generadores

En los siguientes numerales se describe de forma general como funcionan los diferentes

aproximaciones para abordar este problema.

1.2.1 Pruebas de Corto - Circuito

Esta es tal vez la prueba más conocida para hallar los parámetros del modelo

matemático del generador. Su importancia reside no solo en el número de parámetros

que pueden ser determinados con esta metodología, sino en que determina la base

teórica de los parámetros estándar actualmente de uso casi universal. Aunque esta forma

de determinar los parámetros del generador define la base del modelo matemático, la

inconveniencia de aplicar corto – circuitos al generador la hace poco recomendable en

nuestro entorno, debido a la logística necesaria para llevar a cabo la prueba, sumado al

esfuerzo electromecánico al que sería sometido el generador durante su aplicación.

La prueba consiste en aplicar un cortocircuito en bornes del generador mientras este se

encuentra rodando a velocidad nominal en vacío. Al aplicar el corto, aparecen corrientes

en el estator que contienen componentes simétricas (alternadas) y asimétricas

(componentes continuas). El comportamiento típico de la corriente en la fase fallada se

presenta en la siguiente figura:

Capítulo 1 7

Figura 1 Corriente en el estator después de aplicado el cortocircuito [6]

Puede observarse como los valores instantáneos de la corriente decaen con una

envolvente que termina en un valor de corriente de estado estacionario Is. El

comportamiento de la corriente en el tiempo puede expresarse de la siguiente forma:

𝐼𝑎𝑐 = 𝐼𝑠 + 𝐼0′𝑒

−𝑡

𝑇𝑑′+ 𝐼0

′′𝑒−𝑡

𝑇𝑑′′

(1.1)

Dónde:

Is : corriente eficaz de cortocircuito en régimen permanente.

𝐼0′ : valor eficaz inicial de la componente alterna transitoria.

𝐼0′′ : valor eficaz inicial de la componente alterna subtransitoria

Las amplitudes de las componentes alternas de la corriente del estator pueden calcularse

en términos de las reactancias de eje directo usando el principio de superposición:

𝑥𝑑 =𝐸0

𝐼𝑠 (1.2)

𝑥𝑑′ =

𝐸0

𝐼𝑠+𝐼0′ (1.3)

𝑥𝑑′′ =

𝐸0

𝐼𝑠+𝐼0′+𝐼0

′′ (1.4)


𝐼𝑎𝑐 = 𝐸0 (1

𝑥𝑑+ (

1

𝑥𝑑′ −

1

𝑥𝑑) 𝑒

−𝑡

𝑇𝑑′+ (

1

𝑥𝑑′′ −

1

𝑥𝑑′ ) 𝑒

−𝑡

𝑇𝑑′′) (1.5)

Siendo 𝐸0 el valor eficaz de la tensión en bornes de la máquina antes del cortocircuito.

La constantes de tiempo transitoria y subtransitoria del modelo del generador pueden

deducirse gráficamente de las siguientes figuras:

Figura 2 Determinación de constantes de tiempo [6]

𝑇𝑑′ corresponde al tiempo necesario en segundos para que 𝐼′ decrezca hasta 1/e0.5 o el

60.06% de su valor inicial, mientras que 𝑇𝑑′′ corresponde al tiempo neceario para que 𝐼′′

decrezca hasta 1/e o el 36.8% de su valor inicial.

Algunos inconvenientes de la identificación de parámetros por cortocircuito es el de ser

un método gráfico el cual involucra errores de percepción, además de que solo entrega

información sobre los parámetros de eje directo del generador, además para poder

llevarlo a cabo el generador debe salir de operación.

1.2.2 Pruebas de Rechazo de Carga

Este tipo de pruebas es similar a las pruebas de corto – circuito, en cuanto a que están

diseñadas para calcular los parámetros del modelo matemático del generador. Estas

pruebas se basan en la definición de ciertas condiciones iniciales del generador, con el

fin de excitar únicamente, ya sea los parámetros de eje directo o los de cuadratura, luego

de establecer estas condiciones iniciales se provoca el rechazo de carga de la unidad, y

se registran la evolución temporal de la corriente y tensión de campo del generador, así

Capítulo 1 9

como la tensión en terminales, información con la cual se calculan posteriormente los

parámetros del modelo. El principal inconveniente para la aplicación en campo de este

tipo de pruebas se basa en la logística necesaria para alimentar el campo del generador

con una tensión constante durante la prueba, montaje que puede ser muy complicado de

implementar en algunas plantas. Adicionalmente la precisión de los parámetros

calculados depende de que las condiciones iniciales de la prueba garanticen que el

generador trabaje en una región no saturada, hecho que puede ser difícil o imposible de

lograr en ciertas plantas.

Para el desarrollo de estas pruebas en el eje directo el generador debe estar conectado a

la red con cero potencia activa y entregando potencia reactiva, de esta forma el flujo solo

existirá en el eje directo y la corriente del estator estará alineada al eje directo, lo que

supone 𝑖𝑞 = 0, adicionalmente se debe tener cuidado que no se opere el generador en la

zona saturada, lo cual implica una condición ligeramente subexcitada. Con estas

condiciones cumplidas se abre súbitamente el interruptor del generador y se registra la

tensión en terminales del generador. Con el uso de la siguiente gráfica, que presenta el

comportamiento típico de la tensión ante el rechazo de carga, se determinan los

parámetros 𝑥𝑑, 𝑥𝑑′ , 𝑥𝑑

′′, 𝑇𝑑0′ , 𝑇𝑑0

′′ .

Figura 3 Tensión en terminales después del rechazo de carga (eje de directo) [6]

Con el uso de las siguientes relaciones pueden estimarse las reactancias de eje directo:


𝑥𝑑 =𝐶

𝐼𝑑0 (1.6)

𝑥𝑑′ =

𝐵

𝐼𝑑0 (1.7)

𝑥𝑑′′ =

𝐴

𝐼𝑑0 (1.8)

Para determinar los parámetros del eje de cuadratura, se debe operar el generador de tal

forma que toda la corriente en el estator quede alineada al eje de cuadratura, por lo que

𝑖𝑑 = 0. Para lograr esto se requiere ajustar la potencia reactiva de tal forma que el ángulo

de carga coincida con el ángulo entre la tensión y la corriente en terminales. En este

punto se realiza el rechazo de carga. En la siguiente figura se presenta la tensión en

terminales después del rechazo de carga.

Figura 4 Tensión en terminales después del rechazo de carga (eje de cuadratura)

[6]

Usando la anterior figura y las siguientes ecuaciones se determinan los parámetros del

eje de cuadratura.

𝑥𝑞 =√𝐴2−𝐶2

𝐼𝑠𝑞0 (1.9)

𝑥𝑞′′ =

√𝐴2−𝐶2−√𝐵2−𝐶2

𝐼𝑠𝑞0 (1.10)

Capítulo 1 11

Para determinar la potencia reactiva con la que debe hacerse el rechazo de carga deben

realizarse múltiples rechazos de carga hasta minimizar las variaciones en la corriente de

campo. Esto hace que esta prueba sea muy exigente para los generadores y sus

sistemas electromecánicos, lo que hace la prueba poco práctica.

1.2.3 Pruebas de Respuesta en Frecuencia

Este tipo de pruebas hoy día representan el estado del arte en el campo de identificación

de parámetros de generadores sincrónicos. Estos métodos han probado en los últimos

años su valor, incluso son llamados a reemplazar las pruebas de corto – circuito y

rechazo de carga.

Este tipo de pruebas se puede descomponer a su vez en dos tipos básicos, pruebas con

unidad parada y pruebas con unidad sincronizada y en operación.

El concepto básico detrás de estas pruebas es la inyección de señales de diferentes

frecuencias en el estator del generador para excitar los diferentes parámetros del

modelo, mientras el devanado del rotor es cortocircuitado. Se registran las mediciones y

se calculan los parámetros con base en estos datos. Se han presentados objeciones al

método de generador parado, en cuanto que no se consideran los efectos sobre los

parámetros de la rotación del generador. Para considerar este efecto se proponen las

pruebas de respuesta en frecuencia con unidad girando y sincronizada a la red. Esta

prueba requiere la unidad operando cerca de sus condiciones nominales. Los parámetros

se determinan al analizar los cambios que se producen en las respuestas grabadas

durante la prueba en las señales de potencia activa, reactiva, tensión en terminales y de

campo, corriente de campo y velocidad de la unidad, cuando se inyectan a través del

campo señales de frecuencia variables. La metodología de estimación de los parámetros

del modelo parte de un proceso iterativo cuyo objetivo es encontrar el mejor conjunto de

parámetros que minimicen las diferencias entre la respuesta real del generador y la

simulación del mismo en las mismas condiciones de la prueba. El principal inconveniente

de esta aproximación consiste en que no está muy claro como la simulación dinámica del

sistema al cual se conecta el generador bajo prueba afecta el comportamiento del

modelo.


1.2.4 Pruebas usando perturbaciones

En este tipo de pruebas se registra el comportamiento transitorio del generador ante la

aplicación de perturbaciones en el campo. Las perturbaciones pueden aplicarse en la

señal de referencia de tensión del regulador de voltaje de la unidad, o directamente a

través del devanado de campo. En [7] se usan de perturbación especiales llamadas

PRBS ( Pseudo Random Bynary Sequence) que consisten en señales binarias aleatorias

que se inyectan con un generador de señales a través de la tensión de referencia del

AVR (Automatic Voltage Regulator). No obstante se debe aclarar que esta metodología

no permite la estimación de todos los parámetros del modelo al tiempo. El juego de

parámetros que se puede estimar depende en alto grado del tipo de perturbación

inyectada. En las pruebas en campo se debe tener cuidado en el dimensionamiento de la

señal, para evitar pérdida de estabilidad del generador si la señal es demasiado grande o

falta de observabilidad de los parámetros en el caso contrario.

1.2.5 Usando los Operadores de Reactancia

Este método representa un híbrido entre el método de Respuesta en Frecuencia y

pruebas de cortocircuito. Parte de la determinación con la técnica de respuesta en

frecuencia de las reactancias de eje directo y cuadratura del generador, y luego la

aplicación del método de cortocircuito para determinar a través de una transformación

exacta los parámetros circuitales con la información de corrientes derivadas de la prueba

[8]. Aunque no se han mostrado trabajos calificando la calidad de las estimaciones a

través de este método es claro que tiene la ventaja de combinar las bondades de ambas

aproximaciones.

1.2.6 Análisis de los Datos de Diseño

El modelamiento del generador sincrónico partiendo de sus características física

contractivas no es un campo nuevo, sin embargo en los últimos años se han presentado

avances significativos en este materia, cuando se tienen en cuenta el modelamiento a

través del análisis de elementos finitos [9] [10], el cual ha mostrado ser capaz de reflejar

en el modelo, no solo las características dinámicas que requieren normalmente los

estudios eléctricos, sino comportamientos físicos y mecánicos como temperaturas y

Capítulo 1 13

estrés de materiales, hasta características de respuesta en frecuencia. No obstante se

requiere todavía más trabajo para acomodar esta técnica a cualquier diseño de

generador e incorporar igualmente los efectos rotacionales en la respuesta del modelo.

1.2.7 Identificación del modelo y estimación de sus parámetros

con base en datos operativos.

En estos métodos se recolectan diferentes variables de entrada y salida del generador,

para estimar los parámetros del modelo, usando variadas técnicas de optimización cuya

función objetivo es la minimización del error entre el comportamiento real y simulado [11].

Es posible identificar los parámetros del modelo, usando la respuesta del generador a

eventos normales en el sistema de potencia. Los datos de registradores de falla son

útiles en este propósito y para derivar los parámetros del modelo, se ha usado técnicas

matemáticas como Expansión en Series Ortogonales, Estimadores basados en funciones

no lineales y Técnicas de optimización Heurísticas como: Algoritmos Genéticos,

Enjambre de Partículas, Gradiente, Recocido Simulado, etc.

1.2.8 Conclusiones.

En general existe un gran número de publicaciones abordando tanto los métodos en el

dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Muchos investigadores

proponen que una vez estimados los parámetros del modelo desde alguno de los

dominios, se hagan nuevas pruebas en el otro dominio para validar los resultados

obtenidos.

Dado que los generadores sincrónicos juegan un papel fundamental en la determinación

del comportamiento dinámico del sistema de potencia, es clara la importancia de trabajar

en el mejoramiento de sus modelos matemáticos. Después de casi tres cuartos de siglo

de la publicación del primer trabajo en modelamiento del generador sincrónico, los

avances en esta materia son muy significativos, no obstante continúan publicándose

nuevas aproximaciones que mejoran los trabajos precedentes, lo cual reafirma la

relevancia de este tema de investigación.

2 Sensibilidad de trayectoria para estimación de parámetros

2.1 Introducción

En este capítulo se presentará el uso de la técnica de sensibilidad de trayectoria aplicada

a la estimación de parámetros de sistemas dinámicos. Es importante recordar que para

este caso el problema de estimación consiste en encontrar los parámetros de un modelo

cuya formulación matemática es conocida, con el objetivo de emular de la forma más

precisa posible el comportamiento dinámico del generador sincrónico. El modelo

matemático del generador, como se verá más adelante, se compone de ecuaciones que

relacionan las entradas y las salidas con los parámetros y en muchos casos con las

derivadas de algunas salidas y variables internas.

2.2 Metodología de estimación de parámetros

En general, el proceso de estimación de parámetros pasa por tres etapas:

Selección de variables medidas.

Selección del modelo matemático.

Estimación de parámetros.

2.2.1 Selección de variables medidas

La primera etapa se trata de la determinación de las variables que serán medidas para

alimentar el algoritmo de estimación. Debe considerarse que las variables seleccionadas

en este paso sean de fácil medición y registro en campo, además de evitar aquellas que

sean ruidosas o que requieran un alto grado de filtrado para evitar resultados deficientes

en el proceso de estimación. Por otra parte, dado que es necesario realizar pruebas

Capitulo 2 15

especiales o para excitar las diferentes dinámicas del sistema, se debe considerar que

las variables medidas tengan suficiente información para realizar el proceso de

estimación y evitar que el problema quede mal condicionado por la poca información.

Adicionalmente es comun encontrar que dependiendo del estímulo aplicado al sistema,

es posible la estimación de algunos parámetros y otros no, en este punto se deben

buscar otros tipos de eventos para excitar los parámetros “no visibles”.

2.2.2 Selección del modelo matemático

En esta etapa se busca determinar el modelo más simple que represente de forma más

adecuada el comportamiento que se desea estudiar. Por ejemplo, en estudios de

controles, protecciones y transitorios electromagnéticos donde es muy importante

considerar las diferentes interacciones dinámicas entre los generadores, la estructura a

seleccionar debería ser la de un modelo clásico [1], [2] transitorio o subtransitorio,

dependiendo de la precisión que se desee lograr. Si en el estudio a realizar solo es

importante la respuesta de los generadores en el estado estcionario, el modelo puede ser

representado por una fuente de tensión en serie con la reactancia de eje directo. No

obstante, para aplicación de esta metodología de estimación de parámetros, se debe

conocer la estuctura matemática del modelo.

2.2.3 Proceso de estimación de parámetros

Como es de esperarse, y partiendo del objetivo principal de la metodología, se trata de

encontrar los parámetros que hagan que el desempeño dinámico del modelo sea lo más

parecido posible al comportamiento físico del generador ante una perturbación dada.

Usualmente este problema se trata a través de una técnica de optimización iterativa que

trata de minimizar una función objetivo 𝐽(𝑝) cuyo valor depende de los parámetros a

estimar . Para lograr esto se usa como función objetivo alguna norma de un vector de

error. La idea es que la técnica de optimización determine en cada iteración un nuevo

juego de parámetros con alguna regla que llegue al resultado óptimo lo más

eficientemente posible. En cada iteración, cada juego de parámetros es probado en el

modelo mediante la simulación del evento predefinido y el valor de la función objetivo es

calculado, hasta que se lográ el mínimo de 𝐽(𝑝). En la siguiente figura se ilustra en forma

funcional el procedimiento de estimación descrito:


Figura 5 Proceso de estimación de parámetros

2.2.4 Funciones de sensibilidad de trayectoria

Las funciones de sensibilidad de trayectoria son necesarias para la aplicación del método

de optimización. En el caso de modelos estáticos, los cuales carecen de derivadas de

sus variables en el tiempo, la verificación de las condiciones de optimalidad requieren del

cálculo de las derivadas de las funciones no lineales con respecto a los parámetros, con

el fin de encontrar los parámetros que minimizan la función objetivo. De manera análoga,

para el caso de sistemas dinámicos modelados a través de ecuaciones de estado, la

optimización requiere del cálculo de las derivadas de las salidas con respecto a los

parámetros para encontrar los parámetros que minimizan la función objetivo. En este

caso, estas derivadas son llamadas funciones de sensibilidad de trayectoria.

La estimación de los parámetros del modelo del generador sincrónico, usando

minimización por mínimos cuadrados no lineales y sensibilidades de trayectoria, es

usada en [12], [13], [14].

De forma general, el sistema de ecuaciones que reflejan la dinámica de un sistema,

puede representarse de la siguiente manera:

�̇� = 𝑓(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢)

0 = 𝑔(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢)

Sistema real

Evento de

entrada

Función

objetivo 𝐽(𝑝)

Técnica de

optimización

min{ 𝐽(𝑝)}

Nuevos

parámetros

𝑝

Modelo

matemático

Proceso

iterativo

matemático

Capitulo 2 17

𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢) (2.1)

Donde:

𝑥(𝑡) es el vector de estados del sistema

�̇�(𝑡) es el vector de derivadas con respecto al tiempo de los estados del sistema

𝑦(𝑡) es el vector de salidas del sistema

𝑝 es el vector de parámetros del sistema

𝑢(𝑡) es el vector de entradas del sistema

𝑧(𝑡) es el vector de variables algebráicas del sistema

Las funciones de sensibilidad de trajectoria expresan las derivadas parciales del vector

de salidas con respecto al vector de parámetros, esto es: 𝜕𝑦(𝑡)

𝜕𝑝𝑖.

Al derivar parcialmente con respecto al parámetro 𝑝𝑖 las ecuaciones 2.1, obtenemos lo

siguiente:

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑥

𝜕𝑝𝑖=

𝜕𝑓(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑥∙

𝜕𝑥

𝜕𝑝𝑖+


𝜕𝑧∙

𝜕𝑧

𝜕𝑝𝑖+


𝜕𝑝𝑖

0 =𝜕𝑔(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑥∙

𝜕𝑥

𝜕𝑝𝑖+

𝜕𝑔(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑧∙

𝜕𝑧

𝜕𝑝𝑖+

𝜕𝑔(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑦

𝜕𝑝𝑖=

𝜕ℎ(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑥∙

𝜕𝑥

𝜕𝑝𝑖+


𝜕𝑧∙

𝜕𝑧

𝜕𝑝𝑖+


𝜕𝑝𝑖 (2.2)

Las ecuaciones 2.2 son llamadas sensibilidad de trayectoria para el parámetro 𝑝𝑖. Nótese

que la solución de las ecuaciones 2.1 no depende de la solución de 2.2, mientras que la

solución de 2.2 depende de la solución de 2.1. Por lo anterior el sistema de ecuaciones

2.1 que tiene la representación del modelo del generador sincrónico, debe ser resuelto

antes del 2.2. Ambos sistemas de ecuaciones son sistemas dinámicos no lineales,

normalmente resueltos por metodos de integración numéricos. En este trabajo se usará

el método trapezoidal implicito para la resolución de las ecuaciones diferenciales del

generado, al igual que para el cálculo de las sensibilidades de trayectoria.


En algunos casos en los que las funciones 𝑓 y 𝑔 no son diferenciables con respecto a

los parámetros 𝑝, o sus derivadas son muy complejas de expresar explicitamente, se

puede usar un método alternativo que permite aproximar dichas derivadas de la siguiente

forma. Llamemos 𝑝0 el vector de parámetros iniciales y 𝑝1 el vector de parámetros

siguiente, cuya 𝑖-esima componente está dada por 𝑝𝑖1 = 𝑝𝑖

0 + Δ𝑝𝑖, siendo 𝑝𝑖 un

pequeño incremento en el parámetro 𝑖-esimo. Sea 𝑥0, 𝑦0 y 𝑧0 las trayectorias en el

tiempo obtenidas de la solución de las ecuaciones 1.11 con el uso de los parámetros 𝑝0

y sea 𝑥1, 𝑦1 y 𝑧1 las trayectorias en el tiempo obtenidas con el uso de los parámetros

𝑝1. Con base en las definiciones anteriores, las sensibilidades de trayectoria pueden ser

aproximadas por:

𝜕𝑥(𝑡)

𝜕𝑝𝑖≈

𝑥1(𝑡)−𝑥0(𝑡)

Δ𝑝𝑖

𝜕𝑧(𝑡)

𝜕𝑝𝑖≈

𝑧1(𝑡)−𝑧0(𝑡)

Δ𝑝𝑖

𝜕𝑦(𝑡)

𝜕𝑝𝑖≈

𝑦1(𝑡)−𝑦0(𝑡)

Δ𝑝𝑖 (2.3)

Las sensibilidades de trayectoria, además de ser usadas como la principal entrada del

método de optimización, también brindan información importante en el proceso de

estimación de parámetros, al indicar que grado de influencia tienen los parámetros en las

salidas seleccionadas. Matemáticamente se puede determinar el grado de

condicionamiento numérico del problema de estimación al obtener la relación entre el

menor y mayor valores propios de la matriz 𝜕𝑦(𝑡)

𝜕𝑝 [15]. Los problemas mal condicionados

no entregaran observabilidad de los parámetros en las salidas seleccionadas.

2.2.5 Función objetivo y su minimización

Antes de hablar de la función objetivo, es conveniente determinar cuales deben ser las

condiciones de optimalidad que deben cumplirse para la minimización de funciones

irrestrictas. Para esto se hace primero la siguiente definición:

Capitulo 2 19

Dada una función 𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅. Un punto 𝑥∗𝜖 𝑅𝑛, es llamado un mínimo local si existe un

escalar 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥∗) ≤ 𝑓(𝑥) para cualquier 𝑥 tal que ‖𝑥 − 𝑥∗‖ < 𝛿. Además

si 𝑓(𝑥∗) ≤ 𝑓(𝑥) para cualquier 𝑥 𝜖 𝑅𝑛, entonces 𝑥∗es llamado mínimo global de 𝑓.

Son condiciones suficientes para la obtención de un mínimo irrestricto de 𝑓:

∇𝑓(𝑥∗) = 0. (El gradiente de 𝑓(𝑥) evaluado en 𝑥∗debe ser cero

d𝑇𝐻(𝑥∗)𝑑 > 0, ∀𝑑 ∈ 𝑅𝑛| 𝑑 ≠ 0 .( La matriz Hessiana debe ser definida

positiva en el punto 𝑥∗.)

Como ya se ha expuesto anteriormente, la técnica usada en este trabajo para estimar los

parámetros del modelo matemático del generador sincrónico, está basada en la

minimización de una función objetivo que reduce el error entre el comportamiento

dinámico de las salidas medidas y las simuladas. Esta es precisamente la formulación de

la función objetivo, que puede ser expresada de la siguiente manera:

Se define la función 𝐽(𝑝), que depende del vector de parámetros del modelo del

generador sincrónico, como la integral de las diferencias entre las salidas medidas y ls

obtenidas por el modelo mediante la simulación de una perturbación dada, y para un

juego dado de parámetros. Esta definición corresponde a la formulación del método de

mínimos cuadrados para el intervalo de tiempo 𝑇.

𝐽(𝑝) =1

2∫ (𝑦𝑚𝑒𝑑 − 𝑦𝑠𝑖𝑚)𝑇(𝑦𝑚𝑒𝑑 − 𝑦𝑠𝑖𝑚)

𝑇

𝑡=0𝑑𝑡 (2.4)

Donde:

𝑦𝑚𝑒𝑑 denota el vector de salida medido del sistema real

𝑦𝑠𝑖𝑚 es el vector solución de salida del modelo (2.1)

𝑇 es el tiempo final de simulación

En la ecuación 1.14 el termino 1

2 aparece para simplificar posteriormente los cálculos.

La ecuación 1.14 también puede ser escrita de la siguiente forma:


𝐽(𝑝) =1

2∫ (𝑦𝑚𝑒𝑑 − 𝑦𝑠𝑖𝑚)2𝑇

𝑡=0𝑑𝑡 (2.5)

o en forma discreta:

𝐽(𝑝) =1

2∑(𝑦𝑚𝑒𝑑𝑖

− 𝑦𝑠𝑖𝑚𝑖)2

𝑇

𝑖=0

De acuerdo con la primera condición de suficiencia vista arriba, para minimizar 𝐽(𝑝)

debe encontrarse un 𝑝∗ tal que ∇𝐽(𝑝∗) = 0. Por lo tanto derivando 2.5 con respecto al

vector de parámetros se obtiene:

𝜕𝐽(𝑝)

𝜕𝑝= ∫ (𝑦𝑠𝑖𝑚 − 𝑦𝑚𝑒𝑑)

𝑇

𝑡=0

𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝𝑑𝑡 (2.6)

Se define 𝐺(𝑝) como:

𝐺(𝑝) = −𝜕𝐽(𝑝)

𝜕𝑝= ∫ (


𝜕𝑝)

𝑇(𝑦𝑚𝑒𝑑 − 𝑦𝑠𝑖𝑚)

𝑇

𝑡=0𝑑𝑡 (2.7)

El método iterativo de Newton puede ser usado para resolver la ecuación no lineal (2.7),

partiendo de un vector de parámetros iniciales 𝑝 = 𝑝(0).

Para determinar los parámetros de la 𝑖-esima iteración se usa la siguiente ecuación:

𝑝(𝑘+1) = 𝑝(𝑘) − Γ−1(𝑝)𝐺(𝑝)|𝑝=𝑝(𝑘) (2.8)

Donde Γ(p) es la matriz jacobiana de 𝐺(𝑝), la cual se calcula derivando G(p) con

respecto al vector de parámetros 𝑝.

Γ(p) =𝜕𝐺(𝑝)

𝜕𝑝= −∫ (

𝜕2𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝2 )𝑇

(𝑦𝑚𝑒𝑑 − 𝑦𝑠𝑖𝑚)𝑇

𝑡=0𝑑𝑡 + ∫ (


𝜕𝑝)𝑇 𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝𝑑𝑡

𝑇

𝑡=0 (2.9)

Despreciando los términos de segundo orden Γ(p) puede ser aproximada por:

Γ(p) ≈ ∫ (𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝)

𝑇 𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝𝑑𝑡

𝑇

𝑡=0|𝑝=𝑝(𝑘) (2.10)

Capitulo 2 21

En términos prácticos, la implementación del algoritmo de estimación usa 𝑦𝑚𝑒𝑑 y 𝑦𝑠𝑖𝑚

como señales discretas en el tiempo, por lo cual las integrales de las ecuaciones 2.6 y

2.8 se convierten en sumatorias.

Finalmente para resumir el proceso de estimación de parámetros, en la siguiente figura

se presenta la estructura metodológica usada en este trabajo:

Figura 6 Metodología de estimación de parámetro

𝐽(𝑝) < 휀

Definición de la

estructura del modelo

Definición de entradas, salidas,

estados y parámetros del modelo

Definición del evento a

simular

Definición del vector de

parámetros semilla p(0)

Solución ecuaciones del modelo

�̇�(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑝, 𝑢(𝑡))

𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑥(𝑡), 𝑝, 𝑢(𝑡))

Cálculo de 𝐽(𝑝)

𝐽(𝑝) =1



𝑇

𝑖=0

Fin

Cálculo sensibilidad de trayectoria de salidas 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑥(𝑡)

𝜕𝑝𝑖

=𝜕𝑓(𝑥(𝑡), 𝑝, 𝑢(𝑡))

𝜕𝑥∙𝜕𝑥(𝑡)

𝜕𝑝𝑖

+𝜕𝑓(𝑥(𝑡), 𝑝, 𝑢(𝑡))

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑦(𝑡)

𝜕𝑝𝑖

=𝜕𝑔(𝑥(𝑡), 𝑝, 𝑢(𝑡))

𝜕𝑥∙𝜕𝑥(𝑡)

𝜕𝑝𝑖

+𝜕𝑔(𝑥(𝑡), 𝑝, 𝑢(𝑡))

𝜕𝑝𝑖

Cálculo de Γ(p)

Γ(p) ≈ (𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝)


𝜕𝑝𝑑𝑡

𝑇

𝑡=0

|𝑝=𝑝(𝑘)

Cálculo de 𝜕𝐽(𝑝)

𝜕𝑝

𝜕𝐽(𝑝)

𝜕𝑝= 𝐺(𝑝) = (𝑦𝑠𝑖𝑚 − 𝑦𝑚𝑒𝑑)

𝑇

𝑡=0


𝜕𝑝𝑑𝑡

Actualizar el vector de parámetros

𝑝(𝑘+1) = 𝑝(𝑘) − Γ−1(𝑝)𝐺(𝑝)|𝑝=𝑝(𝑘)

3 Modelo del Generador Sincrónico y su sistema de excitación

Para la metodología de estimación de parámetros utilizada en este trabajo, es necesario

el conocimiento detallado del modelo matemático del sistema de potencia y el generador

sincrónico. Adicionalmente el modelo dinámico del sistema de excitación es de vital

importancia, dado que este tiene alto grado de influencia en la determinación de los

parámetros eléctricos del generador.

En este capitulo se presenta de forma general el modelo matemático que representa la

dinámica del generador sincrónico por medio de ecuaciones diferenciales.

3.1 Modelo del Generador Sincrónico

Existen dos tipos principales de máquinas sincrónicas, las de rotor liso y las de polos

salientes. Las de rotor liso son usadas frecuentemente en plantas termoeléctricas, cuya

caracteristica más notable es la alta velocidad de rotación de sus ejes, la cual es

proporcionada por su turbina. La construcción del rotor de forma cilindrica, se hace

necesaria para reducir las altas fuerzas centrifugas y el rozamiento con el aire que se

generaría en este tipo de máquinas al girar a altas velocidades. Las unidades de

generación de polos salientes, por el contrario, son más usadas conectadas a turbinas de

bajas velocidades, típicas en centrales hidráulicas que aprovechan caídas de agua.

El principio de funcionamiento del generador sincrónico se basa en la alimentación de

una bobina ubicada en el rotor, alimentada por una tensión en corriente contínua,

llamada devanado de campo. Mediante el giro contínuo del rotor se produce una fuerza

magnetomotriz en los arrollamientos del estator por el principio de inducción magnética.

Esta fuerza creada por el campo magnético giratorio del devanado de campo cortando

las espiras del estator, produce una tensión y corriente senoidales en el estator, cuya

frecuencia está determinada por el número de pares de polos y la velocidad del rotor.


