Universidad tcnica de Cotopaxi

10

TEORAS DE FALLAJorge Leonardo Alomia Paredesleoalo1988@hotmail.comLuis Israel Molina Vacaisraelmolina2013@gmail.comJorge Luis Prado Sandovaljlprado1988@gmail.com

RESUMEN: El presente trabajo se ha investigado sobre el tema relacionado con la teora de fallas sus principales principios, teoremas, comportamientos, conceptos, formulas empleadas para realizar los clculos adecuados a los materiales existentes en la ingeniera de la construccin. Mediante la investigacin para un entendimiento adecuado de los comportamientos que presentan los materiales al realizar el estudio de las teora de fallas y poseer las seguridades al momento de utilizar un material dentro de la construccin, analizando las diversas teoras mediantes los esfuerzos principales y cortantes as como la utilizacin del circulo de Mohr que ya se dio un estudio en el primer parcial, mediante este mtodo de teora de fallas se puede determinar de una mejor manera el factor de seguridad adecuado de los materiales empleados en las industrias, construccin, diseo de los materiales dctiles y frgiles mediante el estudio por teora de fallas. PALABRAS CLAVES: Esfuerzos, teora, seguridad, dctil, frgil.1 INTRODUCCINCuando se trata del diseo de estructuras o componentes, las propiedades fsicas de los materiales constituyentes suelen encontrarse a partir de los resultados de experimentos de laboratorios en los que nicamente se ha sometido a los materiales a las condiciones de esfuerzo ms simple.La prueba ms usual es la prueba de tensin simple, en la que se determina fcilmente el valor de fluencia o el de fractura, excepto en unos cuantos casos particulares, generalmente no se conoce la resistencia de los materiales sometidos a sistemas complejos de esfuerzos. En la prctica estos sistemas complejos de esfuerzos son los que se encuentran ms a menudo, pero resulta necesario contar con alguna base para determinar los esfuerzos de trabajo permisibles de modo que se evite una falla.

De este modo la funcin de teora de fallas elstica consiste en predecir, con base el comportamiento de los materiales en una prueba de tensin simple, cuando se presentara la falla elstica bajo cualquier condicin de esfuerzo aplicado. Se han propuesto varios criterios tericos con el objeto de obtener una correlacin adecuada entre la vida o duracin estimada del componente y la que realmente se logra en las condiciones de carga de servicio para aplicaciones en los materiales tanto frgiles como dctiles.El valor de la propiedad elstica critica que se elija implica en el ttulo de la teora se calcula tanto para las pruebas de tensin simples como para un sistema de esfuerzos complejos tridimensionales. Estos valores se igualan entonces para obtener el llamado criterio de falla, es el esfuerzo de fluencia en una prueba de tensin simple, y son los tres esfuerzos principales en el sistema tridimensional complejo de esfuerzos, en el orden de la magnitud. As, en el caso de la teora del esfuerzo cortante mximo, es la mayor diferencia numrica entre los esfuerzos principales, tomando en consideracin los signos y en el hecho de que cada uno de los esfuerzos principales puede ser cero.

2 TEORA DE FALLA2.1 TEORA DEL ESFUERZO PRINCIPAL MXIMOEn esta teora se supone que en el sistema complejo de esfuerzos la falla se presenta cuando el esfuerzo principal mximo alcanza el esfuerzo de fluencia en tensin simple. De este modo, el criterio de fractura es1 = ySin embargo, debe observarse que tambin se presentara la falla a la comprensin si el menor esfuerzo principal 3 fuera de comprensin y su valor alcanzara el valor del esfuerzo de fluencia a la comprensin para el material que se estudia entes de alcanzar el valor de yt a la tensin.Por lo tanto, un criterio adicional es

