estadística para finanzas

8/16/2019 Estadística Para Finanzas

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ESTADÍSTICA PARA FINANZAS


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IMPORTANCIA

En el pasado, tratar gran volumen de datos era unatarea costosa y tediosa que exigía muchas horas detrabajo.

Hace como dos décadas, ya es posible estudiar, analizary obtener conclusiones de gran cantidad de datos con

un programa inform tico en un computador personal.

El computador contribuye grandemente en la difusi!n y

uso de los métodos estadísticos.


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NECESIDAD

"os programas inform ticos pueden conducir a unaautomatizaci!n que orienten a un individuo no preparadoa utilizar técnicas de forma inadecuada para resolver unproblema.

Es necesario así, una mínima comprensi!n de losconceptos de la estadística así como suposiciones parasu uso con criterio.


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OBJETIVO

En el an lisis de datos cuando se dispone de un conjuntode datos que son

. mediciones,

. observaciones,

. valores

#e busca conocer al menos las $ características básicas %

de esa colecci!n de datos.


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¿Cómo se puede hace !


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A"a#$%a"do da&os ' su co"c#us$o"es

E#&'()#&*+'

(E#+ *-&* '

E#&'()#&*+'

*/0E E/+*'"1rganizar y presentar datosen res2menes numéricos, tablas,

cuadros y gr ficos.

(escribe las principalescaracterísticas de un conjunto dedatos.

3en la poblaci!n o en la muestra4

+onjunto de métodos utilizados paraestablecer afirmaciones

probabilísticas acerca de unapoblaci!n a partir de una muestra

'naliza e interpreta los valoresestadísticos para extraer conclusionessobre la poblaci!n.

3s!lo en la muestra4


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P oduc$e"do da&os+enso 5uestreo egistro de datos

secundarios-oblaci!n

egistro de datossecundarios

5uestra

-roceso por elcual se registranobservaciones de

interés de 6toda7la poblaci!n enestudio.

-roceso por elcual se registranobservaciones de

interés de unaparte de lapoblaci!n enestudio llamadamuestra y quedebería serrepresentativa.

-roceso por elcual tomanobservaciones ya

registradas debases de datosdisponibles y queson apropiadas

para estudiar lapoblaci!n.

egistros de todala poblaci!n.

-roceso por elcual tomanobservaciones ya

registradas debases de datosdisponibles y queson apropiadaspara estudiar lapoblaci!n.

egistros deapenas unamuestra.


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8nivariada

9ivariada

5ultivariada

• /o agrupada• 'grupada• /o 'grupada

• 'grupada

ESTADÍSTIC

A

DESCRITIVA


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(#osa $o de &) m$"os


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Co"cep&os


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DATOS

Existen varias definiciones de 6data7, dos ejemplos acontinuaci!n;

Hechos, conceptos o derivados de forma que puedanser comunicados e interpretados. 3p. alland 3?@AB4.

Hechos en bruto que pueden ser modelados y formadospara crear informaci!n 3p.?C4, "audon and "audon 3?@@?4.

'unque las definiciones no son iguales, la mayoría coincide enque son un paso previo para la obtenci!n de informaci!n.


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ESTADÍSTICA

#e la conoce como una ciencia o disciplina que incluye un conjuntode técnicas que permite, de forma sistem tica o no, organizar,resumir, modelar, describir, analizar e interpretar datos originales deestudios o experimentos, realizados en cualquier rea delconocimiento.


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ESTADÍSTICA B*SICA

#e puede dividir en tres reas;

• Estadística (escriptiva,

D *nferencia Estadística y

D -robabilidad


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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA


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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA


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En resumen, se busca entender $ +a D$s& $,uc$ó"% delconjunto de los valores de los datos.

(!nde caen a lo largo del eje de medici!nF

Gué clase de patr!n formanF

+u les son los cuartiles de la distribuci!n F 3a lo largode la escala de observaci!n4

'lguna de esas observaciones son discrepantes delrestoF 3caen muy lejos de la mayoría4

#e repiten esos valoresF


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+u l es la densidad o concentraci!n relativa de lasobservaciones en diversos intervalos a lo largo dela escala de medidaF

"a data se acumula al medio de su rangoF"a data se acumula en uno de los términosF

"a data se acumula en varios lugaresF

"a data est simétricamente distribuidaF


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POR EJEMP+O-

-ara todos los estados de 8#', acerca del -roducto/acional 9ruto, se desearía preguntar;

. +u l es un valor $promedio%, $central% o$típico% del

conjunto totalF. +u n dispersa est la data alrededor del$centro%F

. +u n lejos del $valor típico% est n los $valores m sextremos%, tanto los altos como los bajosF

. Gué fracci!n de los n2meros son menores que $elvalor% de para un Estado en particularF


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No&ac$ó" po,#ac$o"a# .smues& a#

Med$da Po,#ac$o"a# Mues& a#5edia

arianza

(esviaci!n est ndar -roporci!n

&otal


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Med$das de &e"de"c$a ce"& a#

' de pos$c$ó"Da&osNo a/ upados


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Med$das de Te"de"c$a Ce"& a#

(efinici!n general;

#on aquellas medidas que ubican el centro de unadistribuci!n o de un grupo de datos y reciben el nombre demedidas de tendencia central.

#e utilizan cuando se est interesado en estadígrafos querepresenten valores centrales en torno a los cuales se agrupan

las observaciones o datos.


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5edia 'ritmética5ediana5oda5edia >eométrica5edia 'rm!nica


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; alores que toma la variable

n ; /2mero deobservaciones

Med$a A $&m)&$can

∑ x i x = i =1n xi

P op$edades-a4 &odos los valores de la data est n considerados e incluidos en el

c lculo de la media aritmética.b4 Existe una 2nica media aritmética para un conjunto de datos.c4 "a suma de las desviaciones alrededor de la media es igual a cero.d4 Es sensible a los valores extremos.e4 8sa toda la informaci!n disponible sobre las observaciones.f4 5atem ticamente es f cil trabajar con ella.