Dado que la operación del sistema de potencia y del mismo generador no es estable todo

el tiempo, algunas variaciones en la potencia de la turbina, la carga o la tensión en el

estator, pueden provocar oscilaciones en el rotor que afectan la estabilidad de la

máquina. Por esta razón los fabricantes comunmente adicionan devanados extra

cortocircuitados en las cabezas polares, con el proposito de amortiguar estas

oscilaciones y hacer mucho más estable la operación de los generadores. Estas bobinas

son llamados devanados amortiguadores. Los modelos matemáticos detallados deben

considerar las dinámicas aportadas por los devanados de campo, estator y

amortiguadores para una correcta representación del generador.

En términos prácticos el modelamiento matemático de la máquina sincrónica puede

separarse en la dinámica eléctrica y la mecánica.

3.1.1 Modelo Eléctrico

El modelamiento matemático puede ser llevado a cabo considerando un marco de

referencia fijo en el estator, en cuyo caso las variables electromagnéticas tendrían

variación en el tiempo, debido al movimiento del rotor, y a que el circuito magnético entre

estator y rotor sería diferente en cada instante de tiempo, con lo cual el modelamiento se

torna en un problema muy complejo. Con el fin de hacerlo mucho más simple se ha

usado un marco común de referencia que rota conjuntamente con el rotor y que deriva en

que las tensiones y corrientes del estator son transformadas en dos conjuntos de

variables ortogonales. Una de ellas alineadas con el flujo magnético del devanado de

campo llamado eje directo y la otra alineado con un eje 90 eléctricos atrasado con

respecto al primero, llamado eje de cuadratura. Esta manipulación es llamada

transformación de Park o dq0 [16].

Para ilustrar la ubicación de los ejes de referencia y los devanados de rotor, estator y

amortiguadores, se presenta la siguiente figura, que además es la base para la

determinación final del modelo del generador.

Capitulo 3 25

Figura 7 Devanados del generador sincrónico y sus ejes [1]

En la anterior figura se presenta un diagrama esquemático de la sección transversal de

un generador sincrónico trifásico, con devanados de estator (A, B y C), un devanado de

rotor (F) y dos devanados amortiguadores, uno en el eje directo (D) y otro en el eje de

cuadratura (Q). El centro de la fase A es tomado como referencia. El diagrama de la

Figura 7 cumple con las convenciones de IEEE recomendadas en [17]. Para el desarrollo

del modelo matemático se asume lo siguiente:

El devanado trifásico del estator es simétrico.

Las capacitancias de todos los devanados pueden ser despreciadas.

Todos los devanados distribuidos pueden ser representados de forma

concentrada.

El cambio en la inductancia de los devanados del estator debido a la posición del

rotor es sinusoidal y no contiene armónicos.

Las pérdidas por histéresis son despreciables, pero las asociadas a las corrientes

de eddy pueden ser incluidas en el modelo de los devanados amortiguadores.

En los estados transitorio y subtransitorio la velocidad del rotor es

aproximadamente la velocidad sincrónica (ω ≈ 𝜔𝑛).

Todos los circuitos magnéticos son lineales y no presentan saturación, además su

inductancia no varía con la corriente.


Para transformar las variables de corriente y tensión del marco de referencia abc a dq0,

se usa la matriz de transformación W, así:

𝐖 = √2

3

[

1

√2

1

√2

1

√2

cos 𝛾 cos (𝛾 −2

3𝜋) cos (𝛾 +

2

3𝜋)

sen 𝛾 sen (𝛾 −2

3𝜋) sen (𝛾 +

2

3𝜋)]

(3.1)

[

i0i𝑑i𝑞

] = 𝐖[i𝐴i𝐵i𝐶

]

La transformada inversa igualmente puede ser usada:

iABC = W−1i0dq

Dado que las variables de los devanados de campo y amortiguadores ya se encuentran

en el marco de referencia del rotor, el conjunto completo de ecuaciones de corriente

puede ser escrito de la siguiente forma:

[i0𝑑𝑞

i𝑓𝐷𝑄] = [

W 00 𝐼

] [i𝐴𝐵𝐶

i𝑓𝐷𝑄]

y usando la transformada inversa,

[i𝐴𝐵𝐶

i𝑓𝐷𝑄] = [W

−1 00 1

] [i0𝑑𝑞

i𝑓𝐷𝑄]

La siguiente figura muestra el arreglo de los devanados de acuerdo con su acoplamiento

magnético en el marco de referencia dq0:

Capitulo 3 27

Figura 8 Representación del generador sincrónico en tres juegos de devanados ficticios

[1]

Se observan tres juegos de devanados perpendiculares entre si; tres en el eje directo,

dos en el eje de cuadratura y uno en el eje 0.

Los flujos magnéticos pueden expresarse en términos de las inductancias mutuas y

propias y las corrientes en cada devanado en el marco de referencia dq0 de la siguiente

forma:

[

𝜓𝑑

𝜓𝑓

𝜓𝐷

] = [

𝐿𝑑 𝑘𝑀𝑓 𝑘𝑀𝐷

𝑘𝑀𝑓 𝐿𝑓 𝐿𝑓𝐷

𝑘𝑀𝐷 𝐿𝑓𝐷 𝐿𝐷

] [

𝑖𝑑𝑖𝑓𝑖𝐷

] (3.2)

[𝜓𝑞

𝜓𝑄] = − [

𝐿𝑞 𝑘𝑀𝑄

𝑘𝑀𝑄 𝐿𝑄] [

i𝑞i𝑄

] (3.3)

Donde k = √3 2⁄ , Mf es la inductancia mutua entre el devanado de campo y el de eje

directo, MD la inductancia mutua entre el devanado amortiguador D y el de eje directo,

MQ la inductancia mutua entre el devanado amortiguador Q y el de eje de cuadratura, LfD

la inductancia mutua entre el devanado de eje directo y el de campo y las Li las

inductancias propias del devanado i.

Para el circuito de la Figura 7 podemos escribir las ecuaciones de las tensiones así:


[

𝜈𝐴

𝜈𝐵

𝜈𝐶

−𝜈𝑓

00 ]

=

[ 𝑅𝐴

𝑅𝐵

𝑅𝐶

𝑅𝑓

𝑅𝐷

𝑅𝑄]

[

𝑖𝐴𝑖𝐵𝑖𝐶−𝑖𝑓𝑖𝐷𝑖𝑄 ]

−𝑑

𝑑𝑡

[ 𝜓𝐴

𝜓𝐵

𝜓𝐶

𝜓𝑓

𝜓𝐷

𝜓𝑄]

En forma compacta las tensiones se pueden expresar asi:

[𝝂𝐴𝐵𝐶

𝝂𝑓𝐷𝑄] = − [

𝑹𝐴𝐵𝐶

𝑹𝑓𝐷𝑄] [

𝐢𝐴𝐵𝐶

𝐢𝑓𝐷𝑄] −

𝑑

𝑑𝑡[𝚿𝐴𝐵𝐶

𝚿𝑓𝐷𝑄] (3.4)

Donde RABC y RfDQ son matrices de resistencia diagonales de los devanados A,B y C y

de campo, amortiguador en D y amortiguador en Q. Los términos con Ψ denotan el flujo

magnético concentrado en el devanado correspondiente.

Al pasar las variables de la ecuación 3.4 al marco de referencia dq0 y después de aplicar

un poco de algebra tenemos la siguiente expresión:

[𝝂0𝑑𝑞

𝝂𝑓𝐷𝑄] = − [

𝑹𝐴𝐵𝐶

𝑹𝑓𝐷𝑄] [

𝐢0𝑑𝑞

𝐢𝑓𝐷𝑄] − [

�̇�0𝑑𝑞

�̇�𝑓𝐷𝑄

] + [𝛀0

] [𝚿0𝑑𝑞

𝚿𝑓𝐷𝑄] (3.5)

Donde:

𝛀𝚿0𝑑𝑞 = [0 0 00 0 −10 1 0

] [

𝜓0

𝜓𝑑

𝜓𝑞

] = [

0−𝜔𝜓𝑞

𝜔𝜓𝑑

]

La ecuación 3.5 sin el término ΩΨ0dq describe la ley de Kirchhoff de tensiones para el

circuito de la Figura 8. El término ΩΨ0dq describe las tensiones electromagnéticas

inducidas en los devanados del estator debido a la rotación del campo magnético.

Si se considera el generador bajo operación balanceada, entonces no se tendrá

secuencia 0. Adicionalmente, si se asume que los cambios en la velocidad alrededor del

punto de operación son muy pequeños (ω ≈ ωn) y que las tasas de variación en el flujo

magnético ψ̇d y ψ̇q son igualmente muy pequeñas, comparadas con las tensiones

electromagnéticas rotacionales ωψq y ωψd, entonces la ecuación 3.5 puede ser

expresada en forma expandida en un conjunto de ecuaciones diferenciales y otro de

ecuaciones algebráicas de la siguiente forma:

Capitulo 3 29

[𝝂𝑑

𝝂𝑞] ≈ − [𝑅

𝑅] [

𝐢𝑑𝐢𝑞

] + 𝜔 [−𝜓𝑞

𝜓𝑑] (3.6)

[

�̇�𝑓

�̇�𝐷

�̇�𝑄

] = − [

𝑅𝑓 0 0

0 𝑅𝐷 00 0 𝑅𝑄

] [

𝑖𝑓𝑖𝐷𝑖𝑄

] + [

𝜈𝑓

00

] (3.7)

Las ecuaciones 3.6 y 3.7, junto con las ecuaciones 3.2 y 3.3 constituyen el modelo

completo del generador sincrónico considerando despreciables las tasas de cambio en

los flujos magnéticos. No obstante, para que este modelo pueda ser usado en estudios

sistémicos, debe ser simplificado y expresado en forma diferente para que pueda ser

acoplado a las ecuaciones de red del sistema de potencia.

Típicamente los modelos del generador usados en análisis de sistemas de potencia se

encuentran expresados en términos del comportamiento del generador en sus fases

temporales; esto es: estado estacionario, transitorio y subtransitorio. Al determinar como

el flujo magnético afecta las tensiones electromotrices en cada uno de estos estados

temporales, pueden deducirse circuitos equivalentes en el eje directo y en el eje de

cuadratura que representan el comportamiento eléctrico del generador. Estos circuitos

son fuentes de tensión transitoria y subtransitoria, conectados a través de reactancias de

eje directo y cuadratura en estados estacionario, transitorio y subtransitorio. En la

siguiente figura se presentan los circuitos equivalentes del modelo del generador

sincrónico cuando se desprecia la resistencia del estator.

Figura 9 Circuitos equivalentes del generador: (a) eje directo; (b) eje de cuadratura

Las reactancias de los circuitos equivalentes están en función de las inductancias propias

y mutuas vistas anteriormente:

X𝑑′ = ωL𝑑

′ , X𝑑′′ = ωL𝑑

′′ , X𝑞′ = X𝑞 = ωL𝑞

′ , X𝑑 = ωL𝑑


con

L𝑑′ = L𝑑 −

𝑘2 − 𝑀𝑓2

𝐿𝑓

L𝑑′′ = L𝑑 −

𝑘2𝑀𝑓2𝐿𝐷 + 𝑘2𝑀𝐷

2𝐿𝑓 − 2𝑘𝑀𝑓𝑘𝑀𝐷𝐿𝑓𝐷

𝐿𝐷𝐿𝑓 − 𝐿𝑓𝐷2

L𝑞′ = L𝑞

Al estudiar en los estados estacionario, transitorio y subtransitorio, como el flujo rotativo

del estator penetra en el devanado del rotor, cuando un disturbio ocurre, se pueden

deducir las ecuaciones que gobiernan el comporatmiento de las tensiones en eje directo

y cuadratura para los circuitos de la Figura 9.

T𝑑0′ �̇�𝑞

′ = E𝑓 − E𝑞′ + 𝐼𝑑(X𝑑 − X𝑑

′ ) (3.8)

T𝑞0′ �̇�𝑑

′ = −E𝑑′ − 𝐼𝑞(X𝑞 − X𝑞

′ ) (3.9)

T𝑑0′′ �̇�𝑞

′′ = E𝑞′ − E𝑞

′′ + 𝐼𝑑(X𝑑′ − X𝑑

′′) (3.10)

T𝑞0′′ �̇�𝑑

′′ = E𝑑′ − E𝑑

′′ − 𝐼𝑞(X𝑞′ − X𝑞

′′) (3.11)

Las constantes de tiempo que acompañan las derivadas de las fuerzas electromotrices

de eje directo y cuadratura en el lado redecho de las ecuaciones 3.8 a 3.11 representan

como decaen estas tensiones, en los estados transitorios y subtransitorios, depués de

ocurrida una perturbación. Estas constantes de tiempo igualmente son expresadas en

términos de las inductancias propias y mutuas del generador:

T𝑑0′ =

L𝑓

𝑅𝑓

T𝑑0′′ = (𝐿𝐷 −

L𝑓𝐷2

𝐿𝑓)

1

𝑅𝐷

T𝑞0′′ =

L𝑄

𝑅𝑄

Capitulo 3 31

Dado que no hay devanado de campo en el eje de cuadratura para el modelo de la

Figura 8, no se tiene constante de tiempo transitoria en el eje de cuadratura.

3.1.2 Modelo Mecánico

Para completar el conjunto de ecuaciones necesarias para representar el

comporatmiento del generador, se requiere de un modelo apropiado de su dinámica

mecánica.

Se parte de la segunda ley de Newton aplicada a masas rotativas. El momento de inercia

J multiplicado por la aceleración angular θ̈m es igual al torque acelerante aplicado sobre

el eje:

𝐽�̈�𝑚 = 𝑇𝑎 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒 (3.12)

Donde θm representa el ángulo mecánico del rotor del generador medido con respecto a

una referencia fija, y Ta es el torque acelerante, el cual sale de la diferencia entre el

torque mecánico y el torque eléctrico aplicado sobre el eje del generador.

Al igual que para la determinación del modelo en la parte eléctrica, desde la punto de

vista mecánico, es conveniente definir un nuevo marco de referencia, girando

solidariamente con el rotor a la velocidad sincrónica; esto con el fin de simplificar los

cálculos. El ángulo del rotor con respecto a esta nueva referencia rotativa será ahora

llamado δm, y estará dado por:

𝛿𝑚(𝑡) = 𝜃𝑚(𝑡) − (ω𝑛𝑡 + 𝛼 +𝜋

2)

Donde ωn es la velocidad nominal (sincrónica) y (ωnt + α +π

2) define el marco de

referencia girante. Si se asume que en t = 0 se encuentran alineados el eje de

cuadratura con el eje de referencia fijo en el estator, entonces α será el ángulo de

desfase entre la referencia fija en el estator y la referencia girante. Adicionalmente δ sería

el ángulo entre el eje de cuadratura y el marco de referencia girante. Al aplicar esta

premisa, la ecuación 3.12 puede ser escrita de la siguiente forma en el marco de

referencia girante:

𝐽�̈�𝑚 = 𝑇𝑎 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒 (3.13)


Con el fin de expresar las ecuaciones del generador en términos eléctricos, es

conveniente cambiar el ángulo mecánico delta δm, en ángulo eléctrico δe, el cual

determina el desfase entre el eje del campo magnético rotativo que se produce en el

estator y el eje de cuadratura. La relación entre los ángulos eléctrico y mecánico se da en

función del número de polos del rotor p:

𝛿𝑒 =𝑝

2𝛿𝑚

Por su parte la velocidad del campo giratorio se define de forma similar:

𝜔𝑒 = 𝛿�̇� =𝑝

2�̇�𝑚

Usando el concepto de ángulo eléctrico la ecuación 3.13 puede ser escrita de la siguiente

forma:

2𝐽

𝑝�̈�𝑒 =

2𝐽

𝑝�̇�𝑒 = 𝑇𝑎 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒 (3.14)

En los modelos matemáticos del generador es comúnmente usada la constante de

inercía H en reemplazo del momento de inercia J. La constante de inercia se define como

la energía almacenada en el rotor a velocidad nominal dividida por la potencia aparente

nominal Sn. H se relaciona con J de la siguiente forma:

𝐻 =𝐽ω𝑛

2

2𝑆𝑛

Donde TB =Sn

ωn se define como el torque base.

La velocidad angular nominal eléctrica del campo giratorio estára dada por:

𝜔𝑛𝑒 =𝑝

2𝜔𝑛𝑚

De acuerdo a las anteriores definiciones, la ecuación 3.14 puede ser escrita de la

siguiente forma:

2𝐻

𝜔𝑛𝑒�̇�𝑒 =

𝑇𝑚

𝑇𝐵−

𝑇𝑒

𝑇𝐵 (3.14)

Capitulo 3 33

Si se definen los valores en p.u. de los torques y la velocidad eléctrica como:

𝜔𝑢 =𝜔𝑒

𝜔𝑛𝑒, 𝑇𝑚𝑢 =

𝑇𝑚

𝑇𝐵, 𝑇𝑒𝑢 = 𝑇𝐵, entonces la ecuación 3.14 será:

2𝐻�̇�𝑢 = 𝑇𝑚𝑢 − 𝑇𝑒𝑢 (3.15)

Si se considera que la velocidad angular ωm tiene variaciones muy pequeñas durante

transitorios, se puede considerar que el momento angular del rotor Mm = Jωm es

relativamente constante. Si se multiplica la ecuación 3.15 en ambos extremos por ωm, se

obtiene una nueva ecuación que incorpora el momento angular Mm. La anterior hipótesis

incorpora un error en la formulación, que puede ser compensado por la inclusión de un

nuevo término en la ecuación; el amortiguamiento mecánico D. Aplicando lo anterior, la

ecuación 3.15 queda:

𝑀𝑚�̇�𝑚 + 𝐷𝜔𝑚 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 (3.16)

M y H se relacionan de la siguiente forma:

𝑀 =𝐻

𝜋𝑓0

Sustituyendo M en la ecuación 3.16 y despejando la derivada de la velocidad se tiene:

�̇�𝑢 =1

2𝐻(𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 − 𝐷𝜔𝑢) (3.17)

�̇� = 𝜔𝑢 (3.18)

Esta última ecuaución se conoce como la ecuación de oscilación (swing equation) y en

conjunto con la definición de velocidad angular δ̇, conforman el modelo dinámico de la

parte mecánica del generador.

3.1.3 Modelo General

Como se ha visto durante este capítulo, el modelo del generador comprende un conjunto

de ecuaciones que representan la dinámica eléctrica en conjunto con un modelo

mecánico. Las ecuaciones 3.8 a 3.11 acompañadas de las ecuaciones 3.17 y 3.18

permiten generar una serie de modelos de complejidad y precisión decrecientes. En la


literatura se le da a cada modelo un número, que representa el número de ecuaciones

diferenciales requeridas en su composición, a mayor número de ecuaciones diferenciales

mayor será la precisión del mismo.

Para este trabajo se ha usado un modelo de alto grado de precisión. Se trata del modelo

de orden 5, que cuenta con las siguientes variables de estado:

�̇�, �̇�, �̇�𝑞′ , �̇�𝑞

′′, �̇�𝑑′′

En este modelo en particular se desprecia el efecto transitorio del flujo magnético

penetrando en el rotor durante transitorios en el eje de cuadratura. Esto significa que

Ed′ = 0 y Xq = Xq

′ . Con este supuesto, la ecuación diferencial 3.9 es eliminada, y el

conjunto de ecuaciones que modelan el comportamiento del generador es el siguiente:

�̇� =𝜔𝑛

2𝐻(𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 − 𝐷(𝜔 − 𝜔𝑛)) (3.19)

�̇� = 𝜔 − 𝜔𝑛 (3.20)

T𝑑0′ �̇�𝑞

′ = E𝑓 − E𝑞′ + 𝐼𝑑(X𝑑 − X𝑑

′ ) (3.21)

T𝑑0′′ �̇�𝑞

′′ = E𝑞′ − E𝑞

′′ + 𝐼𝑑(X𝑑′ − X𝑑

′′) (3.22)

T𝑞0′′ �̇�𝑑

′′ = E𝑑′ − E𝑑

′′ − 𝐼𝑞(X𝑞′ − X𝑞

′′) (3.23)

Las ecuaciones diferenciales del este modelo deben ser complementadas con la

ecuaciones algebráicas necesarias que permiten conocer las corrientes y tensiones en

eje directo y cuadratura, el funcíon de las variables de estado, además de las potencias

activa y reactiva. Las siguientes son las ecuaciones algebráicas que compelmentan el

modelo:

[𝑉𝑑

𝑉𝑞] = [

E𝑑′

E𝑞′ ] − [

𝑅 X𝑞′

−X𝑑′ 𝑅

] [𝐼𝑑𝐼𝑞

] (3.24)

P𝑒 = E𝑑′′𝐼𝑑 + E𝑞

′′𝐼𝑞 + 𝐼𝑑𝐼𝑞(X𝑑′′ − X𝑞

′′) − 𝑅(𝐼𝑑2 + 𝐼𝑞

2) (3.25)

Q𝑒 = E𝑑′′𝐼𝑞 − E𝑞

′′𝐼𝑑 − 𝐼𝑑2X𝑑

′′−𝐼𝑞2X𝑞

′′ − 𝑅(𝐼𝑑𝐼𝑞) (3.26)

Capitulo 3 35

Se debe apuntar que todos las variables y parámetros de este modelo están expresados

en p.u.

3.2 Modelo del Sistema de Excitación

El principal objetivo del sistema de excitación de un generador es proveer la tensión

adecuada al devanado de campo del generador. Normalmente el sistema de excitación

comprende un regulador de tensión como uno de los principales subsistemas de un

conjunto de funciones de control y protección que conforman el sistema de excitación. Su

función es la de mantener un nivel predefinido en la tensión en terminales del generador,

a través de la manipulación de la tensión y corriente de campo para compensar las

variaciones en la tensión de la red.

Una de las características mas notables de los sistema de excitación es su alta velocidad

de respuesta comparada por ejemplo con la dinámica del sistema de control de

velocidad. Esto se debe principalmente a que la dinámica eléctrica de los generadores es

mucho más rápida que la mecánica, sumado a la llegada de la electrónica de potencia

que ha permitido un control mucho más veloz y de mayor precisión sobre la tensión de

campo.

Un sistema de excitación está compuesto por un regulador o controlador de tensión y un

amplificador o excitatriz. El regulador mide la tensión en terminales y la compara con el

valor de referencia para calcular el error o desviación. El error es amplificado y usado

para comandar la excitratriz, que a su vez controla la magnitud de la tensión y corriente

del campo del generador.

En el estandar IEEE 421.5 de 2005 [18] se presentan en detalle una gran cantidad de

modelos de sistemas de excitación que pueden ser usados en estudios de estabilidad

dinámica para sistemas de potencia y que representan adecuadamente el

comportamiento de diferentes tipos de sistemas de excitación que se encuentran

típicamente instalados en unidades de generación.

En la siguiente figura se presenta un diagrama general en el que se puede apreciar la

conectividad de la mayoría de las funciones de control y protección que se encuentran

comprendidas dentro del sistema de excitación.


Figura 10 Diagrama general del sistema de excitación de unidades de generación [18]

En la Figura 10 se presenta de forma esquemática la relación de la mayoría de las

funciones que comprenden el sistema de exitación de los generadores.

Los elementos de control de la excitación realizan los cálculos necesarios del

error respecto a las variables a controlar, como tensión y corriente de campo.

La excitatriz proporciona la tensión en corriente directa para el devanado de

campo. En los sistemas modernos esta tensión es suministrada por rectificadores

compuestos de tiristores manejados a través del control.

Los transductores de tensión en terminales y la compensación de carga se

encargan de calcular un valor de tensión RMS para el procesamiento del control y

adaptar la medida del voltaje en terminales para evitar oscilaciones de potencia

reactiva entre unidades de una misma planta o controlar la tensión mas allá del

transformador elevador de un generador.

Los limitadores del sistema de excitación (OEL – Over Excitation Limiter y UEL –

Under Excitation Límiter) se encargan de proteger por sobrecalentamiento el

devanado de campo en la región de entrega de potencia reactiva, o por

sobrecalentamiento en los terminales del núcleo del estator o pérdida de

estabilidad angular en la región de absorción de potencia reactiva.

Otras funciones adicionales como el PSS ( Power System Stabilizer) o

estabilizador de sistemas de potencia, se encargan de mejorar la estabilidad, no

Capitulo 3 37

solo del generador, sino de amortiguar oscilaciones del modo de oscilación local

del generador y oscilaciones inter-área o intra-planta.

Algunos de los tipos de excitación más representativos para unidades de generación se

presentan a continuación, según dicho estándar [18].

3.2.1 Sistemas de excitación DC

Los sistemas de excitación DC pueden considerase bastante antiguos y en desuso, estos

han sido reemplazados por los AC y en los íltimos años por los ST. Los sistemas de

excitación DC usan generadores en corriente continua rotando solidariamente con el eje

del rotor del generador al cual alimentan su campo. Las excitatrices (generadores DC)

pueden estar autoexcitadas o con excitación independiente. En ambos casos el regulador

de tensión controla la excitación de la excitatriz, con la cual a su vez se genera la tensión

deseada para el campo del generador. Un modelo comúnmente usado para representar

la dinámica de los sistemas de excitación DC se presenta en la siguiente figura:

Figura 11 Modelo para sistema de excitación DC tipo DC1A [18]

Al sumador 1 llegan la señal del estabilizador de sistemas de potencia 𝑉𝑠, la tensión

deseada en tensión en terminales de referencia 𝑉𝑅𝐸𝐹, la tensión en terminales medida 𝑉𝐶

y la tensión estabilizante de la excitatriz 𝑉𝐹. Los bloques 2 y 3 son usados para mejorar la

estabilidad de la tensión y compensar la dinámica de la excitatriz. Normalmente son

excluyentes y si se ajusta uno, el otro deberá ser anulado. Los bloques dentro de 5 son

usados para modelar el comportamiento dinámico de la excitatriz rotativa. La constante

de tiempo 𝑇𝐸 representa el retardo de la excitatriz, 𝐾𝐸 refleja el ajuste del reóstato de la

2

3

4

1

5


excitatriz autoexcitada y la función 𝑉𝑥 la saturación de la excitatriz. Finalmente, la salida

𝐸𝑓𝑑 es la tensión con la que se alimenta el campo del generador.

3.2.2 Sistemas de excitación AC

Este tipo de sistemas de excitación usan una alternador AC rotando solidariamente con

el eje de la turbina en conjunto con un sistema de rectificación que puede ser estático o

rotativo para alimentar el devanado de campo del generador. En la siguiente figura se

presenta un modelo comunmente usado para representar la dinámica de este sistema de

excitación.

Figura 12 Modelo para sistema de excitación AC tipo AC1A [18]

Este modelo representa un sistema de excitación AC con rectificadores no controlados.

La excitatriz no emplea autoexcitación y su excitación es suministrada por diodos

rotativos.

3.2.3 Sistemas de excitación Estáticos

Estos tipos de sistemas de excitación son los más modernos y hoy día los más

comúnmente usados para alimentar el devanado de campo de los generadores. Entre las

ventajas de estos sistemas de excitación se cuentan sus altas velocidades de respuesta,

el incremento de la estabilidad del generador, la simplicidad y facilidad de mantenimiento

de sus componentes, además de su flexibilidad que lleva a la posibilidad de implementar

una serie de funcionalidades adicionales para el control y protección operativas del

generador.

Capitulo 3 39

Los sistemas de excitación estática usan un puente rectificador compuesto por tiristores,

cuyo ángulo de disparo es controlado por la acción del controlador del sistema de

excitación.

Para este trabajo se seleccionó un sistema de excitación estática tipo Silco V de Vatech

que valida el comportamiento del regulador de tensión de las unidades de Guavio en el

sistema colombiano. En la siguiente figura se presenta el modelo implementado en

DigSilent Power Factory para dicho sistema de excitación.

Figura 13 Modelo del sistema de excitación estático [43]

En la anterior figura se presenta el modelo completo incluyendo los limitadores del

sistema de excitación y los limitadores de tensión de techo y la referencia; igualmente se

muestra el modelo de compensación de corriente reactiva y transductores de tensión en

terminales, que serán omitidos en el modelamiento en este trabajo, dado que las

perturbaciones realizadas para la estimación de parámetros son de pequeña señal, por lo

que siempre se trabaja en la región lineal del AVR. Adicionalmente, el modelo del

transductor de tensión en terminales se omitirá dadas sus bajas constantes de tiempo. El


bloque de compensación de carga no se modela, ya que sus parámetros están ajustados

en cero en el regulador original en la planta.

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores el modelo lineal del regulador de

tensión usado en este trabajo puede resumirse de acuerdo a la siguiente figura.

Figura 14 Modelo del regulador de tensión simplificado

De acuerdo con la figura enterior la ecuación que representa el comportamiento del

regulador de tensión es la siguiente:

E𝑓 = {

𝐸𝑓 > 𝐸𝑓𝑚𝑎𝑥→ 𝐸𝑓𝑚𝑎𝑥

𝐸𝑓𝑚𝑖𝑛< 𝐸𝑓 > 𝐸𝑓𝑚𝑎𝑥

→ 𝐾𝐴(𝑉𝑅𝐸𝐹 − 𝑉𝐶)

𝐸𝑓 < 𝐸𝑓𝑚𝑖𝑛→ 𝐸𝑓𝑚𝑖𝑛

donde Ef es la tensión de campo, KA es la ganancia del regulador de tensión, VREF es la

tensión de referencia y VC es la tensión en los terminales medida.

Nótese que este modelo no presenta variables de estado, por lo que la ecuación que lo

representa es algebráica dado el carácter de control proporcional del AVR.

𝐸𝑓𝑚𝑖𝑛

𝐾𝐴 𝑉𝐶 Σ

𝑉𝑅𝐸𝐹

𝐸𝑓𝑚𝑎𝑥

+

_

𝐸𝑓

4 Modelo del Sistema de Transmisión Acoplado al Generador Sincrónico

En este capítulo se describe la metodología llevada a cabo para simular el generador

sincrónico conectado a un equivalente dinámico de red de transmisión, y finalmente se

presentan los resultados de este modelamiento y la comparación de resultados de

simuación entre el desarrollo realizado para este trabajo y una herramienta profesional

para simulación de la dinámica de sistemas de potencia (DigSilent Power Factory).

