Diseño factorialEn muchos experimentos interviene elestudio de los efectos de dos o másfactores. En general, los diseñosfactoriales son los más eficientes paraeste tipo de experimentos. Por diseñofactorial se entiende que en cada ensayo o réplica completa del experimento seinvestigan todas las combinacionesposibles de los niveles de los factores

Definición general Arreglar a cond.

nuestras

Clasificación

Diseño factorial A x B, completamente al azarRepresentación de los efectos factorialesModelo estructural, análisis y componentes de variaciónDISEÑO FACTORIAL

ESQUEMA GENERAL

Concepto

El diseño factorial, como estructura deinvestigación, es la combinación de dos omás diseños simples (o unifactoriales); esdecir, el diseño factorial requiere lamanipulación simultánea de dos o másvariables independientes (llamadosfactores), en un mismo experimento.

..//..

En función de la cantidad de factores ovariables de tratamiento, los formatosfactoriales se denominan, también,diseños de tratamientos x tratamientos,tratamientos x tratamientos x tratamientos,etc, y se simbolizan por AxB, AxBxC, etc.

Criterios de clasificación

Por la cantidad de niveles

Criterios Cantidad de combinaciones

Tipo de control

Clasificación del diseño factorial por criterio

A) Según la cantidad de niveles o valorespor factor, el diseño factorial se clasifica en:

Cantidad constante

Cantidad de valores

Cantidad variable

La notación del diseño es más sencillacuando la cantidad de niveles por factores igual (es decir, constante). Así, eldiseño factorial de dos factores a dosniveles se representa por 2², el de tresfactores por 23, etc. En términosgenerales, los diseños a dos niveles y conk factores se representan por 2k; a tresniveles, por 3k; a cuatro niveles por 4k, etc.

..//..

Cuando los factores actúan a más de dosniveles (es decir, cuando la cantidad devalores por factor es variable), el diseñose representa por 2 x 3, 2 x 3 x 4, etc. A suvez, cabe considerar la posibilidad de que,tanto en un caso como en otro, el diseñosea balanceado (proporcionado) o nobalanceado (no proporcionado); es decir,diseños con igual cantidad de sujetos porcasilla y diseños con desigual cantidad desujetos por casilla.

B) El segundo criterio hace hincapié en lacantidad de combinaciones de tratamientorealizadas o ejecutadas. Con base a estecriterio, el diseño factorial se clasifican en:

Diseño factorial completo

Cantidad decombinacionesde tratamiento

Diseño factorial incompletoy fraccionado

Si el diseño factorial es completo, serealizan todas las posibles combinacionesentre los valores de las variables. Así,cada combinación de tratamientosdetermina un grupo experimental (grupode tratamiento o casilla). Por ejemplo, eldiseño factorial completo 2x2 determinacuatro grupos de tratamiento; un diseño3x3 nueve grupos, etc. ..//..

Asumiendo que sólo se ejecute una partedel total de las combinaciones, el diseñofactorial es incompleto o fraccionado,según el procedimiento seguido.

C) En función del control de variables extrañas.

Diseño factorialcompletamente al azarDiseño factorial de bloquesaleatorizadosDiseño factorial de Cuadrado

Grado de control LatinoDiseño factorial jerárquico oanidadoDiseño factorial de medidasrepetidas

Según el control de los factores extrañosy la reducción de la variancia del error, eldiseño factorial puede ser, en primerlugar, completamente al azar; es decir,aquel formato donde sólo se aplica elazar como técnica de control y donde losgrupos se forman mediante la asignaciónaleatoria de los sujetos. ..//..

En segundo lugar, el diseño factorial debloques aleatorizados permite el controlde una variable extraña. Según esaestrategia, cada bloque es un réplicacompleta del experimento, y los gruposintra bloque (dentro de cada bloque) seforman al azar. ..//..

