estadística grupal

Curso: Estadística

Ciclo: III

Grupo: A

Tema: Probabilidad

Docente: MBA. Luis Calderón

Estudiantes:

Arévalo Oliva María

Avalos Ludeña Jenry

Huisa Lucio Jirko

Javier Villanueva Magda

Laveriano Pinedo Fiorela

Ponte Ramírez Reynaldo

Rodríguez Sánchez Natanael

Saavedra Pérez Giuliana

Torres Villanueva Mitshell

Chimbote – Perú

2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

[UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA] 2 de junio de 2014

Estadística Página 2

Índice

Páginas

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………. 3

CAPITULO 1: DEFINICIONES………….…………………………………… 6

1.1. Historia……………………………………………………………… 7

1.2. Definiciones……….……………………………………………….. 8

CAPITULO 2: PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES…………...13

CAPITULO 3: AXIOMAS O LEYES………….…………………………. 17

CAPITULO 4: ALGEBRA DE PROBABILIDADES……………………. 35

CAPITULO 5: BIBLIOGRAFÍA………….…………………………….… 44

CAPITULO 6: EJEMPLOS………….…………………………………... 46



Introducción a la Probabilidad

En la interpretación del concepto de probabilidad , se

han seguido dos escuelas , La primera , clásica u

objetivista , interpreta la probabilidad como la

frecuencia relativa de la ocurrencia de algún evento o

resultado (consecuencia) en el desempeño final o la

repetición de un experimento , entendida esta última

palabra como una actividad que pudiera conducir a

los resultados previstos , sin olvidar que el resultado

particular observado en cualquier etapa del

experimento también está generado por el azar .

La escuela clásica u objetivista, del siglo XVII, tendría como principal interés

determinar la probabilidad de éxito en los juegos de azar. En este caso, los

experimentos en cuestión eran tirar un dado, girar la ruleta, manejar las carta,

etc.

Los matemáticos de este siglo B. Pascal, P, Ferment y P.S, Laplace, entre

otros fuero los que más contribuyeron a formalizar los conceptos de

probabilidad.

La segunda escuela es la subjetivista o bayesiana, la cual utiliza los resultados

a priori para calcular la probabilidad de ocurrencia de varios estados del

universo (también llamado espacio de eventos), en una etapa particular del

experimento que se trata.

El conocimiento a prior es la forma en que emergerá la distribución de

probabilidades, dado el conocimiento de la naturaleza del experimento que se

va a realizar.

El enfoque subjetivista permite al investigador asignar probabilidades o eventos

particulares (algunos posibles resultados del experimento que se esté llevando

a cabo)



Como mencionamos, la escuela subjetivista también se conoce como

bayesiana , ( en este libro , la etiqueta bayesiana significa deseo de incorporar

probabilidades subjetivas en el análisis estadístico ) , en contraparte con los

seguidores de la escuela objetivista , que no desean incorporar presentimientos

subjetivos en probabilidad a la estructura formal del análisis estadístico , pues

no creen que el concepto de probabilidad pueda aplicarse a la verosimilitud de

ocurrencia de varios acontecimientos en un experimento sin repetición.

El uso de las probabilidades a posteriori implica la aceptación de la creencia de

que ciertas fuerzas que operaron en el pasado causan que un modelo

particular de distribución de probabilidad continúe de la misma manera.

Como muchos sistemas matemáticos, la teoría de probabilidad se convierte en

un modelo útil cuando sus elementos se relacionan e identifican con cosas

particulares; en este caso, los resultados de experimentos reales o

conceptuales. De este modo, la teoría nos permite deducir ciertas

proposiciones acerca de la verosimilitud de varios resultados.

Debido a que el observador tiene una ignorancia total o parcial, es decir, una

incertidumbre acerca del resultado de una investigación, su actitud será

eventualmente inferior a adivinar qué ocurrirá. En un sentido, la probabilidad

refleja la incertidumbre acerca del resultado de un experimento, por lo que la

probabilidad puede pensarse como el lenguaje matemático de la incertidumbre,

y esta es igual para el investigador y para el jugador de azar

En los últimos años se ha incrementado el uso de los modelos probabilísticos,

debido a que presentan muchas ventajas al aplicarse a situaciones reales. En

los modelos probabilísticos interviene un conjunto de variables aleatorios, las

cuales se rigen por algún parámetro, como tiempo o espacio. A los procesos

aleatorios también se les conoce como procesos estadísticos

En toda investigación o estudio, una vez que se han recopilado datos empíricos

se adopta un modelo teórico (alguna distribución teórica), con el objeto de

extraer más información de los datos, si la adaptación es buena, las

propiedades del conjunto de datos pueden aproximarse a las del modelo

teórico. De manera similar, a un proceso real que posea la característica de un



proceso aleatorio se le podrá adaptar un proceso estocástico .De este modo, el

conocimiento de las propiedades y característica del proceso estocástico es

altamente deseable para una mejor comprensión del fenómeno real en estudio

Las incertidumbres asociadas con el comportamiento humano, en diferentes

situaciones, se adaptan de una manera adecuada a los modelos

probabilísticos y a los procesos estocásticos.

Estos modelos podrían utilizarse para analizar:

ⱷ Movilidad social de los individuos

ⱷ Movilidad industrial de trabajadores o empleados

ⱷ Sistemas educativos

ⱷ Procesos de una enfermedad

ⱷ Sistemas de información



CAPITULO 1



HISTORIA

La teoría del cálculo de probabilidades comenzó con una correspondencia

entre dos matemáticos franceses , Blaise Pascal ( 1623 -1662 ) y Pierre Fernat

(1602 -1665 ) , en 1654 , con respecto a dos problemas formulados por un

jugador compulsivo , el Chevalier de Méré ( título del Barón A.G. Méré (1610 –

1685 ) . A partir de ese momento se realizan estudios de modelos matemáticos

con ejemplos, esencialmente de juegos de azar (finalmente esa era la

motivación de la época). Por desgracias, tal enfoque se propagó hasta nuestros

días, conllevando a que los libros de probabilidad traigan una serie de ejemplos

que se refieren a los juegos de azar, a la extracción de bolas de las urnas, en el

lanzamiento de los dados y en la aparición de determinadas cartas de la baraja,

en especial, los ases y los reyes. Además, al aparecer la enseñanza de la

teoría de conjuntos en las escuelas brasileñas en la década de 1960, se hizo

énfasis en la asociación entre los conceptos probabilísticos y los de tal teoría

con la intención de facilitar el raciocinio estadístico a partir de otros modelos