4.1 Métodos de integración numérica

La simulación del sistema de transmisión, considerando por supuesto a los generadores,

es una herramienta muy útil para el planeamiento, el análisis de estabilidad y el

entrenamiento en su operación. Los modelos individuales para el sistema de excitación y

el generador fueron presentados en los capítulos anteriores y representadosen

ecuaciones diferenciales y algebráicas. El modelo de la red de transmisión y los

elementos estáticos como líneas, transformadores, compensaciones y carga está

compuesto de ecuaciones algebraicas de la forma:

g(𝑥, 𝑦) = 0 (4.1)

La dinámica de elementos como el generador y sus controles, la carga y dispositivos

HVDC o FACTS es modelada a través de ecuaciones diferenciales de la forma:

�̇� = 𝑓(𝑥, 𝑦) (4.2)

La solución conjunta de estos dos conjuntos de ecuaciones define el estado

𝑦=0 (4.1𝑥=𝑓𝑥,𝑦 (4.2) pueden ser

solucionadas usando la solución particionada, muchas veces llamada solución alternada

o la solución simultánea, llamada solución combinada. En la solución particionada las

ecuaciones diferenciales son solucionadas usando métodos de integración explicitos


estándar, resolviendose cada ecuación algebráica de forma separada para cada paso de

integración. En la solución simultánea se usan métodos de integración implicitos con el

fin de convertir las ecuaciones diferenciales en un conjunto de ecuaciones algebráicas y

combinarlas con las demás ecuaciones algebráicas existentes, y de esta forma

solucionar de forma conjunta todas las ecuaciones algebráicas obtenidas.

Normalmente la solución de la ecuaciones diferenciales que representan sistemas físicos

complejos no es posible obtenerla de forma analítica, por lo que deben emplearse

métodos de integración numéricos que puedan encontrar una serie de valores

(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 , … ) que satisfagan la ecuación �̇� = 𝑓(𝑥, 𝑡) para los instantes de tiempo

(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑘 , … ). Para lograr esto los métodos de integración calculan el valor de 𝑥𝑘+1

conociendo los valores previos (… , 𝑥𝑘−2, 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘) . Las diferentes formulaciones para

encontrar estos valores generalmente caen en uno de dos métodos, paso simple o

Runge-kutta o paso múltiple o predictor – corrector. Ambos métodos son usados en la

solución de ecuaciones en sistemas de potencia [20].

Para solucionar la ecuación diferencial𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) (4.2) el valor de

𝑥𝑘+1 puede ser calculado usando la formulación de Adams integrando la función 𝑓(𝑥, 𝑡) a

lo largo del tiempo entre 𝑡𝑘 y 𝑡𝑘+1, o integrando 𝑥(𝑡) a lo largo de su trayectoria entre 𝑥𝑘 y

𝑥𝑘+1.

En la formulación Adams usada en el método de integración de paso múltiple o predictor

– corrector, la función 𝑓(𝑥, 𝑡) es aproximada por la serie 𝑤(𝑡) en el intervalo de tiempo

sobre el cual se integra:

𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 ≈

𝑡𝑘+1

𝑡𝑘

𝑥𝑘 + 𝑤(𝑡)𝑑𝑡

𝑡𝑘+1

𝑡𝑘

Donde la serie 𝑤(𝑡) está compuesta por 𝑟 valores de 𝑓(𝑥, 𝑡). Los coeficientes de esta

serie dependen de los valores de 𝑓(𝑥, 𝑡) en cada punto individual. Por lo tanto la formula

de integración se convierte en:

𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + ℎ(∑ 𝑏𝑗𝑓𝑘+1−𝑗 + 𝑏0𝑓𝑘+1𝑟𝑗=1 ) 4.3

Donde la función 𝑓𝑖 = 𝑓(𝑥(𝑡𝑖)) es el valor de la función en un punto 𝑡𝑖 y ℎ es el tamaño

del paso de integración. 𝑟 es llamado el orden del método de integración.

Capitulo 4 43

Si 𝑏0 = 0 entonces la formulación de integración es llamada explicita o Adams-Bashforth.

Si 𝑏0 ≠ 0 entonces la formulación de integración es llamada implicita o Adams-Moulton.

En esta formulación el polinomio 𝑤(𝑡) es calculado usando los valores conocidos de

iteraciones anteriores de (… , 𝑓𝑘−2, 𝑓𝑘−1, 𝑓𝑘) y el valor desconocido de 𝑓𝑘+1 con el fin de

interpolar la función 𝑓(𝑥, 𝑡) en el intervalo (𝑡k, 𝑡k+1).

La aproximación de primer orden de la familia de soluciones de Adams es llamada

formulación de Euler, la cual puede ser expresada en forma explicita o implicita. La

aproximación de segundo orden en la familia de soluciones de Adams es llamada la regla

trapezoidal, en la cual el polinomio 𝑤(𝑡) representa el área de un trapecio bajo la línea

que une los puntos 𝑓𝑘 y 𝑓𝑘+1.

Cuando se trata del error intrínseco de cada método de integración, los métodos

implicitos superan los métodos explicitos dado que estos conllevan menores errores,

adicionalmente, y como es de esperarse, a medida que la seríe 𝑤(𝑡) es representada por

más términos el error se reduce mucho más. Dado que un factor determinante para

garantizar la estabilidad de la solución de las ecuaciones diferenciales es el error

intrinseco del método de integración, en este trabajo se seleccionó el método trapezoidal

implicito para la solución de las ecuaciones diferenciales. El método trapezoidal implicito

usa la siguiente formulación para calcular 𝑥𝑘+1:

𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 +ℎ

2(𝑓𝑘+1 + 𝑓𝑘) 4.4

Una desventaja de los métodos implicitos es que el valor de 𝑥𝑘+1 no puede ser calculado

directamente.

Dado que el valor desconocido 𝑥𝑘+1 se encuentra en ambos lados de la ecuación, este

tendrá que ser aproximado de forma iterativa si 𝑓(𝑥, 𝑡) es una función no lineal, el cual es

el caso de las ecuaciones que representan el generador sincrónico.

El método más simple para resolver la ecuación 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 +ℎ

2(𝑓𝑘+1 + 𝑓𝑘)

4.4 es denominado iteración funcional, el cual consiste en realizar una

serie de substituciones de acuerdo con la siguiente formula:

𝑥𝑘+1(𝑙+1)

= 𝑥𝑘 +ℎ

2𝑓(𝑥𝑘) +

ℎ

2𝑓(𝑥𝑘+1

(𝑙))


donde el superíndice denota el número de la iteración (𝑙). El proceso iterativo finaliza

cuando error cuadrático entre 𝑥𝑘+1(𝑙)

y 𝑥𝑘 +ℎ

2𝑓(𝑥𝑘) sea inferior a una pequeña tolerancia 휀,

esto es cuando:

√[(𝒙𝑘+1(𝑙)

)2] ∙ [(𝒙𝑘 +

ℎ

2𝒇(𝑥𝑘))

2

] ≤ 휀

donde 𝒙𝑘+1(𝑙)

es el vector de las variables de estado del paso 𝑘 + 1 en la iteración 𝑙 y 𝒇(𝑥𝑘)

es el vector de funciones de estado del paso 𝑘.

4.2 Descripción del sistema de potencia modelado

Para el desarrollo del trabajo de estimación de los parámetros del generador sincrónico

se partió de un modelo de generador sincrónico conectado a través de su transformador

elevador a una línea de transmisión que va a una subestación intermedia con carga, otra

linea de transmisión desde esta última subestación hasta un equivalente inercial del resto

del sistema. En la siguiente figura se observa el sistema de potencia modelado:

Figura 15 Modelo de red usado para la estimación de parámetros

En el modelo de la Figura 15, el generador bajo estudio está representado por un

generador hidráulico de 270MVA de 13.8kV. El transformador elevador tiene una

capacidad de 270MVA con relación de transformación 13.8kV a 230kV. Las líneas de

transmisión son cada una de 230kV y una longitud de 50km. El caso inicial tiene una

carga en la barra 2 de 100MW y 50Mvar. El equivalente de red está representado por un

generador con los mismos parámetros iniciales del generador bajo prueba, sin embargo,

este tiene una capacidad de 10,500MVA correspondientes aproximadamente a la

máxima carga esperada del sistema de potencia colombiano.

Capitulo 4 45

En la siguientes tablas se presentan los parámetros de los diferentes elementos de este

sistema de potencia.

Tabla 1 Parámetros de generadores del sistema de potencia de prueba

Generadores

Parámetro Unidad Generador de Prueba Equivalente de Red

H[Sgn] s 4 5

D p.u. 0 0

rstr p.u. 0 0

Xd p.u. 1.15 1.15

Xq p.u. 0.4026 0.4026

Td0' s 7.75 7.75

Td0'' s 0.0608 0.0608

Tq0'' s 0.0607 0.0607

Xd' p.u. 0.3483 0.3483

Xq' p.u. 0.3217 0.3217

Xd'' p.u. 0.2501 0.2501

Xq'' p.u. 0.3155 0.3155


Tabla 2 Parámetros de líneas, transformadores y cargas del sistema de potencia de

prueba

Líneas

Parámetro Unidad Línea 1 Línea 2

R Ω/km 0.05 0.05

X Ω/km 0.5 0.5

B μs/km 2 2

Transformadores

Parámetro Unidad Trafo Elevador

Ucc p.u. 0.1

Cargas

Parámetro Unidad Carga Barra 2

np - 1.4

nq - 1.6

kpf - 0

kqf - 0

Con este sistema de prueba se pretende simular el comportamiento dinámico que tendría

un generador sincrónico de polos salientes conectado a través de una línea de

transmisión a un sistema relativamente fuerte.

4.3 Metodología para la simulación dinámica del modelo de prueba

Antes de abordar en la práctica la metodología para la estimación de parámetros del

generador sincrónico, las ecuaciones algebráicas y diferenciales del modelo de los

generadores, sus controles y los elementos de la red deben ser resueltas conjuntamente

para determinar finalmente el comportamiento de las variables de estado los voltajes y

corrientes en todos los puntos del sistema de potencia. A continuación se presenta el

procedimiento general seguido para encontrar la solución dinámica en el tiempo del

sistema de prueba de la Figura 15 ante un evento predeterminado.

4.3.1 Sistema en por unidad (p.u.)

El primer paso consiste en llevar todos los parámetros del sistema a p.u., lo que asegura

que las reactancias de todos los elementos de la red queden en una base común y los

cálculos matemáticos que se harán después sean ejecutados de forma coherente.

Capitulo 4 47

Para el caso particular del sistema de prueba, se seleccionó una potencia base de

100MVA. Por lo tanto la potencia aparente de cada uno de los generadores, su inercia,

todas sus reactancias y las de cada línea de transmisión deben se llevadas a esta base

común de la siguiente forma:

𝑆𝐺(𝑝.𝑢) =𝑆𝑛𝐺𝑖

𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 Potencia del generador en su nueva base

𝑋𝑖(𝑝.𝑢) =𝑋𝐺𝑖

𝑆𝐺(𝑝.𝑢) Reactancia 𝑖 del generador en su nueva base

𝑋𝑡(𝑝.𝑢) =𝑋𝑡

𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 Reactancia del transformador elevador en su nueva base

𝑋𝐿(𝑝.𝑢) =𝑋𝐿𝐿𝑆𝐺(𝑝.𝑢)

𝑉𝐿2 Reactancia de línea en su nueva base

𝑅𝐿(𝑝.𝑢) =𝑋𝐿𝐿𝑆𝐺(𝑝.𝑢)

𝑉𝐿2 Resistencia de línea en su nueva base

𝑌𝐿(𝑝.𝑢) =𝑋𝐿𝐿𝑆𝐺(𝑝.𝑢)

𝑉𝐿2 Admitancia de línea en su nueva base

Donde, 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 es la nueva potencia base común, 𝑆𝑛𝐺𝑖 es la potencia nominal del

generador, 𝑋𝐺𝑖 denota cada una de las reactancias del generador (𝑋𝑑 , 𝑋𝑞, 𝑋𝑑′ , …. etc.), 𝑋𝐿

es la reactancia serie de línea, 𝐿 es la longitud de la línea y 𝑉𝐿 es su tensión.

4.3.2 Construcción de la matriz Ybarra

Después de haber calculado los valores de todas las reactancias en su nueva base, se

procede al cálculo de la matriz Ybarra o matriz de admitancias de la red. Para estructurar

esta matriz se asume en primer lugar que el sistema no tiene inyecciones, es decir no se

consideran los generadores ni las cargas. Para el sistema bajo prueba el cálculo se

realiza de la siguiente forma:

𝑌(1,1) = 𝐺𝐿 + 𝑗(𝐵𝐿 + 𝑌𝐿 2)⁄ , 𝑌(1,2) = 𝑌(2,1) = −𝐺𝐿 − 𝑗𝐵𝐿

𝑌(2,2) = 2(𝐺𝐿 + 𝑗(𝐵𝐿 + 𝑌𝐿 2)⁄ ) , 𝑌(2,3) = 𝑌(3,2) = −𝐺𝐿 − 𝑗𝐵𝐿

𝑌(3,3) = 𝐺𝐿 + 𝑗(𝐵𝐿 + 𝑌𝐿 2)⁄ − 𝑗1

𝑋𝑡 , 𝑌(3,4) = 𝑌(4,3) = 𝑗

1

𝑋𝑡

𝑌(4,4) = −𝑗1

𝑋𝑡


En la diagonal se suman las admitancias de todos los elementos conectados a cada

nodo. Fuera de la diagonal se asigna el negativo de la suma de todos los elementos

entre nodos. Finalmente la Ybarra será:

𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 =

[ 𝑌(1,1) 𝑌(1,2) 0 0

𝑌(2,1) 𝑌(2,2) 𝑌(2,3) 0

0 𝑌(3,2) 𝑌(3,3) 𝑌(3,4)

0 0 𝑌(4,3) 𝑌(4,4)]

4.3.3 Cálculo de las corrientes de las inyecciones

Para el cálculo de las corrientes de las inyecciones se debe partir de la solución

preexistente de un flujo de carga para un estado operativo dado del sistema bajo prueba.

Para este trabajo se realizó una corrida de flujo de carga convencional en DigSilent

Power Factory, del cual pueden extraerse los valores de las tensiones y sus ángulos con

respecto al nodo slack, el cual se localizará en el equivalente de red (nodo 1). De esta

forma, el vector de tensiones puede escribirse como:

𝑉 = 𝑉1∢𝜃1 𝑉2∢𝜃2 𝑉3∢𝜃3 𝑉4∢𝜃4 𝑇

Por lo que las inyecciones de corriente y las potencias aparentes calculadas en cada

nodo en forma vectorial serán:

𝐼 = 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑉

𝑆 = 𝑉𝐼∗

Al llegar al proceso iterativo donde se resuelven las ecuaciones diferenciales y

algebráicas del sistema, se deben calcular las corrientes que inyectan los generadores a

la red. Por lo tanto se debe agregar a la 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 la admitancia equivalente Norton de cada

generador:

𝑌𝑁𝑜𝑟𝑡 =

(𝑟𝑠𝑡𝑟 − 𝑗12 (𝑋𝑑

′′ + 𝑋𝑞′′))

𝑟𝑠𝑡𝑟2 + 𝑋𝑑′′𝑋𝑞

′′

𝑌(1,1) = 𝑌(1,1) + 𝑌𝑁𝑜𝑟𝑡1

𝑌(4,4) = 𝑌(4,4) + 𝑌𝑁𝑜𝑟𝑡4

Capitulo 4 49

Adicionalmente se debe calcular la saliencia subtransitoria de ambos generadores, la

cual igualmente interviene en el cálculo de la corriente inyectada por estos componentes

al sistema:

𝑌𝑠𝑎𝑙′′ =

(𝑟𝑠𝑡𝑟 + 𝑗12 (𝑋𝑑

′′ − 𝑋𝑞′′))


′′

4.3.4 Cálculo de las condiciones iniciales

En este punto se deben calcular las condiciones iniciales de las diferentes variables de

estado que componen el modelo, tanto del generador bajo prueba, como del equivalente

de red. Adicionalmente otras variables que entran en juego en el proceso deben ser

inicializadas. En general, las condiciones iniciales están basadas en el diagrama fasorial

del generador presentado en la Figura 16.

Figura 16 Diagrama fasorial del generador usado para su inicialización [2]

A continuación se presentan las ecuaciones que componen la inicilaización de las

variables mencionadas.

Para cada generador se calculan las siguientes variables que dependen del despacho de

potencia activa, tensión en terminales y corrientes calculadas en el paso anterior:

𝜔 = 𝜔𝑛 = 2𝜋 ∗ 60

𝑃𝑚 = ℛ𝑒(𝑆) Potencia mecánica.


𝐸𝑞 = 𝑉 + 𝐼(𝑟𝑠𝑡𝑟 + 𝑗𝑋𝑞) Tensión eje de cuadratura

𝛿 = 𝑎𝑛𝑔(𝐸𝑞′ ) Tensión transitoria eje de cuadratura

𝐼𝑑 = −𝑠𝑒𝑛(𝛿)ℛ𝑒(𝐼) + 𝑐𝑜𝑠(𝛿)ℐ𝑚(𝐼) Corriente eje directo

𝐼𝑞 = 𝑐𝑜𝑠(𝛿)ℛ𝑒(𝐼) + 𝑠𝑒𝑛(𝛿)ℐ𝑚(𝐼) Corriente eje directo

𝑉𝑑 = −𝑠𝑒𝑛(𝛿)ℛ𝑒(𝑉) + 𝑐𝑜𝑠(𝛿)ℐ𝑚(𝑉) Tensión eje directo

𝑉𝑞 = 𝑐𝑜𝑠(𝛿)ℛ𝑒(𝑉) + 𝑠𝑒𝑛(𝛿)ℐ𝑚(𝑉) Tensión eje directo

𝐸𝑞′′ = 𝐼𝑑𝑟𝑠𝑡𝑟 − 𝐼𝑑𝑋𝑑

′′ + 𝑉𝑞 Tensión subtransitoria eje de cuadratura

𝐸𝑑′′ = 𝐼𝑞𝑋𝑞

′′ + 𝑉𝑑 Tensión subtransitoria eje directo

𝐸𝑞′ = −𝐼𝑑(𝑋𝑑

′ + 𝑋𝑑′′) + 𝐸𝑞

′′ Tensión transitoria eje de cuadratura

𝐸𝑑′ = 0 Tensión transitoria de eje directo

𝐸𝑓𝑑 = 𝑎𝑏𝑠(𝐸𝑞) − 𝐼𝑑(𝑋𝑑 − 𝑋𝑞) Tensión de campo

𝑃𝑒 = 𝐸𝑑′′𝐼𝑑 + 𝐸𝑞

′′𝐼𝑞 + (𝑋𝑑′′ − 𝑋𝑞

′′)𝐼𝑑𝐼𝑞 − 𝑟𝑠𝑡𝑟(𝐼𝑑2 + 𝐼𝑞

2) Potencia eléctrica activa

𝑄𝑒 = 𝐸𝑑′′𝐼𝑞 − 𝐸𝑞

′′𝐼𝑑 − 𝑋𝑑′′𝐼𝑑

2 − 𝑋𝑞′′𝐼𝑞

2 − 𝑟𝑠𝑡𝑟(𝐼𝑑 − 𝐼𝑞) Potencia eléctrica reactiva

𝑉𝑟𝑒𝑓 = 𝑎𝑏𝑠(𝑉) + 𝐸𝑓𝑑/𝑘𝑝 Tensión de referencia del AVR

𝑃2 𝑄2 = 𝑔(𝑉, 𝑓, 𝑓𝑎𝑠𝑒, 𝑆) Carga en el nodo 2.

Donde 𝑔(𝑉, 𝑓, 𝑓𝑎𝑠𝑒, 𝑆) calcula la carga en función de la tensión y la frecuencia [21].

𝑔(𝑉, 𝑓, 𝑓𝑎𝑠𝑒, 𝑆) = {𝑡=0 →𝑡≠0 →

ℛ𝑒(𝑆2) ℐ𝑚(𝑆2)

[𝑃2𝑜(𝑉

𝑉0)𝑛𝑝

(1+𝑘𝑝𝑓(𝑓−𝑓0)/𝑓0 𝑄2𝑜(𝑉

𝑉0)𝑛𝑞

(1+𝑘𝑞𝑓(𝑓−𝑓0)/𝑓0]}

4.3.5 Solución de Ecuaciones Diferenciales y Algebráicas en el Tiempo.

Como se ha visto anteriormente el proceso para la solución de las ecuaciones

diferenciales del modelo del generador, se resuelven en conjunto con las ecuaciones de

la red en un proceso iterativo que usa la formulación del método trapezoidal implicito. En

este método se trata de estimar el valor de la variable de estado en el paso futuro, lo cual

debe hacerse de forma iterativa de la siguiente forma:

Capitulo 4 51

1. Repetir el siguiente proceso desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 −△ 𝑡,

donde △ 𝑡 es el paso de integración seleccionado, típicamente 0.01 segundos.

2. 𝑡 = 𝑡 +△ 𝑡 contador de tiempo

3. 𝑝 = 𝑝 + 1 índice para almacenar resultados numéricos de variables

4. Calcular variables de estado en 𝑡 = 𝑡𝑝 para cada generador usando formulación

del método trapezoidal:

𝜔𝑡𝑝= 𝜔 +

△ 𝑡

2

𝜔𝑛

2𝐻(𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 − 𝐷(𝜔 − 𝜔𝑛))

𝛿𝑡𝑝 = 𝛿 +△ 𝑡

2(𝜔 − 𝜔𝑛)

𝐸𝑓𝑑𝑡𝑝 = (𝑉𝑟𝑒𝑓 − 𝑎𝑏𝑠(𝑉)) 𝑘𝑝

𝐸𝑞′𝑡𝑝

= 𝐸𝑞′ +

△ 𝑡

2

1

𝑇𝑑0′ [𝐸𝑓𝑑 − 𝐸𝑞

′ + 𝐼𝑑(𝑋𝑑 − 𝑋𝑑′ )]

𝐸𝑞′′

𝑡𝑝= 𝐸𝑞

′′ +△ 𝑡

2

1

𝑇𝑑0′′ 𝐸𝑞

′ − 𝐸𝑞′′ + 𝐼𝑑(𝑋𝑑

′ − 𝑋𝑑′′)

𝐸𝑑′′

𝑡𝑝= 𝐸𝑑

′′ +△ 𝑡

2

1

𝑇𝑞0′′ [𝐸𝑑

′ − 𝐸𝑑′′ − 𝐼𝑞(𝑋𝑞

′ − 𝑋𝑞′′)]

5. Estructurar vector de estado en el paso 𝑡 = 𝑡𝑝 con los estados calculados para

cada generador:

𝒙𝑡𝑝 = [𝜔𝑡𝑝𝛿𝑡𝑝 𝐸𝑞

′

𝑡𝑝𝐸𝑞

′′

𝑡𝑝𝐸𝑑

′′𝑡𝑝]

6. Si el tiempo de un evento en la red se ha alcanzado, se deben recalcular las

nuevas tensiones de la red considerando los cambios que sean necesarios en la

matriz de admitancias, la carga o las condiciones de los generadores; esto de

acuerdo al evento programado. Para validar el desempeño del modelo, en este

caso se documenta el presente procedimiento simulando un evento de

incremento de carga △ 𝑆 en el nodo 2:

𝑃2 𝑄2 𝑇 = 𝑔(𝑉, 𝑓, 𝑓𝑎𝑠𝑒, 𝑆 +△ 𝑆)

𝑉 = 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝐼−1


7. Se inicializan el error, el error máximo, el contador de iteraciones y el número

máximo de iteraciones para estimar el valor de las variables de estado en el paso

𝑡 = 𝑡𝑝+1.

𝐸𝑟𝑟𝑚𝑎𝑥 = 10−5

𝑘𝑚𝑎𝑥 = 100

𝐸𝑟𝑟 = 500

𝑘 = 0

8. En este paso se realiza el proceso iterativo para la estimación de los valores en

𝑡 = 𝑡𝑝+1 de las variables de estado.

Se compara el error cuadrático entre el vector de estado de la iteración 𝑘 y el

vector de estado del paso 𝑡 = 𝑡𝑝. Si este error es menor que 𝐸𝑟𝑟𝑚𝑎𝑥 = 10−5 se ha

llegado a la convergencia y se puede retornar al paso 1 para continuar en el

siguiente paso de integración en el tiempo.

8.1 Si el error es mayor a 𝐸𝑟𝑟𝑚𝑎𝑥 se comienza incrementando el contador de

iteraciones, recalculando las inyecciones en la red y luego las tensiones con

base en los valores actuales de las variables de estado para cada generador.

𝑘 = 𝑘 + 1

𝐸′′ = −𝑠𝑒𝑛(𝛿)𝐸𝑑′′ + cos(𝛿)𝐸𝑞

′′ + 𝑗 cos(𝛿)𝐸𝑑′′ + 𝑠𝑒𝑛(𝛿)𝐸𝑞

′′

𝐼 = 𝑌𝑁𝑜𝑟𝑡𝐸′′ + 𝑌𝑠𝑎𝑙

′′ (𝐸′′ − 𝑉)∗𝑒(2𝑗𝛿)

𝑃2 𝑄2 = 𝑔(𝑉, 𝑓, 𝑓𝑎𝑠𝑒, 𝑆 +△ 𝑆)

𝐼2 =(−𝑃2 + 𝑗𝑄2)

𝑉2∗

𝐼3 = 0

𝑉 = 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝐼−1

8.2 Con los fasores de tensión calculados y los valores de las variables de estado

se calcula la potencia eléctrica de los generadores. Después de calcular las

componentes de tensión y corriente en eje directo y cuadratura:

𝑉𝑑 = −𝑠𝑒𝑛(𝛿)ℛ𝑒(𝑉) + 𝑐𝑜𝑠(𝛿)ℐ𝑚(𝑉)

Capitulo 4 53

𝑉𝑞 = 𝑐𝑜𝑠(𝛿)ℛ𝑒(𝑉) + 𝑠𝑒𝑛(𝛿)ℐ𝑚(𝑉)

𝐼𝑑 =(𝐸𝑑

′′ − 𝑉𝑑)𝑟𝑠𝑡𝑟 − (𝐸𝑞′′ − 𝑉𝑞)𝑋𝑞

′′


′′

𝐼𝑞 =(𝐸𝑞

′′ − 𝑉𝑞)𝑟𝑠𝑡𝑟 − (𝐸𝑑′′ − 𝑉𝑑)𝑋𝑑

′′


′′

𝑃𝑒 = 𝐸𝑑′′𝐼𝑑 + 𝐸𝑞

′′𝐼𝑞 + (𝑋𝑑′′ − 𝑋𝑞

′′)𝐼𝑑𝐼𝑞 − 𝑟𝑠𝑡𝑟(𝐼𝑑2 + 𝐼𝑞

2)

𝑄𝑒 = 𝐸𝑑′′𝐼𝑞 + 𝐸𝑞

′′𝐼𝑑 − 𝑋𝑑′′𝐼𝑑

2 − 𝑋𝑞′′𝐼𝑞

2 − 𝑟𝑠𝑡𝑟(𝐼𝑑 − 𝐼𝑞)

8.3 Con la potencia eléctrica calculada, y los cálculos de las variables de estado

en 𝑡 = 𝑡𝑝, se calculan las variables de estado en 𝑡 = 𝑡𝑝+1 usando la

formulación del método trapezoidal implícito. Igualmente se define el vector de

estado en la iteración 𝑘.

𝜔𝑘 = 𝜔𝑡𝑝+

△ 𝑡

2

𝜔𝑛

2𝐻(𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 − 𝐷(𝜔 − 𝜔𝑛))

𝛿𝑘 = 𝛿𝑡𝑝 +△ 𝑡

2(𝜔 − 𝜔𝑛)

𝐸𝑞′𝑘

=

[𝐸𝑞′𝑡𝑝

+△ 𝑡2

1𝑇𝑑0

′ [𝐸𝑓𝑑𝑡𝑝 + 𝐼𝑑(𝑋𝑑 − 𝑋𝑑′ )]]

1 +△ 𝑡2𝑇𝑑0

′

𝐸𝑞′′

𝑘= [

𝐸𝑞′′

𝑡𝑝+

△ 𝑡2

1𝑇𝑑0

′′ 𝐸𝑞′ + 𝐼𝑑(𝑋𝑑

′ − 𝑋𝑑′′)

1 +△ 𝑡2𝑇𝑑0

′′

]

𝐸𝑑′′

𝑘=

[ 𝐸𝑑

′′𝑡𝑝

+△ 𝑡2

1𝑇𝑞0

′′ [𝐸𝑑′ − 𝐼𝑞(𝑋𝑞

′ − 𝑋𝑞′′)]

1 +△ 𝑡2𝑇𝑞0

′′]

𝒙𝑘 = [𝜔𝑘 𝛿𝑘 𝐸𝑞′

𝑘𝐸𝑞

′′

𝑘𝐸𝑑

′′𝑘]

8.4 Se calcula el error cuadrático entre el vector de estado de la iteración 𝑘 y el

vector de estado del paso 𝑡 = 𝑡𝑝.

𝑬𝒓𝒓 = (𝜔𝑘 − 𝜔𝑡𝑝)

2

+ (𝛿𝑘 − 𝛿𝑡𝑝)

2

+ (𝐸𝑞′𝑘

− 𝐸𝑞′𝑡𝑝

)2

+ (𝐸𝑞′′

𝑘− 𝐸𝑞

′′𝑡𝑝

)2

+ (𝐸𝑑′′

𝑘− 𝐸𝑑

′′𝑡𝑝

)2


8.5 Se asigna al vector de estados en 𝑡 = 𝑡𝑝 el valor calculado del vector de

estados en la iteración 𝑘.

𝒙𝑡𝑝= 𝒙𝑘

se procede al paso 8.1

9. Se calculan las variables de interés como vectores que se van llenando con cada

iteración de tiempo para ser presentadas como resultados de la simulación.

𝑉𝑒𝑙4(𝑝) = 𝜔4𝑡𝑝 Velocidad angular generador bajo prueba

𝛿4(𝑝) = 𝛿4𝑡𝑝 Ángulo del rotor generador bajo prueba

𝜃4(𝑝) = 𝑎𝑛𝑔(𝑉4) Ángulo de la tensión en terminales generador bajo prueba

𝑃𝑒4(𝑝) = 𝑃𝑒4𝑡𝑝

Potencia eléctrica generador bajo prueba

𝐴𝑏𝑠𝑉4 = 𝑎𝑏𝑠(𝑉4) Magnitud tensión generador bajo prueba

𝑃𝑒4(𝑝) = 𝑃𝑒4𝑡𝑝

Potencia eléctrica generador bajo prueba

4.4 Validación del Modelo

Con el objetivo de determinar la validez del modelo presentado, se implementó un código

en Matlab con la metodología de simulación detallada anteriormente, y se comparó su

desempeño con el mismo modelo de red implementado en DigSilent Power Factory. Se

corrieron simulaciones en ambas herramientas para determinar la respuesta del

generador bajo prueba a diferentes perturbaciones en el sistema como incrementos y

reducciones de carga y escalones en la tensión de referencia del regulador de tensión

(AVR) del generador bajo prueba.

Las condiciones iniciales de todas las simulaciones, derivadas del flujo de carga que

representa un estado operativo del sistema se presentan en la siguiente figura:

Capitulo 4 55

Figura 17 Condiciones iniciales simulación comparativa – Flujo de Cargas

Para verificar la validez del modelo implementado tanto para el generador como para el

sistema de excitación se realizaron simulaciones de escalones del ± 2% en la tensión de

referencia del regulador de tensión de la unidad bajo prueba. Los resultados de las

simulaciones para una ventana de tiempo de 10 segundos se presentan en las siguientes

figuras.

