estimaciÓn de arÁmetrp os de mÁquinas elÉctricas...

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE MÁQUINAS

ELÉCTRICAS MULTIFÁSICAS DE 5 FASES.

UN ENFOQUE ORIENTADO AL MODELO DE LA MÁQUINA.

BLÁS JUAN ANDRÉS BOGADO MARTÍNEZ

Tutor:

FEDERICO JOSÉ BARRERO GARCÍA

Trabajo presentado a la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de la

Universidad de Sevilla, como requisito para la obtención del título de Máster

en Electrónica, Tratamiento de Señales y Comunicación con Especialidad

TeóricoExperimental.

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

Sevilla, España

DEDICADO A:

A mis Padres:

Juan de la Cruz y María Lourdes

Blás Juan Andrés

ii

Agradecimientos

Quiero en primer lugar, dar las gracias a mis tutores, D. Federico J. Barrero García

y D. Manuel Ruiz Arahal, por su incondicional ayuda y buenos consejos. Ambos, con

capacidad, experiencia y dinamismo, me guian a lo largo de este tiempo y ayudan a llevar

este trabajo por el sendero del éxito.

A mis compañeros de trabajo, José Riveros y Joel Prieto, por sus consejos, por su

apoyo, y por su colaboración sin la cual este documento no sería posible, mis más sinceros

agradecimientos.

Quiero agradecer a todas aquellas personas que durante este tiempo me han brindado

y siguen brindando su amistad, haciendo llevadera mi estadia lejos de mi tierra natal.

Quisiera dar las gracias al Gobierno Español, por el soporte económico proveído a

través del plan Nacional de Investigación, Desarrollo e Innovación bajo la denominación

DPI2009/07955. Agradezco a todas las personas que han contribuido de alguna manera

en el desarrollo de este trabajo, a todo el grupo de investigadores del departamento de

electrónica de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla.

Por último, agradezco a mi familia por el constante cariño y apoyo de siempre , pero

especialmente por haberme brindado un hogar cálido y enseñarme que la perseverancia y

el esfuerzo son los medios que permiten lograr los objetivos.

iii

Resumen

Las máquinas multifásicas han sido recientemente propuestas en aplicaciones donde

se requiere una elevada conabilidad global del sistema, combinado con una reducción de

potencia distribuida por fase. Estrategias de control como el control vectorial (FOC) y

el control directo de par (DTC) han sido utilizadas tradicionalmente en aplicaciones de

elevado rendimiento. Estas estrategias de control de alto rendimiento utilizan como base

los parámetros de la máquina que está controlando.

En este trabajo se presenta el modelado de la máquina eléctrica rotativa de cinco fases

y se estudian métodos para la estimación de parámetros de máquinas eléctricas rotativas

de cinco fases.

Palabras Claves máquinas multifásicas, estimación de parámetros.

iv

Índice General

Dedicatoria ii

Agradecimientos iii

Resumen iv

Índice General v

Índice de Figuras viii

Índice de Tablas xi

Acrónimos y Símbolos xii

Introducción 1

1. La Máquina de Inducción 3

1.1. Tipos de Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. La Máquina de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Deslizamiento En La Máquina De Inducción . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Característica Par-Velocidad De La Máquina De Inducción . . . . . 9

1.2.3. Tendencias En El Diseño De Máquinas De Inducción . . . . . . . . 10

1.3. Máquinas Polifásicas No Convencionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Desplazamiento Espacial De Las Fases En Máquinas Polifásicas . . 13

1.4. Dispositivos De Control Y Convertidores Para Máquinas De Inducción . . 15

1.5. Estrategias De Control En Máquinas De Inducción . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1. El Control Vectorial Directo O Control Directo Del Par . . . . . . . 17

v

Índice General

1.5.2. El Control Vectorial Indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases 20

2.1. Introducción a las Máquinas Multifásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Modelado y funcionamiento del inversor de cinco ramas . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Modelo escalar del VSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2. Modelo vectorial del VSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Modelo de la máquina de cinco fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1. Máquinas con bobinados distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1.1. Modelo en variables de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1.2. Modelo desacoplado de Clark . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1.3. Modelo en el marco de referencia general dq . . . . . . . 48

2.3.1.4. Modelo en el espacio de estado . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.2. Máquinas con bobinados concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.2.1. Modelo basado en variables de fase . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.2.2. Modelo en el marco de referencia general d1q1, d3q3 . . 63

3. Bancada de Ensayos 68

3.1. Accionamiento Electromecánico de Cinco Fases . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2. Convertidor de Potencia (VSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3. Sensor de Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4. Placa de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5. Plataforma Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6. Circuitos de Acondicionamiento de Señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7. Circuitos Impresos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. Métodos de Estimación de Parámetros 80

4.1. Metodo Standard para la Obtención del Pa¯ametros del Circuito Equivalente 80

4.1.1. La Norma IEC 60034-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.1.1. Consideraciones Respecto a las Medidas a Efectuar . . . . 80

4.1.1.2. Ensayo para Determinar Resistencia de Estator . . . . . . 81

4.1.1.3. Ensayo sin Carga o en Vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

vi

Índice General

4.1.1.4. Ensayo de Rotor Bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.2. Ensayos en Vacío y Rotor Bloqueado con VSI . . . . . . . . . . . . 84

4.1.3. Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2. El Método Stand-Still . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1. Mínimos Cuadrados Recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.2. Modelo de la máquina en Stand-Still . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.3. Estimación de Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.4. Estimación de σ, Ls y τr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.5. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Conclusiones y Futuros Trabajos 95

Bibliografía 97

vii

Índice de Figuras

1.1. Máquina de CC. Sentido de circulación de la corriente suministrada al

rotor por medio de las escobillas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Máquina de CA. Estructura mecánica que resulta del motor de inducción

trifásico del tipo jaula de ardilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Controlador PID con implementación antiwindup debido a las limitaciones

del actuador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Anillos terminales y laminaciones de acero en el rotor de jaula de ardilla. . 8

1.5. Curva característica par-velocidad del motor de inducción. . . . . . . . . . 10

1.6. Máquina de inducción de seis fases simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. Máquina de inducción de seis fases asimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8. Convertidor de potencia para la máquina de inducción de doble devanado

trifásico independiente (Máquina asimétrica). . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9. Diagrama de bloques del control vectorial directo . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10. Diagrama de bloques del control vectorial indirecto . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Diagrama Esquemático del Inversor de Cinco Fases. . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Conguraciones de la carga en el VSI de cinco fases para los distintos valores

del bit de estados Si. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Vectores de tensión en los planos αβ y xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Esquema de la Máquina de Inducción de Cinco Fases. . . . . . . . . . . . . 32

viii

Índice de Figuras

2.5. Secuencias de fases para la máquina de cinco fases. (a) Secuencia de fase de

los armónicos de orden (10n+1). (b) Secuencia de fase de los armónicos de

orden (10n+ 9). (c) Secuencia de fase de los armónicos de orden (10n+ 3).

(d) Secuencia de fase de los armónicos de orden (10n+ 7). (e) Secuencia de

fase de los armónicos de orden (5n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6. Sistemas de referencia de las variables del estátor αβ y del rotor α′β′

resultantes de la transformación de Clark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7. Circuito equivalente de la máquina de inducción de cinco fases. . . . . . . . 47

2.8. Sistema de referencia móvil dq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.9. Circuito equivalente del modelo en el subespacio dq. . . . . . . . . . . . . 51

2.10. Subespacio dq empotrado en los vectores de ujo. (a) eje d alineado con

λs. (b) eje d alineado con λr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.11. Marco de referencia dq alineado con el rotor de la máquina. . . . . . . . . 54

2.12. Modelo propuesto del rotor tipo jaula de ardilla. . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.13. Distribución del bobinado por fase para una máquina de bobinados con-

centrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.14. Forma de onda de la corriente de fase a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.15. Corrientes de estátor en la máquina de bobinados concentrados. . . . . . . 65

3.1. Accionamiento electromecánico de cinco fases . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2. Representación del accionamiento electromecánico en variables de fase y

ejes (α− β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3. Diagrama del rebobinado del estátor de la máquina de cinco fases . . . . . 70

3.4. Esquema interno simplicado del SKS 21F B6U . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5. Codicador de posisión incremental acoplado al eje del motor a traves de

correa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6. Placa MSK28335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7. Diagrama de bloques de la plataforma experimental de adaptación de señales 73

3.8. Componentes de la aparamenta de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.9. Esquemático del circuito adaptador se señal de tension del DC-Link . . . . 75

3.10. Esquemático del circuito adaptador se señal de tension del DC-Link . . . . 76

ix

Índice de Figuras

3.11. Esquematico del circuito adaptador de señal del codicador de cuadratura . 77

3.12. Circuito de la placa de adaptación de señales lado inferior . . . . . . . . . 78

3.13. Circuito de la placa de adaptación de señales lado superior . . . . . . . . . 79

4.1. Circuito equivalente de la máquina eléctrica asíncrona para prueba en vacío 82

4.2. Representasión gráca de las perdidas en función de la tensión aplicada . . 83

4.3. Circuito equivalente de la máquina eléctrica asíncrona para prueba de rotor

bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4. Esquema del conexionado de la máquina multifásica de cinco fases propues-

to para conseguir la operación de la misma en Stand-Still. . . . . . . . . . 87

4.5. Esquema vectorial de tensión en el plano αβ. (a) Vectores de tensión en

el plano αβ resultantes del conexionado propuesto. (b) Vector resultante

de la suma vectorial alineado con el eje α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.6. Circuito equivalente de la máquina de cinco fases operando en Stand-Still. 89

4.7. Esquema vectorial de tensión en el plano xy. (a) Vectores de tensión en

el plano xy resultantes del conexionado propuesto. (b) Vector resultante

de la suma vectorial alineado con el eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.8. Esquema del ensayo DC para las máquinas multifásicas de cinco fases. . . . 92

4.9. Excitación propuesta para determinar la inductancia de corto circuito. . . . 93

x

Índice de Tablas

2.1. Amplitudes y Secuencias de Fases de Armónicos en la máquina de Cinco

Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Relación entre armónicos de espacio y armónicos de tiempo (×N · Im) . . . 62

3.1. Resumen de las principales características del inversor de tensión seleccio-

nado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1. Relación entre resistencia de fase y resistencia de medida . . . . . . . . . . 81

4.2. Parámetros obtenidos con las pruebas en vacío y rotor bloqueado . . . . . . 85

4.3. Parámetros obtenidos con el método Stand-Still . . . . . . . . . . . . . . . 94

xi

Acrónimos y Símbolos

Acrónimos

DSP Digital Signal Proccesing, Procesador Digital de Señales.

EV Electric Vehicle, Vehículo Eléctrico.

FPGA Field Programmable Gate Array.

HEV Hybrid Vehicle, Vehículo Híbrido.

MMF Magneto Motive Force, Fuerza Magneto Motriz.

PWM Pulse Width Modulation, Modulación por Ancho de Impulso.

SVPWM Space Vector PWM.

VSI Voltage Source Inverter, Inversor de Voltaje.

Símbolos

[λr] Matriz de Flujos en el Rotor de la Máquina.

[λs] Matriz de Flujos en el Estátor de la Máquina.

[A] Matriz de Estado del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado.

[B] Matriz de Entrada Directa del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado.

[C] Matriz de Salida del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado.

[In] Matriz Identidad de orden n.

xii


[ir] Matriz de Corrientes de Fase en el Rotor de la Máquina.

[is] Matriz de Corrientes de Fase en el Estátor de la Máquina.

[Lrr] Matriz de Inductancia del Bobinado de Fase del Rotor de la Máquina.

[Lrs(θ)] Matrices Inductancia Mútua entre los Bobinados de Fase del Rotor y Estátor

de la Máquina.

[Lsr(θ)] Matriz Inductancia Mútua entre los Bobinados de Fase del Estátor y Rotor de

la Máquina.

[Lss] Matriz de Inductancia del Bobinado de Fase del Estátor de la Máquina.

[TC ] Matriz de Transformación de Clark.

[Tr(θ)] Matriz de Tranformación de Rotación.

[u] Vector de Entrada del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado.

[vr] Matriz de Tensiones de Fase en el Rotor de la Máquina.

[vs] Matriz de Tensiones de Fase en el Estátor de la Máquina.

[x] Vector de Estado del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado.

[y] Vector de Salida del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado.

αβ Primer Plano Ortogonal de Proyeccion de los Vectores de Espacio.

λir Flujo en el Rotor de la fase i de la Máquina.

λis Flujo en el Estátor de la fase i de la Máquina.

ωa Pulsación Angular del Marco de Referencia Móbil Adoptado.

ωm Velocidad Angular Mecánica del Rotor de la Máquina.

ωr Pulsación Angular Eléctrica del Rotor de la Máquina.

ωsl Pulsación Angular de Deslizamiento de la Máquina.

xiii


θ Coordenada del Rotor dada por el Angulo del eje ar con el marco de referencia

en el eje as.

θa Coordenada del eje d dado por el Angulo con el eje as.

Bm Coeciente de Friccion de la Máquina.

dq Plano de Proyeccion del Marco de Referencia General.

iir Corriente de Rotor de Fase i de la Máquina.

iis Corriente de Estátor de Fase i de la Máquina.

j Unidad imaginaria.

Jm Coeciente de Inercia Rotacional vista desde el Eje de la Máquina.

kw Factor de Bobinado de la Máquina.

Llr Inductancia de Dispersión del Bobinado de Fase del Rotor de la Máquina.

Lls Inductancia de Dispersión del Bobinado de Fase del Estátor de la Máquina.

Lmrs Inductancia Mutua del Estátor acoplada en el Rotor.

Lmr Inductancia de Mutua entre los Bobinados de Fase del Rotor de la Máquina.

Lmsr Inductancia Mutua del Rotor acoplada en el Estátor.

Lms Inductancia de Mutua entre los Bobinados de Fase del Estátor de la Máquina.

Lr Inductancia Transformada de los Bobinados de Rotor en el Subespacio dq.

Ls Inductancia Transformada de los Bobinados de Estátor en el Subespacio dq.

M Inductancia Mutua Transformada de Acomplamiento EstátorRotor en el

Subespacio dq.

Nr Número de Espiras del Bobinado del Rotor.

Ns Número de Espiras del Bobinado del Estátor.

xiv


P Número de Pares de Polos Magnéticos de la Máquina.

p Operador ddt, derivada respecto al tiempo.

Rr Resistencia del Bobinado del Rotor de la Máquina.

Rs Resistencia del Bobinado del Estátor de la Máquina.

Si Estado Binario de la Rama i del Inversor.

TL Torque de Carga aplicado al eje de la Máquina.

Te Torque Electromagnético producido por la Máquina.

vij Tensión de Línea del Inversor.

vin Tensión de la Fase i del Inversor respecto a n.

vis Tensión de Fase de la Rama i del Inversor.

Vn Tensión Máximo del Armónico de orden n.

vsn Tensión del Neutro del Conexionado respecto al Nodo n.

Wco Energía Coercitiva Magnética.

xy Segundo Plano Ortogonal de Proyeccion de los Vectores de Espacio.

z Tercer Plano Ortogonal de Proyeccion de los Vectores de Espacio.

xv

Introducción

Las máquinas rotativas polifásicas han sido analizadas y estudiadas desde nales de

1960, aunque sólo recientemente el interés en este tipo de actuadores ha crecido notable-

mente como sustituto de los sistemas electromecánicos trifásicos convencionales, hasta el

punto de que en algunos congresos internacionales sobre electrónica de potencia se han

incorporado sesiones dedicadas en exclusividad a este tipo de máquinas eléctricas [1]. Las

causas de este interés creciente se debe, por un lado, al desarrollo de modernos sistemas

electrónicos digitales (como DSPs y FPGAs), que permiten implementar técnicas de con-

trol válidas para este tipo de sistemas (poco convencionales y complejos) y, por otro, a

las importantes ventajas que las máquinas polifásicas ofrecen respecto a otros dispositi-

vos más habituales (máquinas de inducción trifásica) en aplicaciones de elevada potencia,

que permite dar respuesta a problemas técnicos asociados a las soluciones convencionales,

entre las que se puede citar:

La reducción de pulsos del par electromagnético en máquinas alimentadas por con-

vertidores de potencia,

La disminución del contenido de armónicos de la corriente del bus de continua en el

inversor,

El aumento de la abilidad del motor, que podría operar incluso en caso de pérdida

de una o más ramas del inversor, generando un menor par, pero impidiendo la parada

total del equipo,

Evitar la utilización de convertidores de potencia con interruptores en paralelo para

soportar las elevadas corrientes de fase, según la aplicación en la que se utiliza,

1

Introducción

Posibilidad de incrementar la relación de torque por ampere para el mismo volumen

de máquina,

Posibilidad variar la velocidad modicando el número de pares de polos de la má-

quina, manteniendo constante la frecuencia de alimentación,

Por estas razones desde nales de la década de los 90, las máquinas multifásicas,

aquellas que tienen un número de fases mayor que tres, se han convertido en una seria

alternativa frente a su contraparte trifásicas en ciertas aplicaciones, debido a las ventajas

intrínsecas que éstas ofrecen, como la tolerancia a fallas o la división de la potencia en un

número mayor de fases lo que hace adecuado su uso en aplicaciones en las cuales la má-

quina es alimentada por baterías. Las ventajas citadas hacen de las máquinas multifásicas

una elección interesante, o cuando menos a considerar, en sistemas de propulsión eléctrica.

El objetivo de este trabajo consiste en evaluar técnicas de estimación de parámetros

de máquinas eléctricas multifásicas para su aplicación al control orientado a modelo de

las mismas.

El capítulo inicial de este trabajo se presenta un breve estado del arte de las máquinas

eléctricas, para luego analizar desde un punto de vista teórico los modelos de las

máquinas multifásicas. A continuación se muestran métodos de estimación de parámetros

de máquinas eléctricas rotativas. Finalmente, se presentan los modelos de simulación y

los resultados obtenidos mediante pruebas en la bancada de ensayos, para elaborar las

conclusiones del trabajo y describir futuras líneas que permitan plantear tareas para el

desarrollo de una Tesis Doctoral.

2

Capítulo 1

La Máquina de Inducción

El motor de inducción ha sido y continuará siendo uno de los motores eléctricos más

utilizado en diversas áreas debido a sus prestaciones y bajo costo de mantenimiento, por

ello el desarrollo de estos motores y sus respectivos actuadores ha sido motivo de estudio

durante las últimas décadas. Los métodos de control han evolucionado enormemente pa-

sando desde la conexión y desconexión directa de energía, pasando por el típico control

de tensión-frecuencia, llegando hoy en día a técnicas de control del tipo vectorial como el

control de campo orientado directo e indirecto o el control directo de par. Estos avances

en los controladores, han reproducido, en buena medida, el comportamiento dinámico de

los controles utilizados en las máquinas de corriente continua[3].

