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IV Jornadas de Ingeniería del Agua La precipitación y los procesos erosivos Córdoba, 21 y 22 de Octubre 2015
B.26.
Estimación de gastos de diseño con
análisis de la función de distribución de las lecturas de
escala
M.L. Arganis Juárez1,2, R. Domínguez Mora1, J.L. Herrera Alanís1
Coordinación de Hidráulica. Instituto de Ingeniería1. Facultad de Ingeniería2.
Universidad Nacional Autónoma de México. Edificio 5. 14010 México, D.F.
1. Introducción
La medición del escurrimiento registrado por las estaciones hidrométricas se realiza de un
modo indirecto en las estaciones de aforo y depende en gran medida de la cantidad y
calidad de la información de los datos medidos de lectura de escala. El método de la sección
velocidad llega a ser poco práctico en cauces con secciones anchas o ríos muy caudalosos.
Cuando se logra contar con un buen número de puntos de gastos medidos y lecturas de
escala registradas se pueden obtener ecuaciones de ajuste del gasto en función de la
elevación del nivel del agua en el sitio.
Para estimar el caudal que se presenta, en ciertas horas del día en función de la lectura de
escala (nivel del agua registrado) se utilizan ecuaciones de tipo potencial (Domínguez et al,
2006); posteriormente, para obtener avenidas de diseño se suelen utilizar directamente los
valores de los caudales obtenidos (por ejemplo de los máximos instantáneos o de los medios
diarios) (Domínguez y Arganis, 2012, Monroy et al, 2013, Guzmán, 2014 ).
En este estudio se efectuó un análisis estadístico de los valores de las lecturas de escala
máximas anuales registradas en una estación hidrométrica del sureste de México. Con dicho
análisis se determinó la función de distribución de probabilidades de mejor ajuste y se
extrapolaron valores para distintos periodos de retorno. La función que mejor representó el
comportamiento de los niveles del agua máximos anuales en la sección de la estación
hidrométrica fue de tipo doble Gumbel (González, 1969; Rossi et al, 1984). El análisis
estadístico también se realizó a los gastos instantáneos máximos anuales, en el periodo
común de las lecturas de escala registradas, obteniendo también funciones doble Gumbel.
Con los resultados obtenidos se determinó al gasto máximo instantáneo en función del dato
de lectura de escala considerando funciones polinomiales y potenciales. Los coeficientes de
las funciones potenciales se determinaron con ayuda de algoritmos genéticos (Goldberg,
1989) y con ayuda del complemento Solver© del software Excel©. La función potencial
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obtenida con Solver©, y considerando una elevación inicial, dio los menores errores medios
cuadrático, seguida de las funciones polinomiales de tercer grado y de los resultados del
algoritmo genético para la función potencial y un polinomio con coeficientes y exponentes
reales.
2. Metodología
2.1 Lectura de escala
En el sitio de análisis la lectura de escala se realiza diariamente cada seis horas en el
estiaje y cada hora en época de avenidas, con ayuda de un limnímetro de concreto
dividido en siete tramos de 2 m cada uno, en posición escalonada, lo que permite medir
hasta 14.00 m. La escala está colocada en la margen izquierda del río, 5 m aguas arriba de
la sección de aforos. El cero de la escala está referido a una cota arbitraria. Las escalas se
comenzaron a tomar el 4 de junio de 1953.
La estación seleccionada cuenta con limnígrafo Stevens tipo F, alojado en una caseta y
pozo de ladrillo y cemento de 1.50 x 120 m y 10.5 x 1.20 m, respectivamente; tiene una
galería y la comunicación se hace por medio de tubos de polietileno. El limnígrafo empezó
a funcionar el 15 de junio de 1967 (Secretaría de Recursos Hidráulicos, 1969).
2.2 Aforo de corriente
La estructura para aforos del sitio analizado cuenta con cablevía y canastilla, se apoya en
torres de concreto; el cable de acero pasa por un claro de 200 m. Entró en operación el 21
de enero de 1964. Antes de esta estructura los aforos se hacían con un cayuco sujeto a un
cable de acero de 0.95 cm que se tendía de una a otra orilla del cauce con separación de
unos 150 m (Secretaría de Recursos Hidráulicos, 1969).
2.3 Curvas elevación gasto
El ajuste de la curva elevaciones-gastos puede realizarse empleando el método de mínimos
cuadrados, con una función del tipo (Domínguez et al., 2006):
[1]
Donde: Q gasto, en m3/s; H nivel del agua, en m; Ho nivel base (esto es, nivel para el cual el
gasto es nulo), en m; c, n parámetros que se obtienen del ajuste de los datos.
También es frecuente ajustar polinomios hasta de grado 3, o funciones de tipo exponencial;
en hojas de cálculo tipo Excel© se pueden realizar estos ajustes.