aparentemente más estructurados y de conocimiento general. De todos modos,

los dos enfoques tuvieron su importancia hasta la década de 1980, y sus

seguidores estaban preocupados por proporcionar una mejor comprensión de

los conceptos teóricos por medio de estructuras que, a su entender, facilitarían

la comprensión de los modelos existentes. En nuestros días, tal visión

asociativa ya no es válida, especialmente por la variedad de aplicaciones (no

solamente en los juegos de azar) y por la absoluta necesidad de que las

personas comprendan cómo utilizar

los conceptos estadísticos en la vida

diaria



DEFINICIONES

1. En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si

un suceso específico sobre si un suceso especifico ocurrirá o no .Como

medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar

que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Si

estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimo que su probabilidad

es 100% o 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá

decimos que su probabilidad es cero. Por ejemplo , si la probabilidad es

de ¼ , diríamos que hay un 25%de oportunidad de que ocurra y un

75%de oportunidad que no ocurra .Equivale a decir que la probabilidad

contra su ocurrencia es del 75% al 25% o de 3 a 1

Fuente: Murray R. Spiegel , Teoría y problemas de probabilidad y

Estadística , Mc. GRAW –HILL , Bogotá –Colombia , 1936

2. La definición de probabilidad fue dada por Laplace y desde entonces se

ha repetido en casi todos los libros sobre teoría de probabilidades. En su

forma dice : “Probabilidad es la razón del número de casos

favorables al número total de casos igualmente posibles “

La probabilidad se puede estudiar desde dos puntos de vista:

1. A priori o clásico: a priori significa aquello que se puede deducir

usando la razón , sin la experiencia .Desde este punto de vista se

define la probabilidad:

( )

El símbolo P(A) se lee como “La probabilidad de ocurrencia del evento A

“ .Así , la ecuación establece que la probabilidad de ocurrencia del

evento A es igual al número de eventos clasificables como A divida entre

la cantidad de eventos posibles

El número de eventos clasificados como A, es el número de casos

favorables y la cantidad total de eventos posibles es el número de casos

posibles

( ) ( )

( )

2. A posteriori: A posteriori significa “después del hecho”, en el

contenido de la probabilidad, significa después de reunir algunos

datos. desde el punto de vista a posteriori se define como:



( )

Fuente: Guillermo Gamarra, Jorge Berrospi F., Oscar Pujay C.,

Rudy Cuevas C., Estadística e investigación, San Marcos, Lima

3. La probabilidad desempeña un papel importante en la toma de

decisiones, por ejemplo, suponga que tiene una oportunidad de invertir

en una compañía de exploración petrolera. los antecedentes indican que

10 de las últimas 10 perforaciones en busca de petróleo (una muestra de

las experiencias de la compañía) resultaron en pozos secos ¿cuál es su

conclusión? ¿cree usted que las posibilidades de que la compañía dé con

un pozo productor son menores que 50-50? ¿debería usted invertir en

esta compañía ? creemos que su respuesta sería un decidido “ no “

Fuente: William Mendehall, Terry Sincig, Probabilidad estadística,

para ingeniería y ciencias 4ta edición, México, 1997

4. En la vida real la posibilidad de que un evento suceda puede estar entre

lo virtualmente cierto y lo virtualmente imposibles. la teoría de

probabilidades ofrece un marco para asignar números reales a la

posibilidad de ocurrencia de diferentes eventos, de tal manera que sus

posibilidades puedan ser comparadas y evaluadas.

Conceptualmente, existen tres maneras de determinar la probabilidad de

una ocurrencia: objetiva, experimental y subjetiva.

A. Probabilidad objetiva:

Depende de las características físicas del objeto de estudio. Esta

manera de asignar probabilidad es conveniente para resolver

problemas que involucran el uso de objetos físicos. Así, por

ejemplo, la posibilidad de obtener un 4 al lanzar un dado es 1/6.

Como se puede deducir, esta metodología no será apropiada

para tratar problemas económicos o administrativos

B. Probabilidad experimental:

Se le llama también frecuencia relativa de una ocurrencia. En

algunos casos es posible estimar la probabilidad de ocurrencia de

un evento observando el número de veces que ocurrió en un

periodo largo.

Esta probabilidad experimental supone que una misma situación

pueda repetirse varias veces, y sobre todo, se presume que tal

situación no cambiaría en el futuro. Circunstancias de este tipo no

son muy frecuentes en las áreas de administración y economía, y

por tanto no se pueden calcular probabilidades a través de una

serie de repeticiones de un experimento.

C. Probabilidad subjetiva :



Es la medida asignada a la valoración subjetiva hecha por un

individuo de la probable ocurrencia de un evento. Se basa en la

información de que dispone esta persona en un momento dado,

es decir en su estado de información.

La idea fundamental en este tipo de asignación es que la

probabilidad es un número que usamos para describir nuestra

certeza sobre la ocurrencia de un evento. El grado de certidumbre

depende de la información de que disponemos con respecto al

evento. Al depender esa medida del estado de información, ella

puede cambiar con la disponibilidad de nueva información.

Fuente: José Salinas Ortiz, Análisis Estadístico para la toma de

decisiones en Administración y Economía, Universal del Pacifico,

Lima –Perú, 2001

5. El termino probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la

incertidumbre. en cualquier situación donde se produzca alguno de

varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad proporciona

métodos para cuantificar las oportunidades o probabilidades, asociadas

con varios resultados.

El lenguaje de probabilidades se utiliza constantemente de una manera

informal, tanto en contextos verbales como escritos, por ejemplo “es

probable que el promedio Dow – Jones aumente a fines de año “, “Hay

50 -50 de posibilidades de que el titular busque la reelección “

Fuente: Jay L. Devore, Probabilidad y estadística para ingeniería

y ciencias, quinta edición, Thomnson Editores S.A., México, 2001

6. El concepto de la probabilidad de un evento particular en un experimento

está sujeto a varios significados o interpretaciones. Por ejemplo, si se

dice que un geólogo manifestó “Que hay una posibilidad de 60 por ciento

de encontrar petróleo en una determinada región “, probablemente todos

nosotros tendremos una idea de lo que está diciendo. En efecto, la

mayoría de nosotros interpretará esto de una de estas dos maneras

suponiendo que:

i. El geólogo siente que , a la larga , en el 60 por ciento de las

regiones en las que las condiciones ambientales sean muy

semejantes a las condiciones en la región en consideración ,

habrá petróleo

O suponiendo que

ii. El geólogo cree que es más probable que haya petróleo en la

región, a que no haya.



Fuente: Sheldon M.Ross, Probabilidad y estadística para

ingenieros, 2 da edición, MC Graw Hill, México, 2002

7. La teoría moderna define la probabilidad como un número que satisface

una serie de postulados, pero no indica cómo se debe obtener ese

número simplemente establece las reglas que debemos obedecer al

manipular las probabilidades obtenidas. en consecuencia , hay dos

grandes corrientes al respecto del problema de la determinación de la

probabilidad

ⱦ La escuela objetivista o frecuencialista considera que la

probabilidad solo puede obtenerse por medio de las frecuencias

relativas y, por consiguiente, solamente es aplicable a las

situaciones en las que la experiencia puede repetirse varias

veces, en las mismas condiciones.

ⱦ La escuela subjetivista o personalista considera a la

probabilidad como una medida de la creencia de una persona

racional en una determinada proposición. diferentes individuos

racionales pueden tener grados diferentes de credulidad, aun al

frente de una misma evidencia y, por consiguiente, las

probabilidades personales para el mismo evento pueden ser

diferentes.

Fuente: Paulo Alonso López, Probabilidad y estadística,

concepto, modelos y aplicaciones en Excel, Prentice Hall,

Colombia, 2000

8. Cuando queremos hablar de probabilidades, estamos tratando con

procedimientos (como tirar un dado, contestar una pregunta de opción

múltiple en un examen o aplicar una prueba de embarazo) que producen

resultados.

Fuente: Mario F. Triola, Estadística, novena edición

9. La expresión matemática de la probabilidad como un número entre 0 y 1

es un concepto importante. esta forma de expresión es fundamental y

común en los procedimientos estadísticos

Fuente: Mario F. Triola, Estadística, novena edición

10. Una definición clásica de la probabilidad consiste en considerar un

experimento aleatorio, cuyo correspondiente espacio muestra E está

formado por un número n, finito, de posibles resultados distintos y con la

misma posibilidad de ocurrir * + . Entonces si resultados

constituyen el subconjunto o suceso resultados constituyen el



suceso resultados constituyen el suceso de tal manera

que :

Y las probabilidades de los sucesos

( )

( )

( )

Es decir, la probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el

número de resultados que integran el suceso A y el número total de elementos

o posibles resultados del espacio muestral E. Luego una fórmula para calcular

la probabilidad de un suceso cuando todos los posibles resultados tienen la

misma probabilidad de ocurrir será:

( )

Que se conoce con el nombre de la regla de Laplace para espacios muéstrales

finitos

Fuente: Estadística I Probabilidad y distribución José M. Casas

Sanchez, Editorial centreo de estudios Ramón Areces / S.A.,

Madrid, 2000



CAPITULO 2



PROPIEDADES DE LA PROBABILIDADES

1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario

vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

Ejemplo: Se sabe que la probabilidad de curar la leucemia infantil es

de 1/3. Por lo tanto, la probabilidad de que no se cure la enfermedad

será de:

1 − 1 / 3 = 2 /3

2. Probabilidad del suceso imposible es cero.

Ejemplo. Consideramos el experimento de lanzar un dado.

La probabilidad de obtener 9 en una cara es igual a cero.

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de

sus probabilidades restándole la probabilidad de su

intersección.

Ejemplo. En una población el 4% de las personas son daltónicas, el

18% hipertensas y el 0.5% daltónicas e hipertensas. ¿Cuál es la

probabilidad de que una persona sea daltónica o hipertensa?

Α = Daltónico, B = Hipertenso



4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es

menor o igual a la de éste.

Ejemplo. En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un número

mayor que 4, y B obtener un número mayor que 2

5.

Ejemplo. “En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un

número menor que 5 y B el suceso obtener un numero par”

P (A – B) = P ( A ) – P (A ∩B)



6. Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = x 1, x2,

..., xn entonces:



CAPITULO 3



AXIOMAS O LEYES

Propiedades de las operaciones

• Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A

• Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩

C)

• ∀A suceso se verifica: A ∪ E = E y A ∪ ∅ = A

• ∀A suceso se verifica: A ∩ E = A y A ∩ ∅ = ∅

• ∀A suceso se verifica: A ∪ Ac = E y A ∩ Ac = ∅

• El contrario del contrario de un suceso es el mismo suceso: (Ac)c = A

• Idempotencia: A ∪ A = A ∩ A = A

• Absorcion: A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A

Leyes de Morgan

1. El contrario de la unión de dos sucesos es igual a la intersección de los

contrarios. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc 2. El contrario de la intersección de dos sucesos es igual a la unión de los

contrarios. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Álgebra de sucesos

Definición: Consideremos un subconjunto del espacio de sucesos, S ⊆ P(E),

con las operaciones unión,

Intersección y contrario, diremos que es un algebra de sucesos si verifica los

axiomas:

Axioma 1 S 6= ∅. Debe tener, al menos, un suceso.

Axioma 2 ∀A, B ∈ S entonces A ∪ B ∈ S

Axioma 3 ∀A ∈ S entonces Ac ∈ S

Si el espacio muestral es infinito, el axioma 2, se debe generalizar para infinitos

sucesos:



Consecuencias de la definición

1. Si A,B ∈ S entonces A ∩ B ∈ S

Demostración

Aplicando las leyes de Morgan:

2. Si A,B ∈ S entonces A \ B ∈ S

Demostración

Por definición:

3. ∅ ∈ S. El suceso imposible pertenece al ´algebra de sucesos.

Demostración:

4. E ∈ S. El suceso seguro pertenece al ´algebra de sucesos.

Demostración:

Es trivial aplicando la propiedad anterior y el axioma 3.



Espacio probabilístico

En los experimentos aleatorios donde el espacio muestral es finito,

consideraremos, sin perder rigor, que S = P(E).

Definición axiomática de la probabilidad

Definición: Sea E un espacio muestral finito y S un ´algebra de sucesos. Se

llama probabilidad a una

Aplicación:

P: S@ >> > R

Verificando los siguientes axiomas de definición:

Axioma 1 ∀A ∈ S su P(A) ≥ 0.

Axioma 2 ∀A,B ∈ S y A ∩ B = ∅ entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Axioma 3 El suceso seguro tiene de probabilidad uno: P(E) = 1.

El Axioma 2, se puede generalizar a n-sucesos incompatibles dos a dos:

Sean ∀A1,A2, · · · ,An ∈ S incompatibles dos a dos, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j

entonces:

La definición axiomática es debida al matemático ruso Kolmogoroff.

Consecuencias de la definición

1. Si A ∈ S entonces P (Ac) = 1 − P(A).

Demostración

Aplicando las propiedades de las operaciones con sucesos:



Por lo tanto:

2. La probabilidad del suceso imposible es cero: P(∅) = 0

Demostración:

P (∅) = 1 − P(∅c) = 1 − P(E) = 1 − 1 = 0

3. P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)

Demostración:

4. Si B ⊂ A entonces P(B) ≤ P(A)

Demostración

Si B ⊂ A entonces B ∩ A = B por lo tanto:

Consecuencia inmediata de las dos ´ultimas propiedades:

0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ∈ S



La demostración es inmediata.

5. Generalización del Axioma 2:

∀A,B ∈ S entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Espacio probabilístico

Definición A la terna (E, S, P) formada por el espacio muestral, el ´algebra de

sucesos y la función

Probabilidad definida sobre S, recibe el nombre de espacio probabilístico.

Espacio finito de probabilidad

Sea E un espacio muestral finito asociado a un determinado experimento

aleatorio.

E = a1, a2, a3, ・・・ , an, , cada comportamiento elemental es un suceso.

Un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada suceso ai ∈ E un

número real pi, llamado probabilidad de ai que verifica:



Estas dos condiciones son equivalentes a los axiomas de definición de

probabilidad.

Ejemplo

Consideremos el experimento aleatorio lanzar un dado. El espacio muestral es

finito E= 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es Posible que las probabilidades de obtener las

caras del dado sean las siguientes?

P(1) = 0, 1 P(2) = 0, 3 P(3) = 0, 1 P(4) = 0, 2 P(5) = 0, 3 P(6) = 0, 1

Es evidente que se trata de un espacio finito de probabilidad, por lo tanto debe

verificar las dos condiciones:

• pi ≥ 0 ∀ai ∈ E . Efectivamente todas las probabilidades son positivas.

Por lo tanto no es un espacio finito de probabilidad.

Ejemplo

En una competición de tenis hay cuatro jugadores A,B,C,D las probabilidades

de ganar el torneo son las siguientes:

• El jugador A tiene el doble de probabilidad que el B.

• El jugador B tiene el triple de probabilidad que el C.

• El jugador C tiene la mitad de probabilidad que el D.

1. Hallar las probabilidades que tienen de ganar cada uno de los jugadores.

2. Hallar la probabilidad que el torneo lo gane el jugador A o el B.



Determinación de la probabilidad

La definición axiomática de la probabilidad resuelve el concepto matemático.

En la parte práctica debemos Determinar la probabilidad de un suceso

cuantitativamente.

Regla de Laplace

La probabilidad de un suceso es el cociente entre los casos favorables y el

n´umero de casos posibles.

p(A) = Número de casos favorables

Número de casos posibles

Para poder aplicar la definición de Laplace todos los sucesos deben ser

equiprobables. No es válida la definición en el caso de sucesos compuestos.

En la práctica se usa la definición de Laplace siempre que sean equiprobables.

Concepción frecuencial u objetivista. Definición de Von Misses

Definición: Se llama frecuencia absoluta de un suceso al número n′ de veces

que se verifica en n pruebas.

Definición: Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre la

frecuencia absoluta y el número de veces que se realiza el experimento.



Verifica los axiomas de la definición axiomática de probabilidad.

Definición: Se llama probabilidad de un suceso A al límite de la frecuencia

relativa cuando el número de pruebas efectuadas tiende a infinito.

Para poder aplicar esta definición el experimento debe realizarse un gran

número de veces para obtener, aproximadamente, la probabilidad del suceso.

Con la ayuda de un ordenador se pueden efectuar simulaciones de

experimentos aleatorios y calcular su probabilidad por la definición de Von

Misses.

Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes

Probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada aparece cuando la realización de un suceso

depende de la realización de otro suceso.

Ejemplo

Se extrae una carta de una baraja y se deposita en la mesa. Hallar la

probabilidad que al extraer una nueva carta esta sea una espada. La

realización del segundo suceso está condicionada por el suceso si en la

primera extracción ha salido o no, una espada.

Vamos a considerar un espacio probabilístico: (E, S, P)

Definición Sean dos sucesos A y B con P(B) > 0, llamamos probabilidad de A

condicionada al suceso B y lo escribiremos P (A|B) al cociente entre la

probabilidad de la intersección de A y B y la probabilidad del suceso B.



Axioma 3: El suceso seguro tiene de probabilidad uno: P(E|B) = 1.

En efecto:

El Ax.2 se generaliza para n sucesos: Sean A1, A2, ・・・, An sucesos

incompatibles dos a dos entonces:

Consecuencia

Por definición:

Si P(A) > 0 entonces:

Por lo tanto:



Teorema De la multiplicación para la probabilidad condicionada:

Generalizando por inducción el resultado anterior obtendríamos:

Dados A1,A2, ...,An un conjunto de sucesos, entonces: P(A1 ∩ A2 ∩ ・・・ ∩

An) = P(A1) ・ P(A2|A1) ・ P(A3|A1 ∩ A2) ・ P(A4|A1 ∩ A2 ∩ A3) ・・・

P(An|A1 ∩ A2 ∩ ...An−1)

Definición: A un proceso en el que tengamos una sucesión finita de

experimentos, en los cuales cada experimento tenga un número finito de

resultados se le denomina proceso estocástico finito que se resuelve mediante

diagramas en árbol y como aplicación del teorema anterior.

Sucesos independientes

Definición Dos sucesos A y B son independientes si P (A|B) = P(A) ´o P(B|A) =

P(B).

Teorema de Bayes

Teorema de la probabilidad total

Definición Una familia de sucesos A1,A2, ・・・ ,An del espacio E es un

sistema completo de sucesos si verifican:

1. La unión de todos los sucesos es el espacio muestral:

2. Son incompatibles dos a dos

Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j

3. Tiene probabilidad estrictamente positiva:

P(Ai) > 0 ∀i = 1, ・・・ , n



Teorema de la probabilidad total

Teorema Sea un espacio completo de sucesos entonces la probabilidad de un

suceso B, que puede tener lugar simultáneamente con uno o más de los

sucesos Ai es igual:

Demostración

El suceso B = B ∩ E y los sucesos B ∩ Ai y B ∩ Aj son incompatibles siempre

que

6≠j.

En efecto:



• Los sucesos Ai son las causas o condiciones.

• Las P(Ai) son las probabilidades a priori de las causas.

• Las P(B|Ai) es la probabilidad que se verifique el suceso B si ha ocurrido Ai.

• Las P(Ai|B) son las probabilidades a posteriori de las causas una vez que se

ha efectuado el suceso B

Teorema de Bayes

Con las mismas hipótesis del teorema de la probabilidad total.

Teorema Las probabilidades a posteriori de los sucesos Ak una vez efectuado

el suceso B son iguales a:

Figura: Teorema de Bayes

Demostración

Es una consecuencia inmediata de la definición de probabilidad condicionada y

del teorema de la probabilidad total.



El teorema de Bayes se aplica cuando se quiere determinar en qué medida la

realización del suceso B, confirma o rechaza, ciertas hipótesis.

Ejemplo

Un psicólogo industrial conoce, por experiencias anteriores, que el 90% de las

personas que inician un determinado entrenamiento técnico terminan con éxito.

La proporción de personas en entrenamiento y con experiencia previa es del

10% de entre las personas que completaron con ´exito su entrenamiento y del

25% de entre aquellos que no terminaron con éxito el entrenamiento.

1. Probabilidad de que una persona con experiencia anterior supere el

entrenamiento con éxito.

2. ¿La experiencia previa influye en el éxito del entrenamiento?