En este capítulo se presenta brevemente dos tipos de maquinas eléctricas; la de co-

rriente continua (CC), y la de corriente alterna (CA). Se realizará una breve introducción

de las máquinas de inducción, para luego justicar el uso de las maquinas de inducción

polifásica, describiendo las ventajas de este tipo de máquinas frente a las convencionales.

1.1. Tipos de Máquinas

En general las máquinas eléctricas pueden clasicarse en dos grandes grupos, Las

máquinas de corriente alterna (Máquinas de CA), y las máquinas de corriente continua

(Máquinas de CC). En la máquina de CC, el par se genera cuando las corrientes que

atraviesan el rótor de la máquina interactúan con un campo magnético que se origina en

estátor. La magnitud del par es proporcional a la corriente y a la densidad del ujo mag-

nético, el control del par puede ser efectuado variando cualquiera del los dos parámetros

3

Capítulo 1. La Máquina de Inducción

Figura 1.1: Máquina de CC. Sentido de circulación de la corriente suministrada al rotor

por medio de las escobillas.

anteriormente citados. La eciencia del control depende entre otras cosas del rendimiento

de los drivers de potencia, y tiene que ver con la capacidad de proporcionar corriente ne-

cesaria, y así mismo del ancho de banda que hace referencia a la capacidad del dispositivo

de responder a cambios bruscos de esfuerzos de control en regimenes transitorios.

La gura 1.1, muestra el sentido de circulación de la corriente continua suministrada al

rótor por medio de las .escobillas"generalmente fabricadas de carbón. Cuando una bobina

por la que uye corriente continua es colocada bajo la inuencia de un campo magnético

que puede ser producido por imanes permanentes jos al estator, se induce sobre la bobina

una fuerza que es perpendicular a las líneas de campo magnético y al sentido del ujo de

la corriente. Para que el rótor gire es necesario que el ujo de la corriente en las bobinas

opuestas del rotor sea también opuesto. Esto se realiza mediante un conmutador mecánico

que invierte la dirección del ujo de corriente en las bobinas [3].

Las variaciones en el ujo de las corrientes generalmente requieren una bobina de

compensación, para permitir una conmutación suave dentro de un intervalo de tiempo

variable, y además para eliminar los efectos indeseados debido a la conmutación mecá-

nica de las escobillas. Una ventaja de este tipo de máquinas frente a las máquinas de

CA es el desacoplo dinámico entre el par y el ujo. Sin embargo, la complejidad en su

estructura interna ocasiona un aumento en el costo de fabricación y en el mantenimiento

4


Figura 1.2: Máquina de CA. Estructura mecánica que resulta del motor de inducción

trifásico del tipo jaula de ardilla.

principalmente por poseer contactos mecánicos, por lo que este tipo de maquinas han sido

lentamente remplazada por las máquinas de corriente alterna.

Las máquinas de CA son de construcción mucho más simples que las máquinas de

CC. Para permitir el giro del rótor de la máquina de CA, el conmutador como pieza

mecánica de la máquina de la maquina de CC, es sustituido por los interruptores externos,

electrónicamente conmutados (Inversores). Estos, a diferencia de las máquinas de CC,

necesitan de convertidores de energía, donde la tensión de alimentación de la fuente se

convierte de continua a alterna, la tensión es inyectada a en bornas del estátor e inducida

desde las bobinas del estátor hacia el rótor generando un campo magnético rotatorio, de

esta manera se logra eliminar los contactos físicos lo cual reduce en gran medida los costos

de fabricación y mantenimiento [3].

La 1.2 muestra la estructura mecánica que resulta de la máquina de inducción del tipo

jaula de ardilla, la fabricación de este tipo de máquinas resulta más rentable y robusta

que la máquina de CC debido a la generación del campo magnético rotativo que produce

el par. Es importante observar que, contrariamente a las máquinas de CC, la reacción

mutua entre el estátor y el campo del rótor no necesita ser compensada. Esto es debido

5


Figura 1.3: Controlador PID con implementación antiwindup debido a las limitaciones del

actuador.

esencialmente a que las distribuciones espaciales del campo son sinusoidales.

La superposición de dos ondas sinusoidales de igual longitud de onda produce una

onda compuesta que tiene la misma longitud de onda, aunque no necesariamente de

la misma magnitud y fase. Esta composición de ondas genera un campo que a su vez

produce tensiones sinusoidales inducidas. Esto permite al bobinado de la máquina manejar

corrientes y tensiones polifásicas. El principal inconveniente de las máquinas de inducción

es la ausencia de una dinámica desacoplada donde el par motor y el ujo sean variables

independientes entre sí, lo que conlleva la búsqueda de estrategias de desacoplo del par

y del ujo. Sin embargo, la simplicidad constructiva de la máquina de inducción y la

robustez es una clara ventaja comparativa frente a los motores de corriente continua. Esto

motivó en las ultimas décadas la investigación de estrategias de control para maquinas de

CA[3][4].

El esquema de control en lazo cerrado mas simple que puede ser implementado en el

campo de control de maquinas de CC y CA, con algunas variantes es el controlador PID.

El principio básico del PID es actuar sobre la variable a ser manipulada a través de una

apropiada combinación de las tres acciones de control: proporcional (P), donde la acción

de control es proporcional a la señal de error, la cual es la diferencia entre la entrada

y la señal de realimentación; integral (I), donde la acción de control es proporcional a

6


la integral de la señal de error y la acción derivativa (D), donde la acción de control

es proporcional a la derivada de la señal de error. En la gráca de la gura1.3 puede

verse el diagrama de bloque de un control típico PID, donde se implementa además un

ltro antiwindup, para contrarrestar los efectos del termino integrador, si se considera la

saturación del actuador.

1.2. La Máquina de Inducción

Las máquinas de inducción son sistemas dinámicos no lineales de alto-orden y de

considerable complejidad. Esto amerita generalmente un análisis matemático riguroso

para describir su respuesta dinámica. En general, en régimen transitorio se da lugar a

distintas alinealidades. Por lo tanto, se requiere de un estudio mas detallado del principio

de operación de la máquina en estas condiciones.

El análisis del graco de ujo de una maquina de CA permite, entre otras cosas,

visualizar el comportamiento dinámico de la máquina, y de esta manera comprender los

procesos dinámicos internos y la interacción de estos procesos con los distintos parámetros

externos.

Las máquinas asíncronas o de inducción, están basadas en el accionamiento de una

masa metálica por la acción de un campo giratorio. Están formados por dos armaduras:

una ja, y otra móvil a los que también se les llama estátor y rótor respectivamente. El

devanado del rotor, que conduce la corriente alterna que se produce por inducción desde

el devanado del estator, consiste en conductores de cobre o aluminio devanados en un

rotor de laminaciones de acero. Se instalan anillos terminales de cortocircuito en ambos

extremos formando el rótor conocido como jaula de ardilla 1.4, o bien en uno de los

extremos en el caso del rótor bobinado. Los motores de inducción de rotor bobinado son

menos utilizados, debido a su mayor costo y a que requieren mayor mantenimiento en

comparación a los de jaula de ardilla.

Al interactuar el campo magnético giratorio del estátor con el campo magnético gira-

torio originado por las corrientes que circulan en el rótor se produce el par eléctrico. Para

generar el campo giratorio, la máquina de inducción se alimenta con corriente alterna en el

estator. Este campo posee una amplitud constante en el tiempo, pero varía en el espacio.

7


Figura 1.4: Anillos terminales y laminaciones de acero en el rotor de jaula de ardilla.

La velocidad de giro del campo magnético giratorio, está denida por la frecuencia de las

corrientes inyectadas en el estator de la máquina.

Las máquinas de inducción convencionales se construyen normalmente con tres devana-

dos. Estos devanados se distribuyen en el interior de la máquina desfasados espacialmente

120 (para el caso de la maquina trifásica). En cada una de las tres bobinas, se inyectan

corrientes alternas sinusoidales desfasadas unas de otras. Cada bobina produce un campo

magnético estático en el espacio. La amplitud de este campo se encuentra en la dirección

del eje magnético de la bobina y varía de forma sinusoidal en el tiempo. La combinación

de los campos producidos por las tres corrientes desfasadas temporalmente circulando por

las tres bobinas, se traduce en un campo magnético distribuido de forma sinusoidal en el

espacio, que rota a la velocidad de variación de las corrientes en el tiempo.

Puesto que el periodo o intervalo de tiempo de la variación sinusoidal de la corriente

es el mismo en los conductores, la velocidad del campo magnético giratorio (ω), varía

directamente con la frecuencia (f), pero inversamente con el número de pares de polos

(P ), ecuación 1.1.

ω =120.f

P=

120.f

2.n(1.1)

Ya que el número de polos sólo depende de n, la velocidad es en realidad función de

8


la frecuencia.

En régimen permanente, los campos magnéticos del estator y del rotor giran a la

velocidad síncrona, mientras que el rótor gira a una velocidad menor.

1.2.1. Deslizamiento En La Máquina De Inducción

El deslizamiento de una máquina de inducción, se dene como la velocidad relativa en-

tre el campo magnético producido por las corrientes inyectadas en el estátor y la velocidad

mecánica del rotor, y se representa según la ecuación 1.2.

S =ωe − ωrωe

= 1− ωrωe

(1.2)

Donde ωr es la velocidad de giro del rótor, y ωe es la velocidad con la que gira el campo

magnético en el estátor.

Si la máquina se encuentra detenida, la velocidad de giro del rotor es cero (ωr = 0),

entonces el deslizamiento en esta condición es uno (S = 1). Cuando el rótor de la máquina

gira a la velocidad del campo, el deslizamiento es cero (S = 0). En general, a la velocidad

del campo se le denomina velocidad síncrona de la máquina, y el deslizamiento mide cuan

cerca se encuentra la máquina de esta velocidad.

Si el rótor de la máquina gira a una velocidad mayor que la sincrónica, el deslizamiento

se hace negativo y la máquina funciona como generador.

1.2.2. Característica Par-Velocidad De La Máquina De Inducción

En la gura 1.5 se muestra la curva característica par-velocidad la máquina de induc-

ción. La información que proporciona esta curva se resume a continuación:

El par inducido del motor es cero a la velocidad síncrona.

La curva par-velocidad es aproximadamente lineal entre vacío y plena carga; ya que

cuando crece el deslizamiento, crecen linealmente la corriente del rotor, el campo

magnético del rotor y el par inducido.

9


Figura 1.5: Curva característica par-velocidad del motor de inducción.

1.2.3. Tendencias En El Diseño De Máquinas De Inducción

La máquina de inducción moderna se construyó entre 1888 y 1895, cuando Tesla

recibió la patente de sus ideas sobre los motores de inducción. Poco después se introdujo

el rotor de jaula de ardilla, y hacia 1896 estuvieron disponibles en el mercado máquinas

de inducción plenamente funcionales.

Los esfuerzos de mejoras en el diseño en aquella época, y hasta 1970, estaban enfocados

a disminuir el coste de fabricación: calidad de los aceros, técnicas de fundición, etc. Este

enfoque se debió principalmente a que la energía eléctrica no era excesivamente costosa;

por lo tanto, el criterio a seguir para adquirir un motor, era su costo directo.

Desde el ascenso del costo de la energía eléctrica en 1973; el costo de operación de las

máquinas ha sido cada vez más importante, por lo que el nuevo énfasis ha sido la mejora

en la eciencia del motor.

Para aumentar la eciencia de los motores se utilizan hoy en día técnicas enfocadas

a reducir las pérdidas en el cobre, reducir la densidad de ujo magnético para disminuir

las pérdidas en el núcleo, reducir la temperatura de operación utilizando más acero en el

estator, reducir las corrientes parásitas, etc.

Estas consideraciones de diseño de las máquinas de inducción, en conjunto con la

investigación e implementación de técnicas de control, buscan actualmente mejorar la

10


eciencia y la respuesta dinámica de la máquina de CA.

1.3. Máquinas Polifásicas No Convencionales

Las máquinas rotativas polifásicas han sido analizadas y estudiadas durante los últimos

30 años, aunque sólo recientemente el interés en este tipo de actuadores ha crecido nota-

blemente como sustituto a los sistemas electromecánicos trifásicos convencionales, hasta

el punto de que en algunos congresos internacionales sobre electrónica de potencia se han

incorporado sesiones dedicadas en exclusividad a este tipo de máquinas eléctricas[1].

Las causas de este interés creciente se debe por un lado al desarrollo de modernos

sistemas electrónicos digitales (como DSPs y FPGAs), que permiten implementar técnicas

de control válidas para este tipo de sistemas (poco convencionales y complejos) y por otro a

las importantes ventajas que las máquinas polifásicas ofrecen respecto a otros dispositivos

más habituales (máquinas de inducción trifásica) en aplicaciones de elevada potencia, que

permite dar respuesta a problemas técnicos asociados a las soluciones convencionales, tales

como:

Las corrientes de fase de la máquina alcanzan valores excesivamente elevados como

para ser soportados por un único dispositivo electrónico de potencia, y las técni-

cas consistentes en colocar varios de estos dispositivos en paralelo resultan poco

económicas y muy complicadas, como se indica en [5],[6].

La abilidad de la máquina debe ser elevada y esta debe operar incluso en el caso

de pérdida de una o más ramas del inversor [7],[8]

El contenido de armónicos de la corriente del DC-link que alimenta los inversores

debe ser reducido para tener una capacidad del ltro de entrada más pequeña,

especialmente cuando el inversor opera con formas de onda cuadrada [9]

Obtener inversores de fuente de corriente (convertidores de potencia de tipo CSI)

económicos, reduciendo el tamaño de los componentes reactivos y los picos de las

tensiones de conmutación [10].

11


Reducir los pulsos del par electromagnético en máquinas alimentadas por converti-

dores de potencia de tipo CSI o convertidores de potencia de fuente de tensión (de

tipo VSI) operando en modo de generación de ondas de tensión cuadrada [11].

Cuando se debe mantener constante la frecuencia de alimentación, la solución po-

lifásica permite variar la velocidad modicando el número de pares de polos de la

máquina [12], [13].

En la actualidad, y en aplicaciones concretas en las que priman algunas de las ca-

racterísticas antes comentadas, el empleo de soluciones polifásicas empieza a justicarse

frente a las soluciones convencionales basadas en las máquinas de inducción trifásicas.

En concreto, una de las aplicaciones en las que más interés se está mostrando por los

motores polifásicos es aquella en la que la corriente eléctrica del accionamiento electrome-

cánico es muy elevada, como en propulsión naval, aérea o terrestre (locomotoras y, más

recientemente, vehículos eléctricos), en los que la principal ventaja de las soluciones po-

lifásicas frente a las convencionales pasa por la reducción efectiva de la corriente de fase,

proporcionalmente al aumento del número de fases del accionamiento. De esta manera, se

consigue una disminución efectiva de la corriente que circula por cada rama del inversor

de potencia y por cada interruptor o semiconductor de potencia, si se compara con la que

circularía por el equivalente en una solución trifásica convencional.

El empleo de este nuevo tipo de accionamiento lleva implícito el aumento del número

de interruptores de potencia que se necesita emplear, aunque ello no supone necesariamen-

te un aumento proporcional en el coste del sistema respecto de una solución convencional.

El coste de cada interruptor de potencia en la solución convencional es mucho más ele-

vado (más del doble) que el de la solución polifásica (no existe una relación lineal entre

el precio del interruptor de potencia y la corriente que admite éste en condiciones de

trabajo normales, sino que dicha relación supone un incremento en el coste muy superior

al incremento de prestaciones que ofrecen los interruptores), si bien es cierto que el coste

y la complejidad del sistema completo están penalizados por la necesidad de emplear ma-

yor número de sensores, circuitos de disparo, fuentes de alimentación y, en general, otros

dispositivos electrónicos auxiliares.

Desde el punto de vista del número de fases, las soluciones más tratadas en la literatura

12


son las siguientes:

Cinco fases: maquinas de inducción [14] [15], [16]; maquina síncronas de rotor bo-

binado, maquinas síncronas de imanes permanentes, [17]; motores de reluctancia

síncronos [18].

Seis fases: maquinas síncronas de rotor bobinado [19]; maquinas de inducción [6],

[8], [11], [13], [20], [21], [22].

Siete fases: maquinas de reluctancia síncrona[23].

Nueve fases: maquina de inducción [24], [25].

1.3.1. Desplazamiento Espacial De Las Fases En Máquinas Poli-

fásicas

Dado el numero de fase n de la máquina polifásica, si el desplazamiento espacial

entre las bobinas del estator viene dado por 2.π/n, entonces la máquina es denominada

comúnmente máquina simétrica, gura 1.6.

Las máquinas polifásicas también pueden estar diseñadas por a binados de fase, sepa-

rados por k puntos neutros, de k conguraciones estrellas formadas por a, [n = a*k, (a

= 3, 4, 5, . . . ; k = 2, 3, 4, . . . )]. En este caso particular el desplazamiento espacial de las

bobinas de dos fases consecutivas, no se mantiene igual como el caso de la máquina poli-

fásica simétrica. Esto provoca una distribución asimétrica de los ejes magnéticos, de cada

bobinado individual, en consecuencia este tipo de máquinas es denominada asimétrica,

gura 1.7.

Bajo este contexto las máquinas polifásicas que ofrecen buenas prestaciones son los

accionamientos electromecánicos que se han venido a denominar máquinas hexafasica

de doble devanado trifásico independiente y asimétrico, gura 1.8 Este tipo de máquinas

eléctricas posee dos devanados trifásicos independientes, desfasados entre sí 30 eléctricos,

con neutros aislados y accionados desde dos convertidores trifásicos diferentes (a = 3, k

= 2).

Las ventajas que aportan este tipo de accionamientos incluye las asociadas a las máqui-

nas polifásicas antes mencionadas, pero añaden otra muy importante que es la posibilidad

13


Figura 1.6: Máquina de inducción de

seis fases simétrica

Figura 1.7: Máquina de inducción de

seis fases asimétrica

de utilizar todos los desarrollos hardware y software existentes para los accionamientos

trifásicos convencionales (sistemas microprocesadores con periféricos especiales para el

control de convertidores de potencia trifásicos, convertidores de potencia convenciona-

les, semiconductores y dispositivos electrónicos especiales para el control y disparo de

interruptores de potencia incluidos en convertidores comerciales, etc).