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2.3 Análisis estadístico de datos
Al registro de datos máximos anuales de las series de tiempo analizadas se les ajustaron
distintas funciones distribución seleccionando aquella de menor error estándar de ajuste;
con la función de mejor ajuste se obtuvieron eventos de diseño para distintos periodos de
retorno; para lo anterior se utilizó el programa AX (Jiménez, 1996).
2.3 Algoritmos genéticos
Son algoritmos basados en la Teoría de Selección Natural de Darwin (Goldberg, 1989), se
han usado desde finales de los años ochenta del siglo XX como herramienta de
optimización en distintos problemas de hidrología e hidráulica. En un algoritmo genético
simple se propone una población inicial de n individuos; en el problema cada individuo
representa un conjunto de parámetros del modelo matemático propuesto que aproximará
a una serie de datos; posteriormente se evalúa el desempeño de los individuos (fitness) a
través de la evaluación de una función objetivo; en el estudio se consideró como función
objetivo la minimización del error medio cuadrático (EMC); los individuos de mejor
desempeño se seleccionan aleatoriamente (con ayuda de los métodos tipo ruleta o
estocástico universal) y posteriormente se someten a los operadores cruza y mutación
para generar una nueva población de n individuos que pasarán a la siguiente generación.
El procedimiento se repite hasta que se alcanza el número de generaciones propuesta
(iteraciones). Los individuos que dan la mejor respuesta en la función objetivo en la última
generación se consideran la solución óptima del problema.
3. Aplicación y resultados
3.1 Sitio de estudio
Para el análisis se seleccionaron los datos de la estación hidrométrica 30042 Salto de Agua
(figura 1) que afora una porción de la corriente del río Tulijá, afluente del río Grijalva,
frente al poblado de Salto de Agua en el estado de Chiapas; se localiza en las coordenadas
17° 34’00’’ de Latitud Norte y 92°22’00’’ Longitud Oeste. Su cuenca cubre un área de 2876
km2.
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Figura 1. Ubicación de la estación hidrométrica
3.2 Análisis de datos de lectura de escala
Se seleccionaron los datos de lectura de escala máximos anuales medidos en el periodo
común con los gastos máximos anuales (Tabla 1).
Tabla 1. Lecturas de escala máximas anuales (periodo común con gastos máximos anuales).
Con el programa AX se determinó que la función de distribución de probabilidades de
mejor ajuste fue de tipo Doble Gumbel (figura 2). Los valores extrapolados de las lecturas
de escala para distintos periodos de retorno se indican en la Tabla 2.
No. Año Le, m
1 1986 13.950
2 1988 15.110
3 1990 15.120
4 1991 12.150
5 1992 14.180
6 1993 11.440
7 1994 11.840
8 1995 12.190
9 1996 11.880
10 1997 11.260
11 1998 12.210
12 1999 14.270
13 2003 12.980
14 2004 10.480
15 2005 10.580
16 2006 11.880
17 2007 12.550
18 2008 12.640
19 2009 10.280
20 2010 13.630
21 2011 13.360
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Figura 2. Lectura de escala medidas y calculadas. Doble Gumbel
Tabla 2. Valores extrapolados de las lecturas de escala para distintos periodos de retorno.
3.3 Análisis de datos de escurrimiento
Se consideraron los registros de gastos instantáneos máximos anuales (Qmi) para el
periodo común con las lecturas de escala (Tabla 3). Con el programa AX se determinó que
la función de mejor ajuste fue de tipo Doble Gumbel (figura 3).
1.01
1.11
1.25
2 5 10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
10
12
14
16
18
20
22
24
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lectu
ra d
e e
scala
, m
Variable Reducida, Z=-ln[ ln( Tr / (Tr-1) ) ]
30042 Salto de Agua . Lectura de escala Doble Gumbel, p=0.81
Medidos Calculados
Tr, años
Tr Le
años m
2 12.28
5 14.17
10 14.68
20 15.09
50 15.67
100 16.16
200 16.72
500 17.54
1000 18.2
2000 18.87
5000 19.76
10000 20.48
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Tabla 3. Gastos máximos instantáneos anuales (periodo común con Lecturas de escala máximas
anuales).
Figura 3. Gastos máximos instantáneos medidos y calculados. Doble Gumbel
Los valores extrapolados de los gastos máximos para distintos periodos de retorno se
indican en la Tabla 4.
No Año Qmi, m3/s
1 1986 1307.486
2 1988 2027.858
3 1990 1618.382
4 1991 1268.603
5 1992 1306.443
6 1993 1124.877
7 1994 1072.657
8 1995 1255.7508
9 1996 1104.8962
10 1997 1385.9692
11 1998 1096.274
12 1999 1490.3775
13 2003 1476.9421
14 2004 1225.7149
15 2005 981.41
16 2006 1383.57
17 2007 1562.05247
18 2008 1581.61183
19 2009 1103.65046
20 2010 2091.9508
21 2011 1613.97501
1.01
1.11
1.25
2 5 10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gasto
máxim
o in
stá
neo
, m
3/
s
Variable Reducida, Z=-ln[ ln( Tr / (Tr-1) ) ]
30042 Salto de Agua . Gasto máximo Doble Gumbel, p=0.83
Medidos Calculados
Tr, años
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Tabla 4. Valores extrapolados de las lecturas de escala para distintos periodos de retorno.