Siguiendo con el criterio de bloques, eldiseño factorial de Cuadrado Latino o dedoble sistema de bloques controla dosfuentes de variación extrañas, aunquesólo se realiza una parte del total decombinaciones. ..//..

El diseño factorial jerárquico o anidadorequiere la manipulación experimental dela variable y, al mismo tiempo, laanidación (o inclusión) de una variabledentro de las combinaciones detratamientos de los factores.

..//..

Por último, el diseño factorial de medidasrepetidas incorpora la técnica intra-sujeto;es decir, el sujeto actúa de control propio yrecibe todas las combinaciones detratamiento generados por la estructurafactorial.

Criterios (resumen) Diseño

Cantidad de valores por factor

Igual cantidad de niveles: 2k, 3k, etc.Cantidad de niveles variable: 2x3; 2x3x4, etc.

Cantidad de combinaciones de tratamientos

Diseño factorial completoDiseño factorial incompleto y fraccionado

Grado de control

Diseño factorial completamente al azarDiseño factorial de bloquesDiseño factorial de Cuadrado LatinoDiseño factorial jerárquicoDiseño factorial de medidas repetidas

Efectos factoriales estimables

1. Efectos simples2. Efectos principales3. Efectos secundarios

Efectos factoriales simples

Es posible definir el efecto factorial simplecomo el efecto puntual de una variableindependiente o factor para cada valor dela otra.

Efectos factoriales principales

Los efectos factoriales principales, adiferencia de los simples, son el impactoglobal de cada factor considerado deforma independiente, es decir, el efectoglobal de un factor se deriva del promediode los dos efectos simples.

Efectos factoriales secundarios

El efecto secundario o de interacción sedefine por la relación entre los factores ovariables independientes, es decir, elefecto cruzado.

Diseño factorial al azar 2x2

Estructura del diseño

Combinación de tratamientos por grupo o casilla

Diseño factorial 2x2

A1B1 A1B2

A2B1 A2B2

Formato del diseño factorial completamente al azar

s e

l e

cc M

iP ó

n

Asignación al azar

S1 S1 S1 S1

Sn1 Sn2 Sn3 Sn4

V.E. Z1 Z2 Z3 Z4V.I. A1B1 A1B2 A2B1 A2B2

Caso paramétrico. Ejemplo

Se pretende probar, en una situación deaprendizaje discriminante animal, si lamagnitud del incentivo (variable incentivo)actúa según el aprendizaje sea simple ocomplejo (variable dificultad de aprendizaje ovariable tarea). En esta hipótesis se afirmaque a mayor incentivo, más acusada es ladiferencia entre las dos tareas (simple ocompleja). ..//..

Para ello, se registra la cantidad dediscriminaciones correctas (variabledependiente) en función de un criteriogeneral de aprendizaje, que asume comosuficientes 15 ensayos. Se toma, comomedida de la variable dependiente o derespuesta, la cantidad de respuestascorrectas, para un máximo de 15, bajo elsupuesto de que cada discriminacióncorrecta tiene la misma dificultad deaprendizaje. ..//..

Para probar la hipótesis propuesta seasignan 32 sujetos, de una muestraexperimental, a las combinaciones detratamientos o casillas (ocho sujetos porcasilla), de forma totalmente aleatoria.

Modelo de prueba de hipótesis

Paso 1. Según la estructura del diseño sonestimables tres efectos. Por esa razón, seplantean tres hipótesis de nulidad relativas ala variable A, variable B e interacción:

H0: α1 = α2 = 0H0: ß1 = ß2 = 0H0: (αß)11 = (αß)12 = (αß)21 = (αß)22 = 0

Paso 2. Por hipótesis experimental, seespera que los efectos principales y el dela interacción sean significativos. Estashipótesis se representan, al nivelestadístico, por

H1: α1 α2, o no todas las α son ceroH1: ß1 ß2, o no todas las ß son ceroH1: (αß)11 (αß)12 (αß)21 (αß)22, o

no todas las αß son cero.