El principal inconveniente que presenta estos accionamientos se asocia con la genera-

ción de ciertos armónicos en corriente que aparecen, debido a la baja impedancia efectiva

que ofrecen las fases. En las máquinas de doble devanado trifásico independiente, estos

armónicos no afectan al par (no generan un par pulsante), aunque contribuyen al aumen-

to de las pérdidas en la propia máquina y pueden provocar el deterioro prematuro del

mismo. Para evitar estos problemas y fomentar el uso de los accionamientos polifásicos, es

necesario analizar los armónicos producidos y estudiar técnicas de modulación que limiten

la generación de corrientes armónicas en el estator así como estrategias de limitación de

dichos armónicos basadas en ltros activos y pasivos.

14


Figura 1.8: Convertidor de potencia para la máquina de inducción de doble devanado

trifásico independiente (Máquina asimétrica).

1.4. Dispositivos De Control Y Convertidores Para Má-

quinas De Inducción

Con el desarrollo de las nuevas tecnologías tenemos a nuestra disposición micropro-

cesadores DSPs y FPGAs, cada vez más rápidos y relativamente más baratos. Por otra

parte, los componentes electrónicos de potencia, también han tenido un avance vertigino-

so en los últimos tiempos en lo referente a capacidad de corriente que pueden soportar y

ancho de banda.

Hoy en día los accionamientos eléctricos de corriente alterna y convertidores ya resultan

en la mayoría de los casos más ventajosos que los accionamientos de corriente continua.,

sobre todo si tenemos en cuenta consideraciones tales como la relación potencia / peso,

15


aceleración, mantenimiento, ambiente de operación, velocidad de trabajo, etc. Su menor

coste y mayor robustez, son frecuentemente las razones para escoger los accionamientos

basados en máquinas de inducción.

La fuerte tendencia en el desarrollo, que la electrónica de potencia ha tenido con la

aparición de semiconductores de altas prestaciones y bloqueo controlado (transistores de

potencia, IGBTs, GTOs), que soslayan los problemas de conmutación forzada de los ti-

ristores, ha permitido la posibilidad de aplicar técnicas de control basadas en modulación

de ancho del pulso PWM que permite una mayor eciencia en cuanto a la regulación de

sus valores de tensión, corriente y frecuencia de salida, con respuestas prácticamente ins-

tantáneas. De esta forma, los convertidores, que toman energía de la red y la transforman

para aplicarla a la máquina, son cada vez más empleados en el control de este tipo de

accionamiento, constituyendo el conjunto convertidor-máquina, ventajas de bajo costo de

mantenimiento y tamaño compacto.

1.5. Estrategias De Control En Máquinas De Inducción

Las características citadas en los apartados anteriores sobre las máquinas polifásicas

referentes a la abilidad y robustez, junto con la indudable importancia de este tipo de

accionamientos en la industria y en aplicaciones donde se requieren elevada potencia, han

motivado un importante esfuerzo investigador en lo referente a algoritmos de control en

estos últimos años.

Un campo muy activo recientemente ha sido la aplicación de técnicas de control no

lineal, para intentar conseguir controles de altas prestaciones. En la literatura se encuentra

incluso estudios comparativos entre varias técnicas de control no lineal aplicado a la

máquina de inducción y se aporta soluciones para su implantación práctica en tiempo

discreto[26].

Una de las primeras técnicas de control no lineal aplicada a la máquina de inducción es

la linealización entrada-salida. Esta técnica se basa en la aplicación de una realimentación

no lineal para transformar el sistema original en un sistema lineal que puede ser controlado

mediante técnicas de control clásicas. Sin embargo, en las ecuaciones de la realimentación

no lineal intervienen tanto los parámetros de la máquina como sus variables de estado y

16


éstas varían incluso en régimen permanente. Recuérdese que estas variables son magni-

tudes sinusoidales de frecuencia igual a la de la alimentación de la máquina. Como dicha

realimentación no lineal permanece constante durante todo el periodo de muestreo, la

cancelación de las no linealidades del sistema deja de ser válida y con ello la aplicación

del controlador se ve limitado principalmente por la variación de los parámetros de la

máquina.

Teniendo en cuenta lo anterior, en algunos artículos se plantea un método alternativo

consistente en la aplicación del controlador mediante linealización entrada-salida mode-

lando la máquina de inducción en ejes de ujo de rotor. En este sistema de referencia

las variables de estado de la máquina son magnitudes continuas en régimen permanente

y el resultado de la transformación no lineal no cambia excesivamente durante el perio-

do de muestreo. Por tanto, es previsible que el error producido sea mucho menor en la

implantación en tiempo discreto.

Existen además otros métodos tradicionales para el control de velocidad de las má-

quinas de inducción, entre ellos podemos citar los controladores vectoriales, directo e

indirecto. Estos métodos ofrecen unas prestaciones excelentes al permitir el control inde-

pendiente del par y el ujo.

El control vectorial da lugar a la aparición de una analogía entre la máquina de corrien-

te alterna y corriente continua con excitación independiente. Los problemas de estabilidad

de la máquina de corriente alterna desaparecen, la generación del par se hace lineal y la

respuesta dinámica se hace tan rápida como la máquina de corriente continua[27].

1.5.1. El Control Vectorial Directo O Control Directo Del Par

En el control vectorial directo el ángulo necesario para el desacoplo del par y el ujo

se obtiene por estimación o medida del ujo (precisa por tanto, de una mayor necesidad

de cálculo que el control vectorial indirecto, y de la medida mediante sensores de ujo, lo

que resulta no habitual por ser excesivamente costoso, aunque proporciona unas mejores

prestaciones dinámicas que el control vectorial indirecto)[27].

La idea básica del control directo del par es calcular los valores instantáneos del par y

del ujo a partir de las variables del estátor de la máquina. El par y el ujo se controlan

17


directamente y de forma independiente mediante la selección óptima de los estados de

conmutación del inversor limitando los errores del ujo y del par mediante controladores

histéresis.

Figura 1.9: Diagrama de bloques del control vectorial directo

En la gura 1.9 se muestra el diagrama de bloque básico del control directo del par.

El par de la máquina se controla efectivamente con la rotación del vector del ujo del

estator utilizando estados de conmutación adecuados. Al mismo tiempo, se controla la

magnitud del vector de ujo del estátor, con la utilización de los estados de conmutación

del inversor. Este valor se puede cambiar según los requisitos de la consigna de ujo.

Como se muestra en la gura 1.9, los valores calculados del par y del ujo se comparan

con sus consignas, y los errores entran en los controladores de histéresis. La salida de estos

módulos de histéresis se aplica a la tabla de conmutación que elige los estados posibles

del vector espacial de tensión del inversor, para reproducir la referencia.

1.5.2. El Control Vectorial Indirecto

En el control vectorial indirecto el ángulo necesario para el desacoplo del par y el

ujo se obtiene mediante una estimación del deslizamiento, el objetivo es hacer que la

componente de par y del ujo del rótor sea cero, para ello se calcula la velocidad de

18


deslizamiento que anula al termino del ujo.

Una vez estimado el ángulo el deslizamiento se suma con el ángulo del rótor para

determinar el ángulo eléctrico[27]. En la gura 1.10 puede observarse un diagrama de

bloque del control vectorial indirecto.

Figura 1.10: Diagrama de bloques del control vectorial indirecto

En la actualidad, se están desarrollando nuevas técnicas de control de velocidad para

máquinas convencionales que buscan simplicar la estrategia de control sin causar un

perjuicio excesivo al comportamiento dinámico del sistema (como el denominado control

directo de par, en el que se estima el ujo y el par para implementar un control directo de

ambas variables) o minimizar el número de sensores en el sistema (técnicas denominadas

sensorless y que básicamente buscan eliminar el encoder acoplado en el eje del sistema que

es el componente de medida más costoso asociado a los accionamientos electromecánicos.

Sin embargo, en la mayoría de los casos, su utilización no se realiza en la zona de

máximas prestaciones ya que se manejan generalmente cargas y velocidades reducidas

y variables, provocando que su rendimiento se reduzca considerablemente y consuman

mayor energía que la requerida.

19

Capítulo 2

Modelado de la Máquina de Inducción

de Cinco Fases

2.1. Introducción a las Máquinas Multifásicas

El uso de convertidores electrónicos de potencia para el control de máquinas eléctricas

en las distintas aplicaciones en las que sean requeridas se ha convertido en una constante

tecnológica. Los convertidores cumplen también una función de desacople entre la

máquina y el tradicional sistema trifásico de distribución o fuentes alternativas a éste que

pudieran ser incluso de corriente continua, como es el caso de las baterías. Su versatilidad

hace posible que el número de fases del sistema que alimenta la máquina eléctrica no esté

estrictamente limitado a tres y pueda ser extendido con una simple adición de ramas a

la topología utilizada. La aparición, desarrollo e industrialización de estas ha favorecido

la aparición de una nueva línea de investigación relacionada con los accionamientos y

convertidores multifásicos.

Los primeros estudios publicados sobre las máquinas multifásicas (número de fases

mayor a 3) datan de 1969. En aquel entonces, el principal problema de los motores de

inducción de tres fases alimentados por los dispositivos electrónicos de conmutación

existentes era la uctuación del par en el eje de la máquina, a una frecuencia seis veces

superior a la frecuencia fundamental del inversor. Para aplicaciones en las cuales esta

uctuación superaba los límites tolerados, el inversor era diseñado para operar con una

estrategia de modulación de tipo Pulse Width Modulation (PWM) a una alta frecuencia

20

Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases

de conmutación, para mitigar la uctuación que se producía en el par de la máquina y

conseguir así el correcto desempeño del sistema. Alternativamente, surgió como opción

experimental la reducción del efecto de pulsación del par por medio del aumento del

número de fases del motor. Los resultados experimentales demostraron que la frecuencia

de pulsación del par, con un motor de inducción de cinco fases es aproximadamente un

tercio de la producida por un motor equivalente de tres fases alimentado con el mismo

inversor y a la misma frecuencia fundamental [15].

El interés y estudio de los motores multifásicos tuvo desde entonces una limitada

atención debido al aumento en el número de variables a controlar y a su mayor comple-

jidad y experimentó una acelerarción desde la década de los 90. No fue hasta inicios de

este último siglo cuando las máquinas multifásicas se convirtien en uno de los principales

focos de la comunidad cientíca dedicada a las máquinas eléctricas. Este fénomeno fue

el resultado del desarrollo de tres aplicaciones especícas: propulsión eléctrica de navios

(allelectric ships), tracción (abarca a los vehículos tanto hibridos como eléctricos y

locomotoras), y el concepto de more-electric aircraft, que busca la sustitución de los

tradicionales sistemas auxiliares mecánicos, neumáticos e hidraúlicos en aviones por

sistemas eléctricos, electromecánicos o electrohidraúlicos [29]. El motivo principal de

la elección de máquinas multifásicas en estas aplicaciones se basa en las ventajas que

ofrecen comparadas a las más habituales de tres fases [1]:

1. La exitación del estátor en una máquina multifásica produce un campo con bajo

contenido de armónicos y con mayor eciencia que la conseguida en una máquina

de tres fases.

2. Las máquinas multifásicas poseen una mayor tolerancia a fallos que las de tres fases.

Si se pierde una de las fases en una máquina de tres fases, la máquina se convierte

en una máquina monofásica. Podría continuar operando pero necesitaría de algún

medio externo para su arranque, así como una modicación de la topología del

convertidor. En estas condiciones operaría a una potencia muy por debajo de la

nominal. Sin embargo, cuando se pierde una fase en una máquina multifásica, ésta

21


podría arrancar por sí misma y seguir operando, pero también a una potencia menor

que la nominal (aunque no tan devaluada como en el caso de las máquinas de tres

fases).

3. Las máquinas multifásicas son menos susceptibles, que las de tres fases, a las com-

ponentes armónicas en la forma de onda de la excitación. Independientemente del

número de fases de la máquina, estas componentes producen un par pulsante a un

múltiplo par de la frecuencia fundamental de excitación. La menor frecuencia de

pulsación del par en una máquina de n-fases es causada por el armónico de or-

den 2n± 1 inyectado por la fuente de alimentación. Las máquinas multifásicas con

debanados concentrados pueden producir par con inyección de armónicos, lo que

permite un mayor aprovechamiento del campo en el entrehierro; obteniendose un

mayor rendimiento energético.

4. Mejor distribución de potencia através de un mayor número de fases, lo que hace

posible un menor deterioro de los convertidores que la alimentan.

Las máquinas de tres fases son hoy día la elección más común en las aplicaciones

descritas con anterioridad debido a su producción masiva, así como la de los convertidores

que utilizan, lo que favorece su bajo coste y la existencia de una gran cantidad de unidades

normalizadas ofertadas por los distintos fabricantes. Esta situación es predecible que

persista en el futuro cercano [29]. A pesar de esto existe un aumento en el interés de las

máquinas multifásicas por las razones antes comentadas.

La mejora en el contenido de armónicos del campo de fuerza magnetomotriz (MMF)

produce una reducción en el ruido emitido por las máquinas multifásicas, generando una

mayor eciencia y la posibilidad de mejora del aprovechamiento del campo en el entre-

hierro con la inyección de armónicos cuando se dispone de accionamientos con debanados

concentrados. Además, como sólo se necesitan dos grados de libertad para generar el

campo, sin importar el número de fases de la máquina, los grados de libertad remanentes

pueden ser destinados para otros propósitos, como el control multifásico multimotor [29].

22


En el item 3 se denota que la frecuencia de pulsación del par es 2n veces mayor que la

frecuencia fundamental del inversor. Esta propiedad se utilizó en [15] para plantear una

solución alternativa al aumento de la frecuencia fundamental del inversor, con el propósito

de mitigar la uctuación del par. Esta característica de las máquinas multifásicas fue la

principal promotora del esfuerzo puesto en el desarrollo de las máquinas de cinco y seis

fases [10][32], para aplicaciones donde se requiere el uso de convertidores electrónicos de

potencia y una baja uctuación del par en el eje de la máquina. Esta mejora conseguida

con el uso de las máquinas multifásicas respecto a las de tres fases tiene, sin embargo, una

menor relevancia hoy en día gracias al desarrollo de la modulación PWM en inversores

de voltaje (VSI), que permite el control del contenido de armónicos entregado a la carga.

Cabe también resaltar que, por medio del incremento del número de fases, se consigue

una mejor distribución de potencia entre las mismas. Es posible reducir la corriente por

fase sin necesidad de aumentar la tensión de la fuente para una determinada potencia.

Esta característica le brinda amplias ventajas a las máquinas multifásicas, en aplicaciones

de baja tensión, como las son aquellas en las que las máquinas son alimentadas por

baterías [33]. Un ejemplo más destacado de estas aplicaciones son los sistemas de

propulsión, tanto en vehículos eléctricos (EVs) como en vehículos híbridos (HEVs).

Por otro lado, el desarrollo de modernos sistemas electrónicos digitales, como DSPs

y FPGAs, que permiten la implementación de las complejas estrategias de control

requeridas por las máquinas hacen posible también este creciente interés, traducido

en la creación de sesiones dedicadas al tema en importantes congresos mundiales de

electrónica de potencia. En la literatura se pueden encontrar estudios con el objetivo

de controlar y generar una salida sinusoidal utilizando modulación Space Vector PWM

(SVPWM) para cinco, siete, nueve y seis fases. Especícamente las máquinas de cinco y

seis fases asimétricas de doble debanadado trifásico con neutros independientes, son las

más estudiadas.

Las características especiales de las máquinas multifásicas hacen que su uso esté res-

tringido a aplicaciones en las que, por alguna razón, las máquinas de tres fases no satisfacen

23


las especicaciones o cuyo diseño no se encuentre disponible.

2.2. Modelado y funcionamiento del inversor de cinco

ramas

Esta sección describe el modelo y modo de funcionamiento de los inversores (VSI) de

cinco ramas (cinco fases) y dos niveles. El modelo será de utilidad para el control de la

máquina y permite demostrar algunas de las ventajas de los accionamientos de cinco fases.

Inicialmente se obtendrá un modelo escalar del VSI para luego deducir el modelo

vectorial, basado en los vectores de espacio, que es de mayor interés en el desarrollo de

este trabajo.

2.2.1. Modelo escalar del VSI

En la Fig. 2.1 se muestra el esquema básico del inversor de cinco fases y dos

niveles, compuesto de diez interruptores de potencia, un par por cada rama del inversor,

alimentado por una fuente de corriente continua de tensión Vdc como DCLink, y cuya

salida alimentaría a su vez a una carga balanceada pentafásica, es eminentemente

del tipo inductivo. Para este estudio se asume, además, que la carga alimentada por

el inversor es siempre balanceada. Para evitar cortocircuitos en el DCLink sólo un

interruptor electrónico por rama puede estar activado. Por tanto, los interruptores de

cada rama poseen estados complementarios en todo instante. Para simplicar el análisis,

se considerará como ideales a los interruptores electrónicos. Con estas suposiciones, el

inversor es capaz de entregar a la carga sólo dos niveles de tensión respecto al nodo n del

DC-Link Vdc o 0, según el estado de la rama.

El número de estados posible del inversor será de 25 = 32, siendo posible denir los di-

ferentes estados del inversor por medio de una codicación binaria de cada rama del inver-

sor. Así, si cada estado del inversor está representado por el vector [Sa, Sb, Sc, Sd, Se]T ,

donde Si ∈ 0, 1, cuando el estado de una determinada rama Si es igual a 1 implica que

24


Figura 2.1: Diagrama Esquemático del Inversor de Cinco Fases.

el interruptor superior de la rama se encuentra activado (interruptor inferior desactivado)

y la tensión vin de esa rama con respecto a n es Vdc. Contrariamente, cuando el estado

de la rama sea 0, el interruptor de la rama inferior se encuentra activado (interruptor

superior desactivado) y la tensión vin de la rama respecto a n es 0. Entonces podemos

expresar las tensiones de cada rama según las siguientes ecuaciones:

van = Sa · Vdc (2.1)

vbn = Sb · Vdc (2.2)

vcn = Sc · Vdc (2.3)

vdn = Sd · Vdc (2.4)

ven = Se · Vdc (2.5)

donde van, vbn, vcn, vdn, ven son las tensiones de cada rama respecto al nodo n y

Sa, Sb, Sc, Sd, Se son los estados de cada rama del inversor.