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E0emp#o-

; valores que toma una variable

; n2mero de observaciones

xi

n

n 20

-romedio de la edad de las BI personasn

M = X = i=1

= 45 + 41 + ... + 45 + 37

= 43.5

∑ xi


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valores observados

pesos asociados a cada observaci!n

Med$a po"de ada--ara superar la influencia de los valores extremos en elc lculode la media se utiliza la med$a po"de ada .

k

x = ∑ w i x i

= w1 x1 + w 2 x 2 + .... + w n x n

i =1

x 1 , x 2 , , . . . . , x n

w 1 , w 2 ,....,w n

= 1n

∑ w ii=1


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E0emp#o-

En una empresa de producci!n se tienen los siguientesdatos; el sueldo promedio de

los empleados es de

#J.B


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Med$a &o&a#-

Es un promedio ponderado en el cual la ponderaci!n est determinadapor el n2mero de elementos de cada grupo. #e utiliza cuando sedesea hallar un promedio de promedios cuando se tienen M gruposdiferentes.

k

k

K

T

n∑ i ∑n i x i x

n + n + ... + n

n x + n x + ... + n x21

i=1

= i=1 = 1 1 2 2 k k


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E0emp#o-En una central telef!nica se recibieron,

entre las @ a.m. y las ?I a.m. =I llamadas con unaduraci!n menor a K minutos, cuyo tiempo promedio fuedeB.C minutosN


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P op$edades de #a med$a-

?4El promedio de una constante es la misma constante;

M (b) = b, b es una cons tan te

B4#i a todos los valores de una conjunto de datos se lesuma o resta una constante +, entonces la mediaquedar sumada o restada por esa misma constante;

Si Y = X ± b ⇒ M (Y ) = M ( X )± b


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K4#i a todos los valores de una conjunto de datos losmultiplicamos por una constante a, entonces el promedioquedar multiplicado por ese mismo valor.

Si Y = a X ⇒ M (Y ) = a M ( X)

C4#i consideramos las dos 2ltimas característicastendremos que; 3a y + son constante numéricas4

Si Y = aX ± b ⇒ M (Y ) = aM

( X ) ± b

P op$edades de #a med$a-


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Ca ac&e 1s&$ca de #a med$a a $&m)&$ca

?4 Es la medida de tendencia central m s conocida y utilizada.

B4#e calcula tomando en cuenta la magnitud de todos y cada unode los datos.

K4Es sensible a valores extremos, tienden a sesgarla o desplazarlahacia esos extremos, -or lo que no es representativa para

datos con estas características.

C4Es una medida 2nica, es decir para una grupo de datos, existeuna sola media.


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Med$a"a 4Me3Es aquel punto o posici!n en la escala de la variable que divide a

los datos en dos grupos con igual n2mero de observaciones#e tienen los siguientes datos;

1rdenados del siguiente modo;

entonces;

X 1 , X 2 , , X n

X (1) ≤ X (2 ) ≤ ≤ X (n )

si n es par

X + X

si n es

impar

n n +12

2

2 X n+1

2

Me = 1


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Med$a"a 4Me3

a48na distribuci!n tiene una 2nica mediana.

b4 "a mediana no est afectada por valores extremos.

c4/o usa toda la informaci!n sobre el tama:o y magnitud de lasobservaciones, tan solo su posici!n relativa en lasobservaciones ordenadas.

d4#u c lculo es m s complejo, pues requiere ordenar previamente lasobservaciones de menor a mayor y determinar si el tama:o de lamuestra es par o impar 3es menos manejable matem ticamente4.


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Ca ac&e 1s&$ca de #a Med$a"a"e sigue en importancia a la media aritmética, como medidade tendencia central./o es sensible a valores extremos, por eso se recomiendausarla en distribuciones asimétricasEs una medida 2nica, es decir, para una grupo de datos, existesolouna mediana."a mediana puede ser calculada en cuadros de distribuci!ncon intervalos"a suma de las desviaciones absolutas de las observacionesconrelaci!n a la mediana es mínima;El c lculo de la mediana es independiente de la magnitud delas observaciones.

ó − ∞,b][

a ,∞

minima X i − Me esn

∑i=1


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Moda 4Mo3

I,C


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Med$a a mó"$ca

#e emplea cuando lo que se quiere promediar son razones,donde los numeradores son los mismos para todas las razonespero los denominadores son diferentes.

azones; son ratios que muestran comparaciones o indican unadivisi!n;

#e utiliza para algunos c lculos como el costo promedio delas acciones adquiridas a lo largo del tiempo.

E0emp#o;-oblaci!n por Mil!metro cuadrado, ingreso perPcapita,unidades producidas por hora, etc.

3 4an

i∑ xn

x a =

i =11


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Pe ce"&$#es 5 Cua"&$#es#on medidas descriptivas que permiten dividir, distribuir o subP

clasificar los datos, a uno y otro lado en porcentajes dados,una vez ordenados y clasificados.

100 2

k n + 1k P =

X -ercentil M


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Pe ce"&$#es 5 Cua"&$#es-ercentiles con que ocasionan divisiones

particulares

4 2 k n + 1

Qk = X

10 2 k n + 1

k D = X

100 2 k n + 1

k P = X

MPésimo cuartil de un total de K

MPésimo cuartil de un total de @

MPésimo cuartil de un total de @@


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Pe ce"&$#es 5 Cua"&$#esEjemplos;

4 2

1 1n + 1Q = X

10 2

3 3n + 1

D = X

100 2

70 70 n + 1

P = X

primer cuartil de un total de K

tercer decil de un total de @

percentil =I de un total de @@

"a med$a"a divide la distribuci!n en la mitad."os cua &$#esdividen la distribuci!n en cuartos."os 6u$"&$#esdividen la distribuci!n en quintos."os dec$#esdividen la distribuci!n en décimos."os pe ce"&$#esdividen la distribuci!n en centésimos.


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Pe ce"&$#es 5 Cua"&$#es

-ara determinar la posici!n de una observaci!n en un percentil6y7 donde 6n7 datos son ordenados ascendentemente, se utiliza lasiguiente f!rmula;

100 y

y L = (n+1)


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Cómo de&e m$"a #a pos$c$ó" de u" pe ce"&$#-y es el valor por debajo del cual cae el y% de la distribuci!n, o el y-ésimo percentil. -ara 6n7 observaciones ordenadas ascendentemente,la posici!n "y del y-ésimo percentil -y es;

100

y L y = (n+1)

#i "y Q entero, la localizaci!n corresponde a una observaci!n.

#i "y R entero, la localizaci!n cae entre los dos enteros m s cercanos3por encima y por debajo4, y se debe utilizar la interpolaci!n linealpara hallar -y.


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Med$a (eom)& $ca ( X g )

x g X 1 X 2 . . . X n= n

"a media >eométrica de los n2meros X 1, X

2,..., X

nse calcula mediante la siguiente f!rmula;


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01 58"' ?; 0actor de crecimiento promedio3+uando s!lo se tienen los factores de crecimiento4

... x g F 1 F 2 F t = t t ; /2mero de periodos transcurridos

F t ; 0actor de +recimiento en el periodo t con respecto al periodo tP?