3 = y

Si bien demostrarse que la teora se cumple muy satisfactoriamente en el caso de los materiales frgiles, existe considerable evidencia experimental de que la teora no debe aplicarse a los materiales dctiles. Por ejemplo, aun en el caso de la misma prueba de tensin pura, la falla en materiales dctiles no ocurre debi un esfuerzos directos aplicados, sino debido a un esfuerzo cortante en planos que se encuentran a 45 con respecto al eje de la nuestra. Adems, los materiales realmente homogneos pueden resistir presiones hidrostticas muy elevadas sin fallar, lo que indica que los esfuerzos directos mximos solo no constituyen un criterio valido de fractura para todas las condiciones de carga.2.2 TEORA DEL ESFUERZO CORTANTE MXIMO.En esta teora se establece que la falla puede presentarse cuando el esfuerzo cortante mximo en un sistema complejo de esfuerzos resulta igual al de fluencia en una prueba de tensin simple.Puesto que el esfuerzo cortante mximo es la mitad de la mayor diferencia entre los esfuerzos principales, el criterio de falla se hace

1 3 = y

El valor de 3 es, en forma algebraica, el valor ms pequeo, es decir, considerando el signo y el hecho de que un esfuerzo pueda resultar cero. Esto proporciona una correlacin bastante exacta en resultados experimentales, en particular para materiales dctiles. Con frecuencia, este criterio se conoce como teora Tresca y constituye una de las leyes de la plasticidad que se emplea ampliamente.

2.3 TEORA DE LA DEFORMACIN PRINCIPAL MXIMAEn esta teora se supone que la falla se presenta cuando la deformacin mxima en un sistema complejo de esfuerzo es igual a la deformacin en la fluencia en la prueba de tensin

1 v2 v3 = y

Los resultados obtenidos en la prueba de placas sometidas a dos tensiones perpendiculares entre si contradicen esta teora. El efecto de la relacin de Poisson en cada tensin reduce la deformacin en la direccin directa perpendicular, de modo que, segn esta teora, la falla se presentara con una carga mayor. Este no siempre es el caso. La teora resulta razonablemente vlida para el hierro colado pero en la actualidad generalmente no se emplea en procedimientos de diseo.

2.4 TEORA DE LA ENERGA TOTAL DE DEFORMACIN MXIMA POR VOLUMEN UNITARIO.En esta teora se supone que la falla se presenta cuando la energa total de deformaciones en el sistema de esfuerzo complejo iguala a la asociada con el esfuerzo de fluencia en la prueba de tensin.

La teora proporciona resultados bastante satisfactorios en materiales dctiles pero generalmente prefiere utilizarse la teora que a continuacin se menciona2.5 TEORA DE LA ENERGA MXIMA DE DEFORMACIN POR ESFUERZO CORTANTE MXIMO (O ENERGA DE DISTORSIN) POR UNIDAD DE VOLUMEN.Una vez ms se seala el modo en que la energa de deformacin de un elemento estructural sometido a esfuerzos puede dividirse en componentes de energa de deformacin volumtrica y de energa de deformacin por esfuerzo cortante, en donde la primera lleva consigo un cambio de volumen y ninguna distorsin, mientras que con la ltima se produce la distorsin de elementos esforzados. Esta teora afirma que la falla se presenta cuando la componente de energa mxima de deformacin por esfuerzo cortante en el sistema de esfuerzos complejos es igual a la asociada al esfuerzo de fluencia en una prueba de tensin.

Esta teora se verifica de modo considerable en la prctica y se recomienda ampliamente como la base ms confiable para el diseo, en particular cuando se trata de materiales dctiles. Con frecuencia se conoce como el criterio de Von Mises o Maxwell y probablemente es la mejor de las cinco. Tambin, algunas veces se conoce como teora del esfuerzo cortante octadrico mximo.2.6 TEORA MODIFICADA DE MOHR DEL ESFUERZO CORTANTE PARA MATERIALES FRGILES (ALGUNAS VECES CONOCIDA COMO TEORA DE LA FRICCIN INTERNA).En general, los materiales frgiles muestran poca capacidad de deformarse plsticamente, por lo que suelen fracturarse en o muy cerca del lmite del elstico. Por lo tanto, cualquiera de los as llamados Criterios de Fluencia que se introdujeron arriba normalmente entraan la fractura de un material frgil. Anteriormente se dijo, sin embargo, que los materiales frgiles suelen resultar ms resistente a la comprensin que la tensin.