Figura 18 Comparación entre el modelo en DigSilent y Matlab del generador bajo prueba

ante un escalón de +2% en la tensión de referencia del AVR.



ante un escalón de -2% en la tensión de referencia del AVR.

En la Figura 18 y Figura 19 se presenta en trazo rojo la respuesta de las principales

variables de salida del modelo implementado en Matlab, y en trazo azul se muestran las

mismas variables para el moedelo implementado en DigSilent Power Factory. Se observa

que la respuesta de ambos modelos a los eventos de cambio súbito en la referencia del

regulador de velocidad es muy similar, probando que el modelo del generador y la red

desarrollado en Matlab, siguiendo la metodología de resolución de ecuaciones

diferenciales descrito más arriba en este trabajo es válido y representa de forma

adecuada el comportamiento del generador para eventos internos. Para hacer más

extensiva la validación del modelo, se realizaron igualmente eventos de incremento y

reducción súbita de la demanda de la barra 2 de 100 MW y 50 Mvar, con el fin de

verificar el desempeño del modelo del generador y la red para eventos externos. En las

siguientes figuras se presenta de forma comparativa la evolución de las principales

variables del generador bajo prueba ante los eventos descritos.

Capitulo 4 57


ante un incremento de 100 MW y 50 MVar en la carga de la barra 2.


ante la reducción de 100 MW y 50 MVar en la carga de la barra 2.

De los análisis comparativos entre los modelos implementados en Matlab y DigSilent,

puede concluirse un alto grado de correlación para las variables de salida estudiadas y

para diferentes eventos tanto externos al generador, como en su sistema de excitación.

Esto demuestra la validez de la metodología para la solución conjunta de las ecuaciones

diferenciales y algebráicas que representan el generador sincrónico y su interacción con

la red.

5 Estimación de parámetros del generador a través de la técnica de sensibilidad de trayectorias

En este capítulo se describe la implementación de la técnica de sensibilidad de

trayectorias a la estimación de los parámetros eléctricos del generador sincrónico bajo

prueba, con el uso de la red equivalente presentada en el capítulo anterior.

Adicionalmente se realizan diferentes sensibilidades a la estimación de parámetros y se

presentan los resultados obtenidos.

5.1 Implementación de la técnica de estimación basada en sensibilidades de trayectoria

En el capítulo 2 se presenta la formulación matemática de la técnica de estimación

basada en sensibilidad de trayectoria. En el presente capítulo se ahondará en la

implementación de esta metodología mediante la descripción de los pasos seguidos

hasta la obtención final de los mejores parámetros estimados del generador.

5.1.1 Selección de variables de entrada, salida, algebráicas, estado y parámetros

Como ya se explicó en el Capitulo 2, la estimación de parámetros del modelo del

generador se basa en la minimización de las diferencias en las variables de salida entre

los datos recogidos de una prueba o la respuesta a un evento externo y la simulación de

estos eventos usando el modelo del generador. De esta forma es de gran importancia la

selección de las variables más adecuadas para ser asignadas como las salidas 𝑦𝑚𝑒𝑑 en

la formulación del problema, que puedan efectivamente ser medidas en campo sobre el

generador. En este caso se seleccionaron como salidas 𝑦 las señales de potencia activa

y reactiva. Estas pueden ser obtenidas facilmente mediante PMUs o registradores de alta

Capitulo 5 59

resolución instaladas en bornes del generador. Al mismo tiempo dentro de estas

variables se encuentra información sobre la respuesta eléctrica y mecánica del

generador. Variables de estado como el ángulo del rotor 𝛿 que es de muy dificil medición

y 𝜔 que es propensa a contener alto niveles de ruido, deben ser seleccionadas solo en

los casos en los que se cuente con la infraestructura necesaria para su adquisición y

filtrado.

Como variables de entrada 𝑢 del modelo se selecciona la tensión de campo (E𝑓) que es

controlada por el AVR.

Como variables algebráicas 𝑧 se seleccionan las corrientes en el eje directo y cuadratura

(𝐼𝑑, 𝐼𝑞).

Como variables de estado 𝑥 se seleccionan todas las especificadas en el modelo del

generador de orden 5 (𝜔, 𝛿, E𝑞′ , E𝑞

′′, E𝑑′′).

Como parámetros 𝑝 a estimar se seleccionan los parámetros eléctricos (X𝑑, X𝑞′ , X𝑑

′ ,

X𝑑′′, X𝑞

′′, T𝑑0′ , T𝑑0

′′ , T𝑞0′′ ).

Adicionalmente se debe proporcionar al algorítmo de estimación de las ecuaciones

necesarias por medio de las cuales se calculen las salidas, estados y variables

algebráicas en términos de todas las variables y parámetros, tal como se presenta en las

ecuaciones 2.1.

5.1.2 Selección de los eventos a ser simulados

La determinación de los eventos que pueden ser usados para excitar las diferentes

dinámicas del modelo del generador es otro elemento clave a la hora de estimar los

parámetros del mismo. Por ejemplo si solo se pretende realizar una estimativa sobre los

parámetros mecánicos del modelo (inercia 𝐻 o coeficiente de amortiguamiento 𝐷), es

necesario seleccionar eventos en los cuales los torques eléctrico y mecánico difieran

dinámicamente en forma suficiente para garantizar un buen condicionamiento del

problema de optimización. Un ejemplo de este tipo de eventos puede ser un rechazo de

carga, una falla o un desbalance carga–generación de la red. En este trabajo se asumen

conocidos los parámetros mecánicos del generador, los cuales pueden ser mucho más


facilmente estimados que los eléctricos, mediante pruebas de rechazo de carga, tal como

se describe en [22].

Si se trata de la estimación de los parámetros eléctricos del generador, como es el objeto

de este trabajo, se deben excitar las dinámicas internas más rápidas (transitorias y

subtransitorias) del generador. Esto puede ser realizado mediante la simulación de corto

circuito en la red externa, o inyección de escalones en la tensión de referencia del AVR

por ejemplo.

En este trabajo se usarán cambios rápidos en la referencia de tensión en terminales en el

regulador de tensión de la unidad bajo prueba. Con este evento se excitan las dinámicas

eléctricas internas del generador y mediante la adquisición de las potencias activa y

reactiva en bornes del generador, se realiza la estimación de parámetros.

5.1.3 Metodología de estimación de parámetros

Una vez definida la estructura de variables y seleccionados los eventos a ser simulados,

se realizan corridas de todos los eventos que se usarán para estimar los parámetros,

usando el set de parámetros entregados por el fabricante del generador, con el fin de

grabar en un archivo de resultados el comportamiento de las variables de salida (𝑃 y 𝑄).

Ya que no se disponen de datos reales para los eventos requeridos en el generador bajo

prueba, estos son reemplazados por simulaciones usando los parámetros a los cuales se

quiere llegar como resultado del proceso de estimación. Estas serán a partir de este

momento considerados como las salidas medidas 𝑦𝑚𝑒𝑑.

Una vez obtenidas las salidas medidas, se alteran los parámetros reales del generador

en un factor determinado, con los cuales se define un vector de parámetros semilla. Este

vector que tiene un error implicito se ingresa al algoritmo de optimización el cual itera

hasta alcanzar un número máximo de iteraciones, o el error 𝐽(𝑝) sea menor a una

pequeña tolerancia.

Una vez se alcance convergencia, se extráen los parámetros resultantes y se calculan

los errores de estimación con base en los parámetros reales. Todo esto se hace con el

objetivo de verificar si la metodología de estimación converge de forma aceptable

nuevamente a valores cercanos a los parámetros originales.

Capitulo 5 61

En la siguiente figura se describe de forma gráfica la metodología propuesta, para el caso

de aplicación a un generador real:

Figura 22 Implementación de la la metodología de estimación de parámetros propuesta

sobre un generador real

Generador de Prueba

Solución del modelo

�̇�(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑝, 𝑢(𝑡))

𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑥(𝑡), 𝑝, 𝑢(𝑡))

𝑝(0) Parámetros

semilla + -

𝐽(𝑝) =1



𝑇

𝑖=0

Sensibilidades 𝜕𝑦

𝜕𝑝𝑖

Γ(p) ≈ (𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝)


𝜕𝑝𝑑𝑡

𝑇

𝑡=0

|𝑝=𝑝(𝑘)

𝜕𝐽(𝑝)

𝜕𝑝= 𝐺(𝑝) = (𝑦𝑠𝑖𝑚 − 𝑦𝑚𝑒𝑑)

𝑇

𝑡=0


𝜕𝑝𝑑𝑡

𝑝(𝑘+1) = 𝑝(𝑘) − Γ−1(𝑝)𝐺(𝑝)|𝑝=𝑝(𝑘)

𝐽(𝑝) < 휀 𝑝(𝑘) Parámetros

finales

𝑉𝑅𝐸𝐹

PMU

G AVR

𝑉

𝑃, 𝑄

Evento

𝑦𝑚𝑒𝑑 = 𝑃,𝑄 C.I. 𝑉0, 𝑃0, 𝑄0

𝑦𝑠𝑖𝑚 = 𝑃, 𝑄

Alg

oritm

o d

e e

stim

ació

n d

e p

ará

me

tros


5.1.3.1 Sensibilidades de trayactoria

La metodología de estimación de parámetros propuesta en este trabajo se basa en la

determinación de las derivadas parciales de las salidas 𝑃 y 𝑄 con respecto al vector de

parámetros, las cuales entregan al algoritmo información de la sensibilidad de cada

parámetro en las variables medidas. En este subcapitulo se presenta el proceso de

cálculo para las sensibilidades de las salidas con respecto a los parámetros de forma

explicita.

De acuerdo con las ecuaciones 2.1, a continuación se presentan las ecuaciones que

describen el modelo del generador bajo estudio en acople con el modelo de la red de

transmisión:

Las funciones �̇� = 𝑓(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢) que describen los estados del sistema son las

siguientes:

�̇� = 𝑓(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢) =

[ 𝑓1𝑓2𝑓3𝑓4𝑓5]

=

[

𝜔𝑛

2𝐻(𝑃𝑚 − 𝑃𝑒)

𝜔 − 𝜔𝑛

[E𝑓 − E𝑞′ + 𝐼𝑑(X𝑑 − X𝑑

′ )] T𝑑0′⁄

[E𝑞′ − E𝑞

′′ + 𝐼𝑑(X𝑑′ − X𝑑

′′)] T𝑑0′′⁄

[E𝑑′ − E𝑑

′′ − 𝐼𝑞(X𝑞′ − X𝑞

′′)] T𝑞0′′⁄ ]

(5.1)

Las ecuaciones algebráicas de la forma 0 = 𝑔(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢), que relacionan las variables

del sistema son:

0 = 𝑔(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢) = [𝑔1

𝑔2] = [

(𝐸0 cos(𝛿) − E𝑞′ ) (X𝑑

′ + Z𝐿)⁄ − 𝐼𝑑

(𝐸0 sen(𝛿) + E𝑑′ ) (X𝑞

′ + Z𝐿)⁄ − 𝐼𝑞] (5.2)

Donde: E0 es la magnitud de la tensión del nodo de referencia del sistema y ZL es la

magnitud de la reactancia serie de las líneas y el transformador elevador de la máquina

bajo prueba

Y las salidas 𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢) están descritas a través de las siguientes ecuaciones:

𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑧, 𝑝, 𝑢) = [ℎ1

ℎ2] = [

E𝑑′′𝐼𝑑 + E𝑞

′′𝐼𝑞 + 𝐼𝑑𝐼𝑞(X𝑑′′ − X𝑞

′′)

E𝑑′′𝐼𝑞 − E𝑞

′′𝐼𝑑 − 𝐼𝑑2X𝑑

′′−𝐼𝑞2X𝑞

′′] (5.3)

Capitulo 5 63

De acuerdo con la ecuación 2.2 el cálculo de las sensibilidades de trayectoria define un

conjunto adicional de ecuaciones diferenciales que puede ser escrito de la siguiente

forma:

Sea:

𝜕𝑥

𝜕𝑝𝑖= 𝜆𝑥

𝑝𝑖, la sensibilidad del vector de estados con respecto al parámetro i

𝜕𝑧

𝜕𝑝𝑖= 𝜆𝑧

𝑝𝑖, la sensibilidad del vector de variables algebráicas con respecto al parámetro 𝑖

𝜕𝑦

𝜕𝑝𝑖= 𝜆𝑦

𝑝𝑖, la sensibilidad del vector de salidas con respecto al parámetro 𝑖

Entonces las sensibilidades de trayectoria están dadas por:

�̇�𝑥𝑝𝑖 =


𝜕𝑥∙ 𝜆𝑥

𝑝𝑖 +𝜕𝑓(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑧∙ 𝜆𝑧

𝑝𝑖 +𝜕𝑓(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑝𝑖

0 =𝜕𝑔(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)


𝑝𝑖 +𝜕𝑔(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)


𝑝𝑖 +𝜕𝑔(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑝𝑖

𝜆𝑦𝑝𝑖 =



𝑝𝑖 +𝜕ℎ(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)


𝑝𝑖 +𝜕ℎ(𝑥,𝑧,𝑝,𝑢)

𝜕𝑝𝑖 (5.4)

Una vez obtenidas las derivadas parciales de las funciones 𝑓, 𝑔 y ℎ con respecto 𝑥, 𝑦 y 𝑧

la solución de este conjunto de ecuaciones diferenciales puede ser calculada de la

misma forma como se resuelven las ecuaciones diferenciales del modelo del generador a

través de integración trapezoidal implicita; incluyendo estas ecuaciones en la rutina que

resuelve las ecuaciones del modelo del generador.

Como ejemplo ilustrativo a continuación se determina el conjunto de ecuaciones

diferenciales que componen el cálculo de la sensibilidad de trayectoria para el parámetro

𝑋𝑑:

Al expandir las derivadas parciales para la ecuación 5.4 se obtiene:

�̇�𝜔X𝑑 =

𝜕𝑓1

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕𝑓1

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕𝑓1

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕𝑓1

𝜕E𝑞′′ 𝜆E𝑞

′′

X𝑑 +𝜕𝑓1

𝜕E𝑑′′ 𝜆E𝑑

′′

X𝑑 +𝜕𝑓1

𝜕𝐼𝑑𝜆𝐼𝑑

X𝑑 +𝜕𝑓1

𝜕𝐼𝑞𝜆𝐼𝑞

X𝑑 +𝜕𝑓1

𝜕X𝑑


�̇�𝛿

X𝑑 =𝜕𝑓2

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕𝑓2

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕𝑓2

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕𝑓2


′′

X𝑑 +𝜕𝑓2


′′

X𝑑 +𝜕𝑓2


X𝑑 +𝜕𝑓2


X𝑑 +𝜕𝑓2

𝜕X𝑑

�̇�E𝑞

′

X𝑑 =𝜕𝑓3

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕𝑓3

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕𝑓3

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕𝑓3


′′

X𝑑 +𝜕𝑓3


′′

X𝑑 +𝜕𝑓3


X𝑑 +𝜕𝑓3


X𝑑 +𝜕𝑓3

𝜕X𝑑

�̇�E𝑞

′′

X𝑑 =𝜕𝑓4

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕𝑓4

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕𝑓4

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕𝑓4


′′

X𝑑 +𝜕𝑓4


′′

X𝑑 +𝜕𝑓4


X𝑑 +𝜕𝑓4


X𝑑 +𝜕𝑓4

𝜕X𝑑

�̇�E𝑑

′′

X𝑑 =𝜕𝑓5

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕𝑓5

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕𝑓5

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕𝑓5


′′

X𝑑 +𝜕𝑓5


′′

X𝑑 +𝜕𝑓5


X𝑑 +𝜕𝑓5


X𝑑 +𝜕𝑓5

𝜕X𝑑

0 =𝜕𝑔1

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕𝑔1

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕𝑔1

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕𝑔1


′′

X𝑑 +𝜕𝑔1


′′

X𝑑 +𝜕𝑔1


X𝑑 +𝜕𝑔1


X𝑑 +𝜕𝑔1

𝜕X𝑑

0 =𝜕𝑔2

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕𝑔2

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕𝑔2

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕𝑔2


′′

X𝑑 +𝜕𝑔2


′′

X𝑑 +𝜕𝑔2


X𝑑 +𝜕𝑔2


X𝑑 +𝜕𝑔2

𝜕X𝑑

𝜆PX𝑑 =

𝜕ℎ1

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕ℎ1

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕ℎ1

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕ℎ1


′′

X𝑑 +𝜕ℎ1


′′

X𝑑 +𝜕ℎ1


X𝑑 +𝜕ℎ1


X𝑑 +𝜕ℎ1

𝜕X𝑑

𝜆QX𝑑 =

𝜕ℎ2

𝜕𝜔𝜆𝜔

X𝑑 +𝜕ℎ2

𝜕𝛿𝜆𝛿

X𝑑 +𝜕ℎ2

𝜕E𝑞′ 𝜆

E𝑞′

X𝑑 +𝜕ℎ2


′′

X𝑑 +𝜕ℎ2


′′

X𝑑 +𝜕ℎ2


X𝑑 +𝜕ℎ2


X𝑑 +𝜕ℎ2

𝜕X𝑑 (5.5)

Cada una de las derivadas parciales del conjunto de ecuaciones anterior puede ser

calculada analiticamente. Para facilitar la obtención de estas derivadas se implementó en

Matlab un código que usa la funcionalidad de cálculo simbólico. Dicho código puede ser

consultado en el Anexo B. El siguiente conjunto de ecuaciones muestra el resultado del

cálculo de dichas derivadas parciales reemplazadas en las ecuaciones 5.5 para el

parámetro 𝑋𝑑:

Sensibilidades con respecto a 𝑋𝑑

�̇�𝜔X𝑑 = 0

�̇�𝛿

X𝑑 = 𝜆𝜔X𝑑

�̇�E𝑞

′

X𝑑 = (𝐼𝑑 − 𝜆E𝑞

′

X𝑑 + 𝜆𝐼𝑑

X𝑑(X𝑑 − X𝑑′ )) T𝑑0

′⁄

Capitulo 5 65

�̇�E𝑞

′′

X𝑑 = (𝜆E𝑞

′

X𝑑 − 𝜆E𝑞

′′

X𝑑 + 𝜆𝐼𝑑

X𝑑(X𝑑′ − X𝑑

′′)) T𝑑0′′⁄

�̇�E𝑑

′′

X𝑑 = (−𝜆E𝑑

′′

X𝑑 − 𝜆𝐼𝑞

X𝑑(X𝑞′ − X𝑞

′′)) T𝑞0′′⁄

0 = −𝜆𝐼𝑑

X𝑑 − 𝜆E𝑞

′

X𝑑 (X𝑑′ + Z𝐿) − (𝐸0 𝜆𝛿

X𝑑sen(𝛿)) (X𝑑′ + Z𝐿)⁄⁄

0 = −𝜆𝐼𝑞

X𝑑 + (𝐸0 𝜆𝛿

X𝑑cos(𝛿)) (X𝑞′ + Z𝐿)⁄

𝜆PX𝑑 = 𝜆𝐼𝑑

X𝑑 (E𝑑′′ + 𝐼𝑞(X𝑑

′′ − X𝑞′′)) + 𝜆𝐼𝑞

X𝑑 (E𝑞′′ + 𝐼𝑑(X𝑑

′′ − X𝑞′′)) + 𝐼𝑑𝜆E𝑑

′′

X𝑑 + 𝐼𝑞𝜆E𝑞′′

X𝑑

𝜆QX𝑑 = 𝜆𝐼𝑞

X𝑑(E𝑑′′ − 2𝐼𝑞X𝑞

′′) − 𝜆𝐼𝑑

X𝑑(E𝑞′′ + 2𝐼𝑑X𝑑

′′) − 𝐼𝑑𝜆E𝑞′′

X𝑑 + 𝐼𝑞𝜆E𝑑′′

X𝑑 (5.6)

El conjunto de ecuaciones diferenciales (5.6) se resuelve conjuntamente con las

ecuaciones diferenciales del modelo del generador y la red para encontrar las

sensibilidades de las salidas con respecto a los parámetros 𝜆PX𝑑 y 𝜆Q

X𝑑.

El mismo procedimiento anterior es aplicado al cálculo de las sensibilidades con respecto

a los demás parámetros del modelo del generador. Las siguientes ecuaciones definen

estas sensibilidades:

Sensibilidades con respecto a 𝑋𝑞′

�̇�𝜔

X𝑞′

= 0

�̇�𝛿

X𝑞′

= 𝜆𝜔

X𝑞′

�̇�E𝑞

′

X𝑞′

= (𝜆𝐼𝑑

X𝑞′

(X𝑑 − X𝑑′ ) − 𝜆

E𝑞′

X𝑞′

) T𝑑0′⁄

�̇�E𝑞

′′

X𝑞′

= (𝜆E𝑞

′

X𝑞′

− 𝜆E𝑞

′′

X𝑞′

+ 𝜆𝐼𝑑

X𝑞′

(X𝑑′ − X𝑑

′′)) T𝑑0′′⁄


�̇�E𝑑

′′

X𝑞′

= (−𝐼𝑞 − 𝜆E𝑑

′′

X𝑞′

− 𝜆𝐼𝑞

X𝑞′

(X𝑞′ − X𝑞

′′)) T𝑞0′′⁄

0 = −𝜆𝐼𝑑

X𝑞′

− 𝜆E𝑞

′

X𝑞′

(X𝑑′ + Z𝐿) − (𝐸0 𝜆

𝛿

X𝑞′

sen(𝛿)) (X𝑑′ + Z𝐿)⁄⁄

0 = (E𝑑′ − 𝐸

0sen(𝛿)) (X𝑞

′ + Z𝐿)2−⁄ (𝜆

𝐼𝑞

X𝑞′

+ 𝐸0 𝜆𝛿

X𝑞′

cos(𝛿)) (X𝑞′ + Z𝐿)⁄

𝜆P

X𝑞′

= 𝜆𝐼𝑑

X𝑞′

(E𝑑′′ + 𝐼𝑞(X𝑑

′′ − X𝑞′′)) + 𝜆

𝐼𝑞

X𝑞′

(E𝑞′′ + 𝐼𝑑(X𝑑

′′ − X𝑞′′)) + 𝐼𝑑𝜆

E𝑑′′

X𝑞′

+ 𝐼𝑞𝜆E𝑞′′

X𝑞′

𝜆Q

X𝑞′

= 𝜆𝐼𝑞

X𝑞′

(E𝑑′′ − 2𝐼𝑞X𝑞

′′) − 𝜆𝐼𝑑

X𝑞′

(E𝑞′′ + 2𝐼𝑑X𝑑

′′) − 𝐼𝑑𝜆E𝑞′′

X𝑞′

+ 𝐼𝑞𝜆E𝑑

′′

X𝑞′

(5.7)

Sensibilidades con respecto a 𝑋𝑑′

�̇�𝜔X𝑑

′

= 0

�̇�𝛿

X𝑑′

= 𝜆𝜔X𝑑

′

�̇�E𝑞

′

X𝑑′

= (𝜆𝐼𝑑

X𝑑′

(X𝑑 − X𝑑′ ) − 𝜆

E𝑞′

X𝑑′

− 𝐼𝑑) T𝑑0′⁄

�̇�E𝑞

′′

X𝑑′

= (𝜆E𝑞

′

X𝑑′

− 𝜆E𝑞

′′

X𝑑′

+ 𝜆𝐼𝑑

X𝑑′

(X𝑑′ − X𝑑

′′) − 𝐼𝑑) T𝑑0′′⁄

�̇�E𝑑

′′

X𝑑′

= (−𝜆E𝑑

′′

X𝑑′

− 𝜆𝐼𝑞

X𝑑′

(X𝑞′ − X𝑞

′′)) T𝑞0′′⁄

0 = (E𝑞′ 𝐸0 cos(𝛿)) (X𝑑

′ + Z𝐿)2

⁄ − 𝜆E𝑞

′

X𝑑′

(X𝑑′ + Z𝐿)−𝜆𝐼𝑑

X𝑑′

− (𝐸0 𝜆𝛿

X𝑑′


0 = (𝐸0 𝜆𝛿

X𝑑′

cos(𝛿)) (X𝑞′ + Z𝐿) −⁄ 𝜆𝐼𝑞

X𝑑′

𝜆P

X𝑑′

= 𝜆𝐼𝑑

X𝑑′


′′ − X𝑞′′)) + 𝜆𝐼𝑞

X𝑑′


′′ − X𝑞′′)) + 𝐼𝑑𝜆E𝑑

′′

X𝑑′


X𝑑′

𝜆Q

X𝑑′

= 𝜆𝐼𝑞

X𝑑′


′′) − 𝜆𝐼𝑑

X𝑑′


′′) − 𝐼𝑑𝜆E𝑞′′

X𝑑′

+ 𝐼𝑞𝜆E𝑑′′

X𝑑′

(5.8)

Sensibilidades con respecto a 𝑋𝑑′′

Capitulo 5 67

�̇�𝜔X𝑑

′′

= 0

�̇�𝛿

X𝑑′′

= 𝜆𝜔X𝑑

′′

�̇�E𝑞

′

X𝑑′′

= (𝜆𝐼𝑑

X𝑑′′

(X𝑑 − X𝑑′ ) − 𝜆

E𝑞′

X𝑑′′

) T𝑑0′⁄

�̇�E𝑞

′′

X𝑑′′

= (𝜆E𝑞

′

X𝑑′′

− 𝜆E𝑞

′′

X𝑑′′

+ 𝜆𝐼𝑑

X𝑑′′

(X𝑑′ − X𝑑

′′) − 𝐼𝑑) T𝑑0′′⁄

�̇�E𝑑

′′

X𝑑′′

= (−𝜆E𝑑

′′

X𝑑′′

− 𝜆𝐼𝑞

X𝑑′′

(X𝑞′ − X𝑞

′′)) T𝑞0′′⁄

0 = −𝜆E𝑞

′

X𝑑′′


X𝑑′′

− (𝐸0 𝜆𝛿

X𝑑′′


0 = (𝐸0 𝜆𝛿

X𝑑′′


X𝑑′′

𝜆P

X𝑑′′

= 𝜆𝐼𝑑

X𝑑′′


′′ − X𝑞′′)) + 𝜆𝐼𝑞

X𝑑′′


′′ − X𝑞′′)) + 𝐼𝑑𝐼𝑞 + 𝐼𝑑𝜆E𝑑

′′

X𝑑′′


X𝑑′′

𝜆Q

X𝑑′′

= 𝜆𝐼𝑞

X𝑑′′


′′) − 𝜆𝐼𝑑

X𝑑′′


′′) − 𝐼𝑑2−𝐼𝑑𝜆E𝑞

′′

X𝑑′′


X𝑑′′

(5.9)

Sensibilidades con respecto a 𝑋𝑞′′

�̇�𝜔

X𝑞′′

= 0

�̇�𝛿

X𝑞′′

= 𝜆𝜔

X𝑞′′

�̇�E𝑞

′

X𝑞′′

= (𝜆𝐼𝑑

X𝑞′′

(X𝑑 − X𝑑′ ) − 𝜆

E𝑞′

X𝑞′′

) T𝑑0′⁄

�̇�E𝑞

′′

X𝑞′′

= (𝜆E𝑞

′

X𝑞′′

− 𝜆E𝑞

′′

X𝑞′′

+ 𝜆𝐼𝑑

X𝑞′′

(X𝑑′ − X𝑑

′′)) T𝑑0′′⁄

�̇�E𝑑

′′

X𝑞′′

= (𝐼𝑞 − 𝜆E𝑑

′′

X𝑞′′

− 𝜆𝐼𝑞

X𝑞′′

(X𝑞′ − X𝑞

′′)) T𝑞0′′⁄


0 = −𝜆E𝑞

′

X𝑞′′

(X𝑑′ + Z𝐿)−𝜆

𝐼𝑑

X𝑞′′

− (𝐸0 𝜆𝛿

X𝑞′′


0 = (𝐸0 𝜆𝛿

X𝑞′′

cos(𝛿)) (X𝑞′ + Z𝐿) −⁄ 𝜆

𝐼𝑞

X𝑞′′

𝜆P

X𝑞′′

= 𝜆𝐼𝑑

X𝑞′′


′′ − X𝑞′′)) + 𝜆

𝐼𝑞

X𝑞′′


′′ − X𝑞′′)) − 𝐼𝑑𝐼𝑞 + 𝐼𝑑𝜆

E𝑑′′

X𝑞′′


X𝑞′′

𝜆Q

X𝑞′′

= 𝜆𝐼𝑞

X𝑞′′


′′) − 𝜆𝐼𝑑

X𝑞′′


′′) − 𝐼𝑞2−𝐼𝑑𝜆E𝑞

′′

X𝑞′′

+ 𝐼𝑞𝜆E𝑑

′′

X𝑞′′

(5.10)

Sensibilidades con respecto a 𝑇𝑑0′

�̇�𝜔T𝑑0

′

= 0

�̇�𝛿

T𝑑0′

= 𝜆𝜔T𝑑0

′

�̇�E𝑞

′

T𝑑0′

= 𝜆𝐼𝑑

T𝑑0′

(X𝑑 − X𝑑′ ) T𝑑0

′⁄ − (E𝑓 − E𝑞′ + 𝐼𝑑(X𝑑 − X𝑑

′ )) T𝑑0′ 2

⁄ − 𝜆E𝑞

′

T𝑑0′

T𝑑0′⁄

�̇�E𝑞

′′

T𝑑0′

= (𝜆E𝑞

′

T𝑑0′

− 𝜆E𝑞

′′

T𝑑0′

+ 𝜆𝐼𝑑

T𝑑0′

(X𝑑′ − X𝑑

′′)) T𝑑0′′⁄

�̇�E𝑑

′′

T𝑑0′

= (−𝜆E𝑑

′′

T𝑑0′

− 𝜆𝐼𝑞

T𝑑0′

(X𝑞′ − X𝑞

′′)) T𝑞0′′⁄

0 = −𝜆E𝑞

′

T𝑑0′


T𝑑0′

− (𝐸0 𝜆𝛿

T𝑑0′

sen(𝛿)) (X𝑑′ + Z𝐿)⁄⁄ −

(𝐸0 𝜆𝛿T𝑑0

′

sen(𝛿)) (X𝑑′ + Z𝐿)⁄

0 = (𝐸0 𝜆𝛿

T𝑑0′


T𝑑0′

𝜆P

T𝑑0′

= 𝜆𝐼𝑑

T𝑑0′


′′ − X𝑞′′)) + 𝜆𝐼𝑞

T𝑑0′


′′ − X𝑞′′)) + 𝐼𝑑𝜆E𝑑

′′

T𝑑0′


T𝑑0′

𝜆Q

T𝑑0′

= 𝜆𝐼𝑞

T𝑑0′


′′) − 𝜆𝐼𝑑

T𝑑0′


′′)−𝐼𝑑𝜆E𝑞′′

T𝑑0′


T𝑑0′

(5.11)