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#e utiliza con frecuencia para calcular el retorno de unainversi!n en m2ltiples periodos o cuando se miden ratios decrecimiento compuesto.

-ara calcular la media geométrica de una serie de retornosse debe sumar 6?7 a cada valor, y luego restarle 6?7 alresultado;

= n ! g (1+ ! 1 )(1+ ! 2 )... (1+ ! n ) −1

01 58"' ?; 0actor de crecimiento promedio


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"as aplicaciones m s comunes de esta medida est ncuando se tienen variables que cambian a través deltiempo.

siguientes f!rmulas+onsiderando esto tendremos laspara calcular la media geométrica;


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01 58"' B; 0actor de crecimiento#e calcula a partir de la siguiente expresi!n;

; alor de la variable en el periodo t

t

−1

t X X t F =

X t

X t −1 ; alor de la variable en el periodo tP?


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No&a-#i 0+S?, quiere decir que el valor de la variablese incremento.

#i 0+T?, quiere decir que el valor de la variabledisminuy!.

#i multiplicamos el 0actor de +recimiento por?II,entonces este quedar expresado en porcentaje.

"a media geométrica en el factor decrecimiento promedio, de la variable enestudio, a través del tiempo.


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01 58"' K; 0actor de crecimiento promedio3+uando solo se tiene la cantidad del periodo inicial yla cantidad del periodo final4

; alor de la variable del periodo inicial

; alor de la variable del periodo final

t ; /2mero de periodos

X

X " x g 0=

t

X "

X0


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Tasa de C ec$m$e"&o 4TC3+uantifica la variaci!n de una variable a través deltiempo. "as tasas de crecimiento pueden seranuales, mensuales, semanales, etc.

#e calcula a partir del 0+ del siguiente modo;

&+t = 0+ t −1

T t % = F t % −100%

-or ejemplo si el 0+Q?.KO, entonces la &+QI.KO, es decirla variable se increment! en I.KO 3o la variable se

increment! en un KOL4


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+omo la media geométrica es el 0actor de+recimiento promedio, entonces &asa de crecimientopromedio , que ladenotaremos como r ser ;

Es decir si tengo una media geométrica de ?.O< 3! ?O


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• "a media geométrica representa la tasa de crecimiento o tasa de retornocompuesta de una inversi!n. Es 2til en el an lisis de rentabilidad de unainversi!n en un horizonte de varios períodos.

• "a media aritmética es de interés para medir el desempe:o promedio en unsolo período.

Med$a /eom)& $ca 7 Med$a a $&m)&$ca

D ' mayor dispersi!n de los datos, mayor diferencia entre estas dos medidas.#!lo son iguales cuando todas las observaciones son iguales.

D -ara valores diferentes,

Med$a ha mó"$ca 7 Med$a /eom)& $ca 7 Med$a a $&m)&$ca

D "a media harm!nica es apropiada para promediar ratios cuando éstos sonaplicados repetidamente a una monto fijo para producir una cantidad variablede unidades. -or ejemplo, el beneficio de invertir cada mes o cada semana elmismo monto de d!lares para la compra de cuotas de un fondo mutuo

36costo promedio74.


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Med$das de d$spe s$ó"

(ispersi!n es la variabilidad alrededor de la tendencia central.

"a dispersi!n es una medida del riesgo .

D$spe s$ó" a,so#u&a89Es el monto de variabilidad observadasin

compararlo con ning2n punto de referencia.

"as medidas de dispersi!n absoluta m s comunes son; elrango, desviaci!n absoluta de la media, varianza y desviaci!nest ndar.

D$spe s$ó" e#a&$.a89Es el monto de variabilidad con relaci!n aun punto de referencia .

"as medidas de dispersi!n relativa m s comunes son;

el coeficiente de variación y el ratio de Sharpe .


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Med$das de d$spe s$ó"ango

ango intercuartílico(esviaci!n absoluta de la media

arianza

(esviaci!n est ndar #emivarianza y semidesviaci!n+oeficiente de variaci!n

atio de #harpe 'simetría+urtosis

(esigualdad de +hebyshev


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Ra"/oEl ango es una medida de variabilidad o (ispersi!n. Es la diferencia

entre el alor 5 ximo y el alor 5ínimo de las observaciones.

-uede resultar una informaci!n distorsionada del comportamiento de lavariaci!n.

! = X max − X min

Ra"/o $"&e cua &1#$coEs una medida que mantiene la idea del rango pero no es influenciado porlos valores extremos. El ango *ntercuartil mide la dispersi!n de la mitad3


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n

∑ X i − X D$M=

i=1

n

Des.$ac$ó" a,so#u&a med$a35ean 'bsolute (eviation P 5'(4

Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones deobservaciones individuales respecto de la media aritmética.

$ $ $


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Po,#ac$o"a#; % i∑ 2( X − µ

)σ 2 = i=1 %

Va $a"%a ' des.$ac$ó" es&:"da Es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto de la mediaaritmética.

Mues& a#;n

∑ i( X − X)2

s 2 = i=1n

'l calcular la varianza muestral se utiliza 6nP?7 como denominadordebido a que se mejoran las propiedades estadísticas de s B.En términos estadísticos, s B es un estimador insesgado de UB ."a cantidad 6nP?7 representa los grados de libertad al estimar lavarianza poblacional ya que cuando se calcul! la media, solo quedaron6nP?7 desviaciones independientes respecto de la media.

$ $ $d $ $ó


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Sem$.a $a"%a ' sem$des.$ac$ó"

X

Estas mediciones nacen de la preocupaci!n de los inversionistas pormedir el riesgo de los retornos que se encuentran por debajo de lamedia.#e calculan considerando solo las observaciones que son menoresque la media.

Coe;$c$e"&e de .a $ac$ó"5ide cu nta dispersi!n respecto de la media existe en una distribuci!n.-ermite la comparar de forma directa diferentes conjuntos de datos.

En inversiones el CV mide el riesgo por unidad de retornoesperado3media4.

& =S X

R &$ d Sh


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Ra&$o de Sha pe5ide el exceso de retorno por unidad de riesgo.

