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Estadística para los procesos de

Inferencia

L.M. Víctor A. Cárdenas Echazarreta

Economía y NegociosInstructor: L.M. Víctor A. Cárdenas Echazarreta



Unidad II. Distribuciones Continuas

Subtemas: 2.1 Normal 2.2 t de Student

2.3 Ji-Cuadrada 2.4 F de SnedekorObjetivo:

El alumno identificará y aplicará las distribuciones de probabilidad continuas en la resolución de problemas relacionados con las ciencias administrativas y la economía.

Escuela de Negocios Universidad AnáhuacCancún




Distribución Normal También se le conoce como Distribución Gaussiana o Campana de Gauss

Su importancia se debe fundamentalmente a lafrecuencia con la que distintas variablesasociadas a fenómenos naturales y cotidianos

siguen, aproximadamente, esta distribución.Muchos de los procedimientos estadísticosasumen la normalidad de los datos observados,sobre todo cuando se toman muestras de

tamaño grande, n>30.





Distribución Normal La distribución normal fue reconocida por

primera vez por el francés Abraham de

Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-

1855) elaboró desarrollos más profundos y

formuló la ecuación de la curva; de ahí quetambién se la conozca, más comúnmente,como la "campana de Gauss".





Distribución Normal La distribución de una variable normal está

completamente determinada por dos

parámetros, su media () y su desviaciónestándar ().

La función de densidad de probabilidad es:


x x x f ;

21exp

2

12




Distribución Normal. Gráfica





Distribución Normal. Gráfica. Áreas.





Distribución Normal. Características • La curva normal es acampanada , simétrica y centrada

en 0

• Las medidas de tendencia central en ella son iguales(media=mediana=moda)• El área bajo la curva normal es igual a 1• Es asintótica para valores grandes de x, tanto

positivos como negativos.• La media es 0 y la desviación estándar es 1; N( = 0;

=1) • Se han obtenido valores de las áreas en una Tabla para

calcular probabilidades y otros elementos estadísticos


E l d N i U i id d A áh




Distribución Normal Estándar y Tipificación • Existen diferentes distribuciones probabilísticas

normales, llamadas “familia” de distribuciones normales

• Según la media y la desviación será el “achatamiento” o“anchura” de la gráfica de probabilidad correspondiente • Es posible AJUSTAR un conjunto de datos que tienen

aproximadamente una DISTRIBUCIÓN NORMAL a una

CURVA ESTÁNDAR utilizando la TIPIFICACIÓN pormedio de la siguiente fórmula:


x

z





Distribución Normal y la Distribución BinomialCuando se realizan muchos experimentos quetienen una Distribución Binomial, el cálculo resulta

complejo.

Un resultado importante en Probabilidad es elsiguiente:

Teorema Central del Límite: La distribución binomial B(n;p) se aproxima a una curva normal de media y desviación típica

, cuando n tiende a ∞, es decir, cuando n se hace


x npq





Distribución Normal y la Distribución BinomialPara hacer uso de tal teorema el número deensayos u observaciones deberá ser n>30, y se

deben cumplir las siguientes condiciones: Se puede utilizar cuando np y nq son por lo menos

igual a 5 Si los datos analizados cumplen con tener una

distribución binomial.






Distribución Normal y la Distribución BinomialUna vez comprobado esto se aplicará

FACTOR DE CORRECCIÓN POR CONTINUIDADEl valor 0.5 se resta o se suma, dependiendo delproblema, a un valor seleccionado cuando unadistribución discreta se aproxima por medio de unadel tipo continuo.


Esc ela de Negocios Uni ersidad Anáh ac




Distribución Normal y la Distribución Binomial¿Cómo aplicar el Factor de Corrección?Hay cuatro casos:

1) Para la probabilidad de que por lo menos X ocurran , usar el área por encima de (X – 0.5) 2) Para la de que más de X sucedan , utilizar el área

por arriba de (X + 0.5)

3) Para la de que X o menos ocurran , aplicar el áreapor abajo de (X + 0.5) 4) Para la de que menos de X sucedan , emplear el

área situada por debajo de (X – 0.5)


Escuela de Negocios Universidad Anáhuac




Distribución Normal y la Distribución BinomialFACTOR DE CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD


npq

npa

zPa xP

5.0

npq

npa zPa xP

5.0

npq

npa z

npq

npaPb xaP

5.05.0





Distribución Normal y la Distribución BinomialEjemplo 1:Supongamos que los clientes de una pizzería

regresan con un 70% de probabilidad. En unasemana se registraron 80 nuevos clientes. Calculala probabilidad de quea) 60 o más de ellos regresen en otra ocasión.b) menos de 25 de ellos vuelvan a comer a lapizzería.