Sensibilidades con respecto a 𝑇𝑑0′′

�̇�𝜔T𝑑0

′′

= 0

Capitulo 5 69

�̇�𝛿

T𝑑0′′

= 𝜆𝜔T𝑑0

′′

�̇�E𝑞

′

T𝑑0′′

= 𝜆𝐼𝑑

T𝑑0′′


′⁄ − 𝜆E𝑞

′

T𝑑0′′

T𝑑0′⁄

�̇�E𝑞

′′

T𝑑0′′

= 𝜆E𝑞

′

T𝑑0′′

T𝑑0′′⁄ − 𝜆

E𝑞′′

T𝑑0′′

T𝑑0′′⁄ − (E𝑞

′ − E𝑞′′ + 𝐼𝑑(X𝑑

′ − X𝑑′′)) T𝑑0

′′ 2⁄ + 𝜆𝐼𝑑

T𝑑0′′

(X𝑑′ − X𝑑

′′) T𝑑0′′⁄

�̇�E𝑑

′′

T𝑑0′′

= (−𝜆E𝑑

′′

T𝑑0′′

− 𝜆𝐼𝑞

T𝑑0′′

(X𝑞′ − X𝑞

′′)) T𝑞0′′⁄

0 = −𝜆E𝑞

′

T𝑑0′′


T𝑑0′′

− (𝐸0 𝜆𝛿

T𝑑0′′


0 = (𝐸0 𝜆𝛿

T𝑑0′′


T𝑑0′′

𝜆P

T𝑑0′′

= 𝜆𝐼𝑑

T𝑑0′′


′′ − X𝑞′′)) + 𝜆𝐼𝑞

T𝑑0′′


′′ − X𝑞′′)) + 𝐼𝑑𝜆E𝑑

′′

T𝑑0′′


T𝑑0′′

𝜆Q

T𝑑0′′

= 𝜆𝐼𝑞

T𝑑0′′


′′) − 𝜆𝐼𝑑

T𝑑0′′



T𝑑0′′


T𝑑0′′

(5.12)

Sensibilidades con respecto a 𝑇𝑞0′′

�̇�𝜔

T𝑞0′′

= 0

�̇�𝛿

T𝑞0′′

= 𝜆𝜔

T𝑞0′′

�̇�E𝑞

′

T𝑞0′′

= 𝜆𝐼𝑑

T𝑞0′′


′⁄ − 𝜆E𝑞

′

T𝑞0′′

T𝑑0′⁄

�̇�E𝑞

′′

T𝑞0′′

= 𝜆E𝑞

′

T𝑞0′′

T𝑑0′′⁄ − 𝜆

E𝑞′′

T𝑞0′′

T𝑑0′′⁄ + 𝜆

𝐼𝑑

T𝑞0′′

(X𝑑′ − X𝑑

′′) T𝑑0′′⁄

�̇�E𝑑

′′

T𝑞0′′

= (−𝜆E𝑑

′′

T𝑞0′′

− 𝜆𝐼𝑞

T𝑞0′′

(X𝑞′ − X𝑞

′′)) T𝑞0′′⁄ + (E𝑑

′′ − E𝑑′ + 𝐼𝑞(X𝑞

′ − X𝑞′′)) T𝑞0

′′ 2⁄

0 = −𝜆E𝑞

′

T𝑞0′′

(X𝑑′ + Z𝐿)−𝜆

𝐼𝑑

T𝑞0′′

− (𝐸0 𝜆𝛿

T𝑞0′′



0 = (𝐸0 𝜆𝛿

T𝑞0′′

cos(𝛿)) (X𝑞′ + Z𝐿) −⁄ 𝜆

𝐼𝑞

T𝑞0′′

𝜆P

T𝑞0′′

= 𝜆𝐼𝑑

T𝑞0′′


′′ − X𝑞′′)) + 𝜆

𝐼𝑞

T𝑞0′′


′′ − X𝑞′′)) + 𝐼𝑑𝜆

E𝑑′′

T𝑞0′′


T𝑞0′′

𝜆Q

T𝑞0′′

= 𝜆𝐼𝑞

T𝑞0′′


′′) − 𝜆𝐼𝑑

T𝑞0′′



T𝑞0′′

+ 𝐼𝑞𝜆E𝑑

′′

T𝑞0′′

(5.13)

5.1.3.2 Hessiano, Gradiente del error y actualización de parámetros

Las ecuaciones 5.6 a 5.13 son resueltas en cada iteración de la metodología de

estimación, para obtener las sensibilidades de las salidas con respecto a los parámetros

para cada vector de parámetros a ser probado. Con la solución de estas ecuaciones

diferenciales se compone la matriz de sensibilidades 𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝 de la siguiente forma


𝜕𝑝= [

𝜆PX𝑑 𝜆

P

X𝑞′

𝜆P

X𝑑′

𝜆P

X𝑑′′

𝜆P

X𝑞′′

𝜆P

T𝑑0′

𝜆P

T𝑑0′′

𝜆P

T𝑞0′′

𝜆QX𝑑 𝜆

Q

X𝑞′

𝜆Q

X𝑑′

𝜆Q

X𝑑′′

𝜆Q

X𝑞′′

𝜆Q

T𝑑0′

𝜆Q

T𝑑0′′

𝜆Q

T𝑞0′′ ] (5.14)

Se debe anotar que cada 𝜆y

p𝑖 es en realidad una trayectoria en el tiempo, por lo que la

matriz 𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝 es un tensor con el tiempo como la tercera dimension.

A continuación se calcula el gradiente del error de mínimos cuadrados entre las salidas

medidas y las simuladas:

𝐺(𝑝) = −𝜕𝐽(𝑝)

𝜕𝑝= ∑ (


𝜕𝑝)

𝑇(𝑦𝑚𝑒𝑑 − 𝑦𝑠𝑖𝑚)𝑇

𝑡=0 (5.15)

Esta matriz tendrá dimensiones 8X1 dado que toda la serie es sumada punto a punto en

el tiempo para obtener un valor representativo de la entrada correspondiente.

El paso siguiente consiste en el cálculo aproximado de la matri Hessiana, que

corresponde a las segundas derivadas de las salidas con respecto a los parámetros:

Γ(p) ≈ ∑ (𝜕𝑦𝑠𝑖𝑚

𝜕𝑝)


𝜕𝑝

𝑇𝑡=0 (5.16)

Capitulo 5 71

La matriz Hessiana tiene una dimensión de 8X8, ya que esta compuesta de la sumatoria

en la dimensión del tiempo de cada uno de los componentes.

Finalmente con la matriz Hessiana y el gradiente del error se actualiza en cada iteración

el vector de parámetros:

𝑝(𝑘+1) = 𝑝(𝑘) − Γ−1(𝑝)𝐺(𝑝) (5.17)

De esta forma se tiene un nuevo vector de parámetros que en cada iteración reduce el

error entre las salidas registradas y las simuladas.

5.2 Resultados

Con el propósito de evaluar el desempeño de la metodología implementada, se

calcularon una serie de sensibilidades que ponen a prueba el algorítmo de estimación de

parámetros ante diferentes escenarios. Primero se diseñaron casos para determinar

cuales son las desviaciones máximas iniciales en los parámetros individualmente que

permiten obtener buenos resultados de estimación. Adicionalmente se corrieron múltiples

casos con diferentes rangos de desviación aleatoria en todos los parámetros del modelo

para determinar la probabilidad de convergencia del algorítmo y finalmente se presentan

los resultados de la metodología de estimación usando como registros de salida, las

variaciones dinámicas del generador bajo prueba ante eventos en la red externa como

cambios de carga y corto–circuitos.

Los resultados de cada caso se describen en términos del error de estimación 𝐸𝑒 de los

parámetros obtenidos con respecto al vector de parámetros reales. Con este indicador se

cuantifica para cada parámetro, que tan alejada fue la estimación comparado con el

parámetro real correspondiente. De esta forma, entre más cercano sea este indicador a

cero para un parámetro dado, la estimación será de mejor calidad para ese parámetro.

La siguiente expresión cuantifica dicho error:

𝐸𝑒 =100(𝑃𝑟−𝑃𝑒)

𝑃𝑟 (5.18)

donde:

𝑃𝑟: Es el vector de parámetros reales


𝑃𝑒: Es el vector de parámetros estimados

Igualmente se presenta para cada caso evaluado la evolución con el número de

iteraciones de la función objetivo de la metodología 𝐽(𝑝), y la comparación entre la

simulación del evento seleccionado con los parámetros iniciales, los parámetros

estimados y las mediciones, para la tensión en terminales, la potencia activa y la potencia

reactiva.

El proceso de estimación de parámetros se califica como bueno cuando el algorítmo

converge y la mayoría de parámetros son estimados con errores inferiores al 5%, pero

algún parámetro termina con errores superiores al 5%. El mismo proceso es calificado

como muy bueno cuando se logra la convergencia del algorítmo y todos los parámetros

son estimados con errores inferiores al 5%. Finalmente el proceso se califica como no

exitoso cuando no se logra la convergencia del algorítmo de estimación.

5.2.1 Sensibilidad al error inicial en los parametros

Estas sensibilidades tienen como objetivo determinar la robustez de la metodología de

estimación a la variación inicial de los parámetros del modelo del generador. Con esto se

determina el rango de variación máximo para el cual el algorítmo de estimación arroja

buenos resultados.

5.2.1.1 Caso 1: Estimación de todos los parámetros simultaneamente. Desviación del 30%.

En este caso se alteraron todos los parámetros del generador uno a uno con variaciones

del 30% del parámetro real y se corrió el algorítmo de estimación para cada caso. El

algorítmo se parametrizó para estimar simultáneamente todos los parámetros del

modelo, aún cuando solo uno de ellos presenta variación respecto al real.

Tabla 3 Caso 1: Desviación de X𝑑 del -30%

Parámetro Desviación inicial [%]

𝐸𝑒 [%] 𝐽(𝑝) No.

Iteraciones Comentario

X𝑑 -30 16

0,013 20

La estimación no es buena. El algoritmo

no encuentra convergencia. Para

X𝑞′ 0 2,95

X𝑑′ 0 4,56

X𝑑′′ 0 6,12

Capitulo 5 73

X𝑞′′ 0 20,5 por máximo número

de iteraciones (20) T𝑑0′ 0 1,32

T𝑑0′′ 0 -7,24

T𝑞0′′ 0 20,8

Tabla 4 Caso 1: Desviación de X𝑞′ del -30%




X𝑑 0 20,1

0.17 20


no encuentra convergencia. Para por máximo número de iteraciones (20)

X𝑞′ -30 44

X𝑑′ 0 35

X𝑑′′ 0 10

X𝑞′′ 0 29,2

T𝑑0′ 0 -19

T𝑑0′′ 0 -20,3

T𝑞0′′ 0 20,4

Tabla 5 Caso 1: Desviación de X𝑑′ del -30%




X𝑑 0 -20,1

0,029 20



X𝑞′ 0 -19,7

X𝑑′ -30 13,5

X𝑑′′ 0 16

X𝑞′′ 0 20,3

T𝑑0′ 0 -20,04

T𝑑0′′ 0 18,7

T𝑞0′′ 0 18,9

Tabla 6 Caso 1: Desviación de X𝑑′′del -30%




X𝑑 0 -20,5

0,029 20



X𝑞′ 0 -20,1

X𝑑′ 0 18

X𝑑′′ -30 16

X𝑞′′ 0 20,3

T𝑑0′ 0 -20

T𝑑0′′ 0 20,8

T𝑞0′′ 0 20,4


Tabla 7 Caso 1: Desviación de X𝑞

′′del -30%




X𝑑 0 2,92

0,023 20



X𝑞′ 0 1,99

X𝑑′ 0 -7,88

X𝑑′′ 0 20,8

X𝑞′′ -30 16

T𝑑0′ 0 3,38

T𝑑0′′ 0 19,7

T𝑞0′′ 0 20,6

Tabla 8 Caso 1: Desviación de Td0′ del -30%




X𝑑 0 -2,9

0,044 20



X𝑞′ 0 1,02

X𝑑′ 0 7,12

X𝑑′′ 0 -4,56

X𝑞′′ 0 11,67

T𝑑0′ -30 16

T𝑑0′′ 0 3,56

T𝑞0′′ 0 20,1

Tabla 9 Caso 1: Desviación de T𝑑0′′ del -30%




X𝑑 0 -2,9

0,044 20



X𝑞′ 0 1,02

X𝑑′ 0 7,12

X𝑑′′ 0 -4,56

X𝑞′′ 0 11,67

T𝑑0′ 0 16

T𝑑0′′ -30 3,56

T𝑞0′′ 0 20,1

Capitulo 5 75

Tabla 10 Caso 1: Desviación de T𝑞0′′ del -30%




X𝑑 0 0,332

7,9x10-6 5

La estimación es buena. El algoritmo

converge. Sin embargo la

estimación del parámetro T𝑞0

′′

mejora pero el error es significativo.

X𝑞′ 0 0,589

X𝑑′ 0 0,148

X𝑑′′ 0 0,167

X𝑞′′ 0 4,366

T𝑑0′ 0 0,139

T𝑑0′′ 0 -0,389

T𝑞0′′ -30 18,142

Con base en los resultados para el Caso 1 puede concluirse que la metodología no

consigue estimar con resultados aceptables los parámetros del modelo del generador de

forma simultánea, cuando se parte de desviaciones iguales o superiores al 30% del

parámetro a estimar. Solo es posible una mejor estimación para el caso del parámetro

T𝑞0′′ el cual fue el único caso de convergencia de la metodología. Para este último caso

se presentan los resultados gráficos del proceso de estimación en las siguientes figuras:

(a)


(b)

(c)

Figura 23 Resultados estimación Tq0′′ Caso 1: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Desviación del 30% del valor real.

La Figura 23 (a) presenta el progreso del error de estimación para cada uno de los

parámetros del modelo del generador. Para este caso puede observarse un error de

estimación final menor al 5% para todos los parámetros y una reducción del error inicial

para el parámetro modificado al 18%. La Figura 23 (b) presenta la evolución de la función

objetivo y su convergenia por debajo del nivel de tolerancia en la iteración 5. La Figura 23

(c) presenta de forma conparativa la simulación del evento de escalón en la referencia

del AVR del generador, usando los parámetros inciales, los estimados y las mediciones.

Se observa que la estimación realizada en este caso reduce de forma casi imperceptible

el error en las variables medidas.

Capitulo 5 77

5.2.1.2 Caso 2: Estimación de todos los parámetros simultaneamente. Determinación de la máxima desviación.

En este caso se corrió iterativamente el algoritmo de estimación partiendo de

desviaciones cercanas al 20% para encontrar la máxima desviación de cada parámetro

que permite la convergencia del algorítmo y produce una buena estimación. Al igual que

en caso anterior, el algorítmo se parametrizó para estimar simultáneamente todos los

parámetros del modelo, aún cuando solo uno de ellos presenta variación respecto al real.

En las siguientes tablas se presentan los resultados para este nuevo caso:

Tabla 11 Caso 2: Desviación de X𝑑 del -20%


𝑬𝒆 [%] 𝑱(𝒑) No.


X𝑑 -20 4

7.13x10-6 2

La estimación es muy buena. La

convergencia se da en 2 iteraciones. El parámetro a estimar baja a un error del

4%

X𝑞′ 0 0,003

X𝑑′ 0 0,0013

X𝑑′′ 0 0,011

X𝑞′′ 0 0,03

T𝑑0′ 0 0,002

T𝑑0′′ 0 0,002

T𝑞0′′ 0 0,003

Tabla 12 Caso 2: Desviación de X𝑞′ del -16%




X𝑑 0 -0,033

1.55x10-6 7



0.05%

X𝑞′ -16 -0,051

X𝑑′ 0 -0,012

X𝑑′′ 0 -0,006

X𝑞′′ 0 -0,29

T𝑑0′ 0 -0,007

T𝑑0′′ 0 0,040

T𝑞0′′ 0 -1,28


Tabla 13 Caso 2: Desviación de X𝑑

′ del -16%




X𝑑 0 -0,0036

1.98x10-6 10



0.01%

X𝑞′ 0 -0,0059

X𝑑′ -16 -0,001

X𝑑′′ 0 0,001

X𝑞′′ 0 -0,034

T𝑑0′ 0 -0,0008

T𝑑0′′ 0 0,0055

T𝑞0′′ 0 -0,3205

Tabla 14 Caso 2: Desviación de Xd′′ del -17%




X𝑑 0 0,01

5.4x10-6 7



0.4%

X𝑞′ 0 0,0165

X𝑑′ 0 0,0022

X𝑑′′ -17 0,4

X𝑞′′ 0 0,098

T𝑑0′ 0 0,002

T𝑑0′′ 0 -0,007

T𝑞0′′ 0 0,0429

Tabla 15 Caso 2: Desviación de Xq′′ del -10%




X𝑑 0 0,007

8.8x10-7 7



0.08%

X𝑞′ 0 0,0111

X𝑑′ 0 0,0019

X𝑑′′ 0 0,0025

X𝑞′′ -10 0,0805

T𝑑0′ 0 0,0014

T𝑑0′′ 0 -0,0049

T𝑞0′′ 0 0,1055

Capitulo 5 79

Tabla 16 Caso 2: Desviación de T𝑑0′ del -17%




X𝑑 0 0,0101

7.03x10-6 6



0.4%

X𝑞′ 0 0,0187

X𝑑′ 0 0,0065

X𝑑′′ 0 0,0027

X𝑞′′ 0 0,114

T𝑑0′ -17 0,4

T𝑑0′′ 0 -0,014

T𝑞0′′ 0 0,0628

Tabla 17 Caso 2: Desviación de T𝑑0′′ del -17%




X𝑑 0 0,0072

2.53x10-6 5



0.4%

X𝑞′ 0 0,0124

X𝑑′ 0 0,007

X𝑑′′ 0 0,006

X𝑞′′ 0 0,0732

T𝑑0′ 0 -0,0005

T𝑑0′′ -17 0,4

T𝑞0′′ 0 0,0158

Tabla 18 Caso 2: Desviación de T𝑞0′′ del -20%




X𝑑 0 0,124

5.22x10-6 2

La estimación es buena. La


7.6%

X𝑞′ 0 0,218

X𝑑′ 0 0,061

X𝑑′′ 0 0,031

X𝑞′′ 0 1,395

T𝑑0′ 0 0,049

T𝑑0′′ 0 -0,194

T𝑞0′′ -20 7,649

Con base en los resultados para este caso de sensibilidad, se puede conlcuir que las

variaciones individuales de los parámetros que pueden se estimados con buenos

resultados por el algorítmo de estimación desarrollado, se encuentran entre el 10% y

20% del parámetro real. En general, para variaciones superiores al 20% con respecto al


parámetro real el algoritmo de estimación no converge; sin embargo muchos de los

resultados para los casos sin convergencia todavía pueden ser de ayuda, ya que mejoran

el desempeño del modelo al llevarlo a representar de forma más cercana el

comportamiento del sistema simulado.

Para los casos donde la desviación inicial de cada parámetro es positiva, se realizaron

las mismas simulaciones, obteniendose mejores resultados, en cuanto a que la mayoría

de los parámetros soportan variaciones entre el 15% y 25% con respecto al valor inicial

con convergencia del algorítmo de estimación.

En la siguiente figura se presenta un ejemplo del proceso de convergencia de la

metodología, para la estimación de los parámetros del modelo del generador al alterar el

parámetro 𝑋𝑞′ al 16% de su valor real:

(a)

(b)

Capitulo 5 81

(c)

Figura 24 Resultados estimación 𝑋𝑞′ Caso 2: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Determinación de la máxima desviación.

La Figura 24 muestra el proceso de convergencia para la estimación de todos los

parámetros del modelo del generador. Se observan los excelentes resultados obtenidos.

Para ilustrar el proceso de estimación considerando errores iniciales positivos en los

parámetros, se presenta en la siguiente figura la estimación para un error inicial del 25%

en el parámetro 𝑋𝑑′′.

(a)


(b)

Figura 25 Resultados estimación X𝑑′′ Caso 2: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Determinación de la máxima desviación.

(c)

El anterior ejemplo muestra que el algorítmo implementado puede estimar los parámetros

con desviaciones iniciales de hasta el 25%del valor nominal.

5.2.2 Caso 3: Estimación de todos los parámetros simultaneamente. Sensibilidad a la estimación de variaciones aleatorias.

Con el objetivo de estimar los parámetros del modelo del generador de una forma más

realista, se realizarón una serie de corridas del algorítmo diseñado, considerando

variaciones aleatorías en los parámetros iniciales en diferentes rangos.

Capitulo 5 83

La metodología inicial de estimación de parámetros se modificó para que de forma

automática se corran cien casos de estimación para cada caso, cada uno partiendo de un

vector de parámetros iniciales con desviaciones aleatorias en diferentes rangos

especificados.

En la siguiente tabla se especifica en más detalle los casos de estimación realizados:

Tabla 19 Especificación de casos con sensibilidad a la variación aleatoria inicial del

vector de parámetros

Caso No. Desviación inicial [%] Número de Casos

1 5 100

2 10 100

3 15 100

4 20 100

5 25 100

6 30 100

7 35 100

8 40 100

9 45 100

10 50 100

Para cada caso de estimación la metodología determina de forma automática si se ha

llegado o no a la convergencia del algorítmo.

En la siguiente figura se presenta un resumen de los resultados obtenidos para todos los

casos de estimación desarrollados.


Figura 26 Resultados Caso 3: Estimación simultanea de parámetros con variaciones

aleatorias

Dado que para cada nivel de variación inicial en el vector de parámetros se corrieron

gran número de casos de estimación, se podrían aproximar de forma general los

resultados de la Figura 26 a la probabilidad de convergencia del algorítmo de estimación

con base en las desviaciones aleatórias de los parámetros del modelo del generador

sincrónico. Puede concluirse que para desviaciones aleatorias dentro de ±15 % de los

parámetros reales, el algorítmo tendrá una probabilidad de éxito del 70% de encontrar

convergencia y los parámetros entregados aproximarán de una forma muy precisa el

comportamiento dinámico del modelo del generador.

Los resultados también indican que aunque se tienen bajas probabilidades de encontrar

una solución con desviaciones aleatorias de los parámetros entre el 15% y el 35%,

todavía es posible encontrar casos con resultados aceptables que mejoran el desempeño

del modelo. No obstante, es claro, que para desviaciones en los parámetros superiores al

35% el algorítmo no tiene probabilidades de encontrar convergencia, lo cual limita su uso

para modelos con parámetros demasiado desviados de la realidad.

Con el fin de detallar de mejor forma los resultados en este caso de sensibilidad, a

continuación se presentan casos particulares donde se describe el proceso de

convergencia del algorítmo.

0102030405060708090

100110

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Nú

mer

o d

e C

aso

s co

n

Co

nve

rgen

cia

Desviación Inicial del Vector de Parámetros [%]

Capitulo 5 85

Tabla 20 Caso 3: Desviación aleatoria de todos los parámetros alrededor del 30%




X𝑑 4,694 -2,37

0.0283 20

La estimación falla. El algoritmo no converge y se

presentan errores de estimación

cercanos al 25% en algunos parámetros

X𝑞′ -24,944 -0,83

X𝑑′ -17,532 4,57

X𝑑′′ -27,569 -2,05

X𝑞′′ -9,344 -1,84

T𝑑0′ 27,857 13,43

T𝑑0′′ -20,947 3,196

T𝑞0′′ -26,039 -25,21

La Figura 27 muestra el proceso de convergencia para la estimación de todos los

parámetros del modelo del generador para una desviación aleatoria inicial del vector de

parámetros de alrededor del 30%. El algorítmo de estimación no converge a los

parámetros reales. Los parámetros finales obtenidos conservan desviaciones importantes

respecto a los valores esperados.

(a)


(b)

(c)

Figura 27 Resultados estimación Caso 3: Estimación de todos los parámetros

simultaneamente. Sensibilidad a la estimación de variaciones aleatorias. Ejemplo de

desviación aleatoria alrededor del 30% de los parámetros reales

A continuación se presentan los resultados de un caso exitoso de estimación típico que

considera una desviación aleatoria alrededor del 20% en el vector de parámetros inicial.

Capitulo 5 87





X𝑑 -8,37 0,0023

2.01x10-6 5

La estimación es muy buena. El

algoritmo converge y los errores de estimación son

inferiores al 0.05%.

X𝑞′ -10,19 0,0049

X𝑑′ 8,96 0,0047

X𝑑′′ -7,19 0,0005

X𝑞′′ -6,2 0,0435

T𝑑0′ 13,49 0,0032

T𝑑0′′ 15,24 0,0005

T𝑞0′′ 0,06 0,0778

Para este caso los resultados del proceso de convergencia se presentan en la siguiente

figura:

(a)

(b)



simultaneamente. Sensibilidad a la estimación de variaciones aleatorias, con

desviación aleatoria de alrededor del 20% de los parámetros reales.

(c)

Puede observarse como todos los parámetros son progresivamente llevados al valor real,

así como la simulación para las variables más representativas presenta una alta

coherencia con las señales registradas.

5.2.3 Caso 4: Estimación de todos los parámetros considerando eventos externos – Incremento de carga

Con el objetivo de determinar si la metodología de estimación de parámetros puede ser

usada para identificar los parámetros del modelo del generador sincrónico mientras este

se encuentra en operación normal y se presentan eventos en la red de transmisión, se

diseñó un escenario donde se produce una reducción súbita de carga en la barra 2 de la

Figura 17, simulando un evento de desconexión de carga en el sistema. La reacción

dinámica del generador de estudio es registrada por medio de las variables de salida y se

toma como el vector de salidas medidas 𝑦𝑚𝑒𝑑. En este caso, se parte de un vector de

parámetros iniciales con una desviación aleatoria y se estiman simultaneamente todos

los parámetros del modelo del generador.

A continuación se presentan los resultados del proceso de estimación para un caso en el

que la desviación inicial del vector de parámetros es del 20%:

Capitulo 5 89





X𝑑 2,45 0,00518

4.5x10-6 5


algoritmo converge en 5 iteraciones y

los errores de estimación son

inferiores al 0.2%.

X𝑞′ 4,73 0,0234

X𝑑′ -10,62 -0,0149

X𝑑′′ -11,81 -0,0164

X𝑞′′ 12,52 0,124

T𝑑0′ 0,41 0,0039

T𝑑0′′ 2,18 0,027

T𝑞0′′ -0,20 -0,19


figura:

(a)

(b)



considerando eventos externos – Incremento de carga, desviación aleatoria

alrededor del 20%

(c)

Se observa que el proceso de estimación en este caso es muy efectivo y los parámetros

son correctamente identificados, haciendo que la simulación del evento corresponda de

forma muy precisa con los datos registrados.

En contraste con el caso anterior a continuación se presentan los resultados del proceso

de estimación de parámetros considernado el mismo evento de reducción de carga en el

sistema, con una desviación inicial de los parámetros alrededor del 30%.





X𝑑 -12,56 -0,29

0.0026 20

La estimación no es muy buena. El algoritmo no converge sin

embargo el modelo mejora y los errores de estimación son inferiores al 8%.

X𝑞′ -15,28 -0,13

X𝑑′ 13,44 0,51

X𝑑′′ -10,78 0,22

X𝑞′′ -9,306 2,17

T𝑑0′ 20,24 4,29

T𝑑0′′ 22,86 7,43

T𝑞0′′ -0,21 -0,15

Capitulo 5 91


figura:

(a)

(b)



considerando eventos externos – Incremento de carga, desviación aleatoria

alrededor del 30% del valor real

(c)

De la anterior figura se puede concluir que aunque el algorítmo de estimación no

converge, los parámetros obtenidos en la iteración 20 son mucho más cercanos a los

parámetros reales, lo que hace que la simulación del evento de pérdida de carga sea

muy cercana a la realidad. Para variaciones aleatorias superiores al 30% en el vector de

parámetros las probabilidades de convergencia son muy bajas y los errores de

estimación son mayores.

5.2.4 Caso 5: Estimación de todos los parámetros considerando eventos externos – Corto-circuito y apertura de línea

Al igual que en el caso anterior, se pretende determinar si la metodología de estimación

puede ser usada para identificar los parámetros del modelo del generador aprovechando

su respuesta dinámica ante eventos en la red externa. En este caso se modificó la red de

prueba, para adicionar una línea entre los nodos 2 y 3, con el proposito de simular un

corto-circuito trifásico en cercanías de la barra 2, durante 100 ms y posteriormente

provocar la salida de la línea fallada. La respuesta del generador sujeto a la prueba de

estimación es registrada, antes y durante el evento para generar el vector de mediciones

ymed. En la siguiente figura se presenta la nueva red y sus condiciones iniciales.

Capitulo 5 93

Figura 31 Red de prueba para evento externo – Falla 3F en cercanías de barra 2

Para la estimación de los parámetros del modelo del generador bajo estudio

considerando el evento descrito, se partío de un vector de parámetros con una

desviación aleatoria alrededor del 20%. Los resultados del proceso de estimación se

resumen en la siguiente tabla:

Equivalentede Red

GeneradorBajo Estudio

2

223.0

331 k

V0.9

697 p

.u.

-1.8

920 d

eg

4

13.8

000 k

V1.0

000 p

.u.

5.9

292 d

eg

3

226.1

584 k

V0.9

833 p

.u.

1.1

759 d

eg

1

236.9

000 k

V1.0

300 p

.u.

0.0

000 d

eg

Línea 3

-109.3

887 M

W-1

6.5

382 M

var

110.0

000 M

W17.6

066 M

var

Delta Carga

0.0

000 M

W0.0

000 M

..

G~

220.0

000 M

W54.2

282 M

var

G ~

82.2

123 M

W121.5

275 M

var

Carga

300.0

000 M

W150.0

000 M

var

Línea 2

-81.2

226 M

W-1

16.9

237 ..

82.2

123 M

W121.5

275 M

var

Línea 1

110.0

000 M

W17.6

066 M

var

-109.3

887 M

W-1

6.5

382 M

var

Trafo Elevador

-220.0

000 M

W-3

5.2

131 M

var

220.0

000 M

W54.2

282 M

var

DIg

SIL

EN

T






X𝑑 -15.64 -0.0021

3.6x10-6 14



los errores de estimación son

inferiores al 0.12%.

X𝑞′ -18.37 -0.0095

X𝑑′ -1.89 -0.0008

X𝑑′′ 14.45 0.0016

X𝑞′′ 14.03 -0.05

T𝑑0′ 9.7 -0.0016

T𝑑0′′ -13.63 0.0008

T𝑞0′′ -0.56 -0.12


figura:

(a)

Capitulo 5 95

(b)


considerando eventos externos – Corto-circuito y apertura de línea, desviación

aleatoria alrededor del 20% del valor nominal

(c)

De la figura anterior puede observarse como el algorítmo reduce el error de estimación

con el paso de las iteración y los parámetros estimados convergen a los parámetros

reales, con lo cual se logra que la simulación del evento sea muy ajustada a los registros.