Es utilizado para medir la performance de inversiones.9asado en informaci!n hist!rica de los retornos, el ratio#harpe de un portafolio se define como;

ο p !atio 'e S(arpe = r p − r "

donde;

Q retorno del portafolio

Q retorno libre de riesgo

r pr "

ο p Q desviaci!n est ndar de los retornos del

R &$ d Sh


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Ra&$o de Sha pe

"os inversionistasdecisiones basados

adversos al riesgo que tomanen el retorno promedio ysudesviaci!n est ndar prefererir n portafolios con

ratios de #harpe mayores.

+$m$&ac$o"es;

*nterpretaci!n de ratios de #harpe negativos.

un aspecto del riesgo; la#olo considerasolo desviaci!nest ndar.

A $ & 1


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As$me& 1a8na distribuci!n simétrica es aquella que mantiene la

misma forma a ambos lados de la media.El sesgo describe el grado de asimetría de una distribuci!ncon relaci!n a su media.

s 3S

K

∑( X i − X )

n = (n −1)( n − 2)

-ara 6n7 muy grandes la expresi!n se reducea;

s 3S K ∑( X i − X )

n≈ 1

+omo referencia, para un muestra de ?II observaciones a m s,un sesgo de V I.< es alto.

A $ & 1


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As$me& 1a(istribuci!n simétrica PPS #W Q I

(istribuci!n con sesgo positivo 3hacia la derecha4 PPS #W SIModa < Med$a"a < Med$a

(istribuci!n con sesgo negativo 3hacia la izquierda4 PPS #W TI

Moda = Med$a"a = Med$a

C & $


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Cu &os$s5ide si una distribuci!n es m s o menos puntiaguda que unadistribuci!n normal y provee de informaci!n sobre la probabilidadde resultados extremos.

+ep&oc> &$ca.P (istribuci!n m s puntiaguda 3y con colas m sgordas4 que una distribuci!n normal.P#a&$c> &$ca.P (istribuci!n menos puntiaguda que una

distribuci!n normal.Mesoc> &$ca.P (istribuci!n idéntica 3en curtosis4 a la normal.

"a curtosis de una distribuci!n normal es igual a

K. El exceso de curtosis se mide como; curtosis P

K.

8n exceso de curtosis S ? en valor absoluto se

C & $


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24

− 3

(n − 2)( n − 3)

(n−1)

s 4

( X − X)(n −1)( n − 2)( n −

3)

n(n+1) K =

n

∑ ii=1 )

Cu &os$sEl exceso de curtosis en una muestraes;

4

4

s

( X − X)

n K ≈ 1

n

∑ ii=1 )

-ara 6n7 muy grandes la expresi!n se reducea;

• "eptoc2rtica PPS WE S I

D -latic2rtica PPS WE T I

D 5esoc2rtica o /ormal PPS WEQ I

D $/ #d d d Ch ' h


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Des$/ua#dad de Che,'she."a desigualdad de +hebyshev declara que la proporci!n de las

observaciones dentro de M desviaciones est ndar de la media esal menos ? X ?JMB para todo M S ?7.

#eg2n esto, para cualquier distribuci!n se cumple;• KOL de las observaciones caen en un intervalo de V ?.B< desviaciones

est ndar.•


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k 2 P ( * ≥ k )≤ 1

σ * = ( X − µ )

(onde;

Des$/ua#dad de Che,'she.

#ea una variable aleatoria con media

µ y varianza σB finita.-ara cualquier MSI 3positiva4 se verifica;

k 2 P ( * ≤ k )≤ 1 −1

2k P ( µ − k σ ≤ X ≤ µ + k σ )≥ 1 −1

D $/ #d d d Ch ' h


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Des$/ua#dad de Che,'she.Ejemplo;

1btener cu l es la probabilidad m xima de que una variablealeatoria difiera de su media en al menos B,K,C y < veces ladesviaci!n típica

#i MQB -Y| Pµ| ≥ Bσ Z≤ ? JBB -Y| Pµ| ≤ Bσ Z≥ ?P? JBB

#i MQK -Y| Pµ| ≥ Kσ Z≤ ? JKB -Y| Pµ| ≤ Kσ Z≥ ?P? JKB#i MQC -Y| Pµ| ≥ Cσ Z≤ ? JCB -Y| Pµ| ≤ Cσ Z≥ ?P? JCB#i MQ< -Y| Pµ| ≥


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Des$/ua#dad de Che,'she.

#i MQB

#i

MQK

-Y| Pµ| ≤ Bσ Z≥ ?P? JBB

-Y| Pµ| ≤ Kσ Z≥ ?P? JKBal menos el

=< L al menos el

A@ L

Co a $a"%a


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Co.a $a"%a"a varianza y ladesviaci!n

est ndar sonmedidas dedispersi!n ovolatilidadde una variable.En finanzas, interesa conocer c!mo dos variables aleatorias se comportancon relaci!n a la otra, por ejemplo en el caso de los retornos de dosinversiones."a covarianza y la correlaci!n son medidas que proveen de informaci!nmuy 2til.5ide c!mo una variable aleatoria se mueve respecto de otra variablealeatoria.Es el valor esperado del producto de las desviaciones est ndar de las dosvariables aleatorias respecto de sus valores esperados.

#e expresa;

i + i i + +o, ( ! , ! )= ) [( ! − ) ( ! ))( ! − ) ( ! ))] ! i !

+

etorno de la inversi!n i

etorno de la inversi!n j

Co a $a"%a


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Co.a $a %a

Po,#ac$ó"

Mues& a

%

% ∑i=1 X ,

Y

( X i − µ )(Y i − µ )

o, ( X ,Y ) = σ =

∑n−1

( X − X )(Y − X )o, ( X ,Y ) = S =

n

i=1

ii X ,

Y

Co a $a"%a


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Co.a $a %a

PROPIEDADES

?. epresenta el mismo concepto que la varianza.

B."a covarianza de una variable aleatoria consigo misma es su propia varianza.

K.El rango de la covarianza puede extenderse desde P[ hasta \[.

C.+ov3 i, j4 S I PP El retorno de ambas inversiones tiende a ir en el mismosentido 3por encima o debajo4 de sus valores esperados.


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Co e#ac$ó

5ide el movimiento conjunto 3relaci!n lineal4 entre dos

variablesaleatorias.

Esta medida hace m s f cil la interpretaci!n de la

covarianza. #e expresa;

o, ( ! !

) i +

σ ( ! i )σ ( ! +)

ρ ( ! , ! )= ρ =i +

i +

Co e#ac$ó"


79/174

Co e#ac$ó

PROPIEDADES

?.5ide la fuerza de la relaci!n lineal entre variables aleatoriasB./o tiene unidades

K.#u rango es P? ] ^ 3 i, j4 ] ?

