2.1 Interpolación

Se puede expresar una función continua en términos de valores equi-

espaciados (shift-invariant space)

�∅��� = � ����∅ �� �� − ����

�����∅�⋅� es la función interpoladora��⋅� es la función base que interpola

Condición para la función base

interpoladora (función cardinal)

Ejemplo: si ���� = ��� ����

Otra posibilidad: interpolación con funciones B-spline

Vecino más cercano: ∅��� = ����� ⁄ ��� = " �� + � $⁄ � − " �� − � $⁄ �

Interpolación lineal: ���� = �%&'(���� = )1 + � −1 < � < 01 − � 0 ≤ � < 10 ~

��'� = /0'1 = 21' = 00' ≠ 0

���� = ∑ ���∈ℤ �����Una formulación general para las series de Fourier es

donde se utiliza otro tipo de función φk diferente a las funciones sinusoidales.

Procesamiento Digital2.

Por ���� = �%&'(���� ℱ↔9 �:� �;< � =

ejemplo:

�>��� = ���'�/�� − '�

�∈ℤ ℱ↔?>�@� = ���'���A� =

�∈ℤ= �?�@ + 2'C�

�∈ℤ

Sin embargo: �∅��� = �>⊛∅���Porque ���'�/�� − '� ⊛ ∅���

�∈ℤ ℱ↔?∅�@� = ?>�@� ⋅ E�@�= E�@�∑ ?�@ + 2'C��∈ℤ

Si ���� = ��� ���� ℱ↔E�@� = ����$��@�

Supongamos que se tiene una función f:ℝ → ℝ y su tranformación de Fourier

F: ℝ → ℂ

Al multiplicar la función f por un tren de pulsos, se genera una función fd, la

transformación de Fourier Fd, es la convolución de F(ω) con un tren de pulsos.

Pues la transformación de un tren de pulsos es un tren de pulsos, y la

transformación de Fourier de una multiplicación de 2 funciones es la

convolución de la transformación de Fourier cada una de esas funciones

2.2 Muestreo o discretización

Sea f(t) es una función de energía finita y σ-BL (F(ω)= 0 para |ω| > σ).Entonces, ocurre que ?>�@� = ?�@� para |@| < CPor lo tanto ?�@� = ?>�@� ⋅ J���K�@�∀@Como ���� = ��� ��

�� ℱ↔

Finalmente

con C = � ⁄ la frecuencia de muestreo

o Nyquist

Fórmula de

reconstrucción���� =M��'� N�' C�� − '�C�� − '�

�∈ℤ

2.3.1 Interpolación de banda limitada

Dada una función f(x) y una constante T, C = � ⁄����� =M��'� N�' C�� − '�C�� − '�

�∈ℤ ℱ↔?��@� = ?>�@� ⋅ J���K�@�

Por lo que ����� se obtiene al aplicar un filtro pasa-bajos ideal a�>�∙�, por lo

que ����� es σ-BL. El error puntual es ���� −����� = 0, para � = 'y se puede demostrar que

2.3.2 Ejemplo gráfico de muestreo / reconstrucción

2.3 Teorema del Muestreo

Para un intervalo de

periodo<N> (cerca del origen)

Tenemos

y la inversa

Recordando que con el tren de pulsos PQ�@� = ∑ /�@ − '@R��∈ℤ , @R = 2S ⁄

Y que, por otro lado, ?>�@� = T ��'���A� =�∈ℤ =?U�V�, Ω = Tω

Tenemos que es periódica en 2π

con Ω=Tω la frecuencia de la señal discreta.

