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Estimación de error en elementos finitos
mediante técnicas de ‘recovery’
Dpto. Ingeniería Mecánica y de MaterialesUniversitat Politècnica de València
Congreso Nacional de ingeniería Mecánica, Castellón 2012
Javier Fuenmayor
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2
Motivación
Elementos finitos
• Herramienta numérica de gran aplicación en Ingeniería• Software disponible muy elaborado
– Preproceso (CAD, generación automática de mallas, ..)– Procesado, incluyendo posibles complejidades del problema (geometría,
materiales, tipos de análisis, ..)– Postproceso con facilidades para interpretación de resultados
• Método numérico → Solución aproximada– Error de discretización inherente al método
• Objetivos– Estimación de error de discretización– Automatización de análisis– Mejora de confiabilidad en resultados
¿Error en y?
y
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3
Contenido
1. Introducción
2. Estimación de error de discretización
3. Problemas de contacto
4. Problemas singulares
5. Estimación de error en magnitudes de interés
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4
1. Introducción
• Formulación MEF1.1 Problema elástico
N
hhhh ddd TTT tvbvvεuσ
0,:iónInterpolac:ciónDiscretiza
Cheh uuxNxu
• Solución no exacta
– Equilibrio
– Discontinuidad de tensiones entre elementos
Nh
h
enen0
tnσbσ
uy
y
hhhh VU vu todopara que, talEncontrar
• Formulación débil: P.T.V.
F. supF. vol
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5
1. Introducción
1.2 Error de discretización, convergencia, h-adaptatividad
xuxuxe h cióndiscretiza deError
• Error de discretización y convergencia (refinamiento h)
• Ley de convergencia → h - adaptatividad
E
EE
u
e:relativoError
derror del energética Norma 12 hhE
σσDσσe
acthadapth
ddenergética Norma 1TT2 σDσεσuE
,min pchC cE
e
SingularidadGrado polinómico
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6
Dimensión problema
1. Introducción
• h-adaptatividad
R
[1] J.F. Fuenmayor and J.L. Oliver, “Criteria to achieve nearly optimal meshes in the h-adaptive finite element method”IJNME 1996, 39(23): 4039-4061.
1
10
100
1000 10000NGDL
es(
)
dNp
NENC
e
Adaptación inicial h-uniforme
h-adaptativo
dN
NENC
e
NGDL
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7
2. Estimación de error de discretización
2.1 Estimadores “a posteriori”
• Técnicas de recovery– Basados en obtener una solución mejorada a partir de la solución de
elementos finitos (en general tensiones)
d12 hhE
σσDσσe
d*1*2 hhEes σσDσσe
[1] E. Hinton and J. Campbell, "Local and Global Smoothing of Discontinuous Finite Element Functionsusing a Least Squares Method“, IJNME 1974; 8:461-480.
[2] O. Zienkiewicz and J. Zhu, “The Superconvergent Patch Recovery and a-posteriory Error Estimates. Part 1; The Recovery Technique”, IJNME 1992, 8:1331-1364.
• Técnicas de construcción de * – Utilización de técnicas de mínimos cuadrados [1]– …– SPR (Superconvergent Patch Recovery) [2]
• Técnica muy utilizada en la actualidad• Buena precisión del estimador• Coste computacional razonable
*
h
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8
2. Estimación de error de discretización
2.2 Estimador de Zienkiewick - Zhu. Técnica SPR
• Técnica SPR de construcción de * – Ejemplo 1D – Cilindro a presión interna
• Elementos lineales • Tensiones constantes en elemento
5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Cilindro sometido a presión interna
Radio
Tens
ion
circ
unfe
renc
ial
P.G.
Solución ExactaSolución EF
5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Cilindro sometido a presión interna
Radio
Tens
ion
circ
unfe
renc
ial
P.G.
Solución ExactaSolución EF
h h
h
Precisión de tensiones en puntos de integración de Gauss
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9
2. Estimación de error de discretización
2.2 Estimador de Zienkiewick - Zhu. Técnica SPR
• Técnica SPR de construcción de *– Patch: elementos conectados a un nodo– Ajuste de polinomio a partir de tensiones en PG en Patch– Obtención del valor nodal– Interpolación a partir de valores nodales
5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1Cilindro sometido a presión interna
Radio
| Ten
sion
radi
al |
P.G.