C.#i ^ 3 i, j4 Q ? PP las variables tienen correlaci!n positiva perfecta,es decir, el movimiento de una variable resulta en un movimiento de laotra en el mismo sentido y en la misma magnitud respecto de su media.


80/174

Co e#ac$ó

AP+ICACI?N

-ara un portafolio de 6n7 activos donde 6_i7 es el peso de cada activoen el portafolio.El valor esperado de los retornos puede determinarse como;

n

n

&ar ( ! P )= ∑ ∑wi w + o, ( ! i , ! +

) i=1

) ( ! P )= w1 ) ( ! 1 )+ w2 ) ( ! 2 )+ + wn ) ( ! n )= ∑wi ) ( ! i)

i=1

"a varianza de dichos retornos se determina mediante;

Ap#$cac$ó"


81/174

Ap#$cac$ó


82/174

Med$das de pos$c$ó"

Da&osA9/ upados

Med$a


83/174

Med$a

o

M ; n2mero de intervalos de clase; marca de clase

; 0recuencia absoluta simple

n ; /2mero de datos

k

∑ xi " i x = i=1

n

xi (i

x =k

∑i=1

xi " i

; 0recuencia relativa simple

xi

( i

k

∑( xi − x ) " i = 0i=1


84/174


85/174

+uando no se tienen las frecuencias absolutas, se puedeutilizar la siguiente f!rmula, con frecuencias relativas;

; 0recuencia relativa acumulada anterior al intervalomediano

; 0recuencia relativa simple del intervalo mediano

i

(onde;

i (0 . 5 − -

M e = L

+ ci −1

- i−1

( i

¿Cómo u $ca e# I"&e a#o Med$a"o!


86/174

¿Cómo u,$ca e# I &e .a#o Med$a o!

El intervalo mediano 3o clase mediana4 es el primer intervalocuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o mayor a lamitad de observacionesN o también es el primer intervalo cuyafrecuencia relativa acumulada sea igual o mayor al valor I.<3


87/174

Moda 4Mo3

"a 5oda es el valor obtenido de la tabla de frecuencias, que se repitem s frecuentemente en un conjunto de datos agrupados, seencuentra en el intervalo con mayor frecuencia.

I"&e .a#o moda#Es aquel intervalo cuya frecuencia absoluta simple es mayor, o esaquel intervalo cuya frecuencia relativa simple es mayor.

Moda


88/174

Moda

- "ímite inferior de la clase modal

; 'mplitud de la clase modal; 0recuencia absoluta simple anterior a laclase modal 3 0recuencia prePmodal4

; 0recuencia absoluta simple de la clasemodal

1

' 1 + ' 2

' Mo = L + c

i 1 i i

−1

= " i − " i +1' 2' = " − " 'on'e

:

L i

c " i−1

" i

" i +1 ; 0recuencia absoluta simple posterior a laclase modal 3frecuencia postmodal4

Ca ac&e 1s&$cas de #a Moda-


89/174

Ca ac&e 1s&$cas de #a Moda

En una curva de distribuci!n de frecuencias representa el

punto m s alto de esta./o es afectada por valores extremos.El c lculo de la moda es independiente de la magnitud delas observaciones./o es 2nica, para un grupo de datos la moda puede no

existir, existir y ser 2nica o existir y no ser 2nica3distribuciones multimodales4En datos agrupados, puede calcularse cuando existenintervalos de clase de la forma;

−∞,b][

a , ∞ó

Re#ac$o"es e"& e #a med$a #a med$a"a ' #a moda


90/174

Re#ac$o es e & e #a med$a #a med$a a #a moda

En una distribuci!n simétrica;

x = Me = Mo#i en una distribuci!n unimodal se cumple que;

x < Me < MoEntonces la distribuci!n ser asimétrica negativa3tiene sesgo o cola hacia la izquierda4

#i en un distribuci!n unimodal se cumple que; x > Me > Mo

Entonces la distribuci!n ser asimétrica positiva3tiene un sesgo o cola hacia la derecha4


91/174

-ara distribuciones unimodales asimétricas se tiene lasiguiente relaci!n empírica;

x − Mo ≅ 3( x − Me)

Med$a a mó"$ca 5 da&os a/ upados


92/174

i

x i

" n x a = k

∑i =1

$ $ p

Pe ce"&$#es 4P3


93/174

Pe ce &$#es 4P3

k = 1,2,...99

nk − F " i

k −1

P k = Li + c 100

" i ; "ímite inferior de la clase percentílica0 iP?; 0recuencia absoluta acumulada del *ntervalo prePpercentílicof i ; 0recuencia absoluta simple del intervalo percentílico

c ; 'mplitud de clase del intervalo percentílicon ; /2mero de datos


94/174

0!rmula alternativa 3con frecuencias relativas4

HiP?; 0recuencia relativa acumulada anterior alintervalo percentílico.h

i; 0recuencia relativa

simple delintervalo percentílico

k = 1,2,...99− - k

+ c 1 0 0 ( ik −1 P k = L i


95/174

( a;$cos

$ (i d l


96/174

$ (iagrama de -astel

$ (iagrama de 9arras$ (iagrama de 9astones

$ (iagrama de 0recuencia

$ (iagrama de +ajas 39ox -lot4

$ (iagrama de &allos y Hojas

$ Histogramas

$ (iagramas temporales


97/174


98/174

M TODOS (RAFICOS PARA ANA+IZAR DATOS


99/174

(

5uchas respuestas pueden ser obtenidas de un estudio

minucioso al presentar la data en una tabla, sinembargo, muchas preguntas distribucionales sondifíciles de responder desde una tabla.

Hay métodos gr ficos nuevos y métodos gr ficosconocidos antiguos.

'lgunos métodos gr ficos pueden ser elaborados amano y otros necesitar n un programa decomputadora.

En diversas situaciones, un conjunto de datos grande opeque:o puede analizarse s!lo a través de métodos

gr ficos que pueden ser m s reveladores.

MOTIVOS PARA ANA+IZAR DATOS CON (RAFICOS


100/174

Existen diversos motivos para la isualizaci!n gr fica;?.P egistrar y guardar data en forma compacta.

B.P +omunicar informaci!n a otros.

K.PA"a#$%a u" co"0u"&o de da&os pa a co"oce m:sace ca de su es& uc&u a8

D$a/ ama de Pas&e#


101/174

$

El Pastel o Torta representa la totalidad de las unidades ycada división de la torta es la frecuencia, proporci!n o

porcentaje de una categoría o valor de una variablecualitativa o cuantitativa respectivamente.