3.4 Ecuaciones de gasto-elevación
Con los datos medidos, calculados y extrapolados de los gastos y de las lecturas de escala
se analizaron los siguientes modelos: 1) Modelo polinomial con coeficientes y potencias
reales, 2) Modelo potencial con algoritmo genético sin elevación inicial, 3) Modelo de
tercer grado con Excel©, 4) Modelo potencial con algoritmo genético considerando
elevación inicial y 5) Modelo potencial con Solver© considerando elevación inicial. Los
resultados obtenidos fueron:
1) Modelo polinomial con algoritmo genético con coeficientes y potencias reales
[1]
2) Modelo potencial con algoritmo genético sin elevación inicial
[2]
3) Modelo polinomio de tercer grado con Excel©
[3]
4) Modelo potencial con algoritmo genético considerando elevación inicial
[4]
5) Modelo potencial con Solver© considerando elevación inicial
[5]
Donde : Qmi gasto máximo instantáneo en m3/s, Le lectura de escala en m. Los errores
medios cuadráticos obtenidos con cada modelo se indican en la Tabla 5. En la Figura 4 se
dibujaron los valores medidos, los calculados con la DG y los calculados con todos los
Tr Q mi
años m3/s
2 1312.93
5 1635.8
10 1878.95
20 2093.76
50 2355.69
100 2546.88
200 2735.85
500 2984
1000 3171.31
2000 3358.63
5000 3606.41
10000 3795.2
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modelos obtenidos y en las Figuras 5 a 9 se dibujó cada resultado calculado contra los
datos medidos y con respecto a una función identidad.
Figura 4. Comparación de modelos Gasto- elevación
Figura 5. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 1 con respecto a la
función identidad
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
10 12 14 16 18 20 22
Q, m
3/s
Le, m
Medidos
Ec. 1
Ec. 2
Ec. 4
Ec. 5
DG
Ec. 3
y = 0.985x + 27.555R² = 0.9853
r=0.9926
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010
Q, m
3/s
Q medidos, m3/s
Ec. 1
Identidad
Lineal (Ec. 1)
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Figura 6. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 2 con respecto a la
función identidad
Figura 7. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 3 con respecto a la
función identidad
y = 0.9862x + 25.129R² = 0.9855
r=0.9927
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010
Q, m
3/s
Q medidos, m3/s
Ec. 2
Identidad
Lineal (Ec. 2)
y = 0.9944x + 10.27R² = 0.9944
r=0.9972
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010
Q, m
3/s
Q medidos, m3/s
Ec. 3
Identidad
Lineal (Ec. 3)
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Figura 8. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 4 con respecto a la
función identidad
Figura 9. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 5 con respecto a la
función identidad
y = 0.8775x - 224.45R² = 0.9858
r=0.9929
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010
Q, m
3/s
Q medidos, m3/s
Ec. 4
Identidad
Lineal (Ec. 4)
y = 0.9862x + 25.14R² = 0.9855
r=0.9927
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010
Q, m
3/s
Q medidos, m3/s
Ec. 5
Identidad
Lineal (Ec. 5)
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Tabla 5. Error medio cuadrático cometido por cada modelo
4. Conclusiones
De las Figuras 5 a 9 y de la Tabla 5 se observa que la mayor correlación y el menor error
medio cuadrático se obtuvo con el modelo polinomial de la ecuación (3), seguido del
modelo potencial de la ecuación (5) que considera una elevación inicial y que fue
obtenido con la herramienta Solver© de Excel©, este resultado es similar al modelo de la
ecuación (2) en el que se usó un programa de algoritmos genéticos, pero que no considera
una elevación inicial. El mayor error medio cuadrático se obtuvo con el modelo de la
ecuación (4) y de la figura 8 se observa que aunque la correlación es alta, los datos quedan
por debajo de la función identidad. Con los modelos obtenidos se pueden estimar gastos
de diseño analizando directamente a la función de distribución de las lecturas de escala.
Agradecimientos
Se agradece por el apoyo a la investigación al proyecto PAPIIT IN101514 de la DGAPA,
UNAM, México.
Referencias
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obras civiles de CFE, Hidrología. Capítulo A.1.6. Escurrimiento.
Goldberg, D.E. 1989. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning.
Addison-Wesley, USA.
Ecuación EMC
1 9059.88344
2 8947.15565
3 3440.4905
4 217912.057
5 8947.15559
B.26.
Guzmán G. H, Domínguez M.R, Arganis Juárez M.L. y González V. F. 2014. Regionalización de
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Jiménez-Espinoza, M. 1996. Programa AX. Área De Riesgos Hidrometeorológicos. Centro
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