Necesitamos, para determinar el modelo del inversor de cinco fases, deducir la expresión

matemática de las tensiones de fase vis de cada rama. Teniendo en cuenta que estas

tensiones de fase son:

vas = van − vsn (2.6)

25


vbs = vbn − vsn (2.7)

vcs = vcn − vsn (2.8)

vds = vdn − vsn (2.9)

ves = ven − vsn (2.10)

donde vas, vbs, vcs, vds, ves son las tensiones de fase y vsn es la tensión del neutro del

conexionado con respecto al nodo n.

Y suponiendo el sistemas equilibrado y balanceado (∑vis = 0), sumando miembro a

miembro (2.6)(2.10) se llega hasta la expresión:

vsn =van + vbn + vcn + vdn + ven

5(2.11)

Reemplazando (2.11) en (2.6)(2.10) se obtiene:

vas =4

5· van −

1

5· (vbn + vcn + vdn + ven) (2.12)

vbs =4

5· vbn −

1

5· (van + vcn + vdn + ven) (2.13)

vcs =4

5· vcn −

1

5· (van + vbn + vdn + ven) (2.14)

vds =4

5· vdn −

1

5· (van + vbn + vcn + ven) (2.15)

ves =4

5· ven −

1

5· (van + vbn + vcn + vdn) (2.16)

Finalmente, reemplazando (2.1)(2.5) en (2.12)(2.16) las expresiones de tensión de

fase son:

vas =4 · Vdc

5· Sa −

Vdc5· (Sb + Sc + Sd + Se) (2.17)

vbs =4 · Vdc

5· Sb −

Vdc5· (Sa + Sc + Sd + Se) (2.18)

vcs =4 · Vdc

5· Sc −

Vdc5· (Sa + Sb + Sd + Se) (2.19)

vds =4 · Vdc

5· Sd −

Vdc5· (Sa + Sb + Sc + Se) (2.20)

ves =4 · Vdc

5· Se −

Vdc5· (Sa + Sb + Sc + Sd) (2.21)

26


Figura 2.2: Conguraciones de la carga en el VSI de cinco fases para los distintos valores

del bit de estados Si.

Matricialmente (2.17)(2.21) puede expresarse como sigue:

vas

vbs

vcs

vds

vcs

=Vdc5·

4 −1 −1 −1 −1

−1 4 −1 −1 −1

−1 −1 4 −1 −1

−1 −1 −1 4 −1

−1 −1 −1 −1 4

·

Sa

Sb

Sc

Sd

Se

(2.22)

Esta última ecuación consiste en el modelo del inversor de cinco ramas, denido a partir

del estado binario de sus ramas.

Las conguraciones del conexionado de la carga para los distintos estados binarios del

inversor se encuentran representadas en la Fig. 2.2, donde se identica a cada conguración

según el número de ramas con estados 1 ó 0: 05, 14, 23, 32 y 50. Cuando

todas las ramas tienen el mismo valor como bit de estado, conexionados 05 y 50,

las tensiones de fases son cero. En los demás casos, las distintas tensiones de fases posibles

son: ±4·Vdc5

, ±3·Vdc5

, ±2·Vdc5

y ±Vdc5.

27


También se pueden denir las tensiones de línea del inversor vij (vis − vjs;∀i 6= j), de

manera matricial, por medio de la siguiente ecuación matricial:

vab

vbc

vcd

vde

vea

=

1 −1 0 0 0

0 1 −1 0 0

0 0 1 −1 0

0 0 0 1 −1

−1 0 0 0 1

·

vas

vbs

vcs

vds

vcs

(2.23)

De esta manera, queda descrito el modelo escalar del inversor de cinco ramas y dos niveles.

2.2.2. Modelo vectorial del VSI

El aumento del número de fases del VSI demanda también un aumento en la

complejidad matemática del control del mismo. Como suponemos una carga equilibrada

y balanceada, la primera simplicación a considerar es que el inversor posee 4 grados

de libertad, es decir, se necesita del control de cuatro variables eléctricas para controlar

completamente al sistema.

Con el n de simplicar el modelo escalar y haciendo uso de lo expuesto en el párrafo

anterior, si se considera la tensión de cada estado del inversor de cinco ramas como un

vector en un espacio ortogonal de cinco dimensiones, el modelo escalar puede simplicarse

y convertirse en un modelo vectorial al proyectar estos vectores sobre un plano apropiado.

Los vectores de espacio del inversor se obtienen por sus proyecciones entres planos

ortogonales (de aquí en adelante, planos αβ, xy y z), por medio de la siguiente trans-

formación invariante en potencia [34]:

~vαβ = vsα + j · vsβ =

√2

5· (vas + vbs · ~a+ vcs · ~a2 + vds · ~a3 + ves · ~a4) (2.24)

~vxy = vsx + j · vsy =

√2

5· (vas + vbs · ~a2 + vcs · ~a4 + vds · ~a+ ves · ~a3) (2.25)

vz =1√5· (vas + vbs + vcs + vds + ves) (2.26)

28


Figura 2.3: Vectores de tensión en los planos αβ y xy.

siendo ~a = ej·ϑ y ϑ = 2π5

(rad).

El plano z representa la componente homopolar del sistema, que por el conexionado

de la máquina será nula para cualquier estado del inversor, por lo que conseguimos

un modelo dependiente de cuatro variables o lo que es lo mismo, los cuatro grados de

libertad que esperábamos, al simplicar el modelo.

En la Fig.2.3 se muestran los vectores de tensión obtenidos en los planos αβ y xy.

Cada vector se encuentra indicado por medio del número decimal equivalente al código

binario del estado de los interruptores del inversor.

Matricialmente, la transformación (2.24)(2.26) equivale a la siguiente ecuación:

vsα

vsβ

vsx

vsy

vsz

=

√2

5·

1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ)

0 sin(ϑ) sin(2ϑ) sin(3ϑ) sin(4ϑ)

1 cos(2ϑ) cos(4ϑ) cos(ϑ) cos(3ϑ)

0 sin(2ϑ) sin(4ϑ) sin(ϑ) sin(3ϑ)

1√2

1√2

1√2

1√2

1√2

·

vas

vbs

vcs

vds

vcs

(2.27)

Entre las propiedades de la transformación descrita podemos citar:

Las componentes 10n± 1 (n = 0, 1, 2, 3, ...) quedan mapeadas en el plano αβ.

29


Las componentes armónicas de orden 10n ± 3 (n = 0, 1, 2, 3, ...) quedan mapeadas

en el plano xy.

Las armónicas de orden 5n (n = 1, 2, 3, ...) quedan mapeadas en el plano z.

Con la transformación analizada, y para el caso en que sólo la componente funda-

mental y los armónicos de su mismo subespacio produzcan potencia útil como sucede

en las máquinas de cinco fases con bobinados distribuidos, la transformación de energìa

se realiza exclusivamente en el plano αbeta; mientras que en el plano xy quedarán

proyectadas las pérdidas que puedan existir en el sistema. Está propiedad es útil en el caso

de las máquinas de bobinados distribuidos, las cuales verican el tipo de transformación

de energía de la manera citada.

2.3. Modelo de la máquina de cinco fases

En esta sección se deduce el modelo de las máquinas de inducción de cinco fases. El

modelo de la máquina será utilizado en los distintos esquemas de control de velocidad

que son evaluados en este trabajo. La complejidad del modelo será mayor que para las

máquinas de tres fases por el incremento del número de fases.

Primero, se describe el modelo físico de la máquina. A partir de la dicho modelo,

aplicando la tranformación de Clark, se consigue simplicar la complejidad del sistema,

quedando la máquina queda descrita en tres planos ortogonales. Toda la conversión

electromagnética de la energía queda mapeada exclusivamente en uno de ellos si se trata

de máquinas de bobinados distribuidos, anulándose además un plano con un apropiado

conexionado del sistema por lo que en el plano restante quedarán mapeadas las pérdidas

producidas al operar la máquina.

Posteriormente, se deduce el modelo para un marco de referencia general, con lo que

se puede conseguir una mayor simplicación del modelo de la máquina, alcanzando cierta

analogía con el control de una máquina de corriente continua.

30


Finalmente, se analiza el modelo de la máquina de bobinados concentrados, diseño que

permite un mayor aprovechamiento del ujo magnético en el entrehierro de la máquina

al generar conversión electromagnética de energía en dos planos, obteníendose así una

mejora en el rendimiento del sistema.

2.3.1. Máquinas con bobinados distribuidos

2.3.1.1. Modelo en variables de fase

El modelo en variables de fases de la máquina de inducción también es conocido

como modelo físico. La máquina de inducción de cinco fases está construida por diez

bobinas distribuidas sinusoidalmente por cada par de polos P alrededor de la supercie

cilíndrica del estátor y desplazadas eléctricamente 72 (ϑ = 2π5) entre fases consecutivas

de un mismo polo. Un esquema representativo de la máquina descrita se muestra en la

Fig. 2.4. El rotor de la máquina es del tipo jaula de ardilla cuyo comportamiento, para el

modelo, se puede considerar equivalente al de cinco conductores bobinados desplazados

eléctricamente 72 y conectados en paralelo entre si.

Los bobinados del estátor, excitados por una fuente de tensión sinusoidal balanceada

de cinco fases, producen un campo rotante de amplitud constante. El campo rotante

provoca a su vez una reacción en el rotor, generando un par electromagnético neto. Las

máquinas generalmente son alimentadas con inversores, con los cuales no es sencillo

general una señal sinusoidal pura, generando, por tanto, componentes armónicas de

tensión a la entrada de la máquina que crean, a su vez, armónicos de corriente en el sistema.

El conexionado seleccionado elimina el quinto armónico, así como los de orden 5n.

Sin embargo, los armónicos de orden (10n+ 1), (10n+ 3), (10n+ 7) y (10n+ 9) (siendo

n = 0, 1, 2, 3, ...) aparecen con diferentes amplitudes y secuencias de fases. A partir de

la transformada de Fourier de una señal cuadrada, con la que se alimenta la máquina

desde el inversor, se demuestra que la amplitud de cada armónica respecto a la amplitud

de la fundamental será inversamente proporcional al orden del armónico. Las distintas

31


Figura 2.4: Esquema de la Máquina de Inducción de Cinco Fases.

secuencias dependen del orden del armónico, como se muestra en la Tabla 2.1 en la que

el signo de la columna par (+ o −) o el valor nulo que aparece indica el signo del par

generado por la armónica respecto a la fundamental.

En la Fig. 2.5 se puede observar las distintas secuencias de fases que puede presentarse

en la máquina alimentada por un inversor de cinco fases.

Cuando los bobinados de estátor son conectados con secuencia de fase abcde (se-

cuencia de la fundamental) los armónicos tienen el siguiente comportamiento:

1. Los armónicos de orden (10n+ 1) producen reacción en el rotor y par positivo.

2. Los armónicos de orden (10n+ 9) producen reacción en el rotor y par negativo.

3. Los armónicos de orden (10n + 3) y (10n + 7) no producen reacción en el rotor ni

en el par.

Para la deducción del modelo en función a las variables de fase se realizan las siguientes

suposiciones:

32


Tabla 2.1: Amplitudes y Secuencias de Fases de Armónicos en la máquina de Cinco Fases

Orden de Armónico (n) Secuencia de Fase Amplitud(VnV1) Par

1 abcde 1 (+)

3 adbec 13

(0)

7 acebd 17

(0)

9 aedcb 19

(−)

11 abcde 111

(+)

13 adbec 113

(0)

17 acebd 117

(0)

19 aedcb 119

(−)

21 abcde 121

(+)

1. Los bobinados de la máquina son idénticos, se encuentran distribuidos sinusoidal-

mente, y el rotor, del tipo jaula, es equivalente a cinco bobinas.

2. La saturación magnética del campo, las inductancias mutuas debidas a inductancias

de pérdidas, y las pérdidas en el núcleo por corrientes parásitas serán despreciadas.

3. El entrehierro de la máquina es considerado de dimensión constante.

4. No existen cambios de reluctancia dependientes a la posición del rotor.

Bajo estas suposiciones, la máquina de inducción de cinco fases puede ser descrita por

las siguientes ecuaciones matriciales de tensión referidas al estátor de la máquina [30]:

[vs] = [Rs] · [is] + p · [λs]

= [Rs] · [is] + p · ([λss] + [λsr])

= [Rs] · [is] + p · ([Lss] · [is] + [Lsr(θ)] · [ir])

(2.28)

[0] = [Rr] · [ir] + p · [λr]

= [Rr] · [ir] + p · ([λrr] + [λrs])

= [Rr] · [ir] + p · ([Lrr] · [ir] + [Lrs(θ)] · [is])

(2.29)

33


(a) (b) (c)

(d) (e)

Figura 2.5: Secuencias de fases para la máquina de cinco fases. (a) Secuencia de fase de los

armónicos de orden (10n+ 1). (b) Secuencia de fase de los armónicos de orden (10n+ 9).

(c) Secuencia de fase de los armónicos de orden (10n + 3). (d) Secuencia de fase de los

armónicos de orden (10n+ 7). (e) Secuencia de fase de los armónicos de orden (5n).

Siendo θ la coordenada polar del rotor (eje ar), que gira con una velocidad mecánica

ωm respecto al marco de referencia, el estátor (eje as). A su vez, p = ddt

es el operador

derivada respecto al tiempo. Las siguientes deniciones son aplicadas a las matrices de

tensión, corriente y ujo de fase (2.28)(2.29) referidos al estátor:

[vs] = [vas vbs vcs vds ves]T

[is] = [ias ibs ics ids ies]T

[λs] = [λas λbs λcs λds λes]T

(2.30)

34


[vr] = [var vbr vcr vdr ver]T

[ir] = [iar ibr icr idr ier]T

[λr] = [λar λbr λcr λdr λer]T

(2.31)

En el modelo todas las componentes de [vr] son iguales a cero pues no existe ninguna

fuente de excitación en el rotor. Los bobinados de estátor y rotor poseen Ns y Nr espiras,

respectivamente, y la relación de transformación en el acoplamiento estátorrotor kw se

dene según la relación:

kw =Ns

Nr

(2.32)

Las componentes de las variables de tensión, corriente y ujo del rotor referidas al

estátor se obtienen a partir de las componentes reales [v′r], [i′r] y [λ′r], respectivamente,

por un simple factor a partir de [35]:

[ir] =1

kw· [i′r]; [vr] = kw · [v′r]; [λr] = kw · [λ′r] (2.33)

Las matrices de resistencia del estátor y rotor se encuentran denidas por:

[Rs] =

Rs

Rs

Rs

Rs

Rs

; [Rr] =

Rr

Rr

Rr

Rr

Rr

(2.34)

Rr = k2w ·R′r (2.35)

donde Rs y R′r corresponden a las resistencias de los bobinados de estátor y rotor,

respectivamente.

Las matrices de inductancias en el estátor y rotor se denen según:

35


[Lss] = Lls · [I5] + Lms ·


cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ)

cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(2ϑ)

cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ)

cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1

(2.36)

[Lrr] = Llr · [I5] + k2w · Lmr ·


cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ)

cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(2ϑ)

cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ)

cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1

(2.37)

Llr = k2w · L′lr (2.38)

[Lsr(θ)] = Lmsr ·

cos(θ) cos(θ+ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+4ϑ)

cos(θ+4ϑ) cos(θ) cos(θ+ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+3ϑ)

cos(θ+3ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ) cos(θ+ϑ) cos(θ+2ϑ)

cos(θ+2ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ) cos(θ+ϑ)

cos(θ+ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ)

(2.39)

[Lrs(θ)] = Lmrs ·

cos(θ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ)

cos(θ+ϑ) cos(θ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ)

cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) cos(θ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+3ϑ)

cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) cos(θ) cos(θ+4ϑ)

cos(θ+4ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) cos(θ)

(2.40)

Donde:

36


Lls y L′lr: Inductancias de fuga de los bobinados de fase del estátor y el rotor,

respectivamente.

Lms y Lmr: Inductancias mutuas entre bobinados de fases del estátor y entre

bobinados de fase del rotor, respectivamente.

Lmsr y Lmrs: Inductancias mutuas del rotor acoplada en el estátor y del estátor

acoplada al rotor, respectivamente.

[I5]: Matriz identidad de orden cinco.

Las relaciones entre las inductancias mutuas debido a la simetría de la máquina y las

deniciones de cada unas son [35]:

Lmsr = Lmrs = Lms; Lms = k2w · Lmr (2.41)

con lo que podemos concluir:

[Lsr(θ)] = [Lrs(θ)]T (2.42)

El par electromagnético Te expresado en función a las variables de fase se calcula a

partir de la expresión de coenergía magnética de la máquina Wco [35]:

Te =∂Wco

∂θ([is], [ir] Constantes)

=P

2· [i]T · d[L]

dθ· [i]

(2.43)

donde:

[i] =

[is]

[ir]

; [L] =

[Lss] [Lsr(θ)]

[Lrs(θ)] [Lrr]

(2.44)

Para el modelo se consideró, además, que no existen variaciones en la reluctancia de

la máquina en función a la posición θ (elementos de [Lss] y [Lrr] constantes), con lo que

la expresión del par electromagnético está dada por:

Te =P

2

[[is]

T [ir]T

] [0][dLsr(θ)dθ

][dLrs(θ)dθ

][0]

[is]

[ir]

=P

2

([is]

T

[dLsr(θ)

dθ

][ir] + [ir]

T

[dLrs(θ)

dθ

][is]

) (2.45)

37


de (2.42):

[ir]T

[dLrs(θ)

dθ

][is] = [ir]

T

[dLsr(θ)

dθ

]T[is] =

([is]

T

[dLsr(θ)

dθ

][ir]

)T[ir]

T

[dLrs(θ)

dθ

][is] = [is]

T

[dLsr(θ)

dθ

][ir]

(2.46)

y sustituyendo en (2.45), la expresión del par electromagnético queda denida por:

Te = P ·(

[is]T d

dθ[Lsr(θ)][ir]

)(2.47)

Desarrollando la ecuación matricial, el par electromagnético se obtiene mediante la si-

guiente expresión:

Te =− P · Lmsr · (ias · iar + ibs · ibr + ics · icr + ids · idr + ies · ier) · sin(θ)

+ (ias · ibr + ibs · icr + ics · idr + ids · ier + ies · iar) · sin(θ − ϑ)

+ (ias · icr + ibs · idr + ics · ier + ids · iar + ies · ibr) · sin(θ − 2ϑ)

+ (ias · idr + ibs · ier + ics · iar + ids · ibr + ies · icr) · sin(θ − 3ϑ)

+ (ias · ier + ibs · iar + ics · ibr + ids · icr + ies · idr) · sin(θ − 4ϑ)

(2.48)

La ecuación diferencial que relaciona el par electromagnético y la velocidad está dada

por:

Jm ·dωmdt

= Te − TL −Bm · ωm (2.49)

Siendo:ωm: La velocidad mecánica de rotación del eje del rotor.