&razo de pastel con ` de los ítemsteniendo la misma propiedad

&razo de pastel con =JA de los ítemsteniendo la misma propiedad

-ara variables cualitativas o categ!ricas

y a veces cuantitativa categorizada

D$a/ ama de Ba as


102/174

variables cualitativas o categ!ricas

a veces cuantitativas categorizadas

#on gr ficos en barras de porcentajes , proporciones ofrecuencias de cada categoría de los ítems.

"a altura de cada barra es el porcentaje, proporci!no frecuencia de ítems en cada categoría.

El ancho de las barras no tiene significado pero debeser

el mismo para todas las categorías.

D$a/ ama de Ba as


103/174

D$a/ ama de Ba as

(e una muestra de BI personas,en un estudio médico de presi!nsanguínea, se analiza la proporci!n

del género objeto del estudio.

#e observ! que A de lospacientes, CIL de los analizados,eran mujeres mientras que ?B de

ellos, es decir, OIL eran hombres.


104/174


105/174

( :;$cos de d$spe s$ó"

variable cuantitativa continua

D$a/ ama de


106/174

D$a/ ama deCa0as o

Bo P#o& svariables cuantitativas continua

+uando el an lisis exige conocer medidasestadísticas , el box -lot es un método de

resumen gr fico de estas medidas.

El 9ox -lot ofrece una r pida impresi!n deciertos detalles prominentes de la

distribuci!n de la variable.

Bo P#o&;


107/174

Bo P#o&;"a mediana , muestra el centro o localizaci!n de

la distribuci!n.

"a dispersión del grueso de la data 3del


108/174

Bo P#o&;


109/174

Bo P#o&;"os valores fuera de las líneas punteadas, no

necesariamente son outliers.

+ualquier outlier siempre caerá fuera de laslíneas

punteadas del 9ox -lot.

Bo P#o&;


110/174

Bo P#o&;El 9ox -lot permite una evaluaci!n parcial de la

simetría de la distribuci!n.#i la distribución es simétrica , el 9ox -lot es

simétrico respecto de la mediana,

"a mediana corta la caja por la mitad .

"as líneas punteadas superior e inferior sonaproximadamente de la misma longitud.

"os puntos fuera de las líneas punteadas soniguales en n2mero y simétricamente

colocados.

"a distribuci!n es simétrica F


111/174

-odría existir asimetría en la data y el 9ox -lot no

llegue a revelarla.En general, el 9ox -lot ofrece una buena

indicaci!naproximada.

Bo P#o&;


112/174

"a primera parte de la caja a 4 G H3,

"a segunda parte de la caja a 4 H 3

El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades 4 m1" G3

El bigote de la derecha viene dado por 4 m: 3.


113/174

Bo P#o&;


114/174

>r fico en resumen

E0e c$c$o


115/174

• 9uscar un conjunto de datos cuantitativos para unavariable

D +alcular todos los estadísticos del (iagrama de +ajas

D *nterpretar los estadísticos de acuerdo a la naturaleza dela data

$s&o/ ama;


116/174

-ara variables cuantitativas discretas o continuas

Es el diagrama m s utilizado por técnicos y no técnicos.

Es la partici!n del rango de los datos en varios intervalosde igual longitud.

+ontar el n2mero de observaciones en cada intervalo ygraficar los conteos como longitudes de barras en un

histograma.

$s&o/ ama;


117/174

$s&o/ ama;


118/174

$s&o/ ama;


119/174

Ta##os ' o0as;


120/174

El (iagrama de &allos y Hojas es un diagrama híbrido entre una tabla yun gráfico .

5uestra n meros apilados y a la vez se muestra como una figura .

Es una forma compacta de registrar la data . -odría reducirla representaci!n a por ejemplo la mitad de dígitos.

Es como un histograma apoyado de lado .

-ara variables cuantitativas discretas ocontinuas

E0emp#o;


121/174

En la presente base de datos

de !á"imas Concentracionesde #$ono %iarias en #tanford+onnecticut, hay &'( dígitos .

+on el diagrama de &allos yHojas se puede representarcon tan solo ')* dígitos .

'dem s, se puede apreciarvisualmente un comportamientogr fico.

E0emp#o;


122/174

Co"s$de adocomo u"h$s&o/ ama&$e"e #o"/$&udde $"&e .a#os$/ua# a G 8

E0emp#o;"a data de ozono es asimétrica.


123/174

a data de ozono es asimétrica.

"a mayor parte de los días en#tanford, tuvieronconcentraciones m ximas deozono entre KI y @I ppb.

Existe una leva contracci!n de

ocurrencia alrededor de los


124/174

En ocasiones, la data es tan abundante que podría graficarse en doso m s tallos, para que las gr ficas muestren mayores detalles.

En estos casos, se puede alterar la longitud de los

intervalos. +onsiderar s!lo los datos de ozono entre OI y A@

ppb

P $me a ;o ma.P Hay muy pocasfilas como para que el diagramasea informativo.

Se/u"da ;o ma .P +ada tallo tiene dos filas."a primera es para las hojas del I al C."a segunda es para las hojas del < al @."a longitud del intervalo es


125/174

Te ce a ;o ma.P +ada tallo tiene cinco filas."os paréntesis son para recordar quéhojas 3dígitos4 ir n en cada tallo.

"a primera fila es para las hojas del I al

?. "a segunda es para las hojas del B al

K.

"a longitud del intervalo es B.

Ta##os ' o0as;


126/174

Es posible, seg2n la necesidad;

• 5ultiplicar por alguna potencia de ?I para facilitar laelaboraci!n del diagrama.

D &runcar la data

D &ransformar la data

• +ambiar la longitud de los intervalos

D "as hojas pueden ser de un dígito, de dos dígitos,etc.

D #e pueden elaborar diagramas de &allos y Hojas condata no ordenada 3las hojas no ser n ordenadas dentro


127/174

Fo mas D$s& $,uc$o"a#es

variables cuantitativas discretas ocontinuas

FORMAS DISTRIB@CIONA+ES;


128/174



129/174



130/174

D$s& $,uc$ó" No ma#


131/174



132/174



133/174


134/174

D$s& $,uc$ó" &9S&ude"&


135/174

I";e e"c$a


136/174


137/174

Mues& eo


138/174

I"&e .a#os de co";$a"%a


139/174



140/174



141/174


142/174

Re#ac$ó" e"& e dos a $a #es


143/174

Re#ac$ó e & e dos .a $a,#es

Esteestudio est dirigidoo entre

a descubrir lasdosrelaciones entre dos variables

conjuntos de observaciones.

