Estadística Medidas de Tendencia Central

Ing. Edward RoperoMagister en Gestión,

Aplicación y Desarrollo de Software

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de posición o de tendencia central, denominadas también como promedios, nos permiten determinar la posición de un valor respecto a un conjunto de datos, el cual lo consideramos como representativo o típico, para el total de las observaciones.

Media AritméticaEs la medida de posición o promedio más conocida, la más utilizada y entendida por todos, por su gran estabilidad es la preferida en el muestreo, sus fórmulas admiten tratamiento algebraico. Su desventaja principal, es ser muy sensible a cambios en sus valores u observaciones, también, cuando alguno de sus valores extremos es demasiado grande o pequeño

Media AritméticaSe define como la “suma de todos los valores observados, divididos por el número total de observaciones” De esta forma definida, sólo se aplica en datos sin agrupar, también denominados como datos originales

Media Aritmética Simple Media Aritmética Ponderada

Media AritméticaEjemplo (Variable Discreta): Supongamos que dispone de información para 10 observaciones:

8, 2, 8, 6, 2, 2, 6, 8, 2, 4

La media aritmética será:

Ahora si calculamos la media aritmética de las mismas 10 observaciones, pero ordenadas, el resultado obtenido será el mismo

Media Aritmética¿Qué se ha hecho? Simplemente se han organizado los datos en una tabla de frecuencias

4

Media AritméticaEjemplo (Variable Continua): Se obtiene en primer lugar las marcas de clase y luego se trabaja exactamente, como se hizo en la variable discreta

DesviacionesSe considera necesario mencionar las Desviaciones con respecto a la media aritmética, las cuales se definen como las diferencias que hay entre los distintos valores que toman la variable y la media aritmética, tanto en datos sin agrupar como en datos agrupados, por lo general simbolizada por Zi

Ejemplo (Variable discreta): Procedamos a considerar una nueva fuente de información con 8 datos, sin agrupar: 6, 10, 4, 10, 8, 2, 6, 2. En primer lugar calculamos la media y luego sus desviaciones.

DesviacionesEjemplo (Variable Continua): Si calculamos las desviaciones con respecto a la media, en una tabla con datos correspondiente a una variable discreta (2.1) en la cual la media fue de 2,23, se tendrá:

MedianaEs considerada también, al igual que la Media, como una medida de tendencia central.

Se define como “aquel valor de la variable que supera a no más de la mitad de las observaciones, al mismo tiempo, es superado por no más de la mitad de las observaciones” en otras palabras, se puede definir como el “valor central”. Se simboliza por Me

Ejemplo: Supongamos se tienen los siguientes datos:

2 18 4 12 6

Observemos que la serie es impar, ya que n = 5 por lo tanto ordenamos los datos, de menor a mayor:

2 4 6 12 18

La mediana será igual al valor central Me = 6

MedianaEjemplo: Número par de observaciones. Ahora calcularemos la mediana, cuando se tenga un número par de observaciones. En estos casos, encontramos dos valores en el centro de la serie, por tal razón la mediana deberá ser el promedio de ellos:

Ordenamos los datos de menor a mayor:

MedianaEjemplo:

Es decir que la mediana se encuentra localizada entre los valores 2 y 3, siendo igual a 2,5. También se puede comprobar el anterior resultado, transformando la distribución de frecuencias en una variable que nos muestre los datos originales o que éstos se encuentren sin agrupar

0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4

La mediana se localiza entre los valores ubicados entre la posición 15ª y 16ª

MedianaEjemplo:

Tal como se hizo en el ejercicio anterior, en datos sin agrupar, el valor central lo ocupa el 2

0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4

La mediana se localiza entre los valores ubicados entre la posición 15ª y 16ª

MedianaCalculo de la Mediana en Variables DiscretasEjemplo:

MedianaEjemplo:

Modo – Moda o Valor Modal Md

Se define como “el valor de la variable que más se repite” o “aquel valor que presenta la máxima frecuencia”. Puede suceder que una distribución tenga dos Modas, en este caso se dice que la distribución es Bimodal, en el caso que haya más de dos modas, se dice que es plurimodal o multimodalEjemploConsideremos los siguientes datos:

5, 10, 8, 5, 10, 18, 5, 12, 5, 12

La moda corresponderá a 5, siendo el valor de la variable que más se repite

Md = 5

Modo – Moda o Valor Modal Md

Ejemplo Variable Discreta

Modo – Moda o Valor Modal Md

Ejemplo Variable Continua

Cuartices, Deciles y Percentiles

Cuando la distribución está constituida por un número grande de intervalos o de marcas de clase, haciéndose necesario calcular un promedio sobre una parte de ella, en estos casos, la distribución puede ser distribuida en cuatro, en diez o en cien partes. En el primer caso nos referiremos a Cuartiles, en el segundo a Deciles y en el tercero a Percentiles o Centiles

QiDi

Pi

Cuartices, Deciles y Percentiles

Ejemplo datos no agrupados:Con los siguientes datos:

16 10 4 8 12 10 8 20 4 13 12 22 16 26 20

Calcular a) Primer y tercer cuartil. b) Cuarto y sexto decil y c) el 30 y 90 percentil

Lo primero que se hace, es ordenar los datos de menor

4 4 8 8 10 10 12 12 13 16 16 20 20 22 26n = 15

a) Para el primer cuartil, aplicamos el siguiente procedimiento, muy parecido al calcular la Mediana

Cuartices, Deciles y Percentiles

Cuartices, Deciles y Percentiles

Ejemplo datos agrupados:

Calcular: Q3, D6, P80

Para hallar el quartil 3, primero debemos hallar su posición:

OJO: Tener en cuenta que para n par la formula de la posición es sólo n

Si n es impar la formula es con n+1

Cuartices, Deciles y Percentiles

Lo mismo para el Decil 6, primero debemos hallar su posición:

Cuartices, Deciles y Percentiles

Lo mismo para el Percentil 80, primero debemos hallar su posición: