estatica1

Problemas*

2.1 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P = 15 Ib y Q = 25 lb, determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante empleando a) la ley del parale-logramo, b) la regla del triángulo.

2.2 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P = 45 lb y Q = 15 lb, determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante empleando a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.

2.3 Dos fuerzas son aplicadas a una armella sujeta a una viga. Deter-mine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.

skNFigura P2.3

4 kN

kNFigura P2.4

2.4 Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas suje-tas a las dos fuerzas que se muestran en la figura. Determine en forma grá-fica la magnitud v la dirección de su resultante usando a) la ley del parale-logramo, b) la regla del triángulo.

2.5 La fuerza de 200 N se descompone en componentes a lo largo de las líneas a-a' y b-b'. a) Determine por trigonometría el ángulo a sabiendo que la componente a lo largo de a-a' es de 150 N. b) ¿Cuál es el valor co-rrespondiente de la componente a lo largo de b-b'?

2.6 La fuerza de 200 N se descompone en componentes a lo largo de las líneas a-a' v b-b’. a) Determine por trigonometría el ángulo a sabiendo que la componente a lo largo de b-b'es de 120 N. b) ¿Cuál es el valor co-rrespondiente de la componente a lo largo de a-a'?

2.7 Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Sabiendo que la magnitud de P es de 600 N, determine por trigonometría a) el ángulo a requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es vertical, y b) la magnitud correspondiente de R.

'Las respuestas para todos los problemas cuyo número está en un tipo de letra recta (como 2.1) se proporcionan al final del libro. ( ,as respuestas para los problemas cuyo número está en letra cursiva (como 2 .3) no se proporcionan.

Figura P2.7

Figura P2.1 y P2.2

25

26 Estática de partículas

AFigura P2.10

2.8 Dos varillas de control están unidas en A a la palanca Atí. Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla de la izquierda es Fx = 30 lb, determine a) la fuerza F2 requerida en la varilla derecha si la resultante R de las fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

2.9 Dos varillas de control están unidas en A a la palanca AB. Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuer/a en la varilla de la derecha es F = lb, determine a) la fuerza F, requerida en la varilla izquierda si la resultante R de las fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

2.10 Una banda elástica para hacer ejercicio está sujeta y se estira como indica la figura 2.10. Si la tensión en las porciones BC y DE es igual a 80 y 60 N, respectivamente, determine, por trigonometría, «) el ángulo a re-querido si la resultante R de las dos fuerzas ejercidas en la mano en el punto A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

2.11 Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo es-table mientras es bajado a su posición definitiva. Sabiendo que a = 25°, de-termine, por trigonometría, a) la magnitud requerida de la fuerza P si la re-sultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

2.12 Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo es-table mientras es bajado a su posición definitiva. Sabiendo que la magnitud de P es de 70 Ib, determine, por trigonometría, a) el ángulo a requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

Figura P2.11 y P2.12

2.13 Como indica la figura P2.11, dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es bajado a su posición definitiva. Determine, por trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mí-nima P cuya resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

2.14 Una banda elástica para hacer ejercicio está sujeta y se estira como indica la figura P2.10. Si la tensión en la porción DE de la banda es igual a 70 N, determine, por trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima presente en la porción BC para la que la resultante R de las dos fuerzas ejercidas sobre la mano en el punto A se dirige a lo largo de una línea que une los puntos A y W, b) la magnitud correspondiente de R.

2.15 Resuelva el problema 2.1 empleando trigonometría.



2.18 Para el gancho del problema 2.7 determine, por trigonometría, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho, si se sabe que P - 500 N y a = 60°.

2.19 D( >s elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que se muestra en la figura. Si ambos elementos están en compresión, y la fuerza presente en el elemento A es de 30 kN' y la del elemento B es de 20 kN determine, por trigonometría, la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo mediante los elementos A y B.

2.20 Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que so muestra en la figura. Si ambos elementos están en compresión y la fuerza presente en el elemento A es de 20 kN y la del elemento B es de 30 kN determine, por trigonometría, la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo mediante los elementos A y B.

2.7. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA. VECTORES UNITARIOS1

En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus dos componentes perpendiculares entre sí. En la figura 2.18, la fuerza F se ha descompuesto en una componente F v a lo largo del eje x y una componente F (/ a lo largo del eje y. El paralelogramo trazado para obtener las dos componentes es un rectángulo, y las fuerzas F r y F (/ se llaman componentes rectangulares.