Paso 3. El estadístico de la prueba es la Fde Snedecor, con un α de 0.05, para lastres hipótesis de nulidad. El tamaño de lamuestra experimental es N = 32 y el de lassubmuestras n = 8.

Paso 4. Cálculo del valor empírico de lasrazones F. Para ello, se toma, de nuevo,la matriz de datos del experimento.

607.5

708.75

273.375

526.5

86998776

79

108

109

107

43452342

109488436

A2B2A2B1A1B2A1B1

DISEÑO FACTORIAL 2X2

Totales:Medias:

2096.53

ANOVA factorial

MODELO ESTRUCTURAL DEL AVAR: DISEÑO FACTORIAL 2X2

ijkjkkjijk εαββαμY +)(+++=

Espeficación del modelo

Yijk = la puntuación del i sujeto bajo la combinacióndel j valor del factor A y el k valor del factor B.

μ = la media común a todos los datos delexperimento.

αj = el efecto o impacto de j nivel de la variable detratamiento A.

ßk = efecto del k valor de la variable de tratamiento B.(αß)jk = efecto de la interacción entre el i valor de

A y el k valor de B.εij = error experimental o efecto aleatorio de

muestreo.

Descomposición polietápica de las Sumas de cuadrados

SCA

SCentre-grupos SCB

SCtotal SCAB

SCintra-grupos SCS/AB

Cálculo de las Sumas de Cuadrados: primera etapa

SCtotal = SCentre-grupos + SCintra-grupos

SCtotal = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] –[(209)²/(8)(4)] = 203.97

SCentre-grupos = [(52)²/8 + (27)²/8 + ... +(60)²/8] –[(209)²/(32)] = 126.59

SCintra-grupos = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(52)²/8 + (27)²/8 + ... + (60)²/8] = 77.38

CUADRO RESUMEN DEL AVAR PRIMERA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2

F0.95(3/28) = 2.95

abn-1=31203.97Total (T)

<0.0515.2842.192.76

ab-1=3ab(n-1)=28

126.5977.38

Entre GIntra G (E)

pFCMg.l.SCF.V.

Inferencia del primer análisis

Del primer análisis se concluye que losgrupos de tratamiento o experimentalesdifieren significativamente entre sí; laprobabilidad de que un valor F de 15.28ocurra al azar es menor que el riesgoasumido (α = 0.05).

..//..

En consecuencia, se procede adeterminar las causas de esasignificación. Nótese que este análisis noobedece a ningún propósito deinvestigación, ya que sólo sirve paradetectar si, en términos globales, hay o nodiferencia entre los grupos. De hecho, escomo si se hubiera aplicado un modelouni-factorial de la variancia.

Cálculo de las Sumas de Cuadrados: segunda etapa

SCentre-grupos = SCfactor A + SCfactor B + SCinteracción AxB

El cálculo de estas Sumas deCuadrados requiere la previaconstrucción de la tabla de los totalespor columnas.

MATRIZ DE DATOS ACUMULADOS

20987122TOTALES

1306070A2

792752A1

TOTALESB2B1

Cálculo del valor empírico de las Sumas de cuadrados

SCA = [(79)²/16 + (130)²/16] – [(209)²/32] =81.28

SCB = [(122)²/16 + (87)²/16] – [(209)²/32] =38.28

SCAB = SCentre-grupos – SCA – SCB = 126.59 –81.28 - 38.28 = 7.03

CUADRO RESUMEN DEL AVAR SEGUNDA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2

<0.05<0.05>0.05

29.9413.872.55

81.2838.287.03

(a-1)=1(b-1)=1

(a-1)(b-1)=1

81.2838.287.03

Factor AFactor BInter AxB

F0.95(3/28) = 2.95; F0.95(1/28) = 4.20

abn-1=31203.97Total (T)

<0.0515.2842.192.76

ab-1=3ab(n-1)=28

126.5977.37

Entre-gIntra-g

pFCMg.lSCF.V.

