estadística...estadística independientes y dependientes contrastes para los parámetros de dos...
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Estadística
Independientes y dependientes
Contrastes para los parámetros de dos poblaciones Normales
Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada
Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff
Ejemplo de problema a resolver: Se quiere comprobar si entre la zona Norte (x) y Sur (y) del Cabo de Santa Pola existen diferencias en la Litorina punctata. Para ello se han recogido mediante observación dos muestras en cada zona, obteniéndose los siguientes datos: Comprobar si se observan diferencias entre ambas poblaciones
Estadística
Contrastes para dos Poblaciones independientes
Objetivo y contenidos
Comparación de medias de dos poblaciones a partir de muestras independientes.
Se pueden dar tres situaciones que vamos a estudiar: 1. Varianzas conocidas
2. Varianzas desconocidas iguales
3. Varianzas desconocidas y distintas
Recordar: Para el segundo y tercer caso se debe averiguar si en efecto las varianzas son iguales a partir de:
Contraste de igualdad de varianzas
Estadística
Contrastes para dos Poblaciones independientes
Intervalos de confianza
Para dos variables independientes y sabiendo que Para obtener los intervalos de confianza para los cocientes de las
varianzas se busca una variable aleatoria con función de distribución conocida y parámetro desconocido
Distribución F de Sdenecor:
Estadística
),( xxNX σµ≡ ),( yyNY σµ≡
212
)1(−≅
−xn
x
xx Snχ
σ212
)1(−≅
−yn
y
yy Snχ
σ
22yx σσ
1,122
22
−−=yx nn
xy
yx FSSσ
σ
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Igualdad de varianzas
Intervalos: que queda como:
Estadística
ασ
σα
σ
σαα −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤≤⇒−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤≤
−−−−−11
2,1,122
22
21,1,122
22
yxyx nnxy
yx
nnxy
yx FSS
FPbSS
aP
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=−−
−−
−2
2
2,1,12
2
2,1,1
1/
,122
y
x
nny
x
nnSSF
SS
FI
xy
yx
yxα
α
ασσ
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Igualdad de varianzas
Contraste de hipótesis (bilateral)
1. Región de aceptación:
2. Método alternativo (recomendado por su simplicidad):
Estadística
⎪⎭
⎪⎬⎫
≠
=⇔
⎪⎭
⎪⎬⎫
≠
=
1/:
1/:
:
:22
1
220
221
220
yx
yx
yx
yx
H
H
H
H
σσ
σσ
σσ
σσ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∈−−
−−
2
2
2,1,12
2
2,1,1
,11y
x
nny
x
nnSSF
SS
F xy
yx
αα
2,1,12
2
2,1,12
2
αασ
σ−−−−
<⇒<denomnumdenomnum nn
menor
mayor
nnmenor
mayor FSS
F
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Igualdad de varianzas
Ejemplo: Para comparar la efectividad de dos medicamentos en la hipertensión se administran cada uno de ellos a dos grupos de pacientes diferentes, obteniéndose los siguientes resultados:
Admitiendo normalidad, ¿se puede aceptar la igualdad de varianzas para un alfa de 0.1?