El algorítmo se corrió nuevamente para el mismo evento externo considerando una

desviación aleatoria del 30% de los parámetros iniciales del modelo del generador.

Los resultados de esta corrida se presentan en la siguiente tabla:






X𝑑 8.9 3x10-5

5x10-6 5



los errores de estimación son inferiores al 2%.

X𝑞′ -19.85 4x10-5

X𝑑′ -5.12 4x10-5

X𝑑′′ -2.98 4x10-5

X𝑞′′ -25.03 -0.025

T𝑑0′ 12.85 0.31

T𝑑0′′ -15.43 1.73

T𝑞0′′ 0.95 0.003


figura:

(a)

(b)

Capitulo 5 97


considerando eventos externos – Corto-circuito y apertura de línea, con desviación

aleatoria alrededor del 30% del valor real

(c)

En este caso se encontró convergencia del algorítmo de estimación para un vector de

parámetros iniciales con una desviación aleatoria alrededor del 30%. Los resultados son

muy buenos y los parámetros convergen a los parámetros reales.

5.2.5 Caso 6: Estimación de todos los parámetros considerando el ruido de medición

El objetivo de este caso de sensibilidad se enfoca en determinar como es afectado el

algorítmo de estimación de parámetros al considerar los ruidos propios de medición de

las variables usadas como base para el proceso de estimación.

El ruido de medición se encuentra asociado a la precisión de los instrumentos de medida,

por lo que a mayor precisión, menores serán los niveles de ruido en las señales usadas

para realizar la estimación.

Para simular el ruido en las variables medidas de potencia activa y reactiva, se generaron

componentes con ruido que se suman a la señal sin ruido para la tensión en terminales y

la corriente en el estator del generador bajo prueba. A partir de las nuevas señales de

tensión y corriente, se obtienen las potencias.


El ruido de medición se simula como una función aleatoria con distribución normal con

media igual a la señal medida (sin ruido) y desviación estándar igual al error de escala

completa de cada uno de los medidores. Con base en lo anterior, las señales de tensón y

corriente afectadas por el ruido de medición simulado se pueden expresar de la siguiente

forma:

𝑉𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉 + 𝑉 (𝑒𝑓𝑠𝑉

100∙

𝑉𝑛

𝑉𝑓𝑠)𝑁(0,1) (5.19)

𝐼𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝐼 + 𝐼 (𝑒𝑓𝑠𝐼

100∙

𝐼𝑛

𝐼𝑓𝑠)𝑁(0,1) (5.20)

donde:

𝑉: Es la tensión en terminales sin ruido [p.u.]

𝑒𝑓𝑠𝑉: Es el error de escala completa del instrumento de medición en tensión [%]

𝑉𝑛: Es la tensión nominal en bornes del generador (𝑉𝑛 = 13.8 𝑘𝑉)

𝑉𝑓𝑠: Es la tensión de escala completa del instrumento de medición, para este caso:𝑉𝑓𝑒 =

20 𝑘𝑉

𝐼: Es la corriente en el estator sin ruido referida a la base del generador [p.u.]

𝑒𝑓𝑠𝐼: Es el error de escala completa del instrumento de medición en corriente [%]

𝐼𝑛: Es la tensión nominal en bornes del generador, para este caso: 𝐼𝑛 =

270 𝑀𝑉𝐴 (√3 ∙ 13.8 𝑘𝑉)⁄ = 11.296 𝑘𝐴

𝐼𝑓𝑠: Es la corriente de escala completa del instrumento de medición, para este caso 𝐼𝑓𝑒 =

20 𝑘𝐴

𝑁(0,1): Es la función de densidad de probabilidad normal estándar

Después de calcular las señales medidas de tensión y corriente considernado el ruido de

medición, se calculan las potencias activa y reactiva de acuerdo a las siguientes

expresiones.

Capitulo 5 99

𝑃𝑒_𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜𝐼𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 cos(𝐴𝑛𝑔(𝑉) − 𝐴𝑛𝑔(𝐼)) (5.21)

𝑄𝑒_𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜𝐼𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 sen(𝐴𝑛𝑔(𝑉) − 𝐴𝑛𝑔(𝐼)) (5.22)

Con el uso de las ecuaciones 5.19 a 5.22 se realizaron simulaciones de la respuesta del

generador ante un evento de cambio súbito en la referencia de tensión del AVR; cada

una considerando niveles crecientes en los errores de escala completa 𝑒𝑓𝑠𝑉 y 𝑒𝑓𝑠𝐼 y

asumiendo en todos los casos los parámetros reales del generador. Como resultado se

generó un conjunto de variables medidas 𝑦𝑚𝑒𝑑 con componentes de ruido dado por 𝑒𝑓𝑠𝑉

y 𝑒𝑓𝑠𝐼 entre 0 y 3%. Para cada uno de estos conjuntos se corrió el algorítmo es

estimación partiendo del mismo vector de parámetros iniciales con una desviación inferior

al 20% y se evaluaron los resultados obtenidos. En las siguientes tablas se presentan

dichos resultados:

Tabla 26 Caso 6: Sensibilidad del algoritmo de estimación al ruido de medición

𝒆𝒇𝒔𝑽 y 𝒆𝒇𝒔𝑰 [%]

𝑱(𝒑) 𝑰𝒕𝒆𝒓 𝑬𝒆𝒎𝒂𝒙

[%] Resultado

0 2.9x10-6 5 2.9 Algorítmo converge, excelente estimación

0.0025 3.3x10-6 6 2.9 Algorítmo converge, excelente estimación



0.01 1.3x10-5 20 2.9 Algorítmo muy cerca de convergencia. El error se reduce y el modelo mejora



0.02 2.3x10-5 20 2.9 Algorítmo cerca de convergencia. El error se reduce y el modelo mejora



0.06 1.9x10-4 20 3.1 Algorítmo no converge. El error se reduce y el modelo mejora

0.08 3.1x10-4 20 2.9 Algorítmo no converge. El error se reduce y el modelo mejora

0.1 6x10-4 20 5 Algorítmo no converge. El error se reduce y el modelo mejora

0.14 0.0011 20 4.8 Algorítmo no converge. El error se reduce y el modelo mejora


𝒆𝒇𝒔𝑽 y 𝒆𝒇𝒔𝑰 [%]

𝑱(𝒑) 𝑰𝒕𝒆𝒓 𝑬𝒆𝒎𝒂𝒙

[%] Resultado

0.18 0.0015 20 7 Algorítmo no converge. El error se reduce a la mitad y el modelo mejora

0.22 0.0025 20 10.6 Algorítmo no converge. El error se reduce poco pero el modelo mejora

0.26 0.0032 20 6.9 Algorítmo no converge. El error se reduce poco pero el modelo mejora

0.3 0.004 20 11 Algorítmo no converge. El error se reduce poco pero el modelo mejora

En la siguiente figura se presenta en forma gráfica la evolución del error 𝑱(𝒑) con la

precisión en la medida. La calidad de la estimación y la convergencia del algorítmo son

determinadas a través de error 𝑱(𝒑)

Figura 34 Resultados estimación Caso 6: Sensibilidad al ruido de medición

La anterior figura muestra el comportamiento fuertemente no lineal de la calidad de la

estimación de parámetros, al considerar cada vez menor precisión en la medición. Se

observa como a partir de errores de escala completa mayores a 0.08 % se deteriora

fuertemente la calidad de la estimación.

A modo comparativo en las sigiuentes figuras se presentan los resultados del proceso de

estimación para cinco niveles de ruido diferentes, correspondientes a errores de escala

completa 𝑒𝑓𝑠𝑉 y 𝑒𝑓𝑠𝐼 de 0 %, 0.0075 %, 0.02 %, 0.1 % y 0.3%

Capitulo 5 101

𝒆𝒇𝒔𝑽 y 𝒆𝒇𝒔𝑰 de 0 [%] (a)

𝒆𝒇𝒔𝑽 y 𝒆𝒇𝒔𝑰 de 0.0075 [%] (b)

𝒆𝒇𝒔𝑽 y 𝒆𝒇𝒔𝑰 de 0.02 [%] (c)


𝒆𝒇𝒔𝑽 y 𝒆𝒇𝒔𝑰 de 0.1 [%] (d)

𝒆𝒇𝒔𝑽 y 𝒆𝒇𝒔𝑰 de 0.3 [%] (e)

Figura 35 Resultados estimación Caso 6: Comparación de resultados del proceso de

estimación para diferentes niveles de ruido de medición

Para concluir el análsis de sensibilidad al ruido de medición se seleccionó un caso

particular con un errores de escala completa 𝑒𝑓𝑠𝑉 = 0.2% y 𝑒𝑓𝑠𝐼 = 0.3%, típicos de

medidores convensionales en bornes del generador, y se filtraron las señales con ruido

antes de aplicar el proceso de estimación. Las señales filtradas resultantes se tomaron

como variables medidas y se aplicó el proceso de estimación. Para este caso se

diseñaron dos tipos de filtro, uno pasa bajos y otro de media móvil.

En las siguiente figura se presentan en forma comparativa las señales con ruido

originales y las filtadas con cada uno de los dos tipos de filtro:

Capitulo 5 103

Señales con ruido 𝒆𝒇𝒔𝑽 = 𝟎. 𝟐% y 𝒆𝒇𝒔𝑰 = 𝟎. 𝟑% Vs. Señal con filtro pasa bajos (a)

Señales con ruido 𝒆𝒇𝒔𝑽 = 𝟎. 𝟐% y 𝒆𝒇𝒔𝑰 = 𝟎. 𝟑% Vs. Señal con filtro de media móvil (b)

Figura 36 Resultados estimación Caso 6: Comparación de señales medidas filtradas

antes del proceso de estimación

En la siguiente figura se presenta el resultado del proceso de estimación de parámetros

usando como datos medidos las señales filtradas a través de un filtro pasa bajos:


Resultados con filtro pasa bajos (a)

Resultados con filtro de media móvil (b)

Figura 37 Resultados estimación Caso 6: Comparación de resultados del proceso de

estimación. Filtro pasa bajos Vs. Filtro de media móvil

De la figura anteriro puede observarse que el suso de filtros para reducir el ruido derivado

de la medición, no conduce a buenos resultados del proceso de estimación. Esto puede

explicarse a que los filtros usados cambian la fase de las oscilaciones que se producen

después de la perturbación, lo cual altera de forma significativa el error 𝑱(𝒑), el cual es un

parámetro determinante en la estimación.

Con esta sensibilidad puede concluirse que el filtrado de las señales medidas en busca

de reducir el ruido de medición, no lleva a mejores resultados de estimación si se toma

como base la aplicación de la metodología a las señales originales con contenido de

ruido.

De acuerdo con los resultados para la sensibilidad al ruido de medición pueden

concluirse lo siguiente:

En forma general puede decirse que el ruido de medición afecta en forma

determinante el proceso de identificación de parámetros y conduce a la no

convergencia del algoritmo de estimación para errores de escala completa

mayores a 0.0075 %.

Capitulo 5 105

Aunque no se alcanza la convergencia a partir del error de escala completa

mensionado, el algoritmo logra mejorar de forma apreciable el comportamiento

dinámico del modelo, reduciendo el error entre la simulación y las mediciones.

Este comportamiento es verificado para errores de escala completa inferiores a

0.14%.

Para errores de escala completa en los equipos de medición mayores a 0.15%,

adicionalmente a no lograr convergencia, el algoritmo produce resultados

parciales de baja calidad.

La aplicación de filtros convencionales como pasa bajos o media móvil a las

señales medidas, reduce el ruido de medición pero afecta negativamente el

proceso de estimación, conduciendo a la no convergencia del algoritmo y

produciendo resultados no confiables.

5.3 Resumen y observaciones

De acuerdo con los casos estudiados en las sensibilidades a eventos externos, puede

concluirse que el algorítmo de estimación diseñado puede ser usado con éxito

aprovechando la operación normal del generador y el registro de variables como tensión

y potencias activa y reactiva ante perturbaciones externas en el sistema como eventos de

cambio de carga o cortocircuitos en cercanías al generador.

Con base en los resultados presentados en este capítulo, puede concluirse que la

metodología de estimación de parámetros diseñada presenta excelentes resultados al

lograr la correcta identificación de los parámetros del modelo del generador, pudiendo ser

usada tanto bajo ambiente de pruebas en planta al inyectar escalones en la referencia de

tensión del AVR como ante eventos en la red externa. La efectividad del algorítmo se

reduce a medida que los parámetros inicilales se desvían de los reales. Los resultados

indican que para desviaciones inferiores al 20% el algorítmo encontrará con alta

probabilidad parámetros muy cercanos a los reales.

Aun cuando la metodología de estimación de parámetros produce en general buenos

resultados, se debe resaltar una limitación importante relacionada con el ruido del

proceso de medición. Los análisis realizados en este sentido muestran la necesidad de

instrumentos de medición con precisiones extremadamente altas para hacer su uso


viable en aplicaciones reales. Por otra parte se puede trabajar en el mejoramiento del

algorítmo de estimación para hacerlo mucho más robusto frente al ruido de medición, al

realizar por ejemplo la estimación de parámetros por etapas, abordando primero la

solución del problema para los parámetros con mayores sensibilidades y etapas

posteriores de estimación para otros parámetros, igualmente se puede pensar en usar

diferentes tipos de eventos y determinar cuales se prestan para determinar ciertos

parámetros, mietras se dejan otros fijos a la espera de eventos que hagan viable su

estimación.

6 Conclusiones y recomendaciones

6.1 Conclusiones

A medida que se alcanzan nuevos límites en el cada vez más estresado sistema de

potencia, es cada vez más importante refinar los modelos matemáticos del sistema. Esta

demostrado que la planeación correcta del sistema depende en gran medida de los

modelos con los que se planea y opera el sistema, estos modelos requieren de gran

precisión si se pretenden dar las señales adecuadas para garantizar la calidad y

seguridad operativas. En este orden de ideas, la determinación y validación de los

parámetros del modelo dinámico, no solo del generador sino del resto de elementos del

sistema de potencia es una necesidad plenamente justificada. Esta tesis hizo una

revisión básica del estado del arte en torno al tema de estimación de parámetros del

modelo del generador sincrónico. Se evidenciaron una gran cantidad de aproximaciones

para dar respuesta a este requerimiento y se concluyó que todavía sigue siendo un tema

de gran interés académico y por lo tanto se pueden esperar mayores avances en esta

materia.

El presente trabajo de tesis presentó una metodología que entrega buenos resultados, al

tiempo que exije la menor intervención posible sobre el generador y sus controles

asociados.

Se desarrolló una metodología de estimación de parámetros basada en sensibilidad de

trayectoria que puede mejorar ostensiblemente los modelos de generadores sincrónicos

usados para la planeación del sistema. Aunque los buenos resultados están limitados a

desviaciones máximas cercanas al 20% de los parámetros, la técnica implementada es

una buena herramienta para la estimación de los parámetros del generador. En muchos

casos, aun cuando no se logre la convergencia del algoritmo para desviaciones de los

parámetros superiores al 20%, los resultados parciales mejoran el modelo del que

inicialmente se ha partido, lo cual extiende la aplicabilidad de la herramienta propuesta.

Mediante el diseño casos de sensibilidad adicionales, pudo comprobarse que la

metodología de estimación propuesta no solo puede ser aplicada con éxito en ambientes

de prueba controlados sobre el sistema de excitación, sino también a través de la captura

del comportamiento dinámico del generador como respuesta a eventos externos en la red

de transmisión. Se estableció que pueden usarse los registros ante eventos de cambio

de carga súbitos y cortocircuitos en cercanías al generador.

Aunque la técnica de estimación implementada entrega en general muy buenos

resultados, se observaron limitaciones, no solo en casos donde las desviaciones en los


parámetros son mayores al 20%, sino en casos en los que los ruidos propios del proceso

de medición son los típicos. Esto hace que deban usar medidores de muy alta precisión.

Se demostró igualmente que la aplicación de técnicas de filtrado convensionales no

llevan a mejores estimaciones.

6.2 Recomendaciones

Para dar continuidad al mejoramiento de la herramienta propuesta, se debe

trabajar en el incremento de la robustez de la misma; entendiendo la robustez

como la capacidad del algoritmo para converger y dar excelentes resultados para

desviaciones iniciales mayores al 20% en los parámetros iniciales.

Adicionalmente se debe trabajar en la tolerancia del algoritmo a los errores de

medición para extender su uso con medidores comunes.

Con base en el análisis realizado a las sensibilidades y con el objetivo de mejorar

la robustez es posible profundizar en variantes a la metodología propuesta, tales

como la realización de la estimación de parámetros en dos o más fases, basadas

en la estimación de los parámetros con sensibilidades más grandes en las

primetras etapas, para continuar con la estimación de los parámetros con

menores sensibilidades en etapas posteriores.

Un camino paralelo de desarrollo debe encaminarse al uso de mediciones de las

variables de salida del generador a través de PMUs (Unidades de Medición

Fasorial) y su posible aplicación para medir el ángulo del rotor del generador, con

lo cual se podría mejorar el proceso de estimación.

Bibliografía

[1] J. Machowski, J. W. Bialek, and J. R. Bumby, Power system dynamics stability

and control. Chichester, U.K.: Wiley, 2008.

[2] P. Kundur, Power system stability and control. New York: McGraw-Hill, 1994.

[3] P. C. Krause, Analysis of electric machinery and drive systems, 2nd ed. New York:

IEEE Press, 2002.

[4] Institute of Electrical and Electronics Engineers and IEEE-SA Standards Board,

IEEE guide for test procedures for synchronous machines. Part I, Part II, Acceptance and

performance testing. Test procedures and parameter determination for dynamic analysis.

New York: Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2010.

[5] M. Ghomi and Y. N. Sarem, “Review of synchronous generator parameters

estimation and model identification,” in Universities Power Engineering Conference, 2007.

UPEC 2007. 42nd International, 2007, pp. 228–235.

[6] E. P. T. Cari, “Estimaçao dos Parmetros da màquina sìncrona e seu sistema de

excitaçao.” Dissertaçao de Mestrado apresentada `a Escola de Engenharia de São

Carlos, da Universidade de São Paulo, 2005.

[7] M. Karrari and O. P. Malik, “Identification of physical parameters of a synchronous

generator from on-line measurements,” in IEEE Power Engineering Society General

Meeting, 2003, 2003, vol. 3, p. -.

[8] I. M. Canay, “Determination of the model parameters of machines from the

reactance operators xd(p), xq (p) (evaluation of standstill frequency response test),” IEEE

Trans. Energy Convers., vol. 8, no. 2, pp. 272–279, Jun. 1993.

[9] J. W. Dougherty and S. H. Minnich, “Finite Element Modeling of Large Turbine

Generators; Calculations Versus Load Test Data,” IEEE Trans. Power Appar. Syst., vol.

PAS-100, no. 8, pp. 3921–3929, Aug. 1981.

[10] K. Weeber, “Determination of dynamic parameters of large hydro-generators by

finite-element simulation of three-phase sudden short-circuit tests,” in Electric Machines

and Drives Conference Record, 1997. IEEE International, 1997, pp. MC1/13.1–MC1/13.3.

[11] H. B. Karayaka, A. Keyhani, G. T. Heydt, B. L. Agrawal, and D. A. Selin,


“Synchronous generator model identification and parameter estimation from operating

data,” IEEE Trans. Energy Convers., vol. 18, no. 1, pp. 121–126, 2003.

[12] E. P. T. Cari, L. F. C. Alberto, and N. G. Bretas, “A methodology for parameter

estimation of synchronous generators based on trajectory sensitivity and synchronization

technique,” in IEEE Power Engineering Society General Meeting, 2006, 2006, p. 6 pp.–.

[13] M. T. Mendoza, E. Ruppert, and J. C. P. Suni, “Using trajectory sensitivity for

different models and operation conditions for synchronous generator parameter

estimation,” in 2010 XIX International Conference on Electrical Machines (ICEM), 2010,

pp. 1–6.

[14] J. J. Sanchez-Gasca, C. J. Bridenbaugh, C. E. J. Bowler, and J. S. Edmonds,

“Trajectory sensitivity based identification of synchronous generator and excitation system

parameters,” IEEE Trans. Power Syst., vol. 3, no. 4, pp. 1814–1822, Nov. 1988.

[15] L. . Aguirre, “Controllability and observability of linear systems: some noninvariant

aspects,” IEEE Trans. Educ., vol. 38, no. 1, pp. 33–39, Feb. 1995.

[16] Concordia, C., “Synchronous Machines. Theory and Performance.” John Wiley &

Sons, Inc., Nwe York-1951.

[17] “Recommended Phasor Diagram for Synchronous Machines,” IEEE Trans. Power

Appar. Syst., vol. PAS-88, no. 11, pp. 1593–1610, Nov. 1969.

[18] “IEEE Recommended Practice for Excitation System Models for Power System

Stability Studies,” IEEE Std 4215-2005 Revis. IEEE Std 4215-1992, pp. 0_1–85, 2006.

[19] A. Ioinovici, Computer-aided analysis of active circuits. New York: M. Dekker,

1990.

[20] W. H. Press, Ed., Numerical recipes in C: the art of scientific computing, 2nd ed.

Cambridge ; New York: Cambridge University Press, 1992.

[21] DIgSILENT GmbH, “DIgSILENT Technical Documentation - General Load Model,

Build 507 30.10.2008.” 2008.

[22] Institute of Electrical and Electronics Engineers. and IEEE-SA Standards Board.,

IEEE guide for test procedures for synchronous machines. Part I, Part II, Part I, Part II,.

New York: Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2010.

[23] Chen, Y., Zhang, C., Hu, Z. e Wang, X. (2000). A new approach to real time

measurement of power angles of generators at different locations for stability control,

IEEE Power Engineering Society Winter Meeting 2: 1237–1242.

[24] IEEE Committee Report. "Current Usage and Suggested practices in Power

System Stability Simulations for Synchronous Machines", IEEE Transactions on Energy

Conversion, Vol. EC- I, No. 1, March 1986, pp. 77-93.

Bibliografía 111

[25] H. Saadat, Power System McGraw-Hill Inc., 1999.

[26] Dandeno P.L., Kundur, P., Poray, A-T, Coultes, ME,, "Validation of

Turbogenerator Stability Models by Comparison with Power System Tests", IEEE Trans.

on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-100, No. 4, April 1981. pp. 1637- 1645.

[27] Dandeno, P.L., Poray, A.T.," Development of Detailed Turbogenerator Equivalent

Circuits from Standstill Frequency Response Measurements", IEEE Trans. on Power

Apparatus and Systems, Vol. PAS-100, No. 4, April 198 1. pp. 1646- 1655.

[28] Canay, I.M., "Determination of Model Parameters of Machines From The

Reactance Operators Xd(s), Xq(s)", IEEE Trans. on Energy Conversion. Vol. EC-8, No. 2,

June 1993, pp.272-279.

[29] Minnich,S.H., Schulz, R.P ., Baker, D.H., Farmer, R.G. ,Sharma, D.K.,Fish,J.H.,

"Saturation Functions For Synchronous Generators From Finite Elements", IEEE Trans.

on Energy Conversion, Vol. EC-2, No. 4. Dec. 1987, pp. 680-692.

[29] Zali, S. M. Ariffin, A. E. Mohamed, A. e A., H. (2000). Implementation of

synchronous machine parameter derivation in matlab, IEEE TENCON 2000. Proceedings

1: 218–223.

[30] Vermeulen, H., Strauss, J. M. e J.M., S. (2002). Online estimation of syn-

chronous generator parameters using prbs perturbations, IEEE Transactions on Power

System 17: 694–700.

[31] Weeber, K. (1997). Determination of dynamic parameter of large hydro-

generators by finite element simulation of three phase sudden short circuit tests, Electric

Machines and Drives Conference Record 10.

[32] Soliman, S. A. e Alkandari, A. (1996). Optimal parameter estimation of syn-

chronous machines from the digitized sudden short-circuit armature current, IEEE

AFRICON 4th 1.

[33] Tomovic, R. (1963). Sensitivity Analysis of Dynamic System, McGraw-Hill.

[34] Touhami, O., Guesbaoni, H. e Iung, C. (1994). Synchronous machine parameter

identification by a multitime scale technique, IEEE Transactions on Industry Applications

30.

[35] Tso, S. K. e Cheung, S. P. (1994). Consideration of excitation control for transient

stability assessment, Proccedings of the Third IEEE Conference on Control Application 1:

485–490.

[36] HUANG, Z.; KOSTEREV, M.; GUTTROMSON, R.; NGUYEN, T. Model validation

with hybrid dynamic simulation. Power Engineering Society General Meeting, 2006. IEEE,

p. 9 pp.–, June 2006.


[37] HUANG, Z.; KOSTEREV, M.; GUTTROMSON, R.; NGUYEN, T. Model validation

of power system components using hybrid dynamic simulation. Power Engineering

Society General Meeting, 2007. IEEE, p. 9 pp.–, June 2007.

[38] HUANG, Z.; YANG, B.; KOSTEREV, D. Benchmarking of planning models using

recorded dynamics. IEEE Power and Energy Society Power Systems Conference and

Exposition 2009, Seattle, WA, 2009.

[39] CIPRIANI, E.; COSTA, A. J. A. S. Ana ́lise de observabilidade e criticidade de

medidas na estimac ̧̃ao de estados em sistemas de potˆencia considerando medi ̧c ̃oes

fasoriais sincronizadas. Congresso Brasileiro de Autom ́atica - CBA, Bonito, MS,

Setembro 2010.

[40] ARRILLAGA, J.; ARNOLD, C. P.; HARKER, B. J. Computer Modelling of Electrical

Power Systems. [S.l.]: John Wiley & Sons, 1983.

[41] BURTH, M.; VERGHESE, G. C.; V ́eLES-REYES, M. Subset selection for

improved parameter estimation in on-line identification of a synchronous generator. IEEE

Transactions on Power Systems, 1999.

[42] ONG, Chee – Mung, “Dynamic Simulation of Electric Machinery”, Prentice

Hall,1998.

[43] EMGESA, “Informe de Homologación C.H. El Guavio – Unidad 1, Informe Técnico

EE-ES-2012-324”, Estudios Eléctricos, 28 de septiembre de 2102.

A. Anexo 1: Código en Matlab Para la

Simulación del Sistema de Potencia de

Prueba

Anexo 1 114

El siguiente código es usado para simular el generador sincrónico bajo prueba conectado

al sistema de potencia de la Figura 15. Este script es usado como una función que es

llamada por el optimizador en cada iteración para obtener las sensibilidades de

trayectoria de las salidas con respecto a los parámetros y las salidas simuladas con un

juego de parámetros de entrada. Las condiciones iniciales del sistema y el evento

simulado deben ser modificadas en este script para el caso correspondiente a las salidas

reales registradas.

function [ycalc,tiempo,Lambda_y] = Modelo_Gen_AVR_P_Sens_Explicitas (P) %% Modelo de generador sincrÛnico - trafo elevador - linea conectado a

barra infinita. % este modelo representa una maquina sincrÛnica con el modelo de % quinto orden Machowski pg. 455, Este modelo considera que Xq'= Xq y

Ed'= 0:

% wp = (wn/2H)(Pm - Pe) % dp = w - wn % Eq'p = (Efd - Eq' + Id(Xd - Xd'))/T'd0 % Eq''p = (Eq' - Eq'' + Id(Xd' - Xd''))/T''d0 % Ed''p = (Ed' - Ed'' - Iq(Xq' - Xq''))/T''q0

% Pe = Ed''Id + Eq''Iq + (Xd'' - Xq'')IdIq % Qe = Ed''Iq - Eq''Id - Xd''Id^2 - Xq''Iq^2 - re*(Id-Iq)

% %% Define por teclado el evento a simular % clear all % disp('Defina el evento a simular'); % disp('1 >>> Step Vref AVR Gen4, 2 >>> Incremento de Carga Nodo2,

3 >>> ReducciÛn de Carga Nodo2 4 >>> Sin evento'); % evento= input('Tipo de Evento ='); % disp('Defina el tiempo del evento en segundos'); % Tevento= input('Tevento ='); Tend=10; % Tiempo total de simulaciÛn dt=0.01; % paso integracion evento=1; % Tipo de evento Tevento=0.05; % Tiempo de ocurrencia del evento

%% Reserva espacio en memoria para las variables de resultados, haciendo

vectores de ceros con el % n˙mero de puntos a simular numpuntos=1+(Tend/0.01); speed1=zeros(1,numpuntos); speed4=zeros(1,numpuntos); Delta1=zeros(1,numpuntos); Delta4=zeros(1,numpuntos); Ve4=zeros(1,numpuntos); teta1=zeros(1,numpuntos); teta2=zeros(1,numpuntos); teta4=zeros(1,numpuntos);

Anexo 1 115

fehz1=zeros(1,numpuntos); fehz4=zeros(1,numpuntos); fehz2=zeros(1,numpuntos); PE1=zeros(1,numpuntos); PE4=zeros(1,numpuntos); PM1=zeros(1,numpuntos); PM4=zeros(1,numpuntos); AbsV1=zeros(1,numpuntos); AbsV2=zeros(1,numpuntos); AbsV3=zeros(1,numpuntos); AbsV4=zeros(1,numpuntos); AngV1=zeros(1,numpuntos); AngV2=zeros(1,numpuntos); AngV3=zeros(1,numpuntos); AngV4=zeros(1,numpuntos); AbsI1=zeros(1,numpuntos); AbsI4=zeros(1,numpuntos); AngI1=zeros(1,numpuntos); AngI4=zeros(1,numpuntos); Q1=zeros(1,numpuntos); Q4=zeros(1,numpuntos); tiempo=zeros(1,numpuntos); % Sensibilidades Lamda_Pe_Xd=zeros(1,numpuntos); Lamda_Qe_Xd=zeros(1,numpuntos); Lamda_Pe_Xqp=zeros(1,numpuntos); Lamda_Qe_Xqp=zeros(1,numpuntos); Lamda_Pe_Xdp=zeros(1,numpuntos); Lamda_Qe_Xdp=zeros(1,numpuntos); Lamda_Pe_Xdpp=zeros(1,numpuntos); Lamda_Qe_Xdpp=zeros(1,numpuntos); Lamda_Pe_Xqpp=zeros(1,numpuntos); Lamda_Qe_Xqpp=zeros(1,numpuntos); Lamda_Pe_Tdp0=zeros(1,numpuntos); Lamda_Qe_Tdp0=zeros(1,numpuntos); Lamda_Pe_Tdpp0=zeros(1,numpuntos); Lamda_Qe_Tdpp0=zeros(1,numpuntos); Lamda_Pe_Tqpp0=zeros(1,numpuntos); Lamda_Qe_Tqpp0=zeros(1,numpuntos);

%% Par·metros en p.u. con Sbase=100MVA SBase=100; % Barra infinita (BI). | Generador bajo estudio % Se modela como un Gen | m·quina de Guavio % de Sn1=10000MVA. | Sn4=270MVA. % | Sn1=10000; Sn4=270; Base1=Sn1/SBase; Base4=Sn4/SBase; r1=0/Base1; r4=0/Base4; Xd1=1.15/Base1; Xd4=P(1); Xq1=0.4026/Base1; Xq4=P(2); Xdp1=0.3483/Base1; Xdp4=P(3); Xqp1=Xq1; Xqp4=P(2); Xdpp1=0.2501/Base1; Xdpp4=P(4); Xqpp1=0.3155/Base1; Xqpp4=P(5);

Anexo 1 116

H1=5*Base1; H4=4*Base4; Kd1=0; Kd4=0; Tdp01=7.75; Tdp04=P(6); Tdpp01=0.0608; Tdpp04=P(7); Tqpp01=0.0607; Tqpp04=P(8);

% Trafo Elevador 13.8/230kV, tap en posisicon central, Xt=10% SnT=270; Base=SnT/SBase; Xt=0.1/Base; % Tipo de lÌnea a 230kV, 50km, X=0.5Ohm/km, R=0.05Ohm/km, YL=2uS/km L=50; XL=0.5; RL=0.05; YL=2; VL=230; Xl=XL*L*(SBase/VL^2); Rl=RL*L*(SBase/VL^2); Yl=YL*L/(SBase/VL^2)/1000000; Gl=Rl/(Rl^2+Xl^2); Bl=-Xl/(Rl^2+Xl^2); Yl=Yl/2; % Par·metros AVR kp=52.4; % ti=0.2;

%% ConstrucciÛn de Ybarra sin inyecciones (sin Generadores ni cargas) % En la diagonal se suman todos los elementos conectados a cada nodo Y(1,1)=complex(Gl,Bl+Yl) ; Y(2,2)=2*complex(Gl,Bl+Yl); Y(3,3)=complex(Gl,Bl+Yl)+complex(0,-1/Xt); Y(4,4)=complex(0,-1/Xt) ; % Fuera de la diagonal se pone el negativo de la suma de todos los

elementos entre nodos Y(1,2)=-complex(Gl,Bl); Y(2,1)=-complex(Gl,Bl); Y(2,3)=-complex(Gl,Bl); Y(3,2)=-complex(Gl,Bl); Y(3,4)=-complex(0,-1/Xt); Y(4,3)=-complex(0,-1/Xt); Y(4,1)= 0; Y(1,4)= 0; Y(3,1)= 0; Y(1,3)= 0; Y(4,2)= 0; Y(2,4)= 0;

%% El caso se monta en DigSilent Power Factory 14.1.3 y se corre flujo

de carga sin depencia de tensiÛn. % de este flujo salen como resultado los siguientes voltajes y ·ngulos DegtoRad = pi/180; %llevar grados a radianes MagV = [1.03; 0.9604; 0.9834; 1.0000]; AngV = [0.00; -1.8955; 4.3162; 9.0690]*DegtoRad; % Vector de voltajes en los nodos V = [complex(MagV(1)*cos(AngV(1)), MagV(1)*sin(AngV(1)));

complex(MagV(2)*cos(AngV(2)), MagV(2)*sin(AngV(2))); ...