'J

Los ejes x y y suelen elegirse a lo largo de las direcciones hori-zontal y vertical, respectivamente, como se muestra en la figura 2.18; sin embargo, pueden seleccionarse en cualesquiera otras dos direc-ciones perpendiculares, tal como indica la figura 2.19. Para determinar las componentes rectangulares de una fuerza debe pensarse que las líneas de construcción mostradas en las figuras 2.18 y 2.19 son parale-las a los ejes x y y en lugar de perpendiculares a ellos. Esta práctica ayudará a evitar errores en la determinación de componentes oblicuas, como se vio en la sección . .

1 Las propiedades establecidas en las secciones 2.7 y 2.8 se pueden extender fácilmente a las componentes rectangulares de cualquier otra cantidad vectorial.

Estática de partículas

d-í*.Magnitud = 1

Figura 2.20

Figura 2.22

En este punto se introducirán dos vectores de magnitud unitaria dirigidos a lo largo de los ejes positivos x y y. A estos vectores se les llama vectores unitarios y se representan por i v j, respectivamente (figura 2.20). Al recordar la definición del producto de un escalar y un vector dada en la sección 2.4, se observa que las componentes rectan-gulares F v y F (/ de una fuerza F pueden obtenerse con la multiplicación de sus respectivos vectores unitarios i y j por escalares apropiados (figura 2.21). Se escribe

F = Fx i + F¡j

(2.6)

(2.7)

Mientras que los escalares Fx y Ff/ pueden ser positivos o negativos, de-pendiendo del sentido de F , v F ;/, sus valores absolutos son respecti-vamente iguales a las magnitudes de las componentes de las fuerzas F v y F ?/. Los escalares Fx y FtJ se llaman componentes escalares de la fuerza F, mientras que las componentes reales de la fuerza F v y F,y son las componentes vectoriales de F. Sin embargo, cuando no existe alguna posibilidad de confusión, a los vectores y a las componentes escalares de F puede llamárseles simplemente componentes de F. Se observa que la componente escalar Fx es positiva cuando la componente vec-torial F v tiene el mismo sentido que el vector unitario i (es decir, el mismo sentido que el eje x positivo) y es negativa cuando F v tiene el sentido opuesto. Una conclusión semejante puede obtenerse obser-vando el signo de la componente escalar F;/.

Si se representa con F la magnitud de la fuerza F y con 6 el án-gulo entre F y el eje x, medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj desde el eje x positivo (figura . . ), se pueden expresar las componentes escalares de F como sigue:

Fx = F eos 0 Fy = F sen Q (2.8)

Se observa que las relaciones obtenidas se satisfacen para cualquier valor del ángluo 6 entre 0 y 360° y que éstas definen tanto los signos como los valores absolutos de las componentes escalares Fx y F(/.

Ejemplo 1. Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura 2.22a. Determínese las componentes horizontal y verti-cal de la fuerza.

Para obtener el signo correcto de las componentes escalares Fx y Fy, el valor 180° - 35° = 145° debe sustituirse por 9 en las ecuaciones (2.8). Sin embargo, es más práctico determinar por inspección los signos de Fx y F (figura 2.22b) y usar las funciones trigonométricas del ángulo a = 35°. Por consiguiente se puede escribir

Fx = - F eos a = -(800 N) eos 35° = -655 N FtJ = + F sen a = +(800 N) sen 35° = +459 N

Las componentes vectoriales de F son entonces

F, = -(655 N)i Fy = +(459 N)j

y F se puede escribir en la forma

F = -(655 N)i + (459 N)j

Ejemplo 2. Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra en la figura 2.23a. ¿Cuáles son las com-ponentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda en el pun-to A?

A partir de la figura 2.23b se ve que

Fx — +(300 N) eos a Fy = —(300 N) sen a

Observando que AB = 10 m, a partir de la figura 2.23a se encuentra que

m m 4 m m 3eos a = —— = —— - — sen a = —— = ------- - —AB 10 m 5 AB 10 m 5

Entonces se obtiene

Fx = +(300 N)f = +240 N Fy = -(300 N)f = -180 N

y se escribe

F = (240 N)i - (180 N)j

Si una fuerza F se define por sus componentes rectangulares Fx y Fy (véase figura . ), el ángulo 6 que define su dirección puede obtenerse escribiendo

tan 0 = 4*- (2.9)Fx

La magnitud F de la fuerza se obtiene con el teorema de Pitágoras y escribiendo

F = V f * + Fy (2.10)

o bien resolviendo para F una de las fórmulas de las ecuaciones (2.8).

Ejemplo 3. Una fuerza F = (700 lb)i + (1 500 lb)j se aplica a un perno A. Determínese la magnitud de la fuerza y el ángulo 6 que forma con la horizontal.