"os datos usados para describir la

relaci!n entre dos variables son llamadosbivariantes.

Re#ac$ó" e"& e dos .a $a,#es


144/174

#eguir los siguientes pasos;egistrar n observaciones de B variables, una dependiente

de la otra.+onstruir el gr fico !iagrama de !ispersión de los !atos

3#catterplot4. 'nalizar y decidir si es posible resumir la relaci!n de las dosvariables con un modelo simple.

(esarrollar un 5odelo de egresi!n "ineal para predecir elvalor de una variable a partir del valor de la otra variable.

(iscutir la correlaci!n que mide la fuerza 3validez,intensidad4 y direcci!n de la relaci!n lineal entre las dosvariables.

A#/u"as .a $a,#es co" asoc$ac$ó"


145/174

Variable respuesta Variable e"plicatoria

'ltura de una persona-eso

'ltura de uno de los padres o la edadEdad, -eso promedio de los padres, etc.

-resi!n sanguínea

Examen semestral 3nota4

Edad, -eso, etc.

Examen anterior semestre 3nota4(emanda de un producto (emanda anterior, precio, peso, nro de competidores, etc.

E0emp#o-


146/174

; /otas del Examen 0inal 3variable respuesta4

; /otas del Examen -arcial 3variable explicativa4

E0emp#o

#ean dos variables cuantitativas; Examen -arcial y Examen 0inal .

#e desea analizar la relaci!n entre las notas del ex men parcial y lasnotas del examen final de un curso.-odría utilizarse un modelo que podría para predecir la nota delExamen final para un estudiante de quien ya se conoce sucalificaci!n del Examen parcial.

stas dos notas son las variables cuantitativas.

y

x

ue emos espo"de -


147/174

.a $a,#e Qse

¿Cómo sa,e s$ #apuede esc $,$ como u"a ;u"c$ó"#$"ea# de #a .a $a,#e ! o

Mode#o de Re/ es$ó" S$mp#e-

Y = a + bX

E0emp#o- &a,#a de da&os o .a $a,#esd$

No&as No&as Q variable respuesta


148/174

Es&ud$a"&e N e ame";$"a#

e ame"pa c$a#

? K@ OBB CC O@K KB OAC CI AO< C< AA,<O CO AA,<= KK =OA K@ OO,<@ KB,< =<

?I B? KA?? KI =??B K@ AA?K CC @O,<?C BA,< =?,<?< KA @O?O CK AB,<?= CB A<?A B


149/174

Sca&&e p#o&?II

AI

OI

CI

BI

I

?I BI CI


150/174

4 3' E ame" F$"a# 4Q3#e observa que las

estn

observacionesasociadas positivamente ,de una forma lineal es decirque cuanto m s alta tiende aser la nota de un alumno en el-arcial, en el 0inal tender a

tener una nota alta también. 'unque la asociaci!n entrelas variables es ligeramentefuerte , hay indicios que sepuede modelar a través deuna egresi!n #imple.

+o se observancomportamientosdiscrepantes

D$a/ ama de pu"&os de# E ame" F$"a# .s E ame"Pa c$a#

I

B

I

CI

OI

AI

?II

?I

BI

<I

KI

CI

E ame" Pa c$a#

E D a m e "

F $ " a

#

D$a/ ama de d$spe s$ó"


151/174

En un 6diagrama de puntos7, generalmente, los valores de la variable

respuesta son colocados en el eje vertical y los valores de la variableexplicativa son colocados en el eje horizontal.D$a/ ama de pu"&os de# E ame" F$"a# .s E ame" Pa c$a#

?II

AI

OI

CI

BI

I?I BI


152/174

-sociación positiva .P Existe si cuando aumentan los valores de ,los valores de tienden a aumentar.

-sociación negativa .P #i cuando aumentan los valores ,

los valores de tienden a disminuir.

-sociación lineal .P +uando sucede cualquiera de los dos casosanteriores de una forma aproximadamente lineal.

De;$"$c$o"es ,:s$cas-


153/174

-sociación positiva .P Existe si cuando aumentan los valores de ,los valores de tienden a aumentar.


154/174

-sociación negativa .P #i cuando aumentan los valores ,los valores de tienden a disminuir.

I,C

I,B

I

I,O

?,B

?

I,A

I ?I

BI

KI

CI

<I

#erie?

%irección 9.orma 9.uer$a -


155/174

%irección .P #e observa un comportamiento de direcci!n cuando

las variables est n positivamente asociadas, negativamenteasociadas o asociadas de una forma lineal.

.

.

.

.

.

. .

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. .

.

.

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.

I

-sociación+egativa/lineal0

-sociaciónPositiva

/lineal0

-sociación+egativa

/lineal0

Q

Q

.

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.

.

..

.

..

. .

.

..

.

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. .

.

.. .

..

..

.

.

..

. .

. ..

.

.

.

Q

%irección 9.orma 9.uer$a -


156/174

.orma .P +uando se observa que la relaci!n entre las variablespodría ser lineal, encorvada, cuadr tica, estacional, cíclica oquiz s no existe ninguna forma definida de asociaci!n entre esasvariables.

Cíclica Cuadrática.

Q

...

.

.

.

.

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. ..

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.. .

.

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.

Q

....

.

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.

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..

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...

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..

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. . .

.

Q

..

. .

.

..

.

.

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..

.

.

.

. .

1ncorvada Cuadrática

Q

.

..

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. . .

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..

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..

..

.

.

.

.

.

.

..

%irección 9.orma 9.uer$a -orma P +uando se observa que la relaci!n entre las variables


157/174

.orma .P +uando se observa que la relaci!n entre las variablespodría ser lineal, encorvada, cuadr tica, estacional, cíclica o

quiz s no existe ninguna forma definida de asociaci!n entre esasvariables.

Q

..

..

..

. ..

.

. .

.

.

. .

.

..

.

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..

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..

Q

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. . ..

..

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..

..

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..

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.. .

..

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..

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.

Q

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..

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. ..

.

..

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.

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. .

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. .

..

.

. ..

.

2ineal

1stacional

+inguna

%irección 9.orma 9.uer$a -uer$a P +uando se observa que firmemente los puntos est n


158/174

Q

.

.. .

..

. ..

.

..

..

.

.

.

.