Anexo 1 117

complex(MagV(3)*cos(AngV(3)), MagV(3)*sin(AngV(3)));

complex(MagV(4)*cos(AngV(4)), MagV(4)*sin(AngV(4)))]; %% C·lculo de la corriente de las inyecciones en cada nodo y con esta se

calculan las potencias S de las % inyecciones en cada nodo I=Y*V; S=[V(1)*conj(I(1)), V(2)*conj(I(2)), V(3)*conj(I(3)), V(4)*conj(I(4))]; % Se comparan los valores de S obtenidos y se comprueba que corresponden % a los del DigSilent % %% Se agrega a Ybarra las Y Norton equivalente de los generadores y se

calcula la saliencia YNort1 = complex(r1,-0.5*(Xdpp1+Xqpp1))/(r1^2+Xdpp1*Xqpp1); %

Notas de clase Joen YNort4 = complex(r4,-0.5*(Xdpp4+Xqpp4))/(r4^2+Xdpp4*Xqpp4); %

Notas de clase Joen Y(1,1)= Y(1,1)+YNort1; Y(4,4)= Y(4,4)+YNort4; % C·lculo de la saliencia subtransitoria. Se requiere m·s adelante

para % calcular la corriente inyectada por los generadores Ysalpp1 = complex(r1,0.5*(Xdpp1-Xqpp1))/(r1^2+Xdpp1*Xqpp1); Ysalpp4 = complex(0,0.5*(Xdpp4-Xqpp4))/(r4^2+Xdpp4*Xqpp4);

%% Carga de la barra 2 P=300MW, Q=150MVar. Se corrige con la fucniÛn

CargaVF que recalcula P y Q con los % Factores de dependencia del voltaje y la frecuencia [P2,Q2] = CargaVf (abs(V(2)), 60, 0, -S(2));

%% C·lculo de las condiciones iniciales de la m·quina bajo estudio y

la barra infinita wn=60*2*pi(); w1=wn; w4=wn; Pm1=real(S(1)); Pm4=real(S(4)); Eq1=V(1)+ complex(r1,Xq1)*I(1); Eq4=V(4)+

complex(r4,Xq4)*I(4); % Diagrama fasorial gen

Kundur pg. 183 delta1=angle(Eq1); delta4=angle(Eq4);

% Diagrama fasorial gen Kundur pg. 183 Id1=-sin(delta1)*real(I(1))+cos(delta1)*imag(I(1)); Id4=-

sin(delta4)*real(I(4))+cos(delta4)*imag(I(4)); % Notas de clase joen

pg. 25 Iq1=cos(delta1)*real(I(1))+sin(delta1)*imag(I(1));

Iq4=cos(delta4)*real(I(4))+sin(delta4)*imag(I(4)); % Notas de clase

joen pg. 25 Vd1=-sin(delta1)*real(V(1))+cos(delta1)*imag(V(1)); Vd4=-

sin(delta4)*real(V(4))+cos(delta4)*imag(V(4)); % Notas de clase joen

pg. 25 Vq1=cos(delta1)*real(V(1))+sin(delta1)*imag(V(1));

Vq4=cos(delta4)*real(V(4))+sin(delta4)*imag(V(4)); % Notas de clase

joen pg. 25 Eqpp1=r1*Id1-Id1*(Xdpp1)+Vq1; Eqpp4=r4*Id4-

Id4*(Xdpp4)+Vq4; % Notas de clase joen pg. 19 Edpp1=Iq1*(Xqpp1)+Vd1;

Edpp4=Iq4*(Xqpp4)+Vd4; % Notas de clase

joen pg. 19

Anexo 1 118

Eqp1=-Id1*(Xdp1-Xdpp1)+Eqpp1; Eqp4=-Id4*(Xdp4-

Xdpp4)+Eqpp4; % Derivada = 0 en ecuacion de Eqpp Edp1=0; Edp4=0; % ---->

Edp=Iq*(Xqp-Xqpp)+Edpp; % Derivada = 0 en ecuacion de Edpp Efd1=abs(Eq1)-(Xd1-Xq1)*Id1; Efd4=abs(Eq4)-(Xd4-

Xq4)*Id4; % Machowsky fig. 11.8 y Aparece en

Chee Mun Ong M1.m

Pe1=(Edpp1*Id1+Eqpp1*Iq1)+(Xdpp1-Xqpp1)*Id1*Iq1-r1*(Id1^2+Iq1^2);

% Machowsky Eq. 11.102 Qe1=(Edpp1*Iq1-Eqpp1*Id1)-Xdpp1*Id1^2-Xqpp1*Iq1^2-r1*(Id1-Iq1); Pe4=(Edpp4*Id4+Eqpp4*Iq4)+(Xdpp4-Xqpp4)*Id4*Iq4-r4*(Id4^2+Iq4^2);

% Machowsky Eq. 11.102 Qe4=(Edpp4*Iq4-Eqpp4*Id4)-Xdpp4*Id4^2-Xqpp4*Iq4^2-r4*(Id4-Iq4);

Vref=abs(V(4))+Efd4/kp; % CI AVR control P %xAVR=Efd4; % CI AVR control PI

% CI Sensibilidades L_w_Xd=0; L_delta_Xd=0; L_Eqp_Xd=0; L_Eqpp_Xd=0; L_Edpp_Xd=0; L_Id_Xd=0;

L_Iq_Xd=0; L_w_Xqp=0; L_delta_Xqp=0; L_Eqp_Xqp=0; L_Eqpp_Xqp=0; L_Edpp_Xqp=0;

L_Id_Xqp=0; L_Iq_Xqp=0; L_w_Xdp=0; L_delta_Xdp=0; L_Eqp_Xdp=0; L_Eqpp_Xdp=0; L_Edpp_Xdp=0;

L_Id_Xdp=0; L_Iq_Xdp=0; L_w_Xdpp=0; L_delta_Xdpp=0; L_Eqp_Xdpp=0; L_Eqpp_Xdpp=0; L_Edpp_Xdpp=0;

L_Id_Xdpp=0; L_Iq_Xdpp=0; L_w_Xqpp=0; L_delta_Xqpp=0; L_Eqp_Xqpp=0; L_Eqpp_Xqpp=0; L_Edpp_Xqpp=0;

L_Id_Xqpp=0; L_Iq_Xqpp=0; L_w_Tdp0=0; L_delta_Tdp0=0; L_Eqp_Tdp0=0; L_Eqpp_Tdp0=0; L_Edpp_Tdp0=0;

L_Id_Tdp0=0; L_Iq_Tdp0=0; L_w_Tdpp0=0; L_delta_Tdpp0=0; L_Eqp_Tdpp0=0; L_Eqpp_Tdpp0=0;

L_Edpp_Tdpp0=0; L_Id_Tdpp0=0; L_Iq_Tdpp0=0; L_w_Tqpp0=0; L_delta_Tqpp0=0; L_Eqp_Tqpp0=0; L_Eqpp_Tqpp0=0;

L_Edpp_Tqpp0=0; L_Id_Tqpp0=0; L_Iq_Tqpp0=0;

%% Proceso alternado hasta compatibilizar ecuaciones de red y de

m·quinas p=0; t=-dt; % para el primer paso sea t=0 while t<Tend-dt t=t+dt; % Incrementa el tiempo con dt p=p+1; % Incrementa el punto actual eventoactivado=0; % disp(['t=', num2str(t)]); % Muestra el tiempo actual en la

ventana de command

%% El mÈtodo trapezoidal sirve para resolver las ecuaciones % diferenciales del generador. Este mÈtodo debe estimar los valores % futuros (en p+1) de las variables de estado. El mÈtodo trapezoidal

se % enuncia asÌ: % sea dy/dx = f(x,y) % Se debe minimizar el error cuadratico E, dado por E =

Anexo 1 119

sqrt(sumatoria (y(p+1)-y(p))^2) % para y(p+1) = y(p) + (dt/2)*(f(x(p),y(p)) + f(x(p+1),y(p+1))

% Para cada dt calcula los valores actuales de las variables de

estado de los generadores % y de acuerdo al mÈtodo trapezoidal calcula el tÈrmino y(p) +

(dt/2)*(f(x(p),y(p)) w1old = w1+(0.5*dt*wn/(2*H1))*(Pm1-Pe1-Kd1*(w1-wn)); w4old = w4+(0.5*dt*wn/(2*H4))*(Pm4-Pe4-Kd4*(w4-wn)); delta1old = delta1+0.5*dt*(w1-wn); delta4old = delta4+0.5*dt*(w4-wn);

% Aqui vamos a poner a funcionar el AVR, usar un AVR P, luego un PI

y luego el de guavio°°°° Efd4 = (Vref-abs(V(4)))*kp; %xoldAVR = xAVR+0.5*dt*Kp*(Vref-abs(V(4)))/Ti; %dEfd4 = xAVR+Kp*(Vref-abs(V(4)));

Eqp1old = Eqp1+(0.5*dt/Tdp01 )*(Efd1-Eqp1+Id1*(Xd1-Xdp1)); Eqp4old = Eqp4+(0.5*dt/Tdp04 )*(Efd4-Eqp4+Id4*(Xd4-Xdp4)); %Edp1old = Edp1+(0.5*dt/Tqp01)*(-Edp1-Iq1*(Xq1-Xqp1)); %Edp4old = Edp4+(0.5*dt/Tqp04)*(-Edp4-Iq4*(Xq4-Xqp4)); Eqpp1old = Eqpp1+(0.5*dt/Tdpp01)*(Eqp1-Eqpp1+Id1*(Xdp1-Xdpp1)); Eqpp4old = Eqpp4+(0.5*dt/Tdpp04)*(Eqp4-Eqpp4+Id4*(Xdp4-Xdpp4)); Edpp1old = Edpp1+(0.5*dt/Tqpp01)*(Edp1-Edpp1-Iq1*(Xqp1-Xqpp1)); Edpp4old = Edpp4+(0.5*dt/Tqpp04)*(Edp4-Edpp4-Iq4*(Xqp4-Xqpp4));

% Sensibilidades con respecto a Xd L_w_Xd_old = L_w_Xd+0.5*dt*0; L_delta_Xd_old = L_delta_Xd+0.5*dt*L_w_Xd; L_Eqp_Xd_old = L_Eqp_Xd+0.5*dt*(Id4/Tdp04 - L_Eqp_Xd/Tdp04 +

(L_Id_Xd*(Xd4 - Xdp4))/Tdp04); L_Eqpp_Xd_old = L_Eqpp_Xd+0.5*dt*(L_Eqp_Xd/Tdpp04 - L_Eqpp_Xd/Tdpp04

+ (L_Id_Xd*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04); L_Edpp_Xd_old = L_Edpp_Xd+0.5*dt*(-L_Edpp_Xd/Tqpp04 - (L_Iq_Xd*(Xqp4

- Xqpp4))/Tqpp04);

% Sensibilidades con respecto a Xqp L_w_Xqp_old = L_w_Xqp+0.5*dt*0; L_delta_Xqp_old = L_delta_Xqp+0.5*dt*L_w_Xqp; L_Eqp_Xqp_old = L_Eqp_Xqp+0.5*dt*((L_Id_Xqp*(Xd4 - Xdp4))/Tdp04 -

L_Eqp_Xqp/Tdp04); L_Eqpp_Xqp_old = L_Eqpp_Xqp+0.5*dt*(L_Eqp_Xqp/Tdpp04 -

L_Eqpp_Xqp/Tdpp04 + (L_Id_Xqp*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04); L_Edpp_Xqp_old = L_Edpp_Xqp+0.5*dt*(- Iq4/Tqpp04 - L_Edpp_Xqp/Tqpp04

- (L_Iq_Xqp*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04);

% Sensibilidades con respecto a Xdp L_w_Xdp_old = L_w_Xdp+0.5*dt*0; L_delta_Xdp_old = L_delta_Xdp+0.5*dt*L_w_Xdp; L_Eqp_Xdp_old = L_Eqp_Xdp+0.5*dt*((L_Id_Xdp*(Xd4 - Xdp4))/Tdp04 -

L_Eqp_Xdp/Tdp04 - Id4/Tdp04); L_Eqpp_Xdp_old = L_Eqpp_Xdp+0.5*dt*(Id4/Tdpp04 + L_Eqp_Xdp/Tdpp04 -

L_Eqpp_Xdp/Tdpp04 + (L_Id_Xdp*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04); L_Edpp_Xdp_old = L_Edpp_Xdp+0.5*dt*(- L_Edpp_Xdp/Tqpp04 -

Anexo 1 120

(L_Iq_Xdp*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04);

% Sensibilidades con respecto a Xdpp L_w_Xdpp_old = L_w_Xdpp+0.5*dt*0; L_delta_Xdpp_old = L_delta_Xdpp+0.5*dt*L_w_Xdpp; L_Eqp_Xdpp_old = L_Eqp_Xdpp+0.5*dt*((L_Id_Xdpp*(Xd4 - Xdp4))/Tdp04 -

L_Eqp_Xdpp/Tdp04); L_Eqpp_Xdpp_old = L_Eqpp_Xdpp+0.5*dt*(L_Eqp_Xdpp/Tdpp04 - Id4/Tdpp04

- L_Eqpp_Xdpp/Tdpp04 + (L_Id_Xdpp*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04); L_Edpp_Xdpp_old = L_Edpp_Xdpp+0.5*dt*(- L_Edpp_Xdpp/Tqpp04 -

(L_Iq_Xdpp*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04);

% Sensibilidades con respecto a Xqpp L_w_Xqpp_old = L_w_Xqpp + 0.5*dt*0; L_delta_Xqpp_old = L_delta_Xqpp + 0.5*dt*L_w_Xqpp; L_Eqp_Xqpp_old = L_Eqp_Xqpp + 0.5*dt*((L_Id_Xqpp*(Xd4 - Xdp4))/Tdp04

- L_Eqp_Xqpp/Tdp04); L_Eqpp_Xqpp_old = L_Eqpp_Xqpp + 0.5*dt*(L_Eqp_Xqpp/Tdpp04 -

L_Eqpp_Xqpp/Tdpp04 + (L_Id_Xqpp*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04); L_Edpp_Xqpp_old = L_Edpp_Xqpp + 0.5*dt*(Iq4/Tqpp04 -

L_Edpp_Xqpp/Tqpp04 - (L_Iq_Xqpp*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04);

% Sensibilidades con respecto a Tdp0 L_w_Tdp0_old = L_w_Tdp0 + 0.5*dt*0; L_delta_Tdp0_old = L_delta_Tdp0 + 0.5*dt*L_w_Tdp0; L_Eqp_Tdp0_old = L_Eqp_Tdp0 + 0.5*dt*((L_Id_Tdp0*(Xd4 - Xdp4))/Tdp04

- (Efd4 - Eqp4 + Id4*(Xd4 - Xdp4))/Tdp04^2 - L_Eqp_Tdp0/Tdp04); L_Eqpp_Tdp0_old = L_Eqpp_Tdp0 + 0.5*dt*(L_Eqp_Tdp0/Tdpp04 -

L_Eqpp_Tdp0/Tdpp04 + (L_Id_Tdp0*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04); L_Edpp_Tdp0_old = L_Edpp_Tdp0 + 0.5*dt*(- L_Edpp_Tdp0/Tqpp04 -

(L_Iq_Tdp0*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04);

% Sensibilidades con respecto a Tdpp0 L_w_Tdpp0_old = L_w_Tdpp0 + 0.5*dt*0; L_delta_Tdpp0_old = L_delta_Tdpp0 + 0.5*dt*L_w_Tdpp0; L_Eqp_Tdpp0_old = L_Eqp_Tdpp0 + 0.5*dt*((L_Id_Tdpp0*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04 - L_Eqp_Tdpp0/Tdp04); L_Eqpp_Tdpp0_old = L_Eqpp_Tdpp0 + 0.5*dt*(L_Eqp_Tdpp0/Tdpp04 -

L_Eqpp_Tdpp0/Tdpp04 - (Eqp4 - Eqpp4 + Id4*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04^2 +

(L_Id_Tdpp0*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04); L_Edpp_Tdpp0_old = L_Edpp_Tdpp0 + 0.5*dt*(- L_Edpp_Tdpp0/Tqpp04 -

(L_Iq_Tdpp0*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04);

% Sensibilidades con respecto a Tqpp0 L_w_Tqpp0_old = L_w_Tqpp0 + 0.5*dt*0; L_delta_Tqpp0_old = L_delta_Tqpp0 + 0.5*dt*L_w_Tqpp0; L_Eqp_Tqpp0_old = L_Eqp_Tqpp0 + 0.5*dt*((L_Id_Tqpp0*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04 - L_Eqp_Tqpp0/Tdp04); L_Eqpp_Tqpp0_old = L_Eqpp_Tqpp0 + 0.5*dt*(L_Eqp_Tqpp0/Tdpp04 -

L_Eqpp_Tqpp0/Tdpp04 + (L_Id_Tqpp0*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04); L_Edpp_Tqpp0_old = L_Edpp_Tqpp0 + 0.5*dt*((Edpp4 - Edp4 + Iq4*(Xqp4

- Xqpp4))/Tqpp04^2 - L_Edpp_Tqpp0/Tqpp04 - (L_Iq_Tqpp0*(Xqp4 -

Xqpp4))/Tqpp04);

% Asigna las frecuencias iniciales y en el resto de pasos

Anexo 1 121

if p>1; fehz1(p)=fehz1(p-1);fehz2(p)=fehz2(p-1);fehz4(p)=fehz4(p-1);

else fehz1(p)=60.;fehz2(p)=60.;fehz4(p)=60.;end

% %% C·lcula nueva Ybus, P y Q de la carga, considerando los eventos

en la red distancia=Tevento-t; if t>(0.9999*Tevento) && t<(1.000999*Tevento); if evento==1; %Step en Vref AVR Gen4 % disp (['t=', num2str(t), 'Step en Vref AVR Gen4']); Vref=0.98*Vref; Efd4 = (Vref-abs(V(4)))*kp; eventoactivado=1; elseif evento==2; %incremento de carga barra 2 de 500MW (300 -->

800) % disp (['Aumenta carga Barra2 en t=', num2str(t)]) [P2,Q2] = CargaVf (abs(V(2)), fehz2(p), -1, 1+1i*0.5); %500MW,

250Mvar eventoactivado=1; elseif evento==3; %DisminuciÛn de carga barra 2 de 150MW (300 -->

150) % disp (['Disminuye carga Barra2 en t=', num2str(t)]) [P2,Q2] = CargaVf (abs(V(2)), fehz2(p), -1, -1-1i*0.5); eventoactivado=1; elseif evento==4; %Sin Evento disp (['No hay eventos', num2str(t)]) eventoactivado=1; end end % if eventoactivado==1; % Y\I equivale a inversa(Y)*I V=Y\I; end; % Recalcula las tensiones en la red, usando

inyecciones del paso anterior

Vestado_old=[w1;w4;delta1;delta4;Eqp1;Eqp4;Edp1;Edp4;Eqpp1;Eqpp4;Edpp1;E

dpp4; L_w_Xd;L_delta_Xd;L_Eqp_Xd;L_Eqpp_Xd;L_Edpp_Xd; L_w_Xqp;L_delta_Xqp;L_Eqp_Xqp;L_Eqpp_Xqp;L_Edpp_Xqp; L_w_Xdp;L_delta_Xdp;L_Eqp_Xdp;L_Eqpp_Xdp;L_Edpp_Xdp;

L_w_Xdpp;L_delta_Xdpp;L_Eqp_Xdpp;L_Eqpp_Xdpp;L_Edpp_Xdpp;

L_w_Xqpp;L_delta_Xqpp;L_Eqp_Xqpp;L_Eqpp_Xqpp;L_Edpp_Xqpp;

L_w_Tdp0;L_delta_Tdp0;L_Eqp_Tdp0;L_Eqpp_Tdp0;L_Edpp_Tdp0;

L_w_Tdpp0;L_delta_Tdpp0;L_Eqp_Tdpp0;L_Eqpp_Tdpp0;L_Edpp_Tdpp0;

L_w_Tqpp0;L_delta_Tqpp0;L_Eqp_Tqpp0;L_Eqpp_Tqpp0;L_Edpp_Tqpp0]; % Se

define vector de variables de estado del paso anterior

Errmax=1e-5; kmax=100; Err=99;

Anexo 1 122

k=0; % Calcula variables de estado en la iteracion actual while Err>Errmax && k<kmax; k=k+1;

% Contador de iteraciones para estimar las variables de estado % Calcula las inyecciones y luego las tensiones en la red con

base en los % valores actuales de las variables de estado de los generadores Epp1=complex(-sin(delta1)*Edpp1+cos(delta1)*Eqpp1 ,

cos(delta1)*Edpp1+sin(delta1)*Eqpp1); Epp4=complex(-sin(delta4)*Edpp4+cos(delta4)*Eqpp4 ,

cos(delta4)*Edpp4+sin(delta4)*Eqpp4); I(1)=YNort1*Epp1+Ysalpp1*conj(Epp1-V(1))*exp(1i*2.*delta1); %-

V(1)*YNort1 Con este termino no converge I(4)=YNort4*Epp4+Ysalpp4*conj(Epp4-V(4))*exp(1i*2.*delta4); %-

V(4)*YNort4 Con este termino no converge % Carga de la barra 2 [P2,Q2] = CargaVf (abs(V(2)), fehz2(p), 1, 0.); I(2)=complex(-P2,Q2)/conj(V(2)); I(3)=0; % Recalcula las tensiones de la red con las corrientes

inyectadas V=Y\I; % Con los fasores de tensiÛn calcula las frecuencias de la red % Con las tensiones recalcula Vd, Vq, Id, Iq y Pe que deberÌan

tener los % generadores Vd1 = -sin(delta1)*real(V(1))+cos(delta1)*imag(V(1)); Vq1 = cos(delta1)*real(V(1))+sin(delta1)*imag(V(1)); Vd4 = -sin(delta4)*real(V(4))+cos(delta4)*imag(V(4)); Vq4 = cos(delta4)*real(V(4))+sin(delta4)*imag(V(4)); Id1 = ((Edpp1-Vd1)*r1-(Eqpp1-Vq1)*Xqpp1)/(r1^2+Xdpp1*Xqpp1); Id4 = ((Edpp4-Vd4)*r4-(Eqpp4-Vq4)*Xqpp4)/(r4^2+Xdpp4*Xqpp4); Iq1 = ((Eqpp1-Vq1)*r1+(Edpp1-Vd1)*Xdpp1)/(r1^2+Xdpp1*Xqpp1); Iq4 = ((Eqpp4-Vq4)*r4+(Edpp4-Vd4)*Xdpp4)/(r4^2+Xdpp4*Xqpp4); Pe1 = (Edpp1*Id1+Eqpp1*Iq1)+(Xdpp1-Xqpp1)*Id1*Iq1-

r1*(Id1^2+Iq1^2); Pe4 = (Edpp4*Id4+Eqpp4*Iq4)+(Xdpp4-Xqpp4)*Id4*Iq4-

r4*(Id4^2+Iq4^2);

% Calcula variables de estado actuales con las ecuaciones en

diferencias usando mÈtodo trapezoidal implÌcito w1 = w1old+(0.5*dt*wn/(2*H1))*(Pm1-

Pe1+Kd1*wn);%/(1+0.5*dt*wn*Kd1/(2*H1)); % ojo con el signo de +Kd1*wn

podria se - w4 = w4old+(0.5*dt*wn/(2*H4))*(Pm4-

Pe4+Kd4*wn);%/(1+0.5*dt*wn*Kd4/(2*H4)); delta1 = delta1old+0.5*dt*(w1-wn); delta4 = delta4old+0.5*dt*(w4-wn); Eqp1 = (Eqp1old+(0.5*dt/Tdp01)*(Efd1+Id1*(Xd1-

Xdp1)))/(1+0.5*dt/Tdp01); Eqp4 = (Eqp4old+(0.5*dt/Tdp04)*(Efd4+Id4*(Xd4-

Xdp4)))/(1+0.5*dt/Tdp04);

% Edp1 = Edp1+(0.5*dt/Tqp01)*(-Edp1-Iq1*(Xq1-Xqp1)); % Edp4 = Edp4+(0.5*dt/Tqp04)*(-Edp4-Iq4*(Xq4-Xqp4));

Anexo 1 123

Eqpp1 = (Eqpp1old+(0.5*dt/Tdpp01)*(Eqp1+Id1*(Xdp1-

Xdpp1)))/(1+0.5*dt/Tdpp01); Eqpp4 = (Eqpp4old+(0.5*dt/Tdpp04)*(Eqp4+Id4*(Xdp4-

Xdpp4)))/(1+0.5*dt/Tdpp04); Edpp1 = (Edpp1old+(0.5*dt/Tqpp01)*(Edp1-Iq1*(Xqp1-

Xqpp1)))/(1+0.5*dt/Tqpp01); Edpp4 = (Edpp4old+(0.5*dt/Tqpp04)*(Edp4-Iq4*(Xqp4-

Xqpp4)))/(1+0.5*dt/Tqpp04);

% Sensibilidades de los estados con respecto a Xd L_w_Xd = L_w_Xd_old + 0.5*dt*0; L_delta_Xd = L_delta_Xd_old + 0.5*dt*L_w_Xd; L_Eqp_Xd = (L_Eqp_Xd_old + 0.5*dt*(Id4/Tdp04 + (L_Id_Xd*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04))/(1+0.5*dt/Tdp04); L_Eqpp_Xd = (L_Eqpp_Xd_old + 0.5*dt*(L_Eqp_Xd/Tdpp04 +

(L_Id_Xd*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04))/(1+0.5*dt/Tdpp04); L_Edpp_Xd = (L_Edpp_Xd_old + 0.5*dt*(-(L_Iq_Xd*(Xqp4 -

Xqpp4))/Tqpp04))/(1+0.5*dt/Tqpp04);

% Sensibilidades de los estados con respecto a Xqp L_w_Xqp = L_w_Xqp_old + 0.5*dt*0; L_delta_Xqp = L_delta_Xqp_old + 0.5*dt*L_w_Xqp; L_Eqp_Xqp = (L_Eqp_Xqp_old + 0.5*dt*((L_Id_Xqp*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04))/(1+0.5*dt/Tdp04); L_Eqpp_Xqp = (L_Eqpp_Xqp_old + 0.5*dt*(L_Eqp_Xqp/Tdpp04 +

(L_Id_Xqp*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04))/(1+0.5*dt/Tdpp04); L_Edpp_Xqp = (L_Edpp_Xqp_old + 0.5*dt*(- Iq4/Tqpp04 -

(L_Iq_Xqp*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04))/(1+0.5*dt/Tqpp04);

% Sensibilidades de los estados con respecto a Xdp L_w_Xdp = L_w_Xdp_old + 0.5*dt*0; L_delta_Xdp = L_delta_Xdp_old + 0.5*dt*L_w_Xdp; L_Eqp_Xdp = (L_Eqp_Xdp_old + 0.5*dt*((L_Id_Xdp*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04 - Id4/Tdp04))/(1+0.5*dt/Tdp04); L_Eqpp_Xdp = (L_Eqpp_Xdp_old + 0.5*dt*(Id4/Tdpp04 +

L_Eqp_Xdp/Tdpp04 + (L_Id_Xdp*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04))/(1+0.5*dt/Tdpp04); L_Edpp_Xdp = (L_Edpp_Xdp_old + 0.5*dt*(-(L_Iq_Xdp*(Xqp4 -