De esta forma, la transformada de Fourier de una señal discreta será

?U�V� = ���'���A�[

�∈ℤ

2.5 De la Transformada de Fourier de señales discretas

a la Transformada Discreta de Fourier

Una señal discreta f se puede periodizar mediante�0̅'1 = ∑ �0' + ]�1�����

2.4. Transformada de Fourier en tiempo discreto

Finalmente

Discretización de la Transf. de Fourier (periodización de la señal)

Tenemos que la transformación de Fourier de una señal discreta será

Pero

definiendo

Por lo

tanto

Teorema del muestreo La transformada de Fourier es

2.6 Ejemplo de Muestreo y Aliasing

Por Teorema del muestreo

Condiciones para que ocurra Aliasing

superposición

"aliasing": una superposición

en frecuencia

Sin Aliasing Con Aliasing

Filtro Recons-trucción

El esquema completo para el caso ideal, utiliza un filtro pasa-bajos

ideal donde la reconstrucción sería

FiltroAnálisis

ωs: frecuencia de Nyquist

2.7 Diferentes Reconstrucciones

ReconstrucciónFiltro pasa-bajos

vecino más cercano (polinomio orden 0)

FiltroRecons-trucción

FiltroAnálisis

El esquema completo para el caso discretización continua a trazos,

utiliza un filtro sinc donde la reconstrucción sería

Recordando el caso del filtro pasabajos ideal, la reconstrucción sería

Al tener valores discretos y[k], se puede interpolar estos valores

mediante la relación

Sea

Si queremos encontrar el kernel (función base) que interpola los

valores y[k], podemos expresarlo en términos del espacio generado

por la traslación de la función Ø

Para que sea una función interpoladora

Por lo tanto

y la func. cardinal

2.8.1 Espacios invariantes a la traslación entera

Tenemos un espacio generado por la traslación y el escalamiento de una

función �

2.8 Representación de señales análogas mediante imágenes digitales

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

)(1 xβ

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

)(2xβ

0000

0.250.250.250.25

0.50.50.50.5

0.750.750.750.75

1111

-2-2-2-2 -1-1-1-1 0000 1111 2222

)(4 xβ

)( )()( 11114 xx βββββ ∗∗∗=

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

)(1 xβ

*0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

)(1 xβ

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

)(1 xβ

* *

)(2xβ

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

*

4

3b

( ) ][][ 4

1

1111143 kbbbbbkb mmmmmm ∗∗∗∗=

33

1⋅

* * *

*

Propiedades generales Propiedades de aproximación

Partición de la unidad

)(

)(

)(

1)(

211

211

2

−−

+=∂∂

∈

=−

−

−

−

∈∫

x

xx

C

x

n

nn

nn

x

n

β

ββ

β

β

R

Rl

R∈∀=−∑=

x ,1)(Zl

lxβ

0Tcon

, )~

,(

→

⋅∝ LTffError ϕκ

T: intervalo de muestreo, L:

potencia de aprox

multiresolución

2.8.2 Cálculo de B-splines

][ ky

][1 kw][2 kw][3 kw][3 ky

0000

0.20.20.20.2

0.40.40.40.4

0.60.60.60.6

0.80.80.80.8

1111

0.10.10.10.1 0.20.20.20.2 0.30.30.30.3 0.40.40.40.4 0.50.50.50.5f

W1(f)W2(f)W3(f)Y3(f)

Ejemplo Haar Wavelet

media móvil(ancho m=2)][ky

Filtropasa-bajos

Filtropasa-altos

↓↓↓↓2↓↓↓↓2

Filtropasa-bajos

Filtropasa-altos

↓↓↓↓2↓↓↓↓2

Filtropasa-altos

Filtropasa-bajos

↓↓↓↓2 ↓↓↓↓2][1 ky

][1 kw

][2 kw

][2 ky

][3 ky ][3 kw

H

H

HL

L

L

0000

4444

8888

12121212

16161616

1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777

Ejemplo 1D

0000

4444

8888

12121212

16161616

1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777

----8888

----4444

0000

4444

8888

1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777

La descomposición por wavelets se basa en filtros pasa-bajos y filtros pasa-

altos que se aplican en forma progresiva y que se basan en funciones de

soporte local

2.8.3 Ejemplo de wavelets con B-spline

� Decomposición en diferentes canales de frecuencia

][ky

Filtropasa-altos

Filtropasa-bajos

][1 ky][1 kw

0000

4444

8888

12121212

16161616

1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7

B-splinewavelets

0000

4444

8888

12121212

16161616

1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777

Ejemplo 2D Haar Wavelet:

2.8.4 Ejemplo Wavelet con B-spline de orden mayor