TL: El par mecánico de carga aplicado al eje de la máquina.

Jm: La inercia rotacional del conjunto rotor y carga acoplado al mismo.

Bm: El coeciente de fricción en los apoyos de conjunto rotor y carga.

2.3.1.2. Modelo desacoplado de Clark

El modelo descrito en variables de fase puede simplicarse, para eliminar la dependen-

cia de la inductancia mutua con el tiempo, por medio de la transformación de Clark [1].

38


El modelo quedaría redenido por medio de cinco nuevas variables obtenidas mediante la

transformación invariante en potencia de las variables originales utilizando la matriz de

desacoplo de Clark (ϑ = 2π5):

[TC ] =

√2

5·


0 sin(ϑ) sin(2ϑ) sin(3ϑ) sin(4ϑ)

1 cos(3ϑ) cos(ϑ) cos(4ϑ) cos(2ϑ)

0 sin(3ϑ) sin(ϑ) sin(4ϑ) sin(2ϑ)

1√2

1√2

1√2

1√2

1√2

; [TC ]−1 = [TC ]T (2.50)

Se puede observar que la matriz [TC ] posee la misma denición expuesta en la deducción

del modelo vectorial del VSI (2.24)(2.27), por lo que al aplicar esta transformación a las

variables eléctricas usaremos la misma nomenclatura.

Aplicando la transformación al modelo de máquina, premultiplicando [TC ] por (2.28)

(2.29):

[TC ] · [vs] =[TC ] · [Rs] · [TC ]−1 · [TC ] · [is] + p · [TC ] · [Lss] · [TC ]−1 · [TC ] · [is]

+ p · [TC ] · [Lsr(θ)] · [TC ]−1 · [TC ][ir](2.51)

[0] =[TC ] · [Rr] · [TC ]−1 · [TC ] · [ir] + p · [TC ] · [Lrr] · [TC ]−1 · [TC ] · [ir]

+ p · [TC ] · [Lrs(θ)] · [TC ]−1 · [TC ][is](2.52)

Las variables de fase son ahora transformadas a un nuevo sistema de referencia al que

denominaremos αβxyz, los nuevos vectores de tensión, corriente y ujo se denen de

la siguiente forma:

vsα

vsβ

vsx

vsy

vsz

= [TC ] · [vs];

isα

isβ

isx

isy

isz

= [TC ] · [is];

λsα

λsβ

λsx

λsy

λsz

= [TC ] · [λs] (2.53)

39


v′rα

v′rβ

vrx

vry

vrz

= [TC ] · [vr];

i′rα

i′rβ

irx

iry

irz

= [TC ] · [ir];

λ′rα

λ′rβ

λrx

λry

λrz

= [TC ] · [λr] (2.54)

Las matrices de resistividad e inductancia obtenidas mediante la transformación son:

[TC ] · [Rs] · [TC ]−1 = [Rs] (2.55)

[TC ] · [Lss] · [TC ]−1 = Lls · [I5] + Lms ·

52

0 0 0 0

0 52

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(2.56)

Deniendo Ls = Lls +M , siendo M = 52· Lms, nalmente se obtiene:

[TC ] · [Lss] · [TC ]−1 =

Ls

Ls

Lls

Lls

Lls

(2.57)

[TC ] · [Lsr(θ)] · [TC ]−1 = M ·

cos(θ) − sin(θ) 0 0 0

sin(θ) cos(θ) 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(2.58)

Siendo M = 52· Lmsr = 5

2· Lmrs = 5

2· Lms = 5

2· Lmr de acuerdo con la ecuación (2.41)

[TC ] · [Rr] · [TC ]−1 = [Rr] (2.59)

40


[TC ] · [Lrr] · [TC ]−1 =

Lr

Lr

Llr

Llr

Llr

(2.60)

Siendo Lr = Llr +M .

[TC ] · [Lrs(θ)] · [TC ]−1 = M ·

cos(θ) sin(θ) 0 0 0

− sin(θ) cos(θ) 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(2.61)

El Modelo transformado puede dividirse en tres conjuntos de ecuaciones desacopladas

αβ, xy y z, a los que denominaremos subespacios. Para mejor análisis se estudiarán

los subespacios desacoplados obtenidos.

• Modelo en el subespacio αβ

Las ecuaciones de tensión en este subespacio son:vsαvsβ

=

RsRs

·isαisβ

+ p

LsLs

·isαisβ

+M ·

cos(θ) − sin(θ)

sin(θ) cos(θ)

·i′rαi′rβ

(2.62)

0

0

=

RrRr

·i′rαi′rβ

+ p

LrLr

·i′rαi′rβ

+M ·

cos(θ) sin(θ)

− sin(θ) cos(θ)

·isαisβ

(2.63)

En el modelo resultante en el subespacio αβ (2.62)(2.63) se puede notar que las

variables del estátor y las del rotor no se encuentran referidas al mismo sistema. Las

variables del rotor están referidas con respecto a un marco móvil girando a la frecuencia

angular del rotor α′β′, tal como se muestra en la Fig. 2.6. Para referir todas las variables

a un mismo marco de referencia, emplearemos el marco de referencia estático, para lo que

41


Figura 2.6: Sistemas de referencia de las variables del estátor αβ y del rotor α′β′ resul-

tantes de la transformación de Clark.

usaremos la matriz de rotación dada por la siguiente ecuación:

[Tr(θ)] =

cos(θ) − sin(θ) 0 0 0


0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

; [Tr(θ)]

−1 = [Tr(−θ)] = [Tr(θ)]T (2.64)

La transformación sólo afecta el marco de referencia de las variables del rotor en el subes-

pacio αβ, de manera que las nuevas variables del rotor quedan transformadas como

sigue:

vrα

vrβ

vrx

vry

vrz

= [Tr(θ)] ·

v′rα

v′rβ

vrx

vry

vrz

;

irα

irβ

irx

iry

irz

= [Tr(θ)] ·

i′rα

i′rβ

irx

iry

irz

;

λrα

λrβ

λrx

λry

λrz

= [Tr(θ)] ·

λ′rα

λ′rβ

λrx

λry

λrz

(2.65)

En el subespacio αβ, por el desacoplo con los demás subespacios, la transformación

estará dada por:

[Tr(θ)] =

cos(θ) − sin(θ)

sin(θ) cos(θ)

; [Tr(θ)]−1 = [Tr(−θ)] = [Tr(θ)]

T (2.66)

42


Luego la ecuación de tensión en el estátor será:vsαvsβ

=

Rs

Rs

·isαisβ

+ p

LsLs

·isαisβ

+M ·

irαirβ

(2.67)

Para obtener el modelo del rotor es necesario multiplicar la ecuación (2.63) por [Tr(θ)]:

0

0

=[Tr(θ)] ·

RrRr

· [Tr(−θ)] · [Tr(θ)]i′rαi′rβ

+ [Tr(θ)]p

LrLr

· [Tr(−θ)] ·irαirβ

+ [Tr(θ)] · p

M · [Tr(−θ)] ·isαisβ

(2.68)

[Tr(θ)] · [Rr] · [Tr(−θ)] = [Rr] (2.69)

[Tr(θ)]·p

LrLr

· [Tr(−θ)] ·irαirβ

= ωr ·

Lr

−Lr

·irαirβ

+

LrLr

·pirαirβ

(2.70)

Siendo dθdt

= ωr = P · ωm. Al realizar las pulsaciones eléctricas de la máquina P ciclos

eléctricos por cada ciclo mecánico, tendremos:

[Tr(θ)] · p

M · [Tr(−θ)] ·isαisβ

= ωr ·

M

−M

·isαisβ

+

MM

· pisαisβ

(2.71)

0

0

=

Rr

Rr

·irαirβ

+

Lr · p Lr · ωr−Lr · ωr Lr · p

·irαirβ

+

M · p M · ωr−M · ωr M · p

·isαisβ

(2.72)

Con lo que el modelo en el subespacio αβ podrá resumirse con la siguiente expresión

matricial:vsα

vsβ

0

0

=

Rs + Ls · p 0 M · p 0

0 Rs + Ls · p 0 M · p

M · p M · ωr Rr + Lr · p Lr · ωr−M · ωr M · p −Lr · ωr Rr + Lr · p

·isα

isβ

irα

irβ

(2.73)

43


El modelo puede ser también expresado de manera vectorial, por medio de variables

complejas:

~vsαβ = Rs ·~isαβ + p · ~λsαβ

0 = Rr ·~irαβ + p · ~λrαβ − j · ωr · ~λrαβ(2.74)

~λsαβ = Ls ·~isαβ +M ·~irαβ~λrαβ = M ·~isαβ + Lr ·~irαβ

(2.75)

Donde j es la unidad imaginaria y los vectores complejos de tensión, corriente y ujo son

iguales a:

~vsαβ = vsα + j · vsβ

~vrαβ = vrα + j · vrβ~isαβ = isα + j · isβ~irαβ = irα + j · irβ~λsαβ = λsα + j · λsβ~λrαβ = λrα + j · λrβ

(2.76)

• Modelo en el subespacio xy

El modelo en el subespacio xy puede ser obtenido directamente de (2.51)(2.52), y re-

presentado por: vsxvsy

=

Rs + Lls · p 0

0 Rs + Lls · p

·isxisy

0

0

=

Rr + Llr · p 0

0 Rr + Llr · p

·irxiry

(2.77)

El modelo de la máquina en este subespacio también puede representarse vectorial-

mente como sigue:

~vsxy = Rs ·~isxy + p · ~λsxy

0 = Rr ·~irxy + p · ~λrxy(2.78)

~λsxy = Lls ·~isxy~λrxy = Llr ·~irxy

(2.79)

44


Donde los vectores complejos de tensión, corriente y ujo son iguales a:

~vsxy = vsx + j · vsy

~vrxy = vrx + j · vry~isxy = isx + j · isy~irxy = irx + j · iry~λsxy = λsx + j · λsy~λrxy = λrx + j · λry

(2.80)

• Modelo en el subespacio z

El modelo desacoplado de la máquina en el subespacio z se obtiene también directamente

de (2.51)(2.52) según las siguientes ecuaciones:

vsz = (Rs + Lls · p) · isz

vrz = (Rr + Llr · p) · irz(2.81)

Se puede notar que los modelos en los subespacios xy y z representan una ecuación

de primer orden equivalente a la de un circuito RL. En el subespacio αβ, sin embargo,

se puede ver el acoplamiento de las corrientes de estátor y rotor y la dependencia de este

acoplamiento de la velocidad de respuesta del sistema.

• Par electromagnético.

La expresión del par electromagnético se puede obtener a partir de la expresión (2.47), en

función de las variables de fase que son transformada al marco de referencia αβxyz,

como sigue:

Te = P ·(

[is]T d

dθ[Lsr(θ)][ir]

)= P ·

([is]

Tαβxyz[TC ]

d

dθ[Lsr(θ)][TC ]−1[Tr(−θ)][ir]αβxyz

) (2.82)

45


Desarrollando esta expresión:

[TC ]d

dθ[Lsr(θ)][TC ]−1 =

d

dθ

([TC ][Lsr(θ)][TC ]−1

)

= M · ddθ

cos(θ) − sin(θ) 0 0 0


0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

= M ·

− sin(θ) − cos(θ) 0 0 0

cos(θ) − sin(θ) 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(2.83)

Se puede notar en la matriz resultante, que todas las entradas en los subespacios xy

y z son nulas, y que todos los subespacios siguen desacoplados. Este último resultado

evidencia que la transformación útil de energía se produce en el subespacio αβ, según la

siguiente expresión:

Te = P ·M ·[isα isβ

]·

− sin(θ) − cos(θ)

cos(θ) − sin(θ)

· cos(θ) sin(θ)

− sin(θ) cos(θ)

·irαirβ

= P ·M ·

[isα isβ

]·

0 −1

1 0

·irαirβ

(2.84)

Con lo que nalmente se obtiene:

Te = P ·M · (irα · isβ − irβ · isα) (2.85)

Vectorialmente el par electromagnético estará dado por:

Te = P ·M ·~irαβ ×~isαβ (2.86)

46


Figura 2.7: Circuito equivalente de la máquina de inducción de cinco fases.

Otra expresiones muy utilizadas en la bibliografía para determinar el par electromag-

nético de la máquina son:

Te = P · ~λsαβ ×~isαβ

Te = P · ~λrαβ ×~irαβ

Te = P · MLr· ~λrαβ ×~isαβ

(2.87)

• Circuito equivalente del modelo.

El circuito equivalente del modelo consiste, en realidad, en tres circuitos desacoplados,

uno por cada subespacio. Los circuitos equivalentes por subespacios pueden apreciarse

en la Fig. 2.7.

Del modelo obtenido cabe destacar las siguientes características:

1. Toda la conversión de energía electromecánica se produce en el subespacio αβ, en

tanto que toda energía que se produzca en los demás subespacios no realiza una

contribución en el par.

2. Las corrientes en los subespacios xy y z, no contribuyen en la producción del

ujo en el entrehierro de la máquina. Están limitadas por una pequeña impedancia

formada por la resistencia y la inductancia de fuga del bobinado del estátor. Al no

47


Figura 2.8: Sistema de referencia móvil dq.

ser necesario su control podrían producirse valores muy elevados de corriente que

solamente signicarían pérdidas.

3. El modelo de la máquina en el subespacio αβ es similar a la de una máquina de

tres fases, por lo que las estrategias de control serán muy similares con los cambios

pertinentes para el control de las variables en los demás subespacios.

2.3.1.3. Modelo en el marco de referencia general dq

En el modelo desacoplado de Clark, se resaltó que las variables están referidas a un

marco de referencia estático, jado en el estátor de la máquina. Las variables del primer

subespacio también pueden ser referenciarse a un sistema de referencia móvil, lo que

simplica el modelo de la máquina. Las transformaciones que se detallan a continuación

sólo provocarán cambios en el subespacio αβ de la máquina, los demás subespacios se

mantienen tal cual fueron detallados en la sección anterior.

Considérese un marco de referencia móvil dq rotando a una velocidad ωa como se

muestra en la Fig. 2.8. En la misma gura se pueden observar también el marco de

referencia estático αβ, tal como se lo denió en la sección anterior y el eje de referencia

del rotor de la máquina, que gira con una velocidad ωm mientras que las variables eléctricas

lo hacen a una velocidad ωr. Loa ejes giratorios vienen especicados por sus coordenadas

polares θ y θa respecto a los ejes de referencia estático. Las coordenadas de las variables

48


del estátor proyectadas al nuevo marco de referencia móvil vendrán dadas, mediante una

transformación invariante en potencia, por medio de la matriz de transformación:

[Tas] =

√2

5·

cos(θa) cos(θa−ϑ) cos(θa−2ϑ) cos(θa−3ϑ) cos(θa−4ϑ)

sin(θa) sin(θa−ϑ) sin(θa−2ϑ) sin(θa−3ϑ) sin(θa−4ϑ)



1√2

1√2

1√2

1√2

1√2

; [Tas]

−1 = [Tas]T (2.88)

con lo que las coordenadas de las variables del estátor en el nuevo marco de referencia

serán:

v asd

v asq

vsx

vsy

vsz

= [Tas] · [vs];

i asd

i asq

isx

isy

isz

= [Tas] · [is];

λ asd

λ asq

λsx

λsy

λsz

= [Tas] · [λs] (2.89)

La matriz de transformación para las variables del rotor es:

[Tar] =

√2

5·

cos(δ) cos(δ−ϑ) cos(δ−2ϑ) cos(δ−3ϑ) cos(δ−4ϑ)

sin(δ) sin(δ−ϑ) sin(δ−2ϑ) sin(δ−3ϑ) sin(δ−4ϑ)



1√2

1√2

1√2

1√2

1√2

; [Tar]

−1 = [Tar]T (2.90)

Siendo δ = θa− θ. Las coordenadas de las variables del rotor en el subespacio dq estarán

dadas por las siguientes transformaciones:

v ard

v arq

vrx

vry

vrz

= [Tar] · [vr];

i ard

i arq

irx

iry

irz

= [Tar] · [ir];

λ ard

λ arq

λrx

λry

λrz

= [Tar] · [λr] (2.91)

49


Siendo ωr = P · ωm, donde los ángulos están relacionados con las velocidades según:

θa =

∫ t

0

ωa · dt

δ = θa − θ =

∫ t

0

(ωa − ωr) · dt(2.92)

Aplicando las trasformaciones a las ecuaciones del rotor y el estátor (2.28)(2.29) y

siguiendo los procedimientos análogos a los realizados en la sección anterior sin necesidad

de realizar la transformación de rotación, el modelo de la máquina en el subespacio dq

es: vsd

vsq

0

0

=

Rs+Ls·p −Ls·ωa M ·p −M ·ωa

Ls·ωa Rs+Ls·p M ·ωa M ·p

M ·p −M ·(ωa−ωr) Rr+Lr·p −Lr·(ωa−ωr)

M ·(ωa−ωr) M ·p Lr·(ωa−ωr) Rr+Lr·p

·isd

isq

ird

irq

(2.93)

El modelo vectorial en el subespacio dq, está dado por:

~v asdq = Rs ·~i asdq + p · ~λ a

sdq + j · ωa · ~λ asdq

0 = Rr ·~i ardq + p · ~λ ardq + j · (ωa − ωr) · ~λ a

rdq

(2.94)

~λ asdq = Ls ·~i asdq +M ·~i ardq~λ ardq = M ·~i asdq + Lr ·~i ardq

(2.95)

El par electromecánico puede obtenerse por:

Te = P · ~λ asdq ×~i asdq (2.96)

y además puede computarse análogamente con cualquiera de las expresiones (2.86)(2.87)

expuestas en la sección anterior.

El circuito equivalente del modelo en el subespacio dq se muestra en la Fig. 2.9. Los

circuitos equivalentes en los subespacios xy y z permanecen tal cual se los representó en

50


Figura 2.9: Circuito equivalente del modelo en el subespacio dq.

(a) (b)

Figura 2.10: Subespacio dq empotrado en los vectores de ujo. (a) eje d alineado con λs.

(b) eje d alineado con λr

.

la sección anterior.

Se puede notar, tal como ya se ha expuesto, que el modelo en el subespacio αβ es

un caso especial dado por ωa = 0 en el modelado del subespacio dq. Existen otros casos

particulares de interés por la simplicación en el cálculo y el desarrollo de estrategias de

control basadas en los modelos obtenidos. Uno de estos casos aparece cuando en el marco

de referencia se hace coincidir el eje d con el vector de ujo del rotor o el estátor, Fig. 2.10.