Y para tomar en cuenta esto, Mohr ha propuesto una construccin, que se basa en su crculo de esfuerzos, en la aplicacin de la teora del esfuerzo cortante mximo. En la figura 1, el circulo con dimetro OA es el que representa tensin pura, el circulo de dimetro OB es para comprensin pura y el circulo cuyo centro es O y cuyo dimetro es CD es el esfuerzo cortante puro. Cada uno de estos tipos de prueba puede realizarse en el laboratorio con relativa facilidad para alcanzar la falla. Entonces una envolvente de estas curvas, que se muestra por las lneas punteadas, representa la envolvente de falla segn la teora de Mohr.Mohr sugiere, como una mejor aproximacin para este procedimiento, que solo se dibujen los crculos de falla por compresin y tensin puras, considerando OA y OB iguales a los esfuerzos de fluencia, o de fractura del material frgil. As, las tangentes comunes a estos crculos pueden emplearse como la envolvente de falla, como se muestra en la figura 2. Los crculos dibujados tangentes a esta envolvente representan la condicin de falla en el punto de tangencia.

Con el objeto de desarrollar una expresin terica para el criterio de falla, considere un crculo de esfuerzo general con los esfuerzos principales 1 y2. De esta forma es posible deducir una expresin que relacione 1, 2, los esfuerzos principales, y yt, yc, los esfuerzos de fluencia del material frgil en tensin y comprensin, respectivamente.

Con base en la geometri de la figura 3.

Ahora, en trminos de los esfuerzos,

Sustituyendo

Efectuando la multiplicacin cruzada y simplificando, esto se reduce a

Que entonces constituye el criterio de esfuerzo cortante modificado de Mohr para materiales frgiles.3 REPRESENTACIN GRAFICA DE LAS TEORAS DE FALLA PARA SISTEMAS DE ESFUERZOS BIDIMENSIONALES (EN DONDE UNO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES ES IGUAL A CERO).Habiendo obtenido la ecuacin para el criterio arriba mencionado, de falla elstica en el estado de esfuerzo generalmente tridimensional, resulta relativamente sencillo obtener las ecuaciones correspondientes cuando uno de los esfuerzos principales es cero.Cada teora puede representarse grficamente como se describe a continuacin, en donde los diagramas se denominan con frecuencia como lugares geomtricos de fluencia.3.1 TEORA DEL ESFUERZO PRINCIPAL MXIMO.Para simplificar el anlisis, por el momento se ignora la convencin usual para los esfuerzos principales, es decir, 1 > 2 > 3 y se considera el estado de esfuerzo bidimensional que se muestra en la figura 4 en donde 3 es cero y 2 puede tener un valor menor que 3 para el objeto de este desarrollo

Entonces, la teora del esfuerzo principal mximo enuncia que la falla se presentara cuando 1 o 2 sea igual a o . Suponiendo que ==, estas condiciones se representan grficamente en las coordenadas (1, 2) que representa cualquier sistema complejo de esfuerzo bidimensional se encuentra fuera del cuadrado, entonces, segn esta teora, se representara la falla.

3.2 TEORA DEL ESFUERZO CORTANTE MXIMO.Para los esfuerzos iguales, es decir, 1 y 2, de tensin o de comprensin ambos (primero y tercer cuadrante), el criterio de esfuerzo cortante mximo es o o De este modo, se obtiene el mismo resultado que con la teora anterior en el primer y tercer cuadrante.Para esfuerzos diferentes, el criterio ser:

Ya q al considerar el tercer esfuerzo como cero no se obtendr un esfuerzo cortante tan grande como cuando es negativo. De este modo, para el segundo y cuarto cuadrante.

Estos constituyen lneas rectas y producen la envoltura de falla que se nuestra en la figura 6. Una vez ms, cualquier punto fuera de la envolvente de falla representa la condicin de falla potencial.

