estadistica inf. 2 ige unidad 5 - diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales

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Unidad 5.- Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales

Diseño de bloques al azar

Es uno de los diseños que mas se usan en la investigación de un factor llamado tratamiento, en donde existe un gradiente de variación al cual lo eliminamos si utilizamos bloques en sentido perpendicular al mismo. Como lo muestra la siguiente figura:

− gradiente de variación +¿

t1 t4 t5 t4t2 t3 t4 t2t3 t2 t2 t5t4 t1 t3 t3t5 t5 t1 t1

∑ B1 ∑ B2 ∑ B3 ∑ B4

Características.

En este diseño los tratamientos se asignan aleatoriamente a un grupo de unidades experimentales denominado bloque o repetición. Bloque es el término mas adecuado, puesto que evita confusión con las repeticiones del diseño completamente aleatorio.

El objetivo consiste en mantener la variabilidad entre unidades experimentales de un bloque tan pequeño como sea posible y maximiza, las diferencias entre bloques. Si no hay diferencia entre los bloques, este diseño no contribuirá a la precisión para detectar las diferencias de tratamientos.

Cada tratamiento es asignado el mismo número de veces a las unidades experimentales dentro de un bloque, usualmente una vez; pero todos o

ciertos tratamientos pueden repetirse dos o más veces dentro de un bloque, por regla, es más eficiente tener una sola repetición de cada tratamiento por bloque.

A fin de minimizar el error experimental, debe tomarse todas las preocupaciones para tratar las unidades experimentales dentro de un bloque lo mas uniforme posible.

Los bloques pueden estar constituidos por áreas compactas de un campo, un grupo de animales que pueden manipularse de un modo uniforme, o diferentes tiempos de aplicación de tratamientos a unidades experimentales.

Cuando el tamaño del bloque aumenta se incrementa la variabilidad dentro de este. No es necesario que cada bloque sea de la misma forma, pero es deseable, puesto que las diferencias en la forma de los bloques generalmente incrementan la variabilidad dentro del bloque.

Modelo matemático

Y i j=μ+α i+ β j+ϵ i j

Donde:

Y i j=¿ Efecto del i-esimo tratamiento en el j-esimo bloque

μ=¿ Media poblacional

α i=¿ Efecto de los tratamientos

β j=¿ Efecto de los bloques

ϵ i j=¿ Error experimental

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Análisis de varianza:Fuentes de variación (F.V.)

Tratamiento (t) Bloques (B) Error (E) Total (T)

1.- Grados de libertad (g.l.)g .l .T .= ( tB)−1

g .l . t .=t−1

g .l .B .=B−1

g .l . E .=( t−1 ) (B−1 )

2.- Factor de corrección (F.C.)F .C .=¿¿¿

Donde ∑ y¿∗¿=¿¿ a la suma total de todos los tratamientos y todos los bloque del experimento.

3.- Suma de cuadrados (S.C.)

S .C .T .=∑ y2i j−F .C .

Donde ∑ y2i j=¿ es la suma de cuadrados de todos los tratamientos en todos sus bloques al cuadrado

S .C . t .=∑ y2i∗¿

B−F .C .¿

Donde ∑ y2i∗¿=¿¿¿ es la suma total de cada tratamiento al cuadrado.

S .C .B .=∑ y2¿ j

t−F .C .

Donde ∑ y2¿ j=¿¿ es la suma total de cada bloque al cuadrado.

S .C .E=S .C .T−S .C .t .−S .C .B

4.- Cuadrados medios (C.M.)

C .M .t .=S .C . t .g .l . t .

C .M .B .=S .C .B .g . l . B.

C .M .E .=S .C . E .g . l .E .

5.- F calculada

F ct=C .M . t .C . M . E .

F c B=C .M .B .C . M . E .

6.- F tabuladaF t t ( g .l . t . , g . l .E . )

F t B ( g . l .B . , g .l . E . )

Regla de decisión:1) Si F calculada es mayor que F t0.05 existen diferencias significativas

entre tratamientos y bloques (*)

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2) Si F calculada es mayor que F t0.01 existen diferencias altamente significativas entre tratamientos y bloques (* *)

Diseño cuadrado latino

Es un diseño que es muy útil para controlar dos fuentes de variación y que al mismo tiempo reduce el número requerido de combinaciones de tratamientos.

Supongamos un diseño 4x4, un cuadrado latino ordinario seleccionado al azar de todos los posibles 4x4 cuadrados, que podría ser el siguiente:

Filas

Columnas Total de fila

∑ y¿ j∗¿¿1 2 3 4

1 A B C D2 D A B C3 C D A B4 B C D A

Total de columna

∑ y¿∗k∑ y¿∗¿

Las cuatro letras A, B, C, D, representan los tratamientos. Las filas y las columnas representan las fuentes de variación que desean controlarse. Se ve que cada tratamiento ocurre exactamente una vez en cada fila y en cada columna.