Sean los sucesos:

A: Una persona supera con éxito el entrenamiento.

Ac: Una persona no supera con éxito el entrenamiento.

B: Una persona posee experiencia previa.

Las probabilidades de los sucesos son:

P(A) = 0, 9 P(Ac) = 0, 1 P(B|A) = 0, 1 P(B|Ac) = 0, 25

1. Es una probabilidad a posteriori, aplicando el teorema de Bayes:

Es decir un 78%

2. La P(A) > P(A|B) por lo tanto el tener experiencia previa no influye en el

éxito del entrenamiento.



Una ley de probabilidad , o distribución de probabilidad, es una función que

a un evento asocia un número , su probabilidad. Este número traduce

la oportunidad que tiene el evento de producirse. La forma más intuitiva de

definir una tal función es repetir el experimento aleatorio y asociar a cada

evento su frecuencia experimental. . Si es el número de

experimentos, el número de veces que se produce el evento , la

frecuencia experimental de es la razón . Aquí tenemos, como

ejemplo, repeticiones de un experimento cuyas eventualidades son

0, y .

En este ejemplo la frecuencia experimental de 0 es 8/20 , la de

1,2 es 12/20. El inconveniente es que la frecuencia experimental cambiará si

rehacemos los experimentos. En otras palabras el conjunto de

las repeticiones constituye un nuevo experimento aleatorio. Sin embargo

todos tenemos en nuestra mente una idea de la Ley de los Grandes

Números según la cual las frecuencias experimentales varían poco cuando el

número de repeticiones es grande. Veamos cuatro cálculos sucesivos de la

frecuencia experimental de 0 , en repeticiones del mismo

experimento anterior.

Las propiedades que esperamos de una ley de probabilidad son las mismas

que las de las frecuencias experimentales. Las consideraremos como los

axiomas de la definición.

A1

Para todo evento , .

A2

La probabilidad del evento cierto es : .

A3

Si es una sucesión de eventos disjuntos dos a dos ( y

no pueden suceder a la vez si ), entonces:

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/emel/lexique/lp/lp.html

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/emel/lexique/probabilite/probabilite.html

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/emel/lexique/freq_empirique/freq_empirique.html

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/emel/lexique/loidesgrandsnombres/loidesgrandsnombres.html

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/emel/lexique/loidesgrandsnombres/loidesgrandsnombres.html



Una consecuencia inmediata de los axiomas A2 y A3 es la relación entre la

probabilidad de un evento y la de su opuesto, denotado .

Una ley de probabilidad es creciente por inclusión, según A1 y A3: si ,

entonces .

AXIOMAS DE KOLMOGÓROV

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una

σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que

asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos",

se dice que P es una probabilidad sobre ñ (Ω,σ) si se cumplen los siguientes

tres axiomas.

Primer axioma

La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.

P(A) ≥ 0

Segundo axioma

La probabilidad del total, Ω es igual a 1, es decir,

P (Ω) = 1

Tenemos un resultado de x1

Tercer axioma

Si A1, A2,… son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos,

disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:

P (A1 U A2 U…) = ∑ ( )

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto

de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de

sus componentes.

En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-

álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos

miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida

del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica

igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio



muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio

probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que

se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la

probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).



CAPITULO 4



ÁLGEBRA DE PROBABILIDADES

CONJUNTO: Un conjunto es una colección de objetos bien claros y

definidos, los cuales tienen una característica en común. A los objetos

se les llama elementos del conjunto.

Ejemplos:

- El conjunto de los días de la semana, los que representaremos por la

letra S: S=Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes,

Sábado

- El conjunto de números de dígitos representados por D:

D=0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9

LEYES DE ALGEBRA DE SUCESOS:

Ω x Ω Ω A∪B es el uso que se verifica si y sólo si se

(A, B) A∪B verifica uno de los dos

Ω x Ω Ω A B es el suceso que se verifica cuando se

(A, B) A B verifican a la vez

Ω Ω Ac, complementario de A, es el suceso que se

A Ac verifica cuando no se verifica A

Como las definiciones de unión, intersección y complementación de

sucesos son idénticas a las de los conjuntos, estas operaciones para

sucesos cumplen las mismas propiedades que para los conjuntos.

∪

𝐶



Un conjunto dotado con dos leyes de composición (operaciones) que

cumple la conmutatividad, distributividad, existencia de elemento neutro

y existencia de complementario, se llama álgebra de Boole.

Así pues, ( ; , ) es un álgebra de Boole.

Dos sucesos se dicen incompatibles si A B =.

Un sistema completo de sucesos son n sucesos A, A,..., A que verifican

las dos siguientes condiciones A A... A = E A A =, i, j = 1, 2, ..., n,

para i j.

Ejemplos:

- Conmutativa: AB = BA AB = BA - Asociativa: A (BC) = (AB)C A (BC) = (AB) C - Idempotente: AA = A AA = A - Simplificación: A (AB) = AB A (AB) = AB - Distributiva: A (BC) = (AB) (AC) A (BC) = (AB) (AC) - Existencia de elemento neutro: A = A A E = A - Absorción: A E = E A =

- Complementación: E C = C = E

- Involución: (A C ) C = A

- Leyes de Morgan: (AB) C = A C B C (AB) C = A C

B C

La distribución de los tipos de sangre en un país entre los individuos de raza blanca es

aproximadamente la siguiente:

Tras un accidente de automóvil, un individuo de raza blanca es conducido a una clínica de

urgencia. Se le hace un análisis de sangre para establecer el grupo al que pertenece. Cuál es la

probabilidad de que sea del tipo A, o B o AB?

Hay una probabilidad de 0.55 de que el paciente tenga uno de los tres grupos sanguíneos

mencionados.



ALGEBRA DE PROBABILIDADES Si A y B son eventos de un cierto espacio de probabilidad y, la probabilidad condicional de A dado B está definida por

(

)

( )

( )

Y se lee “la probabilidad de A dado B”. El evento B es el evento condicionante y A es el evento condicionado.

Si tomamos en cuenta los eventos complementarios de A y B dados por respectivamente, y sin olvidar que los denominadores se suponen diferentes de cero, todas las relaciones de probabilidad condicional que se pueden establecer son las siguientes:

(

)

( )

( ) (

)

( )

( )

(

)

( )

( ) (

)

( )

( )

(

)

( )

( ) (

)

( )

( )

(

)

( )

( ) (

)

( )

( )

En una universidad el de los alumnos habla inglés, el francés y el los dos

idiomas ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera?

Solución:

Sea A el suceso hablar inglés: .

Sea B el suceso hablar francés: .

El suceso hablar francés e inglés es : .