En ambos casos el eje q es perpendicular al anterior eje d, con lo que se consigue que

el vector del ujo posea componentes solamente sobre un eje.

• Marco de referencia alineado con el ujo del rotor.

51


Como el vector de espacio del ujo del rotor λr, que gira con una velocidad angular ωre ,

se encuentra alineado con el eje d, las coordenadas del mismo en el eje q serán nulas. El

modelo vectorial de la máquina estará dado entonces por:

~v esdq = Rs ·~i esdq + p · ~λ e

sdq + j · ωre · ~λ esdq

0 = Rr ·~i erdq + p · λr + j · ωsl · λr(2.97)

donde ωsl = ωre − ωr, es la velocidad de deslizamiento con respecto al ujo del rotor.

~λ esdq = Ls ·~i esdq +M ·~i erdq

λr = M ·~i esdq + Lr ·~i erdq(2.98)

Te = P · λr · i erq (2.99)

Deniendo τr = LrRr

y kr = MLr, de la ecuación de ujo de rotor se obtienen las relaciones

entre las corrientes de rotor y estátor. Aplicando estas relaciones a las ecuaciones de

tensión del rotor se obtiene:

ierd = − p · τr1 + p · τr

· kr · iesd

ierq = −kr · iesq

λr =M · issd

1 + p · τrωsl·τr · λr = M · ieqs

(2.100)

De donde se puede concluir que en régimen permanente (t τr) se verica que:

ierd = 0

λr = M · iesd

Te = −P ·M · kr · i esd · i esq

(2.101)

Cuando se adopta este sistema de referencia, todas las variables del rotor serán

constantes en régimen permanente pues el marco de referencia permanece estático

respecto a los vectores de espacio de las variables del rotor. Este es el motivo por el cual

en régimen permanente se dieron las igualdades en (2.101).

52


• Marco de referencia alineado con el ujo del estátor.

Otra alternativa de localización del marco de referencia consiste en alinear el eje d con el

vector de espacio de ujo de estátor λs, que rota con una velocidad ωse. El modelo en el

subespacio dq será:

~v esdq = Rs ·~i esdq + p · λs + j · ωse · λs

0 = Rr ·~i erdq + p · ~λ erdq + j · (ωse − ωr) · ~λ e

rdq

(2.102)

λs = Ls ·~i esdq +M ·~i erdq~λ erdq = M ·~i esdq + Lr ·~i erdq

(2.103)

Te = P · λs · i esq (2.104)

Con lo que se obtienen las siguientes relaciones en el estátor:

v esd = Rs · i esd + p · λs

v esq = Rs · i esq + ωse · λs

(2.105)

Expresiones con las cuales se pueden obtener estimadores muy simples de λs y ωse para

determinar la posición del vector de ujo y el par electromagnético; incluso es habitual en

algunos casos en los que no se considere como modo de operación las bajas velocidades

aplicar ciertas simplicaciones como despreciar la caída de tensión en Rs.

• Marco de referencia alineado con el rotor.

Es menos tradicional que los anteriores pero se ha propuesto recientemente con el n

de unicar el control vectorial de las máquinas. En este caso el eje d se alinea al eje ar

del rotor de la máquina como se muestra en la Fig. 2.11. Esto equivale a que el sistema

de referencia dq se alinea con el sistema de referencia α′β′, denido en el modelado

desacoplado de Clark. Con todo lo expuesto, ωa = ωr y el modelo en el subespacio dq

queda dado por:

~v rsdq = Rs ·~i rsdq + p · ~λ r

sdq + j · ωr · ~λ rsdq

0 = Rr ·~i rrdq + p · ~λ rrdq

(2.106)

~λ rsdq = Ls ·~i rsdq +M ·~i rrdq~λ rrdq = M ·~i rsdq + Lr ·~i rrdq

(2.107)

53


Figura 2.11: Marco de referencia dq alineado con el rotor de la máquina.

Y agrupando ecuaciones se llega a la siguiente relación:

τr · p · ~λ rrdq + ~λ r

rdq = M ·~i rsdq (2.108)

Se consigue determinar de forma sencilla el ujo de rotor, determinando el ujo de estátor

en función de la corriente de estátor y del ujo calculado en el rotor por medio de la

ecuación que se detalla en la siguiente sección de este capítulo.

2.3.1.4. Modelo en el espacio de estado

El modelo en el espacio de estado de la máquina a partir de sus ecuaciones en los

subespacios dq, xy y z, tomando como variables de estado las corrientes de estátor, el

ujo de rotor y como salida el ujo de estátor es:

p ·~i asdq =−(

1

σ · τs− (1− σ)

σ · τr

)·~i asdq +

(1− σ)

σ ·M · τr· ~λ a

rdq − j · ωa ·~i asdq

− (1− σ)

σ ·M· ωr · ~λ a

rdq +1

σ · Ls· ~v a

sdq

p ·~isxy =− 1

τls·~isxy +

1

Lls· ~vsxy

p · isz =− 1

τls· isz +

1

Lls· vsz

p · ~λ ardq =

M

τr·~i asdq −

1

τr· ~λ a

rdq − j · (ωa − ωr) · ~λ ardq

~λ asdq =σ · Ls ·~i asdq + kr · ~λ a

rdq

(2.109)

54


Siendo:

σ = 1− M2

Ls · Lr; τs =

LsRs

; τr =LrRr

; τls =LlsRs

; kr =M

Lr(2.110)

El modelo en el espacio de estado en forma matricial está dado por:

p · [x] = [A] · [x] + [B] · [u]

[y] = [C] · [x](2.111)

Donde:

[x] =[i asd i asq isx isy isz λ a

rd λ arq

]T[u] =

[v asd v a

sq vsx vsy vsz

]T[y] =

[λ asd λ a

sq

]T (2.112)

y las matrices vienen denidas según las siguientes expresiones:

[A] =

A11 ωa 0 0 0 (1−σ)σ·M ·τr

(1−σ)σ·M · ωr

−ωa A22 0 0 0 − (1−σ)σ·M · ωr

(1−σ)σ·M ·τr

0 0 − 1τls

0 0 0 0

0 0 0 − 1τls

0 0 0

0 0 0 0 − 1τls

0 0

Mτr

0 0 0 0 − 1τr

(ωa − ωr)

0 Mτr

0 0 0 − (ωa − ωr) − 1τr

(2.113)

siendo A11 = A22 = −(

1σ·τs −

(1−σ)σ·τr

).

[B] =

1σ·Ls 0 0 0 0

0 1σ·Ls 0 0 0

0 0 1Lls

0 0

0 0 0 1Lls

0

0 0 0 0 1Lls

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(2.114)

[C] =

σ · Ls 0 0 0 0 kr 0

0 σ · Ls 0 0 0 0 kr

(2.115)

55


Nuevamente, al referir el sistema al marco de referencia adecuado podrían alcanzarse

simplicaciones del mismo. Otra alternativa para el modelo en el espacio de estado consiste

en tomar como variables de estado a las corrientes de rotor en lugar del ujo de rotor. En

otros casos también puede ser utilizada una variable de estado adicional, la velocidad de

la máquina, para lo cual simplemente se añade la ecuación (2.49) al modelo de espacio de

estado.

2.3.2. Máquinas con bobinados concentrados

En la conmutación de dispositivos que generan tensiones con formas de ondas

rectangulares y pulsos de corrientes en periodos de tiempo discretos, antes que sinusoi-

dales. Las máquinas multifásicas facilitan el desarrollo de diseños con distribución de

bobinados que favorecen la naturaleza de funcionamiento de los convertidores de potencia

que se basan. Estos diseños se basa en bobinados concentrados antes que bobinados

distribuidos, con lo que se podría generar un ujo rectangular en el entrehierro de la

máquina. De esta forma, una mayor región del entrehierro de la máquina podría alojar

un ujo cercano a la saturación en relación con el que se presenta en las máquinas

con bobinados distribuidos sinusoidalmente, obteniéndose un mayor aprovechamiento

por la mayor densidad de ujo. Varios estudios respecto a este tipo de diseño de

máquinas [36][37] presentan como resultado una disminución de las pérdidas y un

incremento en el par de la máquina. Resulta, por tanto, interesante analizar el modelo de

estos accionamientos para relacionarlas con otros mas habituales (bobinados distribuidos).

2.3.2.1. Modelo basado en variables de fase

Consideremos inicialmente un caso general basado en una máquina de mn bobinados,

asumiendo las siguientes consideraciones:

1. Fenómeno de saturación magnética, corrientes parásitas, fricción y pérdidas aerodi-

námicas despreciables.

56


2. El entrehierro de la máquina es de espesor uniforme.

3. los m bobinados del estátor son idénticos con respecto al eje de simetría.

4. El rotor tipo jaula de ardilla con las n barras uniformemente distribuidas e idénticas

respecto al eje de simetría.

El rotor de la máquina puede ser tratado como n mallas idénticas y uniformemente

espaciadas, las cuales serán analizadas al momento de obtener las ecuaciones de tensión

del rotor. A continuación, se desarrolla el modelo de la máquina en función de las

variables de fase [38][39].

Las ecuaciones de tensión en el estátor, con las variables de rotor referidas al estátor,

son:[vs] =[Rs] · [is] + p · [λs]

[λs] =[Lss] · [is] + [Lsr] · [ir](2.116)

Donde:

[is] =[is1 is2 · · · ism

]T[ir] =

[ir1 ir2 · · · irn

]T[vs] =

[vs1 vs2 · · · vsm

]T (2.117)

La matriz de resistencia de estátor, siendo [Im] la matriz identidad de orden m, queda

denida como:

[Rs] = Rs · [Im] (2.118)

Debido a la conservación de la energía y la distribución de la densidad de ujo en el

entrehierro, la matriz [Lss] es simétrica de dimension m×m y tiene la siguiente expresión:

[Lss] =

Ls11 Ls12 · · · Ls1m

Ls21 Ls22 · · · Ls2m...

.... . .

...

Lsm1 Lsm2 · · · Lsmm

(2.119)

57


Figura 2.12: Modelo propuesto del rotor tipo jaula de ardilla.

La matriz de inductancia mutua Lsr es una matriz de dimension m× n cuyos elementos

son función de la posición del rotor, estando denida por:

[Lsr] =

Lsr11 Lsr12 · · · Lsr1n

Lsr21 Lsr22 · · · Lsr2n...

.... . .

...

Lsrm1 Lsrm2 · · · Lsrmn

(2.120)

Las tensiones de rotor de la máquina son modeladas a partir del modelo adoptado del

rotor, el cual es mostrado en la Fig. 2.12, con lo que se obtiene las siguientes ecuaciones

referidas al estátor:[vr] =[Rs] · [is] + p · [λs]

[λr] =[Lrr] · [ir] + [Lrs] · [is](2.121)

Siendo:

[vr] =[vr1 vr2 · · · vrn

]T(2.122)

58


Para este caso, de forma análoga a la anterior, cada componente del vector de tensión [vr]

es igual a cero. La matriz de resistencia de rotor se dene según:

[Rr] =

Rra −Rr

b 0 · · · 0 −Rrb

−Rrb Rr

a −Rrb · · · 0 0

......

.... . .

......

0 0 · · · · · · Rra −Rr

b

−Rrb 0 · · · · · · −Rr

b Rra

(2.123)

Siendo Rrb la resistencia de la barra que constituye el rotor, y Rr

a = 2 · (Rrb + Rr

e) donde

Rre es la resistencia del anillo del rotor de la máquina.

La matrices de inductancias se denen según:

[Lrr] =

Lrm+2·(Lb+Le) Lmr12 −Lb Lmr13 ··· Lmr1n −Lb

Lmr21 −Lb Lrm+2·(Lb+Le) Lmr23 −Lb ··· Lmr2n

Lmr31 Lmr32 −Lb Lrm+2·(Lb+Le) ··· Lmr3n

......

......

...

Lmrn1 −Lb Lmrn2 Lmrn3 ··· Lrm+2·(Lb+Le)

(2.124)

Donde:Lb y Le: Inductancias de la barra y de la longitud de anillo entre barras del

rotor, respectivamente.

Lrm: Inductancia de magnetización de cada malla de rotor.

Lmrij : Inductancia mutua entre las corrientes de la barra i y j del rotor.

[Lrs] = [Lsr]T (2.125)

El par electromagnético de la máquina puede ser obtenido de la misma forma que en

la máquina de bobinados distribuidos, por medio de la siguiente ecuación:

Te = P ·(

[is]T d

dθ[Lsr(θ)][ir]

)(2.126)

59


Figura 2.13: Distribución del bobinado por fase para una máquina de bobinados concen-

trados.

• Análisis de armónicos.

El comportamiento de una máquina de inducción de cinco fases con bobinados con-

centrados puede ser modelado por las características de la forma de onda de la MMF

resultante en el entrehierro de la máquina. La función de distribución de bobinado a

lo largo del entrehierro de la máquina y el análisis de Fourier son de gran utilidad pa-

ra evaluar el efecto de la distribución espacial y en el tiempo de las señales no sinusoidales.

En la Fig. 2.13 se muestra la distribución de espiras a lo largo del entrehierro de la

máquina, tomando como referencia el eje as del bobinado de estátory siendo N el número

de espiras del bobinado.

La función espacial de distribución del número de espiras del bobinado de estátor

desarrollada en series de Fourier es:

N(θ) =∞∑k=1

N

2

(4

k · π

)sin k(θ − γ) (2.127)

siendo γ el ángulo espacial que posee de separación la fase en estudio respecto al eje de

referencia (eje as), que será para nuestro caso un múltiplo de ϑ =2π

5.

Si la máquina es alimentada por un inversor multifásico de cinco fases (m = 5) con

dos niveles con modulación PWM, la forma de onda de la corriente de la fase a sería

60


Figura 2.14: Forma de onda de la corriente de fase a.

similar a la mostrada en la Fig. 2.14, con pulsos de corriente de longitud144o. Las demás

fases consideramos que son alimentadas con la misma forma de onda, aunque con el

desfase correspondiente.

La forma de onda de corriente puede describirse, en series de Fourier, según la siguiente

expresión:

i(t) =∞∑l=1

(4

l · π

)Im · cos(

l · π10

) · sin l(ωt+ ξ) (2.128)

siendo ξ el desfase respecto al marco de referencia establecido.

El módulo de la MMF espacial es la resultante de todas las corrientes que uyen en los

devanados del estátor. Por denición, el campo giratorio resultante será igual a [38][16]:

MMF =Na · ia +Nb · ib +Nc · ic +Nd · id +Ne · ie

=∞∑l=1

∞∑k=1

(1

l · k

)(4

π

)2N · Im

2cos(

l · π10

)cos k(lωt− kθ)(cos(2π(l − k)

5)

+ cos(4π(l − k)

5) +

1

2) + cos(lωt+ kθ)(cos(

2π(l + k)

5) + cos(

4π(l + k)

5)

+1

2)

(2.129)

En esta expresión resultante se pueden distinguir dos términos principales que representan

dos campos que coexisten pero que giran en sentido contrario. En la Tabla 2.2 se muestra

la relación entre los armónicos de espacio y los armónicos de tiempo: la letra P simboliza

61


Tabla 2.2: Relación entre armónicos de espacio y armónicos de tiempo (×N · Im)

Armónicos de Espacio (k)

Armónicos 1 3 5 7 9 11 13 15de Tiempo (l)

1 P R -P1.056 .117 .096

3 P -R P.072 .031 .017

5

7 -R P -R.031 .013 .007

9 -R -P R.117 .013 .011

11 -P -R P.096 .011 .009

13 P -R P.017 .007 .004

15

la MMF resultante rotando en sentido positivo, la letra R indica rotación de la misma

en sentido inverso y el signo negativo indica un desfase de 180o. Como puede observarse

en la tabla, la componente fundamental de MMF en una máquina de cinco fases con

bobinados concentrados es levemente mayor que la producida en una máquina de tres

fases (1,056×N · Im a 1,053×N · Im). Un resultado importante que se puede notar es que

la MMF generada por la componente de tercer armónico (0,072×N · Im) gira de manera

síncrona con la producida por la fundamental. La mejora en el par por el incremento de

la componente fundamental en la MMF es muy pequeña. Sin embargo, la inyección de

la componente adscrita la tercer armónico modica la forma de onda de la MMF en el

entrehierro, permitiendo un sustancial incremento en el par electromagnético de salida de

la máquina de cinco fases.

El estudio realizado en este trabajo considera sólo a las máquinas de cinco fases, por

lo que las ecuaciones de tensión, corriente y ujo de estátor poseen cinco componentes,

62


o lo que es lo mismo m = 5. Las componentes de las ecuaciones del rotor dependerán

del número de barras que lo constituyen. El modelo en variables de fase resulta bastante

complicado, por lo que se efectuarán transformaciones con el n de simplicar el modelo

propuesto.

2.3.2.2. Modelo en el marco de referencia general d1q1, d3q3

Con el objeto de simplicar el modelo se utilizarán las mismas transformaciones de-

nidas en [40][41], con lo que la matriz de transformación de las variables en el estátor

es:

[As] =1√5

1 1 1 1 1

1 a−1 a−2 a−3 a−4

1 a−2 a−4 a−6 a−8

1 a−3 a−6 a−9 a−12

1 a−4 a−8 a−12 a−16

; [As]

−1 = [As]T (2.130)

siendo a = ej2π5 .

La matriz de transformación a ser aplicada en el rotor es:

[Br] =1√n

1 1 1 1 · · · 1

1 b−1 b−2 b−3 · · · b−(n−1)

1 b−2 b−4 b−6 · · · b−2(n−1)

1 b−3 b−6 b−9 · · · b−3(n−1)

......

......

. . ....

1 b−n+1 b−2(n−1) b−3(n−1) · · · b−(n−1)2

; [Br]

−1 = [Br]T (2.131)

siendo b = ej2πn .

Aplicando las respectivas transformaciones a las ecuaciones (2.116) y (2.121), se ob-

tiene el modelo vectorial referenciado en el sistema de coordenadas del estátor que en el

63


subespacio que contiene a la componente fundamental, es [39]:

~v s1 = R s ·~i s1 + p · L s

1 ·~i s1 + p ·M1 ·~i rs1

0 = R r1 ·~i rs1 + p · L r

1 ·~i rs1 + p ·M1 ·~i s1 + j · ωr · ~λ rs1

(2.132)

Y el subespacio que contiene al tercer armónico está dado por:

~v s3 = R s ·~i s3 + p · L s

3 ·~i s3 + p ·M3 ·~i rs3

0 = R r3 ·~i rs3 + p · L r

3 ·~i rs3 + p ·M3 ·~i s3 + j · 3 · ωr · ~λ rs3

(2.133)

Las ecuaciones vectoriales de ujo quedarían:

~λ rs1 = L r

1 ·~i rs1 +M1 ·~i s1~λ rs

3 = L r3 ·~i rs3 +M3 ·~i s3

(2.134)

Donde:~v1 y ~v3: Vectores de tensión de la componente fundamental y del tercer ar-

mónico en el sistema de referencia del estátor, respectivamente.