3.3 TEORA DE LA DEFORMACIN PRINCIPAL MXIMA.Para la fluencia en tensin, la teora enuncia que:

Y para la fluencia de comprensin, en donde es de comprensin

Como esta teora no tiene una aceptacin en ningn campo de ingeniera, resulta suficiente con observar aqu que, sin demostrarlo, las ecuaciones anteriores producen la envolvente de falla rombodrica que se nuestra en la figura 7

3.4 TEORA DE LA ENERGA MXIMA DE DEFORMACIN POR UNIDAD DE VOLUMEN.Cuando = 0, este criterio de falla se reduce a

Esta es la ecuacin de una elipse con los semiejes mayor y menor:

Respectivamente, cada unoi a 45 con respecyto a lso ejes coordenados, como se nuestra en la figura 8.3.5 TEORA DE LA ENERGA MXIMA DE DEFORMACIN POR ESFUERZO CORTANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN.

SOMETIDA A FLEXIN PURAAnalicemos el caso ms simple de flexin, la flexin pura. Como se indic ya, se entiende por flexin pura el caso de solicitacin de que en las secciones transversales de la barra aparecen solamente momentos flectores, siendo Q = 0. En los tramos de la barra donde se cumple esta condicin, el momento flector, permanece constante (). La flexin pura puede surgir para diversas cargas exteriores.

Figura 6. Ejemplos de flexin puraPrescindiendo de las particularidades de aplicacin de las fuerzas exteriores y de las particularidades de los apoyos, analicemos solamente el tramo donde y . En los extremos de este tramo actan solamente los momentos M (fig. 7, a).Debido a la accin de los momentos M la viga se flexiona. Como en todas las secciones aparece el mismo momento flector, en el caso de una barra homognea, la variacin de la curvatura en todos los tramos ser la misma. Es decir, en el caso de la flexin pura el eje de la barra homognea adquiere la forma del arco de una circunferencia.Es fcil observar que el conjunto de puntos que, antes de la flexin, se encontraba en el plano de la seccin transversal de la barra, formara despus de la flexin tambin un plano, pero desplazado en el espacio. En efecto, veamos la seccin transversal media AA (fig. 7, a). De la condicin de simetra se deduce que los puntos de esta seccin no pueden tener desplazamientos preferibles ni hacia la derecha ni hacia la izquierda, puesto que las dos partes se encuentran en las mismas condiciones. Es decir que esta seccin permanece plana.Dividiendo la barra en dos partes iguales mediante la seccin AA, obtendremos dos tramos de longitud dos veces menor que se encuentran en las mismas condiciones que todo el tramo de la barra (fig. 7, b). Los razonamientos anteriores se pueden repetir para cada uno de los tramos obtenidos (fig. 7, c), lo que demuestra que las secciones medias de estos tramos tambin permanecen planas.

Figura 7. Momentos dentro de una barra sometida a flexin pura.Este proceso de divisin se puede continuar. As se demuestra que en las proximidades de cualquier seccin fijada previamente existen cuantas se quiera secciones para las cuales se cumple la condicin de las secciones planas expresada anteriormente. De hecho, esto demuestra que, en general, todas las secciones de la barra homognea, en la flexin pura, no alabean, sino que solamente giran.

Figura 8. DeformacionesLas deformaciones que acompaan a la flexin pura, se pueden considerar como el resultado del giro mutuo de las secciones transversales planas (fig. 8a). Analicemos dos secciones contiguas a la distancia una de la otra (fig. 8b) y consideremos convencionalmente que la seccin de la izquierda es inmvil. Entonces, como resultado del giro de la seccin de la derecha en un ngulo , las fibras superiores se alargaran y las inferiores se acortaran. Existe, claro est, una capa donde no existen alargamientos. Denominemos esta capa neutra y la representamos por el segmento CD. Como resultado del giro de las secciones la variacin de la curvatura de la capa neutra ser,

El segmento arbitrario (fig. 8) recibir el incremento . Como las secciones permanecen planas,

Siendo , la distancia desde el segmento AB que se analiza, hasta la capa neutra CD. La posicin de esta ltima es por ahora desconocida.El alargamiento unitario de la capa AB ser, Y segn la ley de Hooke,

As pues, en la flexin pura, las tensiones en la seccin transversal varan linealmente. El lugar geomtrico de los puntos de la seccin que cumplen la condicin se denomina lnea neutra de la seccin. La lnea neutra es, claro est, perpendicular al plano de la curvatura de la barra flexionada. Hallemos ahora la relacin que existe entre la tensin y los factores de fuerza interiores que aparecen en la seccin transversal de la barra en la flexin pura.