Otras Distribuciones ContinuasMuchas variables aleatorias tales como la duraciónde la vida útil de una computadora, el monto de

ventas de una empresa, o bien, el número deaccidentes industriales en una fábrica, sólo puedenasumir valores no negativos.

Este tipo de variables, pueden modelarse pormedio de una función de densidad tipo gamma .Algunas de estas variables son la Ji Cuadrada y la

Exponencial.






Distribución Ji CuadradaTeorema 3 . Si una muestra aleatoria de Nobservaciones y1, y2, y3,…, yN, se selecciona de

una distribución normal con media y varianza 2,entonces la distribución de muestreo de

Tiene una función de densidad Ji Cuadrada con N – 1 grados de libertad.


2

22 1

s N





Distribución Ji Cuadrada Se aplica para estimar la validez de la varianza de

una población no necesariamente con distribución

normal cuando el tamaño de muestra es limitado. Se utiliza para analizar los experimentos que

producen datos cualitativos o categorizables. Tiene un papel importante en las llamadas pruebas

de hipótesis y de la estimación en estadística, enparticular la no paramétrica.






Distribución Ji Cuadrada Su gráfica no es acampanada, es ligeramente

elevada a la izquierda y “coleada” a la derecha.

La Ji-Cuadrada es, en realidad, una distribución delas varianzas de las muestras de una población ylos grados de libertad dependen del tamaño de lamuestra, esto es, si N es el tamaño de muestra

entonces g.l. = N-1 Los valores de la Ji-Cuadrada se han calculado

para diferentes tamaños de muestra en tablasestadísticas






Distribución Ji Cuadrada. Gráfica






Distribución Ji Cuadrada

Cálculo de Probabilidad

El cálculo de probabilidad en una distribuciónmuestral de varianzas nos sirve para saber cómose va a comportar la varianza o desviaciónestándar en una muestra que proviene de unadistribución normal.






Distribución Ji CuadradaEjemplo: Un fabricante de baterías para autogarantiza que sus baterías durarán, en promedio,

tres años con una desviación estándar de un año.Si cinco de estas baterías tienen duraciones de 1.9,2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años, ¿el fabricante podrá teneruna confianza de 95% de que la desviación

estándar sigue siendo de un año? Supongamosque la duración de la batería sigue una distribuciónnormal.






Distribución Ji CuadradaSolución: Dado que la muestra N = 5, calculemos la varianza

de la muestra con la fórmula

Busquemos el valor de Ji-cuadrada en nuestratabla para g.l. (v) = 4 y por la asimetría de lagráfica el 95% se localiza entre 97.5% y 2.5%, esdecir, entre 0.975 y 0.025


815.0

1

2

2

N

x xs

26.31

815.0152

2

2





Distribución Ji CuadradaSolución: Vemos que para 0.975 el valor es 0.484 y para

0.025 es 11.143, por lo que nuestro valor no quedafuera de estos límites. Entonces, el fabricantepuede estar seguro que su desviación estándarigual a un año es razonable y no tiene razón

suficiente para sospechar que este dato es distinto.


Escuela de Negocios Universidad AnáhuacC ú





Ejercicio 1:

Suponga que los tiempos requeridos por un ciertoautobús para alcanzar un de sus destinos en unaciudad grande forman una distribución normal conuna desviación estándar de1 minuto. Si se elige al

azar una muestra de 17 tiempos, encuentre laprobabilidad de que la varianza muestral sea mayorque 2.

scue a de egoc os U e s dad á uacCancún






Ejercicio 2:

Encuentre la probabilidad de que una muestraaleatoria de 25 observaciones, de una poblaciónnormal con varianza σ2 = 6, tenga una varianzamuestral:

a) Mayor que 9.1b) Entre 3.462 y 10.745

gCancún





Distribución Ji CuadradaPara poder estimar la varianza de una poblaciónnormal se utilizará la distribución ji-cuadrada.