1. Formula hipótesis: 2. Calcula datos necesarios:
Estadística
857.13571.15
=
=
yx
⎪⎭
⎪⎬⎫
≠
=⇔
⎪⎭
⎪⎬⎫
≠
=
1/:
1/:
:
:22
1
220
221
220
yx
yx
yx
yx
H
H
H
H
σσ
σσ
σσ
σσ
476.14
619.172
2
=
=
y
x
SS
7
7
=
=yy
x
nn
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Igualdad de varianzas
3. Calcula la región de aceptación
Estadística
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∈−−
−−
2
2
2,1,12
2
2,1,1
,11y
x
nny
x
nnSSF
SS
F xy
yx
αα
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∈−−
−−476.14619.1728.4,
476.14619.17
28.41
476.14619.17,
476.14619.1711
205.0,17,17
205.0,17,17
FF
( )209.5,284.01∈ No rechazamos
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Igualdad de varianzas
Intervalos de confianza
Sabiendo que y Al conocer las varianzas de la pob. es posible tipificar la var. aleatoria a
partir de:
Estadística
⎩⎨⎧
≡
≡
),(),(
yy
xx
NYNX
σµ
σµ
y
y
x
x
yx
nn
YXZ
22
)()(
σσ
µµ
+
−−−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−≅−
y
y
x
xyx nn
NYX22
,σσ
µµ
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas
Por tanto:
Estadística
ασσ
µµ−=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
+
−−−≤ 1
)()(22
b
nn
YXaP
y
y
x
x
yx
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−+−−=−
−y
y
x
x
y
y
x
x
nnZYX
nnZYXI
yx
22
2/
22
2/1 )(,)(
σσσσαα
αµµ
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas
1. No se rechaza para un determinado nivel de significación si
2. Que traducido a estadístico queda como
3. Recordad que para el p-valor calculado como:
Estadística
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠−
=−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−∈−
y
y
x
x
y
y
x
x
nnz
nnzYX
22
2/
22
2/ ,σσσσ
αα
chazoNoz
nn
YX
y
y
x
x
Re2/22⇒<
+
−α
σσ
chazoNop Re⇒>α
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=−⇒
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=
y
y
x
x
y
y
x
x
nn
YXZPvalorp
nn
YXZPp2222
*22/σσσσ
Contraste de hipótesis
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas
1. No se rechaza si
2. Estadístico
3. p-valor:
1. No se rechaza si
2. Estadístico: 3. p-valor:
Estadística
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞−∈
y
y
x
x
nnZX
22
,σσ
α
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=−
y
y
x
x
nn
YXZPvalorp22 σσ
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
≤−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
chazoNoz
nn
YX
y
y
x
x
Re22
⇒<
+
−α
σσ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞+−∈ ,
22
y
y
x
x
nnZX
σσα
ασσ
z
nn
YXchazoNo
y
y
x
x
−>
+
−⇒
22Re
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−<=−
y
y
x
x
nn
YXZPvalorp22 σσ
Intervalos de confianza
Sabiendo que y La varianza desconocida se puede estimar como media ponderada de las
varianzas muestrales: Y el estadístico sería
Estadística
⎩⎨⎧
≡
≡
),(),(
yy
xx
NYNX
σµ
σµ
( ) ( )211 22
−+
−+−=
yx
yyxxd nn
SnSnS
yxd
yx
nnS
YXt
11)()(
+
−−−=
µµ
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−≅−
y
y
x
xyx nn
NYX22
,σσ
µµ
Por tanto:
Estadística
αµµ
−=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤+
−−−≤ 1
11)()(b
nnS
YXaP
yxd
yx
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−+−−= −+−+
−−
yxdnn
yxdnn nn
StYXnn
StYXIyxyxyx
11)(,11)( 2/,22/,21
αααµµ
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
1. No se rechaza para un determinado nivel de significación si
2. Que traducido a estadístico queda como
3. Recordad que para el p-valor calculado como:
Estadística
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠−
=−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−∈− −+−+
yxdnn
yxdnn nn
Stnn
StYXyxyx
11,112/,22/,2 αα
2/,211Re α−+<
+
−⇒
yx nn
yxd
t
nnS
YXchazoNo
chazoNop Re⇒>α
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=−⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>= −+−+
yxd
nn
yxd
nn
nnS
YXtPvalorp
nnS
YXtPpyxyx 11
*211
2/ 22
Contraste de hipótesis
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
1. No se rechaza si
2. Estadístico
3. p-valor:
1. No se rechaza si
2. Estadístico: 3. p-valor:
Estadística
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞−∈− +
yxdnn nnStYX
yx
11,,α
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=− −+
yxd
nn
nns
YXtPvalorpyx 112
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
≤−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
α,211Re −+<
+
−⇒
yx nn
yxd
t
nns
YXchazoNo
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞+−∈− + ,11
,yx
dnn nnStYX
yx α
α,211Re −+−>
+
−⇒
yx nn
yxd
t
nns
YXchazoNo
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−<=− −+
yxd
nn
nns
YXtPvalorpyx 112
Ejemplo 1: Los sig. datos corresponden a muestras de la sp. Jania de dos zonas cercanas a un punto de vertido de aguas residuales. Verificar si hay diferencias entre ambas zonas.
x y
Estadística Contrastes para dos Poblaciones independientes.
Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
1. Comprueba si se da la igualdad de varianzas:
2. Calcula datos necesarios desconocidos
Estadística
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∈−−
−−
2
2
2,1,12
2
2,1,1
,11y
x
nny
x
nnSSF
SS
F xy
yx
αα ⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∈−−
−−
2
2
2005.0,115,1162
2
205.0,116,115
06.851.7
,06.851.711 F
F
( )561.2,299.01∈ No rechazo, igualdad de varianzas
( ) ( )211 22
−+
−+−=
yx
yyxxd nn
SnSnS
( ) ( )21615
06.811651.7115 22
−+
−+−=dS 779.7=dS
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
3. Criterio de región de aceptación:
4. Calcula por estadístico:
Estadística
No rechazo
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−∈− −+−+
yxdnn
yxdnn nn
Stnn
StYXyxyx
11,112/,22/,2 αα
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−∈ −+−+ 161
151*779.7*,
161
151*779.7*61.0 2/05.0,216152/05.0,21615 tt
( ) )727.5,727.5(360.0*779.7*0452.2,360.0*779.7*0452.261.0 −=−∈
yxd
obs
nnS
YXt11
+
−= 218.0
161
151779.7
61.0=
+=obst
0452.2025.0,29 =t
025.0,290452.2218.0 ttobs =<=
No rechazo
5. P-valor:
Estadística
No rechazo
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
( )obsnn ttPpyx
>= −+ 22/ ( ) 25.02/218.02/ 2 >⇒>= −+ ptPpyx nn
5.0>− valorp
Ejemplo 2: Se quiere comprobar si entre la zona Norte (x) y Sur (y) del Cabo de Santa Pola existen diferencias en la Litorina punctata. Para ello se han recogido mediante observación dos muestras en cada zona, obteniéndose los siguientes datos: Medx = 2,2 Medy = 1,9 Sx = 0,12 Sy= 0,10 nx= 155 ny = 208 Comprobar si se observan diferencias entre ambas poblaciones
Estadística Contrastes para dos Poblaciones independientes.
Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales
Intervalos de confianza
Sabiendo que y Situación sin solución exacta. Utilizaremos método de Welch que
sustituye las varianzas por sus estimadores insesgados en el estadístico:
En este caso, el estadístico se aproxima auna dist. t de Student con m
grados de libertad, donde m (como nº natural):
Estadística
⎩⎨⎧
≡
≡
),(),(
yy
xx
NYNX
σµ
σµ
y
y
x
x
yx
nS
nS
YXt
22
)()(
+
−−−=
µµ
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−≅−
y
y
x
xyx nn
NYX22
,σσ
µµ
Por tanto:
Estadística
αµµ
−=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
+
−−−≤ 1
)()(b
nS
nSYX
aP
y
y
x
x
yx
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−+−−=−
−y
y
x
xm
y
y
x
xm n
SnStYX
nS
nStYXI
yx
22
2/,
22
2/,1 )(,)( αααµµ
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas
1. No se rechaza para un determinado nivel de significación si
2. Que traducido a estadístico queda como
3. Recordad que para el p-valor calculado como:
Estadística
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠−
=−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−∈−
y
y
x
xm
y
y
x
xm n
SnSt
nS
nStYX
22
2/,
22
2/, , αα
2/,22Re αm
y
y
x
x
t
nS
nS
YXchazoNo <
+
−⇒
chazoNop Re⇒>α
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=−⇒
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=
y
y
x
x
m
y
y
x
x
m
nS
nS
YXtPvalorp
nS
nS
YXtPp2222
*22/
Contraste de hipótesis