Figura 9. Fuerzas elementales de flexin puraLa suma de las fuerzas elementales (fig. 9) es iguala a la fuerza normal N en la seccin, pero como en la flexin pura N=0, obtendremos,1

2Es decir,

Esta integral representa el momento esttico de la seccin respecto a la lnea neutra.Como este momento es igual a cero, la lnea neutra pasara por el centro de gravedad de la seccin. As pues, la coordenada y en las expresiones (1) y (2) queda bien definida y se mide desde el eje central perpendicular al plano de la curvatura. De la misma manera queda determinada la curvatura como la curvatura de la capa neutra o como la curvatura del eje de la barra.Ubiquemos definitivamente el sistema de ejes x, y, z fijado a la seccin (fig. 9). El origen del sistema de coordenadas 0 lo situamos en el centro de gravedad de la seccin. El eje z lo orientamos segn la normal a la seccin y el eje x lo hacemos coincidir con la lnea neutra. El eje y es perpendicular al eje x, y se encuentra, pues, en el plano de la variacin de la curvatura. Este sistema constituye lo que se denomina sistema mvil de ejes cuya posicin en el espacio vara de una seccin a otra.El momento flector en la seccin transversal de la barra, al igual que la fuerza normal, se puede expresar de manera integral por las tensiones , es decir,

Observemos que, en el caso general, el plano del momento flector en la seccin no coincide con el plano (fig. 9). Es decir, la variacin de la curvatura de la barra no ocurre obligatoriamente en el plano del momento flector. Teniendo esto en cuenta, resulta que el momento de las fuerzas elementales respecto al eje y es igual a cero y el momento de estas fuerzas respecto al eje x es igual al momento flector M. obtenemos pues,3De la primera expresin se obtiene,

Lo que quiere decir que la variacin de la curvatura ocurre en el plano del momento, si este ltimo pasa por uno del os ejes principales de la seccin. Esta flexin se denomina flexin recta. En el caso general, cuando el plano del momento flector no coincide con el eje principal de la seccin se obtiene la flexin desviada.De la expresin (3) hallamos la relacin entre la curvatura de la barra y el momento flector,

Siendo , el momento de inercia de la seccin respecto al eje central principal perpendicular al plano del momento flector. , se denomina rigidez de la barra a la flexin. Como en el caso de la torsin, esta magnitud es proporcional a la cuarta potencia de las dimensiones lineales de la seccin cuando estos varan proporcionalmente.Volviendo a la formula (2) y eliminando de ella la curvatura , obtendremos para la tensin ,

La tensin mxima en la flexin aparece en los puntos ms alejados de la lnea neutra

La fraccin se denomina mdulo de la seccin en la flexin y se designa por ,

As pues,

Esta frmula es bsica para el clculo de la resistencia de una barra a la flexin.

Figura 10. Barra de seccin rectangularEn el caso de una barra de seccin rectangular de lados b y h,

En el caso de una seccin circular,

As pues, las tensiones en la flexin son inversamente proporcionales a la tercera potencia de las dimensiones lineales de la seccin.Las formas ms econmicas de las secciones transversales son aquellas con las que, con un gasto mnimo de material, se obtiene el valor mximo posible del mdulo de la seccin . Para que la forma de la seccin sea racional es necesario ubicar el rea de la seccin lo ms alejado posible de la lnea neutra. As surgieron los perfiles de paredes delgadas de seccin doble T y canal de la figura 11. En el caso de la flexin en el plano vertical, estos perfiles son muy ventajosos en comparacin con otras formas de las secciones transversales.El mdulo de la seccin de los perfiles tpicos est determinado para todos ellos y figura en las tablas correspondientes. Por eso, al calcular la resistencia de una barra no es necesario realizar clculos complejos para la determinacin de los momentos de inercia y los mdulos de la seccin. 3.2 TENSIONES EN EL CASO DE FLEXIN TRANSVERSALHemos visto que durante la flexin pura, en las secciones transversales de la barra surgen solamente tensiones normales. Las fuerzas interiores correspondientes se reducen a un momento flector que acta en la seccin. En el caso de la flexin transversal, en la seccin de la barra, surge no solo el momento flector, sino tambin la fuerza cortante Q, que constituye la resultante de las fuerzas elementales distribuidas en el plano de la seccin (fig. 11.). Por lo tanto, en este caso, en las secciones transversales de la barra surgen no solamente tensiones normales, sino tambin tangenciales.