Los valores de

2

dependerán de nivel de confianzaque se quiera al cual le llamamos 1 - .

gCancún

2

22 1

s N





Distribución Ji CuadradaEjemplo:Los siguientes son los pesos, en decagramos, de

10 paquetes de semillas de pasto distribuidas porcierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9,45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo deconfianza de 95% para la varianza de todos los

paquetes de semillas de pasto que distribuye estacompañía, suponga una población normal.

gCancún





Distribución t de StudentTeorema 4 . Sea z una variable aleatoria normalestándar y sea 2 una variable aleatoria Ji

Cuadrada con n-1 grados de libertad. Si z y 2

sonindependientes, entonces se dice que

Tiene una distribución t de Student con n-1 gradosde libertad.

gCancún

1

2

n

zt





Distribución t de Student La distribución t-Student se aplica para estimar la

media poblaciones con distribución normal pero eltamaño de muestra está muy limitado y no se

conoce la desviación estándar de la población. Fue introducida por el inglés William Gosset,

empleado de la empresa cervecera Guiness, alestudiar la distribución de muestras pequeñas.

La T de Student debe su nombre a que lostrabajadores de dicha empresa no les estabapermitido hacer publicaciones, y Gosset utilizó elseudónimo"Student".

Cancún





Distribución t de Student. Gráfica

Cancún

0,375 n=120

n=2

n=11

0,125

-3,50 0 +3,50

Cuando aumentan

los grados delibertad, ladistribución deStudent se aproximaa la distribuciónnormal tipificada.





Distribución t de Student Al igual que la Normal, se utiliza en problemas

donde se quiere estimar la media poblacional () apartir de la media de la muestra ( ). Para ello se

aplica la siguiente fórmula

Donde M = media de la muestra

es el error estándar de la mediaS = Desviación Estándar de la Muestra Nt = Valor de la Tabla t, con n – 1 g.l. y nivel de

confianza

Cancún

x

M St M

N SS M





Distribución t de Student

Ejemplo: Supongamos que se seleccionó una

muestra de 9 calificaciones donde la mediaM = 55 y la desviación estándar fue S = 12 yqueremos determinar entre qué valores

aproximadamente se encuentra la media delas calificaciones de la población con unaconfianza del 95%.

Cancún





Distribución t de StudentSolución: Aquí N = 9, tamaño de muestra, M = 55, S =12 y = 0.975, este último valor se obtiene con 1-error/2 y como el error es 5%, de ahí el resultado.

Estimemos el intervalo de confianza para la media conayuda del error estándar

Encontremos nuestro valor de t en la tabla, con g.l. = 9-

1 = 8, y = 0.975, el cual resulta igual a t = 2.306.Ahora construyamos nuestro intervalo de confianza

Cancún

4912 M S





Distribución t de StudentSolución: Ahora construyamos nuestro intervalo deconfianza

Por lo tanto, afirmamos con un 95% de confianzaque la media poblacional debe estar entre 45.776 y64.224 puntos.

Cancún

224.9554306.255 M St M





Ejercicios (Distribución t de Student)1. Reclutas de la Armada, en cierto campo de adiestramiento, son

sometidos a una prueba de aptitud física que incluyelevantamientos de pesos. En un grupo, 100 soldados tuvieronuna media de 15 levantamientos y una desviación estándar de3. Calcula un intervalo de confianza al 95% para la mediaverdadera del grupo.

2. Para una media M = 32, con una desviación estándar S = 5 ytamaño de muestra N = 7, obtén el intervalo de confianza al95% para estimar la media poblacional.

3. *La media de los pesos de un grupo de 12 estudiantes fue 68

kg con una desviación estándar de 2 kg. Calcula los límites parala media de la población de los 150 estudiantes, con unacerteza del 95%

4. * Para una media M = 65, con una desviación estándar S = 10 ytamaño de muestra N = 25, obtén el intervalo de confianza al95% para estimar la media poblacional.

Ca cú





Distribución F de Snedecor (Fisher)

La necesidad de disponer de métodos estadísticos

para comparar las varianzas de dos poblaciones esevidente a partir del análisis de una sola población.Frecuentemente se desea comparar la precisión deun instrumento de medición con la de otro, la

estabilidad de un proceso de manufactura con la deotro o hasta la forma en que varía el procedimientopara calificar de un profesor universitario con la deotro.