Solución ExactaSolución EF
Patch
5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1Cilindro sometido a presión interna
Radio
| Ten
sion
radi
al |
P.G.
Solución ExactaSolución alisada SPR
*σ
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10
5 10 15 20
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1Cilindro (malla uniforme)
Número de nodosE
fect
ivid
ad
2. Estimación de error de discretización
2.2 Estimador de Zienkiewick - Zhu. Técnica SPR
• Técnica SPR de construcción de *– Resultados estimación de error
E
Ees
e
e
101
10-6
Cilindro (malla uniforme)
Número de nodos
Erro
r abs
olut
o
1
1
Error exactoError estimado
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2. Estimación de error de discretización
2.2 Estimador de Zienkiewick - Zhu. Técnica SPR
• Técnica SPR de construcción de * para problemas 2D y 3D– Patch asociado al nodo k– Polinomio de ajuste:
...3210 xyayaxaaσ kkkkkk PPPPPP apx
k
kk
kk
G
i
Pii
hG
ii
Pi
hP σσσE1
2
1
2 axpxxxa
kkk PPP bam ihG
ii
Pi
G
ii
P σk
kk
k xxpbxpxpm
1
T
1
T ;
** σxNxσ
*σ
– Ajuste de polinomio a partir de tensiones en PG en Patch(mínimos cuadrados)
– Obtención del valor nodal
– Interpolación a partir de valores nodales
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12
2. Estimación de error de discretización
2.3 Mejora de la técnica SPR
• Problemas de estimación en contorno [1]– Campo mejorado en contorno poco preciso
(Patch con número reducido de elementos)
– Ejemplo: modelo 2D de cilindro sometido a presión interna(1/4)
[1] J. Ródenas, M. Tur, F. Fuenmayor and A. Vercher, “Improvement of the superconvergent patch recoverytechnique by the use of constraint equations: The SPR-C technique”, IJNME 2007, 70: 705-727.
1si11
1si1
e
e
ee
e
e
e D
DD
Desviación efectividad
+0.012
0
-0.012
*y y
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13
2. Estimación de error de discretización
2.3 Mejora de la técnica SPR [1]
• Incorporación de condiciones de contorno
– Sistema de coordenadas en patch de contorno
[1] J. Ródenas, M. Tur, F. Fuenmayor and A. Vercher, “Improvement of the superconvergent patch recovery technique by the use of constraint equations: The SPR-C technique”, IJNME 2007, 70: 705-727.
– Ecuaciones de restricción en ajuste: 0AR kk PPC
• Incorporación de equilibrio interno
– Ecuaciones de equilibrio en patch 0AR kk PPI
• Imposición mediante Lagrange en minimización
ARμARλAA kkkk PI
TPC
TPPC EE
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14
2. Estimación de error de discretización
2.3 Mejoras de la técnica SPR
• Ejemplo: Placa infinita con agujero circular
4sin234sin2sin
21
4cos234cos2cos
21
4cos234cos2cos
231
4
4
2
2
4
4
2
2
4
4
2
2
ra
ra
ra
ra
ra
ra
xy
y
x
– No mejora la efectividad global
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
10 100 1000 10000g.d.l.
Efectividad global
SPR
SPR-C
E
Ees
e
e
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15
2. Estimación de error de discretización
2.3 Mejora de la técnica SPR
• Ejemplo: Placa infinita con agujero circular– Mejora la efectividad local
111
11
e
e
ee
e
e
D
D
Desviación efectividadeD
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3. Estimación de error en problemas de contacto
3.1 Modelo de contacto
• Modelos de contacto– Interacción nodo-segmento (1980/1990)
• Nodos esclavos no penetran en superficie maestra• Transmisión de fuerzas puntuales en contacto
• Precisión baja (oscilaciones de tensiones de contacto)• Pérdida de velocidad de convergencia de la solución
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17
3. Estimación de error en problemas de contacto
3.1 Modelo de contacto
• Interacción segmento-segmento (contacto normal)– Aproximación de presión en contacto
– Formulación débil:• Trabajo virtual de tensiones de contacto
)1(
cCCNc
hN pMp
[1] B. Yang, T.A. Laursen and X.N. Meng, “Two dimensional mortar contact methods for large deformation frictional sliding”,IJNME 2005, 62: 1183-1225.