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas
1. No se rechaza si
2. Estadístico
3. p-valor:
1. No se rechaza si
2. Estadístico: 3. p-valor:
Estadística
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞−∈−
y
y
x
xm n
SnStYX
22
,, α
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=−
y
y
x
x
m
nS
nS
YXtPvalorp22
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
≤−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
α,22Re m
y
y
x
x
t
nS
nS
YXchazoNo <
+
−⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞+−∈− ,
22
,y
y
x
xm n
SnStYX α
α,22Re m
y
y
x
x
t
nS
nS
YXchazoNo −>
+
−⇒
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−<=−
y
y
x
x
m
nS
nS
YXtPvalorp22
Ejemplo Se ha efectuado un estudio por parte de la Comisión de Caza y Pesca para estimar cantidades de residuos químicos en tejidos de pelícanos. En una prueba de DDT para muestras aleatorias de 10 pelícanos jóvenes y 13 polluelos se obtuvieron los siguientes resultados: ¿Se puede afirmar que el comportamiento en ambos es igual con una significación del 0.05?
Estadística Contrastes para dos Poblaciones independientes.
Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas
Jóvenes Adultos Número 10 13 Media 0.041 0.026 S 0.017 0.006
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠−
=−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
HH
HH
µµ
µµ
µµ
µµ
1. Comprueba que efectivamente las varianzas son diferentes:
2. Calcula m
Estadística Contrastes para dos Poblaciones independientes.
Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∈−−
−−
2
2
2,1,12
2
2,1,1
,11y
x
nny
x
nnSSF
SS
F xy
yx
αα ⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∈−−
−−
2
2
2005.0,110,1132
2
205.0,113,110
006.0017.0
,006.0017.011 F
F
( )025.29,175.21∈ Rechazo, varianzas diferentes
1185.10 =⇒= mm
3. Criterio de región de aceptación:
4. Criterio de estadístico:
Estadística Contrastes para dos Poblaciones independientes.
Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas
Rechazo
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−∈−
y
y
x
xm
y
y
x
xm n
SnSt
nS
nStYX
22
2/,
22
2/, , αα
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−∈
13006.0
10017.0
,13006.0
10017.0
015.022
025.0,11
22
025.0,11 tt ( )0123.0,0123.0015.0 −∈
y
y
x
x
obs
nS
nS
YXt22
+
−=
66.20078.0015.0
==obst
201.2025.0,11 =t
025.0,11201.266.2 ttobs =<= Rechazo
4. p-valor:
Dado que se demuestra que no son iguales, ¿serías capaz de saber si es mayor o menor? (compara con contrastes unilaterales)
Estadística Contrastes para dos Poblaciones independientes.
Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas
Rechazo ( )obsm ttPp >=2/ 05.002.0
025.02/01.0<−<
<<
valorpp α<− valorp
Estadística
Contrastes para los parámetros de dos
poblaciones normales dependientes
Contrastes para los parámetros de la Normal
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
Supongamos que queremos comprobar si realmente se produce una disminución significativa en la cobertura de Enteromorpha después de constatar un impacto ambiental con residuos de alquitrán. Se tienen medidas de antes y se mide después del impacto.