Así:



Las 8 relaciones anteriores dan cuenta de cualquier problema de probabilidad

condicional asociado a dos eventos básicos y sus complementos. Ahora bien,

si identificamos las probabilidades de la forma (

) como condicionales, las

de la forma ( ) como intersecciones y las de la forma ( ) como

marginales tenemos que toda la información que puede presentarse en este

tipo de problemas de probabilidad condicional es: 8 condicionales, 4

intersecciones y 4 marginales. Es decir, todo el conocimiento posible lo

constituyen 16 elementos. Como obviamente un problema no puede contener

toda la información, la pregunta que surge es la siguiente: ¿cuál es el número

mínimo de elementos que debe poseer un problema de probabilidad

condicional para que se puedan encontrar los demás? O en otras palabras, si

decimos que un problema de probabilidad condicional se resuelve

completamente cuando se obtienen todos los 16 elementos, ¿cuál es el

número mínimo de elementos que debe suministrar el problema para ser

resuelto completamente? y ¿cuáles pueden ser esos elementos? Para

responder estas preguntas, es necesario recordar algunas relaciones básicas

de la teoría de probabilidades que son satisfechas entre algunos de los

elementos mencionados

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(

) (

) ( )

Y que tomamos como base para algunas definiciones que son importantes en

la solución de los diferentes tipos de problemas tal como veremos más

adelante:

• Dos marginales, dos intersecciones y dos condicionales que satisfacen (2) (3)

y (4) respectivamente, decimos que son complementarias.

• Una marginal y una intersección (o dos) que satisfacen (3) decimos que están

asociadas.

• Una condicional está asociada a una marginal cuando su evento

condicionante es la marginal considerada.

• Una condicional está asociada a dos intersecciones cuando éstas a su vez

están asociadas y la marginal correspondiente es el evento condicionante de la

condicional.

Para responder la primera pregunta obsérvese que:

• Por la igualdad (2), para obtener las cuatro marginales sólo se requieren dos

de ellas no complementarias.



• Por la igualdad (3), dos marginales no complementarias y las cuatro

intersecciones se reducen a dos marginales no complementarias y una

intersección, o a dos intersecciones y una marginal no asociadas, o a tres

intersecciones.

• Por la igualdad (4) para obtener las ocho marginales sólo se requieren cuatro

que no sean complementarias.

• Además, con la igualdad (1) se pueden obtener todas las condicionales si se

conocen los elementos necesarios de intersecciones y marginales.

De esta forma podemos ya afirmar que, cuando se tienen 3 elementos tomados

adecuadamente de las intersecciones y de las marginales, se puede resolver

totalmente un problema de probabilidad condicional. Sin embargo, queda

pendiente la solución de problemas que suministren información de las

condicionales: ¿Si sólo se posee información sobre condicionales se puede

resolver el problema? ¿Cuánto condicionales mínimos se requieren para

resolver completamente un problema de probabilidad condicional? Si el

problema incluye información sobre marginales, intersecciones y condicionales,

¿cuál es el número mínimo de elementos que se requieren y cuáles? Para

responder estas preguntas tomamos un grupo de elementos constituido por

dos marginales no complementarias, una intersección y 4 condicionales no

complementarias.

Dos marginales no complementarias

( ) ( )

Una intersección:

( )

Cuatro condicionales no complementarias:

( ) (

) (

) (

)

Utilizando las igualdades (1), (2), (3) y (4) se encuentra que estos elementos

satisfacen el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 7 incógnitas, que, como

son probabilidades, toman valores entre 0 y 1

Z1X1 = Y

Z2(1-X2) = X1 – Y1 (5)

Z3X1 = y

Z4 (1-X1 ) = X2 – Y



En caso de elegir otro de los grupos de siete variables que incluyan las cuatro

condicionales, el sistema de ecuaciones asociado es equivalente al sistema (5)

del cual se puede obtener con adecuados cambios de variables. El sistema

anterior permite ver que el número mínimo de elementos necesarios y

suficientes para resolver completamente un problema de probabilidad

condicional se reduce a 3 elementos no complementarios. Precisamente la

escogencia de estos tres elementos permite obtener no solamente los diversos

tipos de problemas de probabilidad condicional que se pueden plantear, sino

que también permite realizar una clasificación de su nivel de dificultad tal como

mostramos en el apartado 5 más adelante

Un rápido conteo produce la siguiente clasificación, donde cada caso se

identifica con la información que suministra

1) Tres intersecciones.

2) Dos intersecciones y una marginal.

3) Dos marginales y una intersección.

4) Dos marginales y una condicional.

5) Dos intersecciones y una condicional.

6) Una intersección, una marginal y una condicional.

7) Una marginal y dos condicionales.

8) Una intersección y dos condicionales.

9) Tres condicionales

Si bien es cierto que cualquiera de estos problemas se puede resolver

utilizando el sistema de ecuaciones (5), la idea es analizar si las tablas y los

árboles permiten su solución y de qué forma. Esto nos puede conducir a poner

en práctica una estrategia didáctica para la enseñanza de estos temas con un

mejor conocimiento de causa y aprovechando la agilidad que brindan estos

registros comparados con el registro algebraico.

Sea Ω un conjunto. Definiremos el conjunto partes de Ω, por: P (Ω) = A: A

⊂ Ω.

Dado un conjunto A, denotaremos por Ac el complemento de A.

Definición 1.1 Sea una familia A de subconjuntos de Ω, es decir A ⊂ P (Ω).Se

dice que A es una σ-álgebra sobre Ω si satisface las siguientes propiedades.

A1. Ω ∈ A.

A2. Dado A ∈ A se tiene Ac ∈ A.

A3. Sea A1,...,An,... una sucesión de elementos de A. Entonces

⋃ ∈

Propiedades de σ− álgebras

Propiedad 1.1 ∅ ∈ A.



Demostración. Resulta de A1 y A2.

Propiedad 1.2 Si A1,..., An son elementos de A entonces

⋃ ∈

Demostración.

Para ver esto supongamos que Ai ∈ A; i = 1,2,..., n. Probaremos que

⋃ ∈

Definamos una sucesión numerable (Bi)i≥1 agregando el conjunto ∅ de la

siguiente manera

Bj = Aj, 1 ≤ j ≤ n,

Bk = ∅ si k > n.

Entonces por ser A una σ-álgebra se tendrá que

⋃ ∈

Bi ∈ A y por lo tanto

⋃ ⋃ ∈

Propiedad 1.3

Si A es una σ-álgebra, y A1,..., An,... es una sucesión de elementos de A

entonces

⋂ ∈

Demostración. Esto resulta de que



(⋃

)

Propiedad 1.4 Si A es una σ-álgebra, y A1, ..., An son elementos de A

entonces :

⋂ ∈

Demostración. Se demuestra igual que la Propiedad 1.2. 2

Propiedad 1.5 Si A es una σ-álgebra, y A1 y A2 son elementos de A,

entonces A1 −A2 ∈ A.