~i s1 y ~i s3 : Vectores de corriente de la componente fundamental y del tercer

armónico del estátor, respectivamente.

~i rs1 y ~i rs3 : Vectores de corriente referidas al estátor de la componente funda-

mental y del tercer armónico de rotor, respectivamente.

~λ rs1 y ~λ rs

3 : Vectores de ujo de la componente fundamental y del tercer armó-

nico del rotor referidas al estátor, respectivamente.

L s1 y L s

3 : Inductancias de estátor equivalentes en los subespacios de la fun-

damental y del tercer armónico, respectivamente.

M1 y M3: Inductancias Mutuas de acoplamiento estátorrotor equivalentes en

los subespacios de la fundamental y del tercer armónico, respecti-

vamente.

R r1 y R r

3 : Resistencias de rotor equivalentes en los subespacios de la funda-

mental y del tercer armónico, respectivamente.

R s: Resistencia de estátor equivalente en los subespacios de la funda-

mental y del tercera armónico.

64


Figura 2.15: Corrientes de estátor en la máquina de bobinados concentrados.

El par electromagnético puede obtenerse mediante la siguiente expresión:

Te = 2 · P ·(M1 ·~i rs1 ×~i s1 + 3 ·M3 ·~i rs3 ×~i s3

)(2.135)

El modelo descrito se basa en transformaciones complejas aplicadas a las variables

del estátor, que generan una elevada carga computacional en los controladores digitales.

Otra alternativa para modelar la máquina de cinco fases con bobinados concentrados

es considerar la excitación de la máquina con inyección de la fundamental y del tercer

armónico, con lo que las corrientes de estátor que circulan en la máquina serán:

ias = I1 · sin(ω · t) + I3 · sin 3(ω · t)

ibs = I1 · sin(ω · t− ϑ) + I3 · sin 3(ω · t− ϑ)

ics = I1 · sin(ω · t− 2ϑ) + I3 · sin 3(ω · t− 2ϑ)

ids = I1 · sin(ω · t− 3ϑ) + I3 · sin 3(ω · t− 3ϑ)

ies = I1 · sin(ω · t− 4ϑ) + I3 · sin 3(ω · t− 4ϑ)

(2.136)

En aplicaciones prácticas se suele adoptar el valor máximo de corriente del tercer armónico

I3 como 15 % del valor de corriente máxima de la fundamental I1. Con esto se consigue una

forma de corriente muy proxima a una trapezoidal, tal como se muestra en la Fig. 2.15.

65


La matriz de transformación invariante en potencia para las variables de estátor

referidas al marco de referencia general será:

[Tas] =

√2

5·

cos(θa) cos(θa−ϑ) cos(θa−2ϑ) cos(θa−3ϑ) cos(θa−4ϑ)

sin(θa) sin(θa−ϑ) sin(θa−2ϑ) sin(θa−3ϑ) sin(θa−4ϑ)

cos 3(θa) cos 3(θa−ϑ) cos 3(θa−2ϑ) cos 3(θa−3ϑ) cos 3(θa−4ϑ)

sin 3(θa) sin 3(θa−ϑ) sin 3(θa−2ϑ) sin 3(θa−3ϑ) sin 3(θa−4ϑ)

1√2

1√2

1√2

1√2

1√2

; [Tas]

−1 = [Tas]T

(2.137)

Mientras que la matriz de transformación para las variables del rotor es:

[Tar] =

√2

5·

cos(δ) cos(δ−ϑ) cos(δ−2ϑ) cos(δ−3ϑ) cos(δ−4ϑ)

sin(δ) sin(δ−ϑ) sin(δ−2ϑ) sin(δ−3ϑ) sin(δ−4ϑ)

cos 3(δ) cos 3(δ−ϑ) cos 3(δ−2ϑ) cos 3(δ−3ϑ) cos 3(δ−4ϑ)

sin 3(δ) sin 3(δ−ϑ) sin 3(δ−2ϑ) sin 3(δ−3ϑ) sin 3(δ−4ϑ)

1√2

1√2

1√2

1√2

1√2

; [Tar]

−1 = [Tar]T (2.138)

Siendo δ = θa − θ, y θ la coordenada polar del eje ar respecto al eje as, de la misma

forma referida en el modelo de la máquina de bobinados distribuidos en el marco de

referencia general. El modelo vectorial resultante en el subespacio d1q1 es:

~v asd1q1 = Rs ·~i asd1q1 + p · ~λ a

sd1q1 + j · ωa · ~λ asd1q1

0 = Rr1 ·~i ard1q1 + p · ~λ ard1q1 + j · (ωa − ωr) · ~λ a

rd1q1

(2.139)

~λ asd1q1 = Ls1 ·~i asd1q1 +M1 ·~i ard1q1~λ ard1q1 = M1 ·~i asd1q1 + Lr1 ·~i ard1q1

(2.140)

Y el modelo en el subespacio d3q3:

~v asd3q3 = Rs ·~i asd3q3 + p · ~λ a

sd3q3 + j · 3 · ωa · ~λ asd3q3

0 = Rr3 ·~i ard3q3 + p · ~λ ard3q3 + j · 3 · (ωa − ωr) · ~λ a

rd3q3

(2.141)

~λ asd3q3 = Ls3 ·~i asd3q3 +M3 ·~i ard3q3~λ ard3q3 = M3 ·~i asd3q3 + Lr3 ·~i ard3q3

(2.142)

66


Mientras que el par electromagnético de la máquina se obtiene por medio de la siguiente

ecuación:

Te = P ·(~λ esd1q1 ×~i esd1q1 + 3 · ~λ e

sd3q3 ×~i esd3q3)

(2.143)

El modelo de la máquina de bobinados concentrados consta de un segundo subespacio

más complejo que el obtenido en las máquinas de bobinados distribuidos, lo que esto

provoca una carga mayor de cálculos al implementar el modelo en un controlador digital.

Toda técnica de control implementada en una máquina de bobinados distribuidos podrá

ser implementada en la máquina de bobinados concentrados, siendo necesario un mayor

esfuerzo computacional pero generando un mayor rendimiento energético.

67

Capítulo 3

Bancada de Ensayos

En las siguientes páginas se detalla el diseño de la bancada de ensayos experimentales.

En él se incluyen la metodología del rebobinado de la máquina de inducción de cinco

fases, así como también las características más relevantes de los convertidores de potencia

utilizados para el control. Se presenta además la placa de control basada en un dsp de

Texas Instrument de la familia DelnoTM y el diseño de la aparamenta de potencia.

Finalmente, se muestra el diseño analógico utilizado para el acondicionamiento de las

señales provenientes de los distintos sensores, y la placa de acondicionamiento de señal

utilizada durante la realizacion de las pruebas experimetales.

3.1. Accionamiento Electromecánico de Cinco Fases

Figura 3.1: Accionamiento electromecánico de cinco fases

El accionamiento electromecánico de cinco fases, se diseñó a partir de una máquina

originalmente trifásica de 4 kW de potencia nominal con 30 ranuras y dos pares de polos.

68

Capítulo 3. Bancada de Ensayos

Figura 3.2: Representación del accionamiento electromecánico en variables de fase y ejes

(α− β)

Los bobinados del estátor de la máquina original fueron rebobinados para construir una

máquina con una potencia nominal equivalente, con 30 ranuras y tres pares de polos. La

máquina de seis fases posee cinco bobinados identicos separados espacialmente entre sí

en 72 grados eléctricos, desde la bornera del motor se tiene acceso a ambos conectores

de las bobinas, por lo tanto se puede usar la conguración estrella o poligono u otra

conguración conveniente para realizar las pruebas correspondientes. En la Figura 3.2 se

muestra la representación de los ejes (α− β).

Por otro lado, en la gráca de la Figura 3.3, puede observarse la forma en la que fue

rebobinado el estátor de la máquina de cinco fases. En las grácas de la gura cada traza

nombradas con letras desde A hasta E representan cada una de las fases de la máquina.

3.2. Convertidor de Potencia (VSI)

Dos módulos Semistack-igbt fabricados por la empresa Semikron Inc. (serie sks 21f

b6u), fueron utilizados para controlar la máquina. Estos módulos incluyen circuito de

precarga y son capaces de manejar corrientes de hasta 21 amperios. Cada módulo posee

incorporado dos sensores de corriente de efecto Hall de la serie lem 55-p para la medida

de las corrientes de fase de la máquina. En la Tabla 3.1, se muestran algunas de las

69


Figura 3.3: Diagrama del rebobinado del estátor de la máquina de cinco fases

características más relevantes de este dispositivo.

Cada módulo VSI posee una etapa recticadora no controlada con un banco de con-

densadores que conforman el DC-Link, conectado a una conguración inversora trifásica

formada por semiconductores del tipo igbt. En la tabla se detallan los niveles de ten-

sión admisibles, la corriente máxima y el ancho de banda que dene la frecuencia de

conmutación de los IGBTs.

Seistack -IGBT de la empresa Semikrom INC.

SKS 21F B6U

Frec. de Conm.[kHz] Vac-Vdc[V] Ic[A]

FSWmax 15 380 21

FSWmax 10 750

Tabla 3.1: Resumen de las principales características del inversor de tensión seleccionado

Por otro lado, en la Figura 3.4, puede observarse un esquema interno simplicado del

70


Figura 3.4: Esquema interno simplicado del SKS 21F B6U

módulo SKS 21F B6U suministrado por el fabricante. En este esquema pueden apreciarse

la etapa recticadora, el circuito de pre-carga y las líneas de salida del módulo, una

descripción más detallada puede encontrarse en el manual técnico proporcionado por el

fabricante [42].

3.3. Sensor de Velocidad

La velocidad de giro de la máquina es medida utilizando un sensor óptico incremental

fabricado por la empresa Herrekor (serie GHM5 S6). El sensor óptico posee dos canales y

es capaz de proporcionar hasta 10000 pulsos por revolución, si se realiza una combinación

adecuada de las señales de ambos canales. Una información detallada de las características

del sensor de velocidad puede consultarse en la hoja técnica proporcionada por el fabri-

cante [43]. En la Figura 3.5 se muestra una fotografía del sensor de velocidad empleado.

Este dispositivo, que se encuentra acoplado directamente al eje de la máquina utiliza un

fotodetector que genera un tren de pulsos cuya frecuencia es directamente proporcional a

la velocidad de giro de la máquina.

Utilizando los periféricos especícos del DSP de la familia TMS320LF28335 proveído

por la empresa Texas Instruments, es posible medir la velocidad de giro del accionamiento

electromecánico multifásico.

71


Figura 3.5: Codicador de posisión incremental acoplado al eje del motor a traves de

correa

Figura 3.6: Placa MSK28335

3.4. Placa de Control

Los algoritmos de control se han implementado utilizando una placa de desarrollo de

la serie MSK28335 fabricada por la empresa Technosoft. Esta placade control incluye un

dsp de la serie TMS320LF28335 de la empresa Texas Instruments. Una fotografía de la

placa puede apreciarse en la Figura 3.6.

La selección de esta placa de control se justica desde el punto de vista de los periféricos

disponibles para el control del accionamiento multifásico. En particular, el dsp de la

familia 28335 proporciona los periféricos necesarios para el control en tiempo real del

sistema. Entre los periféricos más relevantes para esta aplicación se pueden destacar por

un lado, las 12 salidas pwm que son utilizadas para el control de dos convertidores de

potencia independientes, incluyendo además un control de tiempo muerto programable, y

por otro, un periférico encargado de procesar la señal proveniente del sensor de velocidad

72


Figura 3.7: Diagrama de bloques de la plataforma experimental de adaptación de señales

(encoder de cuadratura), lo cual facilita en gran medida la medición de la velocidad

mecánica de la máquina. Finalmente, posee un conversor A/D de alta prestación con 16

canales de 12 bits y una tasa de conversión superior a los 12.5 Msps. Una descripción

más detallada del sistema de control (hardware + software) puede consultarse en la hoja

técnica proporcionada por el fabricante [44], [45].

3.5. Plataforma Experimental

A n de mantener la integridad del sistema, la señal del sensor de velocidad y las

señales de control de los dispositivos de potencia son opto-acopladas en la placa de acon-

dicionamiento de señal. Como se ha puesto de maniesto en el apartado anterior, la placa

de control está basada en el dsp TMS320LF28335 Texas Instruments y en el sistema de

desarrollo MSK28335 de la empresa Technosoft.

Los algoritmos de control se han escrito en lenguaje c utilizando un pc compatible,

con un procesador Pentium de 2 ghz, ejecutando un sistema operativo Windows xp.

Los algoritmos de control que se han diseñado son descargados desde el computador al

dsp, empleando el puerto serie rs232. Todos los códigos de control implementados fueron

optimizados para alcanzar una frecuencia de muestreo cercana a los 5 kHz, dependiendo

de la función de costo implementada. Un diagrama de bloques de la bancada de ensayos

73


Figura 3.8: Componentes de la aparamenta de potencia

experimentales puede observarse en la Figura 3.7. En las fotografías de la Figura 3.8

pueden apreciarse los componentes de la aparamenta de potencia utilizada en el marco

de este trabajo. Se muestran la placa de acondicionamiento de señal, la placa de control,

los convertidores de potencia, los dispositivos de protección y la máquina de inducción de

doble devanado trifásico independiente y asimétrico.

3.6. Circuitos de Acondicionamiento de Señal

En la Figura 3.9, se muestra el esquemático del circuito correspondiente a la etapa

de conversión de corriente a tensión (I-V), utilizado para acondicionar las señales de los

sensores de corriente de efecto Hall de los convertidores de potencia, la salida de este

74


amplicador es conectada directamente a la entrada de los conversores A/D de la placa

de control. Tal como puede apreciarse, el esquema diseñado posee un convertidor de

corriente a tensión resistivo, conectado a una conguración sumador inversor, calibrado

de tal forma a que si la corriente circulante por el sensor de efecto Hall es cero, la salida

del amplicador de tensión sea de 1.5 voltios. De esta manera, la tensión a la salida del

primer amplicador operacional uctúa entre 1.5 V, conforme la corriente sea positiva o

negativa, el rango de medida de corriente para este diseño es de ±25 A, considerando que

la sensibilidad del sensor según datos del fabricante es de 1 mA por cada 1 A que circula

por el sensor. Puede apreciarse además en la Figura B.10 que el primer amplicador posee

un ltro paso bajo conformado por la red RC conectada en el lazo de realimentación

Figura 3.9: Esquemático del circuito adaptador se señal de tension del DC-Link

El primer amplicador operacional, es un amplicador de tensión de la serie OPA27

fabricado por la empresa Texas Instruments. La tensión de alimentación de este dispositivo

es simétrica de ±15 V. La segunda etapa se basa en un amplicador operacional de

tensión de la serie OPA350 en conguración inversora y con ganancia unitaria. La tensión

de alimentación de este dispositivo es positiva de 3.3V, lo que proporciona un rango de

excursión de señal compatible con las entradas del conversor A/D de la placa de control.

La placa de acondicionamiento de señal posee cuatro esquemas identicos, uno para cada

sensor de corriente de efecto Hall.

75


Figura 3.10: Esquemático del circuito adaptador se señal de tension del DC-Link

Para el caso del sensor de velocidad se dispone de dos comparadores con histéresis,

cuyo esquematico se muestra en la gura 3.11. Los pulsos digitales que provienen del

sensor de velocidad son previamente acondicionesdos mediante un opto-acoplador de la

serie 6N137. Los pulsos de salida del opto-acoplador son introducidos al comparador con

histéresis, basado en un amplicador operacional de la serie OPA350 cuya nalidad es

proporcionar robustez frente a posibles fuentes de ruido en la linea de medida. La salida

del circuito comparador es introducida directamente al periférico capturador (QEP) de la

placa de control. Tal como puede observarse en el esquematico de la gura 3.10, se reduce

la tensión del DC-Link mediante un divisor de tensión resistivo y se introduce la señal

atenuada a un amplicador operacional de tensión de la serie OPA27, en conguración

inversora y con ganancia unitaria. La salida de este amplicador es conectada en cascada a

un amplicador operacional de tensión de la serie OPA350, en conguración inversora, con

ganancia unitaria y un ltro pasa bajo. La salida del circuito es compatible con los niveles

de tensión admisibles del convertidor A/D interno de la placa de control. La resistencia

variable que se observa a la entrada del esquema, permite congurar diferentes rangos de

protección.

76


Figura 3.11: Esquematico del circuito adaptador de señal del codicador de cuadratura

3.7. Circuitos Impresos

En las guras 3.13 y 3.12 se puede ver el ruteado de las placa de acondicionamiento de

señales utilizada durante la elaboración de este trabajo. En estas guras se puede ver que

se colocaron planos de tierra para aislar las interferencias electromagneticas provenientes

de los circuitos inductivos.

77


Figura 3.12: Circuito de la placa de adaptación de señales lado inferior

78


Figura 3.13: Circuito de la placa de adaptación de señales lado superior

79

Capítulo 4

Métodos de Estimación de Parámetros

4.1. Metodo Standard para la Obtención del Pa¯ame-

tros del Circuito Equivalente

Actualmente existe una innidad de métodos para la estimación de parametros de

máquinas eléctricas rotativas [46]. Como punto de referencia para este trabajo se toma

parte de la norma IEC60034-2.

4.1.1. La Norma IEC 60034-2

En esta parte de la norma se establecen métodos para determinar eciencias y perdidas

especicas de máquinas electricas rotativas. El procedimiento para la determinación del

circuito equivalente arroja resultado similares a la norma americana IEEE Std 112 (año

2004): IEEE Standard test procedure for polyphase induction motors and generators[47]

4.1.1.1. Consideraciones Respecto a las Medidas a Efectuar

Con respecto a las mediciones:

Tensión aplicada: se toma la media aritmética de las tensiones de línea medidas.

Corriente absorbida: se toma la media aritmética de las corrientes de línea medidas.

Resistencia: se toma la media aritmética de las resistencias medidas.

Frecuencia aplicada: se admite una tolerancia del 0,3% respecto la frecuencia nomi-

nal.

