Teorema del límite central y

aplicaciones

Estadística CIMACO

Dr. Carlos Cáceres Martínez, presentación preparada a partir

del trabajo de la Dra. Eleonora Romero Vadillo y otros mas

Teorema del Límite Central

Sea X una variable aleatoria con cualquier distribución, con

media y varianza 2. La función de distribución de la media

muestral es aproximadamente normal con media y

desviación estándar

n

Cuando el tamaño de la muestra (n) es grande.

Distribución de la media

muestral

0.95

n

2

n

2

1x 2x3x4x

Distribución de la media muestral

Cuando la distribución de X es normal la distribución de la media

muestral es normal con media y desviación estándar

n

Sin importar el tamaño de la muestra.

¿Que tan grande debe ser el tamaño de la muestra para que la

distribución de la media muestral sea aproximadamente normal,

cuando proviene de una población con distribución diferente a

la normal?

El tamaño de la muestra depende del grado de no

normalidad de la población. Sin embargo, una regla empírica

señala que una muestra de tamaño 30 es suficiente, en la mayoría

de las situaciones, para aplicar el teorema del límite central.

Distribución de la media

muestral

Para ilustrar este procedimiento construiremos la función de

distribución de la media muestral de una pequeña población

conformada por el número de huevos de 5 tortugas Laud que

desovaron en cierta playa.

El número de huevos por tortuga fue de 68 70 72 74 y 76

El número de muestras posibles de tamaño 2 con sustitución

es de 25

(68,68), (68,70), (68,72), (68,74), (68,76),

(70,68), (70,70), (70,72), (70,74), (70,76),

(72,68), (72,70), (72,72), (72,74), (72,76),

(74,68), (74,70), (74,72), (74,74), (74,76),

(76,68), (76,70), (76,72), (76,74), (76,76)

Ejemplo

x 68 70 72 74 76

68

70

72

74

76

68 69 70 71 72

69 70

70

71

71

72

72 73

73

73

7371 72

72

74

74

74

75

75 76

Cuales son los valores que podríamos esperar

encontrar ya que el número de huevos que

produce cada tortuga es una variable continua…

x f~

f

68

69

70

71

72

73

74

75

76

1

2

3

4

5

4

3

2

1

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.16

0.12

0.04

0.08Construyendo su

distribución de frecuencias

tendríamos:

Que se representa por esta

figura o histograma

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

68 69 70 71 72 73 74 75 76

La media de la población es:

5

7674727068

5

36072

La varianza de la población es:

5

7276727472727270726822222

2

5

16404168

5

40

Calculando ahora la media de todas las medias:

25

)1(76)2(75)3(74)4(73)5(72)4(71)3(70)2(69)1(68x

25

7615022229236028421013868

25

180072

Por lo tanto

x

Recordemos esto se debe

al teorema del límite

central…

Calculando ahora la varianza de la media muestral

25

)5(7272)4(72713727027269)1(726822222

2

x

25

1727627275)3(7274)4(72732222

25

1618124041218164

25

100

nx

22

Por lo tanto

Recordemos esto se debe

al teorema del límite

central…

Los resultados anteriores se obtuvieron suponiendo que el

muestreo es con reemplazo o que las muestras se han extraído de

una población finita.

En general no se muetrea con reemplazo, y en muchas

ocasiones se muestrea a partir de poblaciones infinitas.

En el ejemplo, bajo un muestreo sin reemplazo, el número de

muestras posibles es 10 (las que están por encima de la diagonal

en la tabla).

x 68 70 72 74 76

68

70

72

74

76

68 69 70 71 72

69 70

70

71

71

72

72 73

73

73

7371 72

72

74

74

74

75

75 76

El número de muestras de tamaño n en una población de tamaño

N está dado por la combinación

)!(!

!

nNn

N

n

N

En el ejemplo:10

!3!2

!5

2

5

(68,70), (68,72), (68,74), (68,76), (70,72),

(70,74), (70,76), (72,74), (72,76), (74,76).

Con medias 69, 70, 71, 72, 71, 72, 73, 73, 74, y 75, respectivamente

y la media de estas

10

)1(75)1(74)2(73)2(72)2(71)1(70)1(69x

10

7574146144142706972

10

720

y la varianza de la media muestral:

10

27273)2(7272)2(7271)1(72701726922222

2

x

10

94202493

10

30

En este caso la varianza de la media muestral no es igual a la

varianza poblacional entre el tamaño de la muestra.

Sin embargo, existe una relación entre estas y está dada por:

1

22

N

nN

nx

10

)1(7275)1(727422

En el ejemplo:

22

34

34

15

25

2

8

1x

N

nN

n

1

N

nNSe conoce como factor de corrección por población finita

Este factor puede ignorarse cuando el tamaño de la muestra

es pequeño en comparación con el tamaño de la población.

Como sugerencia, el factor de corrección por población finita

se usa si la muestra contiene mas del 5% de las observaciones

de la población, esto es, si :

05.0N

n

Ejemplo:

Se sabe que el peso de los juveniles de pargos se distribuye

aproximadamente de manera normal con media 2.4 kg. y desviación

estándar de 0.6 kg. Si se toma una muestra al azar de 10 pargos,

calcule la probabilidad de que tengan un peso medio entre 2.56 y

2.74.

4.2 y 6.0

Entonces: )74.256.2( xP

10

6.0

4.274.2

10

6.0

4.256.2zP

19.0

34.0

19.0

16.0zP 78.184.0 zP

)84.0()78.1( zPzP

La población es muy grande comparada con el tamaño de la muestra y

se sabe que:

)84.0()78.1( zPzP 800.0962.0 0.1

6

Creo que ya saben como trabajar así que

aquí esta un ejercicio que habrá que

resolver dos preguntas:

1. Tomemos el archivo de los ostiones y sabemos entonces que la media de la longitud (talla) de la población es X= 30.21 mm y una = 9.51(recordemos que es sin el dato atípico). Entonces calcule cual es la probabilidad de encontrar en un muestreo aleatorio un ostión de 27.5 mm de longitud

Continúa ejercicio

2. Ahora para la misma población de

ostiones puede estimar cual es la

probabilidad de que en un muestreo

aleatorio encontremos un ostión tenga

una de longitud media de 30.1 y 29.8

mmLa tabla de probabilidades de ocurrencia bajo la curva

normal la puede encontrar en cualquier libro de

estadística o bien acudir a la siguiente liga de

matemáticas para niños…

http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/distribucion-normal-

estandar.html