[2] M. Tur, F.J. Fuenmayor, and P. Wriggers, “A mortar-based frictional contact formulation for large deformations using Lagrangemultipliers”, CMAME 2005, 198: 2860:2873.
[3] M. Tur, E. Giner, F.J. Fuenmayor, and P. Wriggers, “2D contact smooth formulation based on the mortar method”,CMAME 2012, 247-248: 1:14
+ ….
1c
dgp hN
hN
hN
hn
hN pdgp
c
01
– Lagrange, Lagrange aumentado, consideración de fricción, ..
• Condición de impenetrabilidad
Funciones de forma
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18
3. Estimación de error en problemas de contacto
3.2 Estimación de error
• Ajuste en patch de superficie de contacto
B
A
– Patch en nodo de contacto incluye elementos de ambos sólidos
– Ajuste polinómico para cada cuerpo
– Definición de ejes locales en el nodo de ensamblado del patch
– Ajuste considerando:• Continuidad de tensiones normales y
tangenciales• Tensiones tangenciales nulas en
contacto sin rozamiento
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3. Estimación de error en problemas de contacto
3.2 Estimación de error
• Contacto cilíndrico con rozamiento
Von Mises
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20
Efectividad
3. Estimación de error en problemas de contacto
3.2 Estimación de error
• Contacto cilíndrico con rozamiento
– Mejora de tensiones del algoritmo SPR-C frente al SPRError en y Error en xy
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21
3. Estimación de error en problemas de contacto
3.2 Estimación de error
• Engranajes
y
x
Par transmitido por cada diente:
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22
4. Estimación de error en problemas singulares
4.1 Método XFEM
• Problemas con singularidades (grietas, etc.)• Modelado MEF estándar:
– La discretización debe representar las caras de grieta– Precisión requiere refinamiento importante– Simulación costosa de crecimiento de grietas
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23
4. Estimación de error en problemas singulares
4.1 Método XFEM
• Modelado de grieta mediante enriquecimiento– Funciones Heaviside → caras de grieta– Funciones que generan el primer término singular
[1] T. Belytschko and T. Black, ”Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing”, IJNME 1999, 45: 601-620.[2] N. Moës, J. Dolbow and T. Belytschko, “A finite element method for crack growth without remeshing”,
IJNME 1999, 46: 131-150.
Kk
klk
Jjjj
Iiii
h cFNHNN4
1
xxbxxaxxu
sin
2cos,sin
2sin,
2cos,
2sin4
1 rrrrF x
elementogrieta
H(x)
elementogrieta
F1(x)
extremode grieta
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24
4. Estimación de error en problemas singulares
4.1 Método XFEM
• Elementos blending– Parcialmente enriquecidos, no existe partición de la
unidad, disminuyen precisión, …
[1] T.P. Fries. “A corrected XFEM approximation without problems in blending elements”. IJNME 2007; 75: 503-532[2] J. E. Tarancón, A. Vercher, E. Giner and F. J. Fuenmayor. “Enhanced blending elements for XFEM applied to
linear elastic fracture mechanics”. IJNME 2009; 77:126-148
Error en norma energética (%) Error en KI
102
103
104
105
106
10-3
10-2
10-1
100
101
Nº g.d.l.
erro
r (%
)
geo XFEM (s=0.98)geo XFEM+EBE (s=0.91)
102
103
104
105
106
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
Nº g.d.l.
erro
r (%
)
geo XFEM (s=2.00)geo XFEM+ETC (s=1.85)
• Mejora de elementos blending [1,2]– Ejemplo: Placa infinita con grieta en modo mixto (elementos cuadráticos)
EBMEBM
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25
[4]
4. Estimación de error en problemas singulares
4.2 Estimación de error
• Técnica SPR no adecuada para problemas singulares– Incorporación de términos singulares en SPR [1,2]
– Descomposición solución suave + singular [3]
[1] S. Bordas, M. Duflot and P.A. Le. “A simple error estimator for extended finite elements”. CNME 2008; 24:961-971. [2] M. Duflot and S. Bordas. “A posteriori error estimation for extended finite element by an extended global recovery”. IJNME 2008;
76:1123-1138.[3] J.J. Ródenas, O.A. González-Estrada, J.E. Tarancón and F.J. Fuenmayor. “A recovery-type error estimator for the extended finite
element method based on singular+smooth stress field splitting”. IJNME 2008;76:545-571.[4] B. Moran B and C.F. Shih. “Crack tip and associated domain integrals from momentum and energy balance”.