Figura 11. Diagrama de tensionesLas tensiones tangenciales van acompaadas de deformaciones angulares . Por lo tanto, aparte de los desplazamientos fundamentales, propios de la flexin pura, cada rea elemental de la seccin recibe tambin ciertos desplazamientos angulares elementales adicionales originados por el deslizamiento. Las tensiones tangenciales se distribuyen en la seccin de manera no uniforme, es decir, que los desplazamientos angulares tampoco se distribuyen de manera uniforme. As pues, en la flexin transversal, a diferencia de la flexin pura, las secciones transversales de la barra no permanecen ya planas.En el caso particular cuando la fuerza cortante Q no vara a lo largo de la barra, las formulas

Que fueron obtenidas para el caso de flexin pura, en el caso de la flexin transversal son absolutamente exactas. En efecto, cuando , el alabeo de todas las secciones resulta ser igual (fig. 12) y, por lo tanto, durante el giro mutuo de dos secciones contiguas el alargamiento de la fibra longitudinal ser el mismo, independientemente de que la seccin permanezca plana o no.

Figura 12. Curvatura de la seccin transversalCuando la fuerza cortante varia a lo largo del eje de la barra, las formulas de la flexin pura conducen a cierto error en el valor de . Mediante un anlisis no complicado, se puede demostrar que la magnitud de dicho error es del orden de en comparacin con la unidad, siendo, la dimensin de la seccin transversal en el plano del a flexin y , la longitud de la barra. Segn la definicin dada, la barra se caracteriza por el hecho de que las dimensiones de su seccin transversal son muy inferiores a la longitud. Por lo tanto, la magnitud de es relativamente pequea, resultando pequeo tambin el error indicado.Lo expuesto nos permite admitir la hiptesis de las secciones planas. En adelante, consideraremos que el conjunto de puntos que forman el plano de la seccin transversal antes de la flexin, forma tambin un plano despus de la flexin, pero girado en el espacio. Esta suposicin es admisible en la medida en que las deformaciones angulares de la seccin se pueden considerar sensiblemente inferiores que los desplazamientos angulares originados por la variacin de la curvatura de la barra.La segunda particularidad de la flexin transversal consiste en la existencia de tensiones normales en las secciones longitudinales de la barra, es decir, de tensiones que presionan las capas de la viga. Estas tensiones surgen solamente cuando la fuerza cortante es variable, y tienen una magnitud muy pequea (las zonas especiales donde se aplican las fuerzas concentradas no se analizan).As pues, dentro de los lmites fijados por estas suposiciones, las frmulas para la determinacin de las tensiones normales, son aplicables no solamente en la flexin pura, sino tambin en la flexin transversal. En la misma medida es aplicable tambin la frmula que nos da la relacin existente entre la curvatura de la barra y el momento flector.Calculemos ahora aproximadamente la magnitud de las tensiones tangenciales en la flexin transversal. La manera ms fcil de obtenerlas consiste en determinar las tensiones tangenciales reciprocas a estas que aparecen en los planos longitudinales de la barra.

Figura. 13 planos de longitudes de una barraSeparemos de la barra un elemento de longitud (fig. 13, a). En la flexin transversal, los momentos que aparecen en la seccin derecha e izquierda del elemento no son iguales, sino que se diferencian en la magnitud . Con una seccin horizontal longitudinal, trazada a la distancia de la capa neutra (fig. 13, b), dividimos el elemento en dos partes y analizamos las condiciones de equilibrio de la parte superior. La resultante de las fuerzas normales en la seccin izquierda correspondiente a la zona rayada F* es,

NOTA.- Las zonas especiales donde se aplican las fuerzas concentradas no se analizan.