Demostración. En efecto A1 −A2 = A1 ∩A2c E ∈ A

Propiedad 1.6 La σ−álgebra sobre Ω más chica posible es

A0 = Ω,∅,

y la más grande es

A1 = P(Ω).

Luego si A es una σ-álgebra sobre Ω, se tendrá

A0 ⊂ A ⊂ A1.

Observación. En el contexto de la teoría de la medida, un elemento de la

σ−álgebra A se llama un conjunto medible.



CAPITULO 5



BIBLIOGRAFÍA

1. Ernesto Mordecki, Probabilidad, 8 de junio de 2007.

2. W. Feller. Introducción a la Teoría de Probabilidad y sus Aplicaciones.

1978, México, Limusa, Wiley.

3. http://www.vitutor.com/pro/2/a_8.html.

4. Murray R. Spiegel , Teoría y problemas de probabilidad y Estadística ,

Mc. GRAW –HILL , Bogotá –Colombia , 1936.

5. Guillermo Gamarra, Jorge Berrospi F., Oscar Pujay C., Rudy Cuevas C.,

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6. William Mendehall, Terry Sincig, Probabilidad estadística, para ingeniería

y ciencias 4ta edición, México, 1997.

7. José Salinas Ortiz, Análisis Estadístico para la toma de decisiones en

Administración y Economía, Universal del Pacifico, Lima –Perú, 2001.

8. Jay L. Devore, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias,

quinta edición, Thomnson Editores S.A., México, 2001.

9. Sheldon M.Ross, Probabilidad y estadística para ingenieros, 2 da

edición, MC Graw Hill, México, 2002.

10. Paulo Alonso López, Probabilidad y estadística, concepto, modelos y

aplicaciones en Excel, Prentice Hall, Colombia, 2000

11. Mario F. Triola, Estadística, novena edición

12. Estadística I Probabilidad y distribución José M. Casas Sanchez,

Editorial centreo de estudios Ramón Areces / S.A., Madrid, 2000

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CAPITULO 6



EJEMPLOS DE GRUPO

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un matrimonio tenga dos hijas

mujeres seguidas?

Solución:

Evento favorable A: primer nacimiento sea mujer.

Evento favorable B: segundo nacimiento sea mujer.

Luego: P(A) =

= 0,50

P (B) =

= 0,50

Por lo tanto, para dos nacimientos se tiene:

P (AᴖB) = (

) x (

)=

= 0., 25

P (AᴖB) = 25%

2. De los pacientes del hospital Carrión, el 40% son varones y el 9%

padecen de gripe desde la infancia. Si se elige un paciente al azar, ¿Cuál

es la probabilidad de que padezca de gripe, dado que es varón?

Solución:

Sean los eventos:

A: Pacientes varones.

B: Pacientes que padecen gripe.

AᴖB: Pacientes varones que padecen gripe.

Según los datos:

P(A) = 0,40

P (AᴖB)= 0,09

El problema nos pide: P ( ⁄ )= ( ᴖ )

( )

P ( ⁄ )=

=0.225

P ( ⁄ )= 22,5%

Entonces la probabilidad de que un paciente padezca de gripe, dado que es

varón, es de 22,5%.



3. Las probabilidades que tienen Alejandro, Benito y Carlos de resolver un

mismo problema son:

,

y

respectivamente. Si intentan hacerlo los

tres, determinar la probabilidad de que se resuelva el problema.

Solución:

Como P(A), P (B) y P(C) son las probabilidades de resolver el problema,

entonces P(A’), P(B’) Y P(C’) serán las probabilidades de que no puedan

resolver el problema, luego:

P (A) = 1 - P (A’)

P (A’) = 1 – P (A) → P (A’) = 1 -

=

P (B’) = 1 - P (B) → P (B’) = 1 -

=

P (C’) = 1 – P(C) → P (C’) = 1 –

=

La probabilidad de que no puedan resolver el problema los tres juntos será:

P (A´B´C´) = P(A´) x P(B’) x P(C´)

=

x

x

=

La probabilidad de que resuelvan los tres juntos:

P (Resuelvan los tres juntos) = 1 - P (A´B´C´)

= 1 -

=

o 83, 33%

4. Al lanzar un dado que no está cargado una vez, ¿Cuál es la

probabilidad de obtener 1 o un número par?

Solución:

Como los eventos son mutuamente excluyentes y el problema pide uno o un

número par:

Eventos favorables a A: Eventos favorables a B:

n(A)=1 n(B) = 3

P(A O B) = P(A) + P(B)

P(A O B) =

+

P(A O B) = 0,0667



5. Se tiene un juego de 50 cartas con las siguientes características:

25 son rojas y 25 son verdes

36 son numéricas.

12 son letras.

Hay 4 grupos de letras (A-D).

Se tiene número de 1-9.

Tiene 2 comodines.

Cuál es la probabilidad de obtener lo siguiente:

P (roja)

P (números)

P (letra D)

P (comodín)

Solución

P (R)

( )

( )

La probabilidad sería de un 50%

P (numérico)

( )

( )

( )

P (D)

P (com):

P(com) :



6. Tres caballos A, B y C participan en una carrera. El suceso “A vence a B”

se designa por AB, el suceso “A vence a B, el cual vence a C” como ABC, y

así sucesivamente. Se sabe que P (AB) = 2=3, P (AC) = 2=3 y P (BC) =

1=2. Además P (ABC) = P (ACB), P (BAC) = P (BCA) y P (CAB) = P (CBA).

Calcular P(A venza), P (B venza), P(C venza). ¿Son AB, AC y CB

independientes?

Solución

En este problema se asume que no existen los empates. Por ello, los sucesos

elementales son las permutaciones de las letras A; B y C, y un simple espacio

muestral es:

Ω = ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA : |Ω| = 3! = 6

Dicho espacio tiene |Ω| = 3! = 6 elementos pero no es necesariamente

equiprobable. Además:

AB = ABC; ACB; CAB

AC = ABC; ACB; BAC

BC = ABC; BAC; BCA

Denotemos las probabilidades de los sucesos elementales:

P (ABC) = P (ACB) = p1; P (BAC) = P (BCA) = p2; P (CAB) = P (CBA) = p3:

Y resolvamos:

P (AB) = 2/3 2.p1 + p3 = 2/3

P (AC) = 2/3 2.p1 + p2 = 2/3

P (BC) = 1/2 p1 + 2.p2 = ½

Se obtiene así que p1 = 5/18; p2= 1/9 y p3 = 1/9. Por tanto, las probabilidades que pide el problema son:

P(A venza) = P (ABC) + P (ACB) = 2.p1 = 5/9

P(B venza) = P (BAC) + P (BCA) = 2p2 = 2/9

P(C venza) = P (CAB) + P (CBA) = 2.p3 = 2/9

Por último, para ver si AB, AC y CB son independientes, calculemos:

P (AB AC) = P (ABC; ACB) = P (ABC) + P (ACB) = 5/9



P (AB). P (AC) =

.