Inferencia del segundo análisis

Paso 5. De los resultados del análisis seinfiere la no-aceptación de las hipótesis denulidad para los efectos principales de A yB, con riesgo de error del 5 por ciento. Encambio, se acepta la hipótesis de nulidadpara la interacción. En suma, sólo sederiva la significación de los efectosprincipales.

No interacción (Hipótesis nula)

A1

A2

B1 B2

Interacción positiva

A1

A2

B1 B2

Interacción negativa

A1

A2

B1 B2

Interacción inversa

A2

A1

B1 B2

Representación gráfica de la interacción

A1 A2

B1

B2

Interacción nula

A1 A2

B2

B1

Interacción positiva

A1 A2

B2

B1

Interacción negativa

A1 A2

B1

B2

Interacción inversa

MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO

7.58.75A2

3.386.5A1

B2B1

GRÁFICO INTERACCIÓN

Ventajas del diseño factorial

Se ha descrito, a lo largo de ese tema, losconceptos básicos del diseño factorial oestructura donde se manipulan, dentro deuna misma situación experimental, dos omás variables independientes (o factores).En aras a una mejor exposición delmodelo se ha descrito, básicamente, eldiseño bifactorial a dos niveles, dentro delcontexto de grupos completamente alazar. ..//..

La disposición bifactorial aportainformación no sólo de cada factor(efectos principales), sino de su accióncombinada (efecto de interacción o efectosecundario). De esta forma, con la mismacantidad de sujetos requerida paraexperimentos de una sola variableindependiente o factor, el investigadorpuede estudiar simultáneamente la acciónde dos o más variables manipuladas. ..//..

Ello supone un enorme ahorro de tiempo yesfuerzo. Si se tiene en cuenta laposibilidad de analizar la acción conjuntoo cruzada de las variables, se concluyeque el diseño factorial es una de lasmejores herramientas de trabajo delámbito psicológico, puesto que laconducta es función de muchos factoresque actúan simultáneamente sobre elindividuo. ..//..

PROBLEMA 1(Diseño de experimentos de dos niveles y 3 factores)

En el mantenimiento de un Generador de Vapor, se desea mejorar el proceso de soldadura de un componente de acero inoxidable. Para lo cual se realiza un diseño de experimentos de 3 factores y 2 niveles.

Factor Nivel bajo Nivel Alto

A. Caudal de gas (l/min.) 8 12B. Intensidad de Corriente (A) 230 240C. Vel. de Cadena (m/min.) 0.6 1

Diseños factoriales 2 x 2 de bloques

Bloque 1

Bloque 2

Bloque k

………………………………………….………………………………………….

A1B1 A2B1 A1B2 A2B2

S11 S12 S14S13

S21 S22 S24S23

Sk1 Sk2 Sk4Sk3

Pag. 177 Analisis estadístico del modelo factorial con valores fijos.+

DISEÑO FACTORIAL DE 2 FACTORES

Hay a niveles del factor A y b niveles delfactor B, los cuales se disponen en undiseño factorial; es decir, cada réplica delexperimento contiene todas las abcombinaciones de los tratamientos. Engeneral, hay n réplicas.

EJEMPLO DE UN DISEÑO FACTORIAL 2X2

Como ejemplo de un diseño factorial en el queintervienen dos factores, un ingeniero estádiseñando una batería que se usará en undispositivo que se someterá a variaciones detemperatura extremas. El único parámetro deldiseño que puede seleccionar en este punto esel material de la placa o ánodo de la batería, ytiene tres elecciones posibles.

Cuando el dispositivo esté fabricado y se envíeal campo, el ingeniero no tendrá control sobrelas temperaturas extremas en las que operará eldispositivo, pero sabe por experiencia que lasaltas temperaturas afectaran la vida media de lasbaterías.

Las temperaturas si pueden ser reguladas en ellaboratorio y se pueden realizar pruebasexperimentales para lograr una batería másrobusta o duradera.

CONDICIONES DEL EXPERIMENTO