% Sensibilidades de los estados con respecto a Xdpp L_w_Xdpp = L_w_Xdpp_old + 0.5*dt*0; L_delta_Xdpp = L_delta_Xdpp_old + 0.5*dt*L_w_Xdpp; L_Eqp_Xdpp = (L_Eqp_Xdpp_old + 0.5*dt*((L_Id_Xdpp*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04))/(1+0.5*dt/Tdp04); L_Eqpp_Xdpp = (L_Eqpp_Xdpp_old + 0.5*dt*(L_Eqp_Xdpp/Tdpp04 -

Id4/Tdpp04 + (L_Id_Xdpp*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04))/(1+0.5*dt/Tdpp04); L_Edpp_Xdpp = (L_Edpp_Xdpp_old + 0.5*dt*(-(L_Iq_Xdpp*(Xqp4 -


% Sensibilidades de los estados con respecto a Xqpp L_w_Xqpp = L_w_Xqpp_old + 0.5*dt*0; L_delta_Xqpp = L_delta_Xqpp_old + 0.5*dt*L_w_Xqpp; L_Eqp_Xqpp = (L_Eqp_Xqpp_old + 0.5*dt*((L_Id_Xqpp*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04))/(1+0.5*dt/Tdp04);

Anexo 1 124

L_Eqpp_Xqpp = (L_Eqpp_Xqpp_old + 0.5*dt*(L_Eqp_Xqpp/Tdpp04 +

(L_Id_Xqpp*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04))/(1+0.5*dt/Tdpp04); L_Edpp_Xqpp = (L_Edpp_Xqpp_old + 0.5*dt*(Iq4/Tqpp04 -

(L_Iq_Xqpp*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04))/(1+0.5*dt/Tqpp04);

% Sensibilidades de los estados con respecto a Tdp0 L_w_Tdp0 = L_w_Tdp0_old + 0.5*dt*0; L_delta_Tdp0 = L_delta_Tdp0_old + 0.5*dt*L_w_Tdp0; L_Eqp_Tdp0 = (L_Eqp_Tdp0_old + 0.5*dt*((L_Id_Tdp0*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04 - (Efd4 - Eqp4 + Id4*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04^2))/(1+0.5*dt/Tdp04); L_Eqpp_Tdp0 = (L_Eqpp_Tdp0_old + 0.5*dt*(L_Eqp_Tdp0/Tdpp04 +

(L_Id_Tdp0*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04))/(1+0.5*dt/Tdpp04); L_Edpp_Tdp0 = (L_Edpp_Tdp0_old + 0.5*dt*(- (L_Iq_Tdp0*(Xqp4 -


% Sensibilidades de los estados con respecto a Tdpp0 L_w_Tdpp0 = L_w_Tdpp0_old + 0.5*dt*0; L_delta_Tdpp0 = L_delta_Tdpp0_old + 0.5*dt*L_w_Tdpp0; L_Eqp_Tdpp0 = (L_Eqp_Tdpp0_old + 0.5*dt*((L_Id_Tdpp0*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04))/(1+0.5*dt/Tdp04); L_Eqpp_Tdpp0 = (L_Eqpp_Tdpp0_old + 0.5*dt*(L_Eqp_Tdpp0/Tdpp04 -

(Eqp4 - Eqpp4 + Id4*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04^2 + (L_Id_Tdpp0*(Xdp4 -

Xdpp4))/Tdpp04))/(1+0.5*dt/Tdpp04); L_Edpp_Tdpp0 = (L_Edpp_Tdpp0_old + 0.5*dt*(- (L_Iq_Tdpp0*(Xqp4 -


% Sensibilidades de los estados con respecto a Tqpp0 L_w_Tqpp0 = L_w_Tqpp0_old + 0.5*dt*0; L_delta_Tqpp0 = L_delta_Tqpp0_old + 0.5*dt*L_w_Tqpp0; L_Eqp_Tqpp0 = (L_Eqp_Tqpp0_old + 0.5*dt*((L_Id_Tqpp0*(Xd4 -

Xdp4))/Tdp04))/(1+0.5*dt/Tdp04); L_Eqpp_Tqpp0 = (L_Eqpp_Tqpp0_old + 0.5*dt*(L_Eqp_Tqpp0/Tdpp04 +

(L_Id_Tqpp0*(Xdp4 - Xdpp4))/Tdpp04))/(1+0.5*dt/Tdpp04); L_Edpp_Tqpp0 = (L_Edpp_Tqpp0_old + 0.5*dt*((Edpp4 - Edp4 +

Iq4*(Xqp4 - Xqpp4))/Tqpp04^2 - (L_Iq_Tqpp0*(Xqp4 -


% Calcula sensibilidades algebr·icas con respecto a Xd L_Id_Xd = -L_Eqp_Xd/(Xdp4 + 2*Xl + Xt) -

(abs(V(1))*L_delta_Xd*sin(delta4))/(Xdp4 + 2*Xl + Xt); L_Iq_Xd = (abs(V(1))*L_delta_Xd*cos(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl + Xt);

% Calcula sensibilidades algebr·icas con respecto a Xqp L_Id_Xqp = - L_Eqp_Xqp/(Xdp4 + 2*Xl + Xt) -

(abs(V(1))*L_delta_Xqp*sin(delta4))/(Xdp4 + 2*Xl + Xt); L_Iq_Xqp = (Edp4 - abs(V(1))*sin(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl + Xt)^2 +

(abs(V(1))*L_delta_Xqp*cos(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl + Xt);

% Calcula sensibilidades algebr·icas con respecto a Xdp L_Id_Xdp = (Eqp4 - abs(V(1))*cos(delta4))/(Xdp4 + 2*Xl + Xt)^2 -

L_Eqp_Xdp/(Xdp4 + 2*Xl + Xt) - (abs(V(1))*L_delta_Xdp*sin(delta4))/(Xdp4

+ 2*Xl + Xt); L_Iq_Xdp = (abs(V(1))*L_delta_Xdp*cos(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl +

Anexo 1 125

Xt);

% Calcula sensibilidades algebr·icas con respecto a Xdpp L_Id_Xdpp = - L_Eqp_Xdpp/(Xdp4 + 2*Xl + Xt) -

(abs(V(1))*L_delta_Xdpp*sin(delta4))/(Xdp4 + 2*Xl + Xt); L_Iq_Xdpp = (abs(V(1))*L_delta_Xdpp*cos(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl +

Xt);

% Calcula sensibilidades algebr·icas con respecto a Xdpp L_Id_Xqpp = - L_Eqp_Xqpp/(Xdp4 + 2*Xl + Xt) -

(abs(V(1))*L_delta_Xqpp*sin(delta4))/(Xdp4 + 2*Xl + Xt); L_Iq_Xqpp = (abs(V(1))*L_delta_Xqpp*cos(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl +

Xt);

% Calcula sensibilidades algebr·icas con respecto a Tdp0 L_Id_Tdp0 = - L_Eqp_Tdp0/(Xdp4 + 2*Xl + Xt) -

(abs(V(1))*L_delta_Tdp0*sin(delta4))/(Xdp4 + 2*Xl + Xt); L_Iq_Tdp0 = (abs(V(1))*L_delta_Tdp0*cos(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl +

Xt);

% Calcula sensibilidades algebr·icas con respecto a Tdpp0 L_Id_Tdpp0 = - L_Eqp_Tdpp0/(Xdp4 + 2*Xl + Xt) -

(abs(V(1))*L_delta_Tdpp0*sin(delta4))/(Xdp4 + 2*Xl + Xt); L_Iq_Tdpp0 = (abs(V(1))*L_delta_Tdpp0*cos(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl

+ Xt);

% Calcula sensibilidades algebr·icas con respecto a Tqpp0 L_Id_Tqpp0 = - L_Eqp_Tqpp0/(Xdp4 + 2*Xl + Xt) -

(abs(V(1))*L_delta_Tqpp0*sin(delta4))/(Xdp4 + 2*Xl + Xt); L_Iq_Tqpp0 = (abs(V(1))*L_delta_Tqpp0*cos(delta4))/(Xqp4 + 2*Xl

+ Xt);

% Sensibilidades de las salidas con respecto a Xd L_Pe_Xd = L_Id_Xd*(Edpp4 + Iq4*(Xdpp4 - Xqpp4)) + L_Iq_Xd*(Eqpp4

+ Id4*(Xdpp4 - Xqpp4)) + Id4*L_Edpp_Xd + Iq4*L_Eqpp_Xd; L_Qe_Xd = L_Iq_Xd*(Edpp4 - 2*Iq4*Xqpp4) - L_Id_Xd*(Eqpp4 +

2*Id4*Xdpp4) - Id4*L_Eqpp_Xd + Iq4*L_Edpp_Xd;

% Sensibilidades de las salidas con respecto a Xqp L_Pe_Xqp = L_Id_Xqp*(Edpp4 + Iq4*(Xdpp4 - Xqpp4)) +

L_Iq_Xqp*(Eqpp4 + Id4*(Xdpp4 - Xqpp4)) + Id4*L_Edpp_Xqp +

Iq4*L_Eqpp_Xqp; L_Qe_Xqp = L_Iq_Xqp*(Edpp4 - 2*Iq4*Xqpp4) - L_Id_Xqp*(Eqpp4 +

2*Id4*Xdpp4) - Id4*L_Eqpp_Xqp + Iq4*L_Edpp_Xqp;

% Sensibilidades de las salidas con respecto a Xdp L_Pe_Xdp = L_Id_Xdp*(Edpp4 + Iq4*(Xdpp4 - Xqpp4)) +

L_Iq_Xdp*(Eqpp4 + Id4*(Xdpp4 - Xqpp4)) + Id4*L_Edpp_Xdp +

Iq4*L_Eqpp_Xdp; L_Qe_Xdp = L_Iq_Xdp*(Edpp4 - 2*Iq4*Xqpp4) - L_Id_Xdp*(Eqpp4 +

2*Id4*Xdpp4) - Id4*L_Eqpp_Xdp + Iq4*L_Edpp_Xdp;

% Sensibilidades de las salidas con respecto a Xdpp

Anexo 1 126

L_Pe_Xdpp = L_Id_Xdpp*(Edpp4 + Iq4*(Xdpp4 - Xqpp4)) +

L_Iq_Xdpp*(Eqpp4 + Id4*(Xdpp4 - Xqpp4)) + Id4*Iq4 + Id4*L_Edpp_Xdpp +

Iq4*L_Eqpp_Xdpp; L_Qe_Xdpp = L_Iq_Xdpp*(Edpp4 - 2*Iq4*Xqpp4) - L_Id_Xdpp*(Eqpp4 +

2*Id4*Xdpp4) - Id4^2 - Id4*L_Eqpp_Xdpp + Iq4*L_Edpp_Xdpp;

% Sensibilidades de las salidas con respecto a Xqpp L_Pe_Xqpp = L_Id_Xqpp*(Edpp4 + Iq4*(Xdpp4 - Xqpp4)) +

L_Iq_Xqpp*(Eqpp4 + Id4*(Xdpp4 - Xqpp4)) - Id4*Iq4 + Id4*L_Edpp_Xqpp +

Iq4*L_Eqpp_Xqpp; L_Qe_Xqpp = L_Iq_Xqpp*(Edpp4 - 2*Iq4*Xqpp4) - L_Id_Xqpp*(Eqpp4 +

2*Id4*Xdpp4) - Iq4^2 - Id4*L_Eqpp_Xqpp + Iq4*L_Edpp_Xqpp;

% Sensibilidades de las salidas con respecto a Tdp0 L_Pe_Tdp0 = L_Id_Tdp0*(Edpp4 + Iq4*(Xdpp4 - Xqpp4)) +

L_Iq_Tdp0*(Eqpp4 + Id4*(Xdpp4 - Xqpp4)) + Id4*L_Edpp_Tdp0 +

Iq4*L_Eqpp_Tdp0; L_Qe_Tdp0 = L_Iq_Tdp0*(Edpp4 - 2*Iq4*Xqpp4) - L_Id_Tdp0*(Eqpp4 +

2*Id4*Xdpp4) - Id4*L_Eqpp_Tdp0 + Iq4*L_Edpp_Tdp0;

% Sensibilidades de las salidas con respecto a Tdpp0 L_Pe_Tdpp0 = L_Id_Tdpp0*(Edpp4 + Iq4*(Xdpp4 - Xqpp4)) +

L_Iq_Tdpp0*(Eqpp4 + Id4*(Xdpp4 - Xqpp4)) + Id4*L_Edpp_Tdpp0 +

Iq4*L_Eqpp_Tdpp0; L_Qe_Tdpp0 = L_Iq_Tdpp0*(Edpp4 - 2*Iq4*Xqpp4) -

L_Id_Tdpp0*(Eqpp4 + 2*Id4*Xdpp4) - Id4*L_Eqpp_Tdpp0 + Iq4*L_Edpp_Tdpp0;

% Sensibilidades de las salidas con respecto a Tdpp0 L_Pe_Tqpp0 = L_Id_Tqpp0*(Edpp4 + Iq4*(Xdpp4 - Xqpp4)) +

L_Iq_Tqpp0*(Eqpp4 + Id4*(Xdpp4 - Xqpp4)) + Id4*L_Edpp_Tqpp0 +

Iq4*L_Eqpp_Tqpp0; L_Qe_Tqpp0 = L_Iq_Tqpp0*(Edpp4 - 2*Iq4*Xqpp4) -

L_Id_Tqpp0*(Eqpp4 + 2*Id4*Xdpp4) - Id4*L_Eqpp_Tqpp0 + Iq4*L_Edpp_Tqpp0;

if eventoactivado==1 fehz1(p)=fehz1(p-1); % Hace la

frec igual a la del paso anterior fehz2(p)=fehz2(p-1); % Hace la

frec igual a la del paso anterior fehz4(p)=fehz4(p-1); % Hace la

frec igual a la del paso anterior elseif p==1; fehz1(p)=60; fehz2(p)=60; fehz4(p)=60; else fehz1(p)=FreqHz(angle(V(1)),teta1(p-1),dt); % Calcula

frec con la desviaciÛn angular fehz2(p)=FreqHz(angle(V(2)),teta2(p-1),dt); % Calcula frec

con la desviaciÛn angular fehz4(p)=FreqHz(angle(V(4)),teta4(p-1),dt); % Calcula frec

con la desviaciÛn angular end

Anexo 1 127

% Cálculo del error cuadratico Vestado_new=

[w1;w4;delta1;delta4;Eqp1;Eqp4;Edp1;Edp4;Eqpp1;Eqpp4;Edpp1;Edpp4; L_w_Xd;L_delta_Xd;L_Eqp_Xd;L_Eqpp_Xd;L_Edpp_Xd;

L_w_Xqp;L_delta_Xqp;L_Eqp_Xqp;L_Eqpp_Xqp;L_Edpp_Xqp;

L_w_Xdp;L_delta_Xdp;L_Eqp_Xdp;L_Eqpp_Xdp;L_Edpp_Xdp;

L_w_Xdpp;L_delta_Xdpp;L_Eqp_Xdpp;L_Eqpp_Xdpp;L_Edpp_Xdpp;

L_w_Xqpp;L_delta_Xqpp;L_Eqp_Xqpp;L_Eqpp_Xqpp;L_Edpp_Xqpp;

L_w_Tdp0;L_delta_Tdp0;L_Eqp_Tdp0;L_Eqpp_Tdp0;L_Edpp_Tdp0;

L_w_Tdpp0;L_delta_Tdpp0;L_Eqp_Tdpp0;L_Eqpp_Tdpp0;L_Edpp_Tdpp0;

L_w_Tqpp0;L_delta_Tqpp0;L_Eqp_Tqpp0;L_Eqpp_Tqpp0;L_Edpp_Tqpp0]; % Se

define vector de variables de estado del paso actual

Resta_Vestado= Vestado_new-Vestado_old; Err= sqrt(dot(Resta_Vestado,Resta_Vestado)); Vestado_old= Vestado_new;

end

%% Arregla ·ngulo delta para hacerlo continuo antes de guardarlo if delta1>pi; delta1= delta1-2*pi; elseif delta1<-pi; delta1=delta1+2*pi; end if delta4>pi; delta4= delta4-2*pi; elseif delta4<-pi; delta4=delta4+2*pi; end if k >= kmax; disp('Max Num Iter sin convergencia...');pause; end

%% Escribe en los vectores reservados los valores calculados para el

paso actual speed1(p)=w1/(2*pi*60); speed4(p)=w4/(2*pi*60); Delta1(p)=delta1; Delta4(p)=delta4; teta1(p)=angle(V(1)); teta2(p)=angle(V(2)); teta4(p)=angle(V(4)); PE1(p)=Pe1; PE4(p)=Pe4; PM1(p)=Pm1; PM4(p)=Pm4; AbsV1(p)=abs(V(1)); AngV1(p)=angle(V(1))/DegtoRad; AbsV2(p)=abs(V(2)); AngV2(p)=angle(V(2))/DegtoRad; AbsV3(p)=abs(V(3)); AngV3(p)=angle(V(3))/DegtoRad;

Anexo 1 128

AbsV4(p)=abs(V(4)); AngV4(p)=angle(V(4))/DegtoRad; AbsI1(p)=abs(I(1)-V(1)*YNort1); AngI1(p)=angle(I(1)-

V(1)*YNort1)/DegtoRad; AbsI4(p)=abs(I(4)-V(4)*YNort4); AngI4(p)=angle(I(4)-

V(4)*YNort4)/DegtoRad; Q1(p)=(Edpp1*Iq1-Eqpp1*Id1)-Xdpp1*Id1^2-Xqpp1*Iq1^2-r1*(Id1-Iq1); Q4(p)=(Edpp4*Iq4-Eqpp4*Id4)-Xdpp4*Id4^2-Xqpp4*Iq4^2-r4*(Id4-Iq4); Ve4(p)=Efd4; Lamda_Pe_Xd(p)=L_Pe_Xd; Lamda_Qe_Xd(p)=L_Qe_Xd; Lamda_Pe_Xqp(p)=L_Pe_Xqp; Lamda_Qe_Xqp(p)=L_Qe_Xqp; Lamda_Pe_Xdp(p)=L_Pe_Xdp; Lamda_Qe_Xdp(p)=L_Qe_Xdp; Lamda_Pe_Xdpp(p)=L_Pe_Xdpp; Lamda_Qe_Xdpp(p)=L_Qe_Xdpp; Lamda_Pe_Xqpp(p)=L_Pe_Xqpp; Lamda_Qe_Xqpp(p)=L_Qe_Xqpp; Lamda_Pe_Tdp0(p)=L_Pe_Tdp0; Lamda_Qe_Tdp0(p)=L_Qe_Tdp0; Lamda_Pe_Tdpp0(p)=L_Pe_Tdpp0; Lamda_Qe_Tdpp0(p)=L_Qe_Tdpp0; Lamda_Pe_Tqpp0(p)=L_Pe_Tqpp0; Lamda_Qe_Tqpp0(p)=L_Qe_Tqpp0;

tiempo(p)=t; end

%% Convierte de p.u. a MW la potencia elÈctrica y de rad a deg los

·ngulos PE1(1:p)= PE1(1:p)*100; PE4(1:p)= PE4(1:p)*100; Q1(1:p)= Q1(1:p)*100; Q4(1:p)= Q4(1:p)*100; Delta1(1:p)= Delta1(1:p)/DegtoRad; Delta4(1:p)= Delta4(1:p)/DegtoRad;

%% Grafico sensibilidades % figure %

subplot(3,3,1),plot(tiempo,Lamda_Pe_Xd(1,:),'black',tiempo,Lamda_Qe_Xd(1

,:),'red'); %

subplot(3,3,2),plot(tiempo,Lamda_Pe_Xqp(1,:),'black',tiempo,Lamda_Qe_Xqp

(1,:),'red'); %

subplot(3,3,3),plot(tiempo,Lamda_Pe_Xdp(1,:),'black',tiempo,Lamda_Qe_Xdp

(1,:),'red'); %

subplot(3,3,4),plot(tiempo,Lamda_Pe_Xdpp(1,:),'black',tiempo,Lamda_Qe_Xd

pp(1,:),'red'); %

subplot(3,3,5),plot(tiempo,Lamda_Pe_Xqpp(1,:),'black',tiempo,Lamda_Qe_Xq

pp(1,:),'red'); %

subplot(3,3,6),plot(tiempo,Lamda_Pe_Tdp0(1,:),'black',tiempo,Lamda_Qe_Td

Anexo 1 129

p0(1,:),'red'); %

subplot(3,3,7),plot(tiempo,Lamda_Pe_Tdpp0(1,:),'black',tiempo,Lamda_Qe_T

dpp0(1,:),'red'); %

subplot(3,3,8),plot(tiempo,Lamda_Pe_Tqpp0(1,:),'black',tiempo,Lamda_Qe_T

qpp0(1,:),'red');

%% LAS SIGUIENTES CURVAS SIRVEN PARA COMPARAR LAS TRES SIMULACIONES EN

LA BARRA 4 % % subplot (2,2,1),plot (tiempo(1:p),AbsV4(1:p),'LineWidth',2); % set (gca, 'FontSize',12); title('Bus Voltage (p.u.)');

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(p.u.)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % % subplot (2,2,2),plot (tiempo(1:p),fehz4(1:p),'LineWidth',2); % set (gca, 'FontSize',12); title('Frequency (Hz)');

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(Hz)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % % subplot (2,2,3),plot (tiempo(1:p),PE4(1:p),'LineWidth',2); % set (gca, 'FontSize',12); title('Active Power (MW)');

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(MW)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % % subplot (2,2,4),plot (tiempo(1:p),Q4(1:p),'LineWidth',2); % set (gca, 'FontSize',12); title('Reactive Power (Mvar)');

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(Mvar)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % Dig= load ('/Users/mauriciosanchez/Google Drive/Tesis/Documento

Tesis/Resultados/Validacion_Modelo_Res_Step_Down_AVR_Dig.txt','-ascii'); % Dig=Dig'; % % subplot (3,2,1),plot

(tiempo(1:p),AbsV4(1:p),'r',tiempo(1:p),Dig(1,1:p),'b'); % set (gca, 'FontSize',12); title('TensiÛn en Terminales

(p.u.)'); xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(p.u.)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % subplot (3,2,2),plot

(tiempo(1:p),fehz4(1:p),'r',tiempo(1:p),Dig(2,1:p),'b'); % set (gca, 'FontSize',12); title('Frecuencia (Hz)');

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(Hz)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % subplot (3,2,3),plot

(tiempo(1:p),PE4(1:p),'r',tiempo(1:p),Dig(3,1:p),'b'); % set (gca, 'FontSize',12); title('Potencia Activa (MW)');

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(MW)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % subplot (3,2,4),plot

(tiempo(1:p),Q4(1:p),'r',tiempo(1:p),Dig(4,1:p),'b'); % set (gca, 'FontSize',12); title('Potencia Reactiva (Mvar)');

Anexo 1 130

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(Mvar)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % subplot (3,2,5),plot

(tiempo(1:p),Ve4(1:p),'r',tiempo(1:p),Dig(5,1:p),'b'); % set (gca, 'FontSize',12); title('TensiÛn de Campo (p.u.)');

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(Mvar)', 'FontSize',14); grid on; hold on % % subplot (3,2,6),plot

(tiempo(1:p),speed4(1:p),'r',tiempo(1:p),Dig(6,1:p),'b'); % set (gca, 'FontSize',12); title('Velocidad (p.u.)');

xlabel('Tiempo(seg)'); % ylabel('(Mvar)', 'FontSize',14); grid on; hold on

%% Guarda las salidas como variables medidas en una prueba % P4med_StepVref=PE4(1:p)/Sn4; % Q4med_StepVref=Q4(1:p)/Sn4; % ymed_PQ=[P4med_StepVref;Q4med_StepVref]; % save ymed_PQ.mat ymed_PQ;

%% Salidas en p.u. P4calc_StepVref = PE4(1:p)/Sn4; Q4calc_StepVref = Q4(1:p)/Sn4; ycalc = [P4calc_StepVref;Q4calc_StepVref];

%% Sensibilidades de las salidas con respecto a los par·metros dy_dXd = [Lamda_Pe_Xd(1,:);Lamda_Qe_Xd(1,:)]; dy_dXqp = [Lamda_Pe_Xqp(1,:);Lamda_Qe_Xqp(1,:)]; dy_dXdp = [Lamda_Pe_Xdp(1,:);Lamda_Qe_Xdp(1,:)]; dy_dXdpp = [Lamda_Pe_Xdpp(1,:);Lamda_Qe_Xdpp(1,:)]; dy_dXqpp = [Lamda_Pe_Xqpp(1,:);Lamda_Qe_Xqpp(1,:)]; dy_dTdp0 = [Lamda_Pe_Tdp0(1,:);Lamda_Qe_Tdp0(1,:)]; dy_dTdpp0 = [Lamda_Pe_Tdpp0(1,:);Lamda_Qe_Tdpp0(1,:)]; dy_dTqpp0 = [Lamda_Pe_Tqpp0(1,:);Lamda_Qe_Tqpp0(1,:)];

Lambda_y =

permute(cat(3,dy_dXd,dy_dXqp,dy_dXdp,dy_dXdpp,dy_dXqpp,dy_dTdp0,dy_dTdpp

0,dy_dTqpp0),[1 3 2]);

%% Compara graficamente las salidas medidas con las simuladas % figure % load('ymed_PQ.mat'); % subplot (2,1,1),plot

(tiempo(1:p),P4calc_StepVref(1,1:p),'r',tiempo(1:p),ymed_PQ(1,1:p),'blac

k') % hold on % subplot (2,1,2),plot

(tiempo(1:p),Q4calc_StepVref(1,1:p),'r',tiempo(1:p),ymed_PQ(2,1:p),'blac

k') % hold on

end

B. Anexo 2: Código en Matlab Para la

obtención del sistema de ecuaciones con

derivadas parciales para el cálculo de

sensibilidades de trayectoria

Anexo 2 132

Con el siguiente código se pueden calcular de forma simbólica las ecuaciones

diferenciales que definen las sensibilidades de trayectoria para las salidas 𝑃 y 𝑄. En el

ejemplo presentado en este script se desarrolla el cálculo para las sensibilidades con

respecto a 𝑇𝑞0′′ . Si se desean calcular sensibilidades de trayectoria para otros parámetros,

se debe reemplazar el término Tqpp0 por el parámetro correspondiente.

% C·lculo simbolico de derivadas quinto orden Machowski pg. 455, % Este modelo considera que Xq'= Xq y Ed'= 0:

% Ecuaciones % wp = (wn/2H)(Pm - Ed''Id - Eq''Id + (Xq'' - Xd'')IdIq) % dp = w - wn % Eq'p = (Efd - Eq' + Id(Xd - Xd'))/T'd0 % Eq''p = (Eq' - Eq'' + Id(Xd' - Xd''))/T''d0 % Ed''p = (Ed' - Ed'' - Iq(Xq' - Xq''))/T''q0

clear all syms wn w4 delta4 Eqp4 Eqpp4 Edpp4 Edp4 Id4 Iq4 Efd4 Pm4 Pe4 Qe4 H4 wn4

Xd4 Xdp4 Xdpp4 Xqp4 Xqpp4 Tdp04 Tdpp04 Tqpp04 E0 Zl ... L_w_Tqpp0 L_delta_Tqpp0 L_Eqp_Tqpp0 L_Eqpp_Tqpp0 L_Edpp_Tqpp0... L_Id_Tqpp0 L_Iq_Tqpp0... L_Pe_Tqpp0 L_Qe_Tqpp0...

%% [xp]=[f(x,z,p,u)] Ecuaciones de estado a = (wn/(2*H4))*(Pm4-Pe4); % dw = (wn/(2*H))*(Pm-Pe) b = w4-wn; % dd = w-wn c = (Efd4-Eqp4+Id4*(Xd4-Xdp4))/Tdp04; % dEqp = (Efd-

Eqp+Id*(Xd-Xdp))/Tdp0 d = (Eqp4-Eqpp4+Id4*(Xdp4-Xdpp4))/Tdpp04; % dEqpp = (Eqp-

Eqpp+Id*(Xdp-Xdpp))/Tdpp0 e = (Edp4-Edpp4-Iq4*(Xqp4-Xqpp4))/Tqpp04; % dEdpp = (Edp-Edpp-

Iq*(Xqp-Xqpp))/Tqpp0

%% [0]=[g(x,z,p,u)] Ecuaciones algebr·icas m = (E0*cos(delta4)-Eqp4)/(Xdp4+Zl)-Id4; % Id = (E0*cos(d)-

Eqp)/(Xdp+Zl) n = (E0*sin(delta4)-Edp4)/(Xqp4+Zl)-Iq4; % Iq = (E0*sin(d)-

Edp)/(Xqp+Zl)

%% [y]=[h(x,z,p,u)] Ecuaciones algebr·icas

salidas r = Edpp4*Id4+Eqpp4*Iq4+(Xdpp4-Xqpp4)*Id4*Iq4; % Pe =

Edpp*Id+Eqpp*Iq+(Xdpp-Xqpp)*Id*Iq s = Edpp4*Iq4-Eqpp4*Id4-Xdpp4*Id4^2-Xqpp4*Iq4^2; % Qe = Edpp1*Iq1-

Eqpp1*Id1-Xdpp1*Id1^2-Xqpp1*Iq1^2

%% [df/dTqpp04] dL_w_Tqpp0 = diff(a,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(a,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(a,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(a,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

Anexo 2 133

diff(a,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(a,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(a,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(a,Tqpp04) dL_delta_Tqpp0 = diff(b,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(b,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(b,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(b,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

diff(b,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(b,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(b,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(b,Tqpp04) dL_Eqp_Tqpp0 = diff(c,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(c,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(c,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(c,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

diff(c,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(c,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(c,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(c,Tqpp04) dL_Eqpp_Tqpp0 = diff(d,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(d,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(d,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(d,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

diff(d,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(d,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(d,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(d,Tqpp04) dL_Edpp_Tqpp0 = diff(e,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(e,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(e,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(e,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

diff(e,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(e,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(e,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(e,Tqpp04)

%% [dg/dTqpp04] = 0 cero = diff(m,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(m,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(m,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(m,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

diff(m,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(m,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(m,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(m,Tqpp04) cero1 = diff(n,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(n,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(n,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(n,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

diff(n,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(n,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(n,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(n,Tqpp04)

%% [dh/dTqpp04] L_Pe_Tqpp0 = diff(r,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(r,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(r,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(r,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

diff(r,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(r,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(r,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(r,Tqpp04) L_Qe_Tqpp0 = diff(s,w4)*L_w_Tqpp0 + diff(s,delta4)*L_delta_Tqpp0 +

diff(s,Eqp4)*L_Eqp_Tqpp0 + diff(s,Eqpp4)*L_Eqpp_Tqpp0 +

diff(s,Edpp4)*L_Edpp_Tqpp0 + diff(s,Id4)*L_Id_Tqpp0 +

diff(s,Iq4)*L_Iq_Tqpp0 + diff(s,Tqpp04)

estimación de los parámetros del modelo matemático del...

Documents