=

Dado que P (AB AC) P (AB). P (AC), se concluye que no son

independientes.

7. En una clase infantil hay 6 niñas y 10 niños. Si se escoge a 3 alumnos al

azar, halla la probabilidad de:

a) Seleccionar 3 niños.

b) Seleccionar 2 niños y una niña.

c) Seleccionar, al menos, un niño.

Solución:

Este ejercicio es similar al anterior. Observemos el siguiente diagrama:



8. Si los sucesos A y B son independientes y compatibles, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

a) P (A Ç B) = P (B) b) P (B È A) = P (A) + P (B) c) P(A /B) = P(A)

Solución:

a) Como A y B son independientes P(A B) = P(A) · P (B). Esta última expresión solamente es igual a P (B) si P(A) = 1. b) P (B A) = P (B) + P (A) P (B A). Si fuera cierta la afirmación entonces P(A) + P (B) = P (B) + P(A) P (B A) P (B A) = 0 B A = y esto es imposible pues A y B son compatibles. Así pues la afirmación no es cierta.

c) (

)

( )

( )

[ ( ) ( )]

( ) ( ) y la afirmación es cierta.

Obsérvese que ( ) ( ) ( ) porque al ser A y B independientes también lo son A’ y B

9. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0, 1,.

. . ,9?

1. Permitiendo repeticiones;

2. Sin repeticiones;

3. Si el ultimo digito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?

Solución

Asumamos que para que un número sea de 4 dígitos su primer digito debe ser

distinto de cero.

1. Puesto que debe formarse un número de 4 dígitos, el primero de

estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para el

primer digito y diez para cada uno de los tres dígitos restantes,

obteniéndose un total de 9 · 103 = 9000 números posibles.

2. Al igual que en el apartado anterior, el primer digito no puede ser cero.

Como además no se permiten repeticiones, hay nueve posibilidades para el

segundo digito: el cero y las ocho no escogidas para el primer digito. Por

tanto, se pueden formar 92 · 8 · 7 = 4536 números.

3. Fijamos el ultimo digito y, como no puede haber repeticiones, se

obtiene un total de 9 · 8 · 7 · 1 = 504 números.



10. ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el

alfabeto Morse?

Solución

Si se consideran como cinco símbolos diferentes entonces, dado que

importa el orden en que se coloquen y que han de distribuirse en cinco

posiciones, se tendría un total de P5 = 5! posibles ordenaciones. Pero,

dado que de los cinco elementos tan solo hay dos diferentes (rayas y

puntos) que se repiten 3 y 2 veces, respectivamente, dividiremos por las

posibles permutaciones de cada uno de ellos, obteniendo así un total de

C5,3 = 5!/ (3! · 2!) = 5 · 4/2 = 10 letras. Nótese que ´este es el número de

posiciones (entre las cinco posibles) en que pueden ponerse las letras, y

además coincide con el número de posiciones para los puntos (C5,2 ).

11. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe,

por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no

asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20

mesas, ¿Cuál es la probabilidad de que a todas las personas que

asistan al restaurante se les asigne una mesa?

Solución:

Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ

= 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una

reserva. Esta variable sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p =

0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas

reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas

(δ 1….δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una

variable aleatoria Yn = ∑ , con distribución binomial de parámetros n y

p=0,2. En el caso particular del problema, n=25. Entonces, para aquellas

personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva

puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se

tiene que:

12. Cuando se arrojan simultáneamente 4 monedas:

a. ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden obtener?

b. ¿Cuántos casos hay en que salgan 2 caras y 2 cruces?

Solución

Suponiendo que las monedas son iguales:



1. Dado que un mismo resultado individual (cara o cruz) puede obtenerse en

varias monedas a la vez, y que las monedas no pueden distinguirse entre sí,

existen CR2; 4 = 5 resultados posibles. Estos casos son: “4 caras y 0 cruces”, “3

caras y 1 cruz”, “2 caras y 2 cruces”, “1 cara y 3 cruces”, y “0 caras y 4

cruces”.

2. Como las monedas se arrojan simultáneamente, sólo habrá un caso posible

con 2 caras y 2 cruces.

Suponiendo que las monedas son distintas:

1. En este caso, puesto que se distinguen las monedas entre sí y en una tirada

pueden haber varias con el mismo resultado individual, hay un total de V R2;4

= 24 = 16 resultados posibles. Estos casos son: “cara, cara, cara, cara”, “cara,

cara, cara, cruz”, “cara, cara, cruz, cara”, “cara, cara, cruz, cruz”, etc.

2. Se calcula el número de combinaciones posibles de dos monedas distintas,

que supondremos serán las de resultado “cara” (siendo así las dos restantes

de resultado “cruz”), es decir, hay C4; 2 = 6 resultados de dos caras y dos

cruces.

13. Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son

negras (13 espadas A, 2, 3, ¼, 10, J, Q, K; 13 son tréboles); y 26 son rojas

(13 corazones y 13 diamantes), la probabilidad de que la carta sea un as

es porque el evento de "extraer un as" consta de 4 de los 52

resultados igualmente probables. La probabilidad de que la carta sea

negra es y la probabilidad de que sea un diamante es .

14. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

Solución:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, y hay tres pares, luego,

15. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia que tiene tres hijos,

hayan dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el

nacimiento de un niño o niña?

Solución:

Usando "a" para niña y "o" para niño, el espacio muestra es:

S = aaa, aao, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo n(S) = 8

El evento A en que haya dos niñas y un niño es



A = aao, aoa, oaa, n(A) = 3

Obsérvese que siempre 0 < P(A) < 1, puesto que 0 < n(A) < n(S).

16. Un dado de seis caras está trucado, de forma que la probabilidad de que

salga cada cara es proporcional al número de ésta. ¿Cuál es la

probabilidad de sacar un 6?

Solución:

En este caso, nos dicen que la probabilidad de que salga cada cara no es la

misma, por lo que no podemos aplicar directamente la regla de Laplace. Si

observamos el enunciado, nos dice que la probabilidad de que salga cada

cara es proporcional al número de ésta, esto quiere decir, si decimos que la

probabilidad de que salga un 1 es k, que desconocemos, entonces:

P (1)=k, P (2)=2k, P (3)=3k, P (4)=4k,

P (5)=5k, P (6)=6k.

Ahora, como 1, 2, 3, 4, 5, 6 forman un sistema completo de

sucesos, necesariamente

P (1)+P (2)+P (3)+P (4)+P (5)+P (6)=1

Por lo tanto,

k+2k+3k+4k+5k+6k=1

que es una ecuación que ya sabemos resolver:

21k=1

por lo que

k=121

Así pues, la probabilidad de sacar un 6 es P (6)=6k=6⋅121=621.

17.



18.

estadística grupal

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