EFM 1987; 7:615-642
singsmo σσσ
*singsmo σσσ hhhσ *
singσ
*smoσ*
sing** σσσ smo
SPR - C
**, III KK
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26
4. Estimación de error en problemas singulares
4.2 Estimación de error
• Resultados – Ejemplo: Placa infinita con grieta en modo mixto
Efectividad localEfectividad
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27
4. Estimación de error en problemas singulares
4.2 Estimación de error
• Simulación ensayo fretting-fatiga (contacto cilíndrico)
P
Tks
kp
h
LL
d
R
ag
ax
y
Refinamiento h-adaptativo
[1] E. Giner, C. Navarro, M. Sabsabi, M. Tur, J. Domínguez, F.J. Fuenmayor, “Fretting fatigue life prediction using the extended finite element method ”, IJMS 2009, 53: 217-225.
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4. Estimación de error en problemas singulares
4.2 Estimación de error• Simulación ensayo fretting-fatiga (contacto completo)
– Singularidad de esquina en contacto y de extremo grieta [1]– Simulación de cierre de grieta [2]
bulk
P P
[1] E. Giner, M. Tur, and F.J. Fuenmayor, “A domain integral for the calculation of generalized stress intensity factors in sliding complete contacts ”, IJSS 2009, 46: 938-951.[2] M. Sabsabi, E. Giner and F.J. Fuenmayor , “Experimental fatigue testing of a fretting complete contact and numerical life correlation using X-FEM ”, IJF 2011, 33: 811–822
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5. Estimación de error en magnitudes de interés
5.1 Planteamiento mediante problema dual
• Buscamos:– Estimar el error en magnitudes de interés– Obtener discretizaciones adecuadas a la magnitud
uQ
Q
dQ T
Q
αuu 1
• Magnitudes de interés:
– Desplazamiento medio en Q
– Tensión media en Q
– F.I.T.
Q
dQ T
Q
ασu 1
Q jk
auxjk
auxkjk x
quuC
KQ d1 u
Vector extracción componentes
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5. Estimación de error en magnitudes de interés
5.1 Planteamiento mediante problema dual
• Problema primal:
• Magnitud de interés de la solución (lineal): uQ
• Problema dual:
dd 1u
Twu
TwQ σDσεσu
N
vTu ddd TT tvbvεσ
)(d vεσ QvTw
d1 huu
hwwQE σσDσσ
• Estimador de error basado en recovery de primal y dual
d*1* huu
hwwesQE σσDσσ
• Error en magnitud de interés:
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5. Estimación de error en magnitudes de interés
5.1 Estimación de error
• Cilindro sometido a presión interna• Magnitud: tensión media x en dominio de interés
0.90
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.E+3 1.E+4 1.E+5 1.E+6g.d.l.
Efectividad
Q
esQ
EE
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5. Estimación de error en magnitudes de interés
5.1 Estimación de error
• Problema singular• Magnitudes : FIT generalizados (KIG ,KIIG )
)()()(
ueu
QQQ esh
QoI
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
1.E+3 1.E+4 1.E+5g.d.l.
EfectividadQ
esQ
EE
KIIG
KIG
d1
*j
kauxjk
auxkjkG x
quuC
KQ u
KI G KII G
gdl QoI QoI
1167 0,9939600 0,8086917 1,0000957 1,05122580
3097 0,9995515 0,9082397 1,0000358 1,08094500
10959 0,9999716 0,9627274 1,0000042 1,03711201
41007 0,9999984 0,9903965 1,0000004 1,01401490
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Estimación de error en elementos finitos
mediante técnicas de ‘recovery’
Dpto. Ingeniería Mecánica y de MaterialesUniversitat Politècnica de València
Congreso Nacional de ingeniería Mecánica, Castellón 2012
Javier Fuenmayor
Juan José RódenasJosé Enrique TarancónJosé AlbeldaLuis M. Baeza
Eugenio GinerManuel TurFrancisco D. DeniaAna Vercher