Con tal arreglo balanceado, el análisis de varianza permite separar la variación debida a las filas y a las columnas de la suma de cuadrados del error y de esta manera obtener una prueba mas exacta para las diferencias entre los tratamientos.

Cuando existe interacción entre cualquiera de las fuentes de variación, los valores F en el análisis de varianza ya no son validos. En este caso, el díselo de cuadrado latino seria inapropiado.

Modelo estadístico

Y i j k=μ+α i+ β j+ tk+ϵi j k

Donde:

Y i j k=¿ Efecto del i-esimo tratamiento en la j-esima fila y en la k-esima columna


α i=¿ Efecto de los tratamientos

β j=¿ Efecto de la fila

t k=¿ efecto de la columna

ϵ i j=¿ Error experimental

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Tratamiento (t) Filas (F) Columnas (C) Error (E) Total (T)

1.- Grados de libertad (g.l.)

g .l .T .=r2−1

g .l . t .=t−1

g .l . F .=F−1

g .l .C .=C−1

g .l . E .=(r−1 ) (r−2 )


Donde ∑ y¿∗¿=¿¿ a la suma total de todos los tratamientos y todas las repeticiones del experimento.


S .C .T .=∑ y2i j k−F .C .

Donde ∑ y2i j k=¿ es la suma de cuadrados de todas las filas en todas sus columnas

S .C . t .=∑ y2i∗¿

r−F .C .

Donde ∑ y2i∗¿=¿¿¿ es la suma total de cada tratamiento al cuadrado.

S .C .F .=∑ y2¿ j∗¿

r−F .C .¿

Donde ∑ y2¿ j=¿¿ es la suma total de fila al cuadrado.

S .C .C .=∑ y2¿∗k

r−F .C .

Donde ∑ y2¿∗k=¿¿ es la suma total de columna al cuadrado.

S .C .E=S .C .T−S .C .t .−S .C .F−S .C .C


C .M .t .=S .C . t .g .l . t .

C . M . F .= S .C .F .g . l .F .

C .M .C .=S .C .C .g .l .C .

C . M . E .=S .C .E .g . l . E .

5.- F calculada

F ct=C .M . t .C . M . E .

Fc F=C .M .F .C .M . E .

FcC=C .M .C .C .M . E .

6.- F tabuladaF t t ( g .l . t . , g . l .E . )

F t F (g . l .F ., g .l . E . )

F tC (g . l .C ., g . l . E . )

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entre tratamientos, filas y columnas (*)2) Si F calculada es mayor que F t0.01 existen diferencias altamente

significativas entre tratamientos, filas y columnas (* *)

Diseño de cuadrados grecolatinos

Consideremos un cuadrado latino P x P al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos cuadrados son ortogonales si al sobreponerse posen la propiedad de que cada letra griega aparece solamente una vez con cada letra latina. Este diseño se denomina cuadrado grecolatino

Ejemplo: diseño grecolatino 4x4

FilasColumnas

1 2 3 41 A α B β C γ D δ2 B δ A γ D β C α3 C β D α A δ B γ4 D γ C δ B α A β

El diseño del cuadrado latino puede utilizarse para controlar sistemáticamente 3 fuentes extrañas de variabilidad. En otras palabras, se usa para hacer análisis por bloques en tres direcciones. El diseño permite analizar 4 factores (Fila, Columna, Letra griega, Letra latina), cada uno con P niveles, usando solamente P2 ensayos.

El modelo estadístico de un diseño cuadrado latino es el siguiente:

Y i j k l=μ+θi+ι j+ωk+ψ l+εi j kl

Donde:

Y i j k l=¿ Observación que corresponde a la fila i , letra latina j, letra griega k y columna l

θi=¿ Efecto de la i-esima fila

ι j=¿ Efecto del tratamiento j de las letras latinas

ωk=¿ Efecto del tratamiento K de las letras griegas

ψ l=¿ Efecto de la i-esima columna

ε i j k l=¿ Error aleatorio

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Tratamiento de letra latina (L) Tratamiento de letra griega (G) Filas (F) Columnas (C) Error (E) Total (T)

1.- Grados de libertad (g.l.)

g .l .T .=P2−1

g .l . L.=P−1

g .l .G .=P−1

g .l . F .=P−1

g .l .C .=P−1

g .l . E .=( P−3 ) (P−1 )


Donde ∑ y¿∗¿∗¿=¿¿ a la suma total de todos los tratamientos y todas las repeticiones del experimento.


S .C .T .=∑ y2i j kl−F .C .Donde ∑ y2i j kl=¿ es la suma de cuadrados de todas las filas en todas sus columnas

S .C .L .=∑ y2¿ j∗¿

P−F .C .

Donde ∑ y2¿ j∗¿=¿¿ es la suma total de cada tratamiento de la letra latina al

cuadrado.

S .C .G .=∑ y2¿∗k∗¿

P−F .C .¿

Donde ∑ y2¿∗k∗¿=¿¿¿ es la suma total de cada tratamiento de la letra griega al

cuadrado.

S .C .F .=∑ y2i∗¿∗¿

P−F .C .¿

Donde ∑ y2i∗¿∗¿=¿¿¿ es la suma total de fila al cuadrado.

S .C .C .=∑ y2¿∗¿l

P−F .C .

Donde ∑ y2¿∗¿l=¿¿ es la suma total de columna al cuadrado.

S .C .E=S .C .T−S .C .L .−S .C .G−S .C .F−S .C .C


C .M .L .=S .C .L .g . l . L .

C .M .G .= S .C .G.g . l .G .

C .M . F .= S .C .F .g . l . F .

C .M .C .=S .C .C .g .l .C .

C . M . E .=S .C .E .g . l . E .

5.- F calculada

F c L=C .M . L .C .M .E .

Fc G=C .M .G .C .M . E .

Fc F=C .M . F .C . M . E .

Fc C=C .M .C .C . M . E .

6.- F tabuladaF t L (g . l .L . , g . l . E . ) Ft G (g . l .G . , g . l .E . )

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F t F (g . l .F ., g .l . E . ) F tC ( g .l .C . , g . l .E . )


entre letras latina, griegas, filas y columnas (*)2) Si F calculada es mayor que F t0.01 existen diferencias altamente

significativas entre letras latina, griegas, filas y columnas (* *)

Introducción a los diseños factoriales

Considere una situación en la cual es de interés estudiar el efecto de los factores A y B sobre alguna respuesta. Por ejemplo, en un experimento químico se desearía variar simultáneamente la presión de la reacción y el tiempo de la misma y estudiar el efecto de cada variable en el resultado. En un experimento biológico, interesa analizar el efecto del tiempo de secado y la temperatura en la cantidad de solidos (% del peso) que quedan en las muestras. El termino factor se utiliza en un sentido general para determinar cualquier característica del experimento tal como la temperatura, el tiempo, o la presión, que puede variar de prueba a prueba. Se definen los niveles de un factor como los valores reales utilizados en el experimento.

En cada uno de estos casos es importante no solo determinar si los dos factores influyen sobre la respuesta, si no también si existe una interacción, significativa entre ellos. El experimento descrito aquí se clasifica como en dos direcciones o de dos factores y el diseño experimental puede ser completamente aleatorio o bloques al azar.

El modelo estadístico seria:

Y i j k=μ+α i+ β j+ (α β )i j+εi j k

Donde:

Y i j k=¿ Respuesta de la i-esima observación del factor A en la j-esima observación del factor B en la k-esima repetición


α i=¿ Efecto del factor A

β j=¿ Efecto del factor B

(α β )i j=¿ Efecto de la interacción A x B

ε i j k=¿ Error aleatorio

Las hipótesis que se pueden probar son:

1) H 0 :α 1=α 2=⋯=αa=0H a :almenos unaαi≠0

2) H 0 : β1=β2=⋯=βa=0H a :almenos una β j≠0

3) H 0 : (α β )1=( α β )2=⋯=(α β )ab=0

H a :almenos una ( α β )i j≠0

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Factor A (a) Factor B (b) Interacción de factores (I AB) Error (E) Total (T)

1.- Grados de libertad (g.l.)g .l .T .= (abn )−1

g .l . a .=a−1

g .l . b .=b−1

g .l . IA B .=( a−1 ) (b−1 )

g .l . E .=(a b ) (n−1 )

a=numero deniveles del facto Ab=numero deniveles del factoBn=numerode repeticiones

2.- Factor de corrección (F.C.)

F .C .=(∑ y¿∗¿)

2

abn


S .C .T .=∑ y2i j k−F .C .

S .C .a .=∑ y2i∗¿

b n−F .C .

S .C .b .=∑ y2¿ j∗¿

an−F .C .¿

S .C . I A B .=∑ y2i j∗¿

n−F .C .−S .C .a .−S .C .b .¿

S .C .E=S .C .T−S .C .a .−S .C .b−S .C . IA B .


C .M .a.=S .C .a .g .l . a .

C .M .b .=S .C .b .g .l . b .

C . M . I A B.=S .C . IA B .

g .l . I A B .

C .M .E .=S .C . E .g . l .E .

5.- F calculada

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F c a=C .M .a .C .M . E .

F cb=C .M .b .C .M . E .

F c IA B=

C .M . I AB .

C .M .E .

6.- F tabuladaF t a (g .l . a . , g . l . E . )

F t b (g .l . b . , g . l . E . )

F t I A B(g . l . IA B . , g . l .E . )

estadistica inf. 2 ige unidad 5 - diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales

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