Siendo , a diferencia de , la ordenada variable del rea elemental (fig. 13, b). Esta integral representa el momento esttico respecto al eje de la parte del rea que se encuentra por encima de la seccin longitudinal (superior al nivel de ). Designando este momento esttico por , obtendremos

La fuerza que se desarrolla en la seccin derecha ser ya diferente,

La diferencia entre estas fuerzas

Deber equilibrarse por las fuerzas tangenciales que aparecen en la seccin longitudinal del elemento (fig. 13, b y c).Admitimos como primera aproximacin que las tensiones tangenciales se distribuyen uniformemente a lo ancho de la seccin. Entonces,

De donde se obtiene

Esta frmula se denomina frmula de Zhuravski, cientfico ruso del siglo pasado que, por primera vez, investig en forma general las tensiones tangenciales en la flexin transversal.La expresin obtenida permite calcular la magnitud de las tensiones tangenciales que aparecen en las secciones longitudinales de la barra. Las tensiones que surgen en las secciones transversales son iguales a ellas por ser reciprocas. La relacin entre e dentro de la seccin transversal se determina por el momento esttico . Al acercarnos al borde superior de la seccin, el rea de la parte rayada de la seccin (fig. 13, b) disminuye hasta convertirse en cero. Aqu, por lo tanto . Cuando nos acercamos al borde inferior, la parte rayada ocupar ya toda la seccin , puesto que el eje es central, aqu tambin . As pues, como se deduce de la formula, las tensiones tangenciales en los puntos superior e inferior de la seccin son iguales a cero.En el caso de una barra de seccin rectangular de lados y (fig. 147, a) tendremos,

Y, por lo tanto,

Resultando que el diagrama de las tensiones tangenciales varia, en la altura de la seccin, segn una parbola cuadrtica. La tensin mxima ocurre cuando ,

4 MAQUETA DE DEMOSTRACIN DE ESTADO DE CARGA DE FLEXIN PURA.4.1 MATERIALES Madera Tornillos Pesos Pintura Clavos Triplex4.2 PROCEDIMIENTO La maqueta respectiva de las cargas de flexin pura empezamos tomando la idea de un trampoln de clavados para ello nos basamos en demostrar el principio de flexin pura primero procedemos armar la parte donde se realiza el clavado que llamaremos altillo esto lo realizamos de madera.Figura. 14 esquemas del trampoln de clavados Una tomada la formada del trampoln procedemos a pintarla para luego tomar una tabla triplex para realizar el esquema de tabla del salto y as poder demostrar el principio de flexin. Par despus tener terminado nuestro proyecto y proceder a explicar su funcionamiento4 CONCLUSIONESUna conclusin que llegamos es que en la flexin pura las tensiones en la seccin transversal varan linealmente.Nos dimos cuenta que en la parte central de la barra todas las formulas deducidas anteriormente sern vlidas y podrn considerarse exactas por se realiza o se trabaj con varias secciones geomtricas.En conclusin tambin llegamos que se quiere decir que la relacin entre las tensiones tangenciales mximas en la seccin transversal y las tensiones normales mximas es aproximadamente igual a la relacin entre la altura de la seccin y la longitud de la barra.Para determinar con la flexin transversal, es necesario analizar con varios ejemplos que nos ilustren las ideas para aplicar las formulas y teoremas encontrados en el estudio de la flexin pura.5 BIBLIOGRAFA[1] Hibbeler, R.C., Mecnica de Materiales, Prentice Hall. 3ra Edicin, Mxico, 1995.[2] Beer, F.P., Johnston, E.R., Mecnica de Materiales, Mc Graw Hill. 2da Edicin,Mxico,1998.[3] Mott, R.L. Resistencia de Materiales Aplicada, Prentice Hall. 3ra Edicin, Mxico,1998. [4] Nashif, A.D. Vibration Damping, Wiley Interscience, U.S.A., 1985.TA355/N3.8/1985.[5] Alejandro M. Mayori M. Resistencia de materiales aplicada Primera Edicin, Universidad San Andrs, La Paz Bolivia.