Medidas De Tendencia Central

Media, Mediana, Moda.

Como su nombre indica, una medida de tendencia central es la que describe un valor central para ubicar la localización del conjunto de datos.

MEDIA

La media de un conjunto de datos numérico es el valor que se obtiene al sumar los valores observados (obtenidos) y al dividir la suma entre el número total de observaciones.

Si las observaciones provienen de una muestra se llama media muestral; si proceden de toda la población, recibe el nombre de media poblacional.

Ejemplo:Determinar a partir de una muestra de 14 fósiles, la altura promedio de un hueso frontal. Para cada fósil en la muestra, Xi, con i igual al número de la observación, se mide el hueso en milímetros (mm) y se obtienen los datos siguientes.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14

42 27 25 40 33 31 42 34 35 25 29 30 29 35

Una desventaja de la media es que puede resultar muy afectada cuando existen datos inusualmente grandes o muy pequeños con relación al resto dentro de un conjunto. Como se ha señalado, este tipo de datos se llaman atípicos.

Ejemplo:

Un alumno universitario acaba de comprar sus libros y observa la cantidad de páginas que tienen: 247, 312, 198, 780, 175, 286, 293, 258.

¿Cuál es el promedio de páginas que tienen sus libros?¿Es esta una buena aproximación para todos sus libros?

MEDIANALa mediana es el valor que está justo en medio de los datos una vez que han sido ordenados de forma ascendente.Cuando la muestra tiene un número impar de datos solo hay un valor en medio, pero si el número de datos es par existen dos; en este caso la media de ambos es la mediana.

La mediana de una muestra se obtiene al ordenar los datos de menor a mayor, incluidos los valores que se repiten, de manera que todos aparezcan en la lista ordenada. Por tanto:

Mediana= Valor en medio si el número de datos es impar.

Promedio de los valores de en medio si el número de datos es par.

Ejemplo:

Calcular la mediana para los datos del ejemplo anterior:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1425 25 27 29 29 30 31 33 34 35 35 40 42 42

MODA

La moda es el valor más frecuente dentro del conjunto de datos, es decir, el que tiene mayor frecuencia.

En muchas ocasiones la moda no es única, pues puede existir más de un valor con la misma frecuencia dentro del conjunto de observaciones (datos).

Ejemplo:

Calcular la moda a partir de los siguientes datos obtenidos en el grupo de tercer semestre de la licenciatura en educación preescolar con relación a la edad:

22 18 19 18 18 20 19 19 21 19

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL CON DATOS

AGRUPADOS

Media de un conjunto de datos agrupados

La media de un conjunto de datos agrupados se calcula al usar las marcas de clase y las frecuencias relativas asociadas. Si las marcas de clase son X1, …, Xn y las frecuencias que corresponden f1, …, fn entonces la media es un promedio de las marcas ponderando por las frecuencias; se calcula como sigue.

Ejemplo:

Calcular la media de una muestra que presenta datos agrupados.Un grupo de 45 alumnos presentan un examen para ingresar a una universidad. Las calificaciones se han agrupado como se muestra en el siguiente cuadro.

Intervalo de calificaciones

Número de personas

[0,10) 2

[10,30) 5

[30,50) 8

[50,60) 9

[60,75) 10

[75,90) 9

[90,100) 2

Intervalo deCalificaciones

Marca de clase

Xi

Número de personas

fi

Xi * fi

[0,10) 5 2 10

[10,30) 20 5 100

[30,50) 40 8 320

[50,60) 55 9 495

[60,75) 67.5 10 675

[75,90) 82.5 9 742.5

[90,100) 95 2 190

Xi * fi

10

100

320

495

675

742.5

190

Total:

Mediana de un conjunto de datos agrupados

La mediana para datos agrupados se ubica en el intervalo donde la frecuencia acumulada relativa alcanza al menos 50%; este intervalo se llama clase mediana y se obtiene por medio de interpolación.Sea, Li el limite inferior del intervalo en el que se alcanza al menos 50% de los datos; ai, la longitud de dicho intervalo; Fi-1 la frecuencia acumulada del intervalo anterior, y fi la frecuencia del intervalo que se considera.

Ejemplo:Calcular la mediana de un conjunto de datos agrupados.Determinar la mediana de los datos del ejemplo anterior. Intervalo de

calificacionesNúmero de

personas

[0,10) 2[10,30) 5[30,50) 8[50,60) 9[60,75) 10[75,90) 9[90,100) 2

Intervalo deCalificaciones

Número de personas

fi

Frecuencia acumulada

[0,10) 2 2

[10,30) 5 7

[30,50) 8 15

[50,60) 9 24

[60,75) 10 34

[75,90) 9 43

[90,100) 2 45

Moda de un conjunto de datos agrupados

La moda es el valor más frecuente en el conjunto de datos, se encuentra en el intervalo de máxima frecuencia que se llama clase modal.

L1= limite inferior de la clase modal.

Ai= longitud de la clase modal.

Fi= frecuencia de la clase modal.

Fi-1= frecuencia de la clase anterior a la clase modal.

fi-+1= frecuencia de la clase siguiente a la modal.Ejemplo:

Calcular la moda de un conjunto de datos agrupados.Determinar la moda del conjunto de datos del ejemplo pasado.

Intervalo de calificaciones

Número de personas

[0,10) 2

[10,30) 5

[30,50) 8

[50,60) 9

[60,75) 10

[75,90) 9

[90,100) 2