Primero se dibuja un diagrama que muestra las dos componentes rec-tangulares de la fuerza y el ángulo 6 (figura 2.24). A partir de la ecuación(2.9), se escribe

„ Fy 1 500 lb tan 6 - ^ - 70{)]b

Con la calculadora,t se hace la división de 1 500 lb entre 700 lb; se cal-cula el arco tangente de este cociente y se obtiene 6 = 65.0°. Al resolver la segunda de las ecuaciones (2.8) para F, se tiene

„ Fy 1 500 lb , _ „F = — ~ = ----- = 1 6o5 Ibsen 0 sen 65.0

El último cálculo se facilita si el valor de Fy se almacena en la memoria desde que se introduce, de manera que pueda ser llamado para dividirse entre sen 6.

1 Se supone que la calculadora que se está utilizando tiene teclas para el cálculo de fun-ciones trigonométricas y de funciones trigonométricas inversas. Algunas calculadoras tam-bién tienen teclas para convertir directamente de coordenadas rectangulares a coordenadas polares y viceversa. Este tipo de calculadoras eliminan la necesidad de calcular funciones trigonométricas en los ejemplos 1, 2 y 3 y en problemas del mismo tipo.

2.7. Componentes rectangulares de una fuerza.Vectores unitarios

b)

Figura 2.23

Figura 2.24

30 Estática de partículas

d)Figura 2.25

2.8. ADICIÓN DE FUERZAS SUMANDO SUS COMPONENTES X Y Y

En la sección 2.2 se estudió que las fuerzas deben sumarse de acuer-do con la lev del paralelogramo. A partir de esta ley se derivaron en las secciones 2.4 y 2.5 otros dos métodos más directos aplicables a la so-lución gráfica de los problemas: la regla del triángulo para la suma de dos fuerzas y la regla del polígono para la adición de tres o más fuer-zas. También se vio que el triángulo de fuerzas usado para definir la resultante de dos Tuerzas podría usarse para obtener una solución tri-gonométrica.

Cuando se van a sumar tres o más fuerzas, no puede obtenerse una solución trigonométrica práctica del polígono de fuerzas que define a la fuerza resultante. En este caso puede obtenerse una solución analí-tica del problema si se descompone cada fuerza en sus elementos rec-tangulares. Considere, por ejemplo, las tres fuerzas P, Q y S que ac-túan sobre una partícula A (figura 2.25«). Su resultante R está definida por la relación

R = P + Q + S (2.11)

Si se descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares, se escribe

Rx i + /y = Px i + l\j + QA + Q„j + S J + S J = (Px + Qx + Sx) i + (P„ + Qy + Saj-

ele donde se tiene que

Rx = Px + Qx + Sx Rv = Py + Qy + Sy ( . )

o, en forma breve,

Rx = 2 F , Ry = ZFy (2.13)

Por tanto, se puede concluir que las componentes escalares Rx y Ry de la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula se ob-tienen separando de manera algebraica las correspondientes compo-nentes escalares de las fuerzas dadas}

En la práctica, la determinación de la resultante R se realiza en tres etapas, como se ilustra en la figura 2.25. Primero, las fuerzas mostradas en la figura 2.25a se descomponen en sus componentes x y y (figura 2.25b). ("on la suma de estas componentes x y y de R (figura 2.25c). Finalmente, la resultante R = Rxi + se determina aplicando la ley del paralelogramo (figura 2.25d). El procedimiento que se acaba de describir se realiza con más eficiencia si los cálculos se tabulan. Aunque éste es el único método analítico práctico para la adición de tres o más fuerzas, con frecuencia también se le prefiere sobre la solu-ción trigonométrica en el caso de la suma de dos fuerzas.

'Obviamente, este resultado se puede aplicar también a la adición de otras cantidades vectoriales, aceleraciones o cantidades de movimiento.

Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. De termine la resultante de las fuerzas sobre el perno.

F, =150N

F. = KK) N

F,= 1 lfl N

;¡iP M K

SOLUCIONLas componentes x y y de cada fuerza se determinan por trigonometría, como se muestra en la figura y se escriben en la tabla. De acuerdo con la conven-ción adoptada en la sección 2.7, un número escalar que representa la com-ponente de una fuerza es positivo si la componente tiene el mismo sentido que el correspondiente eje de coordenadas. Entonces, las componentes x que actúan a la derecha y las componentes y que actúan hacia arriba se repre-sentan por números positivos.

Componente x, N Componente y, NMagnitud, N

+75.0+75.2

-

-25.9

+ 129.9 -27.4

+96.6+ 199.1 + 14.3

R = K,.i + ñ ,j R = (199.1 N)¡ + (14.3 N)j

La magnitud y la dirección de la resultante ya puede determinarse. Del triángulo mostrado en la ñgura, se tiene

14.3 N199.1 N

14.3 N= ---------- = 199.6 N R = 199.6 N ^24.10

sen a

El último cálculo puede facilitarse con el uso de calculadora, si el valor de Ry se almacena en la memoria al introducirse, de manera que pueda ser llamado para dividirse entre sen a. (Véase también la nota al pie de la página 29.)

R E S O L U C I Ó N DE P R O B L E M A S EN F O R M A I N D E P E N D I E N T E

Como se vio en la lección anterior, la resultante de dos fuerzas puede ser determinada grá-ficamente o a partir de un triángulo oblicuo, con el uso de la trigonometría.

A. Cuando están involucradas tren o más fuerzas, la determinación de su resultante R se lleva a cabo de manera más sencilla descomponiendo primero cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares. Se pueden encontrar dos casos, que dependen de la for-ma en que esté definida cada una de las fuerzas dadas:

Caso 1. Im fuerza F está definida por medio de su magnitud F y el ángulo a que forma con el eje de las x. Las componentes x y y de la fuerza se pueden obtener, respec-tivamente, al multiplicar F por eos a v por sen a [ejemplo 1 ].

Caso 2. La fuerza F se define por medio de su magnitud F ij las coordenadas de dos puntos A y tí que se encuentran a lo largo de su línea de acción (figura 2.23). Por medio de la trigonometría, primero se puede determinar el ángulo a que F forma con el eje x. Sin embargo, las componentes de F también se pueden obtener directamente a par-tir de las proporciones entre las diversas dimensiones involucradas, sin determinar realmente a [ejemplo ].

tí. Componentes rectangulares de la resultante. Las componentes Ry y Ry de la re-sultante se pueden obtener con la suma algebraica de las componentes correspondientes de las fuerzas dadas [problema resuelto 2.3].

La resultante se puede expresar en forma vectorial con los vectores unitarios i y j, los cuales están dirigidos, respectivamente, a lo largo de los ejes x y y:

R = ñ*i + Ryj

De manera alternativa, se pueden determinar la magnitud y la dirección de la resultante re-solviendo para R y para el ángulo que R forma con el eje x, el triángulo rectángulo de la-dos Rx y Ry.

En los ejemplos y en el problema resuelto de esta lección, los ejes x y y fueron, respectiva-mente, horizontal y vertical. Sin embargo, se debe recordar que, para algunos problemas, será más eficiente rotar los ejes para alinearlos con una o más fuerzas aplicadas.

2.21 Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura.

2.22 Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura.

y

7 kips

Figura P2.22

2.23 y 2 .24 Determine las componentes x v y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura.

Figura P2.24

2.25 El elemento BD ejerce sobre el miembro ABC una fuerza P dirigida a lo largo de la línea Bü. Si P debe tener una componente vertical de 960 N, determine a) la magnitud de la fuerza P. b) su componente hori-zontal.

Figura P2.23

Figura P2.21

A « C

Figura P2.25

33

34 Estática de partículas 2.26 Mientras vacía una carretilla, una jardinera ejerce sobre cadamango AB una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CD. Si P debe tener una componente horizontal de 30 lb, determine a) la magnitud de la fuerza P. h) sil componente vertical.

2.27 Sobre el codo BCD, la varilla de activador AB ejerce una fuerza P dirigida a lo largo de la línea AB. Si P debe tener una componente de 100 N perpendicular al brazo BC del codo, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente a lo largo de la línea BC.

2.28 El elemento CB de la prensa de banco mostrada en la figura ejerce, sobre el bloque B, una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si la componente horizontal de P debe tener una magnitud de '260 lb, deter-mine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente vertical.

Figura P2.29 y P2.30

Figura P2.35

2.29 Se utiliza una garrocha para abrir una ventana como se mues-tra en la figura. Si la garrocha ejerce sobre la ventana una fuerza P dirigida a lo largo de la garrocha, y la magnitud de la componente vertical de P es de 45 N, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente hori-zontal.

2.30 Se utiliza una garrocha para abrir una ventana como se muestra en la figura. Si la garrocha ejerce sobre la ventana una fuerza P dirigida a lo largo de la garrocha, y la magnitud de la componente horizontal de P es de18 N, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente vertical.

2.31 Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 2.21.




2.35 Si la tensión en el cable BC es de 145 lb, determine la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.

Figura P2.26

estatica1

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