80

Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros

Respecto a los aparatos de medida:

Precisión de los aparatos de medida: 0,2%.

Precisión de los transformadores de medida: 0,3%.

Precisión en las medidas de par: 0,2%.

Precisión en las medidas de frecuencia: 0,1%

Precisión en las medidas de resistencia: 0,2%

Precisión en las medidas de velocidad: 0,1% o 1 rpm.

Precisión en las medidas de temperatura: 1C.

4.1.1.2. Ensayo para Determinar Resistencia de Estator

Se mide la resistencia entre los bornes de linea de conexión del motor. Segun la con-

guración de conexión la resistencia de fase sera segun se especica en la tabla 4.1

Conexión estrella Rfase = 0,5Rmedida

Conexión triangulo Rfase = 1,5Rmedida

Bobina individual Rfase = Rmedida

Tabla 4.1: Relación entre resistencia de fase y resistencia de medida

La resistencia medida debe referirse a la temperatura de referencia de 25C. Para

determinar la temperatura de funcionamiento a la que debe referirse la resistencia, debe

usarse alguno de los métodos siguientes:

Temperatura determinada en el ensayo de resistencia a plena carga.

Temperatura medida directamente mediante sonda o termopar.

Asumiendo la temperatura según la clase de aislamiento:

• Clase B 95C

• Clase F 115C

• Clase H 135C

81


4.1.1.3. Ensayo sin Carga o en Vacío

Mediante el ensayo de vacío de un motor de inducción es posible determinar las pér-

didas rotacionales del mismo, ofreciéndonos además información sobre su corriente de

magnetización.

En estas condiciones las únicas cargas del motor son las fricciones y las pérdidas

por efecto del aire, por tanto, toda la potencia convertida es absorbida por las pérdidas

mecánicas siendo su deslizamiento muy pequeño con lo que su resistencia correspondiente a

su potencia convertida R2(1−s)/s, es mucho más grande que la resistencia correspondiente

a las pérdidas del cobre del rotor R2 y a su reactancia X2. El circuito equivalente se reduce

en este caso aproximadamente al mostrado en la gura 4.1, donde la resistencia de salida

está en paralelo con la reactancia de magnetización XLM y las pérdidas en el núcleo RFe.

Figura 4.1: Circuito equivalente de la máquina eléctrica asíncrona para prueba en vacío

Se obtienen a partir del ensayo en vacío como mínimo a 7 tensiones diferentes, incluida

la tensión nominal:

Como mínimo 4 de estas tensiones deben estar entre el 125% y el 60% de la tensión

nominal.

Como mínimo 3 de estas tensiones deben estar entre el 50% y el 20% de la tensión

nominal.

Debe realizarse el ensayo en orden descendiente de tensiones, desestimando las me-

didas en el caso de que la corriente aumente.

82


Medir la resistencia al nalizar el ensayo.

Se calculan las pérdidas por rozamientos-ventilación representando en una gráca las

pérdidas constantes en función de la tensión aplicada en el ensayo de vacío al cuadrado.

Las pérdidas buscadas corresponden al punto de corte con el eje de ordenadas de la recta

de regresión que se obtiene 4.2.

Figura 4.2: Representasión gráca de las perdidas en función de la tensión aplicada

4.1.1.4. Ensayo de Rotor Bloqueado

Aplicando diversas tensiones al motor se midieron en cada caso los valores de intensi-

dad, potencia y voltaje. Aunque se tomaron diversos valores, los más importantes son los

que hacen uir una intensidad lo más cercana posible a su valor nominal.

Como el rotor no gira, el deslizamiento es igual a la unidad (s=1) con lo que la

resistencia R2/s del rotor es precisamente igual a R2 un valor bastante pequeño. Como

R2 y X2 son tan pequeños, casi toda la corriente de entrada circulará a través de ellos, en

lugar de hacerlo a través de la reactancia de magnetización mucho más grande XM , por

lo que el circuito resultante resulta ser una combinación serie de X1, X2, y R2, como se

aprecia en la gura 4.3

Manteniendo el rotor bloqueado, aplicar la corriente nominal a 3 frecuencias diferentes:

Una frecuencia alrededor del 25% de la frecuencia nominal.

83


Dos frecuencias entre el 25% y el 50% de la frecuencia nominal.

Durante el ensayo, la temperatura no debe incrementar más de 5K.

Si no es posible disponer de variador de frecuencia, realizar el ensayo a la frecuencia

nominal.

Figura 4.3: Circuito equivalente de la máquina eléctrica asíncrona para prueba de rotor

bloqueado

4.1.2. Ensayos en Vacío y Rotor Bloqueado con VSI

En un principio, las pruebas en vacío y con rotor bloqueado utilizando un inversor de

voltaje se realizan con el mismo procedimiento indicado en la norma IEC60034-2, con la

salvedad de que al utilizar un inversor de voltaje, ademas de la frecuencia fundamental se

estan introduciendo armónicos que dependen de la modulación PWM utilizada.

Para el caso de una máquina electrica multifasica de 5 fases, se hace imprescindible

el uso de inversor de voltaje, debido al hecho que de otra forma no se puede disponer de

otra fuente de alimentación con voltajes desfasados entre si 72. En este caso se tendrá

que tener en cuenta las perdidas producidas por los armonicos inherentes del PWM[50]

4.1.3. Resultados Obtenidos

Aplicando el método descripto anteriormente se obtubieron los resultados que se listan

en la tabla 4.2

84


RS 12, 85[Ω]

RR 11, 14[Ω]

LLs 111, 56[mH]

LLr 111,56[mH]

LM 687, 83[mH]

Tabla 4.2: Parámetros obtenidos con las pruebas en vacío y rotor bloqueado

4.2. El Método Stand-Still

4.2.1. Mínimos Cuadrados Recursivos

El algoritmo de estimación de parámetro basado en los Mínimos Cuadrados Re-

cursivos (RLS) es uno de los más populares. Este algoritmo provee de una tasa de

convergencia mayor en comparación con el basado en Mínimos Cuadrados Medios, y en

especial con señales con alto grado de correlación [51]. Aunque asumiendo un mayor

costo computacional para el caso de estimaciones online.

Para un algoritmo de estimación, la respuesta deseada del sistema esta dada por:

d(n) = y(n) + v(n) = hTx(n) + v(n) (4.1)

Donde y(n) = hTx(n) es la salida del sistema con los parámetros desconocidos y denidos

por el vector h de longitud L, x(n) = [x(n), x(n − 1), · · · , x(n − L + 1)]T es el vector

de entrada y v(n) es la señal de ruido presente en la medición, el cual asumimos es

independiente a la señal del vector de entrada. El índice T denota el operador de

transposición del vector.

El objetivo del algoritmo es la estimación de los parámetros del vector del sistema h

por medio de un algoritmo recursivo que actualiza en cada rutina el vector estimado h(n)

de la misma longitud que la requerida por el sistema. La señal de error en la estimación

85


esta dada por:

e(n) = d(n)− y(n) = d(n)− hT (n− 1)x(n) (4.2)

Donde y(n) = hT (n− 1)x(n) es la salida del sistema basado en los parámetros estimados

en el tiempo n, el cual es obtenido utilizando los parámetros estimados en el tiempo n−1

por medio del vector h(n − 1). La presencia de ruido v(n) en el sistema hace necesario

tomar consideraciones al respecto, pues ignorarlo provocaría también un ruido en la

estimación de h(n). El correcto objetivo consiste en extraer la señal de ruido v(n) de la

mezcla y(n) + v(n) obtenida por medio de las observaciones.

Las siguientes relaciones denen al algoritmo RLS:

e(n) = d(n)− hT (n− 1)x(n)

k(n) =P (n− 1)x(n)

λ+ xT (n)P (n− 1)x(n)

h(n) = h(n− 1) + k(n)e(n)

P (n) =1

λ

[P (n− 1)− k(n)xT (n)P (n− 1)

](4.3)

Donde: λ es el factor constante (0 < λ ≤ 1), k(n) es el vector de ganancia de Kalman y

P (n) es la inversa de la matriz de correlación.

Para la aplicación del algoritmo se inicializa los parámetros estimados h(0) a un valor

unitario o nulo y la matriz de correlación P (0) a una matriz diagonal con sus entradas

que indiquen un gran error para los valores iniciales propuestos.

4.2.2. Modelo de la máquina en Stand-Still

La técnica a ser utiliza se basa la propiedad de la máquina operando en Stand-Still

con lo que se consigue que la velocidad del rotor ωm sea cero y, por tanto, la velocidad de

las variables del rotor ωr también serán nulas consiguiendo una importante simplicación

86


Figura 4.4: Esquema del conexionado de la máquina multifásica de cinco fases propuesto

para conseguir la operación de la misma en Stand-Still.

en el modelo de la máquina.

Para generar una velocidad nula se debe generar un par electromagnético nulo, esto

se puede conseguir anulando la excitación de una de las componentes en el plano de

transformación de energía.

Basados en el modelo de la máquina en el planos αβxyz, la condición de

Stand-Still en este trabajo se consigue neutralizando la componente de excitación β. Con

esto se consigue que el par electromagnético sea nulo vericándose las condiciones de

operación en Stand-Still de la máquina. Para conseguir todo esto se propone el conexio-

nado monofásico mostrado en la Fig. 4.4. En esta gura se puede ver a cada bobinado

con sus respectivos extremos donde el signo + representa la entrada del devanado en

el conexionado en estrella, mientras que el signo − indica el punto coincidente con el

punto común en el conexionado estrella del devanado. Se indica además las corrientes

y tensiones manteniendo la convención denida para el conexionado en estrella de cada

devanado de fase.

Las relaciones de tensiones y corrientes resultantes del conexionado propuesto, su-

87


poniendo una simetría e igualdad de inductancias y resistencias por devanados de fase,

son:va = Vdc

vc = vd = −va = −Vdc

vb = ve =1

2· va =

1

2· Vdc

(4.4)

ia =2

7· is

ic = id = −ia = −2

7· is

ib = ie =1

2· ia =

1

7· is

(4.5)

Aplicando a la transformación de coordenadas las relaciones obtenidas en la ecuaciones

(4.4)(4.5) las componentes en el plano αβ quedan denidas por la siguiente expresión:

~vs =2

5·[va + vb · ~a+ vc · ~a2 + vd · ~a3 + ve · ~a4

]~vs = vsα =

4

5· Vdc ·

[cos2(

ϑ

2)− cos(2ϑ)

] (4.6)

~is =2

5·[ia + ib · ~a+ ic · ~a2 + id · ~a3 + ie · ~a4

]~is = isα =

8

35· is ·

[cos2(

ϑ

2)− cos(2ϑ)

] (4.7)

Siendo ϑ =2π

5y ~a = ej·ϑ.

De esta forma se consigue anular la componente β de la tensión y corriente en la

máquina. En la Fig. 4.5, se muestra el esquema vectorial obtenido para las tensiones

aplicado al conexionado propuesto, se nota que la componente resultante solo posee

componente en el eje α por la simetría que existe respecto a ese eje. El mismo esquema

representaría a las corrientes, obteniéndose una componente no nula solamente en el eje α.

En la Fig. 4.6 se muestra el circuito equivalente de la máquina operando en Stand-Still

en el plano αβ. Se puede observar la ausencia de la componente de ujo debido a que la

88


(a) (b)

Figura 4.5: Esquema vectorial de tensión en el plano αβ. (a) Vectores de tensión en

el plano αβ resultantes del conexionado propuesto. (b) Vector resultante de la suma

vectorial alineado con el eje α.

Figura 4.6: Circuito equivalente de la máquina de cinco fases operando en Stand-Still.

velocidad de la máquina es nula. De esta manera se consigue una gran simplicación en

el modelo orientado a la estimación de los parámetros de la máquina.

Las ecuaciones en este plano quedarán denidas por el siguiente sistema expresado en

forma matricial:vsα

0

0

0

=

Rs + Ls · p 0 M · p 0

0 Rs + Ls · p 0 M · p

M · p 0 Rr + Lr · p 0

0 M · p 0 Rr + Lr · p

·isα

isβ

irα

irβ

(4.8)

89


Con lo que el par de ecuaciones útiles para el análisis serán:

vsα = (Rs + Ls · p) · isα +M · p · irα

0 = M · p · isα + (Rr + Lr · p) · irα(4.9)

De la ecuación resultante en el rotor del sistema obtenido en la ecuación (4.9) se obtiene

la siguiente ecuación:

irα = − M · p · isαRr + Lr · p

= −MLr· p · isα(p+ 1

τr

) (4.10)

Combinando la ecuación del estátor del sistema (4.9), con la obtenida en (4.10) se obtiene

la siguiente expresión:

vsα = (Rs + Ls · p) · isα − Tc ·p2(

p+ 1τr

) · isαvsα = (Rs + σ · Ls · p) · isα +

Tc · p(p · τr + 1)

· isα

vsα = Rs · (1 + p · τσ) · isα +Tc · p

(p · τr + 1)· isα

(4.11)

Siendo Tc =M2

Lry τσ =

σ · LsRs

. En esta última expresión de denota que la respuesta

del sistema puede ser dividida en dos términos, correspondientes al estátor y rotor. La

respuesta del estátor esta dada por la constante de tiempo τσ que es mucho más rápida

que la respuesta del rotor. Esta propiedad es utilizada con el n de simplicar aún más

la determinación de los parámetros del sistema en base a la respuesta a perturbaciones

de elevada frecuencia.

El mismo análisis es aplicado en el plano xy, utilizando las relaciones obtenidas en las

ecuaciones (4.4)(4.5), quedando denidas sus componentes por las siguientes expresiones:

~vs =2

5·[va + vb · ~a2 + vc · ~a4 + vd · ~a+ ve · ~a3

]~vs = vsx =

4

5· Vdc · cos(ϑ) · [cos(ϑ)− 1]

(4.12)

~is =2

5·[ia + ib · ~a2 + ic · ~a4 + id · ~a+ ie · ~a3

]~is = isx =

8

35· is · cos(ϑ) · [cos(ϑ)− 1]

(4.13)

90


(a) (b)

Figura 4.7: Esquema vectorial de tensión en el plano xy. (a) Vectores de tensión en

el plano xy resultantes del conexionado propuesto. (b) Vector resultante de la suma

vectorial alineado con el eje x.

Análogamente, solo se obtiene una pequeña componente en el eje x. Un esquema

vectorial de tensión en este plano es presentado en la Fig. 4.7, en el mismo se nota la

simetría de los vectores respecto al eje x con lo que se consigue que la componente

resultante quede denida en ese mismo eje, al mismo tiempo la disposición de los vectores

hace que la componente en este eje sea reducida. El plano xy queda reducido al mismo

sistema de primer orden obtenido en le modelado de la máquina. El mismo resultado se

obtendrá del análisis de corrientes en este plano.

En el plano z tanto la proyección de tensión como la de corriente serán nulas pues la

sumatoria de las componentes en variables de fase es cero.

4.2.3. Estimación de Rs

Para la estimación de la resistencia de estátor Rs, se utiliza el tradicional ensayo de

DC siguiendo el esquema mostrado en la Fig. 4.8.

91


Figura 4.8: Esquema del ensayo DC para las máquinas multifásicas de cinco fases.

Del esquema utilizado para el ensayo se deduce que la resistencia del estátor estará

dada por:

Rs =Vdc

2 · idc(4.14)

Para la determinación de Rs se realizó el ensayo utilizando todas las combinaciones

entre fases para la máquina de cinco fases, y en este casos utilizando los mínimos cuadrados

medios para resolver el sistema resultante de las mediciones de ocho ecuaciones con cinco

incógnitas se obtiene:

Rs = 12,85 (Ω) (4.15)

Mediante la medición directa con un polímetro el resultado obtenido fue de 12,8 (Ω).

4.2.4. Estimación de σ, Ls y τr

Para intervalos de tiempo mucho menores a los de la constante de tiempo del rotor

la respuesta de corriente obtenida se puede considerar igual a la respuesta del estátor.

Para una excitación dada por un tren de pulsos, la pendiente de la corriente se consi-

dera esta dada por inductancia de cortocircuito σ · Ls y la ecuación que representa este

comportamiento esta dada por la siguiente expresión:

vsα = (Req + σ · Ls · p) · isα (4.16)

92


Figura 4.9: Excitación propuesta para determinar la inductancia de corto circuito.

Donde Req es una resistencia equivalente para el que depende de otros parámetros aparte

de la resistencia del estátor.

Por medio del algoritmo RLS, puede estimarse el valor de σ · Ls. La Fig. 4.9

muestra el patrón de pulsos propuestos para la estimación de la inductancia total

de fuga del estátor. Este patrón es aplicado a una frecuencia fundamental constante

de manera a poder procesar las mediciones obtenidas en un rango de frecuencia adecuado.

4.2.5. Resultados obtenidos

Aplicando el método descripto anteriormente se obtubieron los resultados que se listan

en la tabla 4.3

93


RS 12, 85[Ω]

RR 11, 35[Ω]

LLs 80,9[mH]

LLr 75,8[mH]

LM 176[mH]

Tabla 4.3: Parámetros obtenidos con el método Stand-Still

94

Conclusiones y Futuros Trabajos

Conclusiones

En este trabajo ha analizado una máquina de inducción de cinco fases, como acciona-

miento multifásico de gran interes para aplicaciones de alto rendimiento y abilidad.

Se ha estudiado el comportamiento del sistema modelándolo en diferentes sistemas de

referencia (jo y móviles). Se ha analizado, además, diferentes topologías, con bobinados

distribuidos o concentrados, comparando las ventajas e inconvenientes de cada uno de

ellos.

Las técnicas de estimación de parámetros aplicadas a los accionamientos de tipo trifási-

cos, se han extendido al uso en multifásicos de cinco fases, analizandose el comportamiento

del sistema.

Finalmente se presentan los resultaso experimentales optenidos durante los ensayos a

rotor bloqueado y en vacío, y los optenidos con un método Stand-Still

95

Conclusiones y Futuros Trabajos

Futuros Trabajos

Los futuros trabajos a realizar a partir de este estudio fueron clasicados como

principales y secundarios.

Principales

Los futuros trabajos principales a ser desarrollados son:

1. Obtención de resultados experimentales con otros métodos de estimación para vali-

dar los resultados optenidos durante este trabajo.

2. Aplicación de los parámetros optenidos en estrategias de control de alto rendimiento.

Secundarios

Como futuros trabajos secundarios, se pueden citar:

1. Estudio e implementación de estrategias de estimación de parámetros online

2. Análisis de los efectos de la saturación al modelado de la máquina.

96

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