Distribución F de Snedecor (Fisher)Teorema 5 . Sean 1

2 y 22 variables aleatorias Ji

Cuadrada con v 1 y v 2 grados de libertad,

respectivamente. Entonces se dice que

Tiene una distribución F con v 1 grados de libertaden el numerador y v 2 grados de libertad en el

denominador.

2

2

2

1

2

1

v

vF





Distribución F de Fisher. Gráfica

Los valores críticos fueron obtenidos por W. Snedecor en una tabla que secaracteriza por tener dos grados de libertad: el correspondiente al numeradorυ1=n1-1 y el del denominador υ2=n2-1.






La variable aleatoria F es no negativa La distribución tiene un sesgo hacia la derecha La distribución F tiene una apariencia muy similar a

la distribución ji-cuadrada; sin embargo, seencuentra centrada respecto a 1, y

Los dos parámetros proporcionan una flexibilidadadicional con respecto a la forma de la distribución

1221 ,,1

vvvv F F

F F






Teorema: Si de dos poblaciones normales, oaproximadamente normales, se extraen dos

muestras aleatorias e independientes, y a cada unase le calcula su respectiva varianza, el cociente deambos valores (con F>1) tendrá una distribuciónde Fisher.





Distribución F de Snedecor (Fisher) Ejemplo 1 de la Prueba F (de Fisher)

Limusinas Princess ofrece sus servicios de transportedesde el Ayuntamiento de Toledo, Ohio hasta elAeropuerto Metro en Detroit.El presidente de la compañía analiza dos posiblesrutas, la U.S. 25 y la I-75. Desea hacer un estudio enambas y compararlas.

Registró los siguientes datos de muestra (ver tabla enla sig.)

Si se utiliza un nivel de significancia (error) de 0.10,¿existe una diferencia significativa en la variación para





Distribución F de Snedecor (Fisher) Ejemplo 1 de la Prueba F (de Fisher)

SOLUCIÓN: PASO 1: Hipótesis nula y alternativa PASO 2: Elegir nivel de significancia

PASO 3: Construir el estadístico s 2 1/ s 2 2 PASO 4: Encontrar el valor crítico en la tabla F PASO 5: Comparar y rechazar si el estadístico es mayor

que el valor crítico obtenido.

RUTA Tiempomedio(min.)

Desv.Estándar

(min).

Tamañode

muestra

U.S. 25 56 12 7

I – 75 58 5 8





Distribución F de Snedecor (Fisher) Ejercicio 2 de la Prueba F (de Fisher)

Un corredor de bolsa en la empresa Critical Securitiesinformó que la tasa media de rendimiento en una

muestra de 10 acciones petroleras, fue de 12.6%, conuna desviación estándar de 3.9%.La tasa media en una muestra de 8 acciones deservicios públicos fue de 10.9%, con una desviaciónestándar de 3.5%.

A un nivel de significancia de 0.05, ¿es posible concluirque hay más variación en las acciones petroleras?(Sugerencia: considerar prueba de una cola)




Unidad II. Distribuciones ContinuasDistribución F de Snedecor (Fisher) Ejercicio 3 de la Prueba F (de Fisher)

La Cía. Stargell Research Associates realizó un estudioacerca de los hábitos de escuchar la radio por parte dehombres y mujeres. Un aspecto del estudio comprendió eltiempo promedio de audición. Se descubrió que tal tiempopara los varones es de 35 min al día. La desv. est. de lamuestra de 10 personas hombres, fue de 10 minutos. Eltiempo promedio para las 12 mujeres en el estudio tambiénfue de 35 min, con una desviación de 12 min.

A nivel de significancia de 0.10, ¿es posible concluir queexiste una diferencia entre la variación en el número deminutos que los hombres y mujeres escuchan la radio?




Unidad II. Distribuciones ContinuasDistribución F de Snedecor (Fisher) Ejercicio 3 de la Prueba F (de Fisher)

Un agente de bienes raíces en el área costera de lasCarolinas (USA), desea comparar la variación en el preciode venta de casas ubicadas frente al océano, con las queestán a una distancia de entre una y tres calles desde lacosta. Una muestra de 21 inmuebles frente al mar vendidosel año pasado, registró una desviación del precio por$45,600 USD. Una muestra de 18 casas, del segundo grupoy vendidas en el mismo año, mostró una desviación de

$21,330 USD.

A nivel de significancia de 0.10, ¿se puede concluir que haymás variación en los precios de venta de las casas frente almar con relación a las que se localizan entre una y tres

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