Estadística
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
- En este tipo de análisis el interés no se centra en la variabilidad que puede haber entre los individuos - Sino en las diferencias que se observan en un mismo sujeto entre un momento y otro Por este motivo, resulta intuitivo trabajar con la diferencia de ambas observaciones (en el ejemplo será la disminución de porcentaje de cobertura), de modo que se quiere contrastar la hipótesis
H1:La disminución del porcentaje de cobertura es mayor que cero
Estadística
Intervalos de confianza
Sabiendo que y El procedimiento de obtención del intervalo es el mismo que en temas
anteriores: Donde:
Estadística
⎩⎨⎧
≡
≡
),(),(
yy
xx
NYNX
σµ
σµ( )DDND σµ ,≅
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= −−
−
nStD
nStDI D
nD
nD 2/,12/,11 , ααα
µ
( )∑ ∑= =
−==n
i
n
iiii YX
nDD
1 1
1 ( )∑=
−−
=n
iiD DD
nS
1
22
11
1) Definimos la variable D como: D = {Antes - Despues} ó D = {Despues - Antes} ó D = { X - Y} ó D = { Y - X}
2) Proponemos el contraste 3) Calculamos el estadístico en función de la definición de D y del contraste propuesto, siendo D una variable Normal 4) Obtenemos las conclusiones y aportamos el p-valor
Estadística
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
Contraste de hipótesis
nSDtD
t =exp
1. No se rechaza para un determinado nivel de significación si
2. Que traducido a estadístico queda como
3. Recordad que para el p-valor calculado como:
Estadística
⎩⎨⎧
≠
=
0:0:
1
0
D
D
HH
µ
µ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∈ −− nSt
nStD D
nD
n 2/,12/,1 , αα
2/,1Re α−<⇒ nd
tnS
DchazoNo
chazoNop Re⇒>α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛>=−⇒⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛>= −− nS
DtPvalorpnS
DtPpd
nd
n 11 *22/
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
1. No se rechaza si
2. Estadístico
3. p-valor:
1. No se rechaza si
2. Estadístico: 3. p-valor:
Estadística
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
⎩⎨⎧
<
≥
0:0:
1
0
D
D
HH
µ
µ
⎩⎨⎧
>
≤
0:0:
1
0
D
D
HH
µ
µ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞−∈ − nStD D
n α,1,⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈ − ,,1 nStD D
n α
2/,1Re α−<⇒ nd
tnS
DchazoNo2/,1Re α−−>⇒ nd
tnS
DchazoNo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛>=− − nS
DtPvalorpd
n 1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<=− − nS
DtPvalorpd
n 1
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
Supongamos que queremos comprobar si realmente se produce una disminución significativa en la cobertura de Enteromorpha después de constatar un impacto ambiental con residuos de alquitrán. Se tienen medidas de antes y se mide después del impacto.
1. Calculemos los estadísticos
Estadística
⎩⎨⎧
<
≥
0:0:
1
0
D
D
HH
µ
µ
081.5081.574.8581.90
==
==
yx SSYX
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
2. Calculemos D media y S de D: 3. Calculemos los criterios de aceptación o rechazo a) Región de aceptación:
Estadística
( ) 071.511 1
=−==∑ ∑= =
n
i
n
iiii YX
nDD ( ) 511.2
11
1
22 =−−
= ∑=
n
iiD DD
nS
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈ − ,,1 nStD D
n α
( ) ),918.0(,501.01.8331,10584.1071.5 05.0,9 +∞−=+∞⋅−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈ t No rechazo
Contrastes para dos Poblaciones Dependientes
b) Estadístico: c) p-valor
Estadística
nSDtd
t =exp 12.1010584.1
071.5exp ==tt
1.833105.0,9,1 −=−=− − ttn α
05.0,9exp tt t −>−
No rechazo
No rechazo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<=− − nS
DtPvalorpd
n 1
995.0)12.10(1 9 >−⇒>−=− valorptPvalorp
Comandos de R:
Dos pob., diferencia de varianzas: var.test(x, y, ratio = 1,alternative = "two.sided“,conf.level = 0.95) Dos pob. independientes, varianzas desconocidas e iguales: t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0,
var.equal = TRUE, conf.level = 0.95) Dos pob. independientes, varianzas desconocidas y diferentes: t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0,
var.equal = FALSE, conf.level = 0.95) Dos pob. apareadas (dependientes): t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired
= TRUE, conf.level = 0.95)
Estadística Contrastes para dos Poblaciones Independientes o
Dependientes