.uer$a .P +uando se observa que firmemente los puntos est nrodeando la forma observada. En este caso es necesario ser muy

cuidadosos porque un cambio en la escala de los ejes puedeofrecer otra visi!n diferente de la realidad.

Q

..

.

.

.

.

.

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.

..

.

.

.

. .

..

..

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. . .

.

-sociación ligeramente fuerte

-sociación d3bil -sociación fuerte

Q

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..

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..

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. .

. ..

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.

.

.

.

.

.

.

.

.

Re/ es$ó" +$"ea# S$mp#e


159/174

En el ejemplo de los ex menes se mostr! que existeasociación positiva , de una forma lineal , ligeramentefuerte , entre las variables "xamen Parcial #$ y "xamen&inal #' .

Esto justifica proponer un modelo o ecuaci!n lineal para esarelaci!n 35odelo de egresi!n #imple4.

O,0e&$.os de u"a Re/ es$ó" +$"ea# S$mp#e


160/174

•Ese modelo servir como un 6 E#85E/7 de larelaci!n entre esas dos variables.

D#irve para predecir la calificaci!nbasado

futura delen

la

examen de un estudiantecalificaci!n del examen parcial.

¿ u) se de,e hace !#o m:s pos$,#e aE"co"& a u"a #1"ea


161/174

ce ca"ap $,

ec&a &odos #os pu"&os8

De# e0emp#o a"&e $o -D$a/ ama de pu"&os de# E ame" F$"a# .s E ame" Pa c$a#

AI

OI

CI

BI

I

?II

?I BI


162/174

De;$"$c$o"es- Ecuac$ó" de u"a #1"ea ec&a


163/174

y = a + bxpendiente, cantidad que cambia cuando x aumenta en una unidada :

b:

interceptoP, el valor que toma cuando es cero.

En regresi!n lineal simple,y es la variable respuesta, " es la variable

explicativa.

ca#cu#a #os

E# p o,#ema se educe a "

' y co"#o

.a#o esde cua#6ueda

de;$"$da #a ec&a8

De;$"$c$o"es- Res$duo8n residuo es la diferencia entre la respuesta4esiduo5


164/174

8n residuo es la diferencia entre la respuesta4esiduo5observada

regresi!n.

y la respuesta predicha usando la líneade la +ada par de observaciones , es decir, cadapunto enel scatterplot produce un residuo.

De;$"$c$o"es- Res$duo

4esiduo5


165/174

4esiduo5Esas diferencias verticales son llamadasresiduos

residuos6 #valor

observad yo

Pvalor

predictado yˆ

unresiduo

y representan los e o esen la predicci!n.

-ara cada punto en el scatterplot hay correspondiente.

/ecesitamos entonces construir una recta de tal forma queestos errores sean tan peque:os como sea posible.

Re si'uo :

eˆ = ( yi − yˆ i )

De;$"$c$o"es-+1"ea de Re/ es$ó" de M1"$mos Cuad ados


166/174

1s la línea de 4egresión 2ineal 7imple buscada

2ínea de 4egresión de !ínimos Cuadrados5 Es la línea quehace que la suma de las desviaciones verticales cuadradas de lospuntos a la recta sea lo m s peque:a posible. +on frecuencia se

denota como la Re/ es$ó" de Q e" 8

yˆ = a + bx

C:#cu#o de #os es&$mado es-2ínea de 4egresión de !ínimos Cuadrados5 es lo mismo que


167/174

2ínea de 4egresión de !ínimos Cuadrados5 es lo mismo quehallar a y b para el modelo

yˆ = a + bx

22n

∑

ii =1

n

∑

ii =1

n n n

x ) x ) − (n ( ∑ x i y i ) − ( ∑ x i ) ( ∑

y i )b = i =1 i =1 i =1

n (

a = y − bx

n

∑ yi y = i=1

n

xn∑ i

x = i=1n


168/174

E.a#uac$ó" de# mode#o-C fi i t d l ió 5 (enotado por y obtenido de la


169/174

Coeficiente de correlación5 (enotado por r y obtenido de lamuestra, mide la ;ue %ade la relaci!n lineal entre dos variablescuantitativas.(escribe la d$ ecc$ó"de la asociaci!n lineal e indica en unescatterplot qué tan ajustados est n los puntos en la línea deregresi!n de mínimos cuadrados.

2222

∑ ∑∑iii

∑i n( y )− ( y

)n( x )− ( x)

n(∑ xi yi )− (∑ xi )(∑ yi

)

r =

E.a#uac$ó" de# mode#o-P i d d d l fi i t d l ió 5


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S$/"o- El signo del coeficiente de correlaci!n indica ladirecci!n o positiva

Ma/"$&ud- "a magnitud del coeficiente de correlaci!nindica la fuerza de la asociaci!n lineal.

indica que la pendiente es positiva

indica que la pendiente es negativaindica que no hay ninguna asociaci!nlineal

Propiedades del coeficiente de correlación5

Ra"/o-− 1 ≤ r ≤ + 1

[ −1 , 0 >4.

de asociaci!n 3negativa si r est

entre < 0,s+i e1s}t entre

r = − 1 r= + 1r = 0


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E.a#uac$ó" de# mode#o-Coeficiente de determinación5 5ide la proporci!n de


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Coeficiente de determinación5 5ide la proporci!n devariabilidad total de la variable dependiente respecto a su mediaque es explicada por el modelo de regresi!n.

Es usual expresar esta medida en tanto por ciento,multiplic ndola por cien.

2

2

∑i i

i i

( y − y )= ∑( yˆ − y ) !

E.a#uac$ó" de# mode#o-

1rror estándar de estimación5 Es una medida de variabilidad


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1rror estándar de estimación5 Es una medida de variabilidadcomo la desviaci!n est ndar, pero esta desviaci!n es conrespecto al valor ajustado de la regresi!n, no con la media.

ˆ )2

==n − 2

( y − y

S )

n − 2 sˆ

)rror )st.n'ar 'e )stimación

∑ i iε

P ed$cc$ó" Pu"&ua#-+on los estimadores a y b se pueden hacer


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+on los estimadores a y b, se pueden hacerpredicciones

y =̂ 7.5 +1.75 x+u l sería el valor de la respuesta ' si+u l sería el valor de la respuesta ' si

fuera igual a H82HF.fuera igual a GH8GF.

+u l sería el valor de la respuesta ' para cualquier valor de F. Gué significa que el valor de la pendiente , en una línea de regresi!n es